Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Лінійні рівняння розв'язуються перенесенням одночленів з невідомим у ліву частину, все інше в праву, і подальшим перенесенням всих чисел в праву частину рівняння так, щоб з лівої сторони залишилося лише невідоме.

НМТ 2023. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\frac{x}{18-2x}=\frac{1}{4}$ .

А Б В Г Д

(-∞; -3) [-3; 0) [0; 4) [4; 8) [8; +∞)

Показати відповідь
В.
НМТ 2023. Розв'яжіть рівняння 0,01х = -1.

А Б В Г Д

-1000 -100 -10 -1 100

Показати відповідь
Б.

Укажіть корінь рівняння 1-5х = 0.

А Б В Г

5 $\frac{-1}{5}$ $\frac{1}{5}$ 4

Показати відповідь
В.
1-5х=0
5x=1
x= $\frac{1}{5}$ .
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння $\frac{x}{9-x}=\frac{1}{2}$ ?

А Б В Г Д

(-∞;-5] (-5;-2] (-2;2] (2;5] (5;+∞)

Показати відповідь
Г.
$\frac{x}{9-x}=\frac{1}{2}$
x⋅2=(9-x)⋅1
2x=9-x
2x+x=9
3x=9
x=3.
Даний корінь належить проміжку (2;5].
Період T електромагнітних коливань у коливальному контурі, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С й котушки з індуктивністю L, обчислюють за формулою Томсона T = 2π $\sqrt{LC}$ . Визначте із цієї формули індуктивність L.

А Б В Г Д

L = $\frac{T}{2\pi{C}}$ L = $\frac{2\pi{C}}{T}$ L = $\frac{1}{C}\frac{T}{2\pi}$ L = $\frac{4\pi^2C}{T^2}$ L = $\frac{T^2}{4\pi^2C}$

Показати відповідь
Д.
T = 2π $\sqrt{LC}$
T² = 4π²LC
L = $\frac{T^2}{4\pi^2C}$ .
Розв’яжіть рівняння $\frac{x}{10}$ = 2,5.

А Б В Г

0,25 4 12,5 25

Показати відповідь
Г.
$\frac{x}{10}$ = 2,5
x = 2,5⋅10
x = 25.
Укажіть число, що є коренем рівняння $\frac{8}{x} = \frac{2}{5}$ .

А Б В Г Д

20 $\frac{16}{5}$ 10 80 $\frac{1}{20}$

Показати відповідь
А.
За пропорцією х = 8⋅5:2 = 20.
Кінетичну енергію E тіла масою m, яке рухається зі швидкістю v, обчислюють за формулою E = $\frac{mv^2}{2}$ . Виразіть m із цієї формули.

А Б В Г Д

m = $\frac{2E}{v^2}$ m = $\frac{v^2}{2E}$ m = $\frac{E}{2v^2}$ m = $\frac{2v^2}{E}$ m = $\frac{2}{Ev^2}$

Показати відповідь
А.
E = $\frac{mv^2}{2}$
2E = mv²
m = $\frac{2E}{v^2}$ .
Якщо ціна паркету (р) пов’язана із ціною деревини для його виробництва (d) співвідношенням p = 5d+8, то d =

А Б В Г Д

$\frac{1}{5}$ p-8 5p-40 $\frac{1}{5}$ (p-8) 5p+40 $\frac{1}{5}$ (p+8)

Показати відповідь
В.
p = 5d+8
5d = p-8
d = $\frac{1}{5}$ (p-8).
Якщо числа х і у задовольняють співвідношенню 2у+4 = х, то у =

А Б В Г Д

2х-8 8-2х $\frac{x-4}{2}$ $\frac{x+4}{2}$ $\frac{4-x}{2}$

Показати відповідь
В.
2y+4 = x
2y = x-4
y = $\frac{x-4}{2}$ .

Якщо x = t-2, то x²-t² =

А Б В Г Д

4-2t 4-4t 4 -4t-4 2t²+4

Показати відповідь
Б.
x²-t² = (t-2)²-t² = t²-4t+4-t² = -4t+4 = 4-4t.
Якщо m = n-1, то 7-m =

А Б В Г Д

n-8 6-n 8-n n-6 6+n

Показати відповідь
В.
7-m = 7-(n-1) = 7-n+1 = 8-n.
Якому проміжку належить корінь рівняння 2х-3 = 4?

А Б В Г Д

(-∞;-2) [-2;0) [0;2) [2;4) [4;+∞)

Показати відповідь
Г.
2х-3 = 4
2х = 4+3
2х = 7
х = 7:2
х = 3,5
Даний корінь належить проміжку [2;4).
Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac{5x+8}{3}$ = 1?

А Б В Г Д

1 0 3 -2 -1

Показати відповідь
Д.
$\frac{5x+8}{3}$ = 1
5х+8 = 3
5х = 3-8
5х = -5
5х = -5:5
х = -1.
Яке з наведених чисел є коренем рівняння $\frac{x}{2}$ + $\frac{x}{3}$ = 2?

А Б В Г Д

0,4 1,2 2,4 5 12

Показати відповідь
В.
$\frac{x}{2}$ + $\frac{x}{3}$ = 2
$\frac{3x+2x}{6}$ = 2
$\frac{5x}{6}$ = 2
5х = 2⋅6
5х = 12
х = 12:5
х = 2,4.
Розв’яжіть рівняння (x+1)(2x-3) = 0.

А Б В Г Д

-3; 1 -1,5; 1 -1; $\frac{2}{3}$ -1; 3 -1; 1,5

Показати відповідь
Д.
Добуток дорівнює 0 коли хоча б один із множників дорівнює 0. Маємо х+1 = 0, звідки х = -1 або 2х-3 = 0, звідки 2х = 3 і х = 3:2 = 1,5.
Розв’яжіть рівняння 0,5(3x-4) = $\frac{x+1}{4}$ .

А Б В Г Д

$\frac{5}{7}$ $\frac{-7}{5}$ $\frac{6}{5}$ $\frac{9}{5}$ 6

Показати відповідь
Г.
Домножимо ліву та праву частину рівняння на 4, отримаємо:
4⋅0,5(3x-4) = x+1
2(3x-4) = x+1
6x-8 = x+1
5x = 9
x = $\frac{9}{5}$ .
Розв’яжіть рівняння $\frac{1}{2x} = \frac{1}{2-3x}$ .

А Б В Г Д

-2 -0,4 2,5 0,4 2

Показати відповідь
Г.
Так як з лівої і правої сторони рівняння знаходиться лише по одному дробу, то їх можна одночасно перевернути. Маємо 2х = 2-3х, звідки 2х+3х = 2. Тоді 5х = 2 і х = 2:5 = 0,4. Потрібно перевірити, чи задовольняє дане значення х ОДЗ рівняння. Так як при х = 0,4 ні перший, ні другий знаменник не дорівнює 0, то х = 0,4 є коренем рівняння.
Розв’яжіть рівняння $\frac{2}{x}$ = 5.

А Б В Г Д

0,1 10 2,5 0,4 -3

Показати відповідь
Г.
$\frac{2}{x}$ = 5
$\frac{x}{2} = \frac{1}{5}$
x = $\frac{2}{5}$
x = 0,4.
Обчисліть суму коренів рівняння х²+3х-4=0.

А Б В Г

-4 -3 3 4

Показати відповідь
Б.
Так як D=3²-4⋅1⋅(-4)=9+16=25, що більше нуля, то рівняння має корені. Тоді сума коренів за теоремою Вієта дорівнює коефіцієнту при х з протилежним значенням, тобто -3.
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння $\frac{3x-2}{x+1}$ = 7.

А Б В Г Д

(-∞;-2] (-2;0] (0;2] (2;4] (4;+∞)

Показати відповідь
А.
$\frac{3x-2}{x+1}$ = 7
3x-2 = 7(x+1)
3x-2 = 7x+7
3x-7x = 7+2
-4x = 9
x = 9:(-4)
x = -2,25
Дане число належить проміжку (-∞;-2].

Для розв'язування квадратного рівняння ax²+bx+c = 0 спочатку знаходимо дискримінант за формулою D = b²-4ac, після чого корені знаходяться за формулами x_1,2 = $\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$

Розв’яжіть рівняння 2x(x+2) = 5(x+2).

А Б В Г Д

-2,5; 2 -2 2,5 -2; 0,4 -2; 2,5

Показати відповідь
Д.
І спосіб. Розкриємо дужки. Маємо: 2x²+4x = 5x+10
2x²+4x-5x-10 = 0
2x²-x-10 = 0
Д = 1²-4⋅2⋅(-10) = 1+80 = 81.
x₁ = $\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{1+9}{4} = \frac{10}{4}$ = 2,5.
x₂ = $\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{1-9}{4} = \frac{-8}{4}$ = -2.
ІІ спосіб. Нехай x+2≠0 (x≠-2). Тоді обидві частини рівняння можна на нього поділити. Отримаємо просте рівняння 2х = 5, звідки х = 2,5. Перевіримо, чи є х = -2 коренем. Підставимо у рівняння, маємо -4⋅0 = 5⋅0, звідки 0 = 0. Оскільки отримали вірну рівність, то х = -2 також є коренем.
Розв’яжіть рівняння х² = 25x.

А Б В Г Д

-5; 5 0; 25 25 -5; 0; 5 -25; 0

Показати відповідь
Б.
х² = 25x
х²-25x = 0
x(x-25) = 0
x = 0 або х-25 = 0, звідки х = 25.
Розв’яжіть рівняння х²-4х+3 = 0.

А Б В Г Д

-4; 3 1; 3 -3; -1 -2; 3 -1; 4

Показати відповідь
Б.
х²-4х+3 = 0
Д = 4²-4⋅1⋅3 = 16-12 = 4.
x₁ = $\frac{4+\sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{4+2}{2} = \frac{6}{2}$ = 3.
x₂ = $\frac{4-\sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{4-2}{2} = \frac{2}{2}$ = 1.
Розв’яжіть рівняння х²-10 = 5х+14.

А Б В Г Д

-8; 3 -4; -1 -3; 8 1; 4 0; 5

Показати відповідь
В.
х²-10 = 5х+14
х²-10-5х-14 = 0
x²-5x-24 = 0
Д = 5²-4⋅1⋅(-24) = 25+96 = 121.
x₁ = $\frac{5+\sqrt{121}}{2\cdot1} = \frac{5+11}{2} = \frac{16}{2}$ = 8.
x₂ = $\frac{5-\sqrt{121}}{2\cdot1} = \frac{5-11}{2} = \frac{-6}{2}$ = -3.
Обчисліть добуток коренів рівняння х²+6х-55 = 0.

А Б В Г Д

-55 55 -6 6 -49

Показати відповідь
А.
І спосіб.
х²+6х-55 = 0
Д = 6²-4⋅1⋅(-55) = 36+220 = 256.
x₁ = $\frac{-6+\sqrt{256}}{2\cdot1} = \frac{-6+16}{2} = \frac{10}{2}$ = 5.
x₂ = $\frac{-6-\sqrt{256}}{2\cdot1} = \frac{-6-16}{2} = \frac{-22}{2}$ = -11.
x₁⋅x₂ = 5⋅(-11) = -55.
ІІ спосіб.
х²+6х-55 = 0
Д = 6²-4⋅1⋅(-55) = 36+220 = 256. Оскільки дискримінант більше нуля, то рівняння має два корені і їх добуток отримаємо за теоремою Вієта (добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному члену рівняння). З умови x₁⋅x₂ = -55.
Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння х³ = -0,027.

А Б В Г Д

(-9;-0,5) (-0,5;-0,25) (-0,25;0) (0;0,25) (0,25;9)

Показати відповідь
Б.
З рівняння х³ = -0,027 маємо х = $\sqrt[3]{-0,027}$ = -0,3. Так як -0,3 більше за -0,5 та менше за -0,25, то корінь належить проміжку(-0,5;-0,25).
Укажіть рівняння, коренем якого є число 2.

А Б В Г Д

$\frac{1}{x-2}$ = 0 х²+4 = 0 5x+12 = 2 $\frac{3x-6}{x}$ = 0 x+2 = x

Показати відповідь
Г.
А) Оскільки при х = 2 знаменник перетворюється на 0, а ділити на 0 не можна, то х = 2 не входить ОДЗ рівняння.
Б) 2²+4 = 4+4 = 8≠0
В) 5⋅2+12 = 10+12 = 22≠2
Г) $\frac{3\cdot2-6}{2} = \frac{6-6}{2}$ = 0
Д) 2+2 = 4≠2.
Розв’яжіть рівняння x⁴-x²-20=0. У відповідь запишіть добуток усіх його дійсних коренів.
Показати відповідь
-5.
Зробимо заміну x²=t, t≥0.
t²-t-20=0
D=1²-4⋅1⋅(-20)=1+80=81.
t₁= $\frac{1+\sqrt{81}}{2\cdot1}$ = $\frac{1+9}{2}$ = $\frac{10}{2}$ =5
t₂= $\frac{1-\sqrt{81}}{2\cdot1}$ = $\frac{1-9}{2}$ = $\frac{-8}{2}$ = -4
Другий корінь не задовільняє умові t≥0. Підставимо перший корінь у заміну. Маємо x²=5. Звідси х= $\pm\sqrt{5}$ . Добуток коренів $\sqrt{5}\cdot(-\sqrt{5})$ = -5.

⇐ І.7.
Тригонометричні вирази

До змісту

⇒ ІІ.2.
Ірраціональні рівняння

Шлях до математики: кроки успіху

Шукати в цьому блозі

Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Коментарі

Популярні публікації

Дійсні числа

Арифметична прогресія

Комбінаторика

Функції за графіками

Трикутники та їх властивості

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

А	Б	В	Г	Д
L = $\frac{T}{2\pi{C}}$	L = $\frac{2\pi{C}}{T}$	L = $\frac{1}{C}\frac{T}{2\pi}$	L = $\frac{4\pi^2C}{T^2}$	L = $\frac{T^2}{4\pi^2C}$

А	Б	В	Г	Д
m = $\frac{2E}{v^2}$	m = $\frac{v^2}{2E}$	m = $\frac{E}{2v^2}$	m = $\frac{2v^2}{E}$	m = $\frac{2}{Ev^2}$

А	Б	В	Г	Д
$\frac{1}{5}$ p-8	5p-40	$\frac{1}{5}$ (p-8)	5p+40	$\frac{1}{5}$ (p+8)

А	Б	В	Г	Д
2х-8	8-2х	$\frac{x-4}{2}$	$\frac{x+4}{2}$	$\frac{4-x}{2}$

А	Б	В	Г	Д
$\frac{5}{7}$	$\frac{-7}{5}$	$\frac{6}{5}$	$\frac{9}{5}$	6

А	Б	В	Г	Д
$\frac{1}{x-2}$ = 0	х²+4 = 0	5x+12 = 2	$\frac{3x-6}{x}$ = 0	x+2 = x

А	Б	В	Г	Д
(-∞; -3)	[-3; 0)	[0; 4)	[4; 8)	[8; +∞)

А	Б	В	Г	Д
-1000	-100	-10	-1	100

А	Б	В	Г
5	$\frac{-1}{5}$	$\frac{1}{5}$	4

А	Б	В	Г	Д
(-∞;-5]	(-5;-2]	(-2;2]	(2;5]	(5;+∞)