Коло та круг

Коло та круг — це фундаментальні фігури планіметрії, властивості яких є основою для розв'язання величезної кількості задач НМТ. Розуміння взаємозв'язків між радіусами, хордами, дотичними та кутами дозволяє бачити логіку там, де на перший погляд здається лише нагромадження ліній. Особливу увагу варто приділити вписаним та центральним кутам, адже саме на їхніх властивостях базується більшість тестових завдань.

На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО, що стосуються довжини кола, площі круга та його частин. Ви навчитеся працювати з дугами, знаходити відстані між центрами кіл при їх дотику та використовувати метричні співвідношення в колі. Тут зібрано все: від базових визначень до складних комбінацій кіл із трикутниками та чотирикутниками.

---

Круг - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр круга) не перевищує заданого (радіус круга).
Коло - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр кола) дорівнює заданому (радіус кола). Коло є границею круга.
Властивості кола та круга:

• Хорда - відрізок, який сполучає дві точки кола.
• Діаметр - хорда, що проходить через центр кола. d=2R.
• Довжина кола: C=2πR.
• Площа круга: S=πR².
• Якщо два вписані кути спираються на одну хорду, то вони рівні.
• Вписаний кут вдвічі менше центрального кута, що спирається на ту ж хорду.
• Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то він прямий.
• Якщо АВ - дотична до кола (В - точка дотику), а С і D - точки перетину січної кола, що проведена з точки А, то АВ²=AC⋅AD.

Завдання. НМТ 2026 (демо). На колі вибрано точки A, B і C так, що ∠ACB = 30° (див. рисунок). Визначте довжину (см) цього кола, якщо довжина меншої дуги AB дорівнює 25 см.

150

300

250

200

360

Показати відповідь

А.
Так як вписаний кут АСВ дорівнює 30°, а вписаний кут дорівнює половині відповідного центрального кута, то центральний кут дорівнює 2 ⋅ 30° = 60°. Отже менша дуга АВ становить 60°. Так як все коло складає 360°, що в 6 разів більше за 60°, то і довжина кола буде в 6 разів більше довжини дуги АВ. Маємо l = 6 ⋅ 25 = 150 см.

1. НМТ 2023. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки.
   ІІ. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди.
   ІІІ. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.

   А	Б	В	Г	Д
   лише ІІ	лише І та ІІІ	лише ІІ та ІІІ	лише І та ІІ	І, ІІ та ІІІ

   Показати відповідь

   Г.
   1. Правильно.
   2. Правильно.
   3. Діаметри кола завжди мають спільну точку - центр кола. Не є правильним.
2. НМТ 2023. Точки А і В лежать на колі радіуса 16. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка АВ.

   А	Б	В	Г	Д
   4	8	16	32	64

   Показати відповідь

   Г.
   Якщо дві точки лежать на колі, то найбільша відстань між ними буде у тому випадку, якщо ці точки - кінці одного діаметру. Тоді AB = d = 2R = 2 ∙ 16 = 32.

---

3. Довжина кола дорівнює 16π см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом.

   А	Б	В	Г	Д
   128π см2	64π см2	32π см2	16π см2	8π см2

   Показати відповідь

   Б.
   Оскільки довжина кола знаходиться за формулою С=2πR, то R=C:2π=16π:2π=8. Площа круга S=πR²=π⋅8²=64π.
4. Точки А і В належать колу радіуса 10 см і ділять його на дві дуги, довжини яких відносяться як 3:2. Знайдіть довжину більшої дуги кола.

   А	Б	В	Г	Д
   20π см	12π см	8π см	6π см	4π см

   Показати відповідь

   Б.
   Оскільки довжина кола знаходиться за формулою С=2πR, то його довжина C=2π⋅10=20π. Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо дуги довжинами 3х та 2х. Разом маємо 5х, що дорівнює довжині кола. Отже 5х=20π, звідки х=4π. Більша дуга має довжину 3х, тобто 3⋅4π=12π.
5. Кола із центрами в точках О і О₁ мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань ОО₁, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

   

   А	Б	В	Г	Д
   1,5 см	2 см	3 см	4 см	8 см

   Показати відповідь

   Г.
   При внутрішньому дотику відстань між центрами кіл дорівнює різниці їх радіусів. Тому ОО₁=R₁-R₂=12-8=4 см.
6. На колі з центром О вибрано точки А та В (див. рисунок). Визначте градусну міру кута АОВ, якщо довжина дуги АВ становить \frac{1}{6}довжини цього кола.

   

   А	Б	В	Г	Д
   30o	45o	60o	75o	90o

   Показати відповідь

   В.
   Так як дуга складає шосту частину кола, то відповідний кут дорівнює шостій частині повного оберта, тобто 360^o:6=60^o.
7. Точки А, В, С і D лежать на колі. BD – діаметр цього кола (див. рисунок). Знайдіть величину кута ACD, якщо ∠ADB=35^o.

   

   А	Б	В	Г	Д
   35o	55o	60o	65o	70o

   Показати відповідь

   Б.
   Так як BD - діаметр, то кут BAD дорівнює 90^o як кут, що спирається на діаметр. Тоді в трикутнику ABD ∠B=180^o-∠A-∠D=180^o-90^o-35^o=55^o. Так як кути ABD і ACD спираються на одну хорду AD, то вони рівні. Тому ∠ACD=∠ABD=55^o.
8. На рисунку зображено ескіз емблеми фірми N. Емблема має форму кола, всередині якого розміщено 3 однакових півкола. Один кінець кожного півкола збігається з центром кола, інший кінець лежить на колі. Виготовлення емблеми (усіх її елементів), радіус якої дорівнює 2 м, потребує використання гнучкого матеріалу вартістю 100 грн за 1 м довжини. Укажіть серед наведених найменшу суму грошей, якої вистачить на придбання цього матеріалу для виготовлення емблеми. Вважайте, що місця з’єднання елементів емблеми, позначені на рисунку точками, не потребують додаткових витрат.

   

   А	Б	В	Г	Д
   3000 грн	2720 грн	2540 грн	2310 грн	2170 грн

   Показати відповідь

   Г.
   Маємо довжину кола емблеми С=2πR=2π⋅2=4π м. У внутрішній частині маємо, що діаметр кожного півкола співпадає з радіусом великого кола. Тому d=2, звідки r=d:2=2:2=1 м. Маємо довжину маленького кола емблеми С=2πr=2π⋅1=2π м. Тоді довжина півкола 2π:2=π м. Оскільки маємо 3 однакових півкола, то їх загальна довжина 3⋅π=3π м. Разом на одну емблему використовується 4π+3π=7π м. Тоді потрібно буде коштів 100⋅7π=700π≈700⋅3,14=2198 грн. Найближча достатня сума серед наведених 2310 грн.
9. На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола радіуса 2 м, усередині якого розміщено 6 однакових півкіл. Один кінець кожного півкола збігається із центром кола, інший кінець лежить на колі. Для виготовлення емблеми (з усіма елементами включно) потрібен гнучкий матеріал вартістю 200 грн за 1 м довжини. Укажіть з-поміж наведених сум грошей найменшу, якої достатньо, щоб придбати цей матеріал для виготовлення емблеми. Уважайте, що на з’єднання елементів емблеми не потрібно додаткових витрат матеріалу.

   

   А	Б	В	Г	Д
   4000 грн	5000 грн	6000 грн	7000 грн	8000 грн

   Показати відповідь

   Г.
   Маємо довжину кола емблеми С=2πR=2π⋅2=4π м. У внутрішній частині маємо, що діаметр кожного півкола співпадає з радіусом великого кола. Тому d=2, звідки r=d:2=2:2=1 м. Маємо довжину маленького кола емблеми С=2πr=2π⋅1=2π м. Тоді довжина півкола 2π:2=π м. Оскільки маємо 6 однакових півкола, то їх загальна довжина 6⋅π=6π м. Разом на одну емблему використовується 4π+6π=10π м. Тоді потрібно буде коштів 200⋅10π=2000π≈2000⋅3,14=6280 грн. Найближча достатня сума серед наведених 7000 грн.
10. На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівносторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках M і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну мірку кута MDN.

    

    А	Б	В	Г	Д
    15o	30o	45o	60o	120o

    Показати відповідь

    Б.
    Оскільки трикутник ОАВ рівносторонній, то кут О в ньому 60^o. Оскільки в колі центральний кут МОN та вписаний кут MDN спираються на одну хорду MN, а вписаний кут вдвічі менше відповідного центрального, то ∠MDN=∠MON:2=60^o:2=30^o.
11. У прямокутник ABCD вписано три круги одного й того самого радіуса (див. рисунок). Визначте довжину сторони ВС, якщо загальна площа кругів дорівнює 3π.

    

    А	Б	В	Г	Д
    2	3	6	9	18

    Показати відповідь

    В.
    Оскільки круги однакові, то площа одного з них 3π:3=π. Так як площа круга S=πR², то R=1. Оскільки круги вписані, то сторона ВС дорівнює трьом діаметрам вписаних кіл, або 6 радіусам. Тому ВС=6.
12. На рисунку зображено коло із центром у точці О. Хорди АВ і АС рівні, АК-діаметр, РМ — дотична до кола, проведена в точці С, ∠ВАС=80^o. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Градусна міра кута ОСМ дорівнює 2 Градусна міра кута АСР дорівнює 3 Градусна міра меншої дуги АВ дорівнює 4 Градусна міра меншої дуги КС дорівнює	А 50o Б 80o В 90o Г 100o Д 120o

    Показати відповідь

    1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б.
    1) Оскільки дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику, то кут ОСМ прямий.
    2) Оскільки АВ=АС, ВО=ОС, то трикутники АВО та АСО рівні, тому кути ВАО і САО рівні, а так як їх сума це кут ВАС (80^o), то кожен з них дорівнює 80^o:2=40^o. Так як АО=ОС (радіуси кола), то трикутник АОС рівнобедрений і в ньому кути А та С рівні. Отже кут ОСА дорівнює куту ОАС і дорівнює 40^o. ∠ACP=∠OCP-∠OCA=90^o-40^o=50^o.
    3) В трикутнику АОС ∠AOC=180^o-∠OAC-∠OCA=180^o-40^o-40^o=100^o. Отже дуга АС 100^o. Так як відрізки АВ і АС рівні, то дуги АВ і АС також рівні. Відповідно, менша дуга АВ дорівнює 100^o.
    4) Менша дуга КС доповнює меншу дугу АС до 180^o. Тому менша дуга КС дорівнює 180^o-100^o=80^o.
13. На рисунку зображено коло з центром у точці О, радіус якого дорівнює 6. Хорду ВС видно з центра кола під кутом 60^o, ВК — діаметр. Через точку А до кола проведено дотичну АВ, причому АО=2АВ. Установіть відповідність між відрізком (1-4) та його довжиною (А-Д).

    

    Відрізок	Довжина відрізка
    1 ВК 2 АВ 3 ВС 4 СК	А 6 Б 2\sqrt{3} В 12 Г 6\sqrt{3} Д 3\sqrt{3}

    Показати відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
    1) Оскільки ВК - діаметр, то ВК=2R=2⋅6=12.
    2) Оскільки АВ - дотична, то кут АВО - прямий (дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику. Тоді в прямокутному трикутнику АВО за теоремою Піфагора AO²=AB²+BO². Підставимо відоме значення ВО і замість АО рівне йому значення 2АВ. Маємо:
    (2AB)²=AB²+6²
    4AB²=AB²+36
    3AB²=36
    AB²=12.
    Звідси маємо, що АВ=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
    3) Оскільки ОВ=ОС (радіуси кола), то трикутник ОВС є рівнобедреним. Тоді кути В і С в ньому рівні, а оскільки їх сума дорівнює 180^o-60^o=120^o, то вони дорівнюють 60^o. Тоді трикутник ОВС рівносторонній і ВС=ОВ=6.
    4) Оскільки ВК - діаметр кола, то кут ВСК є прямим, як вписаний кут, що спирається на діаметр. Тоді в прямокутному трикутнику ВСК CK²=BK²-BC²=12²-6²=144-36=108. Тоді СК= \sqrt{108}=6\sqrt{3}.
14. У трикутнику АВС основа висоти АК лежить на продовженні сторони ВС (див. рисунок). АК=6, КВ=2\sqrt{3}. Радіус описаного навколо трикутника АВС кола дорівнює 15\sqrt{3}. Визначте довжину АС.

    

    Показати відповідь

    45.
    В прямокутному трикутнику АКВ tgB=AK:KB=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}. Тоді кут АВК=60^o. Оскільки кути АВК і АВС суміжні, то їх сума дорівнює 180^o. ∠ABC=180^o-∠ABK=180^o-60^o=120^o. Для радіуса кола, описаного навколо трикутника, є формула \frac{AC}{sinABC}=2R. Підставимо у цю формулу відомі значення і отримаємо:
    \frac{AC}{sin120^o}=2\cdot15\sqrt{3}
    AC=30\sqrt{3}sin120^o = 30\sqrt{3}sin(180^o-60^o) = 30\sqrt{3}sin60^o = 30\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15⋅3=45.
15. На рисунку зображено коло з центром в точці О, довжина якого дорівнює 64 см. Визначте довжину меншої дуги кола AB, якщо ∠АОВ=90^o.

    

    Показати відповідь

    16.
    Оскільки кут 90^o складає четверту частину повного оберту (360^o:90^o=4), то довжина меншої дуги AB кола складає четверту частину довжини дуги кола, тобто 64:4=16 см.
16. У прямокутник ABCD вписано два кола із центрами в точках О₁ та О₂, кожне з яких дотикається до трьох сторін прямокутника й одне до одного (див. рисунок). Сума довжин уписаних кіл дорівнює 16π.
    1. Визначте довжину відрізка О₁О₂.
    2. Обчисліть площу чотирикутника ВО₁О₂С.

    

    Показати відповідь

    8; 48.

    

    1. Маємо два однакових кола. Нехай їх радіус дорівнює х. Тоді довжина одного кола C=2πx, а двох кіл 4πx, що за умовою дорівнює 16π. Тоді з рівняння 4πx=16π маємо х=4. Так як кола дотикаються, то відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Маємо O₁O₂=4+4=8.
    2. Відрізок O₁O₂ паралельний ВС, тому ВО₁О₂С - трапеція. ЕТ=ЕО₁+О₁О₂+О₂Т=4+8+4=16. Тоді ВС=ЕТ=16. Висота трапеції О₁К=4. Маємо площу трапеції S=(ВС+O₁O₂)⋅O₁K:2=(16+8)⋅4:2=24⋅2=48.
17. На рисунку зображено прямокутник ABCD і кругові сектори КАМ та ВСР, що мають спільну точку О. Площа сектора ВСР дорівнює 9π см², АО=4 см.
    1. Визначте радіус сектора ВСР (у см).
    2. Обчисліть площу прямокутника ABCD (у см²).

    

    Показати відповідь

    6; 48.
    1. Оскільки сектор ВСР складає четверту частину кола радіуса ВС, то площа такого кола дорівнює 9π⋅4=36π см². Так як площа кола знаходиться за формулою S=πR², то радіус ВС кола, а відповідно сектора ВСР дорівнює 6 см.
    2. Так як сектори дотикаються, то АС=АО+ОС=4+6=10 см (СО є радіусом сектора ВСР). Тоді в прямокутному трикутнику АВС за теоремою Піфагора AB²=AC²-BC²=10²-6²=100-36=64. Отже АВ=8 см і площа прямокутника ABCD S=AB⋅BC=8⋅6=48 см².
18. Два кола, радіус кожного з яких дорівнює 2 см, дотикаються зсередини до кола радіусом 8 см у точках А і В відповідно (див. рисунок). Визначте відстань (у см) між центрами цих рівних кіл, якщо АВ=10 см. Уважайте, що всі кола лежать в одній площині.

    

    Показати відповідь

    7,5.
    З'єднаємо точки А та В з центром кола О і позначимо радіуси рівних кіл (так як кола, вписані, то вони знаходяться на проведених радіусах).

    

    За умовою О₁А=O₂B=2. Тоді ОО₁=ОО₂=8-2=6. Маємо подібні трикутники ОАВ та ОО₁О₂. З подібності трикутників випливає, що АВ:О₁О₂=ОА:ОО₁, тобто 10:О₁О₂=8:6. Звідси О₁О₂=10⋅6:8=60:8=7,5.

⇐V.7. Трапеція та її властивості

До змісту

⇒V.9. Площі фігур