Вибіркові характеристики рядів даних

Розмах - різниця між найбільшим значенням ряду і найменшим
Мода - значення, яке найбільш часто зустрічається. Мода може бути одна, може бути декілька, може не бути взагалі (коли всі значення зустрічаються однакову кількість разів)
Медіана обчислюється наступним чином:

• Якщо кількість елементів непарна, то медіана дорівнює середньому елементу ранжованого (побудованого за неспаданням) рядку
• Якщо кількість елементів парна, то медіана дорівнює середньому значенню двох середніх елементів ранжованого (побудованого за неспаданням) рядку

Середнє значення:

1. Укажіть розмах ряду даних 3, 5, 5, 13, 18, 15, 12.

   А	Б	В	Г	Д
   18	15	12	9	3

   Відповідь

   Б.
   Складемо ранжований ряд (за зростанням). Маємо 3, 5, 5, 12, 13,15,18. Тоді розмах (різниця між найбільшим і найменшим) А=18-3=15.
2. Лучник здійснив 11 пострілів по мішені і набрав відповідно 6, 5, 7, 9, 6, 9, 10, 8, 7, 9, 10 очок. Знайдіть моду цього ряду даних.

   А	Б	В	Г	Д
   5	7	8	9	10

   Відповідь

   Г.
   В даному ряду найчастіше зустрічається цифра 9, отже мода дорівнює 9.
3. В уривку художнього твору 47 слів мають різну кількість букв. Укажіть моду даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігона частот.

   

   А	Б	В	Г	Д
   2	4	5	8	10

   Відповідь

   В.
   В даному розподілі найчастіше зустрічається 5 букв (10 разів), отже мода дорівнює 5.
4. У таблиці відображено інформацію щодо кількості відвідувачів кінотеатру протягом семи днів тижня.

   День тижня	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Нд
   Кількість відвідувачів	124	140	140	170	163	195	168

   Укажіть медіану кількості відвідувачів кінотеатру.

   А	Б	В	Г	Д
   140	155	163	170	195

   Відповідь

   В.
   Складемо ранжований ряд (за зростанням): 124, 140, 140, 163, 168, 170, 195. Оскільки маємо непарну кількість чисел, то медіаною є число, що знаходиться посередині. Це число 163.
5. У групі з 20 учнів 11 класу провели анкетування, щоб з’ясувати, скільки приблизно годин на день кожен з них користується Інтернетом. Відповіді учнів відображено на діаграмі (див. рисунок). Визначте, скільки часу на день (у год) у середньому учень з цієї групи користується Інтернетом.

   

   А	Б	В	Г	Д
   2,9	2,5	2	3	3,2

   Відповідь

   А.
   За рисунком 1 годину користується 2 учні, 2 години - 5 учнів, 3 години - 7 учнів, 4 години - 5 учнів, 5 годин - 1 учень. Маємо ==2,9.
6. Упродовж чверті учень отримав 12 оцінок з алгебри. Інформацію про отримані оцінки та їхню кількість відображено в таблиці.

   Оцінка	5	6	7	8	10
   Кількість відвідувачів	2	1	3	5	1

   Знайдіть середнє арифметичне всіх оцінок, отриманих учнем упродовж чверті.

   А	Б	В	Г	Д
   7	7,2	7,25	8	8,1

   Відповідь

   В.
   ==7,25.
7. Учень з понеділка до п’ятниці записував час (у хвилинах), який він витрачав на дорогу до школи та зі школи (див. таблицю).

   Дорога\Дні	понеділок	вівторок	середа	четвер	п’ятниця
   До школи	19	20	21	17	23
   Зі школи	28	22	20	25	30

   На скільки хвилин у середньому дорога зі школи триваліша за дорогу до школи?

   А	Б	В	Г	Д
   2	3	4	5	6

   Відповідь

   Г.
   За п'ять днів на дорогу до школи витрачено 19+20+21+17+23=100 хв, а на дорогу зі школи 28+22+20+25+30=125 хв, що на 125-100=25 хвилин довше. Ділимо на кількість днів і маємо у середньому 25:5=5 хв.
8. О шостій годині ранку визначено температуру на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці.

   Температура (у градусах)	1	3	4	x
   Кількість метеостанцій	2	3	4	1

   Визначте х, якщо середнє арифметичне всіх цих даних дорівнює 3,5⁰.

   А	Б	В	Г	Д
   х=5	х=6	х=7	х=8	х=9

   Відповідь

   Г.
   ==3,5.
   Звідси 27+х=3,5⋅10
   27+х=35
   x=35-27
   x=8.
9. 2021. Кількість відвідувачів ботанічного саду протягом червня становила чверть від їхньої сумарної кількості в травні й червні. На якій із діаграм правильно зображено розподіл відвідувачів цього ботанічного саду впродовж цих двох місяців?

   

   Відповідь

   Г.
   Нам потрібна чверть чорного кольору. Це малюнок Г.
10. 2019. На діаграмі відображено інформацію про кількість відвідувачів кінотеатру на кожному із шести сеансів. Укажіть усі сеанси, на яких відвідувачів було не менше 170 осіб.

    

    А	Б	В	Г	Д
    III, IV, V, VI	III, V, VI	I, II, IV	III, V	I, II

    Відповідь

    А.
    Оскільки за шкалою кількості відвідувачів числу 50 відповідає 5 рисок, то 1 поділка позначає 10 відвідувачів. Тоді за малюнком маємо І - 130, ІІ - 160, ІІІ - 200, IV - 170, V - 220, VI - 180. Не менше 170 маємо з III по VI сеанси.
11. 2019. На діаграмі відображено розподіл кількості працівників фірми за віком. Скільки всього працівників працює на цій фірмі?

    

    А	Б	В	Г	Д
    40	96	120	144	110

    Відповідь

    В.
    Оскільки за шкалою кількості працівників числу 10 відповідає 5 рисок, то 1 поділка позначає 2 працівники. Тоді за малюнком маємо 20-29 р - 36 працівників, 30-39 р. - 40 працівників, 40-49 р. - 24 працівники, 50-59 р. - 16 працівників і 60-70 р. - 4 працівники. Всього 36+40+24+16+4=120 працівників.
12. На рисунку жирними точками позначено річні мінімуми площі поверхні арктичного льоду, що спостерігалися в період з 2004 р. По 2014 р. (для наочності точки з’єднано відрізками). По горизонталі відмічено роки, а по вертикалі — площу поверхні льоду (у млн км²). Користуючись наведеною інформацією, визначте із вказаного періоду рік, у якому величина річного мінімуму площі поверхні льоду змінилась найбільше порівняно з попереднім роком.

    

    А	Б	В	Г	Д
    2006 р.	2007 р.	2009 р.	2012 р.	2013 р.

    Відповідь

    Д.
    За малюнком одразу відбираємо лише 2007 і 2013 роки (в них наочно дуже різко змінилося значення) і обчислюємо: у 2007 змінилося на 4,3-5,8= -1,5; у 2013 змінилося на 5,1-3,4=1,7. Отже, найбільше змінилося у 2013 році.
13. У таблиці наведено дані про температуру повітря в різний час того самого дня.

    Час, години	6	9	12	15	18
    Температура, 0С	12	17	14	18	15

    На графіках немає шкали (градації) температури повітря. На якому графіку правильно відображені дані, наведені в таблиці?

    

    Відповідь

    Д.
    За таблицею до 9 години відбулося зростання температури, тому відкидаємо Г. Потім до 12 години відбулося спадання, тому із тих, що залишилися, відкидаємо А, В. Залишилися Б і Д. До 15 години відбулося зростання температури, тому відкидаємо Б. Залишився графік Д.
14. У таблиці наведено дані про кількість глядачів, які відвідали кінотеатр протягом п’яти днів тижня.

    День тижня	понеділок	вівторок	середа	четвер	п’ятниця
    Кількість відвідувачів	82	116	102	140	130

    На діаграмах немає шкали (градації) кількості глядачів. Визначте, на якій діаграмі правильно відображені дані, наведені в таблиці?

    

    Відповідь

    Г.
    За таблицею у вівторок відбулося зростання кількості глядачів, тому залишаємо лише Г і Д. Потім у середу відбулося зниження, отже відкидаємо Д. Залишилося Г.
15. На діаграмі відображено кількість відвідувачів Музею Води протягом одного робочого тижня (з вівторка до неділі). У який день тижня кількість відвідувачів була вдвічі більшою, ніж у попередній день?

    

    А	Б	В	Г	Д
    середа	четвер	п’ятниця	субота	неділя

    Відповідь

    В.
    Для полегшення за діаграмою складемо таблицю.

    День тижня	вівторок	середа	четвер	п’ятниця	субота	неділя
    Кількість відвідувачів	60	100	180	360	600	700

    Отже, у п'ятницю маємо число вдвічі більше, ніж у четвер.
16. На діаграмі відображено нараховану фірмою загальну суму заробітної плати усім своїм працівникам у січні, лютому та березні 2011 року. У січні на фірмі працювали 15 співробітників, у лютому — 18, а в березні — 25. Як змінилася середня нарахована заробітна плата в цій фірмі в березні порівняно з січнем?

    

    А	Б	В	Г	Д
    зменшилась більше ніж на 1000 грн	зменшилась менше ніж на 1000 грн	не змінилась	збільшилась менше ніж на 1000 грн	збільшилась більше ніж на 1000 грн

    Відповідь

    Г.
    У січні 15 працівникам нараховано 30 тис. грн, отже, в середньому нараховано 30:15=2 тис. грн. У березні 25 працівникам нараховано 70 тис. грн, отже, в середньому нараховано 70:25=2,8 тис. грн. Оскільки 2,8-2=0,8 тис грн, то у березні середня нарахована заробітна плата збільшилась менше ніж на 1000 грн.
17. Діаграма, зображена на рисунку, містить інформацію про кількість електроенергії (у кВт·год), спожитої певною сім’єю в кожному місяці 2012 року. Користуючись діаграмою, установіть, які з наведених тверджень є правильними.
    І. У грудні порівняно з липнем спожито електроенергії більше, ніж у 2 рази.
    ІІ. За всі літні місяці спожито електроенергії на 150 кВт·год менше, ніж за всі весняні місяці.
    ІІІ. Середньомісячне споживання електроенергії за рік є більшим за 120 кВт·год.

    

    А	Б	В	Г	Д
    лише І	лише І і ІІ	лише І і ІІІ	лише І і ІІІ	І, ІІ, ІІІ

    Відповідь

    Д.
    За малюнком складемо таблицю значень

    Місяць	січень	лютий	березень	квітень	травень	червень	липень	серпень	вересень	жовтень	листопад	грудень
    Кількість електроенергії	210	190	160	150	120	100	80	100	110	140	170	220

    
    І. У грудні - 220, у липні - 80. 220:80>2. Правильно
    ІІ. За всі літні місяці спожито 100+80+100=280, протягом весни: 160+150+120=430. 430-280=150. Правильно.
    ІІІ. ==≈145,8. Правильно.
18. 2019. На круговій діаграмі (круг поділено пунктирними лініями на рівні сектори) показано розподіл кількості столів, які продано магазинам протягом місяця (див. рисунок). Загальна кількість проданих столів за цей період становила 156. На скільки журнальних столів було продано менше, ніж письмових?

    

    А	Б	В	Г	Д
    13	26	39	52	65

    Відповідь

    Б.
    Так як діаграма поділена на 12 секторів, то один сектор відповідає 156:12=13 столам. Різниця між письмовими і журнальними столами 5-3=2 сектори, тобто 2⋅13=26 столів.
19. Під час закладання нового парку 25% його площі відвели під посадку кленів, 50% площі, що залишилася, - під посадку дубів, а решту площі — під газони. Вкажіть, на якій із діаграм правильно показано розподіл посадок.

    

    Відповідь

    В.
    За умовою чверть кленів, тому залишаємо лише Б, В, Г. Далі, оскільки 50% площі, що залишилася відводиться під посадку дубів, то під газони також залишається 50%. Отже площі під дуби і газони однакова. Залишаємо В.
20. На рисунку зображено полігон частот певного ряду даних, на якому по осі абсцис відмічені елементи цього ряду, а по осі ординат — їхні частоти. Установіть відповідність між характеристикою (1-4) цього ряду даних та її числовим значенням (А-Д).

    

    Характеристика ряду даних	Числове значення характеристики
    1 кількість елементів 2 розмах 3 мода 4 медіана	А 12 Б 18 В 21 Г 30 Д 36

    Відповідь

    1-Б, 2-Г, 3-А, 4-В.
    1. Кількість елементів 3+5+1+3+2+4=18.
    2. Розмах А=36-6=30.
    3. Мода-12 (найбільшу кількість)
    4. Оскільки маємо 18 елементів, то медіана - середнє між 9 і 10 елементом (двома середніми). 9 елемент - 18 (перші три - 6, наступні п'ять - 8 і т.д.), 10-й елемент - 24. (18+24):2=42:2=21.
21. У шкільній олімпіаді з географії взяли участь 20 учнів десятих класів. Бали, набрані учасниками олімпіади, утворили певний ряд даних, на основі якого склали його статистичний розподіл частот:

    Бал	5	7	9	10	12	15	16	18
    Частота бала	3	4	2	1	5	3	1	1

    За цим статистичним розподілом частот установіть відповідність між характеристикою ряду даних (1-4) та її числовим значенням (А-Д).

    Характеристика ряду даних	Числове значення характеристики
    1 розмах 2 мода 3 медіана 4 середнє значення	А 10,5 Б 11 В 14 Г 12 Д 13

    Відповідь

    1-Д, 2-Г, 3-Б, 4-А.
    1. Розмах А=18-5=13.
    2. Мода-12 (найбільша кількість).
    3. Оскільки маємо 20 елементів, то медіана - середнє між 10 і 11 елементом (двома середніми). 10 елемент - 10 (перші три - 5, наступні чотири - 7 і т.д.), 11-й елемент - 12. (10+12):2=22:2=11.
    4.Середнє значення: (5⋅3+7⋅4+9⋅2+10⋅1+12⋅5+15⋅3+16⋅1+18⋅1):20=(15+28+18+10+60+45+16+18):20=210:20=10,5.
22. 2020. У таблиці відображено інформацію про ціну та кількість зошитів, придбаних за цією ціною Олексієм. За даними таблиці визначте середню ціну (у грн) одного зошита з придбаних Олексієм.

    Ціна одного зошита, грн	8	10	12
    Кількість зошитів	9	4	7

    Відповідь

    9,8.
    ==9,8.
23. 2020. У першому рядку таблиці наведено значення температури повітря, яку вимірювали на метеостанції через кожні 3 години впродовж доби. У другому рядку зазначено частоту фіксувань відповідного значення температури впродовж доби. За даними метеостанції визначте середню температуру (у ^oС) протягом цієї доби.

    Температура, oС	12	15	17	18
    Частота фіксувань	1	4	2	1

    Відповідь

    15,5.
    ==15,5.
24. 2020. Андрій у понеділок, вівторок та п’ятницю витрачав по 16 грн на день, у середу й четвер — по 11 грн на день, у суботу — 35 грн, а в неділю грошей не витрачав. Скільки гривень витрачав Андрій у середньому на день цього тижня?
    Відповідь

    15.
    За тиждень Андрій витратив 16+16+11+11+16+35+0=105 грн. В середньому за тиждень (7 днів) він витратив 105:7=15 грн.

⇐ІV.2. Теорія ймовірностей

До змісту

⇒V.1. Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості