Вибіркові характеристики рядів даних — це інструменти статистики, які дозволяють стисло описати великі масиви інформації та робити обґрунтовані висновки. Вміння швидко знаходити моду, медіану, розмах та середнє арифметичне є базовою вимогою НМТ, оскільки ці завдання перевіряють не лише навички обчислення, а й здатність аналізувати реальні дані. Розуміння того, чим відрізняється медіана від середнього значення, допомагає уникати типових помилок при роботі з нерівномірними розподілами.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО, включаючи аналіз демонстраційних варіантів. Тут зібрано все необхідне для підготовки: чіткі алгоритми ранжування рядів, формули для середньозважених значень та методи порівняння статистичних показників у динаміці.
Розмах - різниця між найбільшим значенням ряду і найменшим
Мода - значення, яке найбільш часто зустрічається. Мода може бути одна, може бути декілька, може не бути взагалі (коли всі значення зустрічаються однакову кількість разів)
Медіана обчислюють так::
Завдання 1. Сергій купив 4 чорні, 6 червоних і n синіх ручок по 27 грн, 15 грн і 10 грн кожна. Середня ціна однієї ручки виявилася меншою за 13 грн.
Укажіть найменше можливе значення n.
Мода - значення, яке найбільш часто зустрічається. Мода може бути одна, може бути декілька, може не бути взагалі (коли всі значення зустрічаються однакову кількість разів)
Медіана обчислюють так::
- Якщо кількість елементів непарна, то медіана дорівнює середньому елементу ранжованого (побудованого за неспаданням) ряду
- Якщо кількість елементів парна, то медіана дорівнює середньому значенню двох середніх елементів ранжованого (побудованого за неспаданням) ряду
Показати відповідь
23
Знайдемо середнє значення ціни ручки. x̄ = 4 · 27 + 6 · 15 + n · 104 + 6 + n = 108 + 90 + 10n10 + n = 198 + 10n10 + n. Оскільки середня ціна ручки менше за 13, то маємо нерівність 198 + 10n10 + n < 13. Так як n > 0, то 10 + n > 0. Домножимо обидві частини нерівності на 10 + n.
198 + 10n < 13(10 + n)
198 + 10n < 130 + 13n
-3n < -68
n > -68 : (-3)
n > 22 ⅔ . Найменше число, що задовольняє нерівності 23.
Знайдемо середнє значення ціни ручки. x̄ = 4 · 27 + 6 · 15 + n · 104 + 6 + n = 108 + 90 + 10n10 + n = 198 + 10n10 + n. Оскільки середня ціна ручки менше за 13, то маємо нерівність 198 + 10n10 + n < 13. Так як n > 0, то 10 + n > 0. Домножимо обидві частини нерівності на 10 + n.
198 + 10n < 13(10 + n)
198 + 10n < 130 + 13n
-3n < -68
n > -68 : (-3)
n > 22 ⅔ . Найменше число, що задовольняє нерівності 23.
Завдання 2. Укажіть розмах ряду даних 3, 5, 5, 13, 18, 15, 12.
18
15
12
9
3
Показати відповідь
Б.
Складемо ранжований ряд (за зростанням). Маємо 3, 5, 5, 12, 13,15,18. Тоді розмах (різниця між найбільшим і найменшим) дорівнює 18 - 3 = 15.
Завдання 3. Лучник здійснив 11 пострілів по мішені і набрав відповідно 6, 5, 7, 9, 6, 9, 10, 8, 7, 9, 10 очок. Знайдіть моду цього ряду даних.
Складемо ранжований ряд (за зростанням). Маємо 3, 5, 5, 12, 13,15,18. Тоді розмах (різниця між найбільшим і найменшим) дорівнює 18 - 3 = 15.
5
7
8
9
10
Показати відповідь
Г.
В даному ряду найчастіше зустрічається число 9, отже мода дорівнює 9.
Завдання 4. В уривку художнього твору 47 слів мають різну кількість букв. Укажіть моду даного розподілу за допомогою зображеного на рисунку полігона частот.
В даному ряду найчастіше зустрічається число 9, отже мода дорівнює 9.
2
4
5
8
10
Показати відповідь
В.
В даному розподілі найчастіше зустрічаються слова з 5 буквами (10 разів), отже мода дорівнює 5.
Завдання 5. У таблиці відображено інформацію щодо кількості відвідувачів кінотеатру протягом семи днів тижня.
В даному розподілі найчастіше зустрічаються слова з 5 буквами (10 разів), отже мода дорівнює 5.
| День тижня | Пн | Вт | Ср | Чт | Пт | Сб | Нд |
| Кількість відвідувачів | 124 | 140 | 140 | 170 | 163 | 195 | 168 |
140
155
163
170
195
Показати відповідь
В.
Складемо ранжований ряд (за зростанням): 124, 140, 140, 163, 168, 170, 195. Оскільки маємо непарну кількість чисел, то медіаною є число, що знаходиться посередині. Це число 163.
Завдання 6. У групі з 20 учнів 11 класу провели анкетування, щоб з’ясувати, скільки приблизно годин на день кожен з них користується Інтернетом. Відповіді учнів відображено на діаграмі (див. рисунок). Визначте, скільки часу на день (у год) у середньому учень з цієї групи користується Інтернетом.
Складемо ранжований ряд (за зростанням): 124, 140, 140, 163, 168, 170, 195. Оскільки маємо непарну кількість чисел, то медіаною є число, що знаходиться посередині. Це число 163.
2,9
2,5
2
3
3,2
Показати відповідь
А.
За рисунком Інтернетом 1 годину користуються 2 учні, 2 години - 5 учнів, 3 години - 7 учнів, 4 години - 5 учнів, 5 годин - 1 учень. Маємо x̄ = 1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 5 + 5 · 12 + 5 + 7 + 5 + 1 = 2 + 10 + 21 + 20 + 520 = 5820 = 2,9.
Завдання 7. Упродовж чверті учень отримав 12 оцінок з алгебри. Інформацію про отримані оцінки та їхню кількість відображено в таблиці.
За рисунком Інтернетом 1 годину користуються 2 учні, 2 години - 5 учнів, 3 години - 7 учнів, 4 години - 5 учнів, 5 годин - 1 учень. Маємо x̄ = 1 · 2 + 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 5 + 5 · 12 + 5 + 7 + 5 + 1 = 2 + 10 + 21 + 20 + 520 = 5820 = 2,9.
| Оцінка | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
| Кількість оцінок | 2 | 1 | 3 | 5 | 1 |
7
7,2
7,25
8
8,1
Показати відповідь
В.
x̄ = 5 · 2 + 6 · 1 + 7 · 3 + 8 · 5 + 10 · 12 + 1 + 3 + 5 + 1 = 10 + 6 + 21 + 40 + 1012 = 8712 = 7,25.
Завдання 8. Учень з понеділка до п’ятниці записував час (у хвилинах), який він витрачав на дорогу до школи та зі школи (див. таблицю).
x̄ = 5 · 2 + 6 · 1 + 7 · 3 + 8 · 5 + 10 · 12 + 1 + 3 + 5 + 1 = 10 + 6 + 21 + 40 + 1012 = 8712 = 7,25.
| Дорога\Дні | понеділок | вівторок | середа | четвер | п’ятниця |
| До школи | 19 | 20 | 21 | 17 | 23 |
| Зі школи | 28 | 22 | 20 | 25 | 30 |
2
3
4
5
6
Показати відповідь
Г.
За п'ять днів на дорогу до школи витрачено 19 + 20 + 21 + 17 + 23 = 100 хв, а на дорогу зі школи 28 + 22 + 20 + 25 + 30 = 125 хв, що на 125 - 100 = 25 хвилин довше. Ділимо на кількість днів і маємо у середньому 25 : 5 = 5 хв.
Завдання 9. О шостій годині ранку визначено температуру на десяти метеостанціях. Отримані дані відображено в таблиці.
За п'ять днів на дорогу до школи витрачено 19 + 20 + 21 + 17 + 23 = 100 хв, а на дорогу зі школи 28 + 22 + 20 + 25 + 30 = 125 хв, що на 125 - 100 = 25 хвилин довше. Ділимо на кількість днів і маємо у середньому 25 : 5 = 5 хв.
| Температура (у градусах) | 1 | 3 | 4 | x |
| Кількість метеостанцій | 2 | 3 | 4 | 1 |
х = 5
х = 6
х = 7
х = 8
х = 9
Показати відповідь
Г.
x̄ = 1 · 2 + 3 · 3 + 4 · 4 + x · 110 = 2 + 9 + 16 + x10 = 27 + x10 = 3,5.
Звідси 27 + х = 3,5 · 10
27 + х = 35
x = 35 - 27
x = 8.
Завдання 10. На рисунку зображено полігон частот певного ряду даних, на якому по осі абсцис відмічені елементи цього ряду, а по осі ординат — їхні частоти. Установіть відповідність між характеристикою (1-4) цього ряду даних та її числовим значенням (А-Д).
x̄ = 1 · 2 + 3 · 3 + 4 · 4 + x · 110 = 2 + 9 + 16 + x10 = 27 + x10 = 3,5.
Звідси 27 + х = 3,5 · 10
27 + х = 35
x = 35 - 27
x = 8.
| Характеристика ряду даних | Числове значення характеристики |
|---|---|
| 1 кількість елементів 2 розмах 3 мода 4 медіана |
А 12 Б 18 В 21 Г 30 Д 36 |
Показати відповідь
1-Б, 2-Г, 3-А, 4-В.
1. Кількість елементів 3 + 5 + 1 + 3 + 2 + 4 = 18.
2. Розмах А = 36 - 6 = 30.
3. Мода - 12, оскільки число 12 має найбільшу частоту.
4. Оскільки маємо 18 елементів, то медіана - середнє між 9 і 10 елементом (двома середніми). 9 елемент - 18 (перші три - 6, наступні п'ять - 8 і т.д.), 10-й елемент - 24. (18 + 24) : 2 = 42 : 2 = 21.
Завдання 11. У шкільній олімпіаді з географії взяли участь 20 учнів десятих класів. Бали, набрані учасниками олімпіади, утворили певний ряд даних, на основі якого склали його статистичний розподіл частот:
1. Кількість елементів 3 + 5 + 1 + 3 + 2 + 4 = 18.
2. Розмах А = 36 - 6 = 30.
3. Мода - 12, оскільки число 12 має найбільшу частоту.
4. Оскільки маємо 18 елементів, то медіана - середнє між 9 і 10 елементом (двома середніми). 9 елемент - 18 (перші три - 6, наступні п'ять - 8 і т.д.), 10-й елемент - 24. (18 + 24) : 2 = 42 : 2 = 21.
| Бал | 5 | 7 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 | 18 |
| Частота бала | 3 | 4 | 2 | 1 | 5 | 3 | 1 | 1 |
| Характеристика ряду даних | Числове значення характеристики |
|---|---|
| 1 розмах 2 мода 3 медіана 4 середнє значення |
А 10,5 Б 11 В 14 Г 12 Д 13 |
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-Б, 4-А.
1. Розмах А = 18-5 = 13.
2. Мода - 12, оскільки число 12 має найбільшу частоту.
3. Оскільки маємо 20 елементів, то медіана - середнє між 10 і 11 елементом (двома середніми). 10 елемент - 10 (перші три - 5, наступні чотири - 7 і т.д.), 11-й елемент - 12. (10 + 12) : 2 = 22 : 2 = 11.
4. Середнє значення: (5 · 3 + 7 · 4 + 9 · 2 + 10 · 1 + 12 · 5 + 15 · 3 + 16 · 1 + 18 · 1) : 20 = (15 + 28 + 18 + 10 + 60 + 45 + 16 + 18) : 20 = 210 : 20 = 10,5.
Завдання 12. У таблиці відображено інформацію про ціну та кількість зошитів, придбаних за цією ціною Олексієм. За даними таблиці визначте середню ціну (у грн) одного зошита з придбаних Олексієм.
1. Розмах А = 18-5 = 13.
2. Мода - 12, оскільки число 12 має найбільшу частоту.
3. Оскільки маємо 20 елементів, то медіана - середнє між 10 і 11 елементом (двома середніми). 10 елемент - 10 (перші три - 5, наступні чотири - 7 і т.д.), 11-й елемент - 12. (10 + 12) : 2 = 22 : 2 = 11.
4. Середнє значення: (5 · 3 + 7 · 4 + 9 · 2 + 10 · 1 + 12 · 5 + 15 · 3 + 16 · 1 + 18 · 1) : 20 = (15 + 28 + 18 + 10 + 60 + 45 + 16 + 18) : 20 = 210 : 20 = 10,5.
| Ціна одного зошита, грн | 8 | 10 | 12 |
| Кількість зошитів | 9 | 4 | 7 |
Показати відповідь
9,8.
x̄ = 8 · 9 + 10 · 4 + 12 · 79 + 4 + 7 = 72 + 40 + 8420 = 19620 = 9,8.
Завдання 13. У першому рядку таблиці наведено значення температури повітря, яку вимірювали на метеостанції через кожні 3 години впродовж доби. У другому рядку зазначено частоту фіксувань відповідного значення температури впродовж доби. За даними метеостанції визначте середню температуру (у °С) протягом цієї доби.
x̄ = 8 · 9 + 10 · 4 + 12 · 79 + 4 + 7 = 72 + 40 + 8420 = 19620 = 9,8.
| Температура,°С | 12 | 15 | 17 | 18 |
| Частота фіксувань | 1 | 4 | 2 | 1 |
Показати відповідь
15,5.
x̄ = 12 · 1 + 15 · 4 + 17 · 2 + 18 · 11 + 4 + 2 + 1 = 12 + 60 + 34 + 188 = 1248 = 15,5.
Завдання 14. Андрій у понеділок, вівторок та п’ятницю витрачав по 16 грн на день, у середу й четвер — по 11 грн на день, у суботу — 35 грн, а в неділю грошей не витрачав. Скільки гривень витрачав Андрій у середньому на день цього тижня?
x̄ = 12 · 1 + 15 · 4 + 17 · 2 + 18 · 11 + 4 + 2 + 1 = 12 + 60 + 34 + 188 = 1248 = 15,5.
Показати відповідь
15.
За тиждень Андрій витратив 16 + 16 + 11 + 11 + 16 + 35 + 0 = 105 грн. В середньому за тиждень (7 днів) він витратив 105 : 7 = 15 грн.
За тиждень Андрій витратив 16 + 16 + 11 + 11 + 16 + 35 + 0 = 105 грн. В середньому за тиждень (7 днів) він витратив 105 : 7 = 15 грн.
Коментарі