Перейти до основного вмісту

Коло та круг

    Круг - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр круга) не перевищує заданого (радіус круга).
    Коло - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр кола) дорівнює заданому (радіус кола). Коло є границею круга.
    Властивості кола та круга:
    • Хорда - відрізок, який сполучає дві точки кола.
    • Діаметр - хорда, що проходить через центр кола. d=2R.
    • Довжина кола: C=2πR.
    • Площа круга: S=πR2.
    • Якщо два вписані кути спираються на одну хорду, то вони рівні.
    • Вписаний кут вдвічі менше центрального кута, що спирається на ту ж хорду.
    • Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то він прямий.
    • Якщо АВ - дотична до кола (В - точка дотику), а С і D - точки перетину січної кола, що проведена з точки А, то АВ2=AC⋅AD.
  1. НМТ 2023. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки.
    ІІ. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди.
    ІІІ. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.
    АБВГД
    лише ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Г.
  2. НМТ 2023. Точки А і В лежать на колі радіуса 16. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка АВ.
    АБВГД
    4 8 16 32 64
    Показати відповідь
    Г.
  3. Довжина кола дорівнює 16π см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом.
    АБВГД
    128π см2 64π см2 32π см2 16π см2 8π см2
    Показати відповідь
    Б.
    Спочатку знайти радіус.
  4. Точки А і В належать колу радіуса 10 см і ділять його на дві дуги, довжини яких відносяться як 3:2. Знайдіть довжину більшої дуги кола.
    АБВГД
    20π см 12π см 8π см 6π см 4π см
    Показати відповідь
    Б.
  5. Кола із центрами в точках О і О1 мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань ОО1, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

    АБВГД
    1,5 см 2 см 3 см 4 см 8 см
    Показати відповідь
    Г.
  6. На колі з центром О вибрано точки А та В (див. рисунок). Визначте градусну міру кута АОВ, якщо довжина дуги АВ становить довжини цього кола.

    АБВГД
    30o 45o 60o 75o 90o
    Показати відповідь
    В.
  7. Точки А, В, С і D лежать на колі. BD – діаметр цього кола (див. рисунок). Знайдіть величину кута ACD, якщо ∠ADB=35o.

    АБВГД
    35o 55o 60o 65o 70o
    Показати відповідь
    Б.
    Застосувати властивість кутів, що спираються на одну хорду.
  8. На рисунку зображено ескіз емблеми фірми N. Емблема має форму кола, всередині якого розміщено 3 однакових півкола. Один кінець кожного півкола збігається з центром кола, інший кінець лежить на колі. Виготовлення емблеми (усіх її елементів), радіус якої дорівнює 2 м, потребує використання гнучкого матеріалу вартістю 100 грн за 1 м довжини. Укажіть серед наведених найменшу суму грошей, якої вистачить на придбання цього матеріалу для виготовлення емблеми. Вважайте, що місця з’єднання елементів емблеми, позначені на рисунку точками, не потребують додаткових витрат.

    АБВГД
    3000 грн 2720 грн 2540 грн 2310 грн 2170 грн
    Показати відповідь
    Г.
  9. На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола радіуса 2 м, усередині якого розміщено 6 однакових півкіл. Один кінець кожного півкола збігається із центром кола, інший кінець лежить на колі. Для виготовлення емблеми (з усіма елементами включно) потрібен гнучкий матеріал вартістю 200 грн за 1 м довжини. Укажіть з-поміж наведених сум грошей найменшу, якої достатньо, щоб придбати цей матеріал для виготовлення емблеми. Уважайте, що на з’єднання елементів емблеми не потрібно додаткових витрат матеріалу.

    АБВГД
    4000 грн 5000 грн 6000 грн 7000 грн 8000 грн
    Показати відповідь
    Г.
  10. На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівносторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках M і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну мірку кута MDN.

    АБВГД
    15o 30o 45o 60o 120o
    Показати відповідь
    Б.
  11. У прямокутник ABCD вписано три круги одного й того самого радіуса (див. рисунок). Визначте довжину сторони ВС, якщо загальна площа кругів дорівнює 3π.

    АБВГД
    2 3 6 9 18
    Показати відповідь
    В.
  12. На рисунку зображено коло із центром у точці О. Хорди АВ і АС рівні, АК-діаметр, РМ — дотична до кола, проведена в точці С, ∠ВАС=80o. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Градусна міра кута ОСМ дорівнює
    2 Градусна міра кута АСР дорівнює
    3 Градусна міра меншої дуги АВ дорівнює
    4 Градусна міра меншої дуги КС дорівнює     		А 50o
    Б 80o
    В 90o
    Г 100o
    Д 120o
    Показати відповідь
    1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б.
  13. На рисунку зображено коло з центром у точці О, радіус якого дорівнює 6. Хорду ВС видно з центра кола під кутом 60o, ВК — діаметр. Через точку А до кола проведено дотичну АВ, причому АО=2АВ. Установіть відповідність між відрізком (1-4) та його довжиною (А-Д).

    Відрізок Довжина відрізка
    1 ВК
    2 АВ
    3 ВС
    4 СК    		 А 6
    Б 2
    В 12
    Г 6
    Д 3
    Показати відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
  14. У трикутнику АВС основа висоти АК лежить на продовженні сторони ВС (див. рисунок). АК=6, КВ=2. Радіус описаного навколо трикутника АВС кола дорівнює 15. Визначте довжину АС.

    Показати відповідь
    45.
    Спочатку знайти кут АВК, потім застосувати формулу радіуса кола, описаного навколо трикутника.
  15. На рисунку зображено коло з центром в точці О, довжина якого дорівнює 64 см. Визначте довжину меншої дуги кола AB, якщо ∠АОВ=90o.

    Показати відповідь
    16.
  16. У прямокутник ABCD вписано два кола із центрами в точках О1 та О2, кожне з яких дотикається до трьох сторін прямокутника й одне до одного (див. рисунок). Сума довжин уписаних кіл дорівнює 16π.
    1. Визначте довжину відрізка О1О2.
    2. Обчисліть площу чотирикутника ВО1О2С.

    Показати відповідь
    8; 48.
  17. На рисунку зображено прямокутник ABCD і кругові сектори КАМ та ВСР, що мають спільну точку О. Площа сектора ВСР дорівнює 9π см2, АО=4 см.
    1. Визначте радіус сектора ВСР (у см).
    2. Обчисліть площу прямокутника ABCD (у см2).

    Показати відповідь
    6; 48.
  18. Два кола, радіус кожного з яких дорівнює 2 см, дотикаються зсередини до кола радіусом 8 см у точках А і В відповідно (див. рисунок). Визначте відстань (у см) між центрами цих рівних кіл, якщо АВ=10 см. Уважайте, що всі кола лежать в одній площині.

    Показати відповідь
    7,5.
⇐V.7.
Трапеція та її властивості		 До змісту ⇒V.9.
Площі фігур

Коментарі

Анонім каже…
В 7.5 хіба не O1O2=AB-(AO1+BO2)?
11 березня 2023 р. о 11:32
Сергій та Галина Сичови каже…
Ні. O1O2=AB-(AO1+BO2) лише у тому випадку, коли всі 4 точки А, В, О1, О2 належать одній прямій
13 березня 2023 р. о 08:31
Дописати коментар

Популярні публікації

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Тригонометричні вирази

Функція 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o sin 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 1 не існує 0 не існує сtg не існує 1 0 не існує 0 Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими: sin 2 α+cos 2 α = 1 tgαctgα = 1 1+tg 2 α = 1+ctg 2 α = tgα = ctgα = Тригонометричні функції суми кутів: sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ tg(α+β) = tg(α-β) = Формули зведення: 1. Визначити знак функції для даного кута. Функція (0,90 o ) (90 o ,180 o ) (180 o ,270 o ) (270 o ,360 o ) sin + + - - cos + - - + tg,ctg + - + - 2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію ...
Дописати коментар
Read more »