Координати на площині — це розділ, що перетворює геометрію на мову чисел. Метод координат дозволяє розв'язувати складні задачі через прості алгебраїчні обчислення, що є незамінним під час складання НМТ. Розуміння цієї теми дозволяє легко знаходити відстані, площі та описувати фігури рівняннями.
На цій сторінці ми розберемо типові завдання НМТ: від знаходження середини відрізка до аналізу рівнянь кола. Ви навчитеся швидко визначати радіуси, центри кіл та обчислювати площі багатокутників, використовуючи лише координати їхніх вершин.
Координати точки
Завдання 1. Точка С лежить на осі х прямокутної системи координат і знаходиться на відстані 5 від точки А (-2;4). Відрізок АС перетинає вісь у. Знайдіть координати точки С.
- Відстань між точками А(хA;yA) та B(хB;yB) знаходять за формулою AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}
- Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: хO = \frac{x_A + x_B}{2}, yO = \frac{y_A + y_B}{2}
(1;0)
(0;1)
(-5;0)
(0;0)
(3;4)
Показати відповідь
А.
Так як точка С лежить на осі х, то вона має координати (х;0). Знайдемо довжину відрізка АС. АС = \sqrt{(x-(-2))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 16}. Оскільки ця відстань за умовою дорівнює 5, то маємо рівняння: \sqrt{(x + 2)^2 + 16} = 5. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності і маємо:
(x + 2)² + 16 = 25
(x + 2)² = 9.
Тоді х + 2 = 3 або х + 2 = -3. З першої рівності маємо х = 1, з другої х = -5. Так як відрізок АС перетинає вісь у, то точки А і С мають різні знаки першої координати. Так як точка А має від'ємну координату х (-2), то точка С має додатну. Отже х = 1 і координати точки С (1;0).
Завдання 2. На координатній площині ху зображено коло, яке дотикається до прямих х = 2, х = 6 та осі х (див. рисунок). Визначте координати точки, яка є центром цього кола.
Так як точка С лежить на осі х, то вона має координати (х;0). Знайдемо довжину відрізка АС. АС = \sqrt{(x-(-2))^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(x + 2)^2 + 16}. Оскільки ця відстань за умовою дорівнює 5, то маємо рівняння: \sqrt{(x + 2)^2 + 16} = 5. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності і маємо:
(x + 2)² + 16 = 25
(x + 2)² = 9.
Тоді х + 2 = 3 або х + 2 = -3. З першої рівності маємо х = 1, з другої х = -5. Так як відрізок АС перетинає вісь у, то точки А і С мають різні знаки першої координати. Так як точка А має від'ємну координату х (-2), то точка С має додатну. Отже х = 1 і координати точки С (1;0).
(4;1)
(6;2)
(4;4)
(2;4)
(4;2)
Показати відповідь
Д.
Так як коло дотикається паралельних прямих, то його радіус дорівнює половині відстані між ними, тобто R = (6-2):2 = 2. Тоді х = 2 + 2 = 4 (або 6-2 = 4), у = 0 + 2 = 2. Маємо точку (4;2).
Завдання 3. На координатній площині ху зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки К (8;6) і М (х;у) належать цьому колу. Визначте координати точки М.
Так як коло дотикається паралельних прямих, то його радіус дорівнює половині відстані між ними, тобто R = (6-2):2 = 2. Тоді х = 2 + 2 = 4 (або 6-2 = 4), у = 0 + 2 = 2. Маємо точку (4;2).
(-10;0)
(10;0)
(0;-14)
(0;-10)
(0;10)
Показати відповідь
Г.
Так як точка K належить колу, то ОК - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OK = \sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10. Так як точка М лежить на осі у, то її координата по х дорівнює 0, а у дорівнює радіусу кола з від'ємним знаком (точка М лежить нижче осі Ох). Отже х = 0, у = -10.
Так як точка K належить колу, то ОК - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OK = \sqrt{(8-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10. Так як точка М лежить на осі у, то її координата по х дорівнює 0, а у дорівнює радіусу кола з від'ємним знаком (точка М лежить нижче осі Ох). Отже х = 0, у = -10.
Рівняння кола
Коло, з центром у точки О (хₒ;yₒ) і радіусом R має рівняння
(x-хₒ)² + (y-yₒ)² = R²
Завдання 4. Якому з наведених рівнянь може задавати коло, зображене на рисунку?
А) (х + 2)² + (у-1)² = 4Коло, з центром у точки О (хₒ;yₒ) і радіусом R має рівняння
(x-хₒ)² + (y-yₒ)² = R²
Б) (х-2)² + (у + 1)² = 4
В) (х + 2)² + (у-1)² = 1
Г) (х-2)² + (у + 1)² = 1
Д) (х + 2)² + (у-1)² = 9
Показати відповідь
А.
З формули (х-а)² + (у-b)² = R² випливає, що у відповідях А, В, Д центр кола знаходиться в точці (-2;1), а у відповідях Б, Г в точці (2;-1). За малюнком підходить лише центр (-2;1). Залишаємо лише відповіді А, В, Д. Так як коло дотикається осі Оу, то радіус кола співпадає з модулем абсциси центра кола. Отже R = 2. Тоді R² = 4 і залишається відповідь А.
Завдання 5. У координатній площині ху зображено п’ять точок: O, L, N, M, K (див. рисунок). Коло з центром в одній із цих точок дотикається до осі ординат у точці М. У якій точці знаходиться центр цього кола?
З формули (х-а)² + (у-b)² = R² випливає, що у відповідях А, В, Д центр кола знаходиться в точці (-2;1), а у відповідях Б, Г в точці (2;-1). За малюнком підходить лише центр (-2;1). Залишаємо лише відповіді А, В, Д. Так як коло дотикається осі Оу, то радіус кола співпадає з модулем абсциси центра кола. Отже R = 2. Тоді R² = 4 і залишається відповідь А.
у точці L
у точці N
у точці M
у точці O
у точці K
Показати відповідь
Б.
Оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної, то центр кола лежить на прямій, перпендикулярній до осі Оу і що проходить через точку V. На цій прямій лежить лише точка N.
Завдання 6. Точка А (3;1) належить колу з центром у точці О (-2;1). Знайдіть радіус цього кола.
Оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної, то центр кола лежить на прямій, перпендикулярній до осі Оу і що проходить через точку V. На цій прямій лежить лише точка N.
10
5
3
2
1
Показати відповідь
Б.
Так як точка А належить колу, то ОА - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OА = \sqrt{(3-(-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.
Завдання 7. Обчисліть площу чотирикутника ABCD (див. рисунок), сторони AB і CD якого паралельні вісі Оу.
Так як точка А належить колу, то ОА - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R = OА = \sqrt{(3-(-2))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.
10
5
3
6
7
Показати відповідь
Г.
За малюнком сторона АВ дорівнює 3-1 = 2. Висота паралелограма, проведена з точки С до АВ дорівнює 5-2 = 3. За формулою площі паралелограма S = 2 · 3 = 6.
Завдання 8. У прямокутній системі координат на площині ху задано точки О (0;0) і А (6;8). З точки А на вісь х опущено перпендикуляр. Точка В — основа цього перпендикуляра. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
За малюнком сторона АВ дорівнює 3-1 = 2. Висота паралелограма, проведена з точки С до АВ дорівнює 5-2 = 3. За формулою площі паралелограма S = 2 · 3 = 6.
1 довжина вектора ОА
2 відстань від точки А до осі х
3 ордината точки В
4 довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника ОАВ
2 відстань від точки А до осі х
3 ордината точки В
4 довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника ОАВ
А 0
Б 5
В 6
Г 8
Д 10
Б 5
В 6
Г 8
Д 10
Показати відповідь
1-Д, 2-Г, 3-А, 4-Б.
1) Довжина вектора дорівнює відстані між точками О і А. Маємо OА = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
2) Відстань від точки до осі дорівнює модулю іншої координати. Так як шукаємо відстань від точки до осі х, то беремо значення у, тобто 8.
3) Оскільки точка В - основа перпендикуляра, проведеного до осі х, то точка В лежить на цій осі. Звідси ордината (у) точки В дорівнює 0.
4) Так як АВ - перпендикуляр до ОВ, то трикутник ОАВ прямокутний з гіпотенузою ОА, що дорівнює 10. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Маємо R = OA:2 = 10:2 = 5.
Завдання 9. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник ABC, у якому АВ = ВС. Вершина В лежить на прямій у = 2х + 9. Визначте площу трикутника АВС, якщо А(-6;-8), С(4;-8).
1) Довжина вектора дорівнює відстані між точками О і А. Маємо OА = \sqrt{(6-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10
2) Відстань від точки до осі дорівнює модулю іншої координати. Так як шукаємо відстань від точки до осі х, то беремо значення у, тобто 8.
3) Оскільки точка В - основа перпендикуляра, проведеного до осі х, то точка В лежить на цій осі. Звідси ордината (у) точки В дорівнює 0.
4) Так як АВ - перпендикуляр до ОВ, то трикутник ОАВ прямокутний з гіпотенузою ОА, що дорівнює 10. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Маємо R = OA:2 = 10:2 = 5.
Показати відповідь
75.
Так як точка В лежить на прямій у = 2х + 9, то вона має координати (х;2х + 9). За формулою відстані між двома точками маємо AB² = (x + 6)² + (2x + 9 + 8)² = (x + 6)² + (2x + 17)², CB² = (x-4)² + (2x + 9 + 8)² = (x-4)² + (2x + 17)². Так як з умови АВ = ВС, то АВ² = ВС². Маємо рівняння:
(x + 6)² + (2x + 17)² = (x-4)² + (2x + 17)²
(x + 6)² = (x-4)²
x² + 12x + 36 = x²-8x + 16
12x + 8x = 16-36
20x = -20
x = -1.
у = 2(-1) + 9 = -2 + 9.
у = 7
Отже точка В має координати (-1;7)
Точки А і С мають однакові ординати, тому сторона АС паралельна осі Ох і АС = 4 + 6 = 10. Висота ВЕ перпендикулярна до АС, тому вона паралельна осі Оу і ВЕ = 7 + 8 = 15. Площа трикутника АВС S = AC · BE:2 = 10 · 15:2 = 75.
Завдання 10. У прямокутній системі координат на площині задано трапецію ABCD (АD||ВС, АD>ВС). Площа трапеції дорівнює 42. Визначте абсцису вершини D, якщо А (-1;3), В (1;6), С (7;6).
(x + 6)² + (2x + 17)² = (x-4)² + (2x + 17)²
(x + 6)² = (x-4)²
x² + 12x + 36 = x²-8x + 16
12x + 8x = 16-36
20x = -20
x = -1.
у = 2(-1) + 9 = -2 + 9.
у = 7
Отже точка В має координати (-1;7)
Точки А і С мають однакові ординати, тому сторона АС паралельна осі Ох і АС = 4 + 6 = 10. Висота ВЕ перпендикулярна до АС, тому вона паралельна осі Оу і ВЕ = 7 + 8 = 15. Площа трикутника АВС S = AC · BE:2 = 10 · 15:2 = 75.
Показати відповідь
21.
Так як точки В і С мають однакові ординати, то основа ВС паралельна осі Ох. Тоді висота трапеції дорівнює різниці ординат точок основ. Маємо h = 6-3 = 3. Крім того, через паралельність ВС осі Ох, довжина ВС дорівнює різниці абсцис точок В і С. Тому ВС = 7-1 = 6. Нехай абсциса точки D дорівнює х. Тоді AD = x-(-1) = x + 1. Підставимо відомі значення у формулу S = (AD + DC) · h:2. Отримаємо:
42 = (x + 1 + 6) · 3:2
42 · 2 = (x + 7) · 3
84:3 = x + 7
28 = x + 7
x = 21.
Завдання 11. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник АСВ, у якому АС = ВС, А(2;-5), В(4;3). Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням (х-3)² + у² + 2у = 16. Визначте площу трикутника АВС.
Так як точки В і С мають однакові ординати, то основа ВС паралельна осі Ох. Тоді висота трапеції дорівнює різниці ординат точок основ. Маємо h = 6-3 = 3. Крім того, через паралельність ВС осі Ох, довжина ВС дорівнює різниці абсцис точок В і С. Тому ВС = 7-1 = 6. Нехай абсциса точки D дорівнює х. Тоді AD = x-(-1) = x + 1. Підставимо відомі значення у формулу S = (AD + DC) · h:2. Отримаємо:
42 = (x + 1 + 6) · 3:2
42 · 2 = (x + 7) · 3
84:3 = x + 7
28 = x + 7
x = 21.
Показати відповідь
17.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
(х-3)² + у² + 2у = 16
(х-3)² + у² + 2у + 1 = 16 + 1
(х-3)² + (у + 1)² = 17.
Тоді радіус кола R = \sqrt{17} і центр кола О(3;-1). Так як (2 + 4):2 = 3, (-5 + 3):2 = 1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ = 2R = 2\sqrt{17} і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
АС² + ВС² = АВ².
АС² + AC² = 4 · 17.
2AC² = 68.
AC² = 34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S = AC · BC:2 = AC · AC:2 = AC²:2 = 34:2 = 17.
Завдання 12. У прямокутній системі координат на площині ху задано прямокутний трикутник АВС (∠С = 90°). Коло з центром у точці А, задане рівнянням (х + 3)² + у²-4у = 21, проходить через вершину С. Сторона АС паралельна осі у, довжина сторони ВС втричі більша за довжину сторони АС. Визначте координати вершини В (хB; уB), якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму хB + уB.
(х-3)² + у² + 2у = 16
(х-3)² + у² + 2у + 1 = 16 + 1
(х-3)² + (у + 1)² = 17.
Тоді радіус кола R = \sqrt{17} і центр кола О(3;-1). Так як (2 + 4):2 = 3, (-5 + 3):2 = 1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ = 2R = 2\sqrt{17} і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
АС² + ВС² = АВ².
АС² + AC² = 4 · 17.
2AC² = 68.
AC² = 34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S = AC · BC:2 = AC · AC:2 = AC²:2 = 34:2 = 17.
Показати відповідь
19.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
(х + 3)² + у²-4у = 21
(х + 3)² + у²-4у + 4 = 21 + 4
(х + 3)² + (у-2)² = 25.
Тоді радіус кола R = 5 і центр кола А(-3;2). Проведемо через точку А пряму, паралельну осі у і знайдемо перетин цієї прямої з колом. Отримали дві точки: С (-3;7) і С1 (-3;-3). Відповідно маємо 4 варіанти розміщення точки В (відстань від В до С втричі більша за АС, тобто 3 · 5 = 15): (-18;7), (12;7), (-18;-3), (12; -3), з них обираємо той, при якому точка В лежить у першій координатній чверті. Маємо координати точки В (12;7). Тоді у відповідь пишемо число 12 + 7 = 19.
Завдання 13. У прямокутній системі координат на площині ху навколо трикутника АВС описано коло, задане рівнянням х² + у²-4х = 68. Визначте довжину сторони ВС, якщо ∠А = 45°.
(х + 3)² + у²-4у = 21
(х + 3)² + у²-4у + 4 = 21 + 4
(х + 3)² + (у-2)² = 25.
Тоді радіус кола R = 5 і центр кола А(-3;2). Проведемо через точку А пряму, паралельну осі у і знайдемо перетин цієї прямої з колом. Отримали дві точки: С (-3;7) і С1 (-3;-3). Відповідно маємо 4 варіанти розміщення точки В (відстань від В до С втричі більша за АС, тобто 3 · 5 = 15): (-18;7), (12;7), (-18;-3), (12; -3), з них обираємо той, при якому точка В лежить у першій координатній чверті. Маємо координати точки В (12;7). Тоді у відповідь пишемо число 12 + 7 = 19.
Показати відповідь
12.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х² + у²-4х = 68
х²-4х + у² = 68
х²-4х + 4 + у² = 68 + 4
(х-2)² + у² = 72.
Тоді радіус кола R = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. Так як коло описане навколо трикутника, то ВC:sinA = 2R. Маємо рівняння
ВC:sin45° = 2 · 6\sqrt{2}
ВC:sin45° = 12\sqrt{2}
ВC = 12\sqrt{2}sin45° = 12\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 12.
Завдання 14. Центр кола, заданого рівнянням х²-8х + у² + 7 = 0, збігається з точкою перетину діагоналей АС і BD паралелограма ABCD. Обчисліть площу цього паралелограма, якщо А(-4;-3) і В(0;3).
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х² + у²-4х = 68
х²-4х + у² = 68
х²-4х + 4 + у² = 68 + 4
(х-2)² + у² = 72.
Тоді радіус кола R = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}. Так як коло описане навколо трикутника, то ВC:sinA = 2R. Маємо рівняння
ВC:sin45° = 2 · 6\sqrt{2}
ВC:sin45° = 12\sqrt{2}
ВC = 12\sqrt{2}sin45° = 12\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 12.
Показати відповідь
72.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х²-8х + у² + 7 = 0
(х²-8х + 16) + у² + 7 = 16
(х-4)² + у² = 9
Тоді центр кола, а відповідно точка О перетину діагоналей паралелограма, знаходиться в точці (4;0). Так як точка О - середина діагоналі BD, то маємо хO = (хB + хD):2, звідки хD = 2хₒ-хВ = 2 · 4-0 = 8. Аналогічно yD = 2yₒ-yВ = 2 · 0-3 = -3. Тоді координати точки D(8;-3). Так як точки А і D мають однакові ординати, то сторона AD паралельна осі Ох і тоді висота, проведена з точки В до цієї сторони паралельна осі Оу і її довжина складає 3 + 3 = 6 (до ординати точки В додати ординату точки А з додатним знаком). Довжина AD складає 4 + 8 = 12 (до абсциси точки D додати абсцису точки А з додатним знаком). Тоді площа паралелограма дорівнює 12 · 6 = 72.
Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
х²-8х + у² + 7 = 0
(х²-8х + 16) + у² + 7 = 16
(х-4)² + у² = 9
Тоді центр кола, а відповідно точка О перетину діагоналей паралелограма, знаходиться в точці (4;0). Так як точка О - середина діагоналі BD, то маємо хO = (хB + хD):2, звідки хD = 2хₒ-хВ = 2 · 4-0 = 8. Аналогічно yD = 2yₒ-yВ = 2 · 0-3 = -3. Тоді координати точки D(8;-3). Так як точки А і D мають однакові ординати, то сторона AD паралельна осі Ох і тоді висота, проведена з точки В до цієї сторони паралельна осі Оу і її довжина складає 3 + 3 = 6 (до ординати точки В додати ординату точки А з додатним знаком). Довжина AD складає 4 + 8 = 12 (до абсциси точки D додати абсцису точки А з додатним знаком). Тоді площа паралелограма дорівнює 12 · 6 = 72.
Коментарі