Встановлення властивостей функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковими функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення?
Показати відповідь
Д. Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Такій умові задовольняє тільки графік Д.
Завдання 2. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)?
лише в І та ІІ
лише в ІІ та ІІІ
лише в ІІІ та ІV
лише в І та ІV
у всіх чвертях
Показати відповідь
Г.
Перетворення у f(x-a), де a>0, переносить графік на a одиниць праворуч. Тоді сама ліва точка графіка переноситься в точку з абсцисою - 3 + 4 = 1, отже графік y = f(x – 4) лежить повністю в правій половині координатної площини, тобто в I та IV координатних чвертях.
Завдання 3. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Перетворення у f(x-a), де a>0, переносить графік на a одиниць праворуч. Тоді сама ліва точка графіка переноситься в точку з абсцисою - 3 + 4 = 1, отже графік y = f(x – 4) лежить повністю в правій половині координатної площини, тобто в I та IV координатних чвертях.
1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює
2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює
3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює
2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює
3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює
А −1.
Б 9.
В 6.
Г 7.
Д 5.
Б 9.
В 6.
Г 7.
Д 5.
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-В.
1. 7
2. 5
3. Маємо проміжок(5;7), найбільше ціле з нього 6
Завдання 4. У прямокутній декартовій системі координат на площині зображено замкнену ламану ABCA, де A(–1; 0), B(0; 1), C(1; 0). Узгодьте функцію (1–3) з кількістю (А – Д) спільних точок її графіка та ламаної ABCA.
1. 7
2. 5
3. Маємо проміжок(5;7), найбільше ціле з нього 6
1 y = 0
2 y = 1 – x²
3 y = cosx
2 y = 1 – x²
3 y = cosx
А жодної
Б лише одна
В лише дві
Г лише три
Д безліч
Б лише одна
В лише дві
Г лише три
Д безліч
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-Б.
1. Безліч (усі точки відрізка AC)
2. Три (т.А, В, С)
3. Одна (т.В)
Завдання 5. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-2;4]. Цей графік перетинає вісь х в одній із зазначених точок. Укажіть цю точку.
2. Три (т.А, В, С)
3. Одна (т.В)
(4; 0)
(3; 4)
(0; 3)
(3; 0)
(0; 4)
Показати відповідь
Г.
Графік перетинає вісь х у точці, в якій х = 3. Тоді маємо точку перетину (3; 0).
Завдання 6. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-3;3]. Укажіть нуль цієї функції.
Графік перетинає вісь х у точці, в якій х = 3. Тоді маємо точку перетину (3; 0).
-3
-2
0
3
4
Показати відповідь
Б.
На графіку нулем функції є абсциса точки перетину графіка функції з віссю Ох. Точкою перетину є (-2; 0), отже нуль функції -2.
На графіку нулем функції є абсциса точки перетину графіка функції з віссю Ох. Точкою перетину є (-2; 0), отже нуль функції -2.
Завдання 7. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на відрізку [-3;3]. Одна з наведених точок, абсциса якої є від’ємним числом, а ордината — додатним, належить цьому графіку. Укажіть цю точку.
(2; -2)
(-1; 2)
(-3; -2)
(-2; 2)
(1; 2)
Показати відповідь
Б.
Оскільки абсциса є від'ємним числом, а ордината додатним, то шукаємо точку з першим від'ємним числом і другим додатним. Це або Б або Г. З цих двох точок на графіку лежить лише (-1; 2).
Завдання 8. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на відрізку [-7; 7]. Користуючись рисунком, знайдіть f(2).
Оскільки абсциса є від'ємним числом, а ордината додатним, то шукаємо точку з першим від'ємним числом і другим додатним. Це або Б або Г. З цих двох точок на графіку лежить лише (-1; 2).
-4
0
6
2
5
Показати відповідь
Д.
Потрібно знайти точку графіка, абсциса якої дорівнює 2. Це точка з координатами (2; 5).
Завдання 9. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4;5]. Точка (х₀;-2) належить графіку цієї функції. Визначте абсцису х₀ цієї точки.
3
2
0
-2
-3
Показати відповідь
Д.
Потрібно знайти точку графіка, ордината якої дорівнює -2. Це точка з координатами (-3; -2).
Завдання 10. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-2;4]. Цей графік перетинає вісь у в одній із зазначених точок. Укажіть цю точку.
(4; 0)
(3; 4)
(0; 3)
(3; 0)
(0; 4)
Показати відповідь
Д.
Графік перетинає вісь у у точці, в якій у=4. Тоді маємо точку перетину(0;4).
Завдання 11. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4;4]. Знайдіть множину всіх значень х, для яких f(x)≤ -2.
Графік перетинає вісь у у точці, в якій у=4. Тоді маємо точку перетину(0;4).
[0; 3]
[-3; 2]
[-1; 4]
[-3; -2]
[-4; 0]
Показати відповідь
А.
Нам потрібно знайти проміжок, де графік функції лежить нижче лінії у= -2. Це проміжок по х від 0 до 3.
Завдання 12. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-2; 4]. Укажіть нуль цієї функції.
Нам потрібно знайти проміжок, де графік функції лежить нижче лінії у= -2. Це проміжок по х від 0 до 3.
x = -2
x = 0
x = 1
x = 2
x = 4
Показати відповідь
В.
Нулями функції є абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох в точці х = 1.
Завдання 13. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [1; 8]. Скільки нулів має ця функція на заданому проміжку?
Нулями функції є абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох в точці х = 1.
жодного
один
два
три
чотири
Показати відповідь
Б.
Нулями функції є абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох, отже функція має лише 1 нуль на проміжку [1;8].
Завдання 14. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [-6; 6]. Яку властивість має функція у = f(x)?
Нулями функції є абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох. За малюнком маємо одну точку перетину осі Ох, отже функція має лише 1 нуль на проміжку [1;8].
функція є періодичною
функція зростає на проміжку [-6; 6]
функція спадає на проміжку [-6; 6]
функція є парною
функція є непарною
Показати відповідь
Д.
Оскільки цей графік симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
Завдання 15. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-3; 3]. На якому з наведених проміжків ця функція зростає.
Оскільки цей графік симетричний відносно початку координат, то це графік непарної функції.
[-3; 3]
[1; 3]
[-2; 4]
[-2; 3]
[-3; 1]
Показати відповідь
Д.
За малюнком графік зростає від початку до точки, у якої х=1. Отже, маємо проміжок [-3; 1].
Завдання 16. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-5; 3]. Укажіть проміжок, на якому функція у=f(x) зростає.За малюнком графік зростає від початку до точки, у якої х=1. Отже, маємо проміжок [-3; 1].
[0; 3]
[-1; 2]
[1; 3]
[-3; 3]
[-5; 1]
Показати відповідь
Д.
За малюнком графік зростає від лівого кінця проміжку до точки, у якої х = 1. Отже, маємо проміжок [-5; 1].
Завдання 17. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [-4; 6]. Укажіть найбільше значення функції f на цьому проміжку.
За малюнком графік зростає від лівого кінця проміжку до точки, у якої х = 1. Отже, маємо проміжок [-5; 1].
-4
3
4
5
6
Показати відповідь
Г.
Шукаємо найвищу точку на малюнку. Це точка з у = 5.
Завдання 18. Функція y=f(x) визначена на всій числовій прямій і є періодичною з найменшим додатним періодом 7. На рисунку зображено графік цієї функції на відрізку [-4; 3]. Обчисліть f(5).
Шукаємо найвищу точку на малюнку. Це точка з у = 5.
4
1
0
-2
-3
Показати відповідь
А.
Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x) = f(x-T). Тоді f(5) = f(5 - 7) = f(-2) = 4 (на графіку при х= -2 маємо у = 4).
Завдання 19. На рисунку зображено фрагмент графіка періодичної функції з періодом Т = 2π, яка визначена на множині дійсних чисел. Укажіть серед наведених точку, що належить цьому графіку.
Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x) = f(x-T). Тоді f(5) = f(5 - 7) = f(-2) = 4 (на графіку при х= -2 маємо у = 4).
(1; 2π)
(3π; 0)
(-1; 5π)
(5π; 0)
(5π; -1)
Показати відповідь
Д.
Значення цієї функції лежить в межах [-1;1], тому відповіді А та В не підходять. Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x) = f(x - T). Тоді f(5π) = f(5π - 2π) = f(3π) = f(3π - 2π) = f(π) = -1 (на графіку при х = π маємо у = -1).
Значення цієї функції лежить в межах [-1;1], тому відповіді А та В не підходять. Для періодичної функції з періодом Т виконується рівність f(x) = f(x - T). Тоді f(5π) = f(5π - 2π) = f(3π) = f(3π - 2π) = f(π) = -1 (на графіку при х = π маємо у = -1).
Коментарі