Дослідження функції та побудова її графіка

Дослідження функції та побудова її графіка — це комплексний процес, який дозволяє візуалізувати математичні закономірності та зрозуміти поведінку складних систем. Використання похідної для знаходження точок екстремуму та проміжків монотонності є однією з найскладніших, але водночас найцікавіших тем курсу алгебри. Навички побудови ескізів графіків допомагають учням не лише розв'язувати стандартні рівняння, а й аналізувати динаміку процесів у фізиці, економіці та програмуванні.

На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО, що охоплюють повний цикл аналізу функції: від знаходження області визначення та точок перетину з осями до обчислення похідної та побудови графіків. Ви навчитеся розрізняти локальні максимуми й мінімуми, працювати з первісними для знаходження площ криволінійних трапецій та порівнювати поведінку різних типів функцій (лінійних, квадратичних, тригонометричних та логарифмічних). Тут зібрано детальні розв'язання, таблиці поведінки функцій та готові графічні ескізи для успішної підготовки.

2021. Задано функцію y = х³-12х.
1. Для наведених у таблиці значень аргументу х визначте відповідні їм значення у.

x y

-1

0

2

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції y = х³-12х із віссю х.
3. Знайдіть похідну f^/ функції f (x) = х³-12х.
4. Визначте нулі функції f^/.
5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

Показати відповідь
1. Якщо х = -1, то у = 11; x = 0, то y=0; х = 2, то у=-16.
2. (0;0), (-2\sqrt{3};0),(2\sqrt{3};0)
3. f^/(x) = 3x²-12.
4. x₁=2; x₂=-2
5. Проміжки зростання: (-∞;-2], [2;+∞); проміжок спадання [-2; 2]
точки екстремуму: x_max= -2; x_min= 2
екстремуми: f_max= 16; f_min= -16
1. Якщо х = -1, то у = (-1)³-12⋅(-1)= -1+12=11; x = 0, то y =0; х = 2, то у = 8-24= -16.
2. Для того, щоб знайти координати точок перетину графіка функції y = х³-12х із віссю х, потрібно розв'язати рівняння х³-12х=0. Винесемо х за дужки. Маємо:
х(х²-12)=0
x=0 бо х²-12=0, звідки х²=12 і х=\pm2\sqrt{3}
Маємо точки (0;0), (-2\sqrt{3};0),(2\sqrt{3};0)
3. f^/(x) = (х³-12х)^/=3x²-12.
4. f^/ =0
3x²-12=0
3x²=12
x²=4
x=±2
5. Складемо таблицю поведінки функції на проміжках, якими її розбивають нулі похідної.

x (-∞;-2) -2 (-2;2) 2 (2;+∞)

f^/ + 0 - 0 +

f(x) зростає 16 спадає -16 зростає

З таблиці маємо:
Проміжки зростання: (-∞;-2], [2;+∞); проміжок спадання [-2; 2]
точки екстремуму: x_max= -2; x_min= 2
екстремуми: f_max= 16; f_min= -16
6. Наносимо точки з першого пункту, точки перетину осі х з другого пункту, екстремуми і враховуючи поведінку функції будуємо ескіз.
2021. Задано функцію y = х³-3х.
1. Для наведених у таблиці значень аргументу х визначте відповідні їм значення у.

x y

0

-1

2

2. Визначте і запишіть координати точок перетину графіка функції y = х³-3х із віссю х.
3. Знайдіть похідну f^/ функції f (x) = х³-3х.
4. Визначте нулі функції f^/.
5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

Показати відповідь
1. Якщо х = 0, то у = 0; x = -1, то y=2; х = 2, то у=2.
2. (0;0), (\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0)
3. f^/(x) = 3x²-3.
4. x=±1
5. Проміжки зростання: (-∞;-1], [1;+∞); проміжок спадання [-1; 1]
точки екстремуму: x_max= -1; x_min= 1
екстремуми: f_max= 2; f_min= -2
1. Якщо х = 0, то у = 0; x = -1, то y = –1-3(-1)=2 ;х = 2, то у = 8-6=2.
2. Для того, щоб знайти координати точок перетину графіка функції y = х³-3х із віссю х, потрібно розв'язати рівняння х³-3х=0. Винесемо х за дужки. Маємо:
х(х²-3)=0
x=0 бо х²-3=0, звідки х²=3 і х=\pm\sqrt{3}
Маємо точки (0;0), (\sqrt{3};0),(-\sqrt{3};0)
3. f^/(x) = (х³-3х)^/=3x²-3.
4. f^/ =0
3x²-3=0
3x²=3
x²=1
x=±1
5. Складемо таблицю поведінки функції на проміжках, якими її розбивають нулі похідної.

x (-∞;-1) -1 (-1;1) 1 (1;+∞)

f^/ + 0 - 0 +

f(x) зростає 2 спадає -2 зростає

З таблиці маємо:
Проміжки зростання: (-∞;-1], [1;+∞); проміжок спадання [-1; 1]
точки екстремуму: x_max= -1; x_min= 1
екстремуми: f_max= 2; f_min= -2
6. Наносимо точки з першого пункту, точки перетину осі х з другого пункту, екстремуми і враховуючи поведінку функції будуємо ескіз.
2021. Задано функцію y = 2x + 8.
1. Для наведених у таблиці значень аргументу х і значень функції у визначте відповідні їм значення у та х.

x y

0

0

9

2. Запишіть координати точки М перетину графіка заданої функції з віссю х.
3. Знайдіть загальний вигляд первісних функції f (x) = 2x + 8.
4. Знайдіть первісну F(x) функції f , графік якої проходить через точку М.
5. Побудуйте графік функції F.
6. Визначте область значень функції G(x) = 3 ∙ F(x) + 1.
Показати відповідь
1. Якщо х = 0, то у = 8; у = 0, то х = –4;х = 9, то у = 26.
2. М (–4; 0).
3. F (x) = x² + 8x + C.
4. F (x) = x² + 8x + 16.
1. Підставляємо у рівняння у=2х+8 х=0, маємо у=0+8=8, х=9, маємо у=18+8=26. Підставляємо у рівняння у=2х+8 у=0, маємо 2х+8=0, звідки 2х=-8 і х=-4.

x y

0 8

-4 0

9 26
2. Так як точка М належить осі х, то в неї у=0. З таблиці це точка М(-4;0).
3. F(x)=2\frac{x^2}{2}+8x+C=x²+8x+C.
4. Так як за умовою точка М належить графіку первісної, то її координати повинні задовольняти рівнянню первісної.
(-4)²+8⋅(-4)+C=0
16-32+C=0
C=16
F(x)=x²+8x+16.
5. Так як F(x)=x²+8x+16=F(x)=(x+4)², то графіком функції є парабола, переміщена на 4 одиниці ліворуч.

6. Область значень функції F(x) [0;+∞). Тоді область значень функції 3⋅F(x) [0⋅3;+∞), тобто також [0;+∞). Тоді область значень функції 3⋅F(x)+1 [0+1;+∞+1), тобто [1;+∞).
2020. Задано функції f(x)=\frac{1}{2} та g(x)=sinx. Завдання (1-3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g на проміжку [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків функцій f і g, і запишіть її координати
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння f(x)=g(x) на інтервалі (-∞;+∞).
Показати відповідь
А(\frac{\pi}{6};\frac{1}{2})
х=(-1)ⁿ\frac{\pi}{6}+πn, n∈Z
1. Маємо графік прямої, паралельної осі Ох (в рівнянні відсутній х), що має ординату 0,5.
2. Будуємо синусоіду за точками. Не забуваємо про маштаб. Так як значення π 3,14, то π займає 3 одиниці (якщо 1 - одна клітинка, то π - 3 клітинки, якщо 1 - 2 клітинки, то π - 6 клітинок). Обмежуємо синусоіду вказаними точками.
3. Точка А перетину графіків має координати (\frac{\pi}{6};\frac{1}{2}). Перевіримо, що ця точка є точкою перетину f(\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2} та g(\frac{\pi}{6})=sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}. Отже, точка А(\frac{\pi}{6};\frac{1}{2}) дійсно є точкою перетину цих графіків.
4. Потрібно розв'язати рівняння sinx=\frac{1}{2}. Його розв'язком є х=(-1)ⁿ\frac{\pi}{6}+πn, n∈Z.
2020. Задано функції f(x)=1 та g(x)=sinx. Завдання (1-3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g на проміжку [-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}].
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків функцій f і g, і запишіть її координати
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння f(x)=g(x) на інтервалі (-∞;+∞).
Показати відповідь
А(\frac{\pi}{2};1)
х=\frac{\pi}{2}+2πn, n∈Z.
1. Маємо графік прямої, паралельної осі Ох (в рівнянні відсутній х), що має ординату 1.
2. Будуємо синусоіду за точками. Не забуваємо про маштаб. Так як значення π 3,14, то π займає 3 одиниці (якщо 1 - одна клітинка, то π - 3 клітинки, якщо 1 - 2 клітинки, то π - 6 клітинок). Обмежуємо синусоіду вказаними точками.
3. Точка А перетину графіків має координати (\frac{\pi}{2};1). Перевіримо, що ця точка є точкою перетину f(\frac{\pi}{2})=1 та g(\frac{\pi}{2})=sin\frac{\pi}{2}=1. Отже, точка А(\frac{\pi}{2};1) дійсно є точкою перетину цих графіків.
4. Потрібно розв'язати рівняння sinx=1. Його розв'язком є х=\frac{\pi}{2}+2πn, n∈Z.
2020. Задано функції f(x)=3-\frac{x}{4} та g(x)=log₂x. Завдання (1-3) виконайте на одному рисунку 1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Позначте точку перетину графіків функцій f і g та запишіть її координати.
4. Скориставшись рисунком, розв’яжіть нерівність f(x)≥g(x).
Показати відповідь
А(4;2)
x∈(0;4].
1. Маємо графік прямої. Тоді достатньо знайти координати двох її точок і через них провести пряму. Маємо точки (0;3) та (4;2)
2. Графік логарифмічної функції завжди проходить через точку (1;0). Так як основа 2, то маємо ще точки (2;1) та (0,5;-1).
3. Точка А перетину графіків має координати (4;2). Перевіримо, що ця точка є точкою перетину f(4)=3-4:4=3-1=2 та g(4)=log₂4=2. Отже, точка А(4;2) дійсно є точкою перетину цих графіків.

4. Спільна область визначення цих функцій (0;+∞). На цій області функція f не нижче функції g на проміжку (0;4]. Отже, розв'язок нерівності f(x)≥g(x) x∈(0;4].
2019. Задано функції f(x)=\frac{3}{x} і g(x)=5-3x.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Знайдіть похідну функції f.
4. До графіка функції f проведено дотичні, паралельні графіку функції g. Визначте абсциси точок дотику.

Показати відповідь
f'(х)=\frac{-3}{x^2}
x= -1; x=1.
1. Маємо графік гіперболи, розміщеної в першій та третій координатних чвертях (3 більше за 0). Для точної побудови можна обчислити декілька точок: (1;3), (3;1), (0,5;6), (6;0,5), (-1;-3), (-3;-1), (-0,5;-6), (-6;-0,5).
2. Маємо графік прямої. Тоді достатньо знайти координати двох її точок і через них провести пряму. Маємо точки (0;5) та (1;2)

3. f'(x)=(\frac{3}{x})'=(3x^-1)'=-3x^-2=\frac{-3}{x^2}
4. Так як дотична паралельна прямій з кутовим коефіцієнтом -3 (коефіцієнт при х), то кутовий коефіцієнт дотичної також -3, отже значення похідної в точці дотику дорівнює -3. Маємо рівняння \frac{-3}{x^2}=-3, звідки x²=-3:(-3)=1. Отже х=1 та х= -1.
2019. Задано функції f(x)=\frac{2}{x} і g(x)=5-8x.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Знайдіть похідну функції f.
4. До графіка функції f проведено дотичні, паралельні графіку функції g. Визначте абсциси точок дотику.

Показати відповідь
f'(х)=\frac{-2}{x^2}
x= -0,5; x=0,5.
1. Маємо графік гіперболи, розміщеної в першій та третій координатних чвертях (2 більше за 0). Для точної побудови можна обчислити декілька точок: (1;2), (2;1), (0,5;4), (4;0,5), (-1;-2), (-2;-1), (-0,5;-4), (-4;-0,5).
2. Маємо графік прямої. Тоді достатньо знайти координати двох її точок і через них провести пряму. Маємо точки (0;5) та (1;-3)

3. f'(x)=(\frac{2}{x})'=(2x^-1)'=-2x^-2=\frac{-2}{x^2}
4. Так як дотична паралельна прямій з кутовим коефіцієнтом -8 (коефіцієнт при х), то кутовий коефіцієнт дотичної також -8, отже значення похідної в точці дотику дорівнює -8. Маємо рівняння \frac{-2}{x^2}=-8, звідки x²=-2:(-8)=1:4=0,25. Отже х=0,5 та х= -0,5.
2019. Задано функцію f(x)=\sqrt{x}+2.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Знайдіть координати х₀ і у₀ точки перетину графіка функції f з прямою у=3.
3. Обчисліть значення похідної функції f в точці х=х₀.
4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀.

Показати відповідь
х₀=1; у₀=3
f'(х₀)=0,5
у=0,5х+2,5.
1. Маємо графік функції f(x)=\sqrt{x}, який переміщено на 2 одиниці угору. Отже, точки графіка f(x)=\sqrt{x} (0;0), (1;1), (4;2), (9;3) перетворюються на точки (0;0+2), (1;1+2), (4;2+2), (9;3+2). Маємо точки (0;2), (1;3), (4;4), (9;5), через які проходить графік функції.
2. Для точного знаходження координат точок перетину графіків двох функцій, потрібно прирівняти їх рівняння. Маємо рівняння \sqrt{x}+2=3, звідки \sqrt{x}=3-2 і х₀=1. Для знаходження у достатньо підставити знайдене значення х₀ у одне з рівнянь, але вже з рівняння у=3 відомо, що у₀=3. Отже, х₀=1; у₀=3. За малюнком перевіряємо, що дійсно, маємо перетин в точці (1;3).
3. f'(x)=(\sqrt{x}+2)'=(\sqrt{x})'+(2)'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+0=\frac{1}{2\sqrt{x}}. f'(х₀)=f'(1)=\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}=0,5
4. Рівняння дотичної має вигляд у=f'(х₀)(х-х₀)+у₀. Підставимо знайдені значення і маємо: у=0,5(х-1)+3=0,5х-0,5+3=0,5х+2,5. Маємо рівняння у=0,5х+2,5.
Задано функцію f(x)=x²+3x-10.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції f з осями координат.
2. Побудуйте графік функції f.
3. Знайдіть похідну функції f.
4. Визначте кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀= -1.

Показати відповідь
(2;0), (-5;0), (0; -10)
f'=2x+3
k=1.
1. Для того, щоб знайти перетин з віссю Оу, потрібно замість х підставити 0. f(0)=0²+3⋅0-10= -10. Маємо точку (0;-10)
Для того, щоб знайти перетин з віссю Ох, потрібно замість f(x) підставити 0. x²+3x-10=0
D=3²-4⋅1⋅(-10)=9+40=49.
x₁=\frac{-3+\sqrt{49}}{2\cdot1}=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}=2
x₂=\frac{-3-\sqrt{49}}{2\cdot1}=\frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}=-5
Маємо точки (2;0) та (-5;0).
2. Для побудови графіка функції знайдемо ще координати вершини параболи.
х_в=-b:2a=-3:2=-1,5
y_в=y(-1,5)= (-1,5)²+3(-1,5)-10=2,25-4,5-10= -12,25
Нанесемо вершину та точки перетину параболи з осями координат і побудуємо графік.
3. f'(x)=(x²+3x-10)'=2x+3.
4. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної в точці дотику. Маємо f'(-1)=2(-1)+3= -2+3=1.

Задано функцію f(x)=x²-3x-4.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції f з осями координат.
2. Побудуйте графік функції f.
3. Знайдіть значення х=х₀, за якого похідна функції f дорівнює 1.
4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀.

Показати відповідь
(0;-4), (-1;0), (4;0)
х₀=2
у=х-8.
1. Для того, щоб знайти перетин з віссю Оу, потрібно замість х підставити 0. f(0)=0²-3⋅0-4= -4. Маємо точку (0;-4)
Для того, щоб знайти перетин з віссю Ох, потрібно замість f(x) підставити 0. x²-3x-4=0
D=3²-4⋅1⋅(-4)=9+16=25.
x₁=\frac{3+\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4
x₂=\frac{3-\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}=-1
Маємо точки (4;0) та (-1;0).
2. Для побудови графіка функції знайдемо ще координати вершини параболи.
х_в=-b:2a=3:2=1,5
y_в=y(1,5)= (1,5)²-3⋅1,5-4=2,25-4,5-4= -6,25
Нанесемо вершину та точки перетину параболи з осями координат і побудуємо графік.
3. f'(x)=(x²-3x-4)'=2x-3. Маємо рівняння 2х-3=1, звідки 2х=4 і х₀=2
4. Рівняння дотичної має вигляд у=f'(х₀)(x-х₀)+f(х₀). f'(х₀)=1 за умовою, х₀=2, f(х₀)=f(2)=2²-3⋅2-4=4-6-4= -6. Підставимо дані значення у формулу і отримаємо у=1⋅(x-2)-6, звідки у=х-8.
Задано функцію f(x)=x²-6x+9.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції f з осями координат.
2. Побудуйте графік функції f.
3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції f.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції f та осями х і у.

Показати відповідь
(0;9), (3;0)
F(x)=\frac{x^3}{3}-3x²+9x+C
S=9.
1. Застосуємо до рівняння функції формулу скороченого множення і отримаємо f(x)=(x-3)². Для того, щоб знайти перетин з віссю Оу, потрібно замість х підставити 0. f(0)=(0-3)²=9. Маємо точку (0;9)
Для того, щоб знайти перетин з віссю Ох, потрібно замість f(x) підставити 0. (x-3)²=0, звідки х-3=0 і х=3.
Маємо точку (0;9).
2. Для побудови графіка функції за допомогою перетворень графіків функції графік параболи f(x)=x² перенесемо на 3 одиниці праворуч.
3. \int(x²-6x+9)dx=\frac{x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}+9x+C=\frac{x^3}{3}-3x²+9x+C
4. \int_{0}^{3}(x²-6x+9)dx = (\frac{x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}+9x)|_{0}^{3} = (\frac{x^3}{3}-3x^2+9x)_{0}^{3}=\frac{3^3}{3}-3⋅3²+9⋅3 = 9-27+27=9
Задано функції f(x)=\sqrt{x} і g(x)=6-x.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Визначте абсцису точки перетину графіків функцій f і g.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій f і g та віссю у.

Показати відповідь
х₁=4
S=10\frac{2}{3}.
1. Графіком функції є гілка параболи. Для точної побудови побудуємо декілька точок: (0;0), (1;1), (4;2), (9;3).
2. Графіком функції є пряма. Побудуємо за точками: (6;0), (0;6).
3. За малюнком маємо лише одну точку перетину з абсцисою х₁=4. Щоб впевнитися в цьому, підставимо ці значення у функції
f(4)=\sqrt{4}=2, g(4)=6-4=2. Так як значення функції співпали, то х=4 дійсно точка перетину.
4.
За малюнком верхня функція g(x), а нижня - f(x). Маємо s= \int_{0}^{4}(6-x-\sqrt{x})dx=\int_{0}^{4}(6-x-x^{\frac{1}{2}})dx=(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}})|_{0}^{4}=(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{2\sqrt{x^3}}{3})|_{0}^{4}=(6\cdot4-\frac{4^2}{2}-\frac{2\sqrt{4^3}}{3})-(6\cdot0-\frac{0^2}{2}-\frac{2\sqrt{0^3}}{3})=24-8-\frac{16}{3}=16-\frac{16}{3}=\frac{48-16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}.
Задано функції f(x)=x³ і g(x)=4|x|.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій f і g.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій f і g.

Показати відповідь
х₁=0; х₂=2
S=4.
1. Графіком функції є кубічна парабола. Для точної побудови побудуємо декілька точок: (0;0), (1;1), (2;8), (-1;-1), (-2;-8).
2. Графіком є графік модуля, розтягнутий вздовж осі Оу на 4.
3. За малюнком точки перетину х₁=0; х₂=2. Щоб впевнитися в цьому, підставимо ці значення у функції
f(0)=0³=0, g(0)=4|0|=0
f(2)=2³=8, g(0)=4⋅|2|=8
4. Оскільки фігура обмежена при додатному значенні х, то |x|=x. За малюнком верхня функція g(x), а нижня - f(x). Маємо s=\int_{0}^{2}(4x-x^3)dx=(\frac{4x^2}{2}-\frac{x^4}{4})|_{0}^{2}=\frac{4\cdot2^2}{2}-\frac{2^4}{4}=8-4=4.