Перейти до основного вмісту

Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

    Якщо три точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А та С, то АС=АВ+ВС
  1. НМТ 2024. Відомо, що вісь AO Пізанської вежі натепер відхилена від вертикалі BO на кут 4o (див. рисунок). Визначте градусну міру кута AOC, який утворює вісь вежі з горизонтальною поверхнею OC.
    АБВГД
    176o 94o 104o 86o 96o
    Показати відповідь
    Г
  2. НМТ 2023. Із точки О, яка лежить на прямій АВ, проведено промені ОМ і ОК (див. рисунок). Відомо, що ∠ВОМ=30o, ∠МОК=80o. Визначте градусну міру кута АОК. Уважайте, що промені ОК, ОМ і пряма АВ лежать в одній площині.
    АБВГД
    60o 70o 80o 150o 170o
    Показати відповідь
    Б
  3. Точки A, B, C та D лежать в одній площині. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Якщо точка В належить відрізку CD, то СВ+ВD=CD.
    ІІ. Якщо точка А не належить відрізку CD, то СА+АD<CD.
    ІІІ. Якщо відрізок CD перетинає відрізок АВ в точці О під прямим кутом і АО=ОВ, то АС=СВ.
    АБВГД
    лише І та ІІ лише І лише І та ІІІ лише ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    В.
    І. Твердження є правильним.
    ІІ. Твердження не є правильним
    ІІІ. Твердження є правильним.
  4. Точка В належить відрізку АС. Визначте відстань між серединами відрізків АВ і ВС, якщо АВ=10 см, ВС=5,2 см.
    АБВГД
    2,4 см 2,6 см 5,0 см 7,6 см 10,2 см
    Показати відповідь
    Г.

    Нехай т. К - середина АВ. Тоді КВ=АВ:2=5 см. Нехай т. М - середина ВС. Тоді ВМ=ВС:2=5,2:2=2,6 см. КМ=КВ+ВМ=5+2,6=7,6 см.
  5. На відрізку АВ вибрано точку М так, що довжина відрізка АМ утричі більша за довжину МВ. Визначте довжину відрізка АВ, якщо МВ=12 см.
    АБВГД
    48 см 36 см 24 см 42 см 54 см
    Показати відповідь
    А.

    Оскільки АМ=3⋅МВ, то АМ=3⋅12=36 см. АВ=АМ+МВ=36+12=48 см.
  6. Відрізок, довжина якого дорівнює 60 см, розділений точками на чотири рівні відрізки. Визначте відстань між серединами отриманих крайніх відрізків.
    АБВГД
    36 см 40 см 45 см 48 см 50 см
    Показати відповідь
    В.

    Оскільки відрізок розбитий на чотири рівні частини, то довжина кожної частини 60:4=15 см. Оскільки К - середина АС, то АК=АС:2=15:2=7,5 см. Аналогічно МВ=7,5 см. Оскільки відрізок АВ складається з відрізків АК, КМ та МВ, то КМ=АВ-АК-МВ=60-7,5-7,5=45 см.
    7. Види кутів:
    1. Гострий кут, градусна міра якого менше за 90o
    2. Прямий кут, градусна міра якого дорівнює 90o
    3. Тупий кут, градусна міра якого більше за 90o і менше за 180o
    4. Розгорнутий кут, градусна міра якого дорівнює 180o
    5. Суміжні кути, сума яких дорівнює 180o
    6. Вертикальні кути, які рівні між собою
    7. Внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180o
    8. Внутрішні різносторонні кути, які рівні між собою
  7. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Сума двох будь-яких вертикальних кутів дорівнює 180о.
    ІІ. Сума двох будь-яких суміжних кутів дорівнює 180о.
    ІІІ. Сума будь-якого гострого кута та будь-якого тупого кута дорівнює 180о.
    АБВГД
    лише І лише ІІ лише І і ІІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ, ІІІ
    Показати відповідь
    Б.
    І. Вертикальні кути рівні. Візьмемо, наприклад, два вертикальні кути по 40о. Сума їх буде 80о. Дане твердження не є правильним.
    ІI. Дане твердження правильне.
    ІІІ. Візьмемо, наприклад, гострий кут 20о та тупий кут 100о. Їх сума 120о. Дане твердження не є правильним.
  8. На рисунку зображено трапецію АВСD. Визначте градусну міру кута ВСD, якщо ∠ADB = 35о, ∠BDC = 20о.

    АБВГД
    125о 165о 155о 145о 140о
    Показати відповідь
    А.
    Кути ADB і CBD є рівними як внутрішні різносторонні при січній BD. Тоді ∠CBD = 35о. В трикутнику CBD сума кутів 180о. Отже ∠BCD=180о-∠CBD-∠BDC=180о-35о-20о=125о.
  9. Пряма l перетинає паралельні прямі m і n (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α, якщо β=1250.

    АБВГД
    35о 45о 55о 65о 75о
    Показати відповідь
    В.
    Кут β є суміжним з кутом, який є внутрішнім різностороннім з кутом α. Даний суміжний кут дорівнює 180о-125о=55о (як суміжний кут до кута 125о). Тоді і внутрішній різносторонній з ним кут дорівнює 55о.
  10. Прямі l, m і n лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    110о 50о 60о 70о 80о
    Показати відповідь
    Г.

    Кут CAB дорівнює 180о-120о=60о (як суміжний кут до кута 120о). Тоді з трикутника АВС кут ∠ACB=180о-60о-50о=70о (сума кутів у трикутнику дорівнює 180о). Кути АСВ та α рівні як вертикальні, тому кут α дорівнює 70о.
  11. На рисунку зображено прямі m і n, що перетинаються. Визначте градусну міру кута γ, якщо α+β=50о.

    АБВГД
    310о 155о 145о 140о 130о
    Показати відповідь
    Б.
    Кути α і β вертикальні, тому вони рівні. Оскільки їх сума 50о, то α=β=50о:2=25о. Кути γ і α суміжні, тому їх сума 180о і γ=180о-α=180о-25о=155о.
  12. Пряма с перетинає паралельні прямі a і b (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними для кутів 1, 2, 3?
    І. ∠1 і ∠3 — суміжні.
    ІІ. ∠1=∠2.
    ІІІ. ∠2+∠3=180о.

    АБВГД
    лише І лише І і ІІІ лише ІІІ лише І і ІІ І, ІІ, ІІІ
    Показати відповідь
    Д.
    І. Твердження правильне.
    ІІ. Твердження правильне (відповідні кути рівні)
    ІІІ. Оскільки ∠1=∠2, то ∠2+∠3=∠1+∠3. Так як ∠1 і ∠3 суміжні кути , то їх сума дійсно 180о. Твердження правильне.
  13. Усі зображені на рисунку прямі лежать в одній площині, прямі m і n є паралельними. Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    20о 50о 60о 70о 110о
    Показати відповідь
    Б.

    Оскільки ∠ВАЕ=∠АВК як внутрішні різносторонні, то ∠ВАЕ=70о. Тоді ∠САВ=∠САЕ+∠ВАЕ=60о+70о=130о. ∠САВ і ∠ВАК - суміжні кути, тому α=∠ВАК=180о-∠САВ=180о-130о=50о.
  14. Три прямі, що розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    101о 99о 81о 79о 69о
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки вертикальні кути рівні, то маємо

    Тоді кути 49о,α, 52о утворюють розгорнутий кут, який дорівнює 180о. Отже α=180о-49о-52о=79о.
  15. Три прямі, розміщені в одній площині, перетинаються в одній точці (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    80о 50о 90о 100о 70о
    Показати відповідь
    А.
    Оскільки вертикальні кути рівні, то маємо

    Тоді кути 60о,α, 40о утворюють розгорнутий кут, який дорівнює 180о. Отже α=180о-60о-40о=80о.
  16. Прямі k, l, m і n лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута α.

    АБВГД
    15о 25о 35о 45о 55о
    Показати відповідь
    В.

    ∠DAC=180о-140о=40о. З трикутника DAC ∠DCA=180о-40о-85о=55о. Так як ∠ACB=90о, то α=90о-∠DCA=90о-55о=35о.
  17. Дві дороги розходяться на рівнинній місцевості як промені ОА та ОВ, позначені на рисунку. Перша дорога (промінь ОА) утворює кут 40o з напрямком “схід”, а друга (промінь ОВ) - кут 20o з напрямом “південь”. Який кут утворюють ці дороги між собою?

    АБВГД
    90о 100о 110о 120о 130о
    Показати відповідь
    В.
    Кут ОВ утворює з напрямком "схід" кут 90о-20о=70о. Тоді кут між ОА та ОВ дорівнює 40о+70о=110о.
  18. Три промені зі спільним початком лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута γ, якщо α=20о, β=50о.

    АБВГД
    330о 290о 250о 160о 110о
    Показати відповідь
    Б.
    Оскільки ці три кути утворюють кут 360о, то γ=360о-α-β=360о-20о-50о=290о.
  19. Прямі АВ і СК паралельні, СВ — бісектриса кута АСК. Визначте градусну міру кута АВС, якщо ∠ВАС=52о.

    АБВГД
    38о 52о 64о 69о 128о
    Показати відповідь
    В.
    Оскільки ∠ВАС і ∠АСК внутрішні односторонні, то ∠АСК=180о-∠ВАС=180о-52о=128о. Оскільки СВ- бісектриса, то ∠ВСК=∠АСК:2=128о:2=64о. Так як ∠ВСК і ∠АВС внутрішні різносторонні, то вони рівні. Отже ∠АВС=64о.
⇐ІV.3.
Вибіркові характеристики рядів даних		 До змісту ⇒V.2.
Трикутники та їх властивості

Коментарі

Анонім каже…
Дякую всім за цікаві завдання !
17 серпня 2024 р. о 09:10
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар