Перейти до основного вмісту

Площі фігур

    Площі фігур
    Площа трикутника:
    • S=0,5absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними)
    • S=0,5aha (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
    • S=, p=(a+b+c):2 (Формула Герона)
    • S= (R-радіус описаного кола)
    • S=pr (r-радіус вписаного кола)
    Площа паралелограма:
    • S=absinα (Площа паралелограма дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
    • S=aha (Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
    • S=0,5d1d2sinφ (Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними)
    Площа ромба:
    • S=absinα (Площа ромба дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
    • S=aha (Площа ромба дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
    • S=0,5d1d2 (Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей)
    Площа прямокутника:
    • S=ab (Площа прямокутника дорівнює добутку сусідніх сторін)
    Площа квадрата:
    • S=a2(Площа квадрата дорівнює квадрату сторони)
    Площа трапеції:
    • S= (Площа трапеції дорівнює добутку половині суми основ на висоту)
    Площі подібних фігур:
    • S1:S2=k2 (Площа подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності)
  1. НМТ 2024. На стороні AD паралелограма ABCD вибрано точку K так, що AK : KD = 3 : 2, BK = CD (див. рисунок). Визначте площу паралелограма ABCD, якщо ∠AKB = α, BC = 20.
    АБВГД
    120tgα 160sinα 60cosα
    Показати відповідь
    Б.
  2. НМТ 2023. Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями - 60o (див. рисунок). Визначте площу (см2) прямокутника.
    АБВГД
    16 32
    Показати відповідь
    В.
  3. НМТ 2023. У паралелограмі ABCD ∠A=30o, бічна сторона АВ = 12 см. Сторона AD втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см2) цього паралелограма.
    АБВГД
    54 108 216
    Показати відповідь
    В.Скористатись властивістю катета, який лежить навпроти кута 30o.
  4. Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС в точці K. Обчисліть площу чотирикутника AKCD, якщо ВK = KС = 8 см.
    АБВГД
    48 см2 72 см2 96 см2 128 см2 192 см2
    Показати відповідь
    В.Визначити тип трикутника ВАК.
  5. Екрани телевізорів, зображених на рис.1 і 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно 32 дюйма і 48 дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис.1.

    АБВГД
    в 1,5 рази у 16 разів у 2,56 рази у 4 рази у 2,25 рази
    Показати відповідь
    Д.
    Знайти коефіцієнт подібності.
  6. У трикутнику АВС точка М — середина сторони ВС, АС=24 см (див. рисунок). Знайдіть відстань d від точки М до сторони АС, якщо площа трикутника АВС дорівнює 96 см2.

    АБВГД
    2 см 3 см 4 см 6 см 8 см
    Показати відповідь
    В. Застосувати формулу площі трикутника через висоту.
  7. На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см2. Точка М належить стороні ВС. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

    АБВГД
    45 см2 40 см2 35 см2 30 см2 20 см2
    Показати відповідь
    Г.
  8. Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м і утворює з його діагоналлю кут 60o. Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.
    АБВГД
    64 м2 128 м2 128 м2 256 м2 256 м2
    Показати відповідь
    Б. Визначити тип утвореного чотирикутника.
  9. У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см2. Обчисліть площу прямокутника ABCD.

    АБВГД
    24 см2 30 см2 36 см2 42 см2 48 см2
    Показати відповідь
    Д.
  10. На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на
    2 Паралелограм, менший кут якого дорівнює 300, зображено на
    3 Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на    		 А рис. 1
    Б рис. 2
    В рис. 3
    Г рис. 4
    Д рис. 5
    Показати відповідь
    1-А, 2-Б, 3-Д.
  11. Квадрат ABCD й прямокутна трапеція BMNC лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює 36 см2, АМ = 15 см. Установіть відповідність між відрізком (1-3) і його довжиною (А-Д).

    Відрізок Довжина відрізка
    1 сторона квадрата ABCD
    2 висота трапеції BMNC
    3 менша основа трапеції BMNC     		А 2 см
    Б 3 см
    В 4 см
    Г 6 см
    Д 9 см
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Д, 3-А.
  12. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).

    Геометрична фігура Площа геометричної фігури
    1 круг радіуса 4 см (рис. 1)
    2 півкруг радіуса 6 см (рис. 2)
    3 сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30o (рис. 3)
    4 кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)     		А 12π см2
    Б 16π см2
    В 18π см2
    Г 20π см2
    Д 24π см2
    Показати відповідь
    1-Б, 2-В, 3-А, 4-Г.
  13. Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).

    Геометрична фігура Площа геометричної фігури
    1ромб зі стороною 6 см і тупим кутом 120o
    2 квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
    3 паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
    4 прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут 30o    		 А 12 см2
    Б 16 см2
    В 18 см2
    Г 12 см2
    Д 18 см2
    Показати відповідь
    1-Д, 2-Б, 3-В, 4-Г.
  14. На рисунку зображено прямокутник ABCD й сектор KAD, у якому ∠KAD=90o. Площа сектора KAD дорівнює 100π см2. Дуга KAD перетинає сторону ВС в точці М, причому ВМ=16 см.

    1. Визначте довжину (у см) сторони AD.
    2. Обчисліть площу (у см2) прямокутника ABCD.
    Показати відповідь
    20; 240.
    1. Знайти площу всього кола.
    2. Застосувати теорему Піфагора.
  15. На рисунку зображено прямокутник ABCD й коло, яке дотикається до сторони АВ й сторін ВС й AD в точках М і К відповідно. Периметр чотирикутника АВМК дорівнює 24 см, а довжина відрізка КС — 17 см.

    1. Визначте радіус (у см) кола.
    2. Обчисліть площу (у см2) прямокутника ABCD.
    Показати відповідь
    4; 152.
    2. Застосувати теорему Піфагора.
  16. На папері в клітинку зображено трикутник АВС (див. рисунок). Вважайте, що кожна клітинка — квадрат зі стороною завдовжки 1 см. Знайдіть площу трикутника АВС.

    Показати відповідь
    7,5.
  17. На рисунку зображено прямокутник ABCD та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці О1 дотикається сторін АВ, ВС та AD, а коло із центром у точці О2 проходить через вершини С та D. Відстані від точки О2 до вершини С та сторони CD дорівнюють 20 см та 12 см відповідно.

    1. Визначте радіус меншого кола (у см).
    2. Обчисліть площу трикутника DО1C (у см2).
    Показати відповідь
    16; 768.
  18. На рисунку зображено прямокутник ABCD та півколо з центром О. AD – діаметр півкола. ВК:КМ=1:3, АВ=4 см.

    1. Визначте радіус півкола (у см).
    2. Обчисліть площу трикутника КОМ (у см2).
    Показати відповідь
    5; 12.
  19. На стороні AD паралелограма ABCD як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони ВС в точці М. Довжина дуги MD дорівнює 6,5π см.
    1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього кола.
    2. Обчисліть площу паралелограма ABCD (у см2).
    Показати відповідь
    13; 338.
  20. План паркової зони, обмеженої трикутником АВС, зображено на рисунку. Дуга АВ — велосипедна доріжка. Відомо, що дуга АВ є четвертою частиною кола радіуса 1,8 км. СА і СВ — дотичні до цього кола (А і В — точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км2).

    Показати відповідь
    1,62.
  21. У прямокутнику ABCD: АВ=6 см, ВС=8 см, K і L – середини сторін ВС і СD відповідно (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника AKL (у см2).

    Показати відповідь
    18.
  22. На рисунку зображено квадрат ABCD. Точки K, L, M належать сторонам ВС, CD та AD відповідно, BK=8 см. Трикутники KCL та LDM рівні, KC=LD=15 см.
    1. Визначте довжину відрізка KL (у см).
    2. Обчисліть площу трикутника KLM (у см2).

    Показати відповідь
    17; 144,5.
  23. Гіпотенуза АС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС дорівнює 3,6 м. У цей трикутник вписано квадрат MNKP, дві вершини якого знаходяться на гіпотенузі, а дві інші — на катетах.
    1. Визначте площу трикутника ABC (у м2).
    2. Обчисліть площу квадрата MNKP (у м2).
    Показати відповідь
    3,24; 1,44.
  24. На стороні ВС ромба ABCD як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторону DC у точці К. Відстані від точки К до вершин В і С дорівнюють 7 см та см відповідно.
    1. Визначте периметр ромба ABCD (у см).
    2. Обчисліть площу трикутника ABC (у см2).
    Показати відповідь
    32; 28.
  25. У ромбі ABCD з вершини тупого кута D до сторони ВС проведено перпендикуляр DK. BK=4 см, КС=6 см.
    1. Визначте довжину перпендикуляра DK (у см).
    2. Обчисліть площу ромба ABCD (у см2).
    Показати відповідь
    8; 80.
  26. Точки K і L – середини сторін AB і AD паралелограма ABCD (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника KBCDL(у см2), якщо площа паралелограма ABCD дорівнює 24 см2.

    Показати відповідь
    21.
  27. На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює 96 см2. У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.

    Показати відповідь
    48.
  28. На рисунку зображено рівнобічну трапецію ABCD та квадрат КВСМ. Точки К і М — середини діагоналей АС і BD трапеції відповідно. Площа квадрата КВСМ дорівнює 18 см2.
    1. Визначте довжину діагоналі АС (у см).
    2. Обчисліть площу трапеції ABCD (у см2).

    Показати відповідь
    12; 72. 2. Площа чотирикутника може бути знайдена за формулою S=0,5d1d2sinφ, де d1, d2 - діагоналі, φ - кут між ними.
  29. Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчисліть (у см2) площу трапеції.
    Показати відповідь
    864.
⇐V.8.
Коло та круг		 До змісту ⇒V.10.
Координати на площині

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Тригонометричні вирази

Функція 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o sin 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 1 не існує 0 не існує сtg не існує 1 0 не існує 0 Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими: sin 2 α+cos 2 α = 1 tgαctgα = 1 1+tg 2 α = 1+ctg 2 α = tgα = ctgα = Тригонометричні функції суми кутів: sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ tg(α+β) = tg(α-β) = Формули зведення: 1. Визначити знак функції для даного кута. Функція (0,90 o ) (90 o ,180 o ) (180 o ,270 o ) (270 o ,360 o ) sin + + - - cos + - - + tg,ctg + - + - 2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію ...
Дописати коментар
Read more »