Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковими функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат.
І. Лінійна функція (пряма пропорційність)
Загальне рівняння лінійної функції y = kx + b. Графіком функції є пряма. Як відомо з курсу планіметрії, через дві точки можна провести лише одну пряму. Тому для побудови графіка функції достатньо обчислити значення функції в двох довільних точках, побудувати ці точки на координатній площині та провести через них пряму. Інколи для розв’язування задач не потрібно знати точне положення цієї прямої, потрібно мати лише ескіз її розміщення. Для цього використовуються властивості цієї функції.
Оскільки у(0) = к · 0 + b = b, то число b у рівнянні прямої показує, в якій точці графік функції перетинає вісь ОУ. Число k впливає на монотонність функції: при к > 0 функція зростає, при k < 0 функція є спадною. При к = 0 ми отримуємо рівняння y = b, графіком якої є пряма, паралельна осі ОХ.
ІІ. Обернена пропорційність
Загальне рівняння оберненої пропорційності y = k/x. Графіком функції є гіпербола. Дана функція має лише один параметр -к, від якого залежить, в якій чверті розміщено графік. При к > 0 графік функції лежить в І та ІІІ координатних чвертях, при k < 0 графік функції лежить в ІІ та ІV координатних чвертях.
ІІІ. Квадратична функція
Зазвичай розглядають два види квадратичної функції. Загальну y = ax² + bх + c та її окремий випадок y = ax². Почнемо з другої. Маючи лише один параметр a, парабола або лежить в І та ІІ координатних чвертях (гілки параболи напрямлені вгору) при а > 0 або в ІІІ та ІV координатних чвертях (гілки параболи напрямлені донизу) при a < 0.
Загальна квадратична функція має три параметри:
- Як і для прямої параметр с визначає точку перетину осі ОУ.
- Як для частинного випадку квадратичної функції параметр а визначає напрямок гілок параболи.
- Параметр b визначає розміщення вершини параболи. Оскільки абсциса вершини параболи знаходиться за формулою х = -b/2a, то якщо а і b одного знаку (їх добуток більше 0), то вершина параболи лежить зліва від осі ОУ, якщо різного знаку (їх добуток менше нуля) - справа.
Дослідити положення параболи можна використовуючи дискримінант відповідного квадратного рівняння. Як відомо, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то рівняння має два корені; якщо від'ємний - не має коренів; якщо дорівнює 0 - один корінь. Враховуючи те, що корені квадратного рівняння, це ті числа, при яких значення квадратичної функції дорівнюють нулю, то корені - це точки перетину параболи з віссю ОХ. Відповідно, якщо дискримінант квадратного рівняння додатній, то парабола має дві точки перетину з ОХ; якщо від'ємний - не перетинає ОХ; якщо дорівнює 0 - дотикається до осі ОХ.
у=х-1
у=1-х
у=1
х=-1
у=х
Показати відповідь
Д.
Щоб перевірити, чи належить точка (0;0) графіку функції, достатньо підставити її координати в рівняння функції.
А) 0=0-1. Не є правильним.
Б) 0=1-0. Не є правильним.
В) 0=1. Не є правильним.
Г) 0=-1. Не є правильним.
Д) 0=0. Є правильним.
Завдання 2. Визначте точку перетину графіка функції у=2х-2 з віссю х.
Щоб перевірити, чи належить точка (0;0) графіку функції, достатньо підставити її координати в рівняння функції.
А) 0=0-1. Не є правильним.
Б) 0=1-0. Не є правильним.
В) 0=1. Не є правильним.
Г) 0=-1. Не є правильним.
Д) 0=0. Є правильним.
(0;-2)
(-2;0)
(1;0)
(0;1)
(1;-2)
Показати відповідь
В.
Оскільки в точці перетину графіка функції з віссю х у=0, то маємо рівняння 2х-2=0, звідки 2х=2 і х=1. Маємо точку (1;0).
Завдання 3. Графіком однієї з наведених функцій є пряма. Укажіть цю функцію.
Оскільки в точці перетину графіка функції з віссю х у=0, то маємо рівняння 2х-2=0, звідки 2х=2 і х=1. Маємо точку (1;0).
у=2х
у=x2-2x
у=cos(2х)
y=2x
y=\frac{2}{x}
Показати відповідь
Г.
Лінійна функція має вигляд y=kx+b, тобто із запропонованих обираємо у=2х.
Завдання 4. Укажіть лінійну функцію, графік якої паралельний вісі абсцис і проходить через точку А(-2;3).
Лінійна функція має вигляд y=kx+b, тобто із запропонованих обираємо у=2х.
y=-\frac{3}{2}x
y= -2
x= -2
x=3
y=3
Показати відповідь
Д.
Оскільки графік функції паралельний осі абсцис, то функція має вигляд у=а. Так як графік функції проходить через точку А(-2;3), для якої у=3, то маємо лінійну функцію у=3.
Завдання 5. Яка з наведених точок належить графіку функції y= \frac{5+x}{x-2}?
Оскільки графік функції паралельний осі абсцис, то функція має вигляд у=а. Так як графік функції проходить через точку А(-2;3), для якої у=3, то маємо лінійну функцію у=3.
(2;7)
(1;6)
(-3;0,4)
(0;2,5)
(4;4,5)
Показати відповідь
Д.
Якщо точка належить графіку функції, то її координати повинні задовільняти рівнянню функції. Підставимо запропоновані варіанти:
А) \frac{5+2}{2-2}=\frac{7}{0}≠7
Б) \frac{5+1}{1-2}=\frac{6}{-1}=-6≠6
В) \frac{5-3}{-3-2}=\frac{2}{-5}=-0,4≠0,4
Г) \frac{5+0}{0-2}=\frac{5}{-2}=-2,5≠2,5
Д) \frac{5+4}{4-2}=\frac{9}{2}=4,5. Підходить, отже ця точка належить графіку функції.
Завдання 6. Графік довільної функції y=f(x) паралельно перенесли вздовж осі у на 3 одиниці вниз. Графік якої з наведених функцій отримали?
Якщо точка належить графіку функції, то її координати повинні задовільняти рівнянню функції. Підставимо запропоновані варіанти:
А) \frac{5+2}{2-2}=\frac{7}{0}≠7
Б) \frac{5+1}{1-2}=\frac{6}{-1}=-6≠6
В) \frac{5-3}{-3-2}=\frac{2}{-5}=-0,4≠0,4
Г) \frac{5+0}{0-2}=\frac{5}{-2}=-2,5≠2,5
Д) \frac{5+4}{4-2}=\frac{9}{2}=4,5. Підходить, отже ця точка належить графіку функції.
y=f(x+3)
y=f(x)+3
y=3f(x)
y=f(x)-3
y=f(x-3)
Показати відповідь
Г.
Якщо графік паралельно переноситься вздовж осі у, то це перетворення f(x)+a. Так як переносимо вниз на 3 одиниці, то маємо а= -3. Отже це перетворення f(x)-3.
Завдання 7. Графік довільної функції y=f(x) паралельно перенесли вздовж осі х на 2 одиниці праворуч. Графік якої з наведених функцій отримали?
Якщо графік паралельно переноситься вздовж осі у, то це перетворення f(x)+a. Так як переносимо вниз на 3 одиниці, то маємо а= -3. Отже це перетворення f(x)-3.
y=f(x+2)
y=f(x)+2
y=2f(x)
y=f(x)-2
y=f(x-2)
Показати відповідь
Д.
Якщо графік паралельно переноситься вздовж осі х, то це перетворення f(x+a). Так як переносимо праворуч на 2 одиниці, то маємо а= -2. Отже це перетворення f(x-2).
Завдання 8. Установіть відповідність між функцією (1–3) і властивістю (А–Д) її графіка.
Якщо графік паралельно переноситься вздовж осі х, то це перетворення f(x+a). Так як переносимо праворуч на 2 одиниці, то маємо а= -2. Отже це перетворення f(x-2).
1 y = log2x
2 y=x2+3
3 y = cosx
2 y=x2+3
3 y = cosx
А не перетинає вісь у
Б паралельний осі х
В розташований у всіх координатних чвертях
Г має лише одну спільну точку з графіком рівняння х2+у2=9
Д симетричний відносно початку координат
Б паралельний осі х
В розташований у всіх координатних чвертях
Г має лише одну спільну точку з графіком рівняння х2+у2=9
Д симетричний відносно початку координат
Показати відповідь
1-А, 2-Г, 3-В.
1) Графік логарифмічної функції не перетинає вісь у.
2) Графіком функції є парабола, перенесена на 3 одиниці вгору, тому вона має лише одну спільну точку з графіком рівняння х2+у2=9 (точка (0; 3).
3) Графік функції розташований у всіх координатних чвертях.
Завдання 9. Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Графік логарифмічної функції не перетинає вісь у.
2) Графіком функції є парабола, перенесена на 3 одиниці вгору, тому вона має лише одну спільну точку з графіком рівняння х2+у2=9 (точка (0; 3).
3) Графік функції розташований у всіх координатних чвертях.
1 Графік функції y = -x3
2 Графік функції y = \sqrt{x}
3 Графік функції y = cosx
2 Графік функції y = \sqrt{x}
3 Графік функції y = cosx
А розміщено лише в першій і другій координатних чвертях
Б має з графіком рівняння x2+y2 = 9 лише одну спільну точку
В симетричний відносно осі у
Г симетричний відносно початку координат
Д не має спільних точок із графіком рівняння x = 0
Б має з графіком рівняння x2+y2 = 9 лише одну спільну точку
В симетричний відносно осі у
Г симетричний відносно початку координат
Д не має спільних точок із графіком рівняння x = 0
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-В.
1) Функція y = -x3 є непарною (у(-х)=-(-x)3=x3=-у(х)), а графік непарної функції симетричний відносно початку координат
2) Графіком функції є гілка параболи, розміщена в першій координатній чверті. Ця гілка перетинає коло з центром в початку координат лише в одній точці.
3) Функція y = cosx є парною функцією, а графік парної функції симетричний відносно осі у.
Завдання 10. Кожній точці (1-4) поставте у відповідність функцію (А-Д), графіку якої належить ця точка.
1) Функція y = -x3 є непарною (у(-х)=-(-x)3=x3=-у(х)), а графік непарної функції симетричний відносно початку координат
2) Графіком функції є гілка параболи, розміщена в першій координатній чверті. Ця гілка перетинає коло з центром в початку координат лише в одній точці.
3) Функція y = cosx є парною функцією, а графік парної функції симетричний відносно осі у.
1 О(0;0)
2 М(0;-1)
3 N(-1;0)
4 K(0;1)
2 М(0;-1)
3 N(-1;0)
4 K(0;1)
А y=2x+2
Б y=ctgx
В y=tgx
Г y=\sqrt{x}-1
Д y=2x
Б y=ctgx
В y=tgx
Г y=\sqrt{x}-1
Д y=2x
Показати відповідь
1-В, 2-Г, 3-А, 4-Д.
Підставимо у функції координати точок, і з'ясуємо, коли отримаємо правильну рівність.
1) О(0;0) А) 2 · 0+2=0+2=2≠0. Б) ctg0 не існує. В) tgx=0. Підходить. Маємо першу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь В.
2) М(0;-1) А) 2 · 0+2=0+2=2≠-1. Б) ctg0 не існує. Г) y=\sqrt{0}-1=0-1=-1. Підходить. Маємо другу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь Г.
3) N(-1;0) А) 2 · (-1)+2=0. Підходить. Маємо третю відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь А.
4) K(0;1) Б) ctg0 не існує. Д) 20=1. Підходить. Маємо четверту відповідь.
Завдання 11. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю точок перетину її графіка з осями координат (А-Д).
Підставимо у функції координати точок, і з'ясуємо, коли отримаємо правильну рівність.
1) О(0;0) А) 2 · 0+2=0+2=2≠0. Б) ctg0 не існує. В) tgx=0. Підходить. Маємо першу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь В.
2) М(0;-1) А) 2 · 0+2=0+2=2≠-1. Б) ctg0 не існує. Г) y=\sqrt{0}-1=0-1=-1. Підходить. Маємо другу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь Г.
3) N(-1;0) А) 2 · (-1)+2=0. Підходить. Маємо третю відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь А.
4) K(0;1) Б) ctg0 не існує. Д) 20=1. Підходить. Маємо четверту відповідь.
1 y=x2-4
2 y=2х
3 y=2x+1
4 y=\frac{1}{x}
2 y=2х
3 y=2x+1
4 y=\frac{1}{x}
А жодної
Б одна
В дві
Г три
Д чотири
Б одна
В дві
Г три
Д чотири
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-В, 4-А.
1) Підставимо замість х 0. Маємо 02-4=-4. Точка (0;-4). Підставимо замість у 0. Маємо x2-4=0, звідки x2=4 і х=±2. Маємо ще дві точки (-2;0) та (2;0). Отже, дана функція має три точки перетину з осями координат.
2) Підставимо замість х 0. Маємо 20=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2х=0. Дане рівняння не має розв'язків (2х завжди більше 0). Отже, дана функція має одну точку перетину з осями координат.
3) Підставимо замість х 0. Маємо 2 · 0+1=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2x+1=0, звідки 2x= -1 і х= -0,5. Маємо ще одну точку (-0,5;0). Отже, дана функція має дві точки перетину з осями координат.
4) Графіком даної функції є гіпербола, графік якої не перетинає жодну з осей координат.
Завдання 12. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю точок перетину її графіка з осями координат (А-Д).
1) Підставимо замість х 0. Маємо 02-4=-4. Точка (0;-4). Підставимо замість у 0. Маємо x2-4=0, звідки x2=4 і х=±2. Маємо ще дві точки (-2;0) та (2;0). Отже, дана функція має три точки перетину з осями координат.
2) Підставимо замість х 0. Маємо 20=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2х=0. Дане рівняння не має розв'язків (2х завжди більше 0). Отже, дана функція має одну точку перетину з осями координат.
3) Підставимо замість х 0. Маємо 2 · 0+1=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2x+1=0, звідки 2x= -1 і х= -0,5. Маємо ще одну точку (-0,5;0). Отже, дана функція має дві точки перетину з осями координат.
4) Графіком даної функції є гіпербола, графік якої не перетинає жодну з осей координат.
1 y=x3-1
2 y=2-х
3 y=-\frac{2}{x}
4 y=ctgx
2 y=2-х
3 y=-\frac{2}{x}
4 y=ctgx
А жодної
Б одна
В дві
Г три
Д безліч
Б одна
В дві
Г три
Д безліч
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.
1) Підставимо замість х 0. Маємо 03-1=-1. Точка (0;-1). Підставимо замість у 0. Маємо x3-1=0, звідки x3=1 і х=1. Маємо ще точку (1;0). Отже, дана функція має дві точки перетину з осями координат.(Або графіком є кубічна парабола, зміщена на 1 вниз і маємо за графіком дві точки перетину).
2) Підставимо замість х 0. Маємо 20=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2-х=0. Дане рівняння не має розв'язків (2-х завжди більше 0). Отже, дана функція має одну точки перетину з осями координат. (Або графік показникової функції завжди має з осями лише одну точку перетину).
3) Графіком даної функції є гіпербола, графік якої не перетинає жодну з осей координат.
4) Графіком даної функції є котангенсоїда, яка з періодом Т=π перетинає вісь Ох. Маємо безліч точок перетину.
Завдання 13. Установіть відповідність між функцією (1-4) та кількістю спільних точок (А-Д) графіка цієї функції з графіком функції у=\frac{x}{5}.
1) Підставимо замість х 0. Маємо 03-1=-1. Точка (0;-1). Підставимо замість у 0. Маємо x3-1=0, звідки x3=1 і х=1. Маємо ще точку (1;0). Отже, дана функція має дві точки перетину з осями координат.(Або графіком є кубічна парабола, зміщена на 1 вниз і маємо за графіком дві точки перетину).
2) Підставимо замість х 0. Маємо 20=1. Точка (0;1). Підставимо замість у 0. Маємо 2-х=0. Дане рівняння не має розв'язків (2-х завжди більше 0). Отже, дана функція має одну точки перетину з осями координат. (Або графік показникової функції завжди має з осями лише одну точку перетину).
3) Графіком даної функції є гіпербола, графік якої не перетинає жодну з осей координат.
4) Графіком даної функції є котангенсоїда, яка з періодом Т=π перетинає вісь Ох. Маємо безліч точок перетину.
1 у=х+5
2 y=5х
3y=\sqrt{x}
4y=sinx
2 y=5х
3y=\sqrt{x}
4y=sinx
А жодної
Б лише одна
В лише дві
Г лише три
Д більше чотирьох
Б лише одна
В лише дві
Г лише три
Д більше чотирьох
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-В, 4-Г.
1) Оскільки коефіцієнти біля цих прямих різні, то вони перетинаються, отже вони мають 1 спільну точку
2) Дана функція розміщена у верхній половині координатної площини, пряма у=\frac{x}{5} при х<0 розміщена в нижній частині координатної площини, а в іншій частині зростає повільніше, ніж показникова функція, тому вони не мають спільних точок.
3) Одразу видно, що вони мають спільну точку (0;0), після якої корінь спочатку стрімко зростає, а потім, після 1, повільно. Тому графік даної функції буде мати ще одну спільну точку з прямою (це точка (25;5)). Отже, маємо 2 спільні точки.
4) Якщо намалювати синусоїду та пряму, видно, що вони мають 3 спільні точки.
Завдання 14. Установіть відповідність між функцією (1-3) та її властивістю (А-Д).
1) Оскільки коефіцієнти біля цих прямих різні, то вони перетинаються, отже вони мають 1 спільну точку
2) Дана функція розміщена у верхній половині координатної площини, пряма у=\frac{x}{5} при х<0 розміщена в нижній частині координатної площини, а в іншій частині зростає повільніше, ніж показникова функція, тому вони не мають спільних точок.
3) Одразу видно, що вони мають спільну точку (0;0), після якої корінь спочатку стрімко зростає, а потім, після 1, повільно. Тому графік даної функції буде мати ще одну спільну точку з прямою (це точка (25;5)). Отже, маємо 2 спільні точки.
4) Якщо намалювати синусоїду та пряму, видно, що вони мають 3 спільні точки.
1 у=х2+3
2 у=2х-5
3 y=\frac{3}{x}
2 у=2х-5
3 y=\frac{3}{x}
А графік функції симетричний відносно осі у
Б графік функції розташований лише в першій координатній чверті
В функція набуває від’ємного значення в точці х=2,4
Г графік функції проходить через початок координат
Д графік функції симетричний відносно початку координат
Б графік функції розташований лише в першій координатній чверті
В функція набуває від’ємного значення в точці х=2,4
Г графік функції проходить через початок координат
Д графік функції симетричний відносно початку координат
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Д.
1) Графіком даної функції є парабола, переміщена на 3 одиниці вгору, тому графік даної функції симетричний відносно осі у.
2) у(2,4)=2 · 2,4-5=4,8-5=-0,2.
3) Графіком даної функції є гіпербола, яка симетрична відносно початку координат.
Завдання 15. Установіть відповідність між твердженнями (1-4) та функцією (А-Д), для якої це твердження є правильним.
1) Графіком даної функції є парабола, переміщена на 3 одиниці вгору, тому графік даної функції симетричний відносно осі у.
2) у(2,4)=2 · 2,4-5=4,8-5=-0,2.
3) Графіком даної функції є гіпербола, яка симетрична відносно початку координат.
1 Графік функції проходить через точку (0;1)
2 найменшого значення функція набуває в точці х= -2
3 областю визначення функції є множина (-∞;2)U(2;+∞)
4 графік функції симетричний відносно осі у
2 найменшого значення функція набуває в точці х= -2
3 областю визначення функції є множина (-∞;2)U(2;+∞)
4 графік функції симетричний відносно осі у
А y=\frac{2}{x-2}
Б у=(х+2)2
В у=3х
Г y=|x|
Д y=x
Б у=(х+2)2
В у=3х
Г y=|x|
Д y=x
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
1) Шукаємо, в яку функцію замість х можна підставити 0 і отримати 1. Це 30=1.
2) Найменшого значення набувають лише Б і Г. В точці -2 набуває графік Б.
3) Розрив точці 2 має лише гіпербола А.
4) Симетричним відносно у є графік модуля Г.
Завдання 16. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Шукаємо, в яку функцію замість х можна підставити 0 і отримати 1. Це 30=1.
2) Найменшого значення набувають лише Б і Г. В точці -2 набуває графік Б.
3) Розрив точці 2 має лише гіпербола А.
4) Симетричним відносно у є графік модуля Г.
1 Графік функції у=1
2 Графік функції у=cosx
3 Графік функції у=4-х2
4 Графік функції у=log3x
2 Графік функції у=cosx
3 Графік функції у=4-х2
4 Графік функції у=log3x
А не перетинає вісь у
Б є симетричним відносно початку координат
В має безліч спільних точок з віссю х
Г не має спільних точок з віссю х
Д проходить через точку (1;3)
Б є симетричним відносно початку координат
В має безліч спільних точок з віссю х
Г не має спільних точок з віссю х
Д проходить через точку (1;3)
Показати відповідь
1-Г, 2-В, 3-Д, 4-А.
1) Оскільки в рівнянні функції відсутній х, то це пряма, паралельна осі х, а отже, не має з нею спільних точок.
2) Графік функції періодично перетинає вісь х, тому має з нею безліч спільних точок.
3) Якщо замість х підставити 1 маємо у=4-1=3, тому графік функції проходить через точку (1;3).
4) Графік логарифмічної функції не перетинає вісь у.
Завдання 17. Установіть відповідність між початком речення (1-4) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Оскільки в рівнянні функції відсутній х, то це пряма, паралельна осі х, а отже, не має з нею спільних точок.
2) Графік функції періодично перетинає вісь х, тому має з нею безліч спільних точок.
3) Якщо замість х підставити 1 маємо у=4-1=3, тому графік функції проходить через точку (1;3).
4) Графік логарифмічної функції не перетинає вісь у.
1 Графік функції у=5-х
2 Графік функції у=2х+3
3 Графік рівняння 2х+6=0
4 Графік функції у=х-4
2 Графік функції у=2х+3
3 Графік рівняння 2х+6=0
4 Графік функції у=х-4
А не перетинає вісь у
Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-5
В утворює з додатним напрямом осі х тупий кут
Г паралельний прямій у-х=0
Д перетинає коло, задане рівнянням x2+y2=4
Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-5
В утворює з додатним напрямом осі х тупий кут
Г паралельний прямій у-х=0
Д перетинає коло, задане рівнянням x2+y2=4
Показати відповідь
1-В, 2-Д, 3-А, 4-Г.
1) Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то пряма утворює з додатним напрямом осі х тупий кут.
3) Оскільки в функції відсутній у, то графік функції не перетинає вісь у
4) Якщо у відповіді Г перенести х вправо, ми отримаємо у=х. Тобто коефіцієнт біля х у Г і функції 4 однакові, тому дані прямі паралельні.
2) Залишилося два варіанти відповідей: Б і Д. Графіком функції є пряма у=2х, піднята на 3 одиниці вгору, тому вона точно перетинає параболу , перенесену на 5 одиниць вниз. Тому відповідь Б не підходить і правильна відповідь Д.
Завдання 18. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то пряма утворює з додатним напрямом осі х тупий кут.
3) Оскільки в функції відсутній у, то графік функції не перетинає вісь у
4) Якщо у відповіді Г перенести х вправо, ми отримаємо у=х. Тобто коефіцієнт біля х у Г і функції 4 однакові, тому дані прямі паралельні.
2) Залишилося два варіанти відповідей: Б і Д. Графіком функції є пряма у=2х, піднята на 3 одиниці вгору, тому вона точно перетинає параболу , перенесену на 5 одиниць вниз. Тому відповідь Б не підходить і правильна відповідь Д.
1 Пряма у=4,5х
2 Пряма у= -4
3 Пряма у=2х+4
4 Пряма у=х
2 Пряма у= -4
3 Пряма у=2х+4
4 Пряма у=х
А є паралельною прямій у=2х
Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-1
В перетинає графік функції у=3х у точці з абсцисою х0=2
Г є паралельною осі у
Д є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей
Б не має спільних точок з графіком функції у=x2-1
В перетинає графік функції у=3х у точці з абсцисою х0=2
Г є паралельною осі у
Д є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-А, 4-Д.
3) У прямих у=2х+4 та у=2х однакові коефіцієнти біля х, тому вони паралельні. Маємо пару 3-А.
2) Пряма у= -4 проходить через точку (0;-4) паралельно осі х. Тому вона не перетинає параболу у=x2-1, гілки якої спрямовані вгору і вершина якої (0;-1). Маємо пару 2-Б
4) Пряма у=х є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей, тому маємо пару 4-Д
1) Для прямої у=4,5х при х=2 у=9 та для функції у=3х при х=2 у=9, отже графіки цих функцій перетинаються в точці з абсцисою х=2. Маємо пару 1-В.
Завдання 19. Установіть відповідність між функцією (1-4) та координатними чвертями (А-Д), у яких розміщений графік цієї функції.
3) У прямих у=2х+4 та у=2х однакові коефіцієнти біля х, тому вони паралельні. Маємо пару 3-А.
2) Пряма у= -4 проходить через точку (0;-4) паралельно осі х. Тому вона не перетинає параболу у=x2-1, гілки якої спрямовані вгору і вершина якої (0;-1). Маємо пару 2-Б
4) Пряма у=х є бісектрисою І і ІІІ координатних чвертей, тому маємо пару 4-Д
1) Для прямої у=4,5х при х=2 у=9 та для функції у=3х при х=2 у=9, отже графіки цих функцій перетинаються в точці з абсцисою х=2. Маємо пару 1-В.
1 у=-х2-1
2 у=х+1
3 у= -\frac{1}{x}
4 у=cosх
2 у=х+1
3 у= -\frac{1}{x}
4 у=cosх
А II та IV
Б III та IV
В I,II та III
Г I,III та IV
Д I,II,III та IV
Б III та IV
В I,II та III
Г I,III та IV
Д I,II,III та IV
Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-А, 4-Д.
1) Графіком є парабола, гілки якої спрямовані униз і переміщена на 1 одиницю вниз. Тому графік займає нижню частину координатної площини, тобто IІI та IV координатні чверті.
2) Графіком є пряма у=х, переміщена на 1 одиницю угору, тому вона проходить через всі чверті крім IV.
3) Графіком є гіпербола. Оскільки є знак "-", то вона розміщена у II та IV координатних чвертях.
4) Графік проходить через всі координатні чверті.
Завдання 20. Установіть відповідність між геометричними перетвореннями графіка функції y=cosx (1-4) та функціями, одержаними в результаті цих перетворень (А-Д).
1) Графіком є парабола, гілки якої спрямовані униз і переміщена на 1 одиницю вниз. Тому графік займає нижню частину координатної площини, тобто IІI та IV координатні чверті.
2) Графіком є пряма у=х, переміщена на 1 одиницю угору, тому вона проходить через всі чверті крім IV.
3) Графіком є гіпербола. Оскільки є знак "-", то вона розміщена у II та IV координатних чвертях.
4) Графік проходить через всі координатні чверті.
1 графік функції y=cosx паралельно перенесли вздовж осі Ох на дві одиниці ліворуч
2 графік функції y=cosx паралельно перенесли вздовж осі Оу на дві одиниці вниз
3 графік функції y=cosx стиснули до осі Ох у два рази
4 графік функції y=cosx стиснули до осі Оу у два рази
2 графік функції y=cosx паралельно перенесли вздовж осі Оу на дві одиниці вниз
3 графік функції y=cosx стиснули до осі Ох у два рази
4 графік функції y=cosx стиснули до осі Оу у два рази
А y=cos(2x)
Б y=\frac{1}{2}cosx
В y=cos(x-2)
Г y=cos(x+2)
Д y=cosx-2
Б y=\frac{1}{2}cosx
В y=cos(x-2)
Г y=cos(x+2)
Д y=cosx-2
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-Б, 4-А.
1) Оскільки переносимо уздовж осі Ох на дві одиниці ліворуч, то до х потрібно додати 2. Маємо y=cos(x+2).
2) Оскільки переносимо уздовж осі Оу на дві одиниці вниз, то від функції потрібно відняти 2. Маємо y=cosx-2.
3) Оскільки графік функції y=cosx стиснули до осі Ох у два рази, то потрібно функцію помножити на \frac{1}{2}. Маємо y=\frac{1}{2}cosx.
4) Оскільки графік функції y=cosx стиснули до осі Оу у два рази, то потрібно х помножити на 2. Маємо y=cos(2x).
Завдання 21. Графік функції у=\sqrt{2x^2+x+1} проходить через точку (хo;4), де хo>0. Обчисліть хo.
1) Оскільки переносимо уздовж осі Ох на дві одиниці ліворуч, то до х потрібно додати 2. Маємо y=cos(x+2).
2) Оскільки переносимо уздовж осі Оу на дві одиниці вниз, то від функції потрібно відняти 2. Маємо y=cosx-2.
3) Оскільки графік функції y=cosx стиснули до осі Ох у два рази, то потрібно функцію помножити на \frac{1}{2}. Маємо y=\frac{1}{2}cosx.
4) Оскільки графік функції y=cosx стиснули до осі Оу у два рази, то потрібно х помножити на 2. Маємо y=cos(2x).
Показати відповідь
2,5.
Так як графік проходить через точку, то її координати задовольняють рівнянню функції. Підставимо їх. Маємо 4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}
16=2xo2+xo+1
2xo2+xo-15=0
D=12-4 · 2 · (-15)=1+120=121
xo=\frac{-1+\sqrt{121}}{2\cdot2}=\frac{-1+11}{4}=\frac{10}{4}=2,5 або
xo=\frac{-1-\sqrt{121}}{2\cdot2}=\frac{-1-11}{4}=\frac{-12}{4}= -3
Так як за умовою хo>0, то маємо лише одну відповідь 2,5.
Так як графік проходить через точку, то її координати задовольняють рівнянню функції. Підставимо їх. Маємо 4=\sqrt{2x_0^2+x_0+1}
16=2xo2+xo+1
2xo2+xo-15=0
D=12-4 · 2 · (-15)=1+120=121
xo=\frac{-1+\sqrt{121}}{2\cdot2}=\frac{-1+11}{4}=\frac{10}{4}=2,5 або
xo=\frac{-1-\sqrt{121}}{2\cdot2}=\frac{-1-11}{4}=\frac{-12}{4}= -3
Так як за умовою хo>0, то маємо лише одну відповідь 2,5.
Коментарі