Перейти до основного вмісту

Координати на площині

Координати на площині — це розділ, що перетворює геометрію на мову чисел. Метод координат дозволяє розв'язувати складні задачі через прості алгебраїчні обчислення, що є незамінним під час складання НМТ. Розуміння цієї теми дозволяє легко знаходити відстані, площі та описувати фігури рівняннями.

На цій сторінці ми розберемо типові завдання НМТ: від знаходження середини відрізка до аналізу рівнянь кола. Ви навчитеся швидко визначати радіуси, центри кіл та обчислювати площі багатокутників, використовуючи лише координати їхніх вершин.

    Координати точки
    • Відстань між точками А(хA;yA) та B(хB;yB) знаходять за формулою AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
    • Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: хO=\frac{x_A+x_B}{2}, yO=\frac{y_A+y_B}{2}
  1. Точка С лежить на осі х прямокутної системи координат і знаходиться на відстані 5 від точки А (-2;4). Відрізок АС перетинає вісь у. Знайдіть координати точки С.
    АБВГД
    (1;0) (0;1) (-5;0) (0;0) (3;4)
    Показати відповідь
    А.
    Так як точка С лежить на осі х, то вона має координати (х;0). Знайдемо довжину відрізка АС. АС=\sqrt{(x-(-2))^2+(0-4)^2}=\sqrt{(x+2)^2+16}. Оскільки ця відстань за умовою дорівнює 5, то маємо рівняння: \sqrt{(x+2)^2+16}=5. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності і маємо:
    (x+2)2+16=25
    (x+2)2=9.
    Тоді х+2=3 або х+2= -3. З першої рівності маємо х=1, з другої х= -5. Так як відрізок АС перетинає вісь у, то точки А і С мають різні знаки першої координати. Так як точка А має від'ємну координату х (-2), то точка С має додатню. Отже х=1 і координати точки С (1;0).
  2. На координатній площині ху зображено коло, яке дотикається до прямих х=2, х=6 та осі х (див. рисунок). Визначте координати точки, яка є центром цього кола.

    АБВГД
    (4;1) (6;2) (4;4) (2;4) (4;2)
    Показати відповідь
    Д.
    Так як коло дотикається паралельних прямих, то його радіус дорівнює половині відстані між ними, тобто R=(6-2):2=2. Тоді х=2+2=4 (або 6-2=4), у=0+2=2. Маємо точку (4;2).
  3. На координатній площині ху зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки К (8;6) і М (х;у) належать цьому колу. Визначте координати точки М.

    АБВГД
    (-10;0) (10;0) (0;-14) (0;-10) (0;10)
    Показати відповідь
    Г.
    Так як точка K належить колу, то ОК - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R=OK=\sqrt{(8-0)^2+(6-0)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10. Так як точка М лежить на осі у, то її координата по х дорівнює 0, а у дорівнює радіусу кола з від'ємним знаком (точка М лежить нижче осі Ох). Отже х=0, у= -10.
    4. Рівняння кола
    • Коло, з центром у точки О (хО;yО) і радіусом R має рівняння
      (x-хО)2+(y-yО)2=R2
  4. Якому з наведених рівнянь може задавати коло, зображене на рисунку?

    А) (х+2)2+(у-1)2=4
    Б) (х-2)2+(у+1)2=4
    В) (х+2)2+(у-1)2=1
    Г) (х-2)2+(у+1)2=1
    Д) (х+2)2+(у-1)2=9
    Показати відповідь
    А.
    З формули (х-а)2+(у-b)2=R2 випливає, що у відповідях А, В, Д центр кола знаходиться в точці (-2;1), а у відповідях Б, Г в точці (2;-1). За малюнком підходить лише центр (-2;1). Залишаємо лише відповіді А, В, Д. Так як коло дотикається осі Оу, то радіус кола співпадає з модулем абсциси центра кола. Отже R=2. Тоді R2=4 і залишається відповідь А.
  5. У координатній площині ху зображено п’ять точок: O, L, N, M, K (див. рисунок). Коло з центром в одній із цих точок дотикається до осі ординат у точці М. У якій точці знаходиться центр цього кола?

    АБВГД
    у точці L у точці N у точці M у точці O у точці K
    Показати відповідь
    Б.
    Оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної, то центр кола лежить на прямій, перпендикулярній до осі Оу і що проходить через точку V. На цій прямій лежить лише точка N.
  6. Точка А (3;1) належить колу з центром у точці О (-2;1). Знайдіть радіус цього кола.
    АБВГД
    10 5 3 2 1
    Показати відповідь
    Б.
    Так як точка А належить колу, то ОА - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R=OА=\sqrt{(3-(-2))^2+(1-1)^2}=\sqrt{(3+2)^2+0^2}=\sqrt{25}=5.
  7. Обчисліть площу чотирикутника ABCD (див. рисунок), сторони AB і CD якого паралельні вісі Оу.

    АБВГД
    10 5 3 6 7
    Показати відповідь
    Г.
    За малюнком сторона АВ дорівнює 3-1=2. Висота паралелограма, проведена з точки С до АВ дорівнює 5-2=3. За формулою площі паралелограма S=2⋅3=6.
  8. У прямокутній системі координат на площині ху задано точки О (0;0) і А (6;8). З точки А на вісь х опущено перпендикуляр. Точка В — основа цього перпендикуляра. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
    Величина Числове значення
    1 довжина вектора ОА
    2 відстань від точки А до осі х
    3 ордината точки В
    4 довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника ОАВ     		А 0
    Б 5
    В 6
    Г 8
    Д 10
    Показати відповідь
    1-Д, 2-Г, 3-А, 4-Б.
    1) Довжина вектора дорівнює відстані між точками О і А. Маємо OА=\sqrt{(6-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10
    2) Відстань від точки до осі дорівнює модулю іншої координати. Так як шукаємо відстань від точки до осі х, то беремо значення у, тобто 8.
    3) Оскільки точка В - основа перпендикуляра, проведеного до осі х, то точка В лежить на цій осі. Звідси ордината (у) точки В дорівнює 0.
    4) Так як АВ - перпендикуляр до ОВ, то трикутник ОАВ прямокутний з гіпотенузою ОА, що дорівнює 10. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Маємо R=OA:2=10:2=5.
  9. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник ABC, у якому АВ=ВС. Вершина В лежить на прямій у=2х+9. Визначте площу трикутника АВС, якщо А(-6;-8), С(4;-8).
    Показати відповідь
    75.

    Так як точка В лежить на прямій у=2х+9, то вона має координати (х;2х+9). За формулою відстані між двома точками маємо AB2=(x+6)2+(2x+9+8)2=(x+6)2+(2x+17)2, CB2=(x-4)2+(2x+9+8)2=(x-4)2+(2x+17)2. Так як з умови АВ=ВС, то АВ2=ВС2. Маємо рівняння:
    (x+6)2+(2x+17)2=(x-4)2+(2x+17)2
    (x+6)2=(x-4)2
    x2+12x+36=x2-8x+16
    12x+8x=16-36
    20x=-20
    x=-1.
    у=2(-1)+9=-2+9.
    у = 7
    Отже точка В має координати (-1;7) Точки А і С мають однакові ординати, тому сторона АС паралельна осі Ох і АС=4+6=10. Висота ВЕ перпендикулярна до АС, тому вона паралельна осі Оу і ВЕ=7+8=15. Площа трикутника АВС S=AC⋅BE:2=10⋅15:2=75.
  10. У прямокутній системі координат на площині задано трапецію ABCD (АD||ВС, АD>ВС). Площа трапеції дорівнює 42. Визначте абсцису вершини D, якщо А (-1;3), В (1;6), С (7;6).
    Показати відповідь
    21.
    Так як точки В і С мають однакові ординати, то основа ВС паралельна осі Ох. Тоді висота трапеції дорівнює різниці ординат точок основ. Маємо h=6-3=3. Крім того, через паралельність ВС осі Ох, довжина ВС дорівнює різниці абсцис точок В і С. Тому ВС=7-1=6. Нехай абсциса точки D дорівнює х. Тоді AD=x-(-1)=x+1. Підставимо відомі значення у формулу S=(AD+DC)⋅h:2. Отримаємо:
    42=(x+1+6)⋅3:2
    42⋅2=(x+7)⋅3
    84:3=x+7
    28=x+7
    x=21.
  11. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник АСВ, у якому АС=ВС, А(2;-5), В(4;3). Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням (х-3)2+у2+2у=16. Визначте площу трикутника АВС.
    Показати відповідь
    17.

    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    (х-3)2+у2+2у=16
    (х-3)2+у2+2у+1=16+1
    (х-3)2+(у+1)2=17.
    Тоді радіус кола R=\sqrt{17} і центр кола О(3;-1). Так як (2+4):2=3, (-5+3):2=1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ=2R=2\sqrt{17} і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
    АС2+ВС2=АВ2.
    АС2+AC2=4⋅17.
    2AC2=68.
    AC2=34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S=AC⋅BC:2=AC⋅AC:2=AC2:2=34:2=17.
  12. У прямокутній системі координат на площині ху задано прямокутний трикутник АВС (∠С=90o). Коло з центром у точці А, задане рівнянням (х+3)2+у2-4у=21, проходить через вершину С. Сторона АС паралельна осі у, довжина сторони ВС втричі більша за довжину сторони АС. Визначте координати вершини В (хB; уB), якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму хB+уB.
    Показати відповідь
    19.

    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    (х+3)2+у2-4у=21
    (х+3)2+у2-4у+4=21+4
    (х+3)2+(у-2)2=25.
    Тоді радіус кола R=5 і центр кола А(-3;2). Проведемо через точку А пряму, паралельну осі у і знайдемо перетин цієї прямої з колом. Отримали дві точки: С (-3;7) і С1 (-3;-3). Відповідно маємо 4 варіанти розміщення точки В (відстань від В до С втричі більша за АС, тобто 3⋅5=15): (-18;7), (12;7), (-18;-3), (12; -3), з них обираємо той, при якому точка В лежить у першій координатній чверті. Маємо координати точки В (12;7). Тоді у відповідь пишемо число 12+7=19.
  13. У прямокутній системі координат на площині ху навколо трикутника АВС описано коло, задане рівнянням х2+у2-4х=68. Визначте довжину сторони ВС, якщо ∠А=45o.
    Показати відповідь
    12.
    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    х2+у2-4х=68
    х2-4х+у2=68
    х2-4х+4+у2=68+4
    (х-2)2+у2=72.
    Тоді радіус кола R=\sqrt{72}=6\sqrt{2}. Так як коло описане навколо трикутника, то ВC:sinA=2R. Маємо рівняння
    ВC:sin45o=2⋅6\sqrt{2}
    ВC:sin45o=12\sqrt{2}
    ВC=12\sqrt{2}sin45o=12\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=12.
  14. Центр кола, заданого рівнянням х2-8х+у2+7=0, збігається з точкою перетину діагоналей АС і BD паралелограма ABCD. Обчисліть площу цього паралелограма, якщо А(-4;-3) і В(0;3).
    Показати відповідь
    72.
    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    х2-8х+у2+7=0
    (х2-8х+16)+у2+7=16
    (х-4)2+у2=9
    Тоді центр кола, а відповідно точка О перетину діагоналей паралелограма, знаходиться в точці (4;0). Так як точка О - середина діагоналі BD, то маємо хO=(хB+хD):2, звідки хD=2хО-хВ=2⋅4-0=8. Аналогічно yD=2yО-yВ=2⋅0-3= -3. Тоді координати точки D(8;-3).

    Так як точки А і D мають однакові ординати, то сторона AD паралельна осі Ох і тоді висота, проведена з точки В до цієї сторони паралельна осі Оу і її довжина складає 3+3=6 (до ординати точки В додати ординату точки А з додатним знаком). Довжина AD складає 4+8=12 (до абсциси точки D додати абсцису точки А з додатним знаком). Тоді площа паралелограма дорівнює 12⋅6=72.
⇐V.9.
Площі фігур		 До змісту ⇒V.11.
Вектори на площині

Коментарі

Анонім каже…
👍
30 січня 2023 р. о 15:34
Анонім каже…
👍Все дуже цікаво та зрозуміло👌
21 вересня 2023 р. о 22:50
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів. Вміння візуально оцінювати парність, монотонність та область значень функції дозволяє значно зекономити час на іспиті, уникаючи громіздких обчислень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся працювати з графічними ескізами різних типів: лінійними, квадратичними, тригонометричними та показниковіми функціями. Тут зібрано приклади на знаходження нулів функції, визначення значень у конкретних точках, а також завдання на геометричні перетворення графіків, такі як паралельне перенесення вздовж осей координат. Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квад...
13 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності з параметрами — це завдання високого рівня в шкільній математиці та на іспитах НМТ/ЗНО. Головна складність полягає в тому, що параметр a може змінювати не лише числові значення коефіцієнтів, а й саму структуру рівняння: перетворювати квадратне в лінійне, впливати на область допустимих значень (ОДЗ) або змінювати кількість наявних коренів. Для успішного розв’язання таких задач важливо не просто механічно обчислювати дискримінант, а вміти проводити повне дослідження . На цій сторінці ми детально розберемо основні стратегії: Метод заміни змінної: перехід від складних показникових або логарифмічних виразів до алгебраїчних (з урахуванням обмежень на нову змінну t). Аналіз ОДЗ: відсіювання сторонніх коренів, які «зникають» залежно від значення параметра. Використання властивостей функцій: графічний метод, парність та монотонність. Застосування теореми Вієта: для задач, де потрібно знайти співвідношення між коренями без їх безпосереднього обчислення. Нижче предста...
1 коментар
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати ...
15 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар