Перейти до основного вмісту

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation.

For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation.

When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions.

In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations.

To solve such equations, you can apply

  • The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c;
  • The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b + c;
  • The Division property of equality. If a = b, then \frac{a}{\color{Blue}c} = \frac{b}{\color{Blue}c};
  • The Multiplication property of equality. If a = b, then ac = bc.

Examples

  1. 10x = 40
    Divide both sides of the equation by 10: \frac{10x}{\color{Blue}10} = \frac{40}{\color{Blue}10}
    Simplify. x = 4
    Check: Substitute x = 4 10(4) = 40.
    40 = 40. True. x = 4 is the solution
  2. 8x + 9 = 25
    Subtract 9 from both sides. 8x + 9 - 9= 25 - 9
    Simplify. 8x = 16
    Divide both sides of the equation by 8. \frac{8x}{\color{Blue}8} = \frac{16}{\color{Blue}8}
    Simplify. x = 2
    Check: Substitute x =2 8(2) + 9 = 25
    16 + 9 = 25
    25 = 25. True. x = 2 is the solution
  3. 7x - 3x = 5
    Combine like terms. 4x = 5
    Divide both sides of the equation by 4: \frac{4x}{\color{Blue}4} = \frac{5}{\color{Blue}4}
    Simplify. x = 1.25
    Check: Substitute x =1.25 7(1.25) - 3(1.25) = 5
    8.75 - 3.75 = 5
    5 = 5. True. x = 1.25 is the solution
  4. 3x - 2 = x + 6
    3x - x = 6 + 2
    Combine like terms. 2x = 8
    Divide both sides of the equation by 2: \frac{2x}{\color{Blue}2} = \frac{8}{\color{Blue}2}
    Simplify. x = 4
    Check: Substitute x = 4 3(4) - 2 = 4 + 6
    12 - 2 = 10
    10 = 10. True. x = 4 is the solution
  5. 3(2x - 4) = 5x + 1
    Distribute on the left. 3⋅2x - 3⋅4 = 5x + 1
    Simplify. 6x - 12 = 5x + 1
    6x - 5x = 1 + 12
    Simplify. x = 13
    Check: Substitute x = 13 3(2(13) - 4) = 5(13) + 1
    3(26 - 4) = 65 + 1
    3(22) = 66
    66=66. True. x = 13 is the solution
  6. \frac{4}{9}x = \frac{8}{3}
    Multiply by the reciprocal of \frac{4}{9}. {\color{Blue}\frac{9}{4}\cdot }\frac{4}{9}x ={\color{Blue}\frac{9}{4}\cdot } \frac{8}{3}
    Multiply 1x = 2 ⋅ 3
    Simplify. x = 6
    Check: Substitute x = 6 \frac{4}{9}\cdot6 = \frac{8}{3}
    \frac{24}{9} = \frac{8}{3}
    \frac{8}{3} = \frac{8}{3}. True. x = 6 is the solution
  7. \frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 20
    Multiply both sides of the equation by LCM (12): \frac{{\color{Blue}12}\cdot{x}}{4} + \frac{{\color{Blue}12}\cdot{x}}{6} = {\color{Blue}12}\cdot20
    Simplify. 3x + 2x = 240
    Combine like terms. 5x = 240
    Divide both sides of the equation by 5: \frac{5x}{\color{Blue}5} = \frac{240}{\color{Blue}5}

    Simplify. x = 48
    Check: Substitute x = 48 \frac{48}{4} + \frac{48}{6} = 20
    12 + 8 = 20
    20 = 20. True. x = 48 is the solution

Check yourself by completing the interactive exercise

Need more topics? Check out our extensive Waytomathematics. You can use your browser's auto-translate feature to explore all our Ukrainian resources in English!

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Похідна функції

Правила диференціювання (C)'=0 (C⋅f(x))'=C⋅f'(x) (f(x)&pm;g(x))'=f'(x)&pm;g'(x) (f(x)⋅g(x))'=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x) ( )'= (f(g(x)))'=f' g ⋅g' x Таблиця похідних (x n )'=nx n-1 (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tgx)'= (ctgx)'= (a x )'=a x lna (e x )'=e x (log a x)'= (lnx)'= Завдання. НМТ 2026 (демо). Задано функцію 𝑓(𝑥)={\footnotesize\begin{cases}30,x\lt-2,\\[-0.2em] 2x^4+x,x\ge-2\end{cases}} . Обчисліть значення виразу 𝑓(-3) - 𝑓'(2). Показати відповідь –35 . Так як - 3 < - 2, то f(- 3) = 30. Так як 2 > - 2, то для знаходження значення похідної в точці 2 застосовуємо функцію f(x) = 2x 4 + x. Знайдемо похідну даної функції. f'(x) = 2 ⋅ 4 x 4 - 1 + 1 = 8x 3 + 1. Підставимо в отриману похідну значення х = 2. f'(2) = 8 ⋅ 2 3 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 = 64 + 1 = 65. Тоді 𝑓(-3) - 𝑓'(2) = 30 - 65 = - 35. НМТ 2023. Матеріальна точка рухається прямолінійно...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Коло та круг

Круг - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр круга) не перевищує заданого (радіус круга). Коло - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр кола) дорівнює заданому (радіус кола). Коло є границею круга. Властивості кола та круга: Хорда - відрізок, який сполучає дві точки кола. Діаметр - хорда, що проходить через центр кола. d=2R. Довжина кола: C=2πR. Площа круга: S=πR 2 . Якщо два вписані кути спираються на одну хорду, то вони рівні. Вписаний кут вдвічі менше центрального кута, що спирається на ту ж хорду. Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то він прямий. Якщо АВ - дотична до кола (В - точка дотику), а С і D - точки перетину січної кола, що проведена з точки А, то АВ 2 =AC⋅AD. Завдання. НМТ 2026 (демо). На колі вибрано точки A, B і C так, що &angle;ACB = 30° (див. рисунок). Визначте довжину (см) цього кола, якщо довжина меншої дуги AB дорівнює 25 см. 150 300 250 200 360 Показати відповідь А . Так я...
2 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар