Координати на площині — це розділ, що перетворює геометрію на мову чисел. Метод координат дозволяє розв'язувати складні задачі через прості алгебраїчні обчислення, що є незамінним під час підготовки до НМТ. Розуміння цієї теми дозволяє легко знаходити відстані, площі та описувати фігури рівняннями.
На цій сторінці ми розберемо типові завдання НМТ: від знаходження середини відрізка до аналізу рівнянь кола. Ви навчитеся швидко визначати радіуси, центри кіл та обчислювати площі багатокутників, використовуючи лише координати їхніх вершин.
Координати точки
Завдання 1. Точка С лежить на осі х прямокутної системи координат і знаходиться на відстані 5 від точки А (-2; 4). Відрізок АС перетинає вісь у. Знайдіть координати точки С.
- Відстань між точками А(хA;yA) та B(хB;yB) знаходять за формулою AB = √(хB - хA)² + (yB - yA)²
- Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: хO = хA + хB2, yO = yA + yB2
(1; 0)
(0; 1)
(-5; 0)
(0; 0)
(3; 4)
Показати відповідь
А.
Так як точка С лежить на осі х, то вона має координати (х; 0). Знайдемо довжину відрізка АС. АС = √(х - (-2))² + (0 - 4)² = √(х + 2)² + 16. Оскільки ця відстань за умовою дорівнює 5, то маємо рівняння: √(х + 2)² + 16 = 5. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності і маємо:
(x + 2)² + 16 = 25
(x + 2)² = 9.
Тоді х + 2 = 3 або х + 2 = -3. З першої рівності маємо х = 1, з другої х = -5. Так як відрізок АС перетинає вісь у, то точки А і С мають різні знаки першої координати. Так як точка А має від'ємну координату х (-2), то точка С має додатну. Отже х = 1 і координати точки С (1; 0).
Завдання 2. На координатній площині ху зображено коло, яке дотикається до прямих х = 2, х = 6 та осі х (див. рисунок). Визначте координати точки, яка є центром цього кола.
Так як точка С лежить на осі х, то вона має координати (х; 0). Знайдемо довжину відрізка АС. АС = √(х - (-2))² + (0 - 4)² = √(х + 2)² + 16. Оскільки ця відстань за умовою дорівнює 5, то маємо рівняння: √(х + 2)² + 16 = 5. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності і маємо:
(x + 2)² + 16 = 25
(x + 2)² = 9.
Тоді х + 2 = 3 або х + 2 = -3. З першої рівності маємо х = 1, з другої х = -5. Так як відрізок АС перетинає вісь у, то точки А і С мають різні знаки першої координати. Так як точка А має від'ємну координату х (-2), то точка С має додатну. Отже х = 1 і координати точки С (1; 0).
(4; 1)
(6; 2)
(4; 4)
(2; 4)
(4; 2)
Показати відповідь
Д.
Так як коло дотикається паралельних прямих, то його радіус дорівнює половині відстані між ними, тобто R = (6 - 2) : 2 = 2. Тоді х = 2 + 2 = 4 (або 6 - 2 = 4), у = 0 + 2 = 2. Маємо точку (4; 2).
Завдання 3. На координатній площині ху зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки К (8; 6) і М (х; у) належать цьому колу. Визначте координати точки М.
Так як коло дотикається паралельних прямих, то його радіус дорівнює половині відстані між ними, тобто R = (6 - 2) : 2 = 2. Тоді х = 2 + 2 = 4 (або 6 - 2 = 4), у = 0 + 2 = 2. Маємо точку (4; 2).
(-10; 0)
(10; 0)
(0; -14)
(0; -10)
(0; 10)
Показати відповідь
Г.
Так як точка K належить колу, то ОК - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OK = √(8 - 0)² + (6 - 0)² = √64 + 36 = √100 = 10. Так як точка М лежить на осі у, то її координата по х дорівнює 0, а у дорівнює радіусу кола з від'ємним знаком (точка М лежить нижче осі Ох). Отже х = 0, у = -10.
Так як точка K належить колу, то ОК - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OK = √(8 - 0)² + (6 - 0)² = √64 + 36 = √100 = 10. Так як точка М лежить на осі у, то її координата по х дорівнює 0, а у дорівнює радіусу кола з від'ємним знаком (точка М лежить нижче осі Ох). Отже х = 0, у = -10.
Рівняння кола
Коло, з центром у точки О (хₒ; yₒ) і радіусом R має рівняння
(x - хₒ)² + (y - yₒ)² = R²
Завдання 4. Якому з наведених рівнянь може задавати коло, зображене на рисунку?
А) (х + 2)² + (у - 1)² = 4Коло, з центром у точки О (хₒ; yₒ) і радіусом R має рівняння
(x - хₒ)² + (y - yₒ)² = R²
Б) (х - 2)² + (у + 1)² = 4
В) (х + 2)² + (у - 1)² = 1
Г) (х - 2)² + (у + 1)² = 1
Д) (х + 2)² + (у - 1)² = 9
Показати відповідь
А.
З формули (х - а)² + (у - b)² = R² випливає, що у відповідях А, В, Д центр кола знаходиться в точці (-2; 1), а у відповідях Б, Г в точці (2; -1). За малюнком підходить лише центр (-2; 1). Залишаємо лише відповіді А, В, Д. Так як коло дотикається осі Оу, то радіус кола співпадає з модулем абсциси центра кола. Отже R = 2. Тоді R² = 4 і залишається відповідь А.
Завдання 5. У координатній площині ху зображено п’ять точок: O, L, N, M, K (див. рисунок). Коло з центром в одній із цих точок дотикається до осі ординат у точці М. У якій точці знаходиться центр цього кола?
З формули (х - а)² + (у - b)² = R² випливає, що у відповідях А, В, Д центр кола знаходиться в точці (-2; 1), а у відповідях Б, Г в точці (2; -1). За малюнком підходить лише центр (-2; 1). Залишаємо лише відповіді А, В, Д. Так як коло дотикається осі Оу, то радіус кола співпадає з модулем абсциси центра кола. Отже R = 2. Тоді R² = 4 і залишається відповідь А.
у точці L
у точці N
у точці M
у точці O
у точці K
Показати відповідь
Б.
Оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної, то центр кола лежить на прямій, перпендикулярній до осі Оу і що проходить через точку M. На цій прямій лежить лише точка N.
Завдання 6. Точка А (3; 1) належить колу з центром у точці О (-2; 1). Знайдіть радіус цього кола.
Оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної, то центр кола лежить на прямій, перпендикулярній до осі Оу і що проходить через точку M. На цій прямій лежить лише точка N.
10
5
3
2
1
Показати відповідь
Б.
Так як точка А належить колу, то ОА - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OА = √(3 - (-2))² + (1 - 1)² = √5² + 0² = √25 = 5.
Завдання 7. Обчисліть площу чотирикутника ABCD (див. рисунок), сторони AB і CD якого паралельні вісі Оу.
Так як точка А належить колу, то ОА - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OА = √(3 - (-2))² + (1 - 1)² = √5² + 0² = √25 = 5.
10
5
3
6
7
Показати відповідь
Г.
За малюнком сторона АВ дорівнює 3-1 = 2. Висота паралелограма, проведена з точки С до АВ дорівнює 5 - 2 = 3. За формулою площі паралелограма S = 2 · 3 = 6.
Завдання 8. У прямокутній системі координат на площині ху задано точки О (0; 0) і А (6; 8). З точки А на вісь х опущено перпендикуляр. Точка В — основа цього перпендикуляра. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
За малюнком сторона АВ дорівнює 3-1 = 2. Висота паралелограма, проведена з точки С до АВ дорівнює 5 - 2 = 3. За формулою площі паралелограма S = 2 · 3 = 6.
1 довжина вектора ОА
2 відстань від точки А до осі х
3 ордината точки В
4 довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника ОАВ
2 відстань від точки А до осі х
3 ордината точки В
4 довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника ОАВ
А 0
Б 5
В 6
Г 8
Д 10
Б 5
В 6
Г 8
Д 10
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-А, 4-Б.
1) Довжина вектора дорівнює відстані між точками О і А. Маємо OА = √(6 - 0)² + (8 - 0)² = √36 + 64 = √100 = 10.
2) Відстань від точки до осі дорівнює модулю іншої координати. Так як шукаємо відстань від точки до осі х, то беремо значення у, тобто 8.
3) Оскільки точка В - основа перпендикуляра, проведеного до осі х, то точка В лежить на цій осі. Звідси ордината (у) точки В дорівнює 0.
4) Так як АВ - перпендикуляр до ОВ, то трикутник ОАВ прямокутний з гіпотенузою ОА, що дорівнює 10. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Маємо R = OA : 2 = 10 : 2 = 5.
Завдання 9. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник ABC, у якому АВ = ВС. Вершина В лежить на прямій у = 2х + 9. Визначте площу трикутника АВС, якщо А(-6; -8), С(4; -8).
1) Довжина вектора дорівнює відстані між точками О і А. Маємо OА = √(6 - 0)² + (8 - 0)² = √36 + 64 = √100 = 10.
2) Відстань від точки до осі дорівнює модулю іншої координати. Так як шукаємо відстань від точки до осі х, то беремо значення у, тобто 8.
3) Оскільки точка В - основа перпендикуляра, проведеного до осі х, то точка В лежить на цій осі. Звідси ордината (у) точки В дорівнює 0.
4) Так як АВ - перпендикуляр до ОВ, то трикутник ОАВ прямокутний з гіпотенузою ОА, що дорівнює 10. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Маємо R = OA : 2 = 10 : 2 = 5.
Показати відповідь
75.
Так як точка В лежить на прямій у = 2х + 9, то вона має координати (х; 2х + 9). За формулою відстані між двома точками маємо AB² = (x + 6)² + (2x + 9 + 8)² = (x + 6)² + (2x + 17)², CB² = (x - 4)² + (2x + 9 + 8)² = (x - 4)² + (2x + 17)². Так як з умови АВ = ВС, то АВ² = ВС². Маємо рівняння:
(x + 6)² + (2x + 17)² = (x - 4)² + (2x + 17)²
(x + 6)² = (x - 4)²
x² + 12x + 36 = x² - 8x + 16
12x + 8x = 16-36
20x = -20
x = -1.
у = 2(-1) + 9 = -2 + 9.
у = 7
Отже точка В має координати (-1; 7)
Точки А і С мають однакові ординати, тому сторона АС паралельна осі Ох і АС = 4 + 6 = 10. Висота ВЕ перпендикулярна до АС, тому вона паралельна осі Оу і ВЕ = 7 + 8 = 15. Площа трикутника АВС S = AC · BE : 2 = 10 · 15 : 2 = 75.
Завдання 10. У прямокутній системі координат на площині задано трапецію ABCD (АD∥ВС, АD>ВС). Площа трапеції дорівнює 42. Визначте абсцису вершини D, якщо А (-1; 3), В (1; 6), С (7; 6).
(x + 6)² + (2x + 17)² = (x - 4)² + (2x + 17)²
(x + 6)² = (x - 4)²
x² + 12x + 36 = x² - 8x + 16
12x + 8x = 16-36
20x = -20
x = -1.
у = 2(-1) + 9 = -2 + 9.
у = 7
Отже точка В має координати (-1; 7)
Точки А і С мають однакові ординати, тому сторона АС паралельна осі Ох і АС = 4 + 6 = 10. Висота ВЕ перпендикулярна до АС, тому вона паралельна осі Оу і ВЕ = 7 + 8 = 15. Площа трикутника АВС S = AC · BE : 2 = 10 · 15 : 2 = 75.
Показати відповідь
21.
Так як точки В і С мають однакові ординати, то основа ВС паралельна осі Ох. Тоді висота трапеції дорівнює різниці ординат точок основ. Маємо h = 6 - 3 = 3. Крім того, через паралельність ВС осі Ох, довжина ВС дорівнює різниці абсцис точок В і С. Тому ВС = 7 - 1 = 6. Нехай абсциса точки D дорівнює х. Тоді AD = x - (-1) = x + 1. Підставимо відомі значення у формулу S = (AD + DC) · h : 2. Отримаємо:
42 = (x + 1 + 6) · 3 : 2
42 · 2 = (x + 7) · 3
84 : 3 = x + 7
28 = x + 7
x = 21.
Завдання 11. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник АСВ, у якому АС = ВС, А(2; -5), В(4; 3). Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням (х - 3)² + у² + 2у = 16. Визначте площу трикутника АВС.
Так як точки В і С мають однакові ординати, то основа ВС паралельна осі Ох. Тоді висота трапеції дорівнює різниці ординат точок основ. Маємо h = 6 - 3 = 3. Крім того, через паралельність ВС осі Ох, довжина ВС дорівнює різниці абсцис точок В і С. Тому ВС = 7 - 1 = 6. Нехай абсциса точки D дорівнює х. Тоді AD = x - (-1) = x + 1. Підставимо відомі значення у формулу S = (AD + DC) · h : 2. Отримаємо:
42 = (x + 1 + 6) · 3 : 2
42 · 2 = (x + 7) · 3
84 : 3 = x + 7
28 = x + 7
x = 21.
Показати відповідь
17.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
(х - 3)² + у² + 2у = 16
(х - 3)² + у² + 2у + 1 = 16 + 1
(х - 3)² + (у + 1)² = 17.
Тоді радіус кола R = √17 і центр кола О(3; -1). Так як (2 + 4) : 2 = 3, (-5 + 3) : 2 = 1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ = 2R = 2√17 і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
АС² + ВС² = АВ². Так як BC = AC, то маємо АС² + AC² = 4 · 17.
2AC² = 68.
AC² = 34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S = AC · BC : 2 = AC · AC : 2 = AC² : 2 = 34 : 2 = 17.
Завдання 12. У прямокутній системі координат на площині ху задано прямокутний трикутник АВС (∠С = 90°). Коло з центром у точці А, задане рівнянням (х + 3)² + у² - 4у = 21, проходить через вершину С. Сторона АС паралельна осі у, довжина сторони ВС втричі більша за довжину сторони АС. Визначте координати вершини В (хB; уB), якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму хB + уB.
(х - 3)² + у² + 2у = 16
(х - 3)² + у² + 2у + 1 = 16 + 1
(х - 3)² + (у + 1)² = 17.
Тоді радіус кола R = √17 і центр кола О(3; -1). Так як (2 + 4) : 2 = 3, (-5 + 3) : 2 = 1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ = 2R = 2√17 і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
АС² + ВС² = АВ². Так як BC = AC, то маємо АС² + AC² = 4 · 17.
2AC² = 68.
AC² = 34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S = AC · BC : 2 = AC · AC : 2 = AC² : 2 = 34 : 2 = 17.
Показати відповідь
19.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
(х + 3)² + у² - 4у = 21
(х + 3)² + у² - 4у + 4 = 21 + 4
(х + 3)² + (у - 2)² = 25.
Тоді радіус кола R = 5 і центр кола А(-3; 2). Проведемо через точку А пряму, паралельну осі у і знайдемо перетин цієї прямої з колом. Отримали дві точки: С (-3; 7) і С₁ (-3; -3). Відповідно маємо 4 варіанти розміщення точки В (відстань від В до С втричі більша за АС, тобто 3 · 5 = 15): (-18; 7), (12; 7), (-18; -3), (12; -3), з них обираємо той, при якому точка В лежить у першій координатній чверті. Маємо координати точки В (12; 7). Тоді у відповідь пишемо число 12 + 7 = 19.
Завдання 13. У прямокутній системі координат на площині ху навколо трикутника АВС описано коло, задане рівнянням х² + у² - 4х = 68. Визначте довжину сторони ВС, якщо ∠А = 45°.
(х + 3)² + у² - 4у = 21
(х + 3)² + у² - 4у + 4 = 21 + 4
(х + 3)² + (у - 2)² = 25.
Тоді радіус кола R = 5 і центр кола А(-3; 2). Проведемо через точку А пряму, паралельну осі у і знайдемо перетин цієї прямої з колом. Отримали дві точки: С (-3; 7) і С₁ (-3; -3). Відповідно маємо 4 варіанти розміщення точки В (відстань від В до С втричі більша за АС, тобто 3 · 5 = 15): (-18; 7), (12; 7), (-18; -3), (12; -3), з них обираємо той, при якому точка В лежить у першій координатній чверті. Маємо координати точки В (12; 7). Тоді у відповідь пишемо число 12 + 7 = 19.
Показати відповідь
12.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х² + у² - 4х = 68
х² - 4х + у² = 68
х² - 4х + 4 + у² = 68 + 4
(х - 2)² + у² = 72.
Тоді радіус кола R = √72 = 6√2. Так як коло описане навколо трикутника, то ВC : sinA = 2R. Маємо рівняння
ВC : sin45° = 2 · 6√2
ВC : sin45° = 12√2
ВC = 12√2 · sin45° = 12√2 · √22 = 12.
Завдання 14. Центр кола, заданого рівнянням х² - 8х + у² + 7 = 0, збігається з точкою перетину діагоналей АС і BD паралелограма ABCD. Обчисліть площу цього паралелограма, якщо А(-4; -3) і В(0; 3).
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х² + у² - 4х = 68
х² - 4х + у² = 68
х² - 4х + 4 + у² = 68 + 4
(х - 2)² + у² = 72.
Тоді радіус кола R = √72 = 6√2. Так як коло описане навколо трикутника, то ВC : sinA = 2R. Маємо рівняння
ВC : sin45° = 2 · 6√2
ВC : sin45° = 12√2
ВC = 12√2 · sin45° = 12√2 · √22 = 12.
Показати відповідь
72.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х² - 8х + у² + 7 = 0
(х² - 8х + 16) + у² + 7 = 16
(х - 4)² + у² = 9
Тоді центр кола, а відповідно точка О перетину діагоналей паралелограма, знаходиться в точці (4; 0). Так як точка О - середина діагоналі BD, то маємо хO = (хB + хD) : 2, звідки хD = 2хₒ - хВ = 2 · 4 - 0 = 8. Аналогічно yD = 2yₒ - yВ = 2 · 0 - 3 = -3. Тоді координати точки D(8; -3). Так як точки А і D мають однакові ординати, то сторона AD паралельна осі Ох і тоді висота, проведена з точки В до цієї сторони паралельна осі Оу і її довжина складає 3 + 3 = 6 (до ординати точки В додати ординату точки А з додатним знаком). Довжина AD складає 4 + 8 = 12 (до абсциси точки D додати абсцису точки А з додатним знаком). Тоді площа паралелограма дорівнює 12 · 6 = 72.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х² - 8х + у² + 7 = 0
(х² - 8х + 16) + у² + 7 = 16
(х - 4)² + у² = 9
Тоді центр кола, а відповідно точка О перетину діагоналей паралелограма, знаходиться в точці (4; 0). Так як точка О - середина діагоналі BD, то маємо хO = (хB + хD) : 2, звідки хD = 2хₒ - хВ = 2 · 4 - 0 = 8. Аналогічно yD = 2yₒ - yВ = 2 · 0 - 3 = -3. Тоді координати точки D(8; -3). Так як точки А і D мають однакові ординати, то сторона AD паралельна осі Ох і тоді висота, проведена з точки В до цієї сторони паралельна осі Оу і її довжина складає 3 + 3 = 6 (до ординати точки В додати ординату точки А з додатним знаком). Довжина AD складає 4 + 8 = 12 (до абсциси точки D додати абсцису точки А з додатним знаком). Тоді площа паралелограма дорівнює 12 · 6 = 72.
Коментарі