Площі фігур

Площі фігур — це одна з центральних тем планіметрії, яка вимагає не лише знання формул, а й уміння бачити приховані зв'язки між елементами фігур. Розуміння того, як площа залежить від висот, кутів та радіусів описаних і вписаних кіл, дозволяє розв'язувати найскладніші задачі НМТ, де декілька фігур комбінуються в одну систему.

На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви навчитеся застосовувати формулу Герона, знаходити площі через діагоналі та використовувати властивості подібних фігур. Тут зібрано все: від базових трикутників до складних комбінацій прямокутників із секторами та колами.

---

Площі фігур
Площа трикутника:

• S = ½absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними)
• S = ½ahₐ (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
• S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p = (a + b + c):2 (Формула Герона)
• S = \frac{abc}{4R} (R-радіус описаного кола)
• S = pr (r-радіус вписаного кола)

Площа паралелограма:

• S = absinα (Площа паралелограма дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
• S = ahₐ (Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
• S = ½d₁d₂sinφ (Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними)

Площа ромба:

• S = absinα (Площа ромба дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
• S = ahₐ (Площа ромба дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
• S = ½d₁d₂ (Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей)

Площа прямокутника:

• S = ab (Площа прямокутника дорівнює добутку сусідніх сторін)

Площа квадрата:

• S = a²(Площа квадрата дорівнює квадрату сторони)

Площа трапеції:

• S = \frac{a + b}{2}\cdot{h} (Площа трапеції дорівнює добутку половині суми основ на висоту)

Площі подібних фігур:

• S₁:S₂ = k² (Площа подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності)

Завдання 1. На стороні AD паралелограма ABCD вибрано точку K так, що AK : KD = 3 : 2, BK = CD (див. рисунок). Визначте площу паралелограма ABCD, якщо ∠AKB = α, BC = 20.

\frac{120}{tg\alpha}

120tgα

160sinα

60cosα

\frac{60}{tg\alpha}

Показати відповідь

Б.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АК = 3х, KD = 2x. AD = АК + KD = 3x + 2x = 5x. Так як ABCD - паралелограм, то AD = BC = 20. Звідси 5х = 20 і х = 20:5 = 4. АК = 3∙4 = 12. Проведемо висоту ВМ. Так як АВСD - паралелограм, то АВ = CD = ВК. Тоді ∆АВК є рівнобедреним і висота ВМ є медіаною. Тоді МК = АК:2 = 12:2 = 6 см. З прямокутного ∆ВКМ tgα = ВМ:МК, звідси ВМ = МКtgα = 6tgα. SABCD = AD∙BM = 20 ∙ 6tgα = 120tgα.

Завдання 2. Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями - 60° (див. рисунок). Визначте площу (см²) прямокутника.

8\sqrt{3}

16

16\sqrt{3}

32

32\sqrt{3}

Показати відповідь

В.
Так як діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, то ОВ = ОА і ∆АОВ рівнобедрений. В ∆АОВ ∠А + ∠В = 180°-∠О = 180°-60° = 120°. Так як трикутник рівнобедрений, то ∠А = ∠В = 120°:2 = 60°. Тоді ∆АОВ рівносторонній і АО = АВ = 4 см. АС = 2АО = 2∙4 = 8 см. З прямокутного ∆АСВ за теоремою Піфагора ВС² = АС²-АВ² = 8²-4² = 64-16 = 48. ВС = √48 = √16∙3 = 4√3 см. S_ABCD = AВ ∙ BС = 4 ∙ 4√3 = 16√3 см².

Завдання 3. У паралелограмі ABCD ∠A = 30°, бічна сторона АВ = 12 см. Сторона AD втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см²) цього паралелограма.

54

54\sqrt{3}

108

108\sqrt{3}

216

Показати відповідь

В.
В прямокутному ∆АВК катет ВК лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АВ. ВК = АВ : 2 = 12 : 2 = 6 см. Тоді за умовою AD = 3BK = 3 ∙ 6 = 18 см. S_ABCD = AD ∙ BK = 18 ∙ 6 = 108 см².

---

Завдання 4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС в точці K. Обчисліть площу чотирикутника AKCD, якщо ВK = KС = 8 см.

48 см²

72 см²

96 см²

128 см²

192 см²

Показати відповідь

В Так як АК-бісектриса, то кути ВАК та DAK рівні. Кути ВКА та DAK рівні як внутрішні різносторонні при січній АК. Тоді кути ВАК та ВКА також рівні. Отже, трикутник ВАК є рівнобедреним і ВА = ВК = 8 см.
Чотирикутник AKCD є трапецією, в якій основи КС = 8 см, AD = BC = BK + KC = 8 + 8 = 16 см, висота CD = BA = 8 см. За формулою площі трапеції S_AKCD = (KC + AD) · CD:2 = (8 + 16) · 8:2 = 24 · 4 = 96 см².

Завдання 5. Екрани телевізорів, зображених на рис.1 і 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно 32 дюйма і 48 дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис.1.

в 1,5 рази

у 16 разів

у 2,56 рази

у 4 рази

у 2,25 рази

Показати відповідь

Д.
Маємо подібні фігури з коефіцієнтом подібності 48:32 = 1,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто 1,5² = 2,25.

Завдання 6. У трикутнику АВС точка М — середина сторони ВС, АС = 24 см (див. рисунок). Знайдіть відстань d від точки М до сторони АС, якщо площа трикутника АВС дорівнює 96 см².

2 см

3 см

4 см

6 см

8 см

Показати відповідь

В. Проведемо висоту трикутника ВО. Оскільки М середина ВС і МР паралельний ВО, то МР - середня лінія трикутника ОВС. Тоді ВО = 2МР = 2d. Площа трикутника АВС знаходиться за формулою S = 0,5AC · BO. Підставимо відомі значення і отримаємо 96 = 0,5 · 24 · BO, звідки ВО = 96:12 = 8 см. Так як ВО = 2d, то d = АВ:2 = 8:2 = 4 см.

Завдання 7. На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см². Точка М належить стороні ВС. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

45 см²

40 см²

35 см²

30 см²

20 см²

Показати відповідь

Г.
Площа паралелограма ABCD S = AD · h_AD = 60 см². Площа трикутника AMD S = ½AD · h_AD = ½ · 60 = 30 см² (висоти паралелограма та трикутника, проведені до сторони AD, рівні). Площа двох зафарбованих трикутників доповнює площу трикутника AMD до площі паралелограма ABCD. Тому їх площа дорівнює 60-30 = 30 см².

Завдання 8. Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м і утворює з його діагоналлю кут 60°. Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.

64\sqrt{3} м²

128\sqrt{3} м²

128 м²

256 м²

256\sqrt{3} м²

Показати відповідь

Б. З прямокутного трикутника ACD AD = CDtg60° = 16\sqrt{3}. Тоді площа прямокутника ABCD S = AD · CD = 16\sqrt{3} · 16 = 256\sqrt{3}. Так як K і L середини АВ і ВС, то KB = 16:2 = 8, BL = 16\sqrt{3}:2 = 8\sqrt{3}. Тоді площа прямокутного трикутника KBL S = ½KB · BL = ½ · 8 · 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}. Так як трикутники KBL, LCM, NDM, NAK рівні, то вони мають однакові площі. Тоді їх загальна площа 4\cdot32\sqrt{3} = 128\sqrt{3}. Ці трикутники доповнюють площу чотирикутника KLMN до площі прямокутника ABCD і площа чотирикутника KLMN дорівнює 256\sqrt{3}-128\sqrt{3} = 128\sqrt{3}.

Завдання 9. У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см². Обчисліть площу прямокутника ABCD.

24 см²

30 см²

36 см²

42 см²

48 см²

Показати відповідь

Д. Так як трикутники КОМ і РОТ рівні, то площа фігури, що складається з зафарбованих трикутників дорівнює площі трикутника DOC. Трикутники АОВ і DOC рівні, тому рівні і їх площі. Оскільки синуси суміжних кутів рівні, АО = ОС, сторона DO у трикутників AOD і COD спільна, то площі цих трикутників також рівні. Отже, діагоналі прямокутника розбивають його на 4 трикутника, площі яких рівні і площа всього прямокутника S = 4 · 12 = 48 см².

Завдання 10. На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1 Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на
2 Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на
3 Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на

А рис. 1
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5

Показати відповідь

1-А, 2-Б, 3-Д.
1) Так як у паралелограма на рис. 1 сусідні сторони рівні, то він є ромбом. У ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом.
2) У паралелограма на рис. 2 висота - катет, що дорівнює половині гіпотенузи, тому він лежить напроти кута в 30°.
3) Площа паралелограма на рис. 5 S = 8 · 2 = 16.

Завдання 11. Квадрат ABCD й прямокутна трапеція BMNC лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює 36 см², АМ = 15 см. Установіть відповідність між відрізком (1-3) і його довжиною (А-Д).

1 сторона квадрата ABCD
2 висота трапеції BMNC
3 менша основа трапеції BMNC

А 2 см
Б 3 см
В 4 см
Г 6 см
Д 9 см

Показати відповідь

1-Г, 2-Д, 3-А.
1) Так як площа квадрата S = R², то АВ² = 36, звідки АВ = 6 см.
2) МВ = АМ-АВ = 15-6 = 9 см.
3) Площа трапеції BMNC S = \frac{MN + BC}{2}\cdot{MB}. Маємо рівняння
\frac{MN + 6}{2}\cdot9 = 36
\frac{MN + 6}{2} = 4
MN + 6 = 8
MN = 2 см.

Завдання 12. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).

1 круг радіуса 4 см (рис. 1)
2 півкруг радіуса 6 см (рис. 2)
3 сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30° (рис. 3)
4 кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)

А 12π см²
Б 16π см²
В 18π см²
Г 20π см²
Д 24π см²

Показати відповідь

1-Б, 2-В, 3-А, 4-Г.
1) S = πR² = π · 4² = 16π.
2) S = 0,5πR² = 0,5π · 6² = 0,5 · 36π = 18π.
3) S = πR² · α:360° = π · 12² · 30°:360° = π · 12²:12 = 12π.
4) S = πR²-πr² = π · 6²-π · 4² = 36π-16π = 20π.

Завдання 13. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).

1ромб зі стороною 6 см і тупим кутом 120°
2 квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
3 паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
4 прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут 30°

А 12 см²
Б 16 см²
В 18 см²
Г 12\sqrt{3} см²
Д 18\sqrt{3} см²

Показати відповідь

1-Д, 2-Б, 3-В, 4-Г.
1) S = 6 · 6 · sin120° = 36 · sin(180°-60°) = 36sin60° = 36 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} см².
2) d = 2r = 4 см. Тоді сторона квадрата також 4 см і S = 4² = 16 см²
3) За теоремою Піфагора маємо в прямокутному трикутнику катет, що є висотою паралелограма 3 см. Тоді, так як сторона паралелограма дорівнює 4 + 2 = 6 см, то площа S = 6 · 3 = 18 см².
4) В прямокутному трикутнику невідомий катет, що є стороною прямокутника, дорівнює 6tg30° = 6 · \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}. Тоді площа прямокутника S = 6 · 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}.

Завдання 14. На рисунку зображено прямокутник ABCD й сектор KAD, у якому ∠KAD = 90°. Площа сектора KAD дорівнює 100π см². Дуга KAD перетинає сторону ВС в точці М, причому ВМ = 16 см. 1. Визначте довжину (у см) сторони AD.
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.

Показати відповідь

20; 240.
1. Так як сектор KAD складає четверту частину кола з радіусом AD, то площа цього кола дорівнює 4 · 100π = 400π см². Так як площа цього кола S = πAD², то маємо рівняння πAD² = 400π, звідки AD = 20 см.
2. В прямокутному трикутнику АВМ АМ = AD = 20 см. Тоді з прямокутного трикутника АВМ за теоремою Піфагора маємо:
АМ² = АВ² + ВM²
20² = АВ² + 16²
400 = АВ² + 256
АВ² = 400-256
АВ² = 144
АВ = 12 (см)
Площа прямокутника ABCD S = АВ · AD = 12 · 20 = 240 см².

Завдання 15. На рисунку зображено прямокутник ABCD й коло, яке дотикається до сторони АВ й сторін ВС й AD в точках М і К відповідно. Периметр чотирикутника АВМК дорівнює 24 см, а довжина відрізка КС — 17 см. 1. Визначте радіус (у см) кола.
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.

Показати відповідь

4; 152.
1. Нехай радіус кола дорівнює х см. Тоді МК = 2х, а ВМ = х. Периметр чотирикутника АВМК Р = 2(ВМ + МК) = 2(х + 2х) = 6х, що дорівнює 24 см за умовою. Тому 6х = 24, звідки х = 24:6 = 4 см.
2. МК = 2х = 2 · 4 = 8 см. З прямокутного трикутника КМС за теоремою Піфагора маємо:
KC² = KM² + MC²
17² = 8² + MC²
289 = 64 + MC²
MC² = 289-64
MC² = 225
MC = 15 (см)
ВМ = 4 см. Тоді ВС = ВМ + МС = 4 + 15 = 19 см. АВ = МК = 8 см. Площа прямокутника ABCD S = АВ · ВС = 8 · 19 = 152 см².

Завдання 16. На папері в клітинку зображено трикутник АВС (див. рисунок). Вважайте, що кожна клітинка — квадрат зі стороною завдовжки 1 см. Знайдіть площу трикутника АВС.

Показати відповідь

7,5.
За клітинками маємо основу трикутника 5 клітинок, тобто 5 см, висота, проведена до цієї сторони - 3 клітинки, тобто 3 см. Площа трикутника S = 0,5 · 5 · 3 = 0,5 · 15 = 7,5 см.

Завдання 17. На рисунку зображено прямокутник ABCD та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці О₁ дотикається сторін АВ, ВС та AD, а коло із центром у точці О₂ проходить через вершини С та D. Відстані від точки О₂ до вершини С та сторони CD дорівнюють 20 см та 12 см відповідно. 1. Визначте радіус меншого кола (у см).
2. Обчисліть площу трикутника DО₁C (у см²).

Показати відповідь

16; 768. Проведемо перпендикуляр О₂К до CD. Тоді О₂К є відстанню від точки О₂ до CD і дорівнює 12 см за умовою. З прямокутного трикутника О₂КС за теоремою Піфагора СК² = О₂C²-О₂K² = 20²-12² = 400-144 = 256. Тоді СК = 16 см. Так як О₂C і О₂D - радіуси кола, то трикутник О₂CD є рівнобедреним і в ньому висота О₂К є медіаною. Тоді CD = 2CK = 2 · 16 = 32 см. Так як менше коло дотикається сторін BC та AD, то діаметр цього кола дорівнює стороні CD і дорівнює 32 см. Тоді радіус кола R = d:2 = 32:2 = 16 см.
2. Проведемо перпендикуляр О₁К₁ до CD. Так як точка О₁ рівновіддалена від C і D, то трикутник О₁CD є рівнобедреним і в ньому висота О₁К₁ є медіаною. Таким чином точки К і К₁ співпадають. Отже, точки О₁, О₂ і К лежать на одній прямій. Так як кола дотикаються зовнішнім дотиком, то відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Отже О₁О₂ = 16 + 20 = 36 см. Висота О₁К трикутника дорівнює О₁О₂ + О₂К = 36 + 12 = 48 см. Площа трикутника DО₁C S = 0,5CD · О₁К = 0,5 · 32 · 48 = 768 см².

Завдання 18. На рисунку зображено прямокутник ABCD та півколо з центром О. AD – діаметр півкола. ВК:КМ = 1:3, АВ = 4 см. 1. Визначте радіус півкола (у см).
2. Обчисліть площу трикутника КОМ (у см²).

Показати відповідь

5; 12. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х, тоді ВК = х, КМ = 3х. Проведемо перпендикуляр ОТ до КМ. Так як ОК і ОМ - радіуси, то трикутник КМО рівнобедрений і перпендикуляр ОТ є медіаною. Тоді КТ = КМ:2 = 3х:2 = 1,5х. ВТ = ВК + КТ = х + 1,5х = 2,5х. Так як АВТО - прямокутник, то АО = ВТ = 2,5х, ОТ = АВ = 4 см.
1. О -центр кола, тому ОК і ОА - радіуси кола і ОК = ОА = 2,5х. З прямокутного трикутника ОКТ за теоремою Піфагора OK² = KT² + OT². Підставимо відомі значення і отримуємо рівняння:
(2,5x)² = (1,5x)² + 4²
6,25x² = 2,25x² + 16
6,25x²-2,25x² = 16
4x² = 16
x² = 4
x = ±2
Так як довжина сторін додатне число, то залишаємо х = 2 і тоді R = OK = 2,5 · 2 = 5 см.
2. КМ = 3 · 2 = 6 см і за формулою площі трикутника S = 0,5KM · TO = 0,5 · 6 · 4 = 12 см².

Завдання 19. На стороні AD паралелограма ABCD як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони ВС в точці М. Довжина дуги MD дорівнює 6,5π см.
1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього кола.
2. Обчисліть площу паралелограма ABCD (у см²).

Показати відповідь

13; 338. Оскільки ВС- дотична до кола, то кут ОМС прямий (дотична перпендикулярна до кола, проведеного в точку дотику). Тоді кут МОD також прямий. Тому дуга MD є четвертою частиною кола і довжина всього кола дорівнює 6,5π · 4 = 26π см. Оскільки довжина кола шукається за формулою C = 2πR, то R = 26π:2π = 13 см.
2. Так як AO = OD = OM = 13, то AD = 13 + 13 = 26. Площа паралелограма S = AD · MO = 26 · 13 = 338 см².

Завдання 20. План паркової зони, обмеженої трикутником АВС, зображено на рисунку. Дуга АВ — велосипедна доріжка. Відомо, що дуга АВ є четвертою частиною кола радіуса 1,8 км. СА і СВ — дотичні до цього кола (А і В — точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км²).

Показати відповідь

1,62. Оскільки АС і СВ дотичні до кола, то вони перпендикулярні до радіусів ОА та ОВ, проведених в точку дотику. Так як дуга АВ є четвертою частиною кола, то кут АОВ - прямий. Тоді, враховуючи, що ОА = ОВ, ОВСА - квадрат зі стороною 1,8 км. Тоді АС = СВ = 1,8 км і площа паркової зони S = 0,5AC · CB = 0,5 · 1,8 · 1,8 = 0,5 · 3,24 = 1,62 км².

Завдання 21. У прямокутнику ABCD: АВ = 6 см, ВС = 8 см, K і L – середини сторін ВС і СD відповідно (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника AKL (у см²).

Показати відповідь

18.
S_ABCD = AB · BC = 6 · 8 = 48 см². Так як К - середина ВС, то ВК = КС = ВС:2 = 8:2 = 4 см. Площа трикутника АВК S_ABK = 0,5AB · BK = 0,5 · 6 · 4 = 12 см². Так як L - середина СD, то CL = LD = CD:2 = 6:2 = 3 см. Площа трикутника KCL S_KCL = 0,5KC · CL = 0,5 · 4 · 3 = 6 см². Площа трикутника ADL S_ADL = 0,5AD · DL = 0,5 · 8 · 3 = 12 см². S_AKL = S_ABCD-S_ABK-S_KCL-S_ADL = 48-12-6-12 = 18 см².

Завдання 22. На рисунку зображено квадрат ABCD. Точки K, L, M належать сторонам ВС, CD та AD відповідно, BK = 8 см. Трикутники KCL та LDM рівні, KC = LD = 15 см.
1. Визначте довжину відрізка KL (у см).
2. Обчисліть площу трикутника KLM (у см²).

Показати відповідь

17; 144,5. 1. ВС = 8 + 15 = 23 см. Так як ABCD - квадрат, то CD = BC = 23 см. CL = CD-LD = 23-15 = 8 см. Тоді з прямокутного трикутника KCL за теоремою Піфагора KL² = KC² + CL² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289. Тоді KL = 17 см.
2. Знайдемо площу прямокутного трикутника KCL: S_KCL = KC · CL:2 = 15 · 8:2 = 15 · 4 = 60. Тоді площа рівного йому трикутника LDM також 60. AM = AD-MD = 23-8 = 15. Площа трапеції АВКМ дорівнює S_ABKM = (BK + AM) · AB:2 = (8 + 15) · 23:2 = 23²:2 = 529:2 = 264,5. Площа квадрата ABCD дорівнює S_ABCD = 23² = 529. Площу трикутника KLM мождна знайти як різницю площі квадрата і площ білих фігур. Маємо S_KLM = S_ABCD-S_ABKM-S_KCL-S_LMD = 529-264,5-60-60 = 264,5-120 = 144,5 см².

Завдання 23. Гіпотенуза АС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС дорівнює 3,6 м. У цей трикутник вписано квадрат MNKP, дві вершини якого знаходяться на гіпотенузі, а дві інші — на катетах.
1. Визначте площу трикутника ABC (у м²).
2. Обчисліть площу квадрата MNKP (у м²).

Показати відповідь

3,24; 1,44. 1. Так як трикутник рівнобедрений, то АВ = ВС. Запишемо теорему Піфагора для цього трикутника: AB² + BC² = AC²
AB² + AB² = 3,6²
2AB² = 12,96
AB² = 6,48
Площа трикутника АВС S = 0,5AB · BC = 0,5AB · AB = 0,5AB² = 0,5 · 6,48 = 3,24.
2. Так як трикутник прямокутний рівнобедрений, то гострі кути в нього по 45°. Тоді в прямокутному трикутнику АМР кут АРМ також 45°. Тоді трикутник АМР рівнобедрений і АМ = МР. Аналогічно маємо NC = KN. Так як MNKP - квадрат, то в нього всі сторони рівні і AM = MN = NC. Тоді MN = 3,6:3 = 1,2. Площа квадрата S = MN² = 1,2² = 1,44.

Завдання 24. На стороні ВС ромба ABCD як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторону DC у точці К. Відстані від точки К до вершин В і С дорівнюють 7 см та \sqrt{15}см відповідно.
1. Визначте периметр ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть площу трикутника ABC (у см²).

Показати відповідь

32; 28. 1. Так як кут ВКС вписаний в коло і спирається на його діаметр, то він прямий. Тоді в прямокутному трикутнику ВКС за теоремою Піфагора ВС² = ВК² + КС² = 49 + 15 = 64. Звідси ВС = 8 см. Периметр ромба P = 4DC = 4 · 8 = 32 см.
2. Площа ромба S = CD · BK = 8 · 7 = 56 см². Так як трикутник АВС займає половину ромба, то його площа дорівнює половині площі ромба, тобто 56:2 = 28 см².

Завдання 25. У ромбі ABCD з вершини тупого кута D до сторони ВС проведено перпендикуляр DK. BK = 4 см, КС = 6 см.
1. Визначте довжину перпендикуляра DK (у см).
2. Обчисліть площу ромба ABCD (у см²).

Показати відповідь

8; 80. 1. Знайдемо сторону ромба ВС = ВК + КС = 4 + 6 = 10 см. Тоді з прямокутного трикутника CDK за теоремою Піфагора DK² = DC²-CK² = 10²-6² = 100-36 = 64. Отже DK = 8 см.
2. Площа ромба S = CB · DK = 10 · 8 = 80 см².

Завдання 26. Точки K і L – середини сторін AB і AD паралелограма ABCD (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника KBCDL(у см²), якщо площа паралелограма ABCD дорівнює 24 см².

Показати відповідь

21.
Оскільки площа паралелограма S = absinα, то за умовою АВ · ADsinA = 24. Так як K і L – середини сторін AB і AD, то AK = AB:2, AL = AD:2. Площа трикутника AKL S = 0,5AK · ALsinA = 0,5(AB:2) · (AD:2)sinA = 0,5 · (24:4) = 3. Так як даний трикутник доповнює п'ятикутник KBCDL до паралелограма ABCD, то площа п’ятикутника KBCDL 24-3 = 21 см².

Завдання 27. На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює 96 см². У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.

Показати відповідь

48.
Оскільки зафарбовані частини ромба симетричні незафарбованим відносно діагоналі ромба, то їх площі рівні. Тому площа зафарбованої фігури вдвічі менше площі ромба, тобто дорівнює 96:2 = 48 см².

Завдання 28. На рисунку зображено рівнобічну трапецію ABCD та квадрат КВСМ. Точки К і М — середини діагоналей АС і BD трапеції відповідно. Площа квадрата КВСМ дорівнює 18 см².
1. Визначте довжину діагоналі АС (у см).
2. Обчисліть площу трапеції ABCD (у см²).

Показати відповідь

12; 72. 1. Так як площа квадрата 18, то BC² = 18. В прямокутному трикутнику КВС за теоремою Піфагора КС² = ВС² + ВК² = ВС² + ВС² = 18 + 18 = 36. Звідси КС = 6 см. Так як К - середина АС, то АС = 2КС = 2 · 6 = 12 см.
2. Площа чотирикутника може бути знайдена за формулою S = 0,5d₁d₂sinφ, де d₁, d₂ - діагоналі ромба, φ - кут між ними. Так як трапеція рівнобічна, то вона має рівні діагоналі. Кут між діагоналями прямий (кут між діагоналями квадрата, прямий). Тому S = 0,5 · 12 · 12sin90° = 6 · 12 · 1 = 72 см².

Завдання 29. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчисліть (у см²) площу трапеції.

Показати відповідь

864. КН - середня лінія трикутника АВС, тому ВС = 2КН = 26 см. Аналогічно, НМ - середня лінія трикутника ACD і AD = 2HM = 46 см. Так як маємо паралельні прямі ВС і AD та січну АС, то кути ВСА та САD рівні як внутрішні різносторонні. Так як кути ВАС і САD рівні як кути, утворені бісектрисою, то маємо що кути ВСА та ВАС рівні. Тому трикутник АВС є рівнобедреним і АВ = ВС = 26 см. Проведемо висоти ВР і СО. Так як трапеція рівнобедрена, то АР = ОD = (AD-PO):2 = (46-26):2 = 10 см (РО = ВС = 26 см). В прямокутному трикутнику АВР за теоремою Піфагора BP² = AB²-AP² = 26²-10² = (26-10)(26 + 10) = 16 · 36. Тоді ВР = 4 · 6 = 24 см. Площа трапеції S = (BC + AD)BP:2 = (26 + 46)24:2 = 72 · 12 = 864 м².

⇐ V.8.
Коло та круг До змісту (НМТ/ЗНО) V.10.
Координати на площині ⇒