Шлях до математики: кроки успіху: Дослідження функції та побудова її графіка

Дослідження функції та побудова її графіка

2021. Задано функцію y = х³-12х.
1. Для наведених у таблиці значень аргументу х визначте відповідні їм значення у.

x y

-1

0

2

2. Визначте й запишіть координати точок перетину графіка функції y = х³-12х із віссю х.
3. Знайдіть похідну f^/ функції f (x) = х³-12х.
4. Визначте нулі функції f^/.
5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

Відповідь

1. Якщо х = -1, то у = 11; x = 0, то y=0; х = 2, то у=-16.
2. (0;0), ( $-2\sqrt{3}$ ;0),( $2\sqrt{3}$ ;0)
3. f^/(x) = 3x²-12.
4. x₁=2; x₂=-2
5. Проміжки зростання: (-∞;-2], [2;+∞); проміжок спадання [-2; 2]
точки екстремуму: x_max= -2; x_min= 2
екстремуми: f_max= 16; f_min= -16
1. Якщо х = -1, то у = (-1)³-12⋅(-1)= -1+12=11; x = 0, то y =0; х = 2, то у = 8-24= -16.
2. Для того, щоб знайти координати точок перетину графіка функції y = х³-12х із віссю х, потрібно розв'язати рівняння х³-12х=0. Винесемо х за дужки. Маємо:
х(х²-12)=0
x=0 бо х²-12=0, звідки х²=12 і х= $\pm2\sqrt{3}$
Маємо точки (0;0), ( $-2\sqrt{3}$ ;0),( $2\sqrt{3}$ ;0)
3. f^/(x) = (х³-12х)^/=3x²-12.
4. f^/ =0
3x²-12=0
3x²=12
x²=4
x=±2
5. Складемо таблицю поведінки функції на проміжках, якими її розбивають нулі похідної.

x (-∞;-2) -2 (-2;2) 2 (2;+∞)

f^/ + 0 - 0 +

f(x) зростає 16 спадає -16 зростає

З таблиці маємо:
Проміжки зростання: (-∞;-2], [2;+∞); проміжок спадання [-2; 2]
точки екстремуму: x_max= -2; x_min= 2
екстремуми: f_max= 16; f_min= -16
6. Наносимо точки з першого пункту, точки перетину осі х з другого пункту, екстремуми і враховуючи поведінку функції будуємо ескіз.
2021. Задано функцію y = х³-3х.
1. Для наведених у таблиці значень аргументу х визначте відповідні їм значення у.

x y

0

-1

2

2. Визначте і запишіть координати точок перетину графіка функції y = х³-3х із віссю х.
3. Знайдіть похідну f^/ функції f (x) = х³-3х.
4. Визначте нулі функції f^/.
5. Визначте проміжки зростання і спадання, точки екстремуму й екстремуми функції f.
6. Побудуйте ескіз графіка функції f.

Відповідь

1. Якщо х = 0, то у = 0; x = -1, то y=2; х = 2, то у=2.
2. (0;0), ( $\sqrt{3}$ ;0),( $-\sqrt{3}$ ;0)
3. f^/(x) = 3x²-3.
4. x=±1
5. Проміжки зростання: (-∞;-1], [1;+∞); проміжок спадання [-1; 1]
точки екстремуму: x_max= -1; x_min= 1
екстремуми: f_max= 2; f_min= -2
1. Якщо х = 0, то у = 0; x = -1, то y = –1-3(-1)=2 ;х = 2, то у = 8-6=2.
2. Для того, щоб знайти координати точок перетину графіка функції y = х³-3х із віссю х, потрібно розв'язати рівняння х³-3х=0. Винесемо х за дужки. Маємо:
х(х²-3)=0
x=0 бо х²-3=0, звідки х²=3 і х= $\pm\sqrt{3}$
Маємо точки (0;0), ( $\sqrt{3}$ ;0),( $-\sqrt{3}$ ;0)
3. f^/(x) = (х³-3х)^/=3x²-3.
4. f^/ =0
3x²-3=0
3x²=3
x²=1
x=±1
5. Складемо таблицю поведінки функції на проміжках, якими її розбивають нулі похідної.

x (-∞;-1) -1 (-1;1) 1 (1;+∞)

f^/ + 0 - 0 +

f(x) зростає 2 спадає -2 зростає

З таблиці маємо:
Проміжки зростання: (-∞;-1], [1;+∞); проміжок спадання [-1; 1]
точки екстремуму: x_max= -1; x_min= 1
екстремуми: f_max= 2; f_min= -2
6. Наносимо точки з першого пункту, точки перетину осі х з другого пункту, екстремуми і враховуючи поведінку функції будуємо ескіз.
2021. Задано функцію y = 2x + 8.
1. Для наведених у таблиці значень аргументу х і значень функції у визначте відповідні їм значення у та х.

x y

0

0

9

2. Запишіть координати точки М перетину графіка заданої функції з віссю х.
3. Знайдіть загальний вигляд первісних функції f (x) = 2x + 8.
4. Знайдіть первісну F(x) функції f , графік якої проходить через точку М.
5. Побудуйте графік функції F.
6. Визначте область значень функції G(x) = 3 ∙ F(x) + 1.
Відповідь

1. Якщо х = 0, то у = 8; у = 0, то х = –4;х = 9, то у = 26.
2. М (–4; 0).
3. F (x) = x² + 8x + C.
4. F (x) = x² + 8x + 16.
1. Підставляємо у рівняння у=2х+8 х=0, маємо у=0+8=8, х=9, маємо у=18+8=26. Підставляємо у рівняння у=2х+8 у=0, маємо 2х+8=0, звідки 2х=-8 і х=-4.

x y

0 8

-4 0

9 26
2. Так як точка М належить осі х, то в неї у=0. З таблиці це точка М(-4;0).
3. F(x)= $2\frac{x^2}{2}$ +8x+C=x²+8x+C.
4. Так як за умовою точка М належить графіку первісної, то її координати повинні задовольняти рівнянню первісної.
(-4)²+8⋅(-4)+C=0
16-32+C=0
C=16
F(x)=x²+8x+16.
5. Так як F(x)=x²+8x+16=F(x)=(x+4)², то графіком функції є парабола, переміщена на 4 одиниці ліворуч.

6. Область значень функції F(x) [0;+∞). Тоді область значень функції 3⋅F(x) [0⋅3;+∞), тобто також [0;+∞). Тоді область значень функції 3⋅F(x)+1 [0+1;+∞+1), тобто [1;+∞).
2020. Задано функції f(x)= $\frac{1}{2}$ та g(x)=sinx. Завдання (1-3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g на проміжку [- $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ].
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків функцій f і g, і запишіть її координати
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння f(x)=g(x) на інтервалі (-∞;+∞).
Відповідь

А( $\frac{\pi}{6};\frac{1}{2}$ )
х=(-1)ⁿ $\frac{\pi}{6}$ +πn, n∈Z
1. Маємо графік прямої, паралельної осі Ох (в рівнянні відсутній х), що має ординату 0,5.
2. Будуємо синусоіду за точками. Не забуваємо про маштаб. Так як значення π 3,14, то π займає 3 одиниці (якщо 1 - одна клітинка, то π - 3 клітинки, якщо 1 - 2 клітинки, то π - 6 клітинок). Обмежуємо синусоіду вказаними точками.
3. Точка А перетину графіків має координати ( $\frac{\pi}{6};\frac{1}{2}$ ). Перевіримо, що ця точка є точкою перетину f( $\frac{\pi}{6}$ )= $\frac{1}{2}$ та g( $\frac{\pi}{6}$ )=sin $\frac{\pi}{6}$ = $\frac{1}{2}$ . Отже, точка А( $\frac{\pi}{6};\frac{1}{2}$ ) дійсно є точкою перетину цих графіків.
4. Потрібно розв'язати рівняння sinx= $\frac{1}{2}$ . Його розв'язком є х=(-1)ⁿ $\frac{\pi}{6}$ +πn, n∈Z.
2020. Задано функції f(x)=1 та g(x)=sinx. Завдання (1-3) виконайте на одному рисунку.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g на проміжку [- $\frac{\pi}{2}$ ; $\frac{\pi}{2}$ ].
3. Позначте на рисунку точку, що є спільною для обох побудованих графіків функцій f і g, і запишіть її координати
4. Знайдіть множину всіх коренів рівняння f(x)=g(x) на інтервалі (-∞;+∞).
Відповідь

А( $\frac{\pi}{2}$ ;1)
х= $\frac{\pi}{2}$ +2πn, n∈Z.
1. Маємо графік прямої, паралельної осі Ох (в рівнянні відсутній х), що має ординату 1.
2. Будуємо синусоіду за точками. Не забуваємо про маштаб. Так як значення π 3,14, то π займає 3 одиниці (якщо 1 - одна клітинка, то π - 3 клітинки, якщо 1 - 2 клітинки, то π - 6 клітинок). Обмежуємо синусоіду вказаними точками.
3. Точка А перетину графіків має координати ( $\frac{\pi}{2}$ ;1). Перевіримо, що ця точка є точкою перетину f( $\frac{\pi}{2}$ )=1 та g( $\frac{\pi}{2}$ )=sin $\frac{\pi}{2}$ =1. Отже, точка А( $\frac{\pi}{2}$ ;1) дійсно є точкою перетину цих графіків.
4. Потрібно розв'язати рівняння sinx=1. Його розв'язком є х= $\frac{\pi}{2}$ +2πn, n∈Z.
2020. Задано функції f(x)=3- $\frac{x}{4}$ та g(x)=log₂x. Завдання (1-3) виконайте на одному рисунку 1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Позначте точку перетину графіків функцій f і g та запишіть її координати.
4. Скориставшись рисунком, розв’яжіть нерівність f(x)≥g(x).
Відповідь

А(4;2)
x∈(0;4].
1. Маємо графік прямої. Тоді достатньо знайти координати двох її точок і через них провести пряму. Маємо точки (0;3) та (4;2)
2. Графік логарифмічної функції завжди проходить через точку (1;0). Так як основа 2, то маємо ще точки (2;1) та (0,5;-1).
3. Точка А перетину графіків має координати (4;2). Перевіримо, що ця точка є точкою перетину f(4)=3-4:4=3-1=2 та g(4)=log₂4=2. Отже, точка А(4;2) дійсно є точкою перетину цих графіків.

4. Спільна область визначення цих функцій (0;+∞). На цій області функція f не нижче функції g на проміжку (0;4]. Отже, розв'язок нерівності f(x)≥g(x) x∈(0;4].
2019. Задано функції f(x)= $\frac{3}{x}$ і g(x)=5-3x.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Знайдіть похідну функції f.
4. До графіка функції f проведено дотичні, паралельні графіку функції g. Визначте абсциси точок дотику.

Відповідь

f'(х)= $\frac{-3}{x^2}$
x= -1; x=1.
1. Маємо графік гіперболи, розміщеної в першій та третій координатних чвертях (3 більше за 0). Для точної побудови можна обчислити декілька точок: (1;3), (3;1), (0,5;6), (6;0,5), (-1;-3), (-3;-1), (-0,5;-6), (-6;-0,5).
2. Маємо графік прямої. Тоді достатньо знайти координати двох її точок і через них провести пряму. Маємо точки (0;5) та (1;2)

3. f'(x)=( $\frac{3}{x}$ )'=(3x^-1)'=-3x^-2= $\frac{-3}{x^2}$
4. Так як дотична паралельна прямій з кутовим коефіцієнтом -3 (коефіцієнт при х), то кутовий коефіцієнт дотичної також -3, отже значення похідної в точці дотику дорівнює -3. Маємо рівняння $\frac{-3}{x^2}$ =-3, звідки x²=-3:(-3)=1. Отже х=1 та х= -1.
2019. Задано функції f(x)= $\frac{2}{x}$ і g(x)=5-8x.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Знайдіть похідну функції f.
4. До графіка функції f проведено дотичні, паралельні графіку функції g. Визначте абсциси точок дотику.

Відповідь

f'(х)= $\frac{-2}{x^2}$
x= -0,5; x=0,5.
1. Маємо графік гіперболи, розміщеної в першій та третій координатних чвертях (2 більше за 0). Для точної побудови можна обчислити декілька точок: (1;2), (2;1), (0,5;4), (4;0,5), (-1;-2), (-2;-1), (-0,5;-4), (-4;-0,5).
2. Маємо графік прямої. Тоді достатньо знайти координати двох її точок і через них провести пряму. Маємо точки (0;5) та (1;-3)

3. f'(x)=( $\frac{2}{x}$ )'=(2x^-1)'=-2x^-2= $\frac{-2}{x^2}$
4. Так як дотична паралельна прямій з кутовим коефіцієнтом -8 (коефіцієнт при х), то кутовий коефіцієнт дотичної також -8, отже значення похідної в точці дотику дорівнює -8. Маємо рівняння $\frac{-2}{x^2}$ =-8, звідки x²=-2:(-8)=1:4=0,25. Отже х=0,5 та х= -0,5.
2019. Задано функцію f(x)= $\sqrt{x}$ +2.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Знайдіть координати х₀ і у₀ точки перетину графіка функції f з прямою у=3.
3. Обчисліть значення похідної функції f в точці х=х₀.
4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀.

Відповідь

х₀=1; у₀=3
f'(х₀)=0,5
у=0,5х+2,5.
1. Маємо графік функції f(x)= $\sqrt{x}$ , який переміщено на 2 одиниці угору. Отже, точки графіка f(x)= $\sqrt{x}$ (0;0), (1;1), (4;2), (9;3) перетворюються на точки (0;0+2), (1;1+2), (4;2+2), (9;3+2). Маємо точки (0;2), (1;3), (4;4), (9;5), через які проходить графік функції.
2. Для точного знаходження координат точок перетину графіків двох функцій, потрібно прирівняти їх рівняння. Маємо рівняння $\sqrt{x}$ +2=3, звідки $\sqrt{x}$ =3-2 і х₀=1. Для знаходження у достатньо підставити знайдене значення х₀ у одне з рівнянь, але вже з рівняння у=3 відомо, що у₀=3. Отже, х₀=1; у₀=3. За малюнком перевіряємо, що дійсно, маємо перетин в точці (1;3).
3. f'(x)=( $\sqrt{x}+2$ )'=( $\sqrt{x}$ )'+(2)'= $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ +0= $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ . f'(х₀)=f'(1)= $\frac{1}{2\sqrt{1}}=\frac{1}{2}=$ 0,5
4. Рівняння дотичної має вигляд у=f'(х₀)(х-х₀)+у₀. Підставимо знайдені значення і маємо: у=0,5(х-1)+3=0,5х-0,5+3=0,5х+2,5. Маємо рівняння у=0,5х+2,5.
Задано функцію f(x)=x²+3x-10.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції f з осями координат.
2. Побудуйте графік функції f.
3. Знайдіть похідну функції f.
4. Визначте кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀= -1.

Відповідь

(2;0), (-5;0), (0; -10)
f'=2x+3
k=1.
1. Для того, щоб знайти перетин з віссю Оу, потрібно замість х підставити 0. f(0)=0²+3⋅0-10= -10. Маємо точку (0;-10)
Для того, щоб знайти перетин з віссю Ох, потрібно замість f(x) підставити 0. x²+3x-10=0
D=3²-4⋅1⋅(-10)=9+40=49.
x₁= $\frac{-3+\sqrt{49}}{2\cdot1}=\frac{-3+7}{2}=\frac{4}{2}$ =2
x₂= $\frac{-3-\sqrt{49}}{2\cdot1}=\frac{-3-7}{2}=\frac{-10}{2}$ =-5
Маємо точки (2;0) та (-5;0).
2. Для побудови графіка функції знайдемо ще координати вершини параболи.
х_в=-b:2a=-3:2=-1,5
y_в=y(-1,5)= (-1,5)²+3(-1,5)-10=2,25-4,5-10= -12,25
Нанесемо вершину та точки перетину параболи з осями координат і побудуємо графік.
3. f'(x)=(x²+3x-10)'=2x+3.
4. Кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної в точці дотику. Маємо f'(-1)=2(-1)+3= -2+3=1.

Задано функцію f(x)=x²-3x-4.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції f з осями координат.
2. Побудуйте графік функції f.
3. Знайдіть значення х=х₀, за якого похідна функції f дорівнює 1.
4. Запишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції f у точці з абсцисою х₀.

Відповідь

(0;-4), (-1;0), (4;0)
х₀=2
у=х-8.
1. Для того, щоб знайти перетин з віссю Оу, потрібно замість х підставити 0. f(0)=0²-3⋅0-4= -4. Маємо точку (0;-4)
Для того, щоб знайти перетин з віссю Ох, потрібно замість f(x) підставити 0. x²-3x-4=0
D=3²-4⋅1⋅(-4)=9+16=25.
x₁= $\frac{3+\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}$ =4
x₂= $\frac{3-\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{3-5}{2}=\frac{-2}{2}$ =-1
Маємо точки (4;0) та (-1;0).
2. Для побудови графіка функції знайдемо ще координати вершини параболи.
х_в=-b:2a=3:2=1,5
y_в=y(1,5)= (1,5)²-3⋅1,5-4=2,25-4,5-4= -6,25
Нанесемо вершину та точки перетину параболи з осями координат і побудуємо графік.
3. f'(x)=(x²-3x-4)'=2x-3. Маємо рівняння 2х-3=1, звідки 2х=4 і х₀=2
4. Рівняння дотичної має вигляд у=f'(х₀)(x-х₀)+f(х₀). f'(х₀)=1 за умовою, х₀=2, f(х₀)=f(2)=2²-3⋅2-4=4-6-4= -6. Підставимо дані значення у формулу і отримаємо у=1⋅(x-2)-6, звідки у=х-8.
Задано функцію f(x)=x²-6x+9.
1. Визначте координати точок перетину графіка функції f з осями координат.
2. Побудуйте графік функції f.
3. Запишіть загальний вигляд первісних для функції f.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіком функції f та осями х і у.

Відповідь

(0;9), (3;0)
F(x)= $\frac{x^3}{3}$ -3x²+9x+C
S=9.
1. Застосуємо до рівняння функції формулу скороченого множення і отримаємо f(x)=(x-3)². Для того, щоб знайти перетин з віссю Оу, потрібно замість х підставити 0. f(0)=(0-3)²=9. Маємо точку (0;9)
Для того, щоб знайти перетин з віссю Ох, потрібно замість f(x) підставити 0. (x-3)²=0, звідки х-3=0 і х=3.
Маємо точку (0;9).
2. Для побудови графіка функції за допомогою перетворень графіків функції графік параболи f(x)=x² перенесемо на 3 одиниці праворуч.
3. $\int$ (x²-6x+9)dx= $\frac{x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}+9x+C=\frac{x^3}{3}$ -3x²+9x+C
4. $\int_{0}^{3}$ (x²-6x+9)dx = $(\frac{x^3}{3}-\frac{6x^2}{2}+9x)|_{0}^{3}$ = $(\frac{x^3}{3}-3x^2+9x)_{0}^{3}=\frac{3^3}{3}$ -3⋅3²+9⋅3 = 9-27+27=9
Задано функції f(x)= $\sqrt{x}$ і g(x)=6-x.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Визначте абсцису точки перетину графіків функцій f і g.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій f і g та віссю у.

Відповідь

х₁=4
S= $10\frac{2}{3}$ .
1. Графіком функції є гілка параболи. Для точної побудови побудуємо декілька точок: (0;0), (1;1), (4;2), (9;3).
2. Графіком функції є пряма. Побудуємо за точками: (6;0), (0;6).
3. За малюнком маємо лише одну точку перетину з абсцисою х₁=4. Щоб впевнитися в цьому, підставимо ці значення у функції
f(4)= $\sqrt{4}$ =2, g(4)=6-4=2. Так як значення функції співпали, то х=4 дійсно точка перетину.
4.
За малюнком верхня функція g(x), а нижня - f(x). Маємо s= $\int_{0}^{4}(6-x-\sqrt{x})dx=\int_{0}^{4}(6-x-x^{\frac{1}{2}})dx$ = $(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}})|_{0}^{4}$ = $(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{2\sqrt{x^3}}{3})|_{0}^{4}$ = $(6\cdot4-\frac{4^2}{2}-\frac{2\sqrt{4^3}}{3})-(6\cdot0-\frac{0^2}{2}-\frac{2\sqrt{0^3}}{3})$ =24-8- $\frac{16}{3}=16-\frac{16}{3}$ = $\frac{48-16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$ .
Задано функції f(x)=x³ і g(x)=4|x|.
1. Побудуйте графік функції f.
2. Побудуйте графік функції g.
3. Визначте абсциси точок перетину графіків функцій f і g.
4. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій f і g.

Відповідь

х₁=0; х₂=2
S=4.
1. Графіком функції є кубічна парабола. Для точної побудови побудуємо декілька точок: (0;0), (1;1), (2;8), (-1;-1), (-2;-8).
2. Графіком є графік модуля, розтягнутий вздовж осі Оу на 4.
3. За малюнком точки перетину х₁=0; х₂=2. Щоб впевнитися в цьому, підставимо ці значення у функції
f(0)=0³=0, g(0)=4|0|=0
f(2)=2³=8, g(0)=4⋅|2|=8
4. Оскільки фігура обмежена при додатному значенні х, то |x|=x. За малюнком верхня функція g(x), а нижня - f(x). Маємо s= $\int_{0}^{2}(4x-x^3)dx=(\frac{4x^2}{2}-\frac{x^4}{4})|_{0}^{2}$ = $\frac{4\cdot2^2}{2}-\frac{2^4}{4}$ =8-4=4.

⇐ІІІ.7.
Первісна функції

До змісту

⇒ІV.1.
Комбінаторика

4 коментарі:

Unknown6 жовтня 2021 р. о 20:44
Допоможіть будь ласка, як побудувати графік функції f(x)=4
ВідповістиВидалити
Відповіді
Unknown18 жовтня 2021 р. о 13:35
Виконав всі завдання, дякую за матеріал і пояснення!
ВідповістиВидалити
Відповіді
Unknown2 січня 2022 р. о 09:39
Вдячний за вашу працю!
ВідповістиВидалити
Відповіді

Додати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)