Шлях до математики: кроки успіху: Первісна функції

Правила інтегрування

$\int$ C⋅f(x)dx=C⋅ $\int$ f(x)dx
$\int$ (f(x)±g(x))dx= $\int$ f(x)dx± $\int$ g(x)dx

Таблиця первісних

$\int$ xⁿdx= $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ +C
$\int\frac{1}{x}$ dx=ln|x|+C
$\int$ sinxdx=-cosx+C
$\int$ cosxdx=sinx+C
$\int\frac{1}{cos^2x}$ dx=tgx+C
$\int\frac{1}{sin^2x}$ dx= -ctgx+C
$\int$ a^xdx= $\frac{a^x}{lna}$ +C
$\int$ e^xdx=e^x+C

2021. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х^-4?

А Б В Г Д

F(x)= $-\frac{1}{5x^5}$ F(x)= $-\frac{3}{x^5}$ F(x)= $-\frac{4}{x^5}$ F(x)= $-\frac{5}{x^5}$ F(x)= $-\frac{1}{3x^3}$

Відповідь

Д.
F(x)= $\int{x^{-4}}dx$ = $\frac{x^{-4+1}}{-4+1}$ +C= $-\frac{x^{-3}}{x^3}$ +C= $-\frac{1}{3x^3}$ +C. При С=0 маємо відповідь Д.
2020. Функція F(x)=10x⁵-4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

А Б В Г Д

G(x)= 10x⁵+7 G(x)= 2x⁶-4x G(x)=50x⁶ G(x)=50x⁴ G(x)= x⁵-4

Відповідь

А.
Так як F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x)= 10x⁵+7.
2020. Функція F(x)=5x⁴-1 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

А Б В Г Д

G(x)=x⁵-x G(x)= 5x⁴-x G(x)= 20x³ G(x)= 5x⁴+1 G(x)= x⁴-5

Відповідь

Г.
Так як F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x)= 5x⁴+1.
2020. Функція F(x)=2x³-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

А Б В Г Д

f(x)=6x²-1 f(x)= 6x-1 f(x)= 4x² f(x)= $\frac{x^4}{2}$ -x f(x)= 6x²

Відповідь

Д.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x). F'(x)=(2x³-1)'=6x².
Функція F(x)=6sin(2x)-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

А Б В Г Д

f(x)= -12cos(2x) f(x)= 6cos(2x) f(x)=12cos(2x) f(x)= -3cos(2x)-x+C f(x)= -6cos(2x)-x+C

Відповідь

В.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x). F'(x)=(6sin(2x)-1)'=6cos(2x)⋅(2x)'=12cos(2x).
Якщо F(x)=2+cosx - первісна функції f(x), то f(x)=

А Б В Г Д

-sinx sinx 2x-sinx 2x+sinx 2-sinx

Відповідь

А.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x). F'(x)=(2+cosx)'= -sinx.

Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=2+sin2x?

А Б В Г Д

F(x)=2x- $\frac{cos2x}{2}$ F(x)=2x+ $\frac{cos2x}{2}$ F(x)=2x+2cos2x F(x)=2cos2x F(x)=2x-cos2x

Відповідь

А.
F(x)= $\int$ f(x)dx= $\int$ (2+sin2x)dx=2x- $\frac{cos2x}{2}$ +C.Із перелічених маємо відповідь А при С=0.
Укажіть первісну F(x) для функції f(x)= $\frac{1}{2x}$

А Б В Г Д

F(x)= $\frac{1}{x^2}$ F(x)= $\frac{1}{2}$ ln|x| F(x)=- $\frac{1}{2x^2}$ F(x)=2ln|x| F(x)=ln|2x|

Відповідь

Б.
F(x)= $\int$ f(x)dx= $\int\frac{1}{2x}dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}dx$ = $\frac{1}{2}$ ln|x|+C. Із перелічених маємо відповідь Б при С=0.
Визначте для функції f(x)=2х+2 первісну, графік якої проходить через точку (1;4).

А Б В Г Д

F(x)=2x²+2х F(x)=x²+2х+1 F(x)=x²+2х+2 F(x)=x²+2х-4 F(x)=2x²+х+1

Відповідь

Б.
F(x)= $\int$ f(x)dx= $\int$ (2x+2)dx=x²+2х+C. Підставимо з умови х=1, F(x)=4. Маємо рівняння 4=1+2+С, звідки С=1. Отже, F(x)=x²+2х+1.

Формула Ньютона-Лейбніца
$\int_{a}^{b}$ f(x)dx=F(b)-F(a), де F(x) - первісна функції f(x)

Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчисліть $\int_{1}^{2}$ 6x²dx.

А Б В Г Д

12 14 18 22 42

Відповідь

Б.
$\int_{1}^{2}$ 6x²dx= $\frac{6x^3}{3}|_{1}^{2}=2x^3|_{1}^{2}$ =2(2³-1³)=2⋅(8-1)=2⋅7=14.
Обчисліть інтеграл $\int_{0}^{2}$ (f(x)+6)dx, якщо $\int_{0}^{2}$ f(x)dx=8.

А Б В Г Д

20 14 2 28 48

Відповідь

А.
$\int_{0}^{2}$ (f(x)+6)dx= $\int_{0}^{2}$ f(x)dx+ $\int_{0}^{2}$ 6dx=8+6x $|_{0}^{2}$ =8+6(2-0)=8+12=20.

Обчислення площі криволінійної трапеції
S= $\int_{a}^{b}$ (f(x)-g(x))dx, де a, b - абсциси точок перетину графіків функції f(x) та g(x), f(x) - функція, яка знаходиться вище від другої на проміжку (a;b).

2019. На рисунку зображено графік непарної функції y=f(x), визначеної на проміжку [-5;5]. Яке з наведених співвідношень є справедливим для f(x)?

А Б В Г Д

$\int_{-3}^{0}$ f(x)dx<0 $\int_{0}^{3}$ f(x)dx>0 $\int_{-3}^{3}$ f(x)dx<0 $\int_{-3}^{3}$ f(x)dx>0 $\int_{-3}^{3}$ f(x)dx=0

Відповідь

Д.
І спосіб. Для непарної функції $\int_{-a}^{a}x$ f(x)d=0.
ІІ спосіб. Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком "+" (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох). Тому перший інтеграл повинен бути більше 0, другий - менше 0. Від -3 до 3 ми маємо дві однакові (функція непарна, а, отже, симетрична відносно О) фігури, одна з яких над віссю Ох, а друга - під. Тому ми маємо два інтеграли, які мають протилежні значення і їх сума дорівнює 0.
2021. У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій y=f(x) і y=3 (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі S цієї фігури.

А Б В Г Д

S= $\int_{-1}^{3}$ (f(x)-3)dx S= $\int_{-1}^{3}$ (3-f(x))dx S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)+3)dx S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)-3)dx S= $\int_{0}^{4}$ (3-f(x))dx

Відповідь

Д.
Оскільки функції перетинаються при х=0 і х=4, то межі інтегрування від 0 до 4. Від 0 до 4 верхня функція y=3, нижня f(x), тому маємо S= $\int_{0}^{4}$ (3-f(x))dx.
2019. На рисунку зображено графіки функції y=f(x) і y=g(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А Б В Г Д

S= $\int_{1}^{4}$ (f(x)-g(x))dx S= $\int_{1}^{4}$ (g(x)-f(x))dx S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)+g(x))dx S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)-g(x))dx S= $\int_{2}^{7}$ (g(x)-f(x))dx

Відповідь

Г.
Оскільки функції перетинаються при х=2 і х=7, то межі інтегрування від 2 до 7. Від 2 до 7 верхня функція f(x), нижня g(x), тому маємо S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)-g(x))dx.
На рисунку зображено графік функції y=f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А Б В Г Д

$\int_{-1}^{1}$ f(x)dx $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx- $\int_{0}^{1}$ f(x)dx $\int_{0}^{1}$ f(x)dx- $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx 2 $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx 2 $\int_{0}^{1}$ f(x)dx

Відповідь

Б.
Оскільки від -1 до 0 функція має додатнє значення, то інтеграл беремо зі знаком "+"; так як від 0 до 1 функція має від'ємне значення, то інтеграл беремо зі знаком "-". Маємо $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx- $\int_{0}^{1}$ f(x)dx.
2019. На рисунку зображено графіки функцій y= $\sqrt{x}$ та y= $\frac{x}{2}$ . Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

А Б В Г Д

$\int_{0}^{2}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx $\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx $\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx $\int_{0}^{4}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx $\int_{0}^{4}(\sqrt{x}+\frac{x}{2})$ dx

Відповідь

В.
Оскільки фігура зафарбована від 0 до 4 по осі х і на цьому проміжку функція y= $\sqrt{x}$ знаходиться вище, то маємо формулу для обчислення площі $\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx.
Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А Б В Г Д

$\frac{3}{2}$ $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ 1 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{1}{2}$

Відповідь

Д.
S= $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}$ sinxdx=-cosx $|_{0}^{\frac{\pi}{3}}=-(cos\frac{\pi}{3}$ -cos0)= $-(\frac{1}{2}-1)=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}$ .
Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

А Б В Г Д

$\frac{1}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 1 $\sqrt{2}$ $\sqrt{3}$

Відповідь

В.
s= $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}$ 2cosxdx=2sinx $|_{0}^{\frac{\pi}{6}}=2(sin\frac{\pi}{6}$ -sin0)=2⋅ $\frac{1}{2}$ =1.
Визначте додатнє значення параметра а, за якого площа фігури, обмеженої лініями y= $\sqrt[3]{x}$ (див. рисунок), у=0 та х=а, дорівнює 192 кв.од.

Відповідь

64.
Побудуємо на малюнку ці лінії . Маємо
За малюнком маємо S= $\int_{0}^{a}\sqrt[3]{x}dx=\int_{0}^{a}(x)^\frac{1}{3}dx$ = $\frac{x^\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}|_{0}^{a}$ = $\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}|_{0}^{a}=\frac{3\sqrt[3]{a^4}}{4}$ . Оскільки за умовою ця площа дорівнює 192, то маємо рівняння
$\frac{3\sqrt[3]{a^4}}{4}$ =192
3 $\sqrt[3]{a^4}$ =192⋅4
$\sqrt[3]{a^4}=\frac{192\cdot4}{3}$
$\sqrt[3]{a^4}$ =64⋅4
$(\sqrt[3]{a})^4$ =4³⋅4
$(\sqrt[3]{a})^4$ =4⁴
$\sqrt[3]{a}$ =4
a=4³
a=64.
Обчисліть $\int_{0}^{7}$ f(x)dx, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції у=f(x).

Відповідь

38,5.
$\int_{0}^{7}$ f(x)dx=s, де s- площа зафарбованої фігури. Це трапеція з основами 3 та 8 і висотою 7. За формулою площі трапеції маємо s= $\frac{3+8}{2}$ ⋅7= $\frac{11}{2}\cdot7=\frac{77}{2}$ =38,5.
Обчисліть $\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx$ , використовуючи рівняння кола х²+у²=25, зображеного на рисунку.

Відповідь

6,25.
$\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx=\frac{1}{\pi}s$ , де s- площа зафарбованої фігури. Це четверта частина кола радіуса 5. За формулою площі кола маємо $\frac{1}{\pi}\frac{1}{4}\pi{r^2}$ = $\frac{1}{\pi}\frac{1}{4}\pi5^2=\frac{1}{4}$ ⋅25=6,25.
На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції f(x)=ax²+2 $\frac{b}{3}$ x+5. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), x=0, x=1, дорівнює 21 кв.од. Обчисліть суму a+b.

Відповідь

48.
$\int_{0}^{1}(ax^2+2\frac{b}{3}$ x+5)dx= $(\frac{ax^3}{3}+\frac{2bx^2}{3\cdot2}+5x)|_{0}^{1}$ = $(\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{3}+5x)|_{0}^{1}$ = $\frac{a}{3}+\frac{b}{3}$ +5. За умовою площа трапеції, а, відповідно, і значення інтегралу, дорівнює 21. Маємо рівняння
$\frac{a}{3}+\frac{b}{3}$ +5=21
$\frac{a+b}{3}$ +5=21
$\frac{a+b}{3}$ =21-5
$\frac{a+b}{3}$ =16
a+b=16⋅3
a+b=48.
Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву у=3х-х². Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю ОХ (див. рис.)? Одиниця довжини — 1 км.

Відповідь

4,5.
Щоб знайти точки перетину річки з шосе потрібно розв'язати рівняння 3х-х²=0. Винесемо х за дужки, маємо х(3-х)=0, звідки х=0 і х=3. s= $\int_{0}^{3}(3x-x^2)dx=(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|_{0}^{3}$ = $\frac{3\cdot3^2}{2}-\frac{3^3}{3}$ = $\frac{3\cdot9}{2}-\frac{27}{3}=\frac{27}{2}$ -9=13,5-9=4,5.
На рисунку зображено графік функції F(x)=x²+bx+c, яка є первісною для функції f(x). Визначте параметри b і c, знайдіть функцію f(x). У відповіді запишіть значення f(-8).

Відповідь

-22.
Оскільки F(0)=0+0+c=c і графік проходить через точку (0;11), то с=11. Вершина параболи знаходиться за формулою х_в= $-\frac{b}{2a}$ . Так як за малюнком абсциса вершини параболи х=3, то маємо рівняння $-\frac{b}{2a}$ =3, звідки b=3⋅(-2a). Оскільки а=1, то b= -6. Отже, F(x)=x²-6x+11. f(x)=F'(x)=(x²-6x+11)'=2x-6. f(-8)=2(-8)-6=-16-6=-22.
Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у= $\frac{22}{3}$ -(x+1)² і прямими у= $\frac{x}{3}$ , х= -1 та х=1.
Відповідь

12.
Побудуємо ці функції. Перша - парабола, гілки якої спрямовані вниз, переміщена на 1 вліво і вгору на $\frac{22}{3}$ . Пряму у= $\frac{x}{3}$ можна побудувати за 2 точками (наприклад (0;0) та (3;1)).
.
s= $\int_{-1}^{1}(\frac{22}{3}-(x+1)^2-\frac{x}{3})dx=(\frac{22}{3}x-\frac{(x+1)^3}{3}-\frac{x^2}{6})|_{-1}^{1}$ = $(\frac{22}{3}-\frac{(1+1)^3}{3}-\frac{1^2}{6})-(-\frac{22}{3}-\frac{(-1+1)^3}{3}-\frac{(-1)^2}{6})$ = $(\frac{22}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{6})-(-\frac{22}{3}-\frac{1}{6})$ = $\frac{22}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{6}+\frac{22}{3}+\frac{1}{6}$ = $\frac{22-8+22}{3}=\frac{36}{3}$ =12.
Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: у=x³ , у=8, х=0.
Відповідь

12.
Побудуємо ці функції.
s= $\int_{0}^{2}(8-x^3)dx=(8x-\frac{x^4}{4})|_{0}^{2}$ =8⋅2- $\frac{2^4}{4}=16-\frac{16}{4}$ =16-4=12.
Обчисліть інтеграл $\int_{-2}^{1}$ (x²-4x)dx
Відповідь

9.
$\int_{-2}^{1}$ (x²-4x)dx= $(\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2})|_{-2}^{1}=(\frac{x^3}{3}-2x^2)|_{-2}^{1}$ = $(\frac{1^3}{3}-2\cdot1^2)-(\frac{(-2)^3}{3}-2(-2)^2)$ = $(\frac{1}{3}-2)-(\frac{-8}{3}-8)=\frac{1}{3}-2-\frac{-8}{3}+8$ = $\frac{1+8}{3}+6=\frac{9}{3}$ +6=3+6=9

⇐ІІІ.6.
Похідна функції

До змісту

⇒ІІІ.8
Дослідження функції та побудова її графіка

8 коментарів:

Анонім23 січня 2020 р. о 23:36
Дякую, це є корисним матеріалом!
ВідповістиВидалити
Відповіді
Unknown2 січня 2021 р. о 16:25
Дуже дякую:)!
ВідповістиВидалити
Відповіді
Анонім12 квітня 2021 р. о 09:01
Большое спасибо!!! Очень выручили
ВідповістиВидалити
Відповіді
Анонім2 грудня 2021 р. о 21:25
Вітаю) Дуже дякую за матеріал, надзвичайно корисний формат при підготовці до ЗНО - дуже зручно себе перевіряти, але було б круто, якщо ви б додали завдань із складеною функцією і пошуком первісної до неї - це допомогло б ретельніше опанувати тему й поглибити свої знання
ВідповістиВидалити
Відповіді
Анонім4 лютого 2022 р. о 23:15
дуже дякую💖
ВідповістиВидалити
Відповіді
Анонім20 березня 2023 р. о 14:36
Щиро вдячна за розв'язки завдань. Це суттєва допомога нашим учням, які займаються самостійно
ВідповістиВидалити
Відповіді
Анонім29 квітня 2024 р. о 12:34
Дякую.
ВідповістиВидалити
Відповіді

Додати коментар

А	Б	В	Г	Д
F(x)= $-\frac{1}{5x^5}$	F(x)= $-\frac{3}{x^5}$	F(x)= $-\frac{4}{x^5}$	F(x)= $-\frac{5}{x^5}$	F(x)= $-\frac{1}{3x^3}$

А	Б	В	Г	Д
G(x)= 10x⁵+7	G(x)= 2x⁶-4x	G(x)=50x⁶	G(x)=50x⁴	G(x)= x⁵-4

А	Б	В	Г	Д
G(x)=x⁵-x	G(x)= 5x⁴-x	G(x)= 20x³	G(x)= 5x⁴+1	G(x)= x⁴-5

А	Б	В	Г	Д
f(x)=6x²-1	f(x)= 6x-1	f(x)= 4x²	f(x)= $\frac{x^4}{2}$ -x	f(x)= 6x²

А	Б	В	Г	Д
f(x)= -12cos(2x)	f(x)= 6cos(2x)	f(x)=12cos(2x)	f(x)= -3cos(2x)-x+C	f(x)= -6cos(2x)-x+C

А	Б	В	Г	Д
F(x)=2x- $\frac{cos2x}{2}$	F(x)=2x+ $\frac{cos2x}{2}$	F(x)=2x+2cos2x	F(x)=2cos2x	F(x)=2x-cos2x

А	Б	В	Г	Д
F(x)= $\frac{1}{x^2}$	F(x)= $\frac{1}{2}$ ln\|x\|	F(x)=- $\frac{1}{2x^2}$	F(x)=2ln\|x\|	F(x)=ln\|2x\|

А	Б	В	Г	Д
F(x)=2x²+2х	F(x)=x²+2х+1	F(x)=x²+2х+2	F(x)=x²+2х-4	F(x)=2x²+х+1

А	Б	В	Г	Д
$\int_{-3}^{0}$ f(x)dx<0	$\int_{0}^{3}$ f(x)dx>0	$\int_{-3}^{3}$ f(x)dx<0	$\int_{-3}^{3}$ f(x)dx>0	$\int_{-3}^{3}$ f(x)dx=0

А	Б	В	Г	Д
S= $\int_{-1}^{3}$ (f(x)-3)dx	S= $\int_{-1}^{3}$ (3-f(x))dx	S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)+3)dx	S= $\int_{0}^{4}$ (f(x)-3)dx	S= $\int_{0}^{4}$ (3-f(x))dx

А	Б	В	Г	Д
-sinx	sinx	2x-sinx	2x+sinx	2-sinx

А	Б	В	Г	Д
S= $\int_{1}^{4}$ (f(x)-g(x))dx	S= $\int_{1}^{4}$ (g(x)-f(x))dx	S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)+g(x))dx	S= $\int_{2}^{7}$ (f(x)-g(x))dx	S= $\int_{2}^{7}$ (g(x)-f(x))dx

А	Б	В	Г	Д
$\int_{-1}^{1}$ f(x)dx	$\int_{-1}^{0}$ f(x)dx- $\int_{0}^{1}$ f(x)dx	$\int_{0}^{1}$ f(x)dx- $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx	2 $\int_{-1}^{0}$ f(x)dx	2 $\int_{0}^{1}$ f(x)dx

А	Б	В	Г	Д
$\int_{0}^{2}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx	$\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx	$\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})$ dx	$\int_{0}^{4}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})$ dx	$\int_{0}^{4}(\sqrt{x}+\frac{x}{2})$ dx

А	Б	В	Г	Д
$\frac{3}{2}$	$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$

А	Б	В	Г	Д
$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$

Пошук матеріалів

Первісна функції

8 коментарів: