Площі фігур — це одна з центральних тем планіметрії, яка вимагає не лише знання формул, а й уміння бачити приховані зв'язки між елементами фігур. Розуміння того, як площа залежить від висот, кутів та радіусів описаних і вписаних кіл, дозволяє розв'язувати найскладніші задачі НМТ, де декілька фігур комбінуються в одну систему.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви навчитеся застосовувати формулу Герона, знаходити площі через діагоналі та використовувати властивості подібних фігур. Тут зібрано все: від базових трикутників до складних комбінацій прямокутників із секторами та колами.
Площі фігур
Площа трикутника:
Завдання 1. На стороні AD паралелограма ABCD вибрано точку K так, що AK : KD = 3 : 2, BK = CD (див. рисунок). Визначте площу паралелограма ABCD, якщо ∠AKB = α, BC = 20.
Площа трикутника:
- S = ½absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними)
- S = ½ahₐ (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
- S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, p = (a + b + c):2 (Формула Герона)
- S = \frac{abc}{4R} (R-радіус описаного кола)
- S = pr (r-радіус вписаного кола)
- S = absinα (Площа паралелограма дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
- S = ahₐ (Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
- S = ½d₁d₂sinφ (Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними)
- S = absinα (Площа ромба дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
- S = ahₐ (Площа ромба дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
- S = ½d₁d₂ (Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей)
- S = ab (Площа прямокутника дорівнює добутку сусідніх сторін)
- S = a²(Площа квадрата дорівнює квадрату сторони)
- S = \frac{a + b}{2}\cdot{h} (Площа трапеції дорівнює добутку половині суми основ на висоту)
- S₁:S₂ = k² (Площа подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності)
\frac{120}{tg\alpha}
120tgα
160sinα
60cosα
\frac{60}{tg\alpha}
Показати відповідь
Б.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АК = 3х, KD = 2x. AD = АК + KD = 3x + 2x = 5x. Так як ABCD - паралелограм, то AD = BC = 20. Звідси 5х = 20 і х = 20:5 = 4. АК = 3∙4 = 12. Проведемо висоту ВМ. Так як АВСD - паралелограм, то АВ = CD = ВК. Тоді ∆АВК є рівнобедреним і висота ВМ є медіаною. Тоді МК = АК:2 = 12:2 = 6 см. З прямокутного ∆ВКМ tgα = ВМ:МК, звідси ВМ = МКtgα = 6tgα. SABCD = AD∙BM = 20 ∙ 6tgα = 120tgα.
Завдання 2. Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями - 60° (див. рисунок). Визначте площу (см²) прямокутника.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х. Тоді АК = 3х, KD = 2x. AD = АК + KD = 3x + 2x = 5x. Так як ABCD - паралелограм, то AD = BC = 20. Звідси 5х = 20 і х = 20:5 = 4. АК = 3∙4 = 12. Проведемо висоту ВМ. Так як АВСD - паралелограм, то АВ = CD = ВК. Тоді ∆АВК є рівнобедреним і висота ВМ є медіаною. Тоді МК = АК:2 = 12:2 = 6 см. З прямокутного ∆ВКМ tgα = ВМ:МК, звідси ВМ = МКtgα = 6tgα. SABCD = AD∙BM = 20 ∙ 6tgα = 120tgα.
8\sqrt{3}
16
16\sqrt{3}
32
32\sqrt{3}
Показати відповідь
В.
Так як діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, то ОВ = ОА і ∆АОВ рівнобедрений. В ∆АОВ ∠А + ∠В = 180°-∠О = 180°-60° = 120°. Так як трикутник рівнобедрений, то ∠А = ∠В = 120°:2 = 60°. Тоді ∆АОВ рівносторонній і АО = АВ = 4 см. АС = 2АО = 2∙4 = 8 см. З прямокутного ∆АСВ за теоремою Піфагора ВС² = АС²-АВ² = 8²-4² = 64-16 = 48. ВС = √48 = √16∙3 = 4√3 см. SABCD = AВ ∙ BС = 4 ∙ 4√3 = 16√3 см².
Завдання 3. У паралелограмі ABCD ∠A = 30°, бічна сторона АВ = 12 см. Сторона AD втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см²) цього паралелограма.
Так як діагоналі прямокутника рівні і точкою перетину діляться навпіл, то ОВ = ОА і ∆АОВ рівнобедрений. В ∆АОВ ∠А + ∠В = 180°-∠О = 180°-60° = 120°. Так як трикутник рівнобедрений, то ∠А = ∠В = 120°:2 = 60°. Тоді ∆АОВ рівносторонній і АО = АВ = 4 см. АС = 2АО = 2∙4 = 8 см. З прямокутного ∆АСВ за теоремою Піфагора ВС² = АС²-АВ² = 8²-4² = 64-16 = 48. ВС = √48 = √16∙3 = 4√3 см. SABCD = AВ ∙ BС = 4 ∙ 4√3 = 16√3 см².
54
54\sqrt{3}
108
108\sqrt{3}
216
Показати відповідь
В.
В прямокутному ∆АВК катет ВК лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АВ. ВК = АВ : 2 = 12 : 2 = 6 см. Тоді за умовою AD = 3BK = 3 ∙ 6 = 18 см. SABCD = AD ∙ BK = 18 ∙ 6 = 108 см².
В прямокутному ∆АВК катет ВК лежить навпроти кута 30°, тому він дорівнює половині гіпотенузи АВ. ВК = АВ : 2 = 12 : 2 = 6 см. Тоді за умовою AD = 3BK = 3 ∙ 6 = 18 см. SABCD = AD ∙ BK = 18 ∙ 6 = 108 см².
Завдання 4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС в точці K. Обчисліть площу чотирикутника AKCD, якщо ВK = KС = 8 см.
48 см²
72 см²
96 см²
128 см²
192 см²
Показати відповідь
В
Так як АК-бісектриса, то кути ВАК та DAK рівні. Кути ВКА та DAK рівні як внутрішні різносторонні при січній АК. Тоді кути ВАК та ВКА також рівні. Отже, трикутник ВАК є рівнобедреним і ВА = ВК = 8 см.
Чотирикутник AKCD є трапецією, в якій основи КС = 8 см, AD = BC = BK + KC = 8 + 8 = 16 см, висота CD = BA = 8 см. За формулою площі трапеції SAKCD = (KC + AD) · CD:2 = (8 + 16) · 8:2 = 24 · 4 = 96 см².
Завдання 5. Екрани телевізорів, зображених на рис.1 і 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно 32 дюйма і 48 дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис.1.
Чотирикутник AKCD є трапецією, в якій основи КС = 8 см, AD = BC = BK + KC = 8 + 8 = 16 см, висота CD = BA = 8 см. За формулою площі трапеції SAKCD = (KC + AD) · CD:2 = (8 + 16) · 8:2 = 24 · 4 = 96 см².
в 1,5 рази
у 16 разів
у 2,56 рази
у 4 рази
у 2,25 рази
Показати відповідь
Д.
Маємо подібні фігури з коефіцієнтом подібності 48:32 = 1,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто 1,5² = 2,25.
Завдання 6. У трикутнику АВС точка М — середина сторони ВС, АС = 24 см (див. рисунок). Знайдіть відстань d від точки М до сторони АС, якщо площа трикутника АВС дорівнює 96 см².
Маємо подібні фігури з коефіцієнтом подібності 48:32 = 1,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тобто 1,5² = 2,25.
2 см
3 см
4 см
6 см
8 см
Показати відповідь
В.
Проведемо висоту трикутника ВО. Оскільки М середина ВС і МР паралельний ВО, то МР - середня лінія трикутника ОВС. Тоді ВО = 2МР = 2d. Площа трикутника АВС знаходиться за формулою S = 0,5AC · BO. Підставимо відомі значення і отримаємо 96 = 0,5 · 24 · BO, звідки ВО = 96:12 = 8 см. Так як ВО = 2d, то d = АВ:2 = 8:2 = 4 см.
Завдання 7. На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см². Точка М належить стороні ВС. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.
45 см²
40 см²
35 см²
30 см²
20 см²
Показати відповідь
Г.
Площа паралелограма ABCD S = AD · hAD = 60 см². Площа трикутника AMD S = ½AD · hAD = ½ · 60 = 30 см² (висоти паралелограма та трикутника, проведені до сторони AD, рівні). Площа двох зафарбованих трикутників доповнює площу трикутника AMD до площі паралелограма ABCD. Тому їх площа дорівнює 60-30 = 30 см².
Завдання 8. Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м і утворює з його діагоналлю кут 60°. Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.
Площа паралелограма ABCD S = AD · hAD = 60 см². Площа трикутника AMD S = ½AD · hAD = ½ · 60 = 30 см² (висоти паралелограма та трикутника, проведені до сторони AD, рівні). Площа двох зафарбованих трикутників доповнює площу трикутника AMD до площі паралелограма ABCD. Тому їх площа дорівнює 60-30 = 30 см².
64\sqrt{3} м²
128\sqrt{3} м²
128 м²
256 м²
256\sqrt{3} м²
Показати відповідь
Б.
З прямокутного трикутника ACD AD = CDtg60° = 16\sqrt{3}. Тоді площа прямокутника ABCD S = AD · CD = 16\sqrt{3} · 16 = 256\sqrt{3}. Так як K і L середини АВ і ВС, то KB = 16:2 = 8, BL = 16\sqrt{3}:2 = 8\sqrt{3}. Тоді площа прямокутного трикутника KBL S = ½KB · BL = ½ · 8 · 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3}. Так як трикутники KBL, LCM, NDM, NAK рівні, то вони мають однакові площі. Тоді їх загальна площа 4\cdot32\sqrt{3} = 128\sqrt{3}. Ці трикутники доповнюють площу чотирикутника KLMN до площі прямокутника ABCD і площа чотирикутника KLMN дорівнює 256\sqrt{3}-128\sqrt{3} = 128\sqrt{3}.
Завдання 9. У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см². Обчисліть площу прямокутника ABCD.
24 см²
30 см²
36 см²
42 см²
48 см²
Показати відповідь
Д.
Так як трикутники КОМ і РОТ рівні, то площа фігури, що складається з зафарбованих трикутників дорівнює площі трикутника DOC. Трикутники АОВ і DOC рівні, тому рівні і їх площі. Оскільки синуси суміжних кутів рівні, АО = ОС, сторона DO у трикутників AOD і COD спільна, то площі цих трикутників також рівні. Отже, діагоналі прямокутника розбивають його на 4 трикутника, площі яких рівні і площа всього прямокутника S = 4 · 12 = 48 см².
Завдання 10. На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1 Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на
2 Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на
3 Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на
2 Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30°, зображено на
3 Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на
А рис. 1
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Б рис. 2
В рис. 3
Г рис. 4
Д рис. 5
Показати відповідь
1-А, 2-Б, 3-Д.
1) Так як у паралелограма на рис. 1 сусідні сторони рівні, то він є ромбом. У ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом.
2) У паралелограма на рис. 2 висота - катет, що дорівнює половині гіпотенузи, тому він лежить напроти кута в 30°.
3) Площа паралелограма на рис. 5 S = 8 · 2 = 16.
Завдання 11. Квадрат ABCD й прямокутна трапеція BMNC лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює 36 см², АМ = 15 см. Установіть відповідність між відрізком (1-3) і його довжиною (А-Д).
1) Так як у паралелограма на рис. 1 сусідні сторони рівні, то він є ромбом. У ромба діагоналі перетинаються під прямим кутом.
2) У паралелограма на рис. 2 висота - катет, що дорівнює половині гіпотенузи, тому він лежить напроти кута в 30°.
3) Площа паралелограма на рис. 5 S = 8 · 2 = 16.
1 сторона квадрата ABCD
2 висота трапеції BMNC
3 менша основа трапеції BMNC
2 висота трапеції BMNC
3 менша основа трапеції BMNC
А 2 см
Б 3 см
В 4 см
Г 6 см
Д 9 см
Б 3 см
В 4 см
Г 6 см
Д 9 см
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-А.
1) Так як площа квадрата S = R², то АВ² = 36, звідки АВ = 6 см.
2) МВ = АМ-АВ = 15-6 = 9 см.
3) Площа трапеції BMNC S = \frac{MN + BC}{2}\cdot{MB}. Маємо рівняння
\frac{MN + 6}{2}\cdot9 = 36
\frac{MN + 6}{2} = 4
MN + 6 = 8
MN = 2 см.
Завдання 12. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).
1) Так як площа квадрата S = R², то АВ² = 36, звідки АВ = 6 см.
2) МВ = АМ-АВ = 15-6 = 9 см.
3) Площа трапеції BMNC S = \frac{MN + BC}{2}\cdot{MB}. Маємо рівняння
\frac{MN + 6}{2}\cdot9 = 36
\frac{MN + 6}{2} = 4
MN + 6 = 8
MN = 2 см.
1 круг радіуса 4 см (рис. 1)
2 півкруг радіуса 6 см (рис. 2)
3 сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30° (рис. 3)
4 кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)
2 півкруг радіуса 6 см (рис. 2)
3 сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30° (рис. 3)
4 кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)
А 12π см²
Б 16π см²
В 18π см²
Г 20π см²
Д 24π см²
Б 16π см²
В 18π см²
Г 20π см²
Д 24π см²
Показати відповідь
1-Б, 2-В, 3-А, 4-Г.
1) S = πR² = π · 4² = 16π.
2) S = 0,5πR² = 0,5π · 6² = 0,5 · 36π = 18π.
3) S = πR² · α:360° = π · 12² · 30°:360° = π · 12²:12 = 12π.
4) S = πR²-πr² = π · 6²-π · 4² = 36π-16π = 20π.
Завдання 13. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).
1) S = πR² = π · 4² = 16π.
2) S = 0,5πR² = 0,5π · 6² = 0,5 · 36π = 18π.
3) S = πR² · α:360° = π · 12² · 30°:360° = π · 12²:12 = 12π.
4) S = πR²-πr² = π · 6²-π · 4² = 36π-16π = 20π.
1ромб зі стороною 6 см і тупим кутом 120°
2 квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
3 паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
4 прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут 30°
2 квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
3 паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
4 прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут 30°
А 12 см²
Б 16 см²
В 18 см²
Г 12\sqrt{3} см²
Д 18\sqrt{3} см²
Б 16 см²
В 18 см²
Г 12\sqrt{3} см²
Д 18\sqrt{3} см²
Показати відповідь
1-Д, 2-Б, 3-В, 4-Г.
1) S = 6 · 6 · sin120° = 36 · sin(180°-60°) = 36sin60° = 36 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} см².
2) d = 2r = 4 см. Тоді сторона квадрата також 4 см і S = 4² = 16 см²
3) За теоремою Піфагора маємо в прямокутному трикутнику катет, що є висотою паралелограма 3 см. Тоді, так як сторона паралелограма дорівнює 4 + 2 = 6 см, то площа S = 6 · 3 = 18 см².
4) В прямокутному трикутнику невідомий катет, що є стороною прямокутника, дорівнює 6tg30° = 6 · \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}. Тоді площа прямокутника S = 6 · 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}.
Завдання 14. На рисунку зображено прямокутник ABCD й сектор KAD, у якому ∠KAD = 90°. Площа сектора KAD дорівнює 100π см². Дуга KAD перетинає сторону ВС в точці М, причому ВМ = 16 см.
1. Визначте довжину (у см) сторони AD.1) S = 6 · 6 · sin120° = 36 · sin(180°-60°) = 36sin60° = 36 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3} см².
2) d = 2r = 4 см. Тоді сторона квадрата також 4 см і S = 4² = 16 см²
3) За теоремою Піфагора маємо в прямокутному трикутнику катет, що є висотою паралелограма 3 см. Тоді, так як сторона паралелограма дорівнює 4 + 2 = 6 см, то площа S = 6 · 3 = 18 см².
4) В прямокутному трикутнику невідомий катет, що є стороною прямокутника, дорівнює 6tg30° = 6 · \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}. Тоді площа прямокутника S = 6 · 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}.
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.
Показати відповідь
20; 240.
1. Так як сектор KAD складає четверту частину кола з радіусом AD, то площа цього кола дорівнює 4 · 100π = 400π см². Так як площа цього кола S = πAD², то маємо рівняння πAD² = 400π, звідки AD = 20 см.
2. В прямокутному трикутнику АВМ АМ = AD = 20 см. Тоді з прямокутного трикутника АВМ за теоремою Піфагора маємо:
АМ² = АВ² + ВM²
20² = АВ² + 16²
400 = АВ² + 256
АВ² = 400-256
АВ² = 144
АВ = 12 (см)
Площа прямокутника ABCD S = АВ · AD = 12 · 20 = 240 см².
Завдання 15. На рисунку зображено прямокутник ABCD й коло, яке дотикається до сторони АВ й сторін ВС й AD в точках М і К відповідно. Периметр чотирикутника АВМК дорівнює 24 см, а довжина відрізка КС — 17 см.
1. Визначте радіус (у см) кола.1. Так як сектор KAD складає четверту частину кола з радіусом AD, то площа цього кола дорівнює 4 · 100π = 400π см². Так як площа цього кола S = πAD², то маємо рівняння πAD² = 400π, звідки AD = 20 см.
2. В прямокутному трикутнику АВМ АМ = AD = 20 см. Тоді з прямокутного трикутника АВМ за теоремою Піфагора маємо:
АМ² = АВ² + ВM²
20² = АВ² + 16²
400 = АВ² + 256
АВ² = 400-256
АВ² = 144
АВ = 12 (см)
Площа прямокутника ABCD S = АВ · AD = 12 · 20 = 240 см².
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.
Показати відповідь
4; 152.
1. Нехай радіус кола дорівнює х см. Тоді МК = 2х, а ВМ = х. Периметр чотирикутника АВМК Р = 2(ВМ + МК) = 2(х + 2х) = 6х, що дорівнює 24 см за умовою. Тому 6х = 24, звідки х = 24:6 = 4 см.
2. МК = 2х = 2 · 4 = 8 см. З прямокутного трикутника КМС за теоремою Піфагора маємо:
KC² = KM² + MC²
17² = 8² + MC²
289 = 64 + MC²
MC² = 289-64
MC² = 225
MC = 15 (см)
ВМ = 4 см. Тоді ВС = ВМ + МС = 4 + 15 = 19 см. АВ = МК = 8 см. Площа прямокутника ABCD S = АВ · ВС = 8 · 19 = 152 см².
Завдання 16. На папері в клітинку зображено трикутник АВС (див. рисунок). Вважайте, що кожна клітинка — квадрат зі стороною завдовжки 1 см. Знайдіть площу трикутника АВС.
1. Нехай радіус кола дорівнює х см. Тоді МК = 2х, а ВМ = х. Периметр чотирикутника АВМК Р = 2(ВМ + МК) = 2(х + 2х) = 6х, що дорівнює 24 см за умовою. Тому 6х = 24, звідки х = 24:6 = 4 см.
2. МК = 2х = 2 · 4 = 8 см. З прямокутного трикутника КМС за теоремою Піфагора маємо:
KC² = KM² + MC²
17² = 8² + MC²
289 = 64 + MC²
MC² = 289-64
MC² = 225
MC = 15 (см)
ВМ = 4 см. Тоді ВС = ВМ + МС = 4 + 15 = 19 см. АВ = МК = 8 см. Площа прямокутника ABCD S = АВ · ВС = 8 · 19 = 152 см².
Показати відповідь
7,5.
За клітинками маємо основу трикутника 5 клітинок, тобто 5 см, висота, проведена до цієї сторони - 3 клітинки, тобто 3 см. Площа трикутника S = 0,5 · 5 · 3 = 0,5 · 15 = 7,5 см.
Завдання 17. На рисунку зображено прямокутник ABCD та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці О₁ дотикається сторін АВ, ВС та AD, а коло із центром у точці О₂ проходить через вершини С та D. Відстані від точки О₂ до вершини С та сторони CD дорівнюють 20 см та 12 см відповідно.
1. Визначте радіус меншого кола (у см).За клітинками маємо основу трикутника 5 клітинок, тобто 5 см, висота, проведена до цієї сторони - 3 клітинки, тобто 3 см. Площа трикутника S = 0,5 · 5 · 3 = 0,5 · 15 = 7,5 см.
2. Обчисліть площу трикутника DО₁C (у см²).
Показати відповідь
16; 768.
Проведемо перпендикуляр О₂К до CD. Тоді О₂К є відстанню від точки О₂ до CD і дорівнює 12 см за умовою. З прямокутного трикутника О₂КС за теоремою Піфагора СК² = О₂C²-О₂K² = 20²-12² = 400-144 = 256. Тоді СК = 16 см. Так як О₂C і О₂D - радіуси кола, то трикутник О₂CD є рівнобедреним і в ньому висота О₂К є медіаною. Тоді CD = 2CK = 2 · 16 = 32 см. Так як менше коло дотикається сторін BC та AD, то діаметр цього кола дорівнює стороні CD і дорівнює 32 см. Тоді радіус кола R = d:2 = 32:2 = 16 см.
2. Проведемо перпендикуляр О₁К₁ до CD. Так як точка О₁ рівновіддалена від C і D, то трикутник О₁CD є рівнобедреним і в ньому висота О₁К₁ є медіаною. Таким чином точки К і К₁ співпадають. Отже, точки О₁, О₂ і К лежать на одній прямій. Так як кола дотикаються зовнішнім дотиком, то відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Отже О₁О₂ = 16 + 20 = 36 см. Висота О₁К трикутника дорівнює О₁О₂ + О₂К = 36 + 12 = 48 см. Площа трикутника DО₁C S = 0,5CD · О₁К = 0,5 · 32 · 48 = 768 см².
Завдання 18. На рисунку зображено прямокутник ABCD та півколо з центром О. AD – діаметр півкола. ВК:КМ = 1:3, АВ = 4 см.
1. Визначте радіус півкола (у см).2. Проведемо перпендикуляр О₁К₁ до CD. Так як точка О₁ рівновіддалена від C і D, то трикутник О₁CD є рівнобедреним і в ньому висота О₁К₁ є медіаною. Таким чином точки К і К₁ співпадають. Отже, точки О₁, О₂ і К лежать на одній прямій. Так як кола дотикаються зовнішнім дотиком, то відстань між їх центрами дорівнює сумі радіусів. Отже О₁О₂ = 16 + 20 = 36 см. Висота О₁К трикутника дорівнює О₁О₂ + О₂К = 36 + 12 = 48 см. Площа трикутника DО₁C S = 0,5CD · О₁К = 0,5 · 32 · 48 = 768 см².
2. Обчисліть площу трикутника КОМ (у см²).
Показати відповідь
5; 12.
Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х, тоді ВК = х, КМ = 3х. Проведемо перпендикуляр ОТ до КМ. Так як ОК і ОМ - радіуси, то трикутник КМО рівнобедрений і перпендикуляр ОТ є медіаною. Тоді КТ = КМ:2 = 3х:2 = 1,5х. ВТ = ВК + КТ = х + 1,5х = 2,5х. Так як АВТО - прямокутник, то АО = ВТ = 2,5х, ОТ = АВ = 4 см.
1. О -центр кола, тому ОК і ОА - радіуси кола і ОК = ОА = 2,5х. З прямокутного трикутника ОКТ за теоремою Піфагора OK² = KT² + OT². Підставимо відомі значення і отримуємо рівняння:
(2,5x)² = (1,5x)² + 4²
6,25x² = 2,25x² + 16
6,25x²-2,25x² = 16
4x² = 16
x² = 4
x = ±2
Так як довжина сторін додатне число, то залишаємо х = 2 і тоді R = OK = 2,5 · 2 = 5 см.
2. КМ = 3 · 2 = 6 см і за формулою площі трикутника S = 0,5KM · TO = 0,5 · 6 · 4 = 12 см².
Завдання 19. На стороні AD паралелограма ABCD як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони ВС в точці М. Довжина дуги MD дорівнює 6,5π см.1. О -центр кола, тому ОК і ОА - радіуси кола і ОК = ОА = 2,5х. З прямокутного трикутника ОКТ за теоремою Піфагора OK² = KT² + OT². Підставимо відомі значення і отримуємо рівняння:
(2,5x)² = (1,5x)² + 4²
6,25x² = 2,25x² + 16
6,25x²-2,25x² = 16
4x² = 16
x² = 4
x = ±2
Так як довжина сторін додатне число, то залишаємо х = 2 і тоді R = OK = 2,5 · 2 = 5 см.
2. КМ = 3 · 2 = 6 см і за формулою площі трикутника S = 0,5KM · TO = 0,5 · 6 · 4 = 12 см².
1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього кола.
2. Обчисліть площу паралелограма ABCD (у см²).
Показати відповідь
13; 338.
Оскільки ВС- дотична до кола, то кут ОМС прямий (дотична перпендикулярна до кола, проведеного в точку дотику). Тоді кут МОD також прямий. Тому дуга MD є четвертою частиною кола і довжина всього кола дорівнює 6,5π · 4 = 26π см. Оскільки довжина кола шукається за формулою C = 2πR, то R = 26π:2π = 13 см.
2. Так як AO = OD = OM = 13, то AD = 13 + 13 = 26. Площа паралелограма S = AD · MO = 26 · 13 = 338 см².
Завдання 20. План паркової зони, обмеженої трикутником АВС, зображено на рисунку. Дуга АВ — велосипедна доріжка. Відомо, що дуга АВ є четвертою частиною кола радіуса 1,8 км. СА і СВ — дотичні до цього кола (А і В — точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км²).
2. Так як AO = OD = OM = 13, то AD = 13 + 13 = 26. Площа паралелограма S = AD · MO = 26 · 13 = 338 см².
Показати відповідь
1,62.
Оскільки АС і СВ дотичні до кола, то вони перпендикулярні до радіусів ОА та ОВ, проведених в точку дотику. Так як дуга АВ є четвертою частиною кола, то кут АОВ - прямий. Тоді, враховуючи, що ОА = ОВ, ОВСА - квадрат зі стороною 1,8 км. Тоді АС = СВ = 1,8 км і площа паркової зони S = 0,5AC · CB = 0,5 · 1,8 · 1,8 = 0,5 · 3,24 = 1,62 км².
Завдання 21. У прямокутнику ABCD: АВ = 6 см, ВС = 8 см, K і L – середини сторін ВС і СD відповідно (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника AKL (у см²).
Показати відповідь
18.
SABCD = AB · BC = 6 · 8 = 48 см². Так як К - середина ВС, то ВК = КС = ВС:2 = 8:2 = 4 см. Площа трикутника АВК SABK = 0,5AB · BK = 0,5 · 6 · 4 = 12 см². Так як L - середина СD, то CL = LD = CD:2 = 6:2 = 3 см. Площа трикутника KCL SKCL = 0,5KC · CL = 0,5 · 4 · 3 = 6 см². Площа трикутника ADL SADL = 0,5AD · DL = 0,5 · 8 · 3 = 12 см². SAKL = SABCD-SABK-SKCL-SADL = 48-12-6-12 = 18 см².
Завдання 22. На рисунку зображено квадрат ABCD. Точки K, L, M належать сторонам ВС, CD та AD відповідно, BK = 8 см. Трикутники KCL та LDM рівні, KC = LD = 15 см.SABCD = AB · BC = 6 · 8 = 48 см². Так як К - середина ВС, то ВК = КС = ВС:2 = 8:2 = 4 см. Площа трикутника АВК SABK = 0,5AB · BK = 0,5 · 6 · 4 = 12 см². Так як L - середина СD, то CL = LD = CD:2 = 6:2 = 3 см. Площа трикутника KCL SKCL = 0,5KC · CL = 0,5 · 4 · 3 = 6 см². Площа трикутника ADL SADL = 0,5AD · DL = 0,5 · 8 · 3 = 12 см². SAKL = SABCD-SABK-SKCL-SADL = 48-12-6-12 = 18 см².
1. Визначте довжину відрізка KL (у см).
2. Обчисліть площу трикутника KLM (у см²).
Показати відповідь
17; 144,5.
1. ВС = 8 + 15 = 23 см. Так як ABCD - квадрат, то CD = BC = 23 см. CL = CD-LD = 23-15 = 8 см. Тоді з прямокутного трикутника KCL за теоремою Піфагора KL² = KC² + CL² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289. Тоді KL = 17 см.
2. Знайдемо площу прямокутного трикутника KCL: SKCL = KC · CL:2 = 15 · 8:2 = 15 · 4 = 60. Тоді площа рівного йому трикутника LDM також 60. AM = AD-MD = 23-8 = 15. Площа трапеції АВКМ дорівнює SABKM = (BK + AM) · AB:2 = (8 + 15) · 23:2 = 23²:2 = 529:2 = 264,5. Площа квадрата ABCD дорівнює SABCD = 23² = 529. Площу трикутника KLM мождна знайти як різницю площі квадрата і площ білих фігур. Маємо SKLM = SABCD-SABKM-SKCL-SLMD = 529-264,5-60-60 = 264,5-120 = 144,5 см².
Завдання 23. Гіпотенуза АС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС дорівнює 3,6 м. У цей трикутник вписано квадрат MNKP, дві вершини якого знаходяться на гіпотенузі, а дві інші — на катетах.2. Знайдемо площу прямокутного трикутника KCL: SKCL = KC · CL:2 = 15 · 8:2 = 15 · 4 = 60. Тоді площа рівного йому трикутника LDM також 60. AM = AD-MD = 23-8 = 15. Площа трапеції АВКМ дорівнює SABKM = (BK + AM) · AB:2 = (8 + 15) · 23:2 = 23²:2 = 529:2 = 264,5. Площа квадрата ABCD дорівнює SABCD = 23² = 529. Площу трикутника KLM мождна знайти як різницю площі квадрата і площ білих фігур. Маємо SKLM = SABCD-SABKM-SKCL-SLMD = 529-264,5-60-60 = 264,5-120 = 144,5 см².
1. Визначте площу трикутника ABC (у м²).
2. Обчисліть площу квадрата MNKP (у м²).
Показати відповідь
3,24; 1,44.
1. Так як трикутник рівнобедрений, то АВ = ВС. Запишемо теорему Піфагора для цього трикутника: AB² + BC² = AC²
AB² + AB² = 3,6²
2AB² = 12,96
AB² = 6,48
Площа трикутника АВС S = 0,5AB · BC = 0,5AB · AB = 0,5AB² = 0,5 · 6,48 = 3,24.
2. Так як трикутник прямокутний рівнобедрений, то гострі кути в нього по 45°. Тоді в прямокутному трикутнику АМР кут АРМ також 45°. Тоді трикутник АМР рівнобедрений і АМ = МР. Аналогічно маємо NC = KN. Так як MNKP - квадрат, то в нього всі сторони рівні і AM = MN = NC. Тоді MN = 3,6:3 = 1,2. Площа квадрата S = MN² = 1,2² = 1,44.
Завдання 24. На стороні ВС ромба ABCD як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторону DC у точці К. Відстані від точки К до вершин В і С дорівнюють 7 см та \sqrt{15}см відповідно.AB² + AB² = 3,6²
2AB² = 12,96
AB² = 6,48
Площа трикутника АВС S = 0,5AB · BC = 0,5AB · AB = 0,5AB² = 0,5 · 6,48 = 3,24.
2. Так як трикутник прямокутний рівнобедрений, то гострі кути в нього по 45°. Тоді в прямокутному трикутнику АМР кут АРМ також 45°. Тоді трикутник АМР рівнобедрений і АМ = МР. Аналогічно маємо NC = KN. Так як MNKP - квадрат, то в нього всі сторони рівні і AM = MN = NC. Тоді MN = 3,6:3 = 1,2. Площа квадрата S = MN² = 1,2² = 1,44.
1. Визначте периметр ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть площу трикутника ABC (у см²).
Показати відповідь
32; 28.
1. Так як кут ВКС вписаний в коло і спирається на його діаметр, то він прямий. Тоді в прямокутному трикутнику ВКС за теоремою Піфагора ВС² = ВК² + КС² = 49 + 15 = 64. Звідси ВС = 8 см. Периметр ромба P = 4DC = 4 · 8 = 32 см.
2. Площа ромба S = CD · BK = 8 · 7 = 56 см². Так як трикутник АВС займає половину ромба, то його площа дорівнює половині площі ромба, тобто 56:2 = 28 см².
Завдання 25. У ромбі ABCD з вершини тупого кута D до сторони ВС проведено перпендикуляр DK. BK = 4 см, КС = 6 см.2. Площа ромба S = CD · BK = 8 · 7 = 56 см². Так як трикутник АВС займає половину ромба, то його площа дорівнює половині площі ромба, тобто 56:2 = 28 см².
1. Визначте довжину перпендикуляра DK (у см).
2. Обчисліть площу ромба ABCD (у см²).
Показати відповідь
8; 80.
1. Знайдемо сторону ромба ВС = ВК + КС = 4 + 6 = 10 см. Тоді з прямокутного трикутника CDK за теоремою Піфагора DK² = DC²-CK² = 10²-6² = 100-36 = 64. Отже DK = 8 см.
2. Площа ромба S = CB · DK = 10 · 8 = 80 см².
Завдання 26. Точки K і L – середини сторін AB і AD паралелограма ABCD (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника KBCDL(у см²), якщо площа паралелограма ABCD дорівнює 24 см².
2. Площа ромба S = CB · DK = 10 · 8 = 80 см².
Показати відповідь
21.
Оскільки площа паралелограма S = absinα, то за умовою АВ · ADsinA = 24. Так як K і L – середини сторін AB і AD, то AK = AB:2, AL = AD:2. Площа трикутника AKL S = 0,5AK · ALsinA = 0,5(AB:2) · (AD:2)sinA = 0,5 · (24:4) = 3. Так як даний трикутник доповнює п'ятикутник KBCDL до паралелограма ABCD, то площа п’ятикутника KBCDL 24-3 = 21 см².
Завдання 27. На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює 96 см². У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.
Оскільки площа паралелограма S = absinα, то за умовою АВ · ADsinA = 24. Так як K і L – середини сторін AB і AD, то AK = AB:2, AL = AD:2. Площа трикутника AKL S = 0,5AK · ALsinA = 0,5(AB:2) · (AD:2)sinA = 0,5 · (24:4) = 3. Так як даний трикутник доповнює п'ятикутник KBCDL до паралелограма ABCD, то площа п’ятикутника KBCDL 24-3 = 21 см².
Показати відповідь
48.
Оскільки зафарбовані частини ромба симетричні незафарбованим відносно діагоналі ромба, то їх площі рівні. Тому площа зафарбованої фігури вдвічі менше площі ромба, тобто дорівнює 96:2 = 48 см².
Завдання 28. На рисунку зображено рівнобічну трапецію ABCD та квадрат КВСМ. Точки К і М — середини діагоналей АС і BD трапеції відповідно. Площа квадрата КВСМ дорівнює 18 см².Оскільки зафарбовані частини ромба симетричні незафарбованим відносно діагоналі ромба, то їх площі рівні. Тому площа зафарбованої фігури вдвічі менше площі ромба, тобто дорівнює 96:2 = 48 см².
1. Визначте довжину діагоналі АС (у см).
2. Обчисліть площу трапеції ABCD (у см²).
Показати відповідь
12; 72.
1. Так як площа квадрата 18, то BC² = 18. В прямокутному трикутнику КВС за теоремою Піфагора КС² = ВС² + ВК² = ВС² + ВС² = 18 + 18 = 36. Звідси КС = 6 см. Так як К - середина АС, то АС = 2КС = 2 · 6 = 12 см.
2. Площа чотирикутника може бути знайдена за формулою S = 0,5d₁d₂sinφ, де d₁, d₂ - діагоналі ромба, φ - кут між ними. Так як трапеція рівнобічна, то вона має рівні діагоналі. Кут між діагоналями прямий (кут між діагоналями квадрата, прямий). Тому S = 0,5 · 12 · 12sin90° = 6 · 12 · 1 = 72 см².
Завдання 29. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчисліть (у см²) площу трапеції.
2. Площа чотирикутника може бути знайдена за формулою S = 0,5d₁d₂sinφ, де d₁, d₂ - діагоналі ромба, φ - кут між ними. Так як трапеція рівнобічна, то вона має рівні діагоналі. Кут між діагоналями прямий (кут між діагоналями квадрата, прямий). Тому S = 0,5 · 12 · 12sin90° = 6 · 12 · 1 = 72 см².
Показати відповідь
864.
КН - середня лінія трикутника АВС, тому ВС = 2КН = 26 см. Аналогічно, НМ - середня лінія трикутника ACD і AD = 2HM = 46 см. Так як маємо паралельні прямі ВС і AD та січну АС, то кути ВСА та САD рівні як внутрішні різносторонні. Так як кути ВАС і САD рівні як кути, утворені бісектрисою, то маємо що кути ВСА та ВАС рівні. Тому трикутник АВС є рівнобедреним і АВ = ВС = 26 см. Проведемо висоти ВР і СО. Так як трапеція рівнобедрена, то АР = ОD = (AD-PO):2 = (46-26):2 = 10 см (РО = ВС = 26 см). В прямокутному трикутнику АВР за теоремою Піфагора BP² = AB²-AP² = 26²-10² = (26-10)(26 + 10) = 16 · 36. Тоді ВР = 4 · 6 = 24 см. Площа трапеції S = (BC + AD)BP:2 = (26 + 46)24:2 = 72 · 12 = 864 м².
Коментарі