Первісна функції

Первісна та визначений інтеграл — це теми, які стабільно зустрічаються у кожному варіанті НМТ. Вони поєднують у собі знання табличних формул, вміння працювати з правилами диференціювання «навпаки» та розуміння геометричного змісту інтеграла як площі криволінійної трапеції.

На цій сторінці ми зібрали актуальні завдання з демо-варіантів та реальних тестів минулих років. Ви зможете повторити основні правила, звіритися з таблицею та розібратися зі складними випадками, як-от використання формули Ньютона-Лейбніца чи знаходження параметра a за відомою площею.

---

Правила інтегрування

1. ∫C · f(x)dx = C · ∫f(x)dx
2. ∫(f(x)±g(x))dx = ∫f(x)dx±∫g(x)dx

---

Таблиця первісних

1. ∫xⁿdx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C
2. \int\frac{1}{x}dx = ln|x| + C
3. ∫sinxdx = -cosx + C
4. ∫cosxdx = sinx + C
5. \int\frac{1}{cos^2x}dx = tgx + C
6. \int\frac{1}{sin^2x}dx = -ctgx + C
7. ∫a^xdx = \frac{a^x}{lna} + C
8. ∫e^xdx = e^x + C

Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2^𝑥, 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок).

S = \int_{0}^{2}2^x{dx}

S = \int_{0}^{1}2^x{dx}

S = \int_{0}^{1}(2^x-2){dx}

S = \int_{0}^{1}(2-2^x){dx}

S = \int_{0}^{2}(2-2^x){dx}

Показати відповідь

Г.
Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2^𝑥. Тоді за формулою обчислення площі фігури S = \int_{0}^{1}(2-2^x){dx}.

Завдання 2. На рисунку зображено графік функції f(x) = \begin{cases}1,x\in (-\infty ;0],\\2,x\in (0; + \infty).\end{cases} Обчисліть значення виразу \int_{-4}^{-1}f(x)dx + 2\int_{1}^{8}f(x)dx.

Показати відповідь

31. Скористаємось геометричним змістом визначеного інтеграла. Значення визначеного інтеграла дорівнює площі фігури, обмеженої f(x) та межами інтегрування. Тоді дані інтеграли дорівнюють площі відповідних прямокутників. \int_{-4}^{-1}f(x)dx = (- 1 - (- 4)) · 1 = 3 · 1 = 3. \int_{1}^{8}f(x)dx = (8 - 1) · 2 = 7 · 2 = 14. \int_{-4}^{-1}f(x)dx + 2\int_{1}^{8}f(x)dx = 3 + 2 · 14 = 31.

Завдання 3. Обчисліть інтеграл \int_{3}^{5}\frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1}dx.

Показати відповідь

10.
Скористаємось формулою скороченого множення. \int_{3}^{5} \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} dx = \int_{3}^{5} \frac{(x + 1)^2}{x + 1} dx = \int_{3}^{5} (x + 1) dx = \left. \left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|_{3}^{5} = \frac{5^2}{2} + 5 - (\frac{3^2}{2} + 3) = \frac{25}{2} + 5 - (\frac{9}{2} + 3) = 12,5 + 5 - 4,5 - 3 = 10.

Завдання 4. Якщо функція F(x) = x³ + 4 є однією з первісних функції f(x), то f(x) =

3x² + 4

3x²

3x

2x²

\frac{x^4}{4} + C

Показати відповідь

Б.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). f(x) = F'(x) = (x³ + 4)' = 3x² + 0 = 3x².

---

Завдання 5. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = х⁻⁴?

F(x) = -\frac{1}{5x^5}

F(x) = -\frac{3}{x^5}

F(x) = -\frac{4}{x^5}

F(x) = -\frac{5}{x^5}

F(x) = -\frac{1}{3x^3}

Показати відповідь

Д.
F(x) = \int{x^{-4}}dx = \frac{x^{-4 + 1}}{-4 + 1} + C = -\frac{x^{-3}}{x^3} + C = -\frac{1}{3x^3} + C. При С = 0 маємо відповідь Д.

Завдання 6. Функція F(x) = 10x⁵-4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

G(x) = 10x⁵ + 7

G(x) = 2x⁶-4x

G(x) = 50x⁶

G(x) = 50x⁴

G(x) = x⁵-4

Показати відповідь

А.
Так як F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x) = 10x⁵ + 7.

Завдання 7. Функція F(x) = 5x⁴-1 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x).

G(x) = x⁵-x

G(x) = 5x⁴-x

G(x) = 20x³

G(x) = 5x⁴ + 1

G(x) = x⁴-5

Показати відповідь

Г.
Так як F(x) та G(x) є первісними функції f(x), то вони можуть відрізнятися лише константою (число без х). Із запропонованих підходить лише G(x) = 5x⁴ + 1.

Завдання 8. Функція F(x) = 2x³-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

f(x) = 6x²-1

f(x) = 6x-1

f(x) = 4x²

f(x) = \frac{x^4}{2}-x

f(x) = 6x²

Показати відповідь

Д.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (2x³-1)' = 6x².

Завдання 9. Функція F(x) = 6sin(2x)-1 є первісною функції f(x). Знайдіть функцію f(x).

f(x) = -12cos(2x)

f(x) = 6cos(2x)

f(x) = 12cos(2x)

f(x) = -3cos(2x)-x + C

f(x) = -6cos(2x)-x + C

Показати відповідь

В.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (6sin(2x)-1)' = 6cos(2x) · (2x)' = 12cos(2x).

Завдання 10. Якщо F(x) = 2 + cosx - первісна функції f(x), то f(x) =

-sinx

sinx

2x-sinx

2x + sinx

2-sinx

Показати відповідь

А.
Якщо F(x) є первісною функції f(x), то F'(x) = f(x). F'(x) = (2 + cosx)' = -sinx.

Завдання 11. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = 2 + sin2x?

F(x) = 2x-\frac{cos2x}{2}

F(x) = 2x + \frac{cos2x}{2}

F(x) = 2x + 2cos2x

F(x) = 2cos2x

F(x) = 2x-cos2x

Показати відповідь

А.
F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2 + sin2x)dx = 2x-\frac{cos2x}{2} + C. Із перелічених маємо відповідь А при С = 0.

Завдання 12. Укажіть первісну F(x) для функції f(x) = \frac{1}{2x}

F(x) = \frac{1}{x^2}

F(x) = \frac{1}{2}ln|x|

F(x) = -\frac{1}{2x^2}

F(x) = 2ln|x|

F(x) = ln|2x|

Показати відповідь

Б.
F(x) = ∫f(x)dx = \int\frac{1}{2x}dx = \int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}ln|x| + C. Із перелічених маємо відповідь Б при С = 0.

Завдання 13. Визначте для функції f(x) = 2х + 2 первісну, графік якої проходить через точку (1;4).

F(x) = 2x² + 2х

F(x) = x² + 2х + 1

F(x) = x² + 2х + 2

F(x) = x² + 2х-4

F(x) = 2x² + х + 1

Показати відповідь

Б.
F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2x + 2)dx = x² + 2х + C. Підставимо з умови х = 1, F(x) = 4. Маємо рівняння 4 = 1 + 2 + С, звідки С = 1. Отже, F(x) = x² + 2х + 1.

Формула Ньютона-Лейбніца
\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b)-F(a), де F(x) - первісна функції f(x)

Завдання 14. Використовуючи формулу Ньютона-Лейбніца, обчисліть \int_{1}^{2}6x²dx.

12

14

18

22

42

Показати відповідь

Б.
\int_{1}^{2}6x²dx = \frac{6x^3}{3}|_{1}^{2} = 2x^3|_{1}^{2} = 2(2³-1³) = 2 · (8-1) = 2 · 7 = 14.

Завдання 15. Обчисліть інтеграл \int_{0}^{2}(f(x) + 6)dx, якщо \int_{0}^{2}f(x)dx = 8.

20

14

2

28

48

Показати відповідь

А.
\int_{0}^{2}(f(x) + 6)dx = \int_{0}^{2}f(x)dx + \int_{0}^{2}6dx = 8 + 6x|_{0}^{2} = 8 + 6(2-0) = 8 + 12 = 20.

Обчислення площі криволінійної трапеції
S = \int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx, де a, b - абсциси точок перетину графіків функції f(x) та g(x), f(x) - функція, яка знаходиться вище від другої на проміжку (a;b).

Завдання 16. На рисунку зображено графік непарної функції y = f(x), визначеної на проміжку [-5;5]. Яке з наведених співвідношень є справедливим для f(x)?

\int_{-3}^{0}f(x)dx<0

\int_{0}^{3}f(x)dx>0

\int_{-3}^{3}f(x)dx<0

\int_{-3}^{3}f(x)dx>0

\int_{-3}^{3}f(x)dx = 0

Показати відповідь

Д.
І спосіб. Для непарної функції \int_{-a}^{a}xf(x)d = 0.
ІІ спосіб. Значення інтеграла дорівнює площі криволінійної трапеції зі знаком " + " (якщо фігура лежить над віссю Ох) або "-" (якщо фігура лежить над віссю Ох). Тому перший інтеграл повинен бути більше 0, другий - менше 0. Від -3 до 3 ми маємо дві однакові (функція непарна, а, отже, симетрична відносно О) фігури, одна з яких над віссю Ох, а друга - під. Тому ми маємо два інтеграли, які мають протилежні значення і їх сума дорівнює 0.

Завдання 17. У прямокутній системі координат на площині зображено план паркової зони, що має форму фігури, обмеженої графіками функцій y = f(x) і y = 3 (див. рисунок). Укажіть формулу для обчислення площі S цієї фігури.

S = \int_{-1}^{3}(f(x)-3)dx

S = \int_{-1}^{3}(3-f(x))dx

S = \int_{0}^{4}(f(x) + 3)dx

S = \int_{0}^{4}(f(x)-3)dx

S = \int_{0}^{4}(3-f(x))dx

Показати відповідь

Д.
Оскільки функції перетинаються при х = 0 і х = 4, то межі інтегрування від 0 до 4. Від 0 до 4 верхня функція y = 3, нижня f(x), тому маємо S = \int_{0}^{4}(3-f(x))dx.

Завдання 18. На рисунку зображено графіки функції y = f(x) і y = g(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

S = \int_{1}^{4}(f(x)-g(x))dx

S = \int_{1}^{4}(g(x)-f(x))dx

S = \int_{2}^{7}(f(x) + g(x))dx

S = \int_{2}^{7}(f(x)-g(x))dx

S = \int_{2}^{7}(g(x)-f(x))dx

Показати відповідь

Г.
Оскільки функції перетинаються при х = 2 і х = 7, то межі інтегрування від 2 до 7. Від 2 до 7 верхня функція f(x), нижня g(x), тому маємо S = \int_{2}^{7}(f(x)-g(x))dx.

Завдання 19. На рисунку зображено графік функції y = f(x). Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

\int_{-1}^{1}f(x)dx

\int_{-1}^{0}f(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx

\int_{0}^{1}f(x)dx-\int_{-1}^{0}f(x)dx

2\int_{-1}^{0}f(x)dx

2\int_{0}^{1}f(x)dx

Показати відповідь

Б.
Оскільки від -1 до 0 функція має додатне значення, то інтеграл беремо зі знаком " + "; так як від 0 до 1 функція має від'ємне значення, то інтеграл беремо зі знаком "-". Маємо \int_{-1}^{0}f(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx.

Завдання 20. На рисунку зображено графіки функцій y = \sqrt{x} та y = \frac{x}{2}. Укажіть формулу для обчислення площі зафарбованої фігури.

\int_{0}^{2}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx

\int_{0}^{2}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})dx

\int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx

\int_{0}^{4}(\frac{x}{2}-\sqrt{x})dx

\int_{0}^{4}(\sqrt{x} + \frac{x}{2})dx

Показати відповідь

В.
Оскільки фігура зафарбована від 0 до 4 по осі х і на цьому проміжку функція y = \sqrt{x} знаходиться вище, то маємо формулу для обчислення площі \int_{0}^{4}(\sqrt{x}-\frac{x}{2})dx.

Завдання 21. Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

\frac{3}{2}

\frac{2-\sqrt{3}}{2}

1

\frac{\sqrt{3}}{2}

\frac{1}{2}

Показати відповідь

Д.
S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}sinxdx = -cosx|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -(cos\frac{\pi}{3}-cos0) = -(\frac{1}{2}-1) = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}.

Завдання 22. Обчисліть площу зафарбованої фігури, зображеної на рисунку.

\frac{1}{2}

\frac{\sqrt{3}}{2}

1

\sqrt{2}

\sqrt{3}

Показати відповідь

В.
s = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}2cosxdx = 2sinx|_{0}^{\frac{\pi}{6}} = 2(sin\frac{\pi}{6}-sin0) = 2 · \frac{1}{2} = 1.

Завдання 23. Визначте додатне значення параметра а, за якого площа фігури, обмеженої лініями y = \sqrt[3]{x} (див. рисунок), у = 0 та х = а, дорівнює 192 кв. од.

Показати відповідь

64.
Побудуємо на малюнку ці лінії . Маємо За малюнком маємо S = \int_{0}^{a}\sqrt[3]{x}dx = \int_{0}^{a}(x)^\frac{1}{3}dx = \frac{x^\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}}|_{0}^{a} = \frac{3\sqrt[3]{x^4}}{4}|_{0}^{a} = \frac{3\sqrt[3]{a^4}}{4}. Оскільки за умовою ця площа дорівнює 192, то маємо рівняння
\frac{3\sqrt[3]{a^4}}{4} = 192
3\sqrt[3]{a^4} = 192 · 4
\sqrt[3]{a^4} = \frac{192\cdot4}{3}
\sqrt[3]{a^4} = 64 · 4
(\sqrt[3]{a})^4 = 4³ · 4
(\sqrt[3]{a})^4 = 4⁴
\sqrt[3]{a} = 4
a = 4³
a = 64.

Завдання 24. Обчисліть \int_{0}^{7}f(x)dx, використовуючи зображений на рисунку графік лінійної функції у = f(x).

Показати відповідь

38,5. \int_{0}^{7}f(x)dx = s, де s- площа зафарбованої фігури. Це трапеція з основами 3 та 8 і висотою 7. За формулою площі трапеції маємо s = \frac{3 + 8}{2} · 7 = \frac{11}{2}\cdot7 = \frac{77}{2} = 38,5.

Завдання 25. Обчисліть \frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx, використовуючи рівняння кола х² + у² = 25, зображеного на рисунку.

Показати відповідь

6,25.

\frac{1}{\pi}\int_{-5}^{0}\sqrt{25-x^2}dx = \frac{1}{\pi}s, де s- площа зафарбованої фігури. Це четверта частина кола радіуса 5. За формулою площі кола маємо \frac{1}{\pi}\frac{1}{4}\pi{r^2} = \frac{1}{\pi}\frac{1}{4}\pi5^2 = \frac{1}{4} · 25 = 6,25.

Завдання 26. На рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції f(x) = ax² + 2\frac{b}{3}x + 5. Площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y = f(x), x = 0, x = 1, дорівнює 21 кв. од. Обчисліть суму a + b.

Показати відповідь

48.
\int_{0}^{1}(ax^2 + 2\frac{b}{3}x + 5)dx = (\frac{ax^3}{3} + \frac{2bx^2}{3\cdot2} + 5x)|_{0}^{1} = (\frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{3} + 5x)|_{0}^{1} = \frac{a}{3} + \frac{b}{3} + 5. За умовою площа трапеції, а, відповідно, і значення інтегралу, дорівнює 21. Маємо рівняння
\frac{a}{3} + \frac{b}{3} + 5 = 21
\frac{a + b}{3} + 5 = 21
\frac{a + b}{3} = 21-5
\frac{a + b}{3} = 16
a + b = 16 · 3
a + b = 48.

Завдання 27. Річка тече лугом і двічі перетинає шосе, утворюючи криву у = 3х-х². Яка площа лугу між шосе та річкою, якщо вважати, що лінія шосе збігається з віссю ОХ (див. рис.)? Одиниця довжини — 1 км.

Показати відповідь

4,5.
Щоб знайти точки перетину річки з шосе потрібно розв'язати рівняння 3х-х² = 0. Винесемо х за дужки, маємо х(3-х) = 0, звідки х = 0 і х = 3. s = \int_{0}^{3}(3x-x^2)dx = (\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3})|_{0}^{3} = \frac{3\cdot3^2}{2}-\frac{3^3}{3} = \frac{3\cdot9}{2}-\frac{27}{3} = \frac{27}{2}-9 = 13,5-9 = 4,5.

Завдання 28. На рисунку зображено графік функції F(x) = x² + bx + c, яка є первісною для функції f(x). Визначте параметри b і c, знайдіть функцію f(x). У відповіді запишіть значення f(-8).

Показати відповідь

-22.
Оскільки F(0) = 0 + 0 + c = c і графік проходить через точку (0;11), то с = 11. Вершина параболи знаходиться за формулою х_в = -\frac{b}{2a}. Так як за малюнком абсциса вершини параболи х = 3, то маємо рівняння -\frac{b}{2a} = 3, звідки b = 3 · (-2a). Оскільки а = 1, то b = -6. Отже, F(x) = x²-6x + 11. f(x) = F'(x) = (x²-6x + 11)' = 2x-6. f(-8) = 2(-8)-6 = -16-6 = -22.

Завдання 29. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції у = \frac{22}{3}-(x + 1)² і прямими у = \frac{x}{3}, х = -1 та х = 1.

Показати відповідь

12.
Побудуємо ці функції. Перша - парабола, гілки якої спрямовані вниз, переміщена на 1 вліво і вгору на \frac{22}{3}. Пряму у = \frac{x}{3} можна побудувати за 2 точками (наприклад (0;0) та (3;1)).

.
s = \int_{-1}^{1}(\frac{22}{3}-(x + 1)^2-\frac{x}{3})dx = (\frac{22}{3}x-\frac{(x + 1)^3}{3}-\frac{x^2}{6})|_{-1}^{1} = (\frac{22}{3}-\frac{(1 + 1)^3}{3}-\frac{1^2}{6})-(-\frac{22}{3}-\frac{(-1 + 1)^3}{3}-\frac{(-1)^2}{6}) = (\frac{22}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{6})-(-\frac{22}{3}-\frac{1}{6}) = \frac{22}{3}-\frac{8}{3}-\frac{1}{6} + \frac{22}{3} + \frac{1}{6} = \frac{22-8 + 22}{3} = \frac{36}{3} = 12.

Завдання 30. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: у = x³, у = 8, х = 0.

Показати відповідь

12.
Побудуємо ці функції.

s = \int_{0}^{2}(8-x^3)dx = (8x-\frac{x^4}{4})|_{0}^{2} = 8 · 2-\frac{2^4}{4} = 16-\frac{16}{4} = 16-4 = 12.

Завдання 31. Обчисліть інтеграл \int_{-2}^{1}(x²-4x)dx

Показати відповідь

9.
\int_{-2}^{1}(x²-4x)dx = (\frac{x^3}{3}-\frac{4x^2}{2})|_{-2}^{1} = (\frac{x^3}{3}-2x^2)|_{-2}^{1} = (\frac{1^3}{3}-2\cdot1^2)-(\frac{(-2)^3}{3}-2(-2)^2) = (\frac{1}{3}-2)-(\frac{-8}{3}-8) = \frac{1}{3}-2-\frac{-8}{3} + 8 = \frac{1 + 8}{3} + 6 = \frac{9}{3} + 6 = 3 + 6 = 9

⇐ ІІІ.6.
Похідна функції До змісту (НМТ/ЗНО) ІІІ.8
Дослідження функції та побудова її графіка ⇒