Площі чотирикутників — одна з важливих тем планіметрії, для опрацювання якої потрібно знати формули площ паралелограма, ромба, прямокутника, квадрата й трапеції та вміти знаходити невідомі елементи фігури.
На цій сторінці зібрано реальні завдання НМТ і ЗНО, у яких потрібно обчислювати площі чотирикутників, використовувати властивості діагоналей, висот, подібних фігур і середніх ліній, а також розв'язувати складені задачі з колами та іншими фігурами.
Площа паралелограма:
Площа квадрата: S = a²(Площа квадрата дорівнює квадрату сторони)
Площа трапеції: S = a + b2 · h (Площа трапеції дорівнює добутку половині суми основ на висоту)
Площі подібних фігур: S₁ : S₂ = k² (Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності)
Завдання 1. На стороні AD паралелограма ABCD вибрано точку K так, що AK : KD = 3 : 2, BK = CD (див. рисунок). Визначте площу паралелограма ABCD, якщо ∠AKB = α, BC = 20.
- S = absinα (Площа паралелограма дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
- S = ahₐ (Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
- S = ½d₁d₂sinφ (Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними)
- S = absinα (Площа ромба дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
- S = ahₐ (Площа ромба дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
- S = ½d₁d₂ (Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей)
Площа квадрата: S = a²(Площа квадрата дорівнює квадрату сторони)
Площа трапеції: S = a + b2 · h (Площа трапеції дорівнює добутку половині суми основ на висоту)
Площі подібних фігур: S₁ : S₂ = k² (Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності)
120tgα
120tgα
160sinα
60cosα
60tgα
Показати відповідь
Б.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АК = 3х, KD = 2x. AD = АК + KD = 3x + 2x = 5x. Так як ABCD - паралелограм, то AD = BC = 20. Звідси 5х = 20 і х = 20 : 5 = 4. АК = 3 ∙ 4 = 12. Проведемо висоту ВМ. Так як АВСD - паралелограм, то АВ = CD = ВК. Тоді ∆АВК є рівнобедреним і висота ВМ є медіаною. Тоді МК = АК : 2 = 12 : 2 = 6 см. З прямокутного ∆ВКМ tgα = ВМ : МК, звідси ВМ = МКtgα = 6tgα. SABCD = AD ∙ BM = 20 ∙ 6tgα = 120tgα.
Завдання 2. Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями - 60° (див. рисунок). Визначте площу (см²) прямокутника.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АК = 3х, KD = 2x. AD = АК + KD = 3x + 2x = 5x. Так як ABCD - паралелограм, то AD = BC = 20. Звідси 5х = 20 і х = 20 : 5 = 4. АК = 3 ∙ 4 = 12. Проведемо висоту ВМ. Так як АВСD - паралелограм, то АВ = CD = ВК. Тоді ∆АВК є рівнобедреним і висота ВМ є медіаною. Тоді МК = АК : 2 = 12 : 2 = 6 см. З прямокутного ∆ВКМ tgα = ВМ : МК, звідси ВМ = МКtgα = 6tgα. SABCD = AD ∙ BM = 20 ∙ 6tgα = 120tgα.
8√3
16
16√3
32
32√3
Показати відповідь
В.
Так як діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, то ОВ = ОА і ∆АОВ рівнобедрений. В ∆АОВ ∠А + ∠В = 180° - ∠О = 180°-60° = 120°. Так як трикутник рівнобедрений, то ∠А = ∠В = 120° : 2 = 60°. Тоді ∆АОВ рівносторонній і АО = АВ = 4 см. АС = 2АО = 2 ∙ 4 = 8 см. З прямокутного ∆АСВ за теоремою Піфагора ВС² = АС²-АВ² = 8² - 4² = 64 - 16 = 48. ВС = √48 = √16 ∙ 3 = 4√3 см. SABCD = AВ ∙ BС = 4 ∙ 4√3 = 16√3 см².
Завдання 3. У паралелограмі ABCD ∠A = 30°, бічна сторона АВ = 12 см. Сторона AD втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см²) цього паралелограма.
Так як діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, то ОВ = ОА і ∆АОВ рівнобедрений. В ∆АОВ ∠А + ∠В = 180° - ∠О = 180°-60° = 120°. Так як трикутник рівнобедрений, то ∠А = ∠В = 120° : 2 = 60°. Тоді ∆АОВ рівносторонній і АО = АВ = 4 см. АС = 2АО = 2 ∙ 4 = 8 см. З прямокутного ∆АСВ за теоремою Піфагора ВС² = АС²-АВ² = 8² - 4² = 64 - 16 = 48. ВС = √48 = √16 ∙ 3 = 4√3 см. SABCD = AВ ∙ BС = 4 ∙ 4√3 = 16√3 см².
54
54√3
108
108√3
216
Показати відповідь
В.
В прямокутному ∆АВК катет ВК лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АВ. ВК = АВ : 2 = 12 : 2 = 6 см. Тоді за умовою AD = 3BK = 3 ∙ 6 = 18 см. SABCD = AD ∙ BK = 18 ∙ 6 = 108 см².
В прямокутному ∆АВК катет ВК лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АВ. ВК = АВ : 2 = 12 : 2 = 6 см. Тоді за умовою AD = 3BK = 3 ∙ 6 = 18 см. SABCD = AD ∙ BK = 18 ∙ 6 = 108 см².
Завдання 4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС в точці K. Обчисліть площу чотирикутника AKCD, якщо ВK = KС = 8 см.
48 см²
72 см²
96 см²
128 см²
192 см²
Показати відповідь
В
Так як АК - бісектриса, то кути ВАК та DAK рівні. Кути ВКА та DAK рівні як внутрішні різносторонні при січній АК. Тоді кути ВАК та ВКА також рівні. Отже, трикутник ВАК є рівнобедреним і ВА = ВК = 8 см.
Чотирикутник AKCD є трапецією, в якій основи КС = 8 см, AD = BC = BK + KC = 8 + 8 = 16 см, висота CD = BA = 8 см. За формулою площі трапеції SAKCD = (KC + AD) · CD : 2 = (8 + 16) · 8 : 2 = 24 · 4 = 96 см².
Завдання 5. Екрани телевізорів, зображених на рис.1 і 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно 32 дюйма і 48 дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис.1.
Чотирикутник AKCD є трапецією, в якій основи КС = 8 см, AD = BC = BK + KC = 8 + 8 = 16 см, висота CD = BA = 8 см. За формулою площі трапеції SAKCD = (KC + AD) · CD : 2 = (8 + 16) · 8 : 2 = 24 · 4 = 96 см².
в 1,5 рази
у 16 разів
у 2,56 рази
у 4 рази
у 2,25 рази
Показати відповідь
Д.
Маємо подібні фігури з коефіцієнтом подібності 48 : 32 = 1,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто 1,5² = 2,25.
Завдання 6. На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Маємо подібні фігури з коефіцієнтом подібності 48 : 32 = 1,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто 1,5² = 2,25.
1 Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на
2 Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на
3 Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на
2 Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на
3 Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на
А рис. 1
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Д.
1) Так як у паралелограма на рис. 1 сусідні сторони рівні, то він є ромбом. У ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом.
2) У паралелограма на рис. 2 висота - катет, що дорівнює половині гіпотенузи, тому він лежить напроти кута в 30°.
3) Площа паралелограма на рис. 5 S = 8 · 2 = 16.
Завдання 7. Квадрат ABCD й прямокутна трапеція BMNC лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює 36 см², АМ = 15 см. Установіть відповідність між відрізком (1-3) і його довжиною (А-Д).
1) Так як у паралелограма на рис. 1 сусідні сторони рівні, то він є ромбом. У ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом.
2) У паралелограма на рис. 2 висота - катет, що дорівнює половині гіпотенузи, тому він лежить напроти кута в 30°.
3) Площа паралелограма на рис. 5 S = 8 · 2 = 16.
1 сторона квадрата ABCD
2 висота трапеції BMNC
3 менша основа трапеції BMNC
2 висота трапеції BMNC
3 менша основа трапеції BMNC
А 2 см
Б 3 см
В 4 см
Г 6 см
Д 9 см
Б 3 см
В 4 см
Г 6 см
Д 9 см
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-А.
1) Так як площа квадрата S = R², то АВ² = 36, звідки АВ = 6 см.
2) МВ = АМ-АВ = 15-6 = 9 см.
3) Площа трапеції BMNC S = MN + BC2 · MB. Маємо рівняння
MN + 62 · 9 = 36
MN + 62 = 4
MN + 6 = 8
MN = 2 см.
Завдання 8. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).
1) Так як площа квадрата S = R², то АВ² = 36, звідки АВ = 6 см.
2) МВ = АМ-АВ = 15-6 = 9 см.
3) Площа трапеції BMNC S = MN + BC2 · MB. Маємо рівняння
MN + 62 · 9 = 36
MN + 62 = 4
MN + 6 = 8
MN = 2 см.
1ромб зі стороною 6 см і тупим кутом 120°
2 квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
3 паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
4 прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут 30°
2 квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
3 паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
4 прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут 30°
А 12 см²
Б 16 см²
В 18 см²
Г 12√3 см²
Д 18√3 см²
Б 16 см²
В 18 см²
Г 12√3 см²
Д 18√3 см²
Показати відповідь
1-Д, 2-Б, 3-В, 4-Г.
1) S = 6 · 6 · sin120° = 36 · sin(180°-60°) = 36sin60° = 36 · √32 = 18√3 см².
2) d = 2r = 4 см. Тоді сторона квадрата також 4 см і S = 4² = 16 см²
3) За теоремою Піфагора маємо в прямокутному трикутнику катет, що є висотою паралелограма 3 см. Тоді, так як сторона паралелограма дорівнює 4 + 2 = 6 см, то площа S = 6 · 3 = 18 см².
4) В прямокутному трикутнику невідомий катет, що є стороною прямокутника, дорівнює 6tg30° = 6 · √33 = 2√3. Тоді площа прямокутника S = 6 · 2√3 = 12√3.
Завдання 9. На рисунку зображено прямокутник ABCD й сектор KAD, у якому ∠KAD = 90°. Площа сектора KAD дорівнює 100π см². Дуга KAD перетинає сторону ВС в точці М, причому ВМ = 16 см.
1. Визначте довжину (у см) сторони AD.1) S = 6 · 6 · sin120° = 36 · sin(180°-60°) = 36sin60° = 36 · √32 = 18√3 см².
2) d = 2r = 4 см. Тоді сторона квадрата також 4 см і S = 4² = 16 см²
3) За теоремою Піфагора маємо в прямокутному трикутнику катет, що є висотою паралелограма 3 см. Тоді, так як сторона паралелограма дорівнює 4 + 2 = 6 см, то площа S = 6 · 3 = 18 см².
4) В прямокутному трикутнику невідомий катет, що є стороною прямокутника, дорівнює 6tg30° = 6 · √33 = 2√3. Тоді площа прямокутника S = 6 · 2√3 = 12√3.
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.
Показати відповідь
20; 240.
1. Так як сектор KAD складає четверту частину кола з радіусом AD, то площа цього кола дорівнює 4 · 100π = 400π см². Так як площа цього кола S = πAD², то маємо рівняння πAD² = 400π, звідки AD = 20 см.
2. В прямокутному трикутнику АВМ АМ = AD = 20 см. Тоді з прямокутного трикутника АВМ за теоремою Піфагора маємо:
АМ² = АВ² + ВM²
20² = АВ² + 16²
400 = АВ² + 256
АВ² = 400-256
АВ² = 144
АВ = 12 (см)
Площа прямокутника ABCD S = АВ · AD = 12 · 20 = 240 см².
Завдання 10. На рисунку зображено прямокутник ABCD й коло, яке дотикається до сторони АВ й сторін ВС й AD в точках М і К відповідно. Периметр чотирикутника АВМК дорівнює 24 см, а довжина відрізка КС — 17 см.
1. Визначте радіус (у см) кола.1. Так як сектор KAD складає четверту частину кола з радіусом AD, то площа цього кола дорівнює 4 · 100π = 400π см². Так як площа цього кола S = πAD², то маємо рівняння πAD² = 400π, звідки AD = 20 см.
2. В прямокутному трикутнику АВМ АМ = AD = 20 см. Тоді з прямокутного трикутника АВМ за теоремою Піфагора маємо:
АМ² = АВ² + ВM²
20² = АВ² + 16²
400 = АВ² + 256
АВ² = 400-256
АВ² = 144
АВ = 12 (см)
Площа прямокутника ABCD S = АВ · AD = 12 · 20 = 240 см².
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.
Показати відповідь
4; 152.
1. Нехай радіус кола дорівнює х см. Тоді МК = 2х, а ВМ = х. Периметр чотирикутника АВМК Р = 2(ВМ + МК) = 2(х + 2х) = 6х, що дорівнює 24 см за умовою. Тому 6х = 24, звідки х = 24 : 6 = 4 см.
2. МК = 2х = 2 · 4 = 8 см. З прямокутного трикутника КМС за теоремою Піфагора маємо:
KC² = KM² + MC²
17² = 8² + MC²
289 = 64 + MC²
MC² = 289 - 64
MC² = 225
MC = 15 (см)
ВМ = 4 см. Тоді ВС = ВМ + МС = 4 + 15 = 19 см. АВ = МК = 8 см. Площа прямокутника ABCD S = АВ · ВС = 8 · 19 = 152 см².
Завдання 11. На стороні AD паралелограма ABCD як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони ВС в точці М. Довжина дуги MD дорівнює 6,5π см.1. Нехай радіус кола дорівнює х см. Тоді МК = 2х, а ВМ = х. Периметр чотирикутника АВМК Р = 2(ВМ + МК) = 2(х + 2х) = 6х, що дорівнює 24 см за умовою. Тому 6х = 24, звідки х = 24 : 6 = 4 см.
2. МК = 2х = 2 · 4 = 8 см. З прямокутного трикутника КМС за теоремою Піфагора маємо:
KC² = KM² + MC²
17² = 8² + MC²
289 = 64 + MC²
MC² = 289 - 64
MC² = 225
MC = 15 (см)
ВМ = 4 см. Тоді ВС = ВМ + МС = 4 + 15 = 19 см. АВ = МК = 8 см. Площа прямокутника ABCD S = АВ · ВС = 8 · 19 = 152 см².
1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього кола.
2. Обчисліть площу паралелограма ABCD (у см²).
Показати відповідь
13; 338.
Оскільки ВС- дотична до кола, то кут ОМС прямий (дотична перпендикулярна до кола, проведеного в точку дотику). Тоді кут МОD також прямий. Тому дуга MD є четвертою частиною кола і довжина всього кола дорівнює 6,5π · 4 = 26π см. Оскільки довжина кола шукається за формулою C = 2πR, то R = 26π : 2π = 13 см.
2. Так як AO = OD = OM = 13, то AD = 13 + 13 = 26. Площа паралелограма S = AD · MO = 26 · 13 = 338 см².
Завдання 12. На рисунку зображено квадрат ABCD. Точки K, L, M належать сторонам ВС, CD та AD відповідно, BK = 8 см. Трикутники KCL та LDM рівні, KC = LD = 15 см.2. Так як AO = OD = OM = 13, то AD = 13 + 13 = 26. Площа паралелограма S = AD · MO = 26 · 13 = 338 см².
1. Визначте довжину відрізка KL (у см).
2. Обчисліть площу трикутника KLM (у см²).
Показати відповідь
17; 144,5.
1. ВС = 8 + 15 = 23 см. Так як ABCD - квадрат, то CD = BC = 23 см. CL = CD-LD = 23-15 = 8 см. Тоді з прямокутного трикутника KCL за теоремою Піфагора KL² = KC² + CL² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289. Тоді KL = 17 см.
2. Знайдемо площу прямокутного трикутника KCL : SKCL = KC · CL : 2 = 15 · 8 : 2 = 15 · 4 = 60. Тоді площа рівного йому трикутника LDM також 60. AM = AD-MD = 23-8 = 15. Площа трапеції АВКМ дорівнює SABKM = (BK + AM) · AB : 2 = (8 + 15) · 23 : 2 = 23² : 2 = 529 : 2 = 264,5. Площа квадрата ABCD дорівнює SABCD = 23² = 529. Площу трикутника KLM можна знайти як різницю площі квадрата і площ білих фігур. Маємо SKLM = SABCD - SABKM - SKCL - SLMD = 529 - 264,5 - 60 - 60 = 264,5-120 = 144,5 см².
Завдання 13. У ромбі ABCD з вершини тупого кута D до сторони ВС проведено перпендикуляр DK. BK = 4 см, КС = 6 см.2. Знайдемо площу прямокутного трикутника KCL : SKCL = KC · CL : 2 = 15 · 8 : 2 = 15 · 4 = 60. Тоді площа рівного йому трикутника LDM також 60. AM = AD-MD = 23-8 = 15. Площа трапеції АВКМ дорівнює SABKM = (BK + AM) · AB : 2 = (8 + 15) · 23 : 2 = 23² : 2 = 529 : 2 = 264,5. Площа квадрата ABCD дорівнює SABCD = 23² = 529. Площу трикутника KLM можна знайти як різницю площі квадрата і площ білих фігур. Маємо SKLM = SABCD - SABKM - SKCL - SLMD = 529 - 264,5 - 60 - 60 = 264,5-120 = 144,5 см².
1. Визначте довжину перпендикуляра DK (у см).
2. Обчисліть площу ромба ABCD (у см²).
Показати відповідь
8; 80.
1. Знайдемо сторону ромба ВС = ВК + КС = 4 + 6 = 10 см. Тоді з прямокутного трикутника CDK за теоремою Піфагора DK² = DC²-CK² = 10²-6² = 100-36 = 64. Отже DK = 8 см.
2. Площа ромба S = CB · DK = 10 · 8 = 80 см².
Завдання 14. На рисунку зображено рівнобічну трапецію ABCD та квадрат КВСМ. Точки К і М — середини діагоналей АС і BD трапеції відповідно. Площа квадрата КВСМ дорівнює 18 см².2. Площа ромба S = CB · DK = 10 · 8 = 80 см².
1. Визначте довжину діагоналі АС (у см).
2. Обчисліть площу трапеції ABCD (у см²).
Показати відповідь
12; 72.
1. Так як площа квадрата 18, то BC² = 18. В прямокутному трикутнику КВС за теоремою Піфагора КС² = ВС² + ВК² = ВС² + ВС² = 18 + 18 = 36. Звідси КС = 6 см. Так як К - середина АС, то АС = 2КС = 2 · 6 = 12 см.
2. Площа чотирикутника може бути знайдена за формулою S = 0,5d₁d₂sinφ, де d₁, d₂ - діагоналі ромба, φ - кут між ними. Так як трапеція рівнобічна, то вона має рівні діагоналі. Кут між діагоналями прямий (кут між діагоналями квадрата, прямий). Тому S = 0,5 · 12 · 12sin90° = 6 · 12 · 1 = 72 см².
Завдання 15. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчисліть (у см²) площу трапеції.
2. Площа чотирикутника може бути знайдена за формулою S = 0,5d₁d₂sinφ, де d₁, d₂ - діагоналі ромба, φ - кут між ними. Так як трапеція рівнобічна, то вона має рівні діагоналі. Кут між діагоналями прямий (кут між діагоналями квадрата, прямий). Тому S = 0,5 · 12 · 12sin90° = 6 · 12 · 1 = 72 см².
Показати відповідь
864.
КН - середня лінія трикутника АВС, тому ВС = 2КН = 26 см. Аналогічно, НМ - середня лінія трикутника ACD і AD = 2HM = 46 см. Так як маємо паралельні прямі ВС і AD та січну АС, то кути ВСА та САD рівні як внутрішні різносторонні. Так як кути ВАС і САD рівні як кути, утворені бісектрисою, то маємо що кути ВСА та ВАС рівні. Тому трикутник АВС є рівнобедреним і АВ = ВС = 26 см. Проведемо висоти ВР і СО. Так як трапеція рівнобедрена, то АР = ОD = (AD - PO) : 2 = (46 - 26) : 2 = 10 см (РО = ВС = 26 см). В прямокутному трикутнику АВР за теоремою Піфагора BP² = AB² - AP² = 26² - 10² = (26 - 10)(26 + 10) = 16 · 36. Тоді ВР = 4 · 6 = 24 см. Площа трапеції S = (BC + AD) · BP : 2 = (26 + 46) · 24 : 2 = 72 · 12 = 864 см².
Коментарі