Шлях до математики: кроки успіху: Теорія ймовірностей

Ймовірність події А обчислюється за формулою Р(А)= $\frac{m}{n}$ , де m - кількість випадків, які сприяють появі події А, n - кількість всіх можливих випадків

2020. Із гаманця, у якому лежать 5 монет номіналом по 10 копійок, 12 монет — по 25 копійок, 3 монети — по 1 гривні, беруть навмання одну монету. Обчисліть ймовірність того, що її номінал буде менше 50 копійок.

А Б В Г Д

$\frac{17}{20}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{3}{20}$ 1

Відповідь

А.
Маємо всього 5+12+3=20 монет. Умові задачі відповідають лише 5+12=17 монет. Тоді ймовірність того, що номінал монети буде менше 50 копійок дорівнює P(A)= $\frac{17}{20}$ .
2020. У кіоску продають морозиво 12 різних видів, з них 4 види — з горіхами, решта — фруктові. Яка ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим?

А Б В Г Д

$\frac{1}{6}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{1}{12}$ $\frac{1}{3}$

Відповідь

В.
Маємо 12-4=8 фруктових морозив. Тоді ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим дорівнює P(A)= $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$ .
Випущено партію з 300 лотерейних білетів. Імовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює 0,2. Визначте кількість білетів без виграшу серед цих 300 білетів.

А Б В Г Д

6 60 294 150 240

Відповідь

Д.
Нехай виграшних білетів х. Тоді ймовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює P(A)= $\frac{x}{300}$ , що дорівнює 0,2 за умовою. Отже, маємо рівняння $\frac{x}{300}$ =0,2, звідки х=300⋅0,2=60. Тоді білетів без виграшу 300-60=240.
У лотереї 10 виграшних білетів і 290 білетів без виграшу. Яка ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним?

А Б В Г Д

$\frac{1}{29}$ $\frac{29}{30}$ $\frac{1}{300}$ $\frac{1}{30}$ $\frac{1}{10}$

Відповідь

Г.
Маємо 10 виграшних білетів з 10+290=300 білетів. Тоді ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним дорівнює P(A)= $\frac{10}{300}=\frac{1}{30}$ .

На полиці розміщено 16 книг, з яких 6 книг — історичні романи, а решта — детективи. Знайдіть імовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом.

А Б В Г Д

$\frac{5}{8}$ $\frac{1}{16}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{1}{10}$ $\frac{3}{8}$

Відповідь

А.
Маємо 16-6=10 детективів. Тоді ймовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом дорівнює P(A)= $\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$ .
Комп’ютерна програма видаляє у восьмицифровому числі одну цифру навмання. Яка ймовірність того, що в числі 12506975 буде видалено цифру 5?

А Б В Г Д

$\frac{5}{8}$ $\frac{1}{8}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{5}$ $\frac{1}{4}$

Відповідь

Д.
Маємо в даному числі 2 п'ятірки. Тоді ймовірність того, що в цьому числі буде видалено цифру 5 дорівнює P(A)= $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$ .
Власник банкоматної картки забув останні дві цифри свого PIN-коду, але пам’ятає, що вони різні. Знайдіть імовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи.

А Б В Г Д

$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{25}$ $\frac{1}{50}$ $\frac{1}{90}$ $\frac{1}{100}$

Відповідь

Г.
Остання цифра може бути будь-яка, тому маємо 10 варіантів для неї. Передостання цифра може бути будь-яка, окрім рівної останній. Тому маємо 9 варіантів. За правилом множення маємо 90 можливих варіантів, а підходить лише 1. Тоді ймовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи дорівнює P(A)= $\frac{1}{90}$ .
Майстер обслуговує лише три верстати: 20% робочого часу він обслуговує перший верстат, 30% - другий, 50%-третій. Обчисліть ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат.

А Б В Г Д

0,8 0,7 0,5 0,3 0,1

Відповідь

Б.
За умовою майстер обслуговує перший або третій верстат 20%+50%=70% робочого часу. Тоді ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат дорівнює 70:100=0,7.
2021. На виборах президента школи балотуються три кандидати: Наталя, Микола й Антон. За результатами опитування ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює ймовірності того, що переможе Микола, й вдвічі менша за ймовірність того, що переможе Наталя. Якою за результатами опитування є ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу?
Відповідь

0,25.
Нехай ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює х. Тоді ймовірність того, що переможе Микола, дорівнює х , а ймовірність того, що переможе Наталя, дорівнює 2х. Разом всі ці події утворюють повний простір подій (інших подій не може бути), тому маємо х+х+2х=1, звідки 4х=1 і х=1:4=0,25. Отже, ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу, дорівнює 0,25.
2021. У першому класі 15 дівчаток, з яких лише одна на ім’я Дарина, і 11 хлопчиків. На першому уроці вчителька навмання формує пари дітей, які сидітимуть за однією партою. Першою вона обирає пару для Дарини. Яка ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою?
Відповідь

0,56.
Всього у класі 15+11=26 учнів. Тому поруч з Дариною може сісти будь-хто з 25 учнів. Нам потрібні лише дівчинки, яких без Дарини 14. Ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою, дорівнює $\frac{14}{25}=\frac{14\cdot4}{25\cdot4}=\frac{56}{100}$ =0,56.
2021. На діаграмі відображено інформацію про результати складання письмового заліку студентами певної групи. Комісія з якості освіти розпочинає перевірку відповідності виставлених оцінок змісту залікових робіт студентів і відбирає для перевірки декілька робіт навмання. Яка ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою D? Отриману відповідь округліть до сотих.

Відповідь

0,13.
Оцінку А мають 6 студентів, B - 8, C - 7, D - 4, E - 5, F - 2. Всього 6+8+7+4+5+2=32 роботи. Тоді ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою D, дорівнює $\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$ =0,125≈0,13.
2020. Для участі в роботі студентської ради з кожної з двох груп навмання вибирають по 1 студенту. Серед 24 студентів першої групи проживають у гуртожитку 6 студентів, а серед 28 студентів другої групи — 14 студентів. Яка ймовірність того, що обидва вибрані для роботи в раді студенти будуть з тих, хто проживає в гуртожитку.
Відповідь

0,125.
Ймовірність того, що студент, вибраний з 1 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює $\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$ =0,25. Ймовірність того, що студент, вибраний з 2 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює $\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$ =0,5. Так як обираємо і з першої, і з другої групи, то за правилом множення маємо 0,25⋅0,5=0,125.
Спортсмен робить один постріл у мішень. Імовірність того, що він улучить у мішень, у 7 разів більша за ймовірність того, що він у неї не влучить. Обчисліть імовірність того, що спортсмен улучить у мішень.
Відповідь

0,875.
Нехай імовірність того, що спортсмен не улучить у мішень, дорівнює х. Тоді імовірність того, що спортсмен улучить у мішень, дорівнює 7х. Оскільки ці події є протилежними, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Маємо х+7х=1, звідки 8х=1. Тоді х=1:8=0,125. Імовірність того, що спортсмен улучить у мішень 1-0,125=0,875.
У відділі працює певна кількість чоловіків і жінок. Для анкетування навмання вибрали одного із співробітників. Імовірність того, що це чоловік, дорівнює $\frac{2}{7}$ . Знайдіть відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі.
Відповідь

2,5.
Оскільки імовірність того, що вибрали чоловіка і імовірність того, що вибрали жінку є протилежними подіями, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Тоді імовірність того, що вибрали жінку дорівнює 1- $\frac{2}{7}=\frac{5}{7}$ . Кількість жінок відноситься до кількості чоловік так же, як і імовірності їх обрати. Маємо відношення $\frac{5}{7}:\frac{2}{7}$ = $\frac{5}{7}\cdot\frac{7}{2}=\frac{5}{2}$ =2,5.
У торбинці лежать 3 цукерки з молочного шоколаду та m цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки — однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати m, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за 0,25?
Відповідь

10.
Маємо m+3 цукерок. Тоді ймовірність того, що навмання витягнута з торбинки цукерка є з молочного шоколаду дорівнює P(A)= $\frac{3}{m+3}$ . За умовою ця ймовірність менша за 0,25, отже маємо нерівність $\frac{3}{m+3}$ <0,25. Оскільки кількість цукерок є додатнім числом, то m+3 є додатним числом і ми можемо помножити обидві частини нерівності на цей вираз, не змінюючи при цьому знак нерівності. Маємо:
3<0,25⋅(m+3)
12<m+3 (помножили обидві частини нерівності на 4)
12-3<m
m>9. Найменшим числом, що задовольняє цій нерівності, є число 10.
В автобусному парку налічується n автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на 4 автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з n автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить 0,25. Визначте n. Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.
Відповідь

48.
За умовою інформаційним табло обладнано $\frac{n}{6}$ автобусів. Пізніше їх стало $\frac{n}{6}+4=\frac{n+24}{6}$ . Тоді ймовірність того, що навмання вибраний автобус з інформаційним табло дорівнює P(A)= $\frac{\frac{n+24}{6}}{n}=\frac{n+24}{6n}$ . За умовою ця ймовірність дорівнює 0,25, отже маємо рівняння $\frac{n+24}{6n}$ =0,25
n+24=6n⋅0,25
n+24=1,5n
24=0,5n
n=48.
У фестивалі беруть участь 25 гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від 1 до 25. Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним.
Відповідь

0,02.
Імовірність того, що гурт з України виступатиме першим, дорівнює $\frac{1}{25}$ =0,04, а ймовірність того, що порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює $\frac{12}{24}$ =0,5 (маємо 12 парних порядкових номерів з 24 залишившихся після вибору 1 (непарного номеру) номеру для України). Тоді, за правилом множення, імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює 0,04⋅0,5=0,02.
Пасічник зберігає мед в однакових закритих металевих бідонах. Їх у нього дванадцять: у трьох бідонах міститься квітковий мед, у чотирьох — мед із липи, у п’яти — мед із гречки. Знайдіть імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед.
Відповідь

0,25.
Маємо 3 бідони з квітковим медом з 12. Тоді імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед дорівнює P(A)= $\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$ =0,25.
У коробці є 80 цукерок, з яких 44 — з чорного шоколаду, а решта — з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.
Відповідь

0,45.
Маємо 80-44=36 цукерки з білого шоколаду. Тоді ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду дорівнює P(A)= $\frac{36}{80}=\frac{9}{20}=\frac{45}{100}$ =0,45.