Перейти до основного вмісту

Графік функції

І. y=kx+b (лінійна функція (пряма пропорційність))

Графіком функції є пряма. Для побудови графіка функції достатньо обчислити значення функції в двох довільних точках, побудувати ці точки на координатній площині та провести через них пряму.

Оскільки у(0)=к⋅0+b=b, то число b у рівнянні прямої показує, в якій точці графік функції перетинає вісь ОУ. Число k впливає на монотонність функції: при к>0 функція зростає, при k<0 функція є спадною. При к=0 ми отримуємо рівняння y=b, графіком якої є пряма, паралельна осі ОХ.

графік лінійної функції (пряма, linear function)

ІІ. y=k/x (обернена пропорційність)

Графіком функції є гіпербола. Дана функція має лише один параметр -к, від якого залежить, в якій чверті розміщено графік. При к>0 графік функції лежить в І та ІІІ координатних чвертях, при k<0 графік функції лежить в ІІ та ІV координатних чвертях.

графік оберненої пропорційності (гіпербола, inversely proportional)

ІІІ. y=ax2+bх+c та y=ax2 (квадратична функція)

y=ax2. Маючи лише один параметр a, парабола або лежить в І та ІІ координатних чвертях (гілки параболи напрямлені вгору) при а>0 або в ІІІ та ІV координатних чвертях (гілки параболи напрямлені донизу) при a<0.

графік квадратичної функції (парабола, quadratic function)

Загальна квадратична функція має три параметри:
  1. Як і для прямої параметр с визначає точку перетину осі ОУ.
  2. Як для частинного випадку квадратичної функції параметр а визначає напрямок гілок параболи.
  3. Параметр b визначає розміщення вершини параболи. Оскільки абсциса вершини параболи знаходиться за формулою х=-b/2a, то якщо а і b одного знаку (їх добуток більше 0), то вершина параболи лежить зліва від осі ОУ, якщо різного знаку (їх добуток менше нуля) - справа.

парабола з параметрами a, b, c

Дослідити положення параболи можна використовуючи дискримінант відповідного квадратного рівняння. Як відомо, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то рівняння має два корені; якщо від'ємний - не має коренів; якщо дорівнює 0 - один корінь. Враховуючи те, що корені квадратного рівняння, це ті числа, при яких значення квадратичної функції дорівнюють нулю, то корені - це точки перетину параболи з віссю ОХ. Відповідно, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то парабола має дві точки перетину з ОХ; якщо від'ємний - не перетинає ОХ; якщо дорівнює 0 - дотикається до осі ОХ.

парабола з параметрами a, D

  1. Укажіть функцію, графік якої проходить через початок координат.
    АБВГД
    у=х-1 у=1-х у=1 х=-1 у=х
    Показати відповідь
    Д.
    Щоб перевірити, чи належить точка (0;0) графіку функції, достатньо підставити її координати в рівняння функції.
  2. Визначте точку перетину графіка функції у=2х-2 з віссю х.
    АБВГД
    (0;-2) (-2;0) (1;0) (0;1) (1;-2)
    Показати відповідь
    В.
  3. Графіком однієї з наведених функцій є пряма. Укажіть цю функцію.
    АБВГД
    у=2х у=x2-2x у=cos(2х) y=2x y=
    Показати відповідь
    Г.
  4. Укажіть лінійну функцію, графік якої паралельний вісі абсцис і проходить через точку А(-2;3).
    АБВГД
    y=- y= -2 x= -2 x=3 y=3
    Показати відповідь
    Д.
  5. Яка з наведених точок належить графіку функції y= ?
    АБВГД
    (2;7) (1;6) (-3;0,4) (0;2,5) (4;4,5)
    Показати відповідь
    Д.
    Якщо точка належить графіку функції, то її координати повинні задовільняти рівнянню функції.
  6. Графік довільної функції y=f(x) паралельно перенесли вздовж осі у на 3 одиниці вниз. Графік якої з наведених функцій отримали?
    АБВГД
    y=f(x+3) y=f(x)+3 y=3f(x) y=f(x)-3 y=f(x-3)
    Показати відповідь
    Г.
  7. Графік довільної функції y=f(x) паралельно перенесли вздовж осі х на 2 одиниці праворуч. Графік якої з наведених функцій отримали?
    АБВГД
    y=f(x+2) y=f(x)+2 y=2f(x) y=f(x)-2 y=f(x-2)
    Показати відповідь
    Д.
  8. Установіть відповідність між функцією (1–3) і властивістю (А–Д) її графіка.
    Функція Властивість графіка функції
    1 y = log2x
    2 y=x2+3
    3 y = cosx     		А не перетинає вісь у
    Б паралельний осі х
    В розташований у всіх координатних чвертях
    Г має лише одну спільну точку з графіком рівняння х2+у2=9
    Д симетричний відносно початку координат
    Показати відповідь
    1-А, 2-Г, 3-В.
  9. Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Графік функції y = -x3
    2 Графік функції y =
    3 Графік функції y = cosx     		А розміщено лише в першій і другій координатних чвертях
    Б має з графіком рівняння x2+y2 = 9 лише одну спільну точку
    В симетричний відносно осі у
    Г симетричний відносно початку координат
    Д не має спільних точок із графіком рівняння x = 0
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Б, 3-В.
  10. Кожній точці (1-4) поставте у відповідність функцію (А-Д), графіку якої належить ця точка.
    Точка Функція
    1 О(0;0)
    2 М(0;-1)
    3 N(-1;0)
    4 K(0;1)     		А y=2x+2
    Б y=ctgx
    В y=tgx
    Г y=-1
    Д y=2x
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-А, 4-Д.
  11. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю точок перетину її графіка з осями координат (А-Д).
    Функція Кількість точок
    1 y=x2-4
    2 y=2х
    3 y=2x+1
    4 y=    		 А жодної
    Б одна
    В дві
    Г три
    Д чотири
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Б, 3-В, 4-А.
  12. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю точок перетину її графіка з осями координат (А-Д).
    Функція Кількість точок перетину
    1 y=x3-1
    2 y=2-х
    3 y=-
    4 y=ctgx    		 А жодної
    Б одна
    В дві
    Г три
    Д безліч
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.
  13. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю спільних точок (А-Д) графіка цієї функції з графіком функції у=.
    Функція Кількість точок перетину
    1 у=х+5
    2 y=5х
    3y=
    4y=sinx     		А жодної
    Б лише одна
    В лише дві
    Г лише три
    Д більше чотирьох
    Показати відповідь
    1-Б, 2-А, 3-В, 4-Г.
  14. Установіть відповідність між функцією (1-3) та її властивістю (А-Д).
    Функція Властивість функції
    1 у=х2+3
    2 у=2х-5
    3 y=
    		А графік функції симетричний відносно осі у
    Б графік функції розташований лише в першій координатній чверті
    В функція набуває від’ємного значення в точці х=2,4
    Г графік функції проходить через початок координат
    Д графік функції симетричний відносно початку координат
    Показати відповідь
    1-А, 2-В, 3-Д.
  15. Установіть відповідність між твердженнями (1-4) та функцією (А-Д), для якої це твердження є правильним.
    Твердження Функція
    1 Графік функції проходить через точку (0;1)
    2 найменшого значення функція набуває в точці х= -2
    3 областю визначення функції є множина (-∞;2)U(2;+∞)
    4 графік функції симетричний відносно осі у    		 А y=
    Б у=(х+2)2
    В у=3х
    Г y=|x|
    Д y=x
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
  16. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Графік функції у=1
    2 Графік функції у=cosx
    3 Графік функції у=4-х2
    4 Графік функції у=log3x    		 А не перетинає вісь у
    Б є симетричним відносно початку координат
    В має безліч спільних точок з віссю х
    Г не має спільних точок з віссю х
    Д проходить через точку (1;3)
    Показати відповідь
    1-Г, 2-В, 3-Д, 4-А.
  17. Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Графік функції у=5-х
    2 Графік функції у=2х+3
    3 Графік рівняння 2х+6=0
    4 Графік функції у=х-4    		 А не перетинає вісь у
    Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-5
    В утворює з додатним напрямом осі х тупий кут
    Г паралельний прямій у-х=0
    Д перетинає коло, задане рівнянням x2+y2=4
    Показати відповідь
    1-В, 2-Д, 3-А, 4-Г.
  18. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Пряма у=4,5х
    2 Пряма у= -4
    3 Пряма у=2х+4
    4 Пряма у=х    		 А є паралельною прямій у=2х
    Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-1
    В перетинає графік функції у=3х у точці з абсцисою х0=2
    Г є паралельною осі у
    Д є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.
  19. Установіть відповідність між функцією (1-4) та координатними чвертями (А-Д), у яких розміщений графік цієї функції.
    Функція Координатні чверті
    1 у=-х2-1
    2 у=х+1
    3 у= -
    4 у=cosх    		 А II та IV
    Б III та IV
    В I,II та III
    Г I,III та IV
    Д I,II,III та IV
    Показати відповідь
    1-Б, 2-В, 3-А, 4-Д.
  20. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції y=cosx (1-4) та функціями, одержаними в результаті цих перетворень (А-Д).
    Перетворення Функція
    1 графік функції y=cosx паралельно перенесли вздовж осі Ох на дві одиниці ліворуч
    2 графік функції y=cosx паралельно перенесли вздовж осі Оу на дві одиниці вниз
    3 графік функції y=cosx стиснули до осі Ох у два рази
    4 графік функції y=cosx стиснули до осі Оу у два рази    		 А y=cos(2x)
    Б y=cosx
    В y=cos(x-2)
    Г y=cos(x+2)
    Д y=cosx-2
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Д, 3-Б, 4-А.
  21. Графік функції у= проходить через точку (хo;4), де хo>0. Обчисліть хo.
    Показати відповідь
    2,5.
    Так як графік проходить через точку, то її координати зодовольняють рівнянню функції.
⇐ІІІ.3.
Функція		 До змісту ⇒ІІІ.5.
Функції за графіками

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Піраміда та її елементи

Піраміда: у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер бічні грані піраміди - трикутники, а правильної піраміди - рівнобедрені трикутники правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку? розгортка піраміди, net of the pyramid Трикутна призма, Triangular prysm чотирикутна піраміда, Square pyramid трикутна піраміда, Triangular pyramid прямокутний паралелепіпед, Rectangular prism п'ятикутна призма, Pentagonal prism Показати відповідь Б . Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди. Завдання 2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди. 7 8 9 16 17 Показати відповідь В . Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней. Завдання 3. Скільки всього граней у піраміди, яка ...
2 коментарі
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »