Первісна функції

Первісна та визначений інтеграл — це теми, які стабільно зустрічаються у кожному варіанті НМТ. Вони поєднують у собі знання табличних формул, вміння працювати з правилами диференціювання «навпаки» та розуміння геометричного змісту інтеграла як площі криволінійної трапеції.

На цій сторінці ми зібрали актуальні завдання з демо-варіантів та реальних тестів минулих років (2023–2026). Ви зможете повторити основні правила, звіритися з таблицею та розібратися зі складними випадками, як-от використання формули Ньютона-Лейбніца чи знаходження параметра a за відомою площею.

---

Правила інтегрування

1. \intC⋅f(x)dx=C⋅\intf(x)dx
2. \int(f(x)±g(x))dx=\intf(x)dx±\intg(x)dx

---

Таблиця первісних

1. \intxⁿdx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
2. \int\frac{1}{x}dx=ln|x|+C
3. \intsinxdx=-cosx+C
4. \intcosxdx=sinx+C
5. \int\frac{1}{cos^2x}dx=tgx+C
6. \int\frac{1}{sin^2x}dx= -ctgx+C
7. \inta^xdx=\frac{a^x}{lna}+C
8. \inte^xdx=e^x+C

Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2^𝑥, 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок).

S=\int_{0}^{2}2^x{dx}

S=\int_{0}^{1}2^x{dx}

S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx}

S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx}

S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx}

Показати відповідь

Г.
Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2^𝑥. Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx}.

1. НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу \int_{-4}^{-1}f(x)dx + 2\int_{1}^{8}f(x)dx.
   
   Показати відповідь

   31.

   

   
   Скористаємось геометричним змістом визначеного інтеграла. Значення визначеного інтеграла дорівнює площі фігури, обмеженої f(x) та межами інтегрування. Тоді дані інтеграли дорівнюють площі відповідних прямокутників. \int_{-4}^{-1}f(x)dx = (- 1 - (- 4)) ⋅ 1 = 3 ⋅ 1 = 3. \int_{1}^{8}f(x)dx = (8 - 1) ⋅ 2 = 7 ⋅ 2 = 14. \int_{-4}^{-1}f(x)dx + 2\int_{1}^{8}f(x)dx = 3 + 2 ⋅ 14 = 31.
2. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл \int_{3}^{5}\frac{x^2+2x+1}{x+1}dx.
   Показати відповідь

   10.
   Скористаємось формулою скороченого множення. \int_{3}^{5} \frac{x^2+2x+1}{x+1} dx = \int_{3}^{5} \frac{(x+1)^2}{x+1} dx = \int_{3}^{5} (x+1) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|_{3}^{5} = \frac{5^2}{2} + 5 - (\frac{3^2}{2} + 3) = \frac{25}{2} + 5 - (\frac{9}{2} + 3) = 12,5 + 5 - 4,5 - 3 = 10.
3. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x³+4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)=

   А	Б	В	Г	Д
   3x2+4	3x2	3x	2x2	\frac{x^4}{4}+C

   Показати відповідь

   Б.
   Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). f(x) = F'(x) = (x³+4)' = 3x² + 0 = 3x².

---

4. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х^-4?

   А	Б	В	Г	Д
   F(x)= -\frac{1}{5x^5}	F(x)= -\frac{3}{x^5}	F(x)= -\frac{4}{x^5}	F(x)= -\frac{5}{x^5}	F(x)= -\frac{1}{3x^3}

   Показати відповідь

   Д.
   F(x)= \int{x^{-4}}dx=\frac{x^{-4+1}}{-4+1}+C=-\frac{x^{-3}}{x^3}+C=-\frac{1}{3x^3}+C. При С=0 маємо відповідь Д.
5. Функція F(x)=10x⁵-4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   G(x)= 10x5+7	G(x)= 2x6-4x	G(x)=50x6	G(x)=50x4	G(x)= x5-4

   Показати відповідь

   А.
   Так як F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x)= 10x⁵+7.
6. Функція F(x)=5x⁴-1 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   G(x)=x5-x	G(x)= 5x4-x	G(x)= 20x3	G(x)= 5x4+1	G(x)= x4-5

   Показати відповідь

   Г.
   Так як F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x)= 5x⁴+1.
7. Функція F(x)=2x³-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   f(x)=6x2-1	f(x)= 6x-1	f(x)= 4x2	f(x)= \frac{x^4}{2}-x	f(x)= 6x2

   Показати відповідь

   Д.
   Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x). F'(x)=(2x³-1)'=6x².
8. Функція F(x)=6sin(2x)-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

   А	Б	В	Г	Д
   f(x)= -12cos(2x)	f(x)= 6cos(2x)	f(x)=12cos(2x)	f(x)= -3cos(2x)-x+C	f(x)= -6cos(2x)-x+C

   Показати відповідь

   В.
   Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x). F'(x)=(6sin(2x)-1)'=6cos(2x)⋅(2x)'=12cos(2x).
9. Якщо F(x)=2+cosx - первісна функції f(x), то f(x)=

   А	Б	В	Г	Д
   -sinx	sinx	2x-sinx	2x+sinx	2-sinx

   Показати відповідь

   А.
   Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x)=f(x). F'(x)=(2+cosx)'= -sinx.
10. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=2+sin2x?

    А	Б	В	Г	Д
    F(x)=2x-\frac{cos2x}{2}	F(x)=2x+\frac{cos2x}{2}	F(x)=2x+2cos2x	F(x)=2cos2x	F(x)=2x-cos2x

    Показати відповідь

    А.
    F(x)=\intf(x)dx=\int(2+sin2x)dx=2x-\frac{cos2x}{2}+C.Із перелічених маємо відповідь А при С=0.
11. Укажіть первісну F(x) для функції f(x)=\frac{1}{2x}

    А	Б	В	Г	Д
    F(x)=\frac{1}{x^2}	F(x)=\frac{1}{2}ln|x|	F(x)=-\frac{1}{2x^2}	F(x)=2ln|x|	F(x)=ln|2x|

    Показати відповідь

    Б.
    F(x)=\intf(x)dx=\int\frac{1}{2x}dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}ln|x|+C. Із перелічених маємо відповідь Б при С=0.
12. Визначте для функції f(x)=2х+2 первісну, графік якої проходить через точку (1;4).

    А	Б	В	Г	Д
    F(x)=2x2+2х	F(x)=x2+2х+1	F(x)=x2+2х+2	F(x)=x2+2х-4	F(x)=2x2+х+1

    Показати відповідь

    Б.
    F(x)=\intf(x)dx=\int(2x+2)dx=x²+2х+C. Підставимо з умови х=1, F(x)=4. Маємо рівняння 4=1+2+С, звідки С=1. Отже, F(x)=x²+2х+1.
Формула Ньютона-Лейбніца
\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a), де F(x) - первісна функції f(x)
13. Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчисліть \int_{1}^{2}6x²dx.

    А	Б	В	Г	Д
    12	14	18	22	42

    Показати відповідь

    Б.
    \int_{1}^{2}6x²dx=\frac{6x^3}{3}|_{1}^{2}=2x^3|_{1}^{2}=2(2³-1³)=2⋅(8-1)=2⋅7=14.
14. Обчисліть інтеграл \int_{0}^{2}(f(x)+6)dx, якщо \int_{0}^{2}f(x)dx=8.

    А	Б	В	Г	Д
    20	14	2	28	48

    Показати відповідь

    А.
    \int_{0}^{2}(f(x)+6)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx+\int_{0}^{2}6dx=8+6x|_{0}^{2}=8+6(2-0)=8+12=20.
Обчислення площі криволінійної трапеції
S=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx, де a, b - абсциси точок перетину графіків функції f(x) та g(x), f(x) - функція, яка знаходиться вище від другої на проміжку (a;b).
15. На рисунку зображено графік непарної функції y=f(x), визначеної на проміжку [-5;5]. Яке з наведених співвідношень є справедливим для f(x)?

    

    А	Б	В	Г	Д
    \int_{-3}^{0}f(x)dx<0	\int_{0}^{3}f(x)dx>0	\int_{-3}^{3}f(x)dx<0	\int_{-3}^{3}f(x)dx>0	\int_{-3}^{3}f(x)dx=0

    Показати відповідь

    Д.
    І спосіб. Для непарної функції \int_{-a}^{a}xf(x)d=0.
    ІІ спосіб. Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком "+" (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох). Тому перший інтеграл повинен бути більше 0, другий - менше 0. Від -3 до 3 ми маємо дві однакові (функція непарна, а, отже, симетрична відносно О) фігури, одна з яких над віссю Ох, а друга - під. Тому ми маємо два інтеграли, які мають протилежні значення і їх сума дорівнює 0.
16. У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій y=f(x) і y=3 (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі S цієї фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    S=\int_{-1}^{3}(f(x)-3)dx	S=\int_{-1}^{3}(3-f(x))dx	S=\int_{0}^{4}(f(x)+3)dx	S=\int_{0}^{4}(f(x)-3)dx	S=\int_{0}^{4}(3-f(x))dx

    Показати відповідь

    Д.
    Оскільки функції перетинаються при х=0 і х=4, то межі інтегрування від 0 до 4. Від 0 до 4 верхня функція y=3, нижня f(x), тому маємо S=\int_{0}^{4}(3-f(x))dx.
17. На рисунку зображено графіки функції y=f(x) і y=g(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    S=\int_{1}^{4}(f(x)-g(x))dx	S=\int_{1}^{4}(g(x)-f(x))dx	S=\int_{2}^{7}(f(x)+g(x))dx	S=\int_{2}^{7}(f(x)-g(x))dx	S=\int_{2}^{7}(g(x)-f(x))dx

    Показати відповідь

    Г.
    Оскільки функції перетинаються при х=2 і х=7, то межі інтегрування від 2 до 7. Від 2 до 7 верхня функція f(x), нижня g(x), тому маємо S=\int_{2}^{7}(f(x)-g(x))dx.
18. На рисунку зображено графік функції y=f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    \int_{-1}^{1}f(x)dx	\int_{-1}^{0}f(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx	\int_{0}^{1}f(x)dx-\int_{-1}^{0}f(x)dx	2\int_{-1}^{0}f(x)dx	2\int_{0}^{1}f(x)dx

    Показати відповідь

    Б.
    Оскільки від -1 до 0 функція має додатнє значення, то інтеграл беремо зі знаком "+"; так як від 0 до 1 функція має від'ємне значення, то інтеграл беремо зі знаком "-". Маємо \int_{-1}^{0}f(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx.
19. На рисунку зображено графіки функцій y=\sqrt{x} та y=\frac{x}{2}. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

    

    А	Б	В	Г	Д
    \int_{0}^{2}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx	\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})dx	\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx	\int_{0}^{4}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})dx	\int_{0}^{4}(\sqrt{x}+\frac{x}{2})dx

    Показати відповідь

    В.
    Оскільки фігура зафарбована від 0 до 4 по осі х і на цьому проміжку функція y=\sqrt{x} знаходиться вище, то маємо формулу для обчислення площі \int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx.
20. Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

    

    А	Б	В	Г	Д
    \frac{3}{2}	\frac{2-\sqrt{3}}{2}	1	\frac{\sqrt{3}}{2}	\frac{1}{2}

    Показати відповідь

    Д.
    S=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}sinxdx=-cosx|_{0}^{\frac{\pi}{3}}=-(cos\frac{\pi}{3}-cos0)=-(\frac{1}{2}-1)=-\frac{-1}{2}=\frac{1}{2}.
21. Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

    

    А	Б	В	Г	Д
    \frac{1}{2}	\frac{\sqrt{3}}{2}	1	\sqrt{2}	\sqrt{3}

    Показати відповідь

    В.
    s=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}2cosxdx=2sinx|_{0}^{\frac{\pi}{6}}=2(sin\frac{\pi}{6}-sin0)=2⋅\frac{1}{2}=1.
22. Визначте додатнє значення параметра а, за якого площа фігури, обмеженої лініями y=\sqrt[3]{x} (див. рисунок), у=0 та х=а, дорівнює 192 кв.од.

    

    Показати відповідь

    64.
    Побудуємо на малюнку ці лінії . Маємо

    

    За малюнком маємо S=\int_{0}^{a}\sqrt[3]{x}dx=\int_{0}^{a}(x)^\frac{1}{3}dx=\frac{x^\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}|_{0}^{a}=\frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}|_{0}^{a}=\frac{3\sqrt[3]{a^4}}{4}. Оскільки за умовою ця площа дорівнює 192, то маємо рівняння
    \frac{3\sqrt[3]{a^4}}{4}=192
    3\sqrt[3]{a^4}=192⋅4
    \sqrt[3]{a^4}=\frac{192\cdot4}{3}
    \sqrt[3]{a^4}=64⋅4
    (\sqrt[3]{a})^4=4³⋅4
    (\sqrt[3]{a})^4=4⁴
    \sqrt[3]{a}=4
    a=4³
    a=64.
23. Обчисліть \int_{0}^{7}f(x)dx, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції у=f(x).

    

    Показати відповідь

    38,5.

    

    \int_{0}^{7}f(x)dx=s, де s- площа зафарбованої фігури. Це трапеція з основами 3 та 8 і висотою 7. За формулою площі трапеції маємо s=\frac{3+8}{2}⋅7=\frac{11}{2}\cdot7=\frac{77}{2}=38,5.
24. Обчисліть \frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx, використовуючи рівняння кола х²+у²=25, зображеного на рисунку.

    

    Показати відповідь

    6,25.

    

    \frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx=\frac{1}{\pi}s, де s- площа зафарбованої фігури. Це четверта частина кола радіуса 5. За формулою площі кола маємо \frac{1}{\pi}\frac{1}{4}\pi{r^2}=\frac{1}{\pi}\frac{1}{4}\pi5^2=\frac{1}{4}⋅25=6,25.
25. На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції f(x)=ax²+2\frac{b}{3}x+5. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), x=0, x=1, дорівнює 21 кв.од. Обчисліть суму a+b.

    

    Показати відповідь

    48.
    \int_{0}^{1}(ax^2+2\frac{b}{3}x+5)dx=(\frac{ax^3}{3}+\frac{2bx^2}{3\cdot2}+5x)|_{0}^{1}=(\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{3}+5x)|_{0}^{1}=\frac{a}{3}+\frac{b}{3}+5. За умовою площа трапеції, а, відповідно, і значення інтегралу, дорівнює 21. Маємо рівняння
    \frac{a}{3}+\frac{b}{3}+5=21
    \frac{a+b}{3}+5=21
    \frac{a+b}{3}=21-5
    \frac{a+b}{3}=16
    a+b=16⋅3
    a+b=48.
26. Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву у=3х-х². Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю ОХ (див. рис.)? Одиниця довжини — 1 км.

    

    Показати відповідь

    4,5.
    Щоб знайти точки перетину річки з шосе потрібно розв'язати рівняння 3х-х²=0. Винесемо х за дужки, маємо х(3-х)=0, звідки х=0 і х=3. s= \int_{0}^{3}(3x-x^2)dx=(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|_{0}^{3}=\frac{3\cdot3^2}{2}-\frac{3^3}{3}=\frac{3\cdot9}{2}-\frac{27}{3}=\frac{27}{2}-9=13,5-9=4,5.
27. На рисунку зображено графік функції F(x)=x²+bx+c, яка є первісною для функції f(x). Визначте параметри b і c, знайдіть функцію f(x). У відповіді запишіть значення f(-8).

    

    Показати відповідь

    -22.
    Оскільки F(0)=0+0+c=c і графік проходить через точку (0;11), то с=11. Вершина параболи знаходиться за формулою х_в= -\frac{b}{2a}. Так як за малюнком абсциса вершини параболи х=3, то маємо рівняння -\frac{b}{2a}=3, звідки b=3⋅(-2a). Оскільки а=1, то b= -6. Отже, F(x)=x²-6x+11. f(x)=F'(x)=(x²-6x+11)'=2x-6. f(-8)=2(-8)-6=-16-6=-22.
28. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у=\frac{22}{3}-(x+1)² і прямими у=\frac{x}{3}, х= -1 та х=1.
    Показати відповідь

    12.
    Побудуємо ці функції. Перша - парабола, гілки якої спрямовані вниз, переміщена на 1 вліво і вгору на \frac{22}{3}. Пряму у=\frac{x}{3} можна побудувати за 2 точками (наприклад (0;0) та (3;1)).

    

    .
    s= \int_{-1}^{1}(\frac{22}{3}-(x+1)^2-\frac{x}{3})dx=(\frac{22}{3}x-\frac{(x+1)^3}{3}-\frac{x^2}{6})|_{-1}^{1}=(\frac{22}{3}-\frac{(1+1)^3}{3}-\frac{1^2}{6})-(-\frac{22}{3}-\frac{(-1+1)^3}{3}-\frac{(-1)^2}{6})=(\frac{22}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{6})-(-\frac{22}{3}-\frac{1}{6})=\frac{22}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{6}+\frac{22}{3}+\frac{1}{6}=\frac{22-8+22}{3}=\frac{36}{3}=12.
29. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: у=x³ , у=8, х=0.
    Показати відповідь

    12.
    Побудуємо ці функції.

    

    s=\int_{0}^{2}(8-x^3)dx=(8x-\frac{x^4}{4})|_{0}^{2}=8⋅2-\frac{2^4}{4}=16-\frac{16}{4}=16-4=12.
30. Обчисліть інтеграл \int_{-2}^{1}(x²-4x)dx
    Показати відповідь

    9.
    \int_{-2}^{1}(x²-4x)dx=(\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2})|_{-2}^{1}=(\frac{x^3}{3}-2x^2)|_{-2}^{1}=(\frac{1^3}{3}-2\cdot1^2)-(\frac{(-2)^3}{3}-2(-2)^2)=(\frac{1}{3}-2)-(\frac{-8}{3}-8)=\frac{1}{3}-2-\frac{-8}{3}+8=\frac{1+8}{3}+6=\frac{9}{3}+6=3+6=9

⇐ІІІ.6. Похідна функції

До змісту

⇒ІІІ.8 Дослідження функції та побудова її графіка