Паралелограм та його властивості

Властивості чотирикутника

• Сума кутів чотирикутника 360^o
• Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, то в нього сума протилежних кутів дорівнює 180^o
• Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні
Паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні
Властивості паралелограма

• Протилежні сторони паралелограма рівні
• Протилежні кути паралелограма рівні
• Сума сусідніх кутів паралелограма 180^o
• Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
1. 2021. Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280^о. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.

   А	Б	В	Г	Д
   100о	80о	140о	40о	120о

   Відповідь

   А.
   Сума чотирьох кутів паралелограма дорівнює 360^о. Тому четвертий кут паралелограма дорівнює 360^о-280^о=80^о. Сума сусідніх кутів паралелограма 180^о. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180^о-80^о=100^о. Більший з отриманих кутів 100^о.
2. 2021. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.
   ІІ. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.
   ІІІ. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.

   А	Б	В	Г	Д
   лише ІІ	лише І і ІІІ	І, ІІ, ІІІ	лише І і ІІ	лише ІІ і ІІІ

   Відповідь

   Д.
   1. Діагоналі паралелограма рівні лише, якщо це прямокутник (квадрат). Хибне твердження.
   2. Протилежні кути паралелограма завжди рівні. Правильне твердження.
   3. Так. Дані відстані є висотами трикутників, які утворені діагоналями та протилежними сторонами. Ці трикутники у паралелограма рівні, відповідно рівні і відстані.
3. Яке з наведених тверджень є хибним?
   А протилежні сторони паралелограма рівні
   Б сума двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 180⁰
   В діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл
   Г площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними
   Д площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони
   
   Відповідь

   Д.
   Площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
4. На рисунку зображено паралелограм АВСD. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. ∠АВС+∠BCD=180^o.
   ІІ. АВ=CD.
   III. AC⊥BD.

   

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише ІІ і ІІІ	лише І і ІІ	лише І і ІІІ	лише ІІ

   Відповідь

   В.
   І. Сума двох суміжних кутів паралелограма дійсно дорівнює 180^o. Правильно.
   ІІ. Протилежні сторони паралелограма дійсно рівні. Правильно.
   ІІІ. Діагоналі паралелограма в загальному випадку не перпендикулярні. Не є правильним.
5. Довжина сторони АВ паралелограма АВСD дорівнює 10 см, а його периметр — 60 см. Визначте довжину сторони ВС.

   А	Б	В	Г	Д
   50 см	40 см	25 см	20 см	6 см

   Відповідь

   Г.
   Нехай довжина сторони ВС дорівнює х. Тоді, враховуючи, що протилежні сторони паралелограма рівні, а периметр - це сума всіх сторін, маємо Р=10+х+10+х=20+2х. Підставимо значення периметру і маємо рівняння 20+2х=60, звідки 2х=40 і х=20 см.
6. Бісектриса гострого кута А паралелограма АВСD ділить сторону ВС на відрізки ВМ=3 см і МС=5 см (див. рисунок). Знайдіть периметр паралелограма ABCD.

   

   А	Б	В	Г	Д
   18 см	20 см	22 см	24 см	26 см

   Відповідь

   В.

   

   Оскільки АМ - бісектриса, то ∠BAM=∠DAM. Так як кути ВМА і DAM внутрішні різносторонні, то вони рівні. Таким чином маємо, що ∠BAM=∠DAM=∠ВМА. Тоді трикутник АВМ є рівнобедреним і АВ=МВ=3 см. Так як периметр - це сума всіх сторін, маємо Р=3+8+3+8=22 см.
7. У паралелограмі АВСD на стороні АD вибрано точку К. Діагональ АС і відрізок ВK перетинаються в точці О. Визначте довжину сторони ВС, якщо АК=12 см, ОК=2 см, ОВ=3 см.

   А	Б	В	Г	Д
   24 см	18 см	16 см	15 см	8 см

   Відповідь

   Б.

   

   Відрізок ВК є січною для паралельних прямих АК та ВС. Тоді кути АКО та СВО рівні як внутрішні різносторонні. Кути АОК та СОВ рівні як вертикальні. Тоді трикутники АОК та СОВ подібні. З подібності трикутників слідує рівність відношень відповідних сторін. Маємо ВС:АК=ВО:ОК. Підставимо відомі значення. Маємо ВС:12=3:2. Звідси ВС=12⋅3:2=18 см.
8. На рисунку зображено паралелограм ABCD. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. ∠A+∠B+∠C+∠D=360⁰
   ІІ. ∠B+∠D=180⁰
   ІІІ. ∠B-∠A>0⁰

   

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише І і ІІ	лише ІІ	лише І і ІІІ	І, ІІ і ІІІ

   Відповідь

   Г.
   Так як протилежні кути паралелограма рівні, то ІІ не є правильним
• Сума внутрішніх кутів n-кутника дорівнює 180^o⋅(n-2)
• Внутрішній кут правильного n-кутника дорівнює 180^o⋅(n-2):n
• Центральний кут правильного n-кутника дорівнює 360^o:n
9. Прямі, що містять сторони правильного п’ятикутника ABCDF, перетинаються у точках K, L, M, N, P. Знайдіть градусну мірку кута АКВ.

   

   А	Б	В	Г	Д
   18о	26о	30о	36о	60о

   Відповідь

   Г.
   Сума внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 180^о⋅(5-2)=180^о⋅3=540^о. Оскільки п'ятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому ∠FAB=∠ABC=540^о:5=108^о. Кути KAB і FAB суміжні, тому їх сума дорівнює 180^о. Тоді ∠KAB=180^о-∠FAB=180^о-108^о=72^о. Аналогічно, ∠KBA=72^о. Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180^о, то в трикутнику КАВ ∠AKB=180^о-∠KAB-∠KBA=180^о-72^о-72^о=36^о.
10. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута правильного десятикутника.

    А	Б	В	Г	Д
    18о	36о	72о	144о	162о

    Відповідь

    Г.
    Сума внутрішніх кутів десятикутника дорівнює 180^о⋅(10-2)=180^о⋅8=1440^о. Оскільки десятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому його внутрішній кут дорівнює 1440^о:10=144^о.
11. 2020. У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута В проведено висоти ВК та ВМ (див. рисунок). ВК=16 см, АК=12 см, ВМ=24 см.

    

    1. Визначте довжину сторони AB (у см).
    2. Обчисліть площу паралелограма АBСD (у см²).
    Відповідь

    20; 480.
    1. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора АВ²=АК²+ВК²=12²+16²=144+256=400. Тоді АВ=20 см.
    2. В паралелограма протилежні сторони рівні, тому CD=АВ=20 см. Площа паралелограма S=ah=CD⋅BM=20⋅24=480 см².
12. З вершини тупого кута В паралелограма ABCD опущено перпендикуляр ВО на сторону AD. Коло з центром у точці А проходить через вершину В та перетинає сторону AD в точці К. Відомо, що АК=6 см, KD=4 см, АО=5 см.
    1. Визначте периметр паралелограма ABCD (у см).
    2. Обчисліть довжину діагоналі BD (у см).
    Відповідь

    32; 6.

    

    1. AD=AK+KD=6+4=10 см. Так як АВ і АК - радіуси кола, то вони рівні і АВ=АК=6 см. Периметр паралелограма Р=2(АВ+АD)=2(10+6)=32 см.
    2. В прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора OB²=AB²-AO²=6²-5²=36-25=11. Так як АК=6 см, а АО=5 см, то ОК=АК-АО=6-5=1 см. OD=OK+KD=1+4=5 см. В прямокутному трикутнику OBD за теоремою Піфагора BD²=BO²+OD²=11+5²=11+25=36. Звідси BD=6 см.
13. Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює 150^o. Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.
    Відповідь

    105.
    Оскільки сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180^o, то дано суму протилежних кутів. Так як у паралелограма протилежні кути рівні, то маємо один з суміжних кутів паралелограма 150^o:2=75^o. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180^o-75^o=105^o.
14. Діагональ АС та висота ВР паралелограма ABCD перетинаються в точці К (див. рисунок). Відомо, що АВ=12, ∠BAD=60^o, ВК:КР=4:1.
    1. Визначте довжину відрізка АР.
    2. Обчисліть периметр паралелограма ABCD.

    

    Відповідь

    6; 72.

    

    1. З прямокутного трикутника АВР AP=ABcosA=12⋅cos60^o=12⋅0,5=6.
    2. Нехай коефіцієнт пропорційності відрізків дорівнює х. Тоді ВК=4х, РК=х. Так як маємо паралельні прямі АР та ВС і січну АС, то кути РАК та ВСК рівні (як внутрішні різносторонні), кути АРК та ВРК рівні (90^o). Тоді трикутники АРК та СВК подібні і для подібних трикутників маємо АР:СВ=РК:ВК. Підставимо відомі значення і отримаємо 6:СВ=х:4х. Звідси СВ=6⋅4x:x=24. Периметр паралелограма Р=2(АВ+ВС)=2(12+24)=72.

⇐V.2. Трикутники та їх властивості

До змісту

⇒V.4. Прямокутник та його властивості