Коло та круг

    Круг - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр круга) не перевищує заданого (радіус круга).
    Коло - геометричне місце точок, відстань від яких до заданої (центр кола) дорівнює заданому (радіус кола). Коло є границею круга.
    Властивості кола та круга:
    • Хорда - відрізок, який сполучає дві точки кола.
    • Діаметр - хорда, що проходить через центр кола. d=2R.
    • Довжина кола: C=2πR.
    • Площа круга: S=πR2.
    • Якщо два вписані кути спираються на одну хорду, то вони рівні.
    • Вписаний кут вдвічі менше центрального кута, що спирається на ту ж хорду.
    • Якщо вписаний кут спирається на діаметр, то він прямий.
    • Якщо АВ - дотична до кола (В - точка дотику), а С і D - точки перетину січної кола, що проведена з точки А, то АВ2=AC⋅AD.
  1. НМТ 2023. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Пряма, що проходить через центр кола і лежить із цим колом в одній площині, має з ним дві спільні точки.
    ІІ. Діаметр кола, перпендикулярний до його хорди, проходить через середину цієї хорди.
    ІІІ. Можна провести два діаметри кола, що не мають жодної спільної точки.
    АБВГД
    лише ІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ
    Відповідь
    Г.
    2. Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 40 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "5.8. Коло та круг". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.
    Зразок
  2. НМТ 2023. Точки А і В лежать на колі радіуса 16. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка АВ.
    АБВГД
    4 8 16 32 64
    Відповідь
    Г.
  3. Довжина кола дорівнює 16π см. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом.
    АБВГД
    128π см2 64π см2 32π см2 16π см2 8π см2
    Відповідь
    Б.
    Спочатку знайти радіус.
  4. Точки А і В належать колу радіуса 10 см і ділять його на дві дуги, довжини яких відносяться як 3:2. Знайдіть довжину більшої дуги кола.
    АБВГД
    20π см 12π см 8π см 6π см 4π см
    Відповідь
    Б.
  5. Кола із центрами в точках О і О1 мають внутрішній дотик (див. рисунок). Обчисліть відстань ОО1, якщо радіуси кіл дорівнюють 12 см і 8 см.

    АБВГД
    1,5 см 2 см 3 см 4 см 8 см
    Відповідь
    Г.
  6. На колі з центром О вибрано точки А та В (див. рисунок). Визначте градусну міру кута АОВ, якщо довжина дуги АВ становить довжини цього кола.

    АБВГД
    30o 45o 60o 75o 90o
    Відповідь
    В.
  7. Точки А, В, С і D лежать на колі. BD – діаметр цього кола (див. рисунок). Знайдіть величину кута ACD, якщо ∠ADB=35o.

    АБВГД
    35o 55o 60o 65o 70o
    Відповідь
    Б.
    Застосувати властивість кутів, що спираються на одну хорду.
  8. На рисунку зображено ескіз емблеми фірми N. Емблема має форму кола, всередині якого розміщено 3 однакових півкола. Один кінець кожного півкола збігається з центром кола, інший кінець лежить на колі. Виготовлення емблеми (усіх її елементів), радіус якої дорівнює 2 м, потребує використання гнучкого матеріалу вартістю 100 грн за 1 м довжини. Укажіть серед наведених найменшу суму грошей, якої вистачить на придбання цього матеріалу для виготовлення емблеми. Вважайте, що місця з’єднання елементів емблеми, позначені на рисунку точками, не потребують додаткових витрат.

    АБВГД
    3000 грн 2720 грн 2540 грн 2310 грн 2170 грн
    Відповідь
    Г.
  9. На рисунку зображено ескіз емблеми. Емблема має форму кола радіуса 2 м, усередині якого розміщено 6 однакових півкіл. Один кінець кожного півкола збігається із центром кола, інший кінець лежить на колі. Для виготовлення емблеми (з усіма елементами включно) потрібен гнучкий матеріал вартістю 200 грн за 1 м довжини. Укажіть з-поміж наведених сум грошей найменшу, якої достатньо, щоб придбати цей матеріал для виготовлення емблеми. Уважайте, що на з’єднання елементів емблеми не потрібно додаткових витрат матеріалу.

    АБВГД
    4000 грн 5000 грн 6000 грн 7000 грн 8000 грн
    Відповідь
    Г.
  10. На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівносторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках M і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну мірку кута MDN.

    АБВГД
    15o 30o 45o 60o 120o
    Відповідь
    Б.
  11. У прямокутник ABCD вписано три круги одного й того самого радіуса (див. рисунок). Визначте довжину сторони ВС, якщо загальна площа кругів дорівнює 3π.

    АБВГД
    2 3 6 9 18
    Відповідь
    В.
  12. На рисунку зображено коло із центром у точці О. Хорди АВ і АС рівні, АК-діаметр, РМ — дотична до кола, проведена в точці С, ∠ВАС=80o. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Градусна міра кута ОСМ дорівнює
    2 Градусна міра кута АСР дорівнює
    3 Градусна міра меншої дуги АВ дорівнює
    4 Градусна міра меншої дуги КС дорівнює     		А 50o
    Б 80o
    В 90o
    Г 100o
    Д 120o
    Відповідь
    1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б.
  13. На рисунку зображено коло з центром у точці О, радіус якого дорівнює 6. Хорду ВС видно з центра кола під кутом 60o, ВК — діаметр. Через точку А до кола проведено дотичну АВ, причому АО=2АВ. Установіть відповідність між відрізком (1-4) та його довжиною (А-Д).

    Відрізок Довжина відрізка
    1 ВК
    2 АВ
    3 ВС
    4 СК    		 А 6
    Б 2
    В 12
    Г 6
    Д 3
    Відповідь
    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
  14. У трикутнику АВС основа висоти АК лежить на продовженні сторони ВС (див. рисунок). АК=6, КВ=2. Радіус описаного навколо трикутника АВС кола дорівнює 15. Визначте довжину АС.

    Відповідь
    45.
    Спочатку знайти кут АВК, потім застосувати формулу радіуса кола, описаного навколо трикутника.
  15. На рисунку зображено коло з центром в точці О, довжина якого дорівнює 64 см. Визначте довжину меншої дуги кола AB, якщо ∠АОВ=90o.

    Відповідь
    16.
  16. У прямокутник ABCD вписано два кола із центрами в точках О1 та О2, кожне з яких дотикається до трьох сторін прямокутника й одне до одного (див. рисунок). Сума довжин уписаних кіл дорівнює 16π.
    1. Визначте довжину відрізка О1О2.
    2. Обчисліть площу чотирикутника ВО1О2С.

    Відповідь
    8; 48.
  17. На рисунку зображено прямокутник ABCD і кругові сектори КАМ та ВСР, що мають спільну точку О. Площа сектора ВСР дорівнює 9π см2, АО=4 см.
    1. Визначте радіус сектора ВСР (у см).
    2. Обчисліть площу прямокутника ABCD (у см2).

    Відповідь
    6; 48.
  18. Два кола, радіус кожного з яких дорівнює 2 см, дотикаються зсередини до кола радіусом 8 см у точках А і В відповідно (див. рисунок). Визначте відстань (у см) між центрами цих рівних кіл, якщо АВ=10 см. Уважайте, що всі кола лежать в одній площині.

    Відповідь
    7,5.
⇐V.7.
Трапеція та її властивості		 До змісту ⇒V.9.
Площі фігур
Мітки:

2 коментарі:

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)