Графік функції

І. y=kx+b (лінійна функція (пряма пропорційність))

Графіком функції є пряма. Для побудови графіка функції достатньо обчислити значення функції в двох довільних точках, побудувати ці точки на координатній площині та провести через них пряму.

Оскільки у(0)=к⋅0+b=b, то число b у рівнянні прямої показує, в якій точці графік функції перетинає вісь ОУ. Число k впливає на монотонність функції: при к>0 функція зростає, при k<0 функція є спадною. При к=0 ми отримуємо рівняння y=b, графіком якої є пряма, паралельна осі ОХ.

ІІ. y=k/x (обернена пропорційність)

Графіком функції є гіпербола. Дана функція має лише один параметр -к, від якого залежить, в якій чверті розміщено графік. При к>0 графік функції лежить в І та ІІІ координатних чвертях, при k<0 графік функції лежить в ІІ та ІV координатних чвертях.

ІІІ. y=ax²+bх+c та y=ax² (квадратична функція)

y=ax². Маючи лише один параметр a, парабола або лежить в І та ІІ координатних чвертях (гілки параболи напрямлені вгору) при а>0 або в ІІІ та ІV координатних чвертях (гілки параболи напрямлені донизу) при a<0.

Загальна квадратична функція має три параметри:

1. Як і для прямої параметр с визначає точку перетину осі ОУ.
2. Як для частинного випадку квадратичної функції параметр а визначає напрямок гілок параболи.
3. Параметр b визначає розміщення вершини параболи. Оскільки абсциса вершини параболи знаходиться за формулою х=-b/2a, то якщо а і b одного знаку (їх добуток більше 0), то вершина параболи лежить зліва від осі ОУ, якщо різного знаку (їх добуток менше нуля) - справа.

Дослідити положення параболи можна використовуючи дискримінант відповідного квадратного рівняння. Як відомо, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то рівняння має два корені; якщо від'ємний - не має коренів; якщо дорівнює 0 - один корінь. Враховуючи те, що корені квадратного рівняння, це ті числа, при яких значення квадратичної функції дорівнюють нулю, то корені - це точки перетину параболи з віссю ОХ. Відповідно, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то парабола має дві точки перетину з ОХ; якщо від'ємний - не перетинає ОХ; якщо дорівнює 0 - дотикається до осі ОХ.

1. 2021. Укажіть функцію, графік якої проходить через початок координат.

   А	Б	В	Г	Д
   у=х-1	у=1-х	у=1	х=-1	у=х

   Відповідь

   Д.
   Щоб перевірити, чи належить точка (0;0) графіку функції, достатньо підставити її координати в рівняння функції.
   А) 0=0-1. Не є правильним.
   Б) 0=1-0. Не є правильним.
   В) 0=1. Не є правильним.
   Г) 0=-1. Не є правильним.
   Д) 0=0. Є правильним.
2. Визначте точку перетину графіка функції у=2х-2 з віссю х.

   А	Б	В	Г	Д
   (0;-2)	(-2;0)	(1;0)	(0;1)	(1;-2)

   Відповідь

   В.
   Оскільки в точці перетину графіка функції з віссю х у=0, то маємо рівняння 2х-2=0, звідки 2х=2 і х=1. Маємо точку (1;0).
3. Графіком однієї з наведених функцій є пряма. Укажіть цю функцію.

   А	Б	В	Г	Д
   у=2х	у=x2-2x	у=cos(2х)	y=2x	y=

   Відповідь

   Г.
   Лінійна функція має вигляд y=kx+b, тобто із запропонованих обираємо у=2х.
4. Укажіть лінійну функцію, графік якої паралельний вісі абсцис і проходить через точку А(-2;3).

   А	Б	В	Г	Д
   y=-	y= -2	x= -2	x=3	y=3

   Відповідь

   Д.
   Оскільки графік функції паралельний вісі абсцис, то функція має вигляд у=а. Так як графік функції проходить через точку А(-2;3), для якої у=3, то маємо лінійну функцію у=3.
5. Яка з наведених точок належить графіку y=функції ?

   А	Б	В	Г	Д
   (2;7)	(1;6)	(-3;0,4)	(0;2,5)	(4;4,5)

   Відповідь

   Д.
   Якщо точка належить графіку функції, то її координати повинні задовільняти рівнянню функції. Підставимо запропоновані варіанти:
   А) ≠7
   Б) =-6≠6
   В) =-0,4≠0,4
   Г) =-2,5≠2,5
   Д) =4,5 Підходить, отже ця точка належить графіку функції.
6. 2020. Графік довільної функції y=f(x) паралельно перенесли вздовж осі у на 3 одиниці вниз. Графік якої з наведених функцій отримали?

   А	Б	В	Г	Д
   y=f(x+3)	y=f(x)+3	y=3f(x)	y=f(x)-3	y=f(x-3)

   Відповідь

   Г.
   Якщо графік паралельно переноситься вздовж осі у, то це перетворення f(x)+a. Так як переносимо вниз на 3 одиниці, то маємо а= -3. Отже це перетворення f(x)-3.
7. 2019. Графік довільної функції y=f(x) паралельно перенесли вздовж осі х на 2 одиниці праворуч. Графік якої з наведених функцій отримали?

   А	Б	В	Г	Д
   y=f(x+2)	y=f(x)+2	y=2f(x)	y=f(x)-2	y=f(x-2)

   Відповідь

   Д.
   Якщо графік паралельно переноситься вздовж осі х, то це перетворення f(x+a). Так як переносимо праворуч на 2 одиниці, то маємо а= -2. Отже це перетворення f(x-2).
8. 2021. Установіть відповідність між функцією (1–3) і властивістю (А–Д) її графіка.

   Функція	Властивість графіка функції
   1 y = log2x 2 y=x2+3 3 y = cosx	А не перетинає вісь у Б паралельний осі х В розташований у всіх координатних чвертях Г має лише одну спільну точку з графіком рівняння х2+у2=9 Д симетричний відносно початку координат

   Відповідь

   1-А, 2-Г, 3-В.
   1) Графік логарифмічної функції не перетинає вісь у.
   2) Графіком функції є парабола, перенесена на 3 одиниці вгору, тому вона має лише одну спільну точку з графіком рівняння х²+у²=9 (точка (0; 3).
   3) Графік функції розташований у всіх координатних чвертях.
9. 2021. Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

   Початок речення	Закінчення речення
   1 Графік функції y = -x3 2 Графік функції y = 3 Графік функції y = cosx	А розміщено лише в першій і другій координатних чвертях Б має з графіком рівняння x2+y2 = 9 лише одну спільну точку В симетричний відносно осі у Г симетричний відносно початку координат Д не має спільних точок із графіком рівняння x = 0

   Відповідь

   1-Г, 2-Б, 3-В.
   1) Функція y = -x³ є непарною (у(-х)=-(-x)³=x³=-у(х)), а графік непарної функції симетричний відносно початку координат
   2) Графіком функції є гілка параболи, розміщена в першій координатній чверті. Ця гілка перетинає коло з центром в початку координат лише в одній точці.
   3) Функція y = cosx є парною функцією, а графік парної функції симетричний відносно осі у.
10. Кожній точці (1-4) поставте у відповідність функцію (А-Д), графіку якої належить ця точка.

    Точка	Функція
    1 О(0;0) 2 М(0;-1) 3 N(-1;0) 4 K(0;1)	А y=2x+2 Б y=ctgx В y=tgx Г y=-1 Д y=2x

    Відповідь

    1-В, 2-Г, 3-А, 4-Д.
    Підставимо у функції координати точок, і з'ясуємо, коли отримаємо правильну рівність.
    1) О(0;0) А) 2⋅0+2=0+2=2≠0. Б) ctg0 не існує. В) tgx=0. Підходить. Маємо першу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь В.
    2) М(0;-1) А) 2⋅0+2=0+2=2≠-1. Б) ctg0 не існує. Г) y=-1=0-1=-1. Підходить. Маємо другу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь Г.
    3) N(-1;0) А) 2⋅(-1)+2=0. Підходить. Маємо третю відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь А.
    4) K(0;1) Б) ctg0 не існує. Д) 2⁰=1. Підходить. Маємо четверту відповідь.
11. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю точок перетину її графіка з осями координат (А-Д).

    Функція	Кількість точок
    1 y=x2-4 2 y=2х 3 y=2x+1 4 y=	А жодної Б одна В дві Г три Д чотири

    Відповідь

    1-Г, 2-Б, 3-В, 4-А.
    1) Підставимо замість х 0. Маємо 0²-4=-4. Точка (0;-4). Підставимо замість у 0. Маємо x²-4=0, звідки x²=4 і х=±2. Маємо ще дві точки (-2;0) та (2;0). Отже, дана функція має три точки перетину з осями координат.
    2) Підставимо замість х 0. Маємо 2⁰=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2^х=0. Дане рівняння не має розв'язків (2^х завжди більше 0). Отже, дана функція має одну точку перетину з осями координат.
    3) Підставимо замість х 0. Маємо 2⋅0+1=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2x+1=0, звідки 2x= -1 і х= -0,5. Маємо ще одну точку (-0,5;0). Отже, дана функція має дві точки перетину з осями координат.
    4) Графіком даної функції є гіпербола, графік якої не перетинає жодну з осей координат.
12. 2019. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю точок перетину її графіка з осями координат (А-Д).

    Функція	Кількість точок перетину
    1 y=x3-1 2 y=2-х 3 y=- 4 y=ctgx	А жодної Б одна В дві Г три Д безліч

    Відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.
    1) Підставимо замість х 0. Маємо 0³-1=-1. Точка (0;-1). Підставимо замість у 0. Маємо x³-1=0, звідки x³=1 і х=1. Маємо ще точку (1;0). Отже, дана функція має дві точки перетину з осями координат.(Або графіком є кубічна парабола, зміщена на 1 вниз і маємо за графіком дві точки перетину).
    2) Підставимо замість х 0. Маємо 2⁰=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2^-х=0. Дане рівняння не має розв'язків (2^-х завжди більше 0). Отже, дана функція має одну точки перетину з осями координат. (Або графік показникової функції завжди має з осями лише одну точку перетину).
    3) Графіком даної функції є гіпербола, графік якої не перетинає жодну з осей координат.
    4) Графіком даної функції є котангенсоїда, яка з періодом Т=π перетинає вісь Ох. Маємо безліч точок перетину.
13. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю спільних точок (А-Д) графіка цієї функції з графіком функції у=.

    Твердження	Функція
    1 у=х+5 2 y=5х 3y= 4y=sinx	А жодної Б лише одна В лише дві Г лише три Д більше чотирьох

    Відповідь

    1-Б, 2-А, 3-В, 4-Г.
    1) Оскільки коефіцієнти біля цих прямих різні, то вони перетинаються, отже вони мають 1 спільну точку
    2) Дана функція розміщена у верхній половині координатної площини, пряма у= при х<0 розміщена в нижній частині координатної площини, а в іншій частині зростає повільніше, ніж показникова функція, тому вони не мають спільних точок.
    3) Одразу видно, що вони мають спільну точку (0;0), після якої корінь спочатку стрімко зростає, а потім, після 1, повільно. Тому графік даної функції буде мати ще одну спільну точку з прямою (це точка (25;5)). Отже, маємо 2 спільні точки.
    4) Якщо намалювати синусоїду та пряму, видно, що вони мають 3 спільні точки.
14. 2020. Установіть відповідність між функцією (1-3) та її властивістю (А-Д).

    Функція	Властивість функції
    1 у=х2+3 2 у=2х-5 3 y=	А графік функції симетричний відносно осі у Б графік функції розташований лише в першій координатній чверті В функція набуває від’ємного значення в точці х=2,4 Г графік функції проходить через початок координат Д графік функції симетричний відносно початку координат

    Відповідь

    1-А, 2-В, 3-Д.
    1) Графіком даної функції є парабола, переміщена на 3 одиниці вгору, тому графік даної функції симетричний відносно осі у.
    2) у(2,4)=2⋅2,4-5=4,8-5=-0,2.
    3) Графіком даної функції є гіпербола, яка симетрична відносно початку координат.
15. Установіть відповідність між твердженнями (1-4) та функцією (А-Д), для якої це твердження є правильним.

    Твердження	Функція
    1 Графік функції проходить через точку (0;1) 2 найменшого значення функція набуває в точці х= -2 3 областю визначення функції є множина (-∞;2)U(2;+∞) 4 графік функції симетричний відносно осі у	А y= Б у=(х+2)2 В у=3х Г y=|x| Д y=x

    Відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
    1) Шукаємо, в яку функцію замість х можна підставити 0 і отримати 1. Це 3⁰=1.
    2) Найменшого значення набувають лише Б і Г. В точці -2 набуває графік Б.
    3) Розрив точці 2 має лише гіпербола А.
    4) Симетричним відносно у є графік модуля Г.
16. 2019. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Графік функції у=1 2 Графік функції у=cosx 3 Графік функції у=4-х2 4 Графік функції у=log3x	А не перетинає вісь у Б є симетричним відносно початку координат В має безліч спільних точок з віссю х Г не має спільних точок з віссю х Д проходить через точку (1;3)

    Відповідь

    1-Г, 2-В, 3-Д, 4-А.
    1) Оскільки в рівнянні функції відсутній х, то це пряма, паралельна осі х, а отже, не має з нею спільних точок.
    2) Графік функції періодично перетинає вісь х, тому має з нею безліч спільних точок.
    3) Якщо замість х підставити 1 маємо у=4-1=3, тому графік функції проходить через точку (1;3).
    4) Графік логарифмічної функції не перетинає вісь у.
17. Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Графік функції у=5-х 2 Графік функції у=2х+3 3 Графік рівняння 2х+6=0 4 Графік функції у=х-4	А не перетинає вісь у Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-5 В утворює з додатним напрямом осі х тупий кут Г паралельний прямій у-х=0 Д перетинає коло, задане рівнянням x2+y2=4

    Відповідь

    1-В, 2-Д, 3-А, 4-Г.
    1) Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то пряма утворює з додатним напрямом осі х тупий кут.
    3) Оскільки в функції відсутній у, то графік функції не перетинає вісь у
    4) Якщо у відповіді Г перенести х вправо, ми отримаємо у=х. Тобто коефіцієнт біля х у Г і функції 4 однакові, тому дані прямі паралельні.
    2) Залишилося два варіанти відповідей: Б і Д. Графіком функції є пряма у=2х, піднята на 3 одиниці вгору, тому вона точно перетинає параболу , перенесену на 5 одиниць вниз. Тому відповідь Б не підходить і правильна відповідь Д
18. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Пряма у=4,5х 2 Пряма у= -4 3 Пряма у=2х+4 4 Пряма у=х	А є паралельною прямій у=2х Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-1 В перетинає графік функції у=3х у точці з абсцисою х0=2 Г є паралельною осі у Д є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей

    Відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.
    3) У прямих у=2х+4 та у=2х однакові коефіцієнти біля х, тому вони паралельні. Маємо пару 3-А.
    2) Пряма у= -4 проходить через точку (0;-4) паралельно осі х. Тому вона не перетинає параболу у=x²-1, гілки якої спрямовані вгору і вершина якої (0;-1). Маємо пару 2-Б
    4) Пряма у=х є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей, тому маємо пару 4-Д
    1) Для прямої у=4,5х при х=2 у=9 та для функції у=3^х при х=2 у=9, отже графіки цих функцій перетинаються в точці з абсцисою х=2. Маємо пару 1-В.
19. Установіть відповідність між функцією (1-4) та координатними чвертями (А-Д), у яких розміщений графік цієї функції.

    Функція	Координатні чверті
    1 у=-х2-1 2 у=х+1 3 у= - 4 у=cosх	А II та IV Б III та IV В I,II та III Г I,III та IV Д I,II,III та IV

    Відповідь

    1-Б, 2-В, 3-А, 4-Д.
    1) Графіком є парабола, гілки якої спрямовані униз і переміщена на 1 одиницю вниз. Тому графік займає нижню частину координатної площини, тобто IІI та IV координатні чверті .
    2) Графіком є пряма у=х, переміщена на 1 одиницю угору, тому вона проходить через всі чверті крім IV.
    3) Графіком є гіпербола. Оскільки є знак "-", то вона розміщена у II та IV координатних чвертях.
    4) Графік проходить через всі координатні чверті.
20. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції y=cosx (1-4) та функціями, одержаними в результаті цих перетворень (А-Д).

    Перетворення	Функція
    1 графік функції y=cosx паралельно перенесли вздовж осі Ох на дві одиниці ліворуч 2 графік функції y=cosx паралельно перенесли вздовж осі Оу на дві одиниці вниз 3 графік функції y=cosx стиснули до осі Ох у два рази 4 графік функції y=cosx стиснули до осі Оу у два рази	А y=cos(2x) Б y=cosx В y=cos(x-2) Г y=cos(x+2) Д y=cosx-2

    Відповідь

    1-Г, 2-Д, 3-Б, 4-А.
    1) Оскільки переносимо уздовж осі Ох на дві одиниці ліворуч, то до х потрібно додати 2. Маємо y=cos(x+2).
    2) Оскільки переносимо уздовж осі Оу на дві одиниці вниз, то від функції потрібно відняти 2. Маємо y=cosx-2.
    3) Оскільки графік функції y=cosx стиснули до осі Ох у два рази, то потрібно функцію помножити на . Маємо y=cosx.
    4) Оскільки графік функції y=cosx стиснули до осі Оу у два рази, то потрібно х помножити на 2. Маємо y=cos(2x).
21. Графік функції у= проходить через точку (х_o;4), де х_o>0. Обчисліть х_o.
    Відповідь

    2,5.
    Так як графік проходить через точку, то її координати зодовольняють рівнянню функції. Підставимо їх. Маємо 4=
    16=2x_o²+x_o+1
    2x_o²+x_o-15=0
    D=1²-4⋅2⋅(-15)=1+120=121
    x_o==2,5 або
    x_o== -3
    Так як за умовою х_o>0, то маємо лише одну відповідь 2,5.

⇐ІІІ.3. Функція

До змісту

⇒ІІІ.5. Функції за графіками