Функція

Поняття функції — це фундамент всієї шкільної математики. Розуміння того, як працює залежність між аргументом і значенням, дозволяє не просто розв'язувати рівняння, а прогнозувати поведінку складних систем. На цій сторінці ми зосередимося на ключових характеристиках функцій, які найчастіше зустрічаються в тестах: від знаходження області визначення (ОДЗ) до аналізу парності та періодичності.

Ми підготували для вас детальний розбір теоретичного мінімуму та колекцію практичних завдань із тестів минулих років. Ви навчитеся швидко визначати нулі функції, область значень та властивості монотонності, що допоможе вам впевнено впоратися з будь-яким завданням на іспиті.

---

1. Для обчислення значення функції в точці х_o потрібно це значення підставити у функцію замість х.
2. Область визначення функції: можливі значення, які може приймати змінна х. Тут можливі випадки:

1. Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0
2. Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0
3. Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0

3. Область значень функції: можливі значення. які може приймати у.
4. Функції розрізняють:

• за парністю
  • Парні: якщо f(-x)=f(x). Графік парної функції симетричний відносно осі Оу
  • Непарні: якщо f(-x)= -f(x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат
  • Ні парні ні непарні: не виконуються попередні умови
• за монотоністю
  • Зростаючі: якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції (з x₁<x₂ слідує f(x₁)<f(x₂))
  • Спадні: якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції (з x₁<x₂ слідує f(x₁)>f(x₂))
• періодичні з періодом Т: f(x-T)=f(x)=f(x+T)

НМТ 2026 (демо). Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А – Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1 Функція 𝑦 = log_0,5𝑥
2 Функція 𝑦 = sin𝑥
3 Функція 𝑦 = \frac{1}{2𝑥−2}

А не визначена в точці 𝑥 = 1.
Б набуває від’ємного значення в точці 𝑥 = 2.
В є непарною.
Г має лише одну точку екстремуму.
Д зростає на проміжку (0; +∞).

Показати відповідь

1-Б, 2-В, 3-А.
1. Так як основа логарифма менше 1, то він спадає на всій області визначення. В точці (1; 0) графік має перетин з віссю х і тоді при х>1 значення функції від'ємне. Отже ця функція набуває від’ємного значення в точці 𝑥 = 2. Інший спосіб: Підставимо х = 2. log_0,52 = -1.
2. Функція у = sinx є непарною.
3. Якщо підставити у функцію значення х = 1, то отримаємо у знаменнику 2 ⋅ 1 - 2 = 2 - 2 = 0, а ділити на 0 не можна. Тому ця функція не визначена в точці 𝑥 = 1.

НМТ 2023. Доберіть до кожного початку речення (1-3) його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Функція y=\sqrt{x+1} 2 Функція y=4-х2 3 Функція y=3-х	А має точку локального максимуму. Б має точку локального мінімуму. В є непарною. Г зростає на всій області визначення. Д набуває лише додатних значень

Показати відповідь

1-Г, 2-А, 3-Д
1. Більшому значенню х буде відповідати більше значення у, тому функція зростає на всій області визначення.
2. При х = 0 маємо у=4, при інших значеннях х значення у буде зменшуватись. Тому функція має точку локального максимуму х=0.
3. Показникова функція завжди набуває лише додатних значень.

НМТ 2023. Узгодьте твердження (1-3) із функцією (А-Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження	Функція
1 областю значень функції є проміжок [0;+∞) 2 графік функції симетричний відносно осі у 3 найменшого значення на відрізку [1; 4] функція набуває в точці х=4	А y= х2+4 Б y=x В y=\sqrt{x} Г y=log0,5x Д y=-\frac{1}{x}

Показати відповідь

1-В, 2-А, 3-Г.
1. Значення від 0 включно до +∞ набуває функція y=\sqrt{x}.
2. Симетрію відносно осі у має графік парної функції. Так як в А у(-х)=(-х)²+4=х²+4=у(х), то маємо парну фунцію, графік якої симетричний відносно осі у.
3. Найменшого значення на правому кінці відрізка має спадна функція. Із запропонованих спадною є у=log_0,5x (основа 0,5<1).

---

Обчисліть значення функції y=log_{\frac{1}{3}}(x^2-7) у точці х₀=4.

А	Б	В	Г	Д
-1	-2	2	3	0,5

Показати відповідь

Б.
Щоб обчислити значення функції в точці, потрібно в функцію замість невідомої підставити її значення. Маємо y(4)=log_{\frac{1}{3}}(4^2-7)=log_{\frac{1}{3}}(16-7)=log_{\frac{1}{3}}9=-2 (так як (\frac{1}{3})^{-2}=9).

Яку властивість із наведених має функція у=2х-9?

А	Б	В	Г	Д
є парною	є непарною	є періодичною	є спадною	є зростаючою

Показати відповідь

Д.
Оскільки коефіцієнт при х дорівнює 2>0, то функція є зростаючою.

Яку властивість із наведених має функція \sqrt{x}?

А	Б	В	Г	Д
набуває лише невід’ємних значень	спадає на всій області визначення	парна	періодична	має дві точки екстремуму

Показати відповідь

А.
Значення кореня квадратного не може бути від'ємним, тому функція набуває лише невід'ємних значень.

Функція y=f(x) є спадною на проміжку (-∞;+∞). Укажіть правильну нерівність.

А	Б	В	Г	Д
f(1)>f(-1)	f(1)<f(8)	f(1)>f(0)	f(-1)<f(0)	f(1)>f(10)

Показати відповідь

Д.
Оскільки функція є спадною, то за означенням спадної функції маємо: при x₁<x₂ f(x₁)>f(x₂), тобто шукаємо, де знак між функціями протилежний знаку між аргументами.
А) 1>-1 і f(1)>f(-1), знак співпадає.
Б) 1<8 і f(1)<f(8), знак співпадає.
В) 1>0 і f(1)>f(0), знак співпадає.
Г) -1<0 і f(-1)<f(0), знак співпадає.
Д) 1<10 і f(1)>f(10), знаки протилежні.

Знайдіть область визначення функції y=2-\frac{1}{x}.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;+∞)	(-∞;0)U(0;+∞)	(-∞;0)U(\frac{1}{2};+∞)	(-∞;\frac{1}{2})∪(\frac{1}{2};+∞)	(0;\frac{1}{2})

Показати відповідь

Б.
Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тобто x≠0. Тому областю визначення функції є всі числа, крім 0, який розриває проміжок (-∞;+∞) на 2 частини. Отже x∈(-∞;0)U(0;+∞)

Знайдіть область визначення функції y=\frac{x}{x-1}.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0)U(1;+∞)	(-∞;-1) U(-1;+∞)	(-∞;1)U(1;+∞)	(-∞;0) U(0;1) U(1;+∞)	(-∞;+∞)

Показати відповідь

В.
Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тобто x-1≠0, звідки x≠1. Тому областю визначення функції є всі числа, крім 1, яка розриває проміжок (-∞;+∞) на 2 частини. Отже x∈(-∞;1)U(1;+∞).

Укажіть область визначення функції y=\frac{4-x}{5}.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;+∞)	(-∞;5)U(5;+∞)	(-∞;4)U(4;+∞)	(-∞;\frac{4}{5}) U (\frac{4}{5};+∞)	(4;5)

Показати відповідь

А.
Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тобто 5≠0. Оскільки ця умова виконується завжди, то ніяких обмежень на область визначення функції нема. Отже областю визначення функції є всі числа, тобто x∈(-∞;+∞).

Знайдіть область визначення функції y=\frac{x+1}{x-2}.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;2)U(2;+∞)	(-∞;-1)U(2;+∞)	(-∞;-2) U(-2;+∞)	(-∞;-1) U(-1;2) U(2;+∞)	(-∞;+∞)

Показати відповідь

А.
Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тобто x-2≠0, звідки x≠2. Тому областю визначення функції є всі числа, крім 2, яка розриває проміжок (-∞;+∞) на 2 частини. Отже x∈(-∞;2)U(2;+∞).

Знайдіть область визначення функції y=\sqrt[4]{3-x}.

А	Б	В	Г	Д
[3;+∞)	(-∞;3)	(-∞;-3]	[-3;+∞)	(-∞;3]

Показати відповідь

Д.
Оскільки маємо корінь парного степеня, то підкореневий вираз повинен бути невід'ємним. Отже, 3-x≥0, звідки x≤3. Отже областю визначення функції є x∈(-∞;3].

Знайдіть область визначення функції y=\frac{\sqrt{x+2}}{2^x-1}.

А	Б	В	Г	Д
[-2;0)U(0;+∞)	[-2;+∞)	(-2;0)U(0;+∞)	(-∞;-2]	x≠1

Показати відповідь

А.
Оскільки маємо корінь парного степеня, то підкореневий вираз повинен бути невід'ємним. Отже, x+2≥0, звідки x≥-2. Крім того, маємо дріб, отже його знаменник не повинен дорівнювати 0. Маємо 2^x-1≠0, звідки 2^x≠1=2⁰. Таким чином, x≠0. Отже маємо, що x≥-2 і x≠0, тому областю визначення функції є x∈[-2;0)U(0;+∞).

Укажіть область значень функції y=\sqrt{x^2+9}-6.

А	Б	В	Г	Д
[9;+∞)	[0;+∞)	[3;+∞)	[-3;+∞)	(-∞;+∞)

Показати відповідь

Г.
Для знаходження області значень функції знайдемо область значень х² і поступово приведемо до значення функції, виконуючи однакові дії з лівою та правою частиною нерівності. Маємо:
х²≥0
х²+9≥0+9
х²+9≥9
\sqrt{x^2+9}\ge\sqrt{9}
\sqrt{x^2+9}≥3
\sqrt{x^2+9}-6≥3-6
\sqrt{x^2+9}-6≥-3
Отже, областю значень функції є y∈[-3;+∞).

Укажіть область значень функції у=2cosx+3.

А	Б	В	Г	Д
[0;3]	[-5;5]	[1;5]	[3;5]	(-∞;+∞)

Показати відповідь

В.
Оскільки -1≤cosx≤1, то -2≤2cosx≤2, звідки -2+3≤2cosx+3≤2+3. Отже, областю значень функції є y∈[1;5].

Укажіть область значень функції f(x)=(sinx+cosx)².

А	Б	В	Г	Д
[1;2]	[0;2]	[-\sqrt{2}];\sqrt{2}]	[0;1]	інша відповідь

Показати відповідь

Б.
Спростимо функцію. Маємо f(x)=(sinx+cosx)²= sin²x+2sinxcosx+cos²x= sin²x+cos²x+2sinxcosx=1+sin2x.
Оскільки -1≤sin2x≤1, то 1-1≤1+sin2x≤1+1, звідки 0≤1+sin2x≤2. Отже, областю значень функції є y∈[0;2].

Парна функція y=f(x) визначена на проміжку (-∞;+∞). Які з наведених тверджень є правильними?
І. f(-10)= -f(10).
II. f(-6)=f(6).
ІІІ. Графік функції y=f(x) симетричний відносно осі у.

А	Б	В	Г	Д
лише І	лише ІІ	лише І і ІІІ	лише ІІ і ІІІ	лише ІІІ

Показати відповідь

Г.
Оскільки функція парна, то f(-х)=f(х). Тому перше твердження не є правильним, а друге правильне. Графік парної функції симетричний відносно осі у, отже третє твердження також правильне.

Укажіть парну функцію.

А	Б	В	Г	Д
у=4x	у=х	y=\sqrt{x}	y=tgx	y=|x|

Показати відповідь

Д.
Оскільки функція парна, то у(-х)=у(х). Перевіримо всі функції.
А) y(-x)=4^-x=\frac{1}{4^x}≠y(x). Отже, функція не підходить.
Б) у(-х)=-х≠y(x). Отже, функція не підходить.
В) Оскільки корінь парного степеня, то за ОДЗ x≥0. Оскільки парні функції мають симетричне ОДЗ, то ця функція не підходить.
Г) у(-х)=tg(-х)= -tgx≠y(x). Отже, функція не підходить.
Д) у(-х)=|-х|=|x|=y(x). Отже, ця функція підходить.

Укажіть непарну функцію.

А	Б	В	Г	Д
у=х2-4	у=-х2	y=х3-1	y=\sqrt{x-2}	y=x3-x

Показати відповідь

Д.
Оскільки функція непарна, то у(-х)= -у(х). Перевіримо всі функції.
А) у(-х)=(-х)²-4=х²-4≠ -y(x). Отже, функція не підходить.
Б) у(-х)=-(-х)²=-х²≠ -y(x). Отже, функція не підходить.
В) у(-х)=(-х)³-1=-х³-1≠ -y(x). Отже, функція не підходить.
Г) Оскільки корінь парного степеня, то за ОДЗ x-2≥0, звідки x≥2. Оскільки непарні функції мають симетричне ОДЗ, то ця функція не підходить.
Д) у(-х)=(-x)³-(-x)= -x³+x= -(x³-x) = -y(x). Отже, ця функція підходить.

Укажіть з-поміж наведених функцію f(x), якщо для кожного х з області її визначення виконується рівність f(-x)=-f(x).

А	Б	В	Г	Д
f(x)=х2	f(x)=3х	f(x)=2х+5	f(x)=log3x	f(x)=\frac{2}{x}

Показати відповідь

Д.
I спосіб. Оскільки записано означення непарної функції, то потрібно лише її знайти. Це функція f(x)=\frac{2}{x}
ІІ спосіб. Перевіримо виконання умови f(-x)=-f(x) для всіх функцій.
А) f(-x)=(-х)²=х²=f(x). Отже, функція не підходить.
Б) f(-x)=(3)^-х. Даний вираз не дорівнює ні f(x), ні -f(x). Отже, функція не підходить.
В) f(-x)= -2х+5. Даний вираз не дорівнює ні f(x), ні -f(x). Отже, функція не підходить.
Г) Так як х більше за 0 (область визначення логарифмічноїфункції), то ми не можемо підставляти протилежне йому значення. Отже, функція не підходить.
Д) f(-x)=\frac{-2}{x}= -f(x). Отже, ця функція підходить.

Функція f(x) є парною, а g(x) - непарною. Обчисліть значення виразу 3f(-2)-g(1), якщо f(2)= -5, g(-1)=7.

А	Б	В	Г	Д
-8	-22	22	8	1

Показати відповідь

А.
Оскільки f(x) парна, то f(-х)= f(х), оскільки g(x) непарна, то g(-х)= -g(х). Тоді 3f(-2)-g(1)=3f(2)+g(-1)=3⋅(-5)+7= -15+7= -8.

Укажіть найменший додатний період функції y=2ctg(3x).

А	Б	В	Г	Д
2π	π	\frac{\pi}{3}	\frac{2\pi}{3}	\frac{\pi}{2}

Показати відповідь

В.
Оскільки для функції y=ctgx T=π, то для функції y=2ctg(3x) T=\frac{\pi}{3} (період функції ділимо на коефіцієнт біля змінної х).

Укажіть нулі функції f(x)=2x²-5x-3.

А	Б	В	Г	Д
-3; 0	-3; \frac{1}{2}	-3	-\frac{1}{2}; 3	-1; 6

Показати відповідь

Г.
Нулями функції є ті значення аргумента, при яких значення функції дорівнює 0. Отже нулі функції - корені відповідного квадратного рівняння. Маємо:
2x²-5x-3=0
D=(-5)²-4⋅2⋅(-3)=25+24=49.
x₁=\frac{5+\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3
x₂=\frac{5-\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{5-7}{4}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}.

До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Функція	Властивість
1 Функція y=\sqrt{x-4} 2 Функція у=х+4 3 Функція у=х3	А спадає на проміжку проміжок (-∞;+∞) Б не визначена в точці х=1 В є парною Г набуває додатного значення в точці х= -3 Д є непарною

Показати відповідь

1-Б, 2-Г, 3-Д.
1) Так як при х=1 х-4=1-4=-3, а квадратного кореня з від'ємного числа не існує, то функція не визначена в точці х=1.
2) Так як при х=-3 х+4=-3+4=1, то функція набуває додатного значення в точці х= -3.
3) Так як у(-х)=(-х)³=-(х³)=-у(х), то функція є непарною.

Установіть відповідність між функцією (1-4) та її властивістю (А-Д).

Функція	Властивість
1 y=x2 2 y=x3+1 3 у=3-х 4 у=sinx	А спадає на всій області визначення Б зростає на всій області визначення В непарна Г парна Д областю значень функції є проміжок (0;+∞)

Показати відповідь

1-Г, 2-Б, 3-А, 4-В.
1) Оскільки у=(-х)=(-x)²=x²=у(х), то це парна функція.
2) Дана функція є зростаючою на всій області визначення (чим більше значення х, тим більше значення x³+1).
3) Дана функція є спадною на всій області визначення (чим більше значення х, тим менше різниця 3 і х)
4) Оскільки у=(-х)=sin(-x)= -sinx= -у(х), то це непарна функція.

Установіть відповідність між твердженням (1-4) та функцією (А-Д), для якої це твердження є правильним.

Твердження	Функція
1 графік функції не перетинає жодну з осей координат 2 областю значення функції є проміжок (0;+∞) 3 функція спадає на всій області визначення 4 на відрізку [-1,5;1,5] функція має два нулі	А y= -x+2 Б y=x2-2 В y=-\frac{1}{x} Г y=3x Д y=cosx

Показати відповідь

1-В, 2-Г, 3-А, 4-Б.
1) Серед запропонованих функцій є обернена пропорційність, графіком якого є гіпербола. Даних графік не перетинає жодну з осей координат. Маємо першу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь В.
2) А) область значень yєR. Б) область значень yє[-2;+∞). Г) область значень yє(0;+∞). Підходить. Маємо другу відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь Г.
3) А) Оскільки коефіцієнт біля х від'ємний, то дана функція спадна. Підходить. Маємо третю відповідь і з наступних перевірок виключаємо відповідь А.
4) Б) Для знаходження нулів функції розв'язуємо рівняння x²-2=0, звідки x=±\sqrt{2}. Дані корені належать потрібному проміжку. Підходить. Маємо четверту відповідь.

Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1-4), та їхніми областями значень (А-Д).

Функція	Область значень
1 y=log2х 2 y=2x 3 y=2\sqrt{x} 4 y=2-x2	А [2;+∞) Б [0;+∞) В (-∞;2] Г (0;+∞) Д (-∞;+∞)

Показати відповідь

1-Д, 2-Г, 3-Б, 4-В.
1) (-∞;+∞)
2) (0;+∞)
3) [0;+∞)
4) Оскільки областю значень y=x² є проміжок [0;+∞), то областю значень y= -x² є проміжок (-∞;0] і областю значень y= 2-x² є проміжок (-∞;2]

Установіть відповідність між функціями, заданими формулами (1-4) та їхніми властивостями (А-Д).

Функція	Властивість
1 y=x3 2 y=cosx 3 y=tgx 4 y=log0,2х	А областю визначення функції є проміжок [0;+∞) Б функція спадає на інтервалі (0;+∞) В функція зростає на інтервалі (-∞;+∞) Г парна функція Д періодична функція з найменшим додатним періодом Т=π

Показати відповідь

1-В, 2-Г, 3-Д, 4-Б.
1) Дана функція є зростаючою, тому маємо відповідь В.
2) Дана функція є парною, тому маємо відповідь Г.
3) Дана функція є періодичною з найменшим додатним періодом Т=π, тому маємо відповідь Д.
4) Дана функція спадає на інтервалі (0;+∞), тому маємо відповідь Б.

Установіть відповідність між функцією (1-4) та її властивістю (А-Д).

Функція	Властивість
1 y=x2 2 y=x3+1 3 y=3-х 4 y=sinx	А зростає на всій області визначення Б спадає на всій області визначення В є непарною Г є парною Д областю значень функції є проміжок (0;+∞)

Показати відповідь

1-Г, 2-А, 3-Б, 4-В.
1) Дана функція є парною, тому маємо відповідь Г.
2) Дана функція є зростаючою, тому маємо відповідь А.
3) Дана функція є спадною (коефіцієнт біля х від'ємний), тому маємо відповідь Б.
4) Дана функція є непарною, тому маємо відповідь В.

Знайдіть область визначення функції y=\sqrt[4]{50-3x}. У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Показати відповідь

16.
Оскільки маємо корінь парного степеня, то підкореневий вираз більше або дорівнює 0. Маємо 50-3х≥0, звідки 3х≤50 і x≤16,(6). Тому у відповідь пишемо число 16.

Знайдіть область визначення функції y=\frac{1}{\sqrt{56-4x}}. У відповіді запишіть найбільше ціле двоцифрове число, що належить області визначення цієї функції.

Показати відповідь

13.
Оскільки маємо корінь парного степеня, то підкореневий вираз більше або дорівнює 0; крім того, маємо знаменник, який не повинен дорівнювати 0. Отже, підкореневий вираз повинен бути більше 0. Маємо 56-4х>0, звідки 4х<56 і x<14. Тому у відповідь пишемо число 13.

Знайдіть найбільше значення функції y=\frac{(1-2cosx)^4}{2}.

Показати відповідь

40,5.
Маємо додатний дріб, знаменник якого постійне число. Отже, найбільше значення буде при найбільшому значенні чисельника. Оскільки змінний вираз 2cosx віднімається від 1, то його найбільше значення буде при найменшому значення 2cosx. Найменше значення cosx дорнівнює -1. При ньому 1-2cosx=1-2(-1)=1+2=3. Тоді значення виразу маємо 3⁴:2=81:2=40,5.

Знайдіть найменший додатний період функції f(x)=9-6cos(20πx+7).

Показати відповідь

0,1.
Оскільки для функції y=cosx T=2π, то для функції f(x)=9-6cos(20πx+7) T=\frac{2\pi}{20\pi}=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}=0,1 (період функції ділимо на коефіцієнт біля змінної х).

Функцію y=x⁴+2x-3, визначену на множині всіх дійсних чисел, подайте у вигляді y=f(x)+g(x), де f(x) – парна функція, g(x) – непарна функція. У відповідь запишіть значення виразу f(-1)-4·g(3).

Показати відповідь

-26.
У парній функції при заміні х на -х не повинно нічого змінюватися. У функції у такими частинами є вираз x⁴-3, тому f(x)=x⁴-3 -парна функція і g(x)=2x - непарна функція. Маємо f(-1)-4·g(3)=(-1)⁴-3-4·2·3=1-3-24= -26.

⇐ІІІ.2. Геометрична прогресія

До змісту

⇒ІІІ.4. Графік функції