Шлях до математики: кроки успіху: Площі фігур

Площі фігур
Площа трикутника:

S=0,5absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними)
S=0,5ah_a (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
S= $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ , p=(a+b+c):2 (Формула Герона)
S= $\frac{abc}{4R}$ (R-радіус описаного кола)
S=pr (r-радіус вписаного кола)

Площа паралелограма:

S=absinα (Площа паралелограма дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
S=ah_a (Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
S=0,5d₁d₂sinφ (Площа паралелограма дорівнює половині добутку діагоналей на синус кута між ними)

Площа ромба:

S=absinα (Площа ромба дорівнює добутку двох сторін на синус кута між ними)
S=ah_a (Площа ромба дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони)
S=0,5d₁d₂ (Площа ромба дорівнює половині добутку діагоналей)

Площа прямокутника:

S=ab (Площа прямокутника дорівнює добутку сусідніх сторін)

Площа квадрата:

S=a²(Площа квадрата дорівнює квадрату сторони)

Площа трапеції:

S= $\frac{a+b}{2}\cdot{h}$ (Площа трапеції дорівнює добутку половині суми основ на висоту)

Площі подібних фігур:

S₁:S₂=k² (Площа подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності)

НМТ 2024. На стороні AD паралелограма ABCD вибрано точку K так, що AK : KD = 3 : 2, BK = CD (див. рисунок). Визначте площу паралелограма ABCD, якщо ∠AKB = α, BC = 20.

А Б В Г Д

$\frac{120}{tg\alpha}$ 120tgα 160sinα 60cosα $\frac{60}{tg\alpha}$

Відповідь

Б.

Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 60 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "5.9. Площі фігур". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.

Зразок

НМТ 2023. Менша сторона прямокутника дорівнює 4 см, а кут між його діагоналями - 60^o (див. рисунок). Визначте площу (см²) прямокутника.

А Б В Г Д

$8\sqrt{3}$ 16 $16\sqrt{3}$ 32 $32\sqrt{3}$

Відповідь

В.
НМТ 2023. У паралелограмі ABCD ∠A=30^o, бічна сторона АВ = 12 см. Сторона AD втричі більша за висоту, проведену до цієї сторони (див. рисунок). Визначте площу (см²) цього паралелограма.

А Б В Г Д

54 $54\sqrt{3}$ 108 $108\sqrt{3}$ 216

Відповідь

В.Скористатись властивістю катета, який лежить навпроти кута 30^o.

Бісектриса кута А прямокутника ABCD перетинає сторону ВС в точці K. Обчисліть площу чотирикутника AKCD, якщо ВK = KС = 8 см.

А Б В Г Д

48 см² 72 см² 96 см² 128 см² 192 см²

Відповідь

В.Визначити тип трикутника ВАК.
Екрани телевізорів, зображених на рис.1 і 2, мають форму прямокутників, відповідні сторони яких пропорційні. Діагоналі екранів цих телевізорів дорівнюють відповідно 32 дюйма і 48 дюймів. Визначте, у скільки разів площа екрана телевізора, зображеного на рис. 2, більша за площу екрана телевізора, зображеного на рис.1.

А Б В Г Д

в 1,5 рази у 16 разів у 2,56 рази у 4 рази у 2,25 рази

Відповідь

Д.
Знайти коефіцієнт подібності.
У трикутнику АВС точка М — середина сторони ВС, АС=24 см (див. рисунок). Знайдіть відстань d від точки М до сторони АС, якщо площа трикутника АВС дорівнює 96 см².

А Б В Г Д

2 см 3 см 4 см 6 см 8 см

Відповідь

В. Застосувати формулу площі трикутника через висоту.

На рисунку зображено паралелограм ABCD, площа якого дорівнює 60 см². Точка М належить стороні ВС. Визначте площу фігури, що складається з двох зафарбованих трикутників.

А Б В Г Д

45 см² 40 см² 35 см² 30 см² 20 см²

Відповідь

Г.
Менша сторона прямокутника дорівнює 16 м і утворює з його діагоналлю кут 60^o. Середини всіх сторін прямокутника послідовно сполучено. Знайдіть площу утвореного чотирикутника.

А Б В Г Д

64 $\sqrt{3}$ м² 128 $\sqrt{3}$ м² 128 м² 256 м² 256 $\sqrt{3}$ м²

Відповідь

Б. Визначити тип утвореного чотирикутника.
У прямокутнику ABCD прямі m і n проходять через точку перетину діагоналей. Площа фігури, що складається з трьох зафарбованих трикутників, дорівнює 12 см². Обчисліть площу прямокутника ABCD.

А Б В Г Д

24 см² 30 см² 36 см² 42 см² 48 см²

Відповідь

Д.

На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять паралелограмів. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Паралелограм, діагоналі якого перетинаються під прямим кутом, зображено на 2 Паралелограм, менший кут якого дорівнює 30⁰, зображено на 3 Паралелограм, площа якого дорівнює 16, зображено на	А рис. 1 Б рис. 2 В рис. 3 Г рис. 4 Д рис. 5

Відповідь

1-А, 2-Б, 3-Д.

Квадрат ABCD й прямокутна трапеція BMNC лежать в одній площині (див. рисунок). Площа кожної із цих фігур дорівнює 36 см², АМ = 15 см. Установіть відповідність між відрізком (1-3) і його довжиною (А-Д).

Відрізок	Довжина відрізка
1 сторона квадрата ABCD 2 висота трапеції BMNC 3 менша основа трапеції BMNC	А 2 см Б 3 см В 4 см Г 6 см Д 9 см

Відповідь

1-Г, 2-Д, 3-А.

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).

Геометрична фігура	Площа геометричної фігури
1 круг радіуса 4 см (рис. 1) 2 півкруг радіуса 6 см (рис. 2) 3 сектор радіуса 12 см з градусною мірою центрального кута 30^o (рис. 3) 4 кільце, обмежене колами радіусів 4 см і 6 см (рис. 4)	А 12π см² Б 16π см² В 18π см² Г 20π см² Д 24π см²

Відповідь

1-Б, 2-В, 3-А, 4-Г.

Установіть відповідність між геометричною фігурою (1-4) та її площею (А-Д).

Геометрична фігура

Площа геометричної фігури

1ромб зі стороною 6 см і тупим кутом 120^o
2 квадрат, у який уписане коло радіуса 2 см
3 паралелограм, одна сторона якого дорівнює 5 см, а висота, проведена з вершини тупого кута, ділить іншу сторону на відрізки завдовжки 4 см і 2 см
4 прямокутник, більша сторона якого дорівнює 6 см й утворює з діагоналлю кут 30^o

А 12 см²
Б 16 см²
В 18 см²
Г 12 $\sqrt{3}$ см²
Д 18 $\sqrt{3}$ см²

Відповідь

1-Д, 2-Б, 3-В, 4-Г.

На рисунку зображено прямокутник ABCD й сектор KAD, у якому ∠KAD=90^o. Площа сектора KAD дорівнює 100π см². Дуга KAD перетинає сторону ВС в точці М, причому ВМ=16 см.
1. Визначте довжину (у см) сторони AD.
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.
Відповідь

20; 240.
1. Знайти площу всього кола.
2. Застосувати теорему Піфагора.
На рисунку зображено прямокутник ABCD й коло, яке дотикається до сторони АВ й сторін ВС й AD в точках М і К відповідно. Периметр чотирикутника АВМК дорівнює 24 см, а довжина відрізка КС — 17 см.
1. Визначте радіус (у см) кола.
2. Обчисліть площу (у см²) прямокутника ABCD.
Відповідь

4; 152.
2. Застосувати теорему Піфагора.
На папері в клітинку зображено трикутник АВС (див. рисунок). Вважайте, що кожна клітинка — квадрат зі стороною завдовжки 1 см. Знайдіть площу трикутника АВС.

Відповідь

7,5.
На рисунку зображено прямокутник ABCD та два кола, що мають зовнішній дотик. Коло із центром у точці О₁ дотикається сторін АВ, ВС та AD, а коло із центром у точці О₂ проходить через вершини С та D. Відстані від точки О₂ до вершини С та сторони CD дорівнюють 20 см та 12 см відповідно.
1. Визначте радіус меншого кола (у см).
2. Обчисліть площу трикутника DО₁C (у см²).
Відповідь

16; 768.
На рисунку зображено прямокутник ABCD та півколо з центром О. AD – діаметр півкола. ВК:КМ=1:3, АВ=4 см.
1. Визначте радіус півкола (у см).
2. Обчисліть площу трикутника КОМ (у см²).
Відповідь

5; 12.
На стороні AD паралелограма ABCD як на діаметрі побудовано півколо так, що воно дотикається до сторони ВС в точці М. Довжина дуги MD дорівнює 6,5π см.
1. Обчисліть (у см) довжину радіуса цього кола.
2. Обчисліть площу паралелограма ABCD (у см²).
Відповідь

13; 338.
План паркової зони, обмеженої трикутником АВС, зображено на рисунку. Дуга АВ — велосипедна доріжка. Відомо, що дуга АВ є четвертою частиною кола радіуса 1,8 км. СА і СВ — дотичні до цього кола (А і В — точки дотику). Обчисліть площу зображеної на плані паркової зони (у км²).

Відповідь

1,62.
У прямокутнику ABCD: АВ=6 см, ВС=8 см, K і L – середини сторін ВС і СD відповідно (див. рисунок). Знайдіть площу трикутника AKL (у см²).

Відповідь

18.
На рисунку зображено квадрат ABCD. Точки K, L, M належать сторонам ВС, CD та AD відповідно, BK=8 см. Трикутники KCL та LDM рівні, KC=LD=15 см.
1. Визначте довжину відрізка KL (у см).
2. Обчисліть площу трикутника KLM (у см²).

Відповідь

17; 144,5.
Гіпотенуза АС рівнобедреного прямокутного трикутника АВС дорівнює 3,6 м. У цей трикутник вписано квадрат MNKP, дві вершини якого знаходяться на гіпотенузі, а дві інші — на катетах.
1. Визначте площу трикутника ABC (у м²).
2. Обчисліть площу квадрата MNKP (у м²).
Відповідь

3,24; 1,44.
На стороні ВС ромба ABCD як на діаметрі побудовано коло, яке перетинає сторону DC у точці К. Відстані від точки К до вершин В і С дорівнюють 7 см та $\sqrt{15}$ см відповідно.
1. Визначте периметр ромба ABCD (у см).
2. Обчисліть площу трикутника ABC (у см²).
Відповідь

32; 28.
У ромбі ABCD з вершини тупого кута D до сторони ВС проведено перпендикуляр DK. BK=4 см, КС=6 см.
1. Визначте довжину перпендикуляра DK (у см).
2. Обчисліть площу ромба ABCD (у см²).
Відповідь

8; 80.
Точки K і L – середини сторін AB і AD паралелограма ABCD (див. рисунок). Знайдіть площу п’ятикутника KBCDL(у см²), якщо площа паралелограма ABCD дорівнює 24 см².

Відповідь

21.
На рисунку зображено ромб, площа якого дорівнює 96 см². У ромб вписано коло. Визначте площу зафарбованої фігури.

Відповідь

48.
На рисунку зображено рівнобічну трапецію ABCD та квадрат КВСМ. Точки К і М — середини діагоналей АС і BD трапеції відповідно. Площа квадрата КВСМ дорівнює 18 см².
1. Визначте довжину діагоналі АС (у см).
2. Обчисліть площу трапеції ABCD (у см²).

Відповідь

12; 72. 2. Площа чотирикутника може бути знайдена за формулою S=0,5d₁d₂sinφ, де d₁, d₂ - діагоналі, φ - кут між ними.
Діагональ рівнобічної трапеції є бісектрисою її гострого кута і ділить середню лінію трапеції на відрізки довжиною 13 см і 23 см. Обчисліть (у см²) площу трапеції.
Відповідь

864.