Первісна функції

Правила інтегрування

$\int$ C⋅f(x)dx=C⋅ $\int$ f(x)dx
$\int$ (f(x)±g(x))dx= $\int$ f(x)dx± $\int$ g(x)dx

Таблиця первісних

$\int$ xⁿdx= $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ +C
$\int\frac{1}{x}$ dx=ln|x|+C
$\int$ sinxdx=-cosx+C
$\int$ cosxdx=sinx+C
$\int\frac{1}{cos^2x}$ dx=tgx+C
$\int\frac{1}{sin^2x}$ dx= -ctgx+C
$\int$ a^xdx= $\frac{a^x}{lna}$ +C
$\int$ e^xdx=e^x+C

НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції $f(x) =\begin{cases}1,x\in (-\infty ;0],\\2,x\in (0;+\infty).\end{cases}$ Обчисліть значення виразу $\int_{-4}^{-1}f(x)dx + 2\int_{1}^{8}f(x)dx$ .

Відповідь

31. Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла.
НМТ 2024. Обчисліть інтеграл $\int_{3}^{5}\frac{x^2+2x+1}{x+1}dx$ .
Відповідь

10. Скористатись формулою скороченого множення.
НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x³+4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)=

А Б В Г Д

3x²+4 3x² 3x 2x² $\frac{x^4}{4}+C$

Відповідь

Б.

Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х^-4?

А Б В Г Д

F(x)= $-\frac{1}{5x^5}$ F(x)= $-\frac{3}{x^5}$ F(x)= $-\frac{4}{x^5}$ F(x)= $-\frac{5}{x^5}$ F(x)= $-\frac{1}{3x^3}$

Відповідь

Д.
Функція F(x)=10x⁵-4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

А Б В Г Д

G(x)= 10x⁵+7 G(x)= 2x⁶-4x G(x)=50x⁶ G(x)=50x⁴ G(x)= x⁵-4

Відповідь

А.
Якщо дві функції є первісними для однієї функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою.
Функція F(x)=5x⁴-1 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

А Б В Г Д

G(x)=x⁵-x G(x)= 5x⁴-x G(x)= 20x³ G(x)= 5x⁴+1 G(x)= x⁴-5

Відповідь

Г.
Якщо дві функції є первісними для однієї функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою.
Функція F(x)=2x³-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

А Б В Г Д

f(x)=6x²-1 f(x)= 6x-1 f(x)= 4x² f(x)= $\frac{x^4}{2}$ -x f(x)= 6x²

Відповідь

Д.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x).
Функція F(x)=6sin(2x)-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

А Б В Г Д

f(x)= -12cos(2x) f(x)= 6cos(2x) f(x)=12cos(2x) f(x)= -3cos(2x)-x+C f(x)= -6cos(2x)-x+C

Відповідь

В.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x).
Якщо F(x)=2+cosx - первісна функції f(x), то f(x)=

А Б В Г Д

-sinx sinx 2x-sinx 2x+sinx 2-sinx

Відповідь

А.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x).

Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=2+sin2x?

А Б В Г Д

F(x)=2x- $\frac{cos2x}{2}$ F(x)=2x+ $\frac{cos2x}{2}$ F(x)=2x+2cos2x F(x)=2cos2x F(x)=2x-cos2x

Відповідь

А.
Укажіть первісну F(x) для функції f(x)= $\frac{1}{2x}$

А Б В Г Д

F(x)= $\frac{1}{x^2}$ F(x)= $\frac{1}{2}$ ln|x| F(x)=- $\frac{1}{2x^2}$ F(x)=2ln|x| F(x)=ln|2x|

Відповідь

Б.
Визначте для функції f(x)=2х+2 первісну, графік якої проходить через точку (1;4).

А Б В Г Д

F(x)=2x²+2х F(x)=x²+2х+1 F(x)=x²+2х+2 F(x)=x²+2х-4 F(x)=2x²+х+1

Відповідь

Б. Знайти загальний вигляд первісних і підставити координати точки.

Формула Ньютона-Лейбніца
$\int_{a}^{b}$ f(x)dx=F(b)-F(a), де F(x) - первісна функції f(x)

Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчисліть $\int_{1}^{2}$ 6x²dx.

А Б В Г Д

12 14 18 22 42

Відповідь

Б.
Обчисліть інтеграл $\int_{0}^{2}$ (f(x)+6)dx, якщо $\int_{0}^{2}$ f(x)dx=8.

А Б В Г Д

20 14 2 28 48

Відповідь

А. Інтеграл від суми дорівнює сумі інтегралів.

Обчислення площі криволінійної трапеції
S= $\int_{a}^{b}$ (f(x)-g(x))dx, де a, b - абсциси точок перетину графіків функції f(x) та g(x), f(x) - функція, яка знаходиться вище від другої на проміжку (a;b).

На рисунку зображено графік непарної функції y=f(x), визначеної на проміжку [-5;5]. Яке з наведених співвідношень є справедливим для f(x)?

А Б В Г Д

$\int_{-3}^{0}$ f(x)dx<0 $\int_{0}^{3}$ f(x)dx>0 $\int_{-3}^{3}$ f(x)dx<0 $\int_{-3}^{3}$ f(x)dx>0 $\int_{-3}^{3}$ f(x)dx=0

Відповідь

Д.
Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком "+" (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох).
У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій y=f(x) і y=3 (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі S цієї фігури.

А Б В Г Д

S= $\int_{-1}^{3}$ (f(x)-3)dx S= $\int_{-1}^{3}$ (3-f(x))dx S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)+3)dx S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)-3)dx S= $\int_{0}^{4}$ (3-f(x))dx

Відповідь

Д.
На рисунку зображено графіки функції y=f(x) і y=g(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А Б В Г Д

S= $\int_{1}^{4}$ (f(x)-g(x))dx S= $\int_{1}^{4}$ (g(x)-f(x))dx S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)+g(x))dx S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)-g(x))dx S= $\int_{2}^{7}$ (g(x)-f(x))dx

Відповідь

Г.
На рисунку зображено графік функції y=f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А Б В Г Д

$\int_{-1}^{1}$ f(x)dx $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx- $\int_{0}^{1}$ f(x)dx $\int_{0}^{1}$ f(x)dx- $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx 2 $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx 2 $\int_{0}^{1}$ f(x)dx

Відповідь

Б.
Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком "+" (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох).
На рисунку зображено графіки функцій y= $\sqrt{x}$ та y= $\frac{x}{2}$ . Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А Б В Г Д

$\int_{0}^{2}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx $\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx $\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx $\int_{0}^{4}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx $\int_{0}^{4}(\sqrt{x}+\frac{x}{2})$ dx

Відповідь

В.
Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А Б В Г Д

$\frac{3}{2}$ $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$

Відповідь

Д.
Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А Б В Г Д

$\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$

Відповідь

В.
Визначте додатнє значення параметра а, за якого площа фігури, обмеженої лініями y= $\sqrt[3]{x}$ (див. рисунок), у=0 та х=а, дорівнює 192 кв.од.

Відповідь

64.
Обчислити площу за допомогою інтеграла і прирівняти до 192.
Обчисліть $\int_{0}^{7}$ f(x)dx, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції у=f(x).

Відповідь

38,5. $\int_{0}^{7}$ f(x)dx=s, де s- площа зафарбованої фігури.
Обчисліть $\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx$ , використовуючи рівняння кола х²+у²=25, зображеного на рисунку.

Відповідь

6,25. $\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx=\frac{1}{\pi}s$ , де s- площа чверті кола радіуса 5.
На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції f(x)=ax²+2 $\frac{b}{3}$ x+5. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), x=0, x=1, дорівнює 21 кв.од. Обчисліть суму a+b.

Відповідь

48. Знайти площу за допомогою інтеграла і прирівняти результат до 21.
Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву у=3х-х². Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю ОХ (див. рис.)? Одиниця довжини — 1 км.

Відповідь

4,5.
На рисунку зображено графік функції F(x)=x²+bx+c, яка є первісною для функції f(x). Визначте параметри b і c, знайдіть функцію f(x). У відповіді запишіть значення f(-8).

Відповідь

-22.
Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у= $\frac{22}{3}$ -(x+1)² і прямими у= $\frac{x}{3}$ , х= -1 та х=1.
Відповідь

12.
Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: у=x³ , у=8, х=0.
Відповідь

12.
Обчисліть інтеграл $\int_{-2}^{1}$ (x²-4x)dx
Відповідь

9.

⇐ІІІ.6.
Похідна функції

До змісту

⇒ІІІ.8
Дослідження функції та побудова її графіка

Коментарі

Анонім каже…

Дякую, це є корисним матеріалом!

23 січня 2020 р. о 23:36

Unknown каже…

Дуже дякую:)!

2 січня 2021 р. о 16:25

Анонім каже…

Большое спасибо!!! Очень выручили

12 квітня 2021 р. о 09:01

Анонім каже…

Вітаю) Дуже дякую за матеріал, надзвичайно корисний формат при підготовці до ЗНО - дуже зручно себе перевіряти, але було б круто, якщо ви б додали завдань із складеною функцією і пошуком первісної до неї - це допомогло б ретельніше опанувати тему й поглибити свої знання

2 грудня 2021 р. о 21:25

Unknown каже…

щиро дякую!

19 січня 2022 р. о 07:50

Анонім каже…

дуже дякую💖

4 лютого 2022 р. о 23:15

Анонім каже…

Щиро вдячна за розв'язки завдань. Це суттєва допомога нашим учням, які займаються самостійно

20 березня 2023 р. о 14:36

Анонім каже…

Дякую.

29 квітня 2024 р. о 12:34

Шлях до математики: кроки успіху

Шукати в цьому блозі

Первісна функції

Коментарі

Популярні публікації

Дійсні числа

Функції за графіками

Піраміда та її елементи

Функція

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

А	Б	В	Г	Д
F(x)= $-\frac{1}{5x^5}$	F(x)= $-\frac{3}{x^5}$	F(x)= $-\frac{4}{x^5}$	F(x)= $-\frac{5}{x^5}$	F(x)= $-\frac{1}{3x^3}$

А	Б	В	Г	Д
G(x)= 10x⁵+7	G(x)= 2x⁶-4x	G(x)=50x⁶	G(x)=50x⁴	G(x)= x⁵-4

А	Б	В	Г	Д
G(x)=x⁵-x	G(x)= 5x⁴-x	G(x)= 20x³	G(x)= 5x⁴+1	G(x)= x⁴-5

А	Б	В	Г	Д
f(x)=6x²-1	f(x)= 6x-1	f(x)= 4x²	f(x)= $\frac{x^4}{2}$ -x	f(x)= 6x²

А	Б	В	Г	Д
f(x)= -12cos(2x)	f(x)= 6cos(2x)	f(x)=12cos(2x)	f(x)= -3cos(2x)-x+C	f(x)= -6cos(2x)-x+C

А	Б	В	Г	Д
F(x)=2x- $\frac{cos2x}{2}$	F(x)=2x+ $\frac{cos2x}{2}$	F(x)=2x+2cos2x	F(x)=2cos2x	F(x)=2x-cos2x

А	Б	В	Г	Д
F(x)= $\frac{1}{x^2}$	F(x)= $\frac{1}{2}$ ln\|x\|	F(x)=- $\frac{1}{2x^2}$	F(x)=2ln\|x\|	F(x)=ln\|2x\|

А	Б	В	Г	Д
F(x)=2x²+2х	F(x)=x²+2х+1	F(x)=x²+2х+2	F(x)=x²+2х-4	F(x)=2x²+х+1

А	Б	В	Г	Д
$\int_{-3}^{0}$ f(x)dx<0	$\int_{0}^{3}$ f(x)dx>0	$\int_{-3}^{3}$ f(x)dx<0	$\int_{-3}^{3}$ f(x)dx>0	$\int_{-3}^{3}$ f(x)dx=0

А	Б	В	Г	Д
S= $\int_{-1}^{3}$ (f(x)-3)dx	S= $\int_{-1}^{3}$ (3-f(x))dx	S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)+3)dx	S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)-3)dx	S= $\int_{0}^{4}$ (3-f(x))dx

А	Б	В	Г	Д
3x²+4	3x²	3x	2x²	$\frac{x^4}{4}+C$

А	Б	В	Г	Д
-sinx	sinx	2x-sinx	2x+sinx	2-sinx

А	Б	В	Г	Д
S= $\int_{1}^{4}$ (f(x)-g(x))dx	S= $\int_{1}^{4}$ (g(x)-f(x))dx	S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)+g(x))dx	S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)-g(x))dx	S= $\int_{2}^{7}$ (g(x)-f(x))dx

А	Б	В	Г	Д
$\int_{-1}^{1}$ f(x)dx	$\int_{-1}^{0}$ f(x)dx- $\int_{0}^{1}$ f(x)dx	$\int_{0}^{1}$ f(x)dx- $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx	2 $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx	2 $\int_{0}^{1}$ f(x)dx

А	Б	В	Г	Д
$\int_{0}^{2}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx	$\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx	$\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx	$\int_{0}^{4}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx	$\int_{0}^{4}(\sqrt{x}+\frac{x}{2})$ dx

А	Б	В	Г	Д
$\frac{3}{2}$	$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$

А	Б	В	Г	Д
$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$