Логарифмічні вирази

Дії з логарифмами
Якщо log_ab = c, то b = a^c
log_aa = 1
log_a1 = 0
log_ab+log_ac = log_abc
log_ab-log_ac = log_a $\frac{b}{c}$
n⋅log_ab = log_abⁿ
$\frac{1}{k}$ log_ab = log_a^kb
a^log_aN = N

НМТ 2024. 2log₆3 + log₆4=

А Б В Г Д

log₆10 log₆24 log₆13 2 6

Показати відповідь
Г
НМТ 2024. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу log_0,2125.

А Б В Г Д

(–∞; –3) [–3; 0) [0; 3) [3; 25) [25; +∞)

Показати відповідь
Б. Звести числа до степенів з основою 5.
НМТ 2023. До початку речення (1-3) доберіть закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження, якщо n - натуральне число.

Початок речення Закінчення речення

1 Якщо $\frac{n}{a}=3$ , то
2 Якщо 1+log₃n=log₃a, то
3 Якщо 3ⁿ ⋅3=3^a, то А a=3n
Б a=n+1
В a=n+3
Г $a=\frac{3}{n}$
Д $a=\frac{n}{3}$

Показати відповідь
1-Д, 2-А, 3-Б.

Обчисліть log₈16.

А Б В Г Д

$\frac{1}{2}$ $\frac{4}{3}$ 1 8 12

Показати відповідь
Б.
log₈16 = $\log_{2^3}{2^4}$ = $\frac{4}{3}$ log₂2 = $\frac{4}{3}$ .
log₂5+log₂1,6 =

А Б В Г Д

3 3,3 0,25 4 log₂6,6

Показати відповідь
А.
log₂5+log₂1,6 = log₂(5⋅1,6) = log₂8 = 3.

Обчисліть значення виразу log₅49+2log₅ $\frac{5}{7}$ .

А Б В Г Д

0 1 2 4 25

Показати відповідь
В.
log₅49+2log₅ $\frac{5}{7}$ = log₅49+log₅ $\frac{5^2}{7^2}$ = log₅49+log₅ $\frac{25}{49}$ = log₅(49⋅ $\frac{25}{49}$ ) = log₅25 = 2.
Обчисліть значення виразу log₃45+log₃900-log₃500.

А Б В Г Д

$\frac{1}{4}$ 4 3 27 log₃445

Показати відповідь
Б.
log₃45+log₃900-log₃500 = $\log_3\frac{45\cdot900}{500} = \log_3\frac{45\cdot9}{5} = \log_3\frac{9\cdot9}{1}$ = log₃81 = 4.
$\frac{\lg25}{\lg5} = ?$

А Б В Г Д

lg5 5 lg20 2 0,5

Показати відповідь
Г.
$\frac{\lg25}{\lg5}$ = log₅25 = 2.
Обчисліть $36^{\log_65}$ .

А Б В Г Д

5 6 10 25 36

Показати відповідь
Г.
$36^{\log_65} = (6^2)^{\log_65}$ = $6^{2\log_65} = 6^{\log_65^2} = 6^{\log_625}$ = 25.
Якщо log₄3 = a, то log₁₆9 = ?

А Б В Г Д

4a а² 2a $\frac{a}{2}$ a

Показати відповідь
Д.
log₁₆9 = $\log_{4^2}{3^2} = \frac{2}{2}$ log₄3 = a.
Обчисліть $\log_a\sqrt{ab}$ , якщо log_ab = 7.

А Б В Г Д

$\frac{2}{3}$ 2 3 $\frac{7}{2}$ 4

Показати відповідь
Д.
$\log_a\sqrt{ab} = \log_a{(ab)}^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{2}$ log_a(ab) = $\frac{1}{2}$ (log_aa+log_ab) = $\frac{1}{2}$ (1+7) = 4.
Укажіть проміжок, якому належить число log₅4.

А Б В Г Д

(0;1) (1;2) (2;3) (3;4) (4;5)

Показати відповідь
А.
Оскільки 1<4<5 і основа логарифма більше за 1, то log₅1<log₅4<log₅5. Звідси 0<log₅4<1.
Укажіть проміжок, якому належить число log₂9.

А Б В Г Д

(0;1) (1;2) (2;3) (3;4) (4;5)

Показати відповідь
Г.
Оскільки 8<9<16 і основа логарифма більше за 1, то log₂8<log₂9<log₂16. Звідси 3<log₂9<4.
2019. Якому з наведених проміжків належить число $log_2\frac{1}{3}$

А Б В Г Д

(-∞;-3) (-3;-1) (-1;1) (1;3) (3;+∞)

Показати відповідь
Б.
Оскільки $\frac{1}{8}$ < $\frac{1}{3}$ < $\frac{1}{2}$ і основа логарифма більше за 1, то log₂ $\frac{1}{8}$ <log₂ $\frac{1}{3}$ <log₂ $\frac{1}{2}$ . Звідси -3< $log_2\frac{1}{3}$ <-1.
До кожного виразу (1-4) оберіть тотожно йому рівний (А-Д), якщо m>2, m - натуральне число.

Вираз Тотожно рівний вираз

1 (m+1)²-m²-1
2 mcos²α+ msin²α
3 100^lgm
4 $\log_2\sqrt[m]{2}$ А 0
Б m
В 2m
Г m²
Д $\frac{1}{m}$

Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-Г, 4-Д ..
1) (m+1)²-m²-1 = m²+2m+1-m²-1 = 2m.
2) mcos²α+ msin²α = m(cos²α+ sin²α) = m.
3) 100^lgm = 10^2lgm = 10^lgm² = m².
4) $\log_2\sqrt[m]{2} = \log_22^\frac{1}{m} = \frac{1}{m}$ .
2019. Установіть відповідність між виразом (1-4) та тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а>0,а≠1,m≠0, n≠0, m≠ -n.

Вираз Тотожно рівний вираз

1 $\frac{n^2-m^2}{n+m}$
2 $\frac{1}{n}:\frac{1}{m}$
3 $\log_{a^m}a^{n}$
4 n(6m+1)-m(6n-1) А mn
Б $\frac{m}{n}$
В $\frac{n}{m}$
Г n+m
Д n-m

Показати відповідь
1-Д, 2-Б, 3-В, 4-Г.
1) $\frac{n^2-m^2}{n+m} = \frac{(n-m)(n+m)}{n+m}$ = n-m.
2) $\frac{1}{n}:\frac{1}{m} = \frac{1}{n}\cdot\frac{m}{1} = \frac{m}{n}$
3) $\log_{a^m}a^{n} = \frac{n}{m}\log_{a}a = \frac{n}{m}$
4) n(6m+1)-m(6n-1) = 6mn+n-6mn+m = n+m.
2019. Нехай а — довільне додатне число. Установіть відповідність між виразом (1-4) та тотожно рівним йому виразом (А-Д).

Вираз Тотожно рівний вираз

1 a^-1
2 $\sqrt{(-a)^2}$
3 $5:\frac{1}{5a}$
4 25^log₅a А -a
Б $\frac{1}{a}$
В a
Г a²
Д 25a

Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-Д, 4-Г.
1) a^-1 = $\frac{1}{a}$ .
2) $\sqrt{(-a)^2}$ = |-a| = a (так як а - додатнє число, то -а є від'ємним числом і розкриваючи модуль змінюємо знак на протилежний).
3) $5:\frac{1}{5a}$ = 5⋅5a = 25a.
4) 25^log₅a = 5^2log₅a = 5^log₅a² = a².
Установіть відповідність між виразом (1-4) та тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а — довільне додатне число.

Вираз Тотожно рівний вираз

1 (3a³)²
2 $\sqrt[3]{27a^6}$
3 $\frac{27a^6}{9a^3}$
4 3^2+log₃a³ А 9a⁶
Б 9a³
В 9a⁵
Г 3a³
Д 3a²

Показати відповідь
1-А, 2-Д, 3-Г, 4-Б.
1) (3a³)² = 3²a^3⋅2 = 9a⁶.
2) $\sqrt[3]{27a^6}$ = 3a^6:3 = 3a²
3) $\frac{27a^6}{9a^3}$ = 3a^6-3 = 3a³
4) 3^2+log₃a³ = 3²⋅3^log₃a³ = 9a³.

До кожного початку речення (1-4), де а>0, b>0, доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Якщо log₂a = 2log₂b, то 2 Якщо a³ = 8b³, то 3 Якщо $\sqrt{a} = 2\sqrt{b}$ , то 4 Якщо 2^a = 4·2^b, то	А a = 2b Б a = 2+b В a = 4b Г a = b² Д a = 3b

Показати відповідь

1-Г, 2-А, 3-В, 4-Б.
1) log₂a = 2log₂b
log₂a = log₂b²
a = b².
2) a³ = 8b³
a³ = (2b)³
a = 2b
3) $\sqrt{a} = 2\sqrt{b}$
a = 4b (піднесли обидві частини рівності до квадрату)
4) 2^a = 4·2^b
2^a = 2²·2^b
2^a = 2^2+b
a = 2+b.

2021. Обчисліть 400^1-log₂₀4.
Показати відповідь
25.
400^1-log₂₀4=400¹:400^log₂₀4 = 400:20^2log₂₀4= 400:20^log₂₀16 = 400:16=25.
Обчисліть значення виразу $\frac{1}{70}\cdot2^{3\log_27}$
Показати відповідь
4,9.
$\frac{1}{70}\cdot2^{3\log_27} = \frac{1}{70}\cdot2^{\log_27^3}$ = $\frac{1}{70}\cdot7^3 = \frac{7^3}{70} = \frac{7^2}{10} = \frac{49}{10}$ = 4,9.
Обчисліть значення виразу log_a500-log_a4, якщо $\log_5a = \frac{1}{4}$
Показати відповідь
12.
log_a500-log_a4 = $\log_a\frac{500}{4}$ = log_a125 = log_a5³ = 3log_a5 = $\frac{3}{\log_5a} = \frac{3}{\frac{1}{4}}$ = 3⋅4 = 12.
Обчисліть log₂ $\frac{1}{8}$ +log₅25.
Показати відповідь
-1.
log₂ $\frac{1}{8}$ +log₅25 = -3+2 = -1.
Обчисліть log₃18-log₃2.
Показати відповідь
2.
log₃18-log₃2 = $\log_3\frac{18}{2}$ = log₃9 = 2.
Обчисліть значення виразу $\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_62}\cdot3^{\log_6\frac{1}{2}}$ .
Показати відповідь
0,5.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{\log_62}\cdot3^{\log_6\frac{1}{2}}$ = $\left(2^{-1}\right)^{\log_62}\cdot3^{\log_62^{-1}}$ = $2^{-\log_62}\cdot3^{-\log_62} = (2\cdot3)^{-\log_62}$ = $6^{-\log_62} = 6^{\log_6\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$ = 0,5.
Обчисліть log₃₂8- $3^{\frac{2}{\log_73}}$ .
Показати відповідь
-48,4.
log₃₂8- $3^{\frac{2}{\log_73}}$ = $\log_{2^5}2^3-3^{2\cdot\log_37} = \frac{3}{5}\log_22-3^{\log_37^2}$ = $\frac{3}{5}-3^{\log_349} = \frac{3}{5}$ -49 = 0,6-49 = -48,4.
Обчисліть $(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}$ .
Показати відповідь
80.
$(\sqrt{20})^{2+\log_{20}16}$ = $(\sqrt{20})^{2+\log_{20}4^2} = (\sqrt{20})^{2+2\log_{20}4}$ = $(\sqrt{20})^{2(1+\log_{20}4)} = 20^{1+\log_{20}4}$ = $20^1\cdot20^{\log_{20}4}$ = 20⋅4 = 80.
Обчисліть $\frac{1}{25}\cdot9^{\log_3\sqrt{14}+0,5}$ .
Показати відповідь
1,68.
$\frac{1}{25}\cdot9^{\log_3\sqrt{14}+0,5}$ = $\frac{1}{25}\cdot3^{2(\log_3\sqrt{14}+0,5)} = \frac{1}{25}\cdot3^{2\log_3\sqrt{14}+1}$ = $\frac{1}{25}\cdot3^{\log_3{14}+1} = \frac{1}{25}\cdot3^{\log_3{14}}\cdot3^1$ = $\frac{1}{25}\cdot14\cdot3 = \frac{42}{25}$ = 1,68.
Якщо додатні числа х і у задовольняють умову $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$ , то
1. $\frac{x+y}{y}$ =
2. log₂x-log₂y =
Показати відповідь
1,25; -2.
1. $\frac{x+y}{y} = \frac{x}{y}+\frac{y}{y} = \frac{x}{y}+1 = \frac{1}{4}$ +1 = 0,25+1 = 1,25.
2. log₂x-log₂y = $log_2{\frac{x}{y}} = log_2{\frac{1}{4}}$ = -2.

⇐ І.5.
Дії з ірраціональностями

До змісту

⇒ І.7.
Тригонометричні вирази

Коментарі

Анонім каже…

що за магія в 25 коли з кореня (14) + 05 стало 14+1?

25 травня 2023 р. о 21:55

Анонім каже…

Вираз log3(корінь14)+0,5 був у дужках, перед якими стояло 2. При розкритті дужок отримали 2log3(корінь14)+2*0,5. 2 перед логарифмом заносимо в степінь кореня, 2*0,5=1. Тому і отримуємо log3(14)+1

26 травня 2023 р. о 08:56

Шлях до математики: кроки успіху

Шукати в цьому блозі

Логарифмічні вирази

Коментарі

Популярні публікації

Дійсні числа

Арифметична прогресія

Комбінаторика

Функції за графіками

Трикутники та їх властивості

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Початок речення	Закінчення речення
1 Якщо $\frac{n}{a}=3$ , то 2 Якщо 1+log₃n=log₃a, то 3 Якщо 3ⁿ ⋅3=3^a, то	А a=3n Б a=n+1 В a=n+3 Г $a=\frac{3}{n}$ Д $a=\frac{n}{3}$

Вираз	Тотожно рівний вираз
1 (m+1)²-m²-1 2 mcos²α+ msin²α 3 100^lgm 4 $\log_2\sqrt[m]{2}$	А 0 Б m В 2m Г m² Д $\frac{1}{m}$

Вираз	Тотожно рівний вираз
1 $\frac{n^2-m^2}{n+m}$ 2 $\frac{1}{n}:\frac{1}{m}$ 3 $\log_{a^m}a^{n}$ 4 n(6m+1)-m(6n-1)	А mn Б $\frac{m}{n}$ В $\frac{n}{m}$ Г n+m Д n-m

Вираз	Тотожно рівний вираз
1 a^-1 2 $\sqrt{(-a)^2}$ 3 $5:\frac{1}{5a}$ 4 25^log₅a	А -a Б $\frac{1}{a}$ В a Г a² Д 25a

Вираз	Тотожно рівний вираз
1 (3a³)² 2 $\sqrt[3]{27a^6}$ 3 $\frac{27a^6}{9a^3}$ 4 3^2+log₃a³	А 9a⁶ Б 9a³ В 9a⁵ Г 3a³ Д 3a²

А	Б	В	Г	Д
log₆10	log₆24	log₆13	2	6

А	Б	В	Г	Д
(–∞; –3)	[–3; 0)	[0; 3)	[3; 25)	[25; +∞)

А	Б	В	Г	Д
$\frac{1}{2}$	$\frac{4}{3}$	1	8	12

А	Б	В	Г	Д
3	3,3	0,25	4	log₂6,6