Перейти до основного вмісту

Многокутники. Паралелограм та його властивості

Многокутники та паралелограми — це основа планіметрії, яка вимагає глибокого розуміння властивостей паралельних прямих та рівності трикутників. Вміння розпізнавати паралелограм за його ознаками та знання особливостей його діагоналей, кутів і висот є критично важливим для успішного складання НМТ. Особливе місце в цій темі займають правильні многокутники, де симетрія та чіткі формули дозволяють швидко знаходити внутрішні та центральні кути.

На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО, що охоплюють широкий спектр тем: від периметрів і бісектрис до подібності трикутників всередині паралелограма. Ви дізнаєтеся, як працюють властивості вписаних і описаних чотирикутників, та навчитеся застосовувати теорему Піфагора в комбінованих задачах. Тут зібрано все: від базової теорії до складних багатокрокових обчислень.

    Властивості чотирикутника
    • Сума кутів чотирикутника 360o
    • Якщо навколо чотирикутника можна описати коло, то в нього сума протилежних кутів дорівнює 180o
    • Якщо в чотирикутник можна вписати коло, то в нього суми протилежних сторін рівні

    Паралелограм - чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні
    Властивості паралелограма
    • Протилежні сторони паралелограма рівні
    • Протилежні кути паралелограма рівні
    • Сума сусідніх кутів паралелограма 180o
    • Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину поділяються навпіл
  1. НМТ 2024. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Існує паралелограм, діагональ якого дорівнює сумі двох його сусідніх сторін.
    ІІ. Існує паралелограм, один із кутів якого вдвічі більший за інший кут.
    ІІІ. Існує паралелограм, діагоналі якого перпендикулярні.
    АБВГД
    лише ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    В.
    І. Діагональ паралелограма завжди менше суми двох сусідніх сторін. Не є правильним.
    ІІ. Так це паралелограм, сусідні кути якого 60о і 120о.
    ІІІ. Так, у ромба, який є паралелограмом з рівними сторонами, діагональ перпендикулярні.
  2. Сума трьох кутів паралелограма дорівнює 280о. Визначте градусну міру більшого кута цього паралелограма.
    АБВГД
    100о 80о 140о 40о 120о
    Показати відповідь
    А.
    Сума чотирьох кутів паралелограма дорівнює 360о. Тому четвертий кут паралелограма дорівнює 360о-280о=80о. Сума сусідніх кутів паралелограма 180о. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180о-80о=100о. Більший з отриманих кутів 100о.
  3. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Діагоналі будь-якого паралелограма рівні.
    ІІ. Протилежні кути будь-якого паралелограма рівні.
    ІІІ. Відстані від точки перетину діагоналей будь-якого паралелограма до його протилежних сторін рівні.
    АБВГД
    лише ІІ лише І і ІІІ І, ІІ, ІІІ лише І і ІІ лише ІІ і ІІІ
    Показати відповідь
    Д.
    1. Діагоналі паралелограма рівні лише, якщо це прямокутник (квадрат). Хибне твердження.
    2. Протилежні кути паралелограма завжди рівні. Правильне твердження.
    3. Так. Дані відстані є висотами трикутників, які утворені діагоналями та протилежними сторонами. Ці трикутники у паралелограма рівні, відповідно рівні і відстані.
  4. Яке з наведених тверджень є хибним?
    А протилежні сторони паралелограма рівні
    Б сума двох кутів паралелограма, прилеглих до однієї сторони, дорівнює 1800
    В діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл
    Г площа паралелограма дорівнює добутку двох його сусідніх сторін на синус кута між ними
    Д площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони
    Показати відповідь
    Д.
    Площа паралелограма дорівнює половині добутку його сторони на висоту, проведену до цієї сторони.
  5. На рисунку зображено паралелограм АВСD. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠АВС+∠BCD=180o.
    ІІ. АВ=CD.
    III. AC⊥BD.

    АБВГД
    лише І лише ІІ і ІІІ лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІ
    Показати відповідь
    В.
    І. Сума двох суміжних кутів паралелограма дійсно дорівнює 180o. Правильно.
    ІІ. Протилежні сторони паралелограма дійсно рівні. Правильно.
    ІІІ. Діагоналі паралелограма в загальному випадку не перпендикулярні. Не є правильним.
  6. Довжина сторони АВ паралелограма АВСD дорівнює 10 см, а його периметр — 60 см. Визначте довжину сторони ВС.
    АБВГД
    50 см 40 см 25 см 20 см 6 см
    Показати відповідь
    Г.
    Нехай довжина сторони ВС дорівнює х. Тоді, враховуючи, що протилежні сторони паралелограма рівні, а периметр - це сума всіх сторін, маємо Р=10+х+10+х=20+2х. Підставимо значення периметру і маємо рівняння 20+2х=60, звідки 2х=40 і х=20 см.
  7. Бісектриса гострого кута А паралелограма АВСD ділить сторону ВС на відрізки ВМ=3 см і МС=5 см (див. рисунок). Знайдіть периметр паралелограма ABCD.

    АБВГД
    18 см 20 см 22 см 24 см 26 см
    Показати відповідь
    В.

    Оскільки АМ - бісектриса, то ∠BAM=∠DAM. Так як кути ВМА і DAM внутрішні різносторонні, то вони рівні. Таким чином маємо, що ∠BAM=∠DAM=∠ВМА. Тоді трикутник АВМ є рівнобедреним і АВ=МВ=3 см. Так як периметр - це сума всіх сторін, маємо Р=3+8+3+8=22 см.
  8. У паралелограмі АВСD на стороні АD вибрано точку К. Діагональ АС і відрізок ВK перетинаються в точці О. Визначте довжину сторони ВС, якщо АК=12 см, ОК=2 см, ОВ=3 см.
    АБВГД
    24 см 18 см 16 см 15 см 8 см
    Показати відповідь
    Б.

    Відрізок ВК є січною для паралельних прямих АК та ВС. Тоді кути АКО та СВО рівні як внутрішні різносторонні. Кути АОК та СОВ рівні як вертикальні. Тоді трикутники АОК та СОВ подібні. З подібності трикутників слідує рівність відношень відповідних сторін. Маємо ВС:АК=ВО:ОК. Підставимо відомі значення. Маємо ВС:12=3:2. Звідси ВС=12⋅3:2=18 см.
  9. На рисунку зображено паралелограм ABCD. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠A+∠B+∠C+∠D=3600
    ІІ. ∠B+∠D=1800
    ІІІ. ∠B-∠A>00

    АБВГД
    лише І лише І і ІІ лише ІІ лише І і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Показати відповідь
    Г.
    Так як протилежні кути паралелограма рівні, то ІІ не є правильним
    • Сума внутрішніх кутів n-кутника дорівнює 180o⋅(n-2)
    • Внутрішній кут правильного n-кутника дорівнює 180o⋅(n-2):n
    • Центральний кут правильного n-кутника дорівнює 360o:n
  10. Прямі, що містять сторони правильного п’ятикутника ABCDF, перетинаються у точках K, L, M, N, P. Знайдіть градусну міру кута АКВ.

    АБВГД
    18о 26о 30о 36о 60о
    Показати відповідь
    Г.
    Сума внутрішніх кутів п'ятикутника дорівнює 180о⋅(5-2)=180о⋅3=540о. Оскільки п'ятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому ∠FAB=∠ABC=540о:5=108о. Кути KAB і FAB суміжні, тому їх сума дорівнює 180о. Тоді ∠KAB=180о-∠FAB=180о-108о=72о. Аналогічно, ∠KBA=72о. Так як сума кутів в трикутнику дорівнює 180о, то в трикутнику КАВ ∠AKB=180о-∠KAB-∠KBA=180о-72о-72о=36о.
  11. Знайдіть градусну міру внутрішнього кута правильного десятикутника.
    АБВГД
    18о 36о 72о 144о 162о
    Показати відповідь
    Г.
    Сума внутрішніх кутів десятикутника дорівнює 180о⋅(10-2)=180о⋅8=1440о. Оскільки десятикутник правильний, то в нього всі кути рівні, тому його внутрішній кут дорівнює 1440о:10=144о.
  12. 2020. У паралелограмі ABCD з вершини тупого кута В проведено висоти ВК та ВМ (див. рисунок). ВК=16 см, АК=12 см, ВМ=24 см.

    1. Визначте довжину сторони AB (у см).
    2. Обчисліть площу паралелограма АBСD (у см2).
    Показати відповідь
    20; 480.
    1. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора АВ2=АК2+ВК2=122+162=144+256=400. Тоді АВ=20 см.
    2. В паралелограма протилежні сторони рівні, тому CD=АВ=20 см. Площа паралелограма S=ah=CD⋅BM=20⋅24=480 см2.
  13. З вершини тупого кута В паралелограма ABCD опущено перпендикуляр ВО на сторону AD. Коло з центром у точці А проходить через вершину В та перетинає сторону AD в точці К. Відомо, що АК=6 см, KD=4 см, АО=5 см.
    1. Визначте периметр паралелограма ABCD (у см).
    2. Обчисліть довжину діагоналі BD (у см).
    Показати відповідь
    32; 6.

    1. AD=AK+KD=6+4=10 см. Так як АВ і АК - радіуси кола, то вони рівні і АВ=АК=6 см. Периметр паралелограма Р=2(АВ+АD)=2(10+6)=32 см.
    2. В прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора OB2=AB2-AO2=62-52=36-25=11. Так як АК=6 см, а АО=5 см, то ОК=АК-АО=6-5=1 см. OD=OK+KD=1+4=5 см. В прямокутному трикутнику OBD за теоремою Піфагора BD2=BO2+OD2=11+52=11+25=36. Звідси BD=6 см.
  14. Сума градусних мір двох кутів паралелограма дорівнює 150o. Знайдіть градусну міру більшого кута паралелограма.
    Показати відповідь
    105
    Оскільки сума двох сусідніх кутів паралелограма дорівнює 180o, то дано суму протилежних кутів. Так як у паралелограма протилежні кути рівні, то маємо один з суміжних кутів паралелограма 150o:2=75o. Тоді другий кут паралелограма дорівнює 180o-75o=105o.
  15. Діагональ АС та висота ВР паралелограма ABCD перетинаються в точці К (див. рисунок). Відомо, що АВ=12, ∠BAD=60o, ВК:КР=4:1.
    1. Визначте довжину відрізка АР.
    2. Обчисліть периметр паралелограма ABCD.

    Показати відповідь
    6; 72.

    1. З прямокутного трикутника АВР AP=ABcosA=12⋅cos60o=12⋅0,5=6.
    2. Нехай коефіцієнт пропорційності відрізків дорівнює х. Тоді ВК=4х, РК=х. Так як маємо паралельні прямі АР та ВС і січну АС, то кути РАК та ВСК рівні (як внутрішні різносторонні), кути АРК та ВРК рівні (90o). Тоді трикутники АРК та СВК подібні і для подібних трикутників маємо АР:СВ=РК:ВК. Підставимо відомі значення і отримаємо 6:СВ=х:4х. Звідси СВ=6⋅4x:x=24. Периметр паралелограма Р=2(АВ+ВС)=2(12+24)=72.
⇐V.2.
Трикутники та їх властивості		 До змісту ⇒V.4.
Прямокутник та його властивості

Коментарі

Анонім каже…
Велике дякую за Вашу роботу!
17 травня 2021 р. о 17:32
Анонім каже…
Так, дякую !
24 липня 2022 р. о 19:14
Дописати коментар

Популярні публікації

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Вибіркові характеристики рядів даних

Вибіркові характеристики рядів даних — це інструменти статистики, які дозволяють стисло описати великі масиви інформації та зробити правильні висновки. Вміння швидко знаходити моду, медіану, розмах та середнє арифметичне є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише навички обчислення, а й здатність аналізувати реальні дані. Розуміння того, чим відрізняється медіана від середнього значення, допомагає уникати типових помилок при роботі з нерівномірними розподілами. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Ви навчитеся працювати з різними формами подання даних: від кругових та стовпчастих діаграм до полігонів частот і складних графіків залежностей. Тут зібрано все необхідне для підготовки: чіткі алгоритми ранжування рядів, формули для середньозважених значень та методи порівняння статистичних показників у динаміці. Розмах - різниця між найбільшим значенням ряду і найменшим Мода - значення, яке найбіл...
7 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті. На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО , включаючи найсвіжіші демонстраційні варіанти. Ви навчитеся працювати з центрами вписаних і описаних кіл, використовувати властивості середньої лінії та знаходити невідомі елементи фігур через тригонометричні функції. Тут зібрано все: від ознак подібності до складних комбінованих задач на периметри та площі. Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c...
5 коментарів
Read more »

Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

Найпростіші фігури на площині — це алфавіт геометрії, без знання якого неможливо зрозуміти складніші теми. Вміння правильно оперувати поняттями відрізка, променя та кута є критично важливим для успішного виконання завдань НМТ. Розуміння того, як працюють властивості суміжних та вертикальних кутів, а також як поводяться кути при перетині паралельних прямих січною, дозволяє миттєво знаходити рішення в задачах, що здаються заплутаними. На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ та ЗНО , зокрема найактуальніші приклади. Ви навчитеся розв’язувати прикладні задачі на орієнтування на місцевості, визначати градусні міри кутів у складних комбінаціях прямих та аналізувати логічні твердження, які часто зустрічаються в екзаменаційних тестах. Це повний практичний посібник: від аксіом вимірювання відрізків до ознак паралельності прямих. Якщо три точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А та С, то АС=АВ+ВС НМТ 2024. Відомо, що вісь AO Пізанської вежі нат...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар