Первісна та визначений інтеграл — це теми, які стабільно зустрічаються у кожному варіанті НМТ. Вони поєднують знання табличних формул, уміння працювати з правилами диференціювання «навпаки».
На цій сторінці ми зібрали актуальні завдання з демо-варіантів та реальних тестів минулих років. Ви зможете повторити основні правила, звіритися з таблицею та розібратися в складніших випадках, як-от використання формули Ньютона-Лейбніца.
Правила інтегрування
Таблиця первісних
∫baf(x)dx = F(b) - F(a), де F(x) - первісна функції f(x)
Завдання 1. Обчисліть інтеграл ∫53x² + 2x + 1x + 1dx.
- ∫C · f(x)dx = C · ∫f(x)dx
- ∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx
Таблиця первісних
- ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹n + 1 + C (при n ≠ -1)
- ∫1xdx = ln|x| + C
- ∫sinxdx = -cosx + C
- ∫cosxdx = sinx + C
- ∫1cos²xdx = tgx + C
- ∫1sin²xdx = -ctgx + C
- ∫aˣdx = aˣlna + C (при a > 0, a ≠ 1)
- ∫eˣdx = eˣ + C
∫baf(x)dx = F(b) - F(a), де F(x) - первісна функції f(x)
Показати відповідь
10.
Скористаємося формулою скороченого множення. ∫53x² + 2x + 1x + 1dx = ∫53(x + 1)²x + 1dx = ∫53(x + 1)dx = x²2 + x |53 = 5²2 + 5 - (3²2 + 3) = 252 + 5 - (92 + 3) = 12,5 + 5 - 4,5 - 3 = 10.
Завдання 2. Якщо функція F(x) = x³ + 4 є однією з первісних функції f(x), то f(x) =
Скористаємося формулою скороченого множення. ∫53x² + 2x + 1x + 1dx = ∫53(x + 1)²x + 1dx = ∫53(x + 1)dx = x²2 + x |53 = 5²2 + 5 - (3²2 + 3) = 252 + 5 - (92 + 3) = 12,5 + 5 - 4,5 - 3 = 10.
3x² + 4
3x²
3x
2x²
x⁴4 + C
Показати відповідь
Б.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). f(x) = F'(x) = (x³ + 4)' = 3x² + 0 = 3x².
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). f(x) = F'(x) = (x³ + 4)' = 3x² + 0 = 3x².
Завдання 3. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = х⁻⁴?
F(x) = -15x⁵
F(x) = -3x⁵
F(x) = -4x⁵
F(x) = -5x⁵
F(x) = -13x³
Показати відповідь
Д.
F(x) = ∫х⁻⁴dx = х⁻⁴⁺¹-4 + 1 + C = х⁻³-3 + C = -13х³ + C. При С = 0 маємо відповідь Д.
Завдання 4. Функція F(x) = 10x⁵ - 4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).
F(x) = ∫х⁻⁴dx = х⁻⁴⁺¹-4 + 1 + C = х⁻³-3 + C = -13х³ + C. При С = 0 маємо відповідь Д.
G(x) = 10x⁵ + 7
G(x) = 2x⁶ - 4x
G(x) = 50x⁶
G(x) = 50x⁴
G(x) = x⁵ - 4
Показати відповідь
А.
Оскільки F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x) = 10x⁵ + 7.
Завдання 5. Функція F(x) = 5x⁴ - 1 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).
Оскільки F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x) = 10x⁵ + 7.
G(x) = x⁵ - x
G(x) = 5x⁴ - x
G(x) = 20x³
G(x) = 5x⁴ + 1
G(x) = x⁴ - 5
Показати відповідь
Г.
Оскільки F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x) = 5x⁴ + 1.
Завдання 6. Функція F(x) = 2x³ - 1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).
Оскільки F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x) = 5x⁴ + 1.
f(x) = 6x² - 1
f(x) = 6x - 1
f(x) = 4x²
f(x) = x⁴2 - x
f(x) = 6x²
Показати відповідь
Д.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (2x³ - 1)' = 6x².
Завдання 7. Функція F(x) = 6sin(2x) - 1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (2x³ - 1)' = 6x².
f(x) = -12cos(2x)
f(x) = 6cos(2x)
f(x) = 12cos(2x)
f(x) = -3cos(2x) - x + C
f(x) = -6cos(2x) - x + C
Показати відповідь
В.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (6sin(2x) - 1)' = 6cos(2x) · (2x)' = 12cos(2x).
Завдання 8. Якщо F(x) = 2 + cosx - первісна функції f(x), то f(x) =
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (6sin(2x) - 1)' = 6cos(2x) · (2x)' = 12cos(2x).
-sinx
sinx
2x - sinx
2x + sinx
2 - sinx
Показати відповідь
А.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (2 + cosx)' = -sinx.
Завдання 9. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = 2 + sin2x?
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (2 + cosx)' = -sinx.
F(x) = 2x - cos2x2
F(x) = 2x + cos2x2
F(x) = 2x + 2cos2x
F(x) = 2cos2x
F(x) = 2x - cos2x
Показати відповідь
А.
F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2 + sin2x)dx = 2x - cos2x2 + C. Із перелічених маємо відповідь А при С = 0.
Завдання 10. Укажіть первісну F(x) для функції f(x) = 12x.
F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2 + sin2x)dx = 2x - cos2x2 + C. Із перелічених маємо відповідь А при С = 0.
F(x) = 1x²
F(x) = ½ln|x|
F(x) = -12x²
F(x) = 2ln|x|
F(x) = ln|2x|
Показати відповідь
Б.
F(x) = ∫f(x)dx = ∫12xdx = ½∫1xdx = ½ln|x| + C. Із перелічених маємо відповідь Б при С = 0.
Завдання 11. Визначте для функції f(x) = 2х + 2 первісну, графік якої проходить через точку (1;4).
F(x) = ∫f(x)dx = ∫12xdx = ½∫1xdx = ½ln|x| + C. Із перелічених маємо відповідь Б при С = 0.
F(x) = 2x² + 2х
F(x) = x² + 2х + 1
F(x) = x² + 2х + 2
F(x) = x² + 2х - 4
F(x) = 2x² + х + 1
Показати відповідь
Б.
F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2x + 2)dx = x² + 2х + C. Підставимо умову х = 1, F(x) = 4. Маємо рівняння 4 = 1 + 2 + С, звідки С = 1. Отже, F(x) = x² + 2х + 1.
Завдання 12. Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчисліть ∫216x²dx.
F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2x + 2)dx = x² + 2х + C. Підставимо умову х = 1, F(x) = 4. Маємо рівняння 4 = 1 + 2 + С, звідки С = 1. Отже, F(x) = x² + 2х + 1.
12
14
18
22
42
Показати відповідь
Б.
∫216x²dx = 6x³3 |21 = 2 · 2³ - 2 · 1³ = 2 · 8 - 2 · 1 = 16 - 2 = 14.
Завдання 13. Обчисліть інтеграл ∫20(f(x) + 6)dx, якщо ∫20f(x)dx = 8.
∫216x²dx = 6x³3 |21 = 2 · 2³ - 2 · 1³ = 2 · 8 - 2 · 1 = 16 - 2 = 14.
20
14
2
28
48
Показати відповідь
А.
∫20(f(x) + 6)dx = ∫20f(x)dx + ∫206dx = 8 + 6x |20 = 8 + 6 · 2 - 6 · 0 = 8 + 12 = 20.
Завдання 14. На рисунку зображено графік функції F(x) = x² + bx + c, яка є первісною для функції f(x). Визначте параметри b і c, знайдіть функцію f(x). У відповіді запишіть значення f(-8).
∫20(f(x) + 6)dx = ∫20f(x)dx + ∫206dx = 8 + 6x |20 = 8 + 6 · 2 - 6 · 0 = 8 + 12 = 20.
Показати відповідь
-22.
Оскільки F(0) = 0 + 0 + c = c і графік проходить через точку (0; 11), то с = 11. Вершина параболи знаходиться за формулою хв = -b2a. Оскільки за малюнком абсциса вершини параболи х = 3, то маємо рівняння -b2a = 3, звідки b = 3 · (-2a). Оскільки а = 1, то b = -6. Отже, F(x) = x² - 6x + 11. f(x) = F'(x) = (x² - 6x + 11)' = 2x - 6. f(-8) = 2(-8) - 6 = -16 - 6 = -22.
Завдання 15. Обчисліть інтеграл ∫1-2(x² - 4x)dx
Оскільки F(0) = 0 + 0 + c = c і графік проходить через точку (0; 11), то с = 11. Вершина параболи знаходиться за формулою хв = -b2a. Оскільки за малюнком абсциса вершини параболи х = 3, то маємо рівняння -b2a = 3, звідки b = 3 · (-2a). Оскільки а = 1, то b = -6. Отже, F(x) = x² - 6x + 11. f(x) = F'(x) = (x² - 6x + 11)' = 2x - 6. f(-8) = 2(-8) - 6 = -16 - 6 = -22.
Показати відповідь
9.
∫1-2(x² - 4x)dx = x³3 - 4x²2 |1-2 = x³3 - 2x² |1-2 = 1³3 - 2 · 1² - ((-2)³3 - 2 · (-2)²) = 13 - 2 - (-83 - 2 · 4) = 13 - 2 + 83 + 8 = 1 + 83 + 6 = 93 + 6 = 3 + 6 = 9.
∫1-2(x² - 4x)dx = x³3 - 4x²2 |1-2 = x³3 - 2x² |1-2 = 1³3 - 2 · 1² - ((-2)³3 - 2 · (-2)²) = 13 - 2 - (-83 - 2 · 4) = 13 - 2 + 83 + 8 = 1 + 83 + 6 = 93 + 6 = 3 + 6 = 9.
Коментарі