Перейти до основного вмісту

Координати на площині

    Координати точки
    • Відстань між точками А(хA;yA) та B(хB;yB) знаходять за формулою AB=
    • Координати точки О, яка є серединою відрізка АВ, знаходять за формулами: хO=, yO=
  1. Точка С лежить на осі х прямокутної системи координат і знаходиться на відстані 5 від точки А (-2;4). Відрізок АС перетинає вісь у. Знайдіть координати точки С.
    АБВГД
    (1;0) (0;1) (-5;0) (0;0) (3;4)
    Показати відповідь
    А.
    Так як точка С лежить на осі х, то вона має координати (х;0). Знайдемо довжину відрізка АС. АС==. Оскільки ця відстань за умовою дорівнює 5, то маємо рівняння: =5. Піднесемо до квадрату обидві частини рівності і маємо:
    (x+2)2+16=25
    (x+2)2=9.
    Тоді х+2=3 або х+2= -3. З першої рівності маємо х=1, з другої х= -5. Так як відрізок АС перетинає вісь у, то точки А і С мають різні знаки першої координати. Так як точка А має від'ємну координату х (-2), то точка С має додатню. Отже х=1 і координати точки С (1;0).
  2. На координатній площині ху зображено коло, яке дотикається до прямих х=2, х=6 та осі х (див. рисунок). Визначте координати точки, яка є центром цього кола.

    АБВГД
    (4;1) (6;2) (4;4) (2;4) (4;2)
    Показати відповідь
    Д.
    Так як коло дотикається паралельних прямих, то його радіус дорівнює половині відстані між ними, тобто R=(6-2):2=2. Тоді х=2+2=4 (або 6-2=4), у=0+2=2. Маємо точку (4;2).
  3. На координатній площині ху зображено коло, центр якого збігається з початком координат (див. рисунок). Точки К (8;6) і М (х;у) належать цьому колу. Визначте координати точки М.

    АБВГД
    (-10;0) (10;0) (0;-14) (0;-10) (0;10)
    Показати відповідь
    Г.
    Так як точка K належить колу, то ОК - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R=OK===10. Так як точка М лежить на осі у, то її координата по х дорівнює 0, а у дорівнює радіусу кола з від'ємним знаком (точка М лежить нижче осі Ох). Отже х=0, у= -10.
    4. Рівняння кола
    • Коло, з центром у точки О (хО;yО) і радіусом R має рівняння
      (x-хО)2+(y-yО)2=R2
  4. Якому з наведених рівнянь може задавати коло, зображене на рисунку?

    А) (х+2)2+(у-1)2=4
    Б) (х-2)2+(у+1)2=4
    В) (х+2)2+(у-1)2=1
    Г) (х-2)2+(у+1)2=1
    Д) (х+2)2+(у-1)2=9
    Показати відповідь
    А.
    З формули (х-а)2+(у-b)2=R2 випливає, що у відповідях А, В, Д центр кола знаходиться в точці (-2;1), а у відповідях Б, Г в точці (2;-1). За малюнком підходить лише центр (-2;1). Залишаємо лише відповіді А, В, Д. Так як коло дотикається осі Оу, то радіус кола співпадає з модулем абсциси центра кола. Отже R=2. Тоді R2=4 і залишається відповідь А.
  5. У координатній площині ху зображено п’ять точок: O, L, N, M, K (див. рисунок). Коло з центром в одній із цих точок дотикається до осі ординат у точці М. У якій точці знаходиться центр цього кола?

    АБВГД
    у точці L у точці N у точці M у точці O у точці K
    Показати відповідь
    Б.
    Оскільки радіус, проведений в точку дотику, перпендикулярний до дотичної, то центр кола лежить на прямій, перпендикулярній до осі Оу і що проходить через точку V. На цій прямій лежить лише точка N.
  6. Точка А (3;1) належить колу з центром у точці О (-2;1). Знайдіть радіус цього кола.
    АБВГД
    10 5 3 2 1
    Показати відповідь
    Б.
    Так як точка А належить колу, то ОА - радіус кола. Знайдемо радіус за формулою відстані між двома точками: R=OА===5.
  7. Обчисліть площу чотирикутника ABCD (див. рисунок), сторони AB і CD якого паралельні вісі Оу.

    АБВГД
    10 5 3 6 7
    Показати відповідь
    Г.
    За малюнком сторона АВ дорівнює 3-1=2. Висота паралелограма, проведена з точки С до АВ дорівнює 5-2=3. За формулою площі паралелограма S=2⋅3=6.
  8. У прямокутній системі координат на площині ху задано точки О (0;0) і А (6;8). З точки А на вісь х опущено перпендикуляр. Точка В — основа цього перпендикуляра. Установіть відповідність між величиною (1-4) та її числовим значенням (А-Д).
    Величина Числове значення
    1 довжина вектора ОА
    2 відстань від точки А до осі х
    3 ордината точки В
    4 довжина радіуса кола, описаного навколо трикутника ОАВ     		А 0
    Б 5
    В 6
    Г 8
    Д 10
    Показати відповідь
    1-Д, 2-Г, 3-А, 4-Б.
    1) Довжина вектора дорівнює відстані між точками О і А. Маємо OА===10
    2) Відстань від точки до осі дорівнює модулю іншої координати. Так як шукаємо відстань від точки до осі х, то беремо значення у, тобто 8.
    3) Оскільки точка В - основа перпендикуляра, проведеного до осі х, то точка В лежить на цій осі. Звідси ордината (у) точки В дорівнює 0.
    4) Так як АВ - перпендикуляр до ОВ, то трикутник ОАВ прямокутний з гіпотенузою ОА, що дорівнює 10. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи. Маємо R=OA:2=10:2=5.
  9. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник ABC, у якому АВ=ВС. Вершина В лежить на прямій у=2х+9. Визначте площу трикутника АВС, якщо А(-6;-8), С(4;-8).
    Показати відповідь
    75.

    Так як точка В лежить на прямій у=2х+9, то вона має координати (х;2х+9). За формулою відстані між двома точками маємо AB2=(x+6)2+(2x+9+8)2=(x+6)2+(2x+17)2, CB2=(x-4)2+(2x+9+8)2=(x-4)2+(2x+17)2. Так як з умови АВ=ВС, то АВ2=ВС2. Маємо рівняння:
    (x+6)2+(2x+17)2=(x-4)2+(2x+17)2
    (x+6)2=(x-4)2
    x2+12x+36=x2-8x+16
    12x+8x=16-36
    20x=-20
    x=-1.
    у=2(-1)+9=-2+7.
    Отже точка В має координати (-1;7) Точки А і С мають однакові ординати, тому сторона АС паралельна осі Ох і АС=4+6=10. Висота ВЕ перпендикулярна до АС, тому вона паралельна осі Оу і ВЕ=7+8=15. Площа трикутника АВС S=AC⋅BE:2=10⋅15:2=75.
  10. У прямокутній системі координат на площині задано трапецію ABCD (АD||ВС, АD>ВС). Площа трапеції дорівнює 42. Визначте абсцису вершини D, якщо А (-1;3), В (1;6), С (7;6).
    Показати відповідь
    21.
    Так як точки В і С мають однакові ординати, то основа ВС паралельна осі Ох. Тоді висота трапеції дорівнює різниці ординат точок основ. Маємо h=6-3=3. Крім того, через паралельність ВС осі Ох, довжина ВС дорівнює різниці абсцис точок В і С. Тому ВС=7-1=6. Нехай абсциса точки D дорівнює х. Тоді AD=x-(-1)=x+1. Підставимо відомі значення у формулу S=(AD+DC)⋅h:2. Отримаємо:
    42=(x+1+6)⋅3:2
    42⋅2=(x+7)⋅3
    84:3=x+7
    28=x+7
    x=21.
  11. У прямокутній системі координат ху на площині задано рівнобедрений трикутник АСВ, у якому АС=ВС, А(2;-5), В(4;3). Навколо цього трикутника описано коло, задане рівнянням (х-3)2+у2+2у=16. Визначте площу трикутника АВС.
    Показати відповідь
    17.

    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    (х-3)2+у2+2у=16
    (х-3)2+у2+2у+1=16+1
    (х-3)2+(у+1)2=17.
    Тоді радіус кола R= і центр кола О(3;-1). Так як (2+4):2=3, (-5+3):2=1 (виконуються формули середини відрізка АВ), то точка О - середина АВ. Тоді АВ=2R=2 і вписаний кут АСВ спирається на діаметр, тому він прямий. Отже, трикутник АВС прямокутний і рівнобедрений. Запишемо теорему Піфагора.
    АС2+ВС2=АВ2.
    АС2+AC2=4⋅17.
    2AC2=68.
    AC2=34. Так як трикутник АВС прямокутний, то його площа S=AC⋅BC:2=AC⋅AC:2=AC2:2=34:2=17.
  12. У прямокутній системі координат на площині ху задано прямокутний трикутник АВС (∠С=90o). Коло з центром у точці А, задане рівнянням (х+3)2+у2-4у=21, проходить через вершину С. Сторона АС паралельна осі у, довжина сторони ВС втричі більша за довжину сторони АС. Визначте координати вершини В (хB; уB), якщо вона лежить у першій координатній чверті. У відповідь запишіть суму хB+уB.
    Показати відповідь
    19.

    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    (х+3)2+у2-4у=21
    (х+3)2+у2-4у+4=21+4
    (х+3)2+(у-2)2=25.
    Тоді радіус кола R=5 і центр кола А(-3;2). Проведемо через точку А пряму, паралельну осі у і знайдемо перетин цієї прямої з колом. Отримали дві точки: С (-3;7) і С1 (-3;-3). Відповідно маємо 4 варіанти розміщення точки В (відстань від В до С втричі більша за АС, тобто 3⋅5=15): (-18;7), (12;7), (-18;-3), (12; -3), з них обираємо той, при якому точка В лежить у першій координатній чверті. Маємо координати точки В (12;7). Тоді у відповідь пишемо число 12+7=19.
  13. У прямокутній системі координат на площині ху навколо трикутника АВС описано коло, задане рівнянням х2+у2-4х=68. Визначте довжину сторони ВС, якщо ∠А=45o.
    Показати відповідь
    12.
    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    х2+у2-4х=68
    х2-4х+у2=68
    х2-4х+4+у2=68+4
    (х-2)2+у2=72.
    Тоді радіус кола R=. Так як коло описане навколо трикутника, то ВC:sinA=2R. Маємо рівняння
    ВC:sin45o=2⋅6
    ВC:sin45o=12
    ВC=12sin45o=12=12.
  14. Центр кола, заданого рівнянням х2-8х+у2+7=0, збігається з точкою перетину діагоналей АС і BD паралелограма ABCD. Обчисліть площу цього паралелограма, якщо А(-4;-3) і В(0;3).
    Показати відповідь
    72.
    Приведемо рівняння кола до канонічного. Маємо:
    х2-8х+у2+7=0
    (х2-8х+16)+у2+7=16
    (х-4)2+у2=9
    Тоді центр кола, а відповідно точка О перетину діагоналей паралелограма, знаходиться в точці (4;0). Так як точка О - середина діагоналі BD, то маємо хO=(хB+хD):2, звідки хD=2хО-хВ=2⋅4-0=8. Аналогічно yD=2yО-yВ=2⋅0-3= -3. Тоді координати точки D(8;-3).

    Так як точки А і D мають однакові ординати, то сторона AD паралельна осі Ох і тоді висота, проведена з точки В до цієї сторони паралельна осі Оу і її довжина складає 3+3=6 (до ординати точки В додати ординату точки А з додатним знаком). Довжина AD складає 4+8=12 (до абсциси точки D додати абсцису точки А з додатним знаком). Тоді площа паралелограма дорівнює 12⋅6=72.
⇐V.9.
Площі фігур		 До змісту ⇒V.11.
Вектори на площині

Коментарі

Анонім каже…
👍
30 січня 2023 р. о 15:34
Анонім каже…
👍Все дуже цікаво та зрозуміло👌
21 вересня 2023 р. о 22:50
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись форму...
8 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар