Коло та круг

Круг - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр круга) не перевищує заданого (радіус круга).
Коло - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр кола) дорівнює заданому (радіус кола). Коло є границею круга.
Властивості кола та круга:

• Хорда - відрізок, який сполучає дві точки кола.
• Діаметр - хорда, що проходить через центр кола. d=2R.
• Довжина кола: C=2πR.
• Площа круга: S=πR².
• Якщо два вписані кути спираються на одну хорду, то вони рівні.
• Вписаний кут вдвічі менше центрального кута, що спирається на ту ж хорду.
• Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то він прямий.
• Якщо АВ - дотична до кола (В - точка дотику), а С і D - точки перетину січної кола, що проведена з точки А, то АВ²=AC⋅AD.
1. Довжина кола дорівнює 16π см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом.

   А	Б	В	Г	Д
   128π см2	64π см2	32π см2	16π см2	8π см2

   Відповідь

   Б.
   Оскільки довжина кола знаходиться за формулою С=2πR, то R=C:2π=16π:2π=8. Площа круга S=πR²=π⋅8²=64π.
2. Точки А і В належать колу радіуса 10 см і ділять його на дві дуги, довжини яких відносяться як 3:2. Знайдіть довжину більшої дуги кола.

   А	Б	В	Г	Д
   20π см	12π см	8π см	6π см	4π см

   Відповідь

   Б.
   Оскільки довжина кола знаходиться за формулою С=2πR, то його довжина C=2π⋅10=20π. Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо дуги довжинами 3х та 2х. Разом маємо 5х, що дорівнює довжині кола. Отже 5х=20π, звідки х=4π. Більша дуга має довжину 3х, тобто 3⋅4π=12π.
3. 2019. Кола із центрами в точках О і О₁ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань ОО₁, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

   

   А	Б	В	Г	Д
   1,5 см	2 см	3 см	4 см	8 см

   Відповідь

   Г.
   При внутрішньому дотику відстань між центрами кіл дорівнює різниці їх радіусів. Тому ОО₁=R₁-R₂=12-8=4 см.
4. 2019. На колі з центром О вибрано точки А та В (див. рисунок). Визначте градусну міру кута АОВ, якщо довжина дуги АВ становить довжини цього кола.

   

   А	Б	В	Г	Д
   30o	45o	60o	75o	90o

   Відповідь

   В.
   Так як дуга складає шосту частину кола, то відповідний кут дорівнює шостій частині повного оберта, тобто 360^o:6=60^o.
5. Точки А, В, С і D лежать на колі. BD – діаметр цього кола (див. рисунок). Знайдіть величину кута ACD, якщо ∠ADB=35^o.

   

   А	Б	В	Г	Д
   35o	55o	60o	65o	70o

   Відповідь

   Б.
   Так як BD - діаметр, то кут BAD дорівнює 90^o як кут, що спирається на діаметр. Тоді в трикутнику ABD ∠B=180^o-∠A-∠D=180^o-90^o-35^o=55^o. Так як кути ABD і ACD спираються на одну хорду AD, то вони рівні. Тому ∠ACD=∠ABD=55^o.
6. На рисунку зображено ескіз емблеми фірми N. Емблема має форму кола, всередині якого розміщено 3 однакових півкола. Один кінець кожного півкола збігається з центром кола, інший кінець лежить на колі. Виготовлення емблеми (усіх її елементів), радіус якої дорівнює 2 м, потребує використання гнучкого матеріалу вартістю 100 грн за 1 м довжини. Укажіть серед наведених найменшу суму грошей, якої вистачить на придбання цього матеріалу для виготовлення емблеми. Вважайте, що місця з’єднання елементів емблеми, позначені на рисунку точками, не потребують додаткових витрат.

   

   А	Б	В	Г	Д
   3000 грн	2720 грн	2540 грн	2310 грн	2170 грн

   Відповідь

   Г.
   Маємо довжину кола емблеми С=2πR=2π⋅2=4π м. У внутрішній частині маємо, що діаметр кожного півкола співпадає з радіусом великого кола. Тому d=2, звідки r=d:2=2:2=1 м. Маємо довжину маленького кола емблеми С=2πr=2π⋅1=2π м. Тоді довжина півкола 2π:2=π м. Оскільки маємо 3 однакових півкола, то їх загальна довжина 3⋅π=3π м. Разом на одну емблему використовується 4π+3π=7π м. Тоді потрібно буде коштів 100⋅7π=700π≈700⋅3,14=2198 грн. Найближча достатня сума серед наведених 2310 грн.
7. На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола радіуса 2 м, усередині якого розміщено 6 однакових півкіл. Один кінець кожного півкола збігається із центром кола, інший кінець лежить на колі. Для виготовлення емблеми (з усіма елементами включно) потрібен гнучкий матеріал вартістю 200 грн за 1 м довжини. Укажіть з-поміж наведених сум грошей найменшу, якої достатньо, щоб придбати цей матеріал для виготовлення емблеми. Уважайте, що на з’єднання елементів емблеми не потрібно додаткових витрат матеріалу.

   

   А	Б	В	Г	Д
   4000 грн	5000 грн	6000 грн	7000 грн	8000 грн

   Відповідь

   Г.
   Маємо довжину кола емблеми С=2πR=2π⋅2=4π м. У внутрішній частині маємо, що діаметр кожного півкола співпадає з радіусом великого кола. Тому d=2, звідки r=d:2=2:2=1 м. Маємо довжину маленького кола емблеми С=2πr=2π⋅1=2π м. Тоді довжина півкола 2π:2=π м. Оскільки маємо 6 однакових півкола, то їх загальна довжина 6⋅π=6π м. Разом на одну емблему використовується 4π+6π=10π м. Тоді потрібно буде коштів 200⋅10π=2000π≈2000⋅3,14=6280 грн. Найближча достатня сума серед наведених 7000 грн.
8. На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівносторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках M і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну мірку кута MDN.

   

   А	Б	В	Г	Д
   15o	30o	45o	60o	120o

   Відповідь

   Б.
   Оскільки трикутник ОАВ рівносторонній, то кут О в ньому 60^o. Оскільки в колі центральний кут МОN та вписаний кут MDN спираються на одну хорду MN, а вписаний кут вдвічі менше відповідного центрального, то ∠MDN=∠MON:2=60^o:2=30^o.
9. У прямокутник ABCD вписано три круги одного й того самого радіуса (див. рисунок). Визначте довжину сторони ВС, якщо загальна площа кругів дорівнює 3π.

   

   А	Б	В	Г	Д
   2	3	6	9	18

   Відповідь

   В.
   Оскільки круги однакові, то площа одного з них 3π:3=π. Так як площа круга S=πR², то R=1. Оскільки круги вписані, то сторона ВС дорівнює трьом діаметрам вписаних кіл, або 6 радіусам. Тому ВС=6.
10. На рисунку зображено коло із центром у точці О. Хорди АВ і АС рівні, АК-діаметр, РМ — дотична до кола, проведена в точці С, ∠ВАС=80^o. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Градусна міра кута ОСМ дорівнює 2 Градусна міра кута АСР дорівнює 3 Градусна міра меншої дуги АВ дорівнює 4 Градусна міра меншої дуги КС дорівнює	А 50o Б 80o В 90o Г 100o Д 120o

    Відповідь

    1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б.
    1) Оскільки дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику, то кут ОСМ прямий.
    2) Оскільки АВ=АС, ВО=ОС, то трикутники АВО та АСО рівні, тому кути ВАО і САО рівні, а так як їх сума це кут ВАС (80^o), то кожен з них дорівнює 80^o:2=40^o. Так як АО=ОС (радіуси кола), то трикутник АОС рівнобедрений і в ньому кути А та С рівні. Отже кут ОСА дорівнює куту ОАС і дорівнює 40^o. ∠ACP=∠OCP-∠OCA=90^o-40^o=50^o.
    3) В трикутнику АОС ∠AOC=180^o-∠OAC-∠OCA=180^o-40^o-40^o=100^o. Отже дуга АС 100^o. Так як відрізки АВ і АС рівні, то дуги АВ і АС також рівні. Відповідно, менша дуга АВ дорівнює 100^o.
    4) Менша дуга КС доповнює меншу дугу АС до 180^o. Тому менша дуга КС дорівнює 180^o-100^o=80^o.
11. На рисунку зображено коло з центром у точці О, радіус якого дорівнює 6. Хорду ВС видно з центра кола під кутом 60^o, ВК — діаметр. Через точку А до кола проведено дотичну АВ, причому АО=2АВ. Установіть відповідність між відрізком (1-4) та його довжиною (А-Д).

    

    Відрізок	Довжина відрізка
    1 ВК 2 АВ 3 ВС 4 СК	А 6 Б 2 В 12 Г 6 Д 3

    Відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
    1) Оскільки ВК - діаметр, то ВК=2R=2⋅6=12.
    2) Оскільки АВ - дотична, то кут АВО - прямий (дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Тоді в прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора AO²=AB²+BO². Підставимо відоме значення ВО і замість АО рівне йому значення 2АВ. Маємо:
    (2AB)²=AB²+6²
    4AB²=AB²+36
    3AB²=36
    AB²=12.
    Звідси маємо, що АВ=.
    3) Оскільки ОВ=ОС (радіуси кола), то трикутник ОВС є рівнобедреним. Тоді кути В і С в ньому рівні, а оскільки їх сума дорівнює 180^o-60^o=120^o, то вони дорівнюють 60^o. Тоді трикутник ОВС рівносторонній і ВС=ОВ=6.
    4) Оскільки ВК - діаметр кола, то кут ВСК є прямим, як вписаний кут, що спирається на діаметр. Тоді в прямокутному трикутнику ВСК CK²=BK²-BC²=12²-6²=144-36=108. Тоді СК= .
12. У трикутнику АВС основа висоти АК лежить на продовженні сторони ВС (див. рисунок). АК=6, КВ=2. Радіус описаного навколо трикутника АВС кола дорівнює 15. Визначте довжину АС.

    

    Відповідь

    45.
    В прямокутному трикутнику АКВ tgB=AK:KB=. Тоді кут АВК=60^o. Оскільки кути АВК і АВС суміжні, то їх сума дорівнює 180^o. ∠ABC=180^o-∠ABK=180^o-60^o=120^o. Для радіуса кола, описаного навколо трикутника, є формула =2R. Підставимо у цю формулу відомі значення і отримаємо:
    
    AC=30sin120^o = 30sin(180^o-60^o) = 30sin60^o = 30=15⋅3=45.
13. На рисунку зображено коло з центром в точці О, довжина якого дорівнює 64 см. Визначте довжину меншої дуги кола AB, якщо ∠АОВ=90^o.

    

    Відповідь

    16.
    Оскільки кут 90^o складає четверту частину повного оберту (360^o:90^o=4), то довжина меншої дуги AB кола складає четверту частину довжини дуги кола, тобто 64:4=16 см.
14. У прямокутник ABCD вписано два кола із центрами в точках О₁ та О₂, кожне з яких дотикається до трьох сторін прямокутника й одне до одного (див. рисунок). Сума довжин уписаних кіл дорівнює 16π.
    1. Визначте довжину відрізка О₁О₂.
    2. Обчисліть площу чотирикутника ВО₁О₂С.

    

    Відповідь

    8; 48.

    

    1. Маємо два однакових кола. Нехай їх радіус дорівнює х. Тоді довжина одного кола C=2πx, а двох кіл 4πx, що за умовою дорівнює 16π. Тоді з рівняння 4πx=16π маємо х=4. Так як кола дотикаються, то відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Маємо O₁O₂=4+4=8.
    2. Відрізок O₁O₂ паралельний ВС, тому ВО₁О₂С - трапеція. ЕТ=ЕО₁+О₁О₂+О₂Т=4+8+4=16. Тоді ВС=ЕТ=16. Висота трапеції О₁К=4. Маємо площу трапеції S=(ВС+O₁O₂)⋅O₁K:2=(16+8)⋅4:2=24⋅2=48.
15. На рисунку зображено прямокутник ABCD і кругові сектори КАМ та ВСР, що мають спільну точку О. Площа сектора ВСР дорівнює 9π см², АО=4 см.
    1. Визначте радіус сектора ВСР (у см).
    2. Обчисліть площу прямокутника ABCD (у см²).

    

    Відповідь

    6; 48.
    1. Оскільки сектор ВСР складає четверту частину кола радіуса ВС, то площа такого кола дорівнює 9π⋅4=36π см². Так як площа кола знаходиться за формулою S=πR², то радіус ВС кола, а відповідно сектора ВСР дорівнює 6 см.
    2. Так як сектори дотикаються, то АС=АО+ОС=4+6=10 см (СО є радіусом сектора ВСР). Тоді в прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора AB²=AC²-BC²=10²-6²=100-36=64. Отже АВ=8 см і площа прямокутника ABCD S=AB⋅BC=8⋅6=48 см².
16. Два кола, радіус кожного з яких дорівнює 2 см, дотикаються зсередини до кола радіусом 8 см у точках А і В відповідно (див. рисунок). Визначте відстань (у см) між центрами цих рівних кіл, якщо АВ=10 см. Уважайте, що всі кола лежать в одній площині.

    

    Відповідь

    7,5.
    З'єднаємо точки А та В з центром кола О і позначимо радіуси рівних кіл (так як кола, вписані, то вони знаходяться на проведених радіусах).

    

    За умовою О₁А=O₂B=2. Тоді ОО₁=ОО₂=8-2=6. Маємо подібні трикутники ОАВ та ОО₁О₂. З подібності трикутників випливає, що АВ:О₁О₂=ОА:ОО₁, тобто 10:О₁О₂=8:6. Звідси О₁О₂=10⋅6:8=60:8=7,5.

⇐V.7. Трапеція та її властивості

До змісту

⇒V.9. Площі фігур