- Відстань між точками А(хA;yA) та B(хB;yB) знаходять за формулою AB=
- Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: хO=
, yO=
- Точка С лежить на осі х прямокутної системи координат і знаходиться на відстані 5 від точки А (-2;4). Відрізок АС перетинає вісь у. Знайдіть координати точки С.
А Б В Г Д (1;0) (0;1) (-5;0) (0;0) (3;4) Відповідь
А.
Так як точка С лежить на осі х, то вона має координати (х;0). Знайдемо довжину відрізка АС. АС==
. Оскільки ця відстань за умовою дорівнює 5, то маємо рівняння:
(x+2)2+16=25
(x+2)2=9.
Тоді х+2=3 або х+2= -3. З першої рівності маємо х=1, з другої х= -5. Так як відрізок АС перетинає вісь у, то точки А і С мають різні знаки першої координати. Так як точка А має від'ємну координату х (-2), то точка С має додатню. Отже х=1 і координати точки С (1;0). - На координатній площині ху зображено коло, яке дотикається до прямих х=2, х=6 та осі х (див. рисунок). Визначте координати точки, яка є центром цього кола.
А Б В Г Д (4;1) (6;2) (4;4) (2;4) (4;2) Відповідь
Д.
Так як коло дотикається паралельних прямих, то його радіус дорівнює половині відстані між ними, тобто R=(6-2):2=2. Тоді х=2+2=4 (або 6-2=4), у=0+2=2. Маємо точку (4;2). - На координатній площині ху зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки К (8;6) і М (х;у) належать цьому колу. Визначте координати точки М.
А Б В Г Д (-10;0) (10;0) (0;-14) (0;-10) (0;10) Відповідь
Г.
Так як точка K належить колу, то ОК - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R=OK==
=10. Так як точка М лежить на осі у, то її координата по х дорівнює 0, а у дорівнює радіусу кола з від'ємним знаком (точка М лежить нижче осі Ох). Отже х=0, у= -10.
- Коло, з центром у точки О (хО;yО) і радіусом R має рівняння
(x-хО)2+(y-yО)2=R2 - Якому з наведених рівнянь може задавати коло, зображене на рисунку?
А) (х+2)2+(у-1)2=4
Б) (х-2)2+(у+1)2=4
В) (х+2)2+(у-1)2=1
Г) (х-2)2+(у+1)2=1
Д) (х+2)2+(у-1)2=9Відповідь
А.
З формули (х-а)2+(у-b)2=R2 випливає, що у відповідях А, В, Д центр кола знаходиться в точці (-2;1), а у відповідях Б, Г в точці (2;-1). За малюнком підходить лише центр (-2;1). Залишаємо лише відповіді А, В, Д. Так як коло дотикається осі Оу, то радіус кола співпадає з модулем абсциси центра кола. Отже R=2. Тоді R2=4 і залишається відповідь А. - У координатній площині ху зображено п’ять точок: O, L, N, M, K (див. рисунок). Коло з центром в одній із цих точок дотикається до осі ординат у точці М. У якій точці знаходиться центр цього кола?
А Б В Г Д у точці L у точці N у точці M у точці O у точці K Відповідь
Б.
Оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної, то центр кола лежить на прямій, перпендикулярній до осі Оу і що проходить через точку V. На цій прямій лежить лише точка N. - Точка А (3;1) належить колу з центром у точці О (-2;1). Знайдіть радіус цього кола.
А Б В Г Д 10 5 3 2 1 Відповідь
Б.
Так як точка А належить колу, то ОА - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R=OА==
=5.
- Обчисліть площу чотирикутника ABCD (див. рисунок), сторони AB і CD якого паралельні вісі Оу.
А Б В Г Д 10 5 3 6 7 Відповідь
Г.
За малюнком сторона АВ дорівнює 3-1=2. Висота паралелограма, проведена з точки С до АВ дорівнює 5-2=3. За формулою площі паралелограма S=2⋅3=6. - У прямокутній системі координат на площині ху задано точки О (0;0) і А (6;8). З точки А на вісь х опущено перпендикуляр. Точка В — основа цього перпендикуляра. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
Величина Числове значення 1 довжина вектора ОА
2 відстань від точки А до осі х
3 ордината точки В
4 довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника ОАВА 0
Б 5
В 6
Г 8
Д 10Відповідь
1-Д, 2-Г, 3-А, 4-Б.
1) Довжина вектора дорівнює відстані між точками О і А. Маємо OА==
=10
2) Відстань від точки до осі дорівнює модулю іншої координати. Так як шукаємо відстань від точки до осі х, то беремо значення у, тобто 8.
3) Оскільки точка В - основа перпендикуляра, проведеного до осі х, то точка В лежить на цій осі. Звідси ордината (у) точки В дорівнює 0.
4) Так як АВ - перпендикуляр до ОВ, то трикутник ОАВ прямокутний з гіпотенузою ОА, що дорівнює 10. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Маємо R=OA:2=10:2=5. - 2020. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник ABC, у якому АВ=ВС. Вершина В лежить на прямій у=2х+9. Визначте площу трикутника АВС, якщо А(-6;-8), С(4;-8).
Відповідь
75.
Так як точка В лежить на прямій у=2х+9, то вона має координати (х;2х+9). За формулою відстані між двома точками маємо AB2=(x+6)2+(2x+9+8)2=(x+6)2+(2x+17)2, CB2=(x-4)2+(2x+9+8)2=(x-4)2+(2x+17)2. Так як з умови АВ=ВС, то АВ2=ВС2. Маємо рівняння:
(x+6)2+(2x+17)2=(x-4)2+(2x+17)2
(x+6)2=(x-4)2
x2+12x+36=x2-8x+16
12x+8x=16-36
20x=-20
x=-1.
у=2(-1)+9=-2+7.
Отже точка В має координати (-1;7) Точки А і С мають однакові ординати, тому сторона АС паралельна осі Ох і АС=4+6=10. Висота ВЕ перпендикулярна до АС, тому вона паралельна осі Оу і ВЕ=7+8=15. Площа трикутника АВС S=AC⋅BE:2=10⋅15:2=75. - У прямокутній системі координат на площині задано трапецію ABCD (АD||ВС, АD>ВС). Площа трапеції дорівнює 42. Визначте абсцису вершини D, якщо А (-1;3), В (1;6), С (7;6).
Відповідь
21.
Так як точки В і С мають однакові ординати, то основа ВС паралельна осі Ох. Тоді висота трапеції дорівнює різниці ординат точок основ. Маємо h=6-3=3. Крім того, через паралельність ВС осі Ох, довжина ВС дорівнює різниці абсцис точок В і С. Тому ВС=7-1=6. Нехай абсциса точки D дорівнює х. Тоді AD=x-(-1)=x+1. Підставимо відомі значення у формулу S=(AD+DC)⋅h:2. Отримаємо:
42=(x+1+6)⋅3:2
42⋅2=(x+7)⋅3
84:3=x+7
28=x+7
x=21. - 2020. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник АСВ, у якому АС=ВС, А(2;-5), В(4;3). Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням (х-3)2+у2+2у=16. Визначте площу трикутника АВС.
Відповідь
17.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
(х-3)2+у2+2у=16
(х-3)2+у2+2у+1=16+1
(х-3)2+(у+1)2=17.
Тоді радіус кола R=і центр кола О(3;-1). Так як (2+4):2=3, (-5+3):2=1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ=2R=2
АС2+ВС2=АВ2.
АС2+AC2=4⋅17.
2AC2=68.
AC2=34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S=AC⋅BC:2=AC⋅AC:2=AC2:2=34:2=17. - 2019. У прямокутній системі координат на площині ху задано прямокутний трикутник АВС (∠С=90o). Коло з центром у точці А, задане рівнянням (х+3)2+у2-4у=21, проходить через вершину С. Сторона АС паралельна осі у, довжина сторони ВС втричі більша за довжину сторони АС. Визначте координати вершини В (хB; уB), якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму хB+уB.
Відповідь
19.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
(х+3)2+у2-4у=21
(х+3)2+у2-4у+4=21+4
(х+3)2+(у-2)2=25.
Тоді радіус кола R=5 і центр кола А(-3;2). Проведемо через точку А пряму, паралельну осі у і знайдемо перетин цієї прямої з колом. Отримали дві точки: С (-3;7) і С1 (-3;-3). Відповідно маємо 4 варіанти розміщення точки В (відстань від В до С втричі більша за АС, тобто 3⋅5=15): (-18;7), (12;7), (-18;-3), (12; -3), з них обираємо той, при якому точка В лежить у першій координатній чверті. Маємо координати точки В (12;7). Тоді у відповідь пишемо число 12+7=19. - У прямокутній системі координат на площині ху навколо трикутника АВС описано коло, задане рівнянням х2+у2-4х=68. Визначте довжину сторони ВС, якщо ∠А=45o.
Відповідь
12.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х2+у2-4х=68
х2-4х+у2=68
х2-4х+4+у2=68+4
(х-2)2+у2=72.
Тоді радіус кола R=. Так як коло описане навколо трикутника, то ВC:sinA=2R. Маємо рівняння
ВC:sin45o=2⋅6
ВC:sin45o=12
ВC=12sin45o=12
=12.
- 2019. Центр кола, заданого рівнянням х2-8х+у2+7=0, збігається з точкою перетину діагоналей АС і BD паралелограма ABCD. Обчисліть площу цього паралелограма, якщо А(-4;-3) і В(0;3).
Відповідь
72.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х2-8х+у2+7=0
(х2-8х+16)+у2+7=16
(х-4)2+у2=9
Тоді центр кола, а відповідно точка О перетину діагоналей паралелограма, знаходиться в точці (4;0). Так як точка О - середина діагоналі BD, то маємо хO=(хB+хD):2, звідки хD=2хО-хВ=2⋅4-0=8. Аналогічно yD=2yО-yВ=2⋅0-3= -3. Тоді координати точки D(8;-3).
Так як точки А і D мають однакові ординати, то сторона AD паралельна осі Ох і тоді висота, проведена з точки В до цієї сторони паралельна осі Оу і її довжина складає 3+3=6 (до ординати точки В додати ординату точки А з додатним знаком). Довжина AD складає 4+8=12 (до абсциси точки D додати абсцису точки А з додатним знаком). Тоді площа паралелограма дорівнює 12⋅6=72.
Координати точки
Рівняння кола
👍
ВідповістиВидалити👍Все дуже цікаво та зрозуміло👌
ВідповістиВидалити