Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння

Рівняння — це математична мова, якою описують більшість процесів у навколишньому світі. Вміння розв’язувати їх є базовою навичкою, необхідною як для успішного складання НМТ, так і для опанування вищої математики, програмування чи економіки.

На цій сторінці ми зібрали всі типи алгебраїчних рівнянь, що зустрічаються в тестах :

• Лінійні рівняння : прості рівності, де головне — правильно перенести доданки та звести подібні.
• Квадратні рівняння : класичні завдання, які розв'язуються через дискримінант або швидку теорему Вієта. Ви також знайдете приклади біквадратних рівнянь, що зводяться до квадратних через заміну змінної.
• Дробово - раціональні рівняння : задачі, де невідоме стоїть у знаменнику. Тут ми навчимося використовувати властивість пропорції та завжди пам'ятати про область допустимих значень (ОДЗ).

Особливу увагу приділено завданням на вираження однієї змінної з формули (фізичні та геометричні формули), що є традиційно складним моментом для багатьох абітурієнтів. Кожне завдання супроводжується покроковим розв'язком для самоперевірки.

---

Лінійні рівняння розв'язуються перенесенням одночленів з невідомим у ліву частину, все інше в праву, і подальшим перенесенням всіх чисел в праву частину рівняння так, щоб з лівої сторони залишилося лише невідоме.

Завдання 1. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \frac{x}{18 - 2x}=\frac{1}{4}.

( - ∞; - 3)

[ - 3; 0)

[0; 4)

[4; 8)

[8; + ∞)

Показати відповідь

В.
\frac{x}{18 - 2x}=\frac{1}{4}
За основною властивістю пропорції маємо :
4 ∙ х = (18 - 2x) ∙ 1
4x = 18 - 2x
4x + 2x = 18
6x = 18
x = 18 : 6
x = 3.
Дане число належить проміжку [0; 4).

Завдання 2. Розв'яжіть рівняння 0,01х = - 1.

- 1000

- 100

- 10

- 1

100

Показати відповідь

Б.
0,01х = - 1
x = - 1 : 0,01
x = - 100 : 1
x = - 100

---

Завдання 3. Укажіть корінь рівняння 1 - 5х = 0.

5

\frac{ - 1}{5}

\frac{1}{5}

4

Показати відповідь

В.
1 - 5х=0
5x=1
x=\frac{1}{5}.

Завдання 4. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \frac{x}{9 - x}=\frac{1}{2}?

( - ∞; - 5]

( - 5; - 2]

( - 2;2]

(2;5]

(5; + ∞)

Показати відповідь

Г.
\frac{x}{9 - x}=\frac{1}{2}
x · 2 = (9 - x) · 1
2x = 9 — x
2x + x = 9
3x = 9
x = 3.
Даний корінь належить проміжку (2;5].

Завдання 5. Період T електромагнітних коливань у коливальному контурі, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С й котушки з індуктивністю L, обчислюють за формулою Томсона T = 2π\sqrt{LC}. Визначте із цієї формули індуктивність L.

L = \frac{T}{2\pi{C}}

L = \frac{2\pi{C}}{T}

L = \frac{1}{C}\frac{T}{2\pi}

L = \frac{4\pi^2C}{T^2}

L = \frac{T^2}{4\pi^2C}

Показати відповідь

Д.
T = 2π\sqrt{LC}
T² = 4π²LC
L = \frac{T^2}{4\pi^2C}.

Завдання 6. Розв’яжіть рівняння \frac{x}{10} = 2,5.

0,25

4

12,5

25

Показати відповідь

Г.
\frac{x}{10} = 2,5
x = 2,5 · 10
x = 25.

Завдання 7. Укажіть число, що є коренем рівняння \frac{8}{x} = \frac{2}{5}.

20

\frac{16}{5}

10

80

\frac{1}{20}

Показати відповідь

А.
За пропорцією х = 8 · 5 : 2 = 20.

Завдання 8. Кінетичну енергію E тіла масою m, яке рухається зі швидкістю v, обчислюють за формулою E = \frac{mv^2}{2}. Виразіть m із цієї формули.

m = \frac{2E}{v^2}

m = \frac{v^2}{2E}

m = \frac{E}{2v^2}

m = \frac{2v^2}{E}

m = \frac{2}{Ev^2}

Показати відповідь

А.
E = \frac{mv^2}{2}
2E = mv²
m = \frac{2E}{v^2}.

Завдання 9. Якщо ціна паркету (р) пов’язана із ціною деревини для його виробництва (d) співвідношенням p = 5d + 8, то d =

\frac{1}{5}p - 8

5p - 40

\frac{1}{5}(p - 8)

5p + 40

\frac{1}{5}(p + 8)

Показати відповідь

В.
p = 5d + 8
5d = p - 8
d = \frac{1}{5}(p - 8).

Завдання 10. Якщо числа х і у задовольняють співвідношенню 2у + 4 = х, то у =

2х - 8

8 - 2х

\frac{x - 4}{2}

\frac{x + 4}{2}

\frac{4 - x}{2}

Показати відповідь

В.
2y + 4 = x
2y = x - 4
y = \frac{x - 4}{2}.

Завдання 11. Якщо x = t - 2, то x² - t² =

4 - 2t

4 - 4t

4

- 4t - 4

t² + 4

Показати відповідь

Б.
x² - t² = (t — 2)² - t² = t² - 4t + 4 - t² = - 4t + 4 = 4 - 4t.

Завдання 12. Якщо m = n - 1, то 7 - m =

n - 8

6 - n

8 - n

n - 6

6 + n

Показати відповідь

В.
7 - m = 7 - (n - 1) = 7 - n + 1 = 8 - n.

Завдання 13. Якому проміжку належить корінь рівняння 2х - 3 = 4?

( - ∞; - 2)

[ - 2;0)

[0;2)

[2;4)

[4; + ∞)

Показати відповідь

Г.
2х - 3 = 4
2х = 4 + 3
2х = 7
х = 7 : 2
х = 3,5
Даний корінь належить проміжку [2;4).

Завдання 14. Яке з наведених чисел є коренем рівняння \frac{5x + 8}{3} = 1?

1

0

3

- 2

- 1

Показати відповідь

Д.
\frac{5x + 8}{3} = 1
5х + 8 = 3
5х = 3 - 8
5х = - 5
5х = - 5 : 5
х = - 1.

Завдання 15. Яке з наведених чисел є коренем рівняння \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 2?

0,4

1,2

2,4

5

12

Показати відповідь

В.
\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 2
\frac{3x + 2x}{6} = 2
\frac{5x}{6} = 2
5х = 2 · 6
5х = 12
х = 12 : 5
х = 2,4.

Завдання 16. Розв’яжіть рівняння (x + 1)(2x - 3) = 0.

- 3; 1

- 1,5; 1

- 1; \frac{2}{3}

- 1; 3

- 1; 1,5

Показати відповідь

Д.
Добуток дорівнює 0 коли хоча б один із множників дорівнює 0. Маємо х + 1 = 0, звідки х = - 1 або 2х - 3 = 0, звідки 2х = 3 і х = 3 : 2 = 1,5.

Завдання 17. Розв’яжіть рівняння 0,5(3x - 4) = \frac{x + 1}{4}.

\frac{5}{7}

\frac{ - 7}{5}

\frac{6}{5}

\frac{9}{5}

6

Показати відповідь

Г.
Домножимо ліву та праву частину рівняння на 4, отримаємо:
4 · 0,5(3x - 4) = x + 1
2(3x - 4) = x + 1
6x - 8 = x + 1
5x = 9
x = \frac{9}{5}.

Завдання 18. Розв’яжіть рівняння \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 — 3x}.

- 2

- 0,4

2,5

0,4

2

Показати відповідь

Г.
Так як з лівої і правої сторони рівняння знаходиться лише по одному дробу, то їх можна одночасно перевернути. Маємо 2х = 2 - 3х, звідки 2х + 3х = 2. Тоді 5х = 2 і х = 2 : 5 = 0,4. Потрібно перевірити, чи задовольняє дане значення х ОДЗ рівняння. Так як при х = 0,4 ні перший, ні другий знаменник не дорівнює 0, то х = 0,4 є коренем рівняння.

Завдання 19. Розв’яжіть рівняння \frac{2}{x} = 5.

0,1

10

2,5

0,4

- 3

Показати відповідь

Г.
\frac{2}{x} = 5
\frac{x}{2} = \frac{1}{5}
x = \frac{2}{5}
x = 0,4.

Завдання 20. Обчисліть суму коренів рівняння х² + 3х — 4=0.

- 4

- 3

3

4

Показати відповідь

Б.
Так як D = 3² - 4 · 1 · ( - 4)=9 + 16 = 25, що більше нуля, то рівняння має корені. Тоді сума коренів за теоремою Вієта дорівнює коефіцієнту при х з протилежним значенням, тобто - 3.

Завдання 21. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \frac{3x - 2}{x + 1} = 7.

( - ∞; - 2]

( - 2;0]

(0;2]

(2;4]

(4; + ∞)

Показати відповідь

А.
\frac{3x - 2}{x + 1} = 7
3x - 2 = 7(x + 1)
3x - 2 = 7x + 7
3x - 7x = 7 + 2
- 4x = 9
x = 9 : ( - 4)
x = - 2,25
Дане число належить проміжку ( - ∞; - 2].

Для розв'язування квадратного рівняння ax² + bx + c = 0 спочатку знаходимо дискримінант за формулою D = b² - 4ac, після чого корені знаходяться за формулами x_1,2 = \frac{ - b\pm\sqrt{D}}{2a}

Завдання 22. Розв’яжіть рівняння 2x(x + 2) = 5(x + 2).

- 2,5; 2

- 2

2,5

- 2; 0,4

- 2; 2,5

Показати відповідь

Д.
І спосіб. Розкриємо дужки. Маємо: 2x² + 4x = 5x + 10
2x² + 4x - 5x - 10 = 0
2x² - x - 10 = 0
D = 1² - 4 · 2 · ( - 10) = 1 + 80 = 81.
x₁ = \frac{1 + \sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{1 + 9}{4} = \frac{10}{4} = 2,5.
x₂ = \frac{1 - \sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{1 - 9}{4} = \frac{ - 8}{4} = - 2.
ІІ спосіб. Нехай x + 2 ≠ 0 (x ≠ - 2). Тоді обидві частини рівняння можна на нього поділити. Отримаємо просте рівняння 2х = 5, звідки х = 2,5. Перевіримо, чи є х = - 2 коренем. Підставимо у рівняння, маємо - 4 · 0 = 5 · 0, звідки 0 = 0. Оскільки отримали вірну рівність, то х = - 2 також є коренем.

Завдання 23. Розв’яжіть рівняння х² = 25x.

- 5; 5

0; 25

25

- 5; 0; 5

- 25; 0

Показати відповідь

Б.
х² = 25x
х² - 25x = 0
x(x - 25) = 0
x = 0 або х - 25 = 0, звідки х = 25.

Завдання 24. Розв’яжіть рівняння х² - 4х + 3 = 0.

- 4; 3

1; 3

- 3; - 1

- 2; 3

- 1; 4

Показати відповідь

Б.
х² - 4х + 3 = 0
D = 4² - 4 · 1 · 3 = 16 - 12 = 4.
x₁ = \frac{4 + \sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3.
x₂ = \frac{4 - \sqrt{4}}{2\cdot1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1.

Завдання 25. Розв’яжіть рівняння х² - 10 = 5х + 14.

- 8; 3

- 4; - 1

- 3; 8

1; 4

0; 5

Показати відповідь

В.
х² - 10 = 5х + 14
х² - 10 - 5х - 14 = 0
x² - 5x - 24 = 0
Д = 5² - 4 · 1 · ( - 24) = 25 + 96 = 121.
x₁ = \frac{5 + \sqrt{121}}{2\cdot1} = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8.
x₂ = \frac{5 - \sqrt{121}}{2\cdot1} = \frac{5 - 11}{2} = \frac{ - 6}{2} = - 3.

Завдання 26. Обчисліть добуток коренів рівняння х² + 6х - 55 = 0.

- 55

55

- 6

6

- 49

Показати відповідь

А.
І спосіб.
х² + 6х - 55 = 0
D = 6² - 4 · 1 · ( - 55) = 36 + 220 = 256.
x₁ = \frac{ - 6 + \sqrt{256}}{2\cdot1} = \frac{ - 6 + 16}{2} = \frac{10}{2} = 5.
x₂ = \frac{ - 6 - \sqrt{256}}{2\cdot1} = \frac{ - 6 - 16}{2} = \frac{ - 22}{2} = - 11.
x₁ · x₂ = 5 · ( - 11) = - 55.
ІІ спосіб.
х² + 6х - 55 = 0
D = 6² - 4 · 1 · ( - 55) = 36 + 220 = 256. Оскільки дискримінант більше нуля, то рівняння має два корені і їх добуток отримаємо за теоремою Вієта (добуток коренів квадратного рівняння дорівнює вільному члену рівняння). З умови x₁ · x₂ = - 55.

Завдання 27. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння х³ = - 0,027.

( - 9; - 0,5)

( - 0,5; - 0,25)

( - 0,25;0)

(0;0,25)

(0,25;9)

Показати відповідь

Б.
З рівняння х³ = - 0,027 маємо х = \sqrt[3]{ - 0,027} = - 0,3. Так як - 0,3 більше за - 0,5 та менше за - 0,25, то корінь належить проміжку( - 0,5; - 0,25).

Завдання 28. Укажіть рівняння, коренем якого є число 2.

\frac{1}{x - 2}= 0

х² + 4 = 0

5x + 12 = 2

\frac{3x - 6}{x}= 0

x + 2 = x

Показати відповідь

Г.
А) Оскільки при х = 2 знаменник перетворюється на 0, а ділити на 0 не можна, то х = 2 не входить ОДЗ рівняння.
Б) 2² + 4 = 4 + 4 = 8 ≠ 0
В) 5 · 2 + 12 = 10 + 12 = 22 ≠ 2
Г) \frac{3\cdot2 - 6}{2} = \frac{6 - 6}{2} = 0
Д) 2 + 2 = 4 ≠ 2.

Завдання 29. Розв’яжіть рівняння x⁴ - x² - 20=0. У відповідь запишіть добуток усіх його дійсних коренів.

Показати відповідь

- 5.
Зробимо заміну x²=t, t≥0.
t² - t - 20 = 0
D = 1² - 4 · 1 · ( - 20) = 1 + 80 = 81.
t₁=\frac{1 + \sqrt{81}}{2\cdot1}=\frac{1 + 9}{2}=\frac{10}{2}=5
t₂=\frac{1 - \sqrt{81}}{2\cdot1}=\frac{1 - 9}{2}=\frac{ - 8}{2}= - 4
Другий корінь не задовільняє умові t≥0. Підставимо перший корінь у заміну. Маємо x²=5. Звідси х=\pm\sqrt{5}. Добуток коренів \sqrt{5}\cdot( - \sqrt{5})= - 5.

⇐ І.7.
Тригонометричні вирази До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.2.
Ірраціональні рівняння ⇒