Трикутники та їх властивості

    Види трикутників
    1. За кутами
      1. Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c2<a2+b2).
      2. Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c2=a2+b2).
      3. Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c2>a2+b2).
    2. За сторонами
      1. Різносторонній - всі сторони різні.
      2. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою).
      3. Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні.
    Основні елементи трикутників
    1. Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
    2. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони.
    3. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить кут навпіл. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці і ділять протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника (якщо АК - бісектриса трикутника АВС, то ВК:КС=АВ:АС).
    4. Середня лінія трикутника - відрізок, який сполучає середини двох сторін трикутника. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні трикутника і дорівнює її половині.
    5. Гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника (лежить напроти прямого кута), катети - дві інші сторони прямокутного трикутника.
    6. Центр кола, описаного навколо трикутника, знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів. В прямокутному трикутнику він знаходиться на середині гіпотенузи.
    7. Центр кола, вписаного в трикутник, знаходиться в точці перетину бісектрис трикутника.
    Розв'язування трикутників (знаходження невідомих елементів трикутника за відомими)
    1. У трикутника сума всіх кутів дорівнює 180o.
    2. У правильного трикутника всі кути дорівнюють 60o.
    3. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.
    4. Теорема синусів: відношення сторін до синусів протилежних кутів рівні ==
    5. Теорема косинусів: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними AB2=AC2+BC2-2⋅AC⋅BC⋅cos∠C.
    6. Для прямокутного трикутника: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора) AB2=AC2+BC2 (за умови, що гіпотенуза АВ).
    7. Співвідношення у прямокутному трикутнику: sinα=AC:AB, cosα=BC:AB, tgα=AC:BC, ctgα=BC:AC (АС - протилежний катет до кута, ВС - прилеглий катет до кута, АВ - гіпотенуза).
  1. НМТ 2024. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Cерединний перпендикуляр, проведений до сторони рівностороннього трикутника, ділить його на два рівних трикутники.
    ІІ. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до катетів прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи.
    ІІІ. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін будь-якого тупокутного трикутника, міститься всередині цього трикутника.
    АБВГД
    лише І лише І та ІІ лише І та ІІІ лише IІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ
    Відповідь
    Б.
    2. Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 60 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "5.2. Трикутники та їх властивості". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.
    Зразок
  2. НМТ 2024. Зовнішній кут при вершині A трикутника ABC дорівнює 100°, ∠C = 20° (див. рисунок). Визначте градусну міру кута B.
    АБВГД
    100° 90° 120° 80° 70°
    Відповідь
    Г.
  3. НМТ 2023. Периметр рівнобедреного трикутника АВС (див. рисунок) дорівнює 32 см. АВ=ВС=10 см. Узгодьте відрізок (1-3) з його довжиною (А-Д).
    Відрізок Довжина відрізка, см
    1 АС
    2 висота, проведена з вершини В
    3 радіус кола, описаного навколо трикутника АВС    		 А 6,25
    Б 7,5
    В 8
    Г 12
    Д 12,5
    Відповідь
    1-Г, 2-В, 3-А.
  4. НМТ 2023. У прямокутному трикутнику АСВ ∠C=90o, ∠B=24o. На продовженні катета АС вибрано точку К так, що АК=КВ (див. рисунок). Точка О - центр кола, описаного навколо трикутника АСВ. Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А–Д).
    Кут Градусна міра кута
    1 ∠ВАС
    2 ∠КВС
    3 ∠ОКВ    		 А 24o
    Б 34o
    В 42o
    Г 66o
    Д 72o
    Відповідь
    1-Г, 2-В, 3-А. 3. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, знаходиться на середині гіпотенузи.
  5. Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони АС трикутника АВС, якщо АВ=3 см, ВС=10 см.
    АБВГД
    3 см 5 см 7 см 11 см 15 см
    Відповідь
    Г.
    Перевірити виконання нерівності трикутника.
  6. У трикутнику АВС кут В — тупий. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠А+∠С<90o.
    II. AB+BC<AC.
    III. Центр кола, описаного навколо трикутника АВС, лежить поза його межами.
    АБВГД
    лише І і ІІ лише І лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ лише І і ІІІ
    Відповідь
    Д.
  7. У трикутнику АВС: АВ=31 см, ВС=15 см, АС=26 см. Пряма а, паралельна стороні АВ, перетинає сторони ВС і АС у точках М і N відповідно. Обчисліть периметр трикутника MNC, якщо МС=5 см.
    АБВГД
    15 см 24 см 48 см 21 см 26 см
    Відповідь
    Б. Застосувати подібність трикутників.
  8. Сторони трикутника, одна з яких на 8 см більша за другу, утворюють кут 120o, а довжина третьої сторони дорівнює 28 см. Знайдіть периметр трикутника.
    АБВГД
    84 см 72 см 64 см 60 см 56 см
    Відповідь
    Г. Застосувати теорему косинусів.
  9. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а висота, опущена на неї, — 8 см. Знайдіть довжину основи трикутника.
    АБВГД
    6 см 4 см 12 см 4 см 16 см
    Відповідь
    Г. Застосувати теорему Піфагора.
  10. На рисунку зображено паралельні прямі a i b та січну CD. Знайдіть відстань між прямими a i b, якщо СК=5 см, KD=2 см, а відстань від точки К до прямої а дорівнює 1 см.

    АБВГД
    2,5 см 3 см 3,5 см 4 см 4,5 см
    Відповідь
    В. Застосувати подібність трикутників.
  11. На рисунку зображено рівнобедрений трикутник АВС (АВ=ВС). Визначте градусну міру кута ВАС, якщо ∠В=40o.

    АБВГД
    80o 70o 60o 50o 40o
    Відповідь
    Б.
  12. У трикутнику АВС: ∠А=65o, BD – бісектриса кута В (див. рисунок). Знайдіть градусну мірку кута ВСА, якщо ∠AВD=35o.

    АБВГД
    35o 45o 50o 55o 80o
    Відповідь
    Б.
  13. У трикутнику АВС: ∠А=59o, ∠В=62o. Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці О. Визначте величину кута АОВ.

    АБВГД
    98o 121o 144o 149o 154o
    Відповідь
    Б.
  14. Рівносторонній трикутник АВС та пряма КМ, що проходить через точку В, лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута КВА, якщо ∠СВМ=85o.

    АБВГД
    45o 35o 30o 25o 15o
    Відповідь
    Б.
  15. Прямі m і n паралельні. Обчисліть величину кута х, зображеного на рисунку.

    АБВГД
    40o 45o 50o 80o 140o
    Відповідь
    А.
  16. На рисунку зображено прямокутний трикутник з катетами a і b, гіпотенузою с та гострим кутом α. Укажіть правильну рівність.

    АБВГД
    cosα= cosα= cosα= cosα= cosα=
    Відповідь
    Д.
  17. У гострокутному трикутнику АВС проведено висоту ВМ. Визначте довжину сторони АВ, якщо ВМ=12, ∠А=α.
    АБВГД
    12cosα 12tgα 12sinα
    Відповідь
    Д.
  18. У трикутнику АВС задано АС=2 см, ∠А=50o, ∠В=70o (див. рисунок). Визначте ВС (у см) за теоремою синусів.

    АБВГД
    ВС= ВС= ВС= ВС= ВС=
    Відповідь
    Д. Застосувати теорему синусів.
  19. У трикутнику АВС: АВ=6 см, ВС=см, ∠В=45o. Обчисліть довжину медіани, проведеної з вершини С.
    АБВГД
    см см см см см
    Відповідь
    А.Застосувати теорему косинусів.
  20. Доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: “Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює...”.
    АБВГД
    гіпотенузі квадрату суми катетів квадрату гіпотенузи добутку катетів подвійному добутку катетів
    Відповідь
    В.
  21. Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на
    2 Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30o , зображено на
    3 Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на    		 А рис. 1.
    Б рис. 2.
    В рис. 3.
    Г рис. 4.
    Д рис. 5.
    Відповідь
    1-А, 2-В, 3-Д.
  22. У трикутнику АВС: АВ=с, ВС=а, АС=b.До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Якщо а=b=c
    2 Якщо c2=a2+b2
    3 Якщо a=c=
    4 Якщо c2=a2+b2-2ab(-)    		 А то ∠С=30o
    Б то ∠С=45o
    В то ∠С=60o
    Г то ∠С=90o
    Д то ∠С=120o
    Відповідь
    1-В, 2-Г, 3-Б, 4-Д.
  23. Рівносторонній трикутник АВС та рівнобедрений трикутник АСD, у якому АС=DC і ∠AСD=40o, лежать в одній площині (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1-4) та його градусною мірою (А-Д).

    Кут Градусна міра
    1 ∠ABC
    2 ∠ADC
    3 кут між прямими АВ і AD
    4 кут між бісектрисами кутів ВАС і CAD    		 А 45o
    Б 50o
    В 60o
    Г 65o
    Д 70o
    Відповідь
    1-В, 2-Д, 3-Б, 4-Г.
  24. На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять трикутників. Установіть відповідність між запитаннями (1-4) та правильною відповіддю на нього (А-Д).

    Запитання Відповідь
    1 На якому рисунку зображено трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються?
    2 На якому рисунку зображено трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30o
    3 На якому рисунку зображено трикутник, площа якого дорівнює 10см2?
    4 На якому рисунку зображено трикутник, у якого діаметр описаного навколо нього кола дорівнює 10см?    		 А Рис. 1.
    Б Рис. 2.
    В Рис. 3.
    Г Рис. 4.
    Д Рис. 5.
    Відповідь
    1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.
  25. У прямокутний трикутник АВС вписано коло, яке дотикається катетів АС та ВС у точках К і М відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС (у см), якщо АК=4,5 см, МВ=6 см.
    Відповідь
    5,25.

    Провести радіуси в точки дотику, з'єднати центр кола з вершинами і розглянути отримані трикутники.

  26. Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга — 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що знаходиться між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах).
    Відповідь
    18.
  27. На сторонах АВ та АС трикутника АВС задано точки К і М відповідно, КМ||BC (див. рисунок). Визначте довжину відрізка КМ, якщо АК=6 см, КВ=2 см, ВС=10 см.

    Відповідь
    7,5.
    Застосувати подібність трикутників.
  28. На рисунку зображено траєкторію руху автомобіля з пункту А до пункту В, що складається з трьох прямолінійних ділянок АК, КМ та МВ. Визначте відстань d між пунктами А та В, якщо АК=60 км, КМ=120 км, МВ=100 км (вважайте, що зображені на рисунку відрізки лежать в одній площині).

    Відповідь
    200. Виконати паралельне перенесення КМ на вектор КА.
  29. У прямокутному трикутнику АВС (∠С=90o) відстані від середини медіани ВМ до катетів АС і ВС дорівнюють 5 см і 6 см відповідно.
    1. Визначте довжину катета АС (у см).
    2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника АВС.
    Відповідь
    24; 13.
⇐V.1.
Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості		 До змісту ⇒V.3.
Паралелограм та його властивості

5 коментарів: