Теорія ймовірностей

Теорія ймовірностей — це розділ математики, який допомагає оцінити шанси настання певних подій у світі, де панує випадковість. Вміння обчислювати ймовірність за класичною формулою є фундаментальною навичкою для успішного складання НМТ, адже такі задачі зустрічаються в кожному екзаменаційному варіанті. Розуміння суті сприятливих подій та загальної кількості випадків дозволяє швидко знаходити правильні відповіді навіть у складних життєвих сценаріях: від розіграшів у лотерею до розрахунку ризиків у побутових справах.

На цій сторінці ми розглянемо реальні завдання НМТ та ЗНО, включаючи аналіз демонстраційних варіантів та тестів минулих років. Ви навчитеся працювати з класичним означенням ймовірності, використовувати правила додавання та множення для незалежних подій, а також розв'язувати задачі на вибір об'єктів із груп. Тут зібрано все необхідне для підготовки: від простих прикладів з монетами та гральними кубиками до багатокрокових задач на відсотки та статистичні дані.

---

Ймовірність події А обчислюється за формулою Р(А)=\frac{m}{n}, де m - кількість випадків, які сприяють появі події А, n - кількість всіх можливих випадків
1. НМТ 2024. У салоні пасажирського літака 20 рядів, у кожному з яких розташовано по 3 крісла обабіч проходу (див. рисунок). Реєструючи пасажира, електронна система навмання вибирає для нього посадкове місце. Яка імовірність того, що першому зареєстрованому пасажиру дістанеться місце біля проходу?
   

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{1}{2}	\frac{1}{6}	\frac{1}{3}	\frac{2}{3}	\frac{1}{120}

   Показати відповідь

   В.
   Маємо всього 20 ∙ 6 = 120 місць. В кожному ряду підходить лише 2 місця (біля проходу з кожного боку), тобто всього 20 ∙ 2 = 40 місць.За формулою ймовірності події Р(А) = \frac{40}{120}=\frac{1}{3}.

---

2. Із гаманця, у якому лежать 5 монет номіналом по 10 копійок, 12 монет — по 25 копійок, 3 монети — по 1 гривні, беруть навмання одну монету. Обчисліть ймовірність того, що її номінал буде менше 50 копійок.

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{17}{20}	\frac{3}{5}	\frac{1}{4}	\frac{3}{20}	1

   Показати відповідь

   А.
   Маємо всього 5+12+3=20 монет. Умові задачі відповідають лише 5+12=17 монет. Тоді ймовірність того, що номінал монети буде менше 50 копійок дорівнює P(A)=\frac{17}{20}.
3. У кіоску продають морозиво 12 різних видів, з них 4 види — з горіхами, решта — фруктові. Яка ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим?

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{1}{6}	\frac{1}{8}	\frac{2}{3}	\frac{1}{12}	\frac{1}{3}

   Показати відповідь

   В.
   Маємо 12-4=8 фруктових морозив. Тоді ймовірність того, що вибраний навмання покупцем один вид морозива буде фруктовим дорівнює P(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.
4. Випущено партію з 300 лотерейних білетів. Імовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює 0,2. Визначте кількість білетів без виграшу серед цих 300 білетів.

   А	Б	В	Г	Д
   6	60	294	150	240

   Показати відповідь

   Д.
   Нехай виграшних білетів х. Тоді ймовірність того, що навмання вибраний білет із цієї партії буде виграшним, дорівнює P(A)=\frac{x}{300}, що дорівнює 0,2 за умовою. Отже, маємо рівняння \frac{x}{300}=0,2, звідки х=300⋅0,2=60. Тоді білетів без виграшу 300-60=240.
5. У лотереї 10 виграшних білетів і 290 білетів без виграшу. Яка ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним?

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{1}{29}	\frac{29}{30}	\frac{1}{300}	\frac{1}{30}	\frac{1}{10}

   Показати відповідь

   Г.
   Маємо 10 виграшних білетів з 10+290=300 білетів. Тоді ймовірність того, що перший придбаний білет цієї лотереї буде виграшним дорівнює P(A)=\frac{10}{300}=\frac{1}{30}.
6. На полиці розміщено 16 книг, з яких 6 книг — історичні романи, а решта — детективи. Знайдіть імовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом.

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{5}{8}	\frac{1}{16}	\frac{3}{5}	\frac{1}{10}	\frac{3}{8}

   Показати відповідь

   А.
   Маємо 16-6=10 детективів. Тоді ймовірність того, що перша книга, навмання взята з полиці, буде детективом дорівнює P(A)=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.
7. Комп’ютерна програма видаляє у восьмицифровому числі одну цифру навмання. Яка ймовірність того, що в числі 12506975 буде видалено цифру 5?

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{5}{8}	\frac{1}{8}	\frac{1}{2}	\frac{1}{5}	\frac{1}{4}

   Показати відповідь

   Д.
   Маємо в даному числі 2 п'ятірки. Тоді ймовірність того, що в цьому числі буде видалено цифру 5 дорівнює P(A)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
8. Власник банкоматної картки забув останні дві цифри свого PIN-коду, але пам’ятає, що вони різні. Знайдіть імовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи.

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{1}{2}	\frac{1}{25}	\frac{1}{50}	\frac{1}{90}	\frac{1}{100}

   Показати відповідь

   Г.
   Остання цифра може бути будь-яка, тому маємо 10 варіантів для неї. Передостання цифра може бути будь-яка, окрім рівної останній. Тому маємо 9 варіантів. За правилом множення маємо 90 можливих варіантів, а підходить лише 1. Тоді ймовірність того, що з першої спроби він отримає доступ до системи дорівнює P(A)=\frac{1}{90}.
9. Майстер обслуговує лише три верстати: 20% робочого часу він обслуговує перший верстат, 30% - другий, 50%-третій. Обчисліть ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат.

   А	Б	В	Г	Д
   0,8	0,7	0,5	0,3	0,1

   Показати відповідь

   Б.
   За умовою майстер обслуговує перший або третій верстат 20%+50%=70% робочого часу. Тоді ймовірність того, що в навмання вибраний момент робочого часу майстер обслуговує перший або третій верстат дорівнює 70:100=0,7.
10. На виборах президента школи балотуються три кандидати: Наталя, Микола й Антон. За результатами опитування ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює ймовірності того, що переможе Микола, й вдвічі менша за ймовірність того, що переможе Наталя. Якою за результатами опитування є ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу?
    Показати відповідь

    0,25.
    Нехай ймовірність того, що переможе Антон, дорівнює х. Тоді ймовірність того, що переможе Микола, дорівнює х , а ймовірність того, що переможе Наталя, дорівнює 2х. Разом всі ці події утворюють повний простір подій (інших подій не може бути), тому маємо х+х+2х=1, звідки 4х=1 і х=1:4=0,25. Отже, ймовірність того, що президентом школи оберуть Миколу, дорівнює 0,25.
11. У першому класі 15 дівчаток, з яких лише одна на ім’я Дарина, і 11 хлопчиків. На першому уроці вчителька навмання формує пари дітей, які сидітимуть за однією партою. Першою вона обирає пару для Дарини. Яка ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою?
    Показати відповідь

    0,56.
    Всього у класі 15+11=26 учнів. Тому поруч з Дариною може сісти будь-хто з 25 учнів. Нам потрібні лише дівчинки, яких без Дарини 14. Ймовірність того, що Дарина сидітиме за однією партою з дівчинкою, дорівнює \frac{14}{25}=\frac{14\cdot4}{25\cdot4}=\frac{56}{100}=0,56.
12. На діаграмі відображено інформацію про результати складання письмового заліку студентами певної групи. Комісія з якості освіти розпочинає перевірку відповідності виставлених оцінок змісту залікових робіт студентів і відбирає для перевірки декілька робіт навмання. Яка ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою D? Отриману відповідь округліть до сотих.

    

    Показати відповідь

    0,13.
    Оцінку А мають 6 студентів, B - 8, C - 7, D - 4, E - 5, F - 2. Всього 6+8+7+4+5+2=32 роботи. Тоді ймовірність того, що першою буде відібрано роботу з оцінкою D, дорівнює \frac{4}{32}=\frac{1}{8}=0,125≈0,13.
13. Для участі в роботі студентської ради з кожної з двох груп навмання вибирають по 1 студенту. Серед 24 студентів першої групи проживають у гуртожитку 6 студентів, а серед 28 студентів другої групи — 14 студентів. Яка ймовірність того, що обидва вибрані для роботи в раді студенти будуть з тих, хто проживає в гуртожитку.
    Показати відповідь

    0,125.
    Ймовірність того, що студент, вибраний з 1 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює \frac{6}{24}=\frac{1}{4}=0,25. Ймовірність того, що студент, вибраний з 2 групи, мешкає у гуртожитку, дорівнює \frac{14}{28}=\frac{1}{2}=0,5. Так як обираємо і з першої, і з другої групи, то за правилом множення маємо 0,25⋅0,5=0,125.
14. Спортсмен робить один постріл у мішень. Імовірність того, що він улучить у мішень, у 7 разів більша за ймовірність того, що він у неї не влучить. Обчисліть імовірність того, що спортсмен улучить у мішень.
    Показати відповідь

    0,875.
    Нехай імовірність того, що спортсмен не улучить у мішень, дорівнює х. Тоді імовірність того, що спортсмен улучить у мішень, дорівнює 7х. Оскільки ці події є протилежними, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Маємо х+7х=1, звідки 8х=1. Тоді х=1:8=0,125. Імовірність того, що спортсмен улучить у мішень 1-0,125=0,875.
15. У відділі працює певна кількість чоловіків і жінок. Для анкетування навмання вибрали одного із співробітників. Імовірність того, що це чоловік, дорівнює \frac{2}{7}. Знайдіть відношення кількості жінок до кількості чоловіків, які працюють у цьому відділі.
    Показати відповідь

    2,5.
    Оскільки імовірність того, що вибрали чоловіка і імовірність того, що вибрали жінку є протилежними подіями, то сума їх імовірностей дорівнює 1. Тоді імовірність того, що вибрали жінку дорівнює 1-\frac{2}{7}=\frac{5}{7}. Кількість жінок відноситься до кількості чоловік так же, як і імовірності їх обрати. Маємо відношення \frac{5}{7}:\frac{2}{7}=\frac{5}{7}\cdot\frac{7}{2}=\frac{5}{2}=2,5.
16. У торбинці лежать 3 цукерки з молочного шоколаду та m цукерок з чорного шоколаду. Усі цукерки — однакової форми й розміру. Якого найменшого значення може набувати m, якщо ймовірність навмання витягнути з торбинки цукерку з молочного шоколаду менша за 0,25?
    Показати відповідь

    10.
    Маємо m+3 цукерок. Тоді ймовірність того, що навмання витягнута з торбинки цукерка є з молочного шоколаду дорівнює P(A)=\frac{3}{m+3}. За умовою ця ймовірність менша за 0,25, отже маємо нерівність \frac{3}{m+3}<0,25. Оскільки кількість цукерок є додатнім числом, то m+3 є додатним числом і ми можемо помножити обидві частини нерівності на цей вираз, не змінюючи при цьому знак нерівності. Маємо:
    3<0,25⋅(m+3)
    12<m+3 (помножили обидві частини нерівності на 4)
    12-3<m
    m>9. Найменшим числом, що задовольняє цій нерівності, є число 10.
17. В автобусному парку налічується n автобусів, шосту частину яких було обладнано інформаційними табло. Пізніше інформаційні табло встановили ще на 4 автобуси з наявних у парку. Після проведеного переобладнання навмання вибирають один з n автобусів парку. Ймовірність того, що це буде автобус з інформаційним табло, становить 0,25. Визначте n. Уважайте, що кожен автобус обладнується лише одним табло.
    Показати відповідь

    48.
    За умовою інформаційним табло обладнано \frac{n}{6} автобусів. Пізніше їх стало \frac{n}{6}+4=\frac{n+24}{6}. Тоді ймовірність того, що навмання вибраний автобус з інформаційним табло дорівнює P(A)=\frac{\frac{n+24}{6}}{n}=\frac{n+24}{6n}. За умовою ця ймовірність дорівнює 0,25, отже маємо рівняння \frac{n+24}{6n}=0,25
    n+24=6n⋅0,25
    n+24=1,5n
    24=0,5n
    n=48.
18. У фестивалі беруть участь 25 гуртів, серед яких є по одному гурту з України і Чехії. Порядок виступу гуртів визначається жеребкуванням, за яким кожен із гуртів має однакові шанси отримати будь-який порядковий номер від 1 до 25. Знайдіть імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним.
    Показати відповідь

    0,02.
    Імовірність того, що гурт з України виступатиме першим, дорівнює \frac{1}{25}=0,04, а ймовірність того, що порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює \frac{12}{24}=0,5 (маємо 12 парних порядкових номерів з 24 залишившихся після вибору 1 (непарного номеру) номеру для України). Тоді, за правилом множення, імовірність того, що на цьому фестивалі гурт з України виступатиме першим, а порядковий номер виступу гурту з Чехії буде парним, дорівнює 0,04⋅0,5=0,02.
19. Пасічник зберігає мед в однакових закритих металевих бідонах. Їх у нього дванадцять: у трьох бідонах міститься квітковий мед, у чотирьох — мед із липи, у п’яти — мед із гречки. Знайдіть імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед.
    Показати відповідь

    0,25.
    Маємо 3 бідони з квітковим медом з 12. Тоді імовірність того, що перший навмання відкритий бідон буде містити квітковий мед дорівнює P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}=0,25.
20. У коробці є 80 цукерок, з яких 44 — з чорного шоколаду, а решта — з білого. Визначте ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду.
    Показати відповідь

    0,45.
    Маємо 80-44=36 цукерки з білого шоколаду. Тоді ймовірність того, що навмання взята цукерка з коробки буде з білого шоколаду дорівнює P(A)=\frac{36}{80}=\frac{9}{20}=\frac{45}{100}=0,45.

⇐ІV.1. Комбінаторика

До змісту

⇒ІV.3. Вибіркові характеристики рядів даних