Теорія ймовірностей — це розділ математики, який допомагає оцінити шанси настання певних подій у світі, де панує випадковість. Вміння обчислювати ймовірність за класичною формулою є фундаментальною навичкою для успішного складання НМТ, адже такі задачі зустрічаються в кожному екзаменаційному варіанті. Розуміння суті сприятливих подій та загальної кількості випадків дозволяє швидко знаходити правильні відповіді навіть у складних життєвих сценаріях: від розіграшів у лотерею до розрахунку ризиків у побутових справах.
На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО, включаючи аналіз демонстраційних варіантів та тестів минулих років. Ви навчитеся працювати з класичним означенням ймовірності, використовувати правила додавання та множення для незалежних подій, а також розв'язувати задачі на вибір об'єктів із груп. Тут зібрано все необхідне для підготовки: від простих прикладів з монетами та гральними кубиками до багатокрокових задач на відсотки та статистичні дані.
Ймовірність події А обчислюється за формулою Р(А) = \frac{m}{n}, де m - кількість випадків, які сприяють появі події А, n - кількість всіх можливих випадків
Завдання 1. У салоні пасажирського літака 20 рядів, у кожному з яких розташовано по 3 крісла обабіч проходу (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Яка імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу?
\frac{1}{2}
\frac{1}{6}
\frac{1}{3}
\frac{2}{3}
\frac{1}{120}
Показати відповідь
В.
Маємо всього 20 ∙ 6 = 120 місць. В кожному ряду підходить лише 2 місця (біля проходу з кожного боку), тобто всього 20 ∙ 2 = 40 місць. За формулою ймовірності події Р(А) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}.
Маємо всього 20 ∙ 6 = 120 місць. В кожному ряду підходить лише 2 місця (біля проходу з кожного боку), тобто всього 20 ∙ 2 = 40 місць. За формулою ймовірності події Р(А) = \frac{40}{120} = \frac{1}{3}.
Завдання 2. Із гаманця, у якому лежать 5 монет номіналом по 10 копійок, 12 монет — по 25 копійок, 3 монети — по 1 гривні, беруть навмання одну монету. Обчисліть ймовірність того, що її номінал буде менше 50 копійок.
\frac{17}{20}
\frac{3}{5}
\frac{1}{4}
\frac{3}{20}
1
Показати відповідь
А.
Маємо всього 5 + 12 + 3 = 20 монет. Умові задачі відповідають лише 5 + 12 = 17 монет. Тоді ймовірність того, що номінал монети буде менше 50 копійок дорівнює P(A) = \frac{17}{20}.
Завдання 3. У кіоску продають морозиво 12 різних видів, з них 4 види — з горіхами, решта — фруктові. Яка ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим?
Маємо всього 5 + 12 + 3 = 20 монет. Умові задачі відповідають лише 5 + 12 = 17 монет. Тоді ймовірність того, що номінал монети буде менше 50 копійок дорівнює P(A) = \frac{17}{20}.
\frac{1}{6}
\frac{1}{8}
\frac{2}{3}
\frac{1}{12}
\frac{1}{3}
Показати відповідь
В.
Маємо 12-4 = 8 фруктових морозив. Тоді ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим дорівнює P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.
Завдання 4. Випущено партію з 300 лотерейних білетів. Імовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює 0,2. Визначте кількість білетів без виграшу серед цих 300 білетів.
Маємо 12-4 = 8 фруктових морозив. Тоді ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим дорівнює P(A) = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.
6
60
294
150
240
Показати відповідь
Д.
Нехай виграшних білетів х. Тоді ймовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює P(A) = \frac{x}{300}, що дорівнює 0,2 за умовою. Отже, маємо рівняння \frac{x}{300} = 0,2, звідки х = 300 · 0,2 = 60. Тоді білетів без виграшу 300-60 = 240.
Завдання 5. У лотереї 10 виграшних білетів і 290 білетів без виграшу. Яка ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним?
Нехай виграшних білетів х. Тоді ймовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює P(A) = \frac{x}{300}, що дорівнює 0,2 за умовою. Отже, маємо рівняння \frac{x}{300} = 0,2, звідки х = 300 · 0,2 = 60. Тоді білетів без виграшу 300-60 = 240.
\frac{1}{29}
\frac{29}{30}
\frac{1}{300}
\frac{1}{30}
\frac{1}{10}
Показати відповідь
Г.
Маємо 10 виграшних білетів з 10 + 290 = 300 білетів. Тоді ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним дорівнює P(A) = \frac{10}{300} = \frac{1}{30}.
Завдання 6. На полиці розміщено 16 книг, з яких 6 книг — історичні романи, а решта — детективи. Знайдіть імовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом.
Маємо 10 виграшних білетів з 10 + 290 = 300 білетів. Тоді ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним дорівнює P(A) = \frac{10}{300} = \frac{1}{30}.
\frac{5}{8}
\frac{1}{16}
\frac{3}{5}
\frac{1}{10}
\frac{3}{8}
Показати відповідь
А.
Маємо 16-6 = 10 детективів. Тоді ймовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом дорівнює P(A) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}.
Завдання 7. Комп’ютерна програма видаляє у восьмицифровому числі одну цифру навмання. Яка ймовірність того, що в числі 12506975 буде видалено цифру 5?
Маємо 16-6 = 10 детективів. Тоді ймовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом дорівнює P(A) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}.
\frac{5}{8}
\frac{1}{8}
\frac{1}{2}
\frac{1}{5}
\frac{1}{4}
Показати відповідь
Д.
Маємо в даному числі 2 п'ятірки. Тоді ймовірність того, що в цьому числі буде видалено цифру 5 дорівнює P(A) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
Завдання 8. Власник банкоматної картки забув останні дві цифри свого PIN-коду, але пам’ятає, що вони різні. Знайдіть імовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи.
Маємо в даному числі 2 п'ятірки. Тоді ймовірність того, що в цьому числі буде видалено цифру 5 дорівнює P(A) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}.
\frac{1}{2}
\frac{1}{25}
\frac{1}{50}
\frac{1}{90}
\frac{1}{100}
Показати відповідь
Г.
Остання цифра може бути будь-яка, тому маємо 10 варіантів для неї. Передостання цифра може бути будь-яка, окрім рівної останній. Тому маємо 9 варіантів. За правилом множення маємо 90 можливих варіантів, а підходить лише 1. Тоді ймовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи дорівнює P(A) = \frac{1}{90}.
Завдання 9. Майстер обслуговує лише три верстати: 20% робочого часу він обслуговує перший верстат, 30% - другий, 50%-третій. Обчисліть ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат.
Остання цифра може бути будь-яка, тому маємо 10 варіантів для неї. Передостання цифра може бути будь-яка, окрім рівної останній. Тому маємо 9 варіантів. За правилом множення маємо 90 можливих варіантів, а підходить лише 1. Тоді ймовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи дорівнює P(A) = \frac{1}{90}.
0,8
0,7
0,5
0,3
0,1
Показати відповідь
Б.
За умовою майстер обслуговує перший або третій верстат 20% + 50% = 70% робочого часу. Тоді ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат дорівнює 70:100 = 0,7.
Завдання 10. На виборах президента школи балотуються три кандидати: Наталя, Микола й Антон. За результатами опитування ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює ймовірності того, що переможе Микола, й вдвічі менша за ймовірність того, що переможе Наталя. Якою за результатами опитування є ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу?
За умовою майстер обслуговує перший або третій верстат 20% + 50% = 70% робочого часу. Тоді ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат дорівнює 70:100 = 0,7.
Показати відповідь
0,25.
Нехай ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює х. Тоді ймовірність того, що переможе Микола, дорівнює х , а ймовірність того, що переможе Наталя, дорівнює 2х. Разом всі ці події утворюють повний простір подій (інших подій не може бути), тому маємо х + х + 2х = 1, звідки 4х = 1 і х = 1:4 = 0,25. Отже, ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу, дорівнює 0,25.
Завдання 11. У першому класі 15 дівчаток, з яких лише одна на ім’я Дарина, і 11 хлопчиків. На першому уроці вчителька навмання формує пари дітей, які сидітимуть за однією партою. Першою вона обирає пару для Дарини. Яка ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою?
Нехай ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює х. Тоді ймовірність того, що переможе Микола, дорівнює х , а ймовірність того, що переможе Наталя, дорівнює 2х. Разом всі ці події утворюють повний простір подій (інших подій не може бути), тому маємо х + х + 2х = 1, звідки 4х = 1 і х = 1:4 = 0,25. Отже, ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу, дорівнює 0,25.
Показати відповідь
0,56.
Всього у класі 15 + 11 = 26 учнів. Тому поруч з Дариною може сісти будь-хто з 25 учнів. Нам потрібні лише дівчинки, яких без Дарини 14. Ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою, дорівнює \frac{14}{25} = \frac{14\cdot4}{25\cdot4} = \frac{56}{100} = 0,56.
Завдання 12. На діаграмі відображено інформацію про результати складання письмового заліку студентами певної групи. Комісія з якості освіти розпочинає перевірку відповідності виставлених оцінок змісту залікових робіт студентів і відбирає для перевірки декілька робіт навмання. Яка ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою D? Отриману відповідь округліть до сотих.
Всього у класі 15 + 11 = 26 учнів. Тому поруч з Дариною може сісти будь-хто з 25 учнів. Нам потрібні лише дівчинки, яких без Дарини 14. Ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою, дорівнює \frac{14}{25} = \frac{14\cdot4}{25\cdot4} = \frac{56}{100} = 0,56.
Показати відповідь
0,13.
Оцінку А мають 6 студентів, B - 8, C - 7, D - 4, E - 5, F - 2. Всього 6 + 8 + 7 + 4 + 5 + 2 = 32 роботи. Тоді ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою D, дорівнює \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0,125 ≈ 0,13.
Завдання 13. Для участі в роботі студентської ради з кожної з двох груп навмання вибирають по 1 студенту. Серед 24 студентів першої групи проживають у гуртожитку 6 студентів, а серед 28 студентів другої групи — 14 студентів. Яка ймовірність того, що обидва вибрані для роботи в раді студенти будуть з тих, хто проживає в гуртожитку.
Оцінку А мають 6 студентів, B - 8, C - 7, D - 4, E - 5, F - 2. Всього 6 + 8 + 7 + 4 + 5 + 2 = 32 роботи. Тоді ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою D, дорівнює \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0,125 ≈ 0,13.
Показати відповідь
0,125.
Ймовірність того, що студент, вибраний з 1 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0,25. Ймовірність того, що студент, вибраний з 2 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює \frac{14}{28} = \frac{1}{2} = 0,5. Так як обираємо і з першої, і з другої групи, то за правилом множення маємо 0,25 · 0,5 = 0,125.
Завдання 14. Спортсмен робить один постріл у мішень. Імовірність того, що він улучить у мішень, у 7 разів більша за ймовірність того, що він у неї не влучить. Обчисліть імовірність того, що спортсмен улучить у мішень.
Ймовірність того, що студент, вибраний з 1 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0,25. Ймовірність того, що студент, вибраний з 2 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює \frac{14}{28} = \frac{1}{2} = 0,5. Так як обираємо і з першої, і з другої групи, то за правилом множення маємо 0,25 · 0,5 = 0,125.
Показати відповідь
0,875.
Нехай імовірність того, що спортсмен не улучить у мішень, дорівнює х. Тоді імовірність того, що спортсмен улучить у мішень, дорівнює 7х. Оскільки ці події є протилежними, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Маємо х + 7х = 1, звідки 8х = 1. Тоді х = 1:8 = 0,125. Імовірність того, що спортсмен улучить у мішень 1-0,125 = 0,875.
Завдання 15. У відділі працює певна кількість чоловіків і жінок. Для анкетування навмання вибрали одного із співробітників. Імовірність того, що це чоловік, дорівнює \frac{2}{7}. Знайдіть відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі.
Нехай імовірність того, що спортсмен не улучить у мішень, дорівнює х. Тоді імовірність того, що спортсмен улучить у мішень, дорівнює 7х. Оскільки ці події є протилежними, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Маємо х + 7х = 1, звідки 8х = 1. Тоді х = 1:8 = 0,125. Імовірність того, що спортсмен улучить у мішень 1-0,125 = 0,875.
Показати відповідь
2,5.
Оскільки імовірність того, що вибрали чоловіка і імовірність того, що вибрали жінку є протилежними подіями, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Тоді імовірність того, що вибрали жінку дорівнює 1-\frac{2}{7} = \frac{5}{7}. Кількість жінок відноситься до кількості чоловік так же, як і імовірності їх обрати. Маємо відношення \frac{5}{7}:\frac{2}{7} = \frac{5}{7}\cdot\frac{7}{2} = \frac{5}{2} = 2,5.
Завдання 16. У торбинці лежать 3 цукерки з молочного шоколаду та m цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки — однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати m, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за 0,25?
Оскільки імовірність того, що вибрали чоловіка і імовірність того, що вибрали жінку є протилежними подіями, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Тоді імовірність того, що вибрали жінку дорівнює 1-\frac{2}{7} = \frac{5}{7}. Кількість жінок відноситься до кількості чоловік так же, як і імовірності їх обрати. Маємо відношення \frac{5}{7}:\frac{2}{7} = \frac{5}{7}\cdot\frac{7}{2} = \frac{5}{2} = 2,5.
Показати відповідь
10.
Маємо m + 3 цукерок. Тоді ймовірність того, що навмання витягнута з торбинки цукерка є з молочного шоколаду дорівнює P(A) = \frac{3}{m + 3}. За умовою ця ймовірність менша за 0,25, отже маємо нерівність \frac{3}{m + 3}<0,25. Оскільки кількість цукерок є додатнім числом, то m + 3 є додатним числом і ми можемо помножити обидві частини нерівності на цей вираз, не змінюючи при цьому знак нерівності. Маємо:
3<0,25 · (m + 3)
12<m + 3 (помножили обидві частини нерівності на 4)
12-3<m
m>9. Найменшим числом, що задовольняє цій нерівності, є число 10.
Завдання 17. В автобусному парку налічується n автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на 4 автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з n автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить 0,25. Визначте n. Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.
Маємо m + 3 цукерок. Тоді ймовірність того, що навмання витягнута з торбинки цукерка є з молочного шоколаду дорівнює P(A) = \frac{3}{m + 3}. За умовою ця ймовірність менша за 0,25, отже маємо нерівність \frac{3}{m + 3}<0,25. Оскільки кількість цукерок є додатнім числом, то m + 3 є додатним числом і ми можемо помножити обидві частини нерівності на цей вираз, не змінюючи при цьому знак нерівності. Маємо:
3<0,25 · (m + 3)
12<m + 3 (помножили обидві частини нерівності на 4)
12-3<m
m>9. Найменшим числом, що задовольняє цій нерівності, є число 10.
Показати відповідь
48.
За умовою інформаційним табло обладнано \frac{n}{6} автобусів. Пізніше їх стало \frac{n}{6} + 4 = \frac{n + 24}{6}. Тоді ймовірність того, що навмання вибраний автобус з інформаційним табло дорівнює P(A) = \frac{\frac{n + 24}{6}}{n} = \frac{n + 24}{6n}. За умовою ця ймовірність дорівнює 0,25, отже маємо рівняння \frac{n + 24}{6n} = 0,25
n + 24 = 6n · 0,25
n + 24 = 1,5n
24 = 0,5n
n = 48.
Завдання 18. У фестивалі беруть участь 25 гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від 1 до 25. Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним.
За умовою інформаційним табло обладнано \frac{n}{6} автобусів. Пізніше їх стало \frac{n}{6} + 4 = \frac{n + 24}{6}. Тоді ймовірність того, що навмання вибраний автобус з інформаційним табло дорівнює P(A) = \frac{\frac{n + 24}{6}}{n} = \frac{n + 24}{6n}. За умовою ця ймовірність дорівнює 0,25, отже маємо рівняння \frac{n + 24}{6n} = 0,25
n + 24 = 6n · 0,25
n + 24 = 1,5n
24 = 0,5n
n = 48.
Показати відповідь
0,02.
Імовірність того, що гурт з України виступатиме першим, дорівнює \frac{1}{25} = 0,04, а ймовірність того, що порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює \frac{12}{24} = 0,5 (маємо 12 парних порядкових номерів з 24, що залишилися після вибору 1 (непарного номеру) номеру для України). Тоді, за правилом множення, імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює 0,04 · 0,5 = 0,02.
Завдання 19. Пасічник зберігає мед в однакових закритих металевих бідонах. Їх у нього дванадцять: у трьох бідонах міститься квітковий мед, у чотирьох — мед із липи, у п’яти — мед із гречки. Знайдіть імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед.
Імовірність того, що гурт з України виступатиме першим, дорівнює \frac{1}{25} = 0,04, а ймовірність того, що порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює \frac{12}{24} = 0,5 (маємо 12 парних порядкових номерів з 24, що залишилися після вибору 1 (непарного номеру) номеру для України). Тоді, за правилом множення, імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює 0,04 · 0,5 = 0,02.
Показати відповідь
0,25.
Маємо 3 бідони з квітковим медом з 12. Тоді імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед дорівнює P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25.
Завдання 20. У коробці є 80 цукерок, з яких 44 — з чорного шоколаду, а решта — з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.
Маємо 3 бідони з квітковим медом з 12. Тоді імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед дорівнює P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0,25.
Показати відповідь
0,45.
Маємо 80-44 = 36 цукерки з білого шоколаду. Тоді ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду дорівнює P(A) = \frac{36}{80} = \frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0,45.
Маємо 80-44 = 36 цукерки з білого шоколаду. Тоді ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду дорівнює P(A) = \frac{36}{80} = \frac{9}{20} = \frac{45}{100} = 0,45.
Коментарі