Цілі числа — це одна з основних тем шкільної математики, без якої неможливо успішно опанувати алгебру та підготуватися до НМТ. На цій сторінці зібрано завдання на ознаки подільності, знаходження остачі від ділення, пропорції, округлення чисел, а також обчислення й спрощення числових та алгебраїчних виразів.
Для якісної підготовки до іспитів ми підібрали практичні задачі різних типів, серед яких є завдання минулих років і типові вправи НМТ. До кожного завдання наведено детальне розв'язання, що допоможе зрозуміти методи розв'язування та уникати поширених помилок.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців?
72
87
91
95
101
Показати відповідь
В. Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові.
Завдання 2. (-2x⁴)³=
-6x⁷
-8x¹²
-8x⁷
8x¹²
6x¹²
Показати відповідь
Б. (-2x⁴)³= -2³x4∙3= - 8x¹²(використали властивість піднесення степеня до степеня).
Завдання 3. 2(5х + 6)=
5х+8
10х+6
7х+8
7х+12
10х+12
Показати відповідь
Д. Розкриємо дужки та спростимо: 2(5х + 6) = 2 ∙ 5х + 2 ∙ 6 = 10х + 12.
Завдання 4. У шкільній їдальні за кожен стіл можна посадити щонайбільше 6 учнів. Яка найменша кількість столів має бути в цій їдальні, щоб розсадити в ній 194 учні?
30
31
32
33
34
Показати відповідь
Г.
Так як 194 : 6 = 32,(3), то щоб розсадити всіх учнів потрібно 32 + 1 = 33 столи.
Завдання 5. Відстань між Києвом та Стокгольмом дорівнює 1265 км. Округліть її до сотень кілометрів.
Так як 194 : 6 = 32,(3), то щоб розсадити всіх учнів потрібно 32 + 1 = 33 столи.
1000 км
1200 км
1260 км
1270 км
1300 км
Показати відповідь
Д. Оскільки округлюємо до сотень, то відкидаємо дві останні цифри, а замість їх дописуємо два нулі. Так як число, яке відкидаємо, починається з 6, то останню цифру, що залишаємо (2), збільшуємо на 1. Маємо відповідь 1300.
Ознаки подільності:
На 2:Число ділиться на 2, якщо закінчується парною цифрою (0, 2, 4, 6, 8)
На 3:Число ділиться на 3, якщо сума цифр ділиться на 3
На 5:Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 5 або 0
На 9:Число ділиться на 9, якщо сума цифр ділиться на 9.
На 10:Число ділиться на 10, якщо воно закінчується на 0.
Завдання 6. Знайдіть натуральне, одноцифрове число N, якщо відомо, що сума 510+N ділиться на 9 без остачі.
На 2:Число ділиться на 2, якщо закінчується парною цифрою (0, 2, 4, 6, 8)
На 3:Число ділиться на 3, якщо сума цифр ділиться на 3
На 5:Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 5 або 0
На 9:Число ділиться на 9, якщо сума цифр ділиться на 9.
На 10:Число ділиться на 10, якщо воно закінчується на 0.
1
3
5
6
9
Показати відповідь
Б. За ознакою потрібно, щоб сума цифр числа була кратна числу 9. Маємо 5 + 1 + 0 = 6. 6 + 1 = 7 (не ділиться націло на 9), 6 + 3 = 9 (ділиться націло на 9), 6 + 5 = 11 (не ділиться націло на 9), 6 + 6 = 12 (не ділиться націло на 9), 6 + 9 = 15 (не ділиться націло на 9). Отже, підходить лише цифра 3.
Завдання 7. Остача від ділення натурального числа к на 5 дорівнює 2. Укажіть остачу від ділення на 5 числа к+21.
0
1
2
3
4
Показати відповідь
Г. k + 21 складається з двох доданків. Перший має остачу 2 при діленні на 5 за умовою, другий (21) має остачу 1 при діленні на 5. Остачі при діленні на однакове число можна додавати, тому маємо 2 + 1 = 3. Зверніть увагу, якщо сума остач вийде не менше дільника, то дільник треба відняти від отриманої остачі.
Завдання 8. У саду в окремі ящики зібрали груші та яблука. Кількість ящиків з яблуками відноситься до кількості ящиків з грушами як 7:3. Серед наведених чисел укажіть число, яке може виражати загальну кількість ящиків з яблуками та грушами, зібраними в саду.
37
73
75
80
84
Показати відповідь
Г. Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість ящиків з яблуками буде 7х, а з грушами – 3х. Разом їх буде 7х + 3х = 10х. Отже, загальна кількість ящиків ділиться націло на 10, і лише число 80 задовольняє цій умові.
Завдання 9. Для оформлення зали до свята закуплено повітряні кульки лише двох кольорів у відношенні 4:5. Якому з наведених чисел може дорівнювати загальна кількість повітряних кульок, закуплених для оформлення зали?
100
115
117
120
145
Показати відповідь
В. Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість кульок першого кольору буде 4х, а другого – 5х. Разом їх буде 4х + 5х = 9х. Отже, загальна кількість кульок ділиться націло на 9, і лише число 117 (1 + 1 + 7 = 9, отже це число ділиться націло на 9) задовольняє цій умові.
Завдання 10. Учитель роздав учням певного класу 72 зошити. Кожен учень отримав однакову кількість зошитів. Якому з поданих нижче чисел може дорівнювати кількість учнів у цьому класі?
7
9
10
11
14
Показати відповідь
Б. Оскільки кожен отримав однакову кількість зошитів, то число 72 повинне націло ділитися на кількість учнів. Із запропонованих варіантів 72 ділиться націло лише на число 9.
Завдання 11. Цукерки, що лежать у коробці, можна порівну поділити між двома або трьома дітьми, але не можна поділити порівну між чотирма дітьми. Якому з наведених значень може дорівнювати кількість цукерок у цій коробці?
36
40
42
48
50
Показати відповідь
В.Так як цукерки не можна поділити порівну між чотирма дітьми, то їх кількість не ділиться на 4. Цій умові задовольняють лише числа 42 та 50. 50 не ділиться на 3, тому 50 цукерок не можна розділити порівну між трьома дітьми. Отже, 50 не задовольняє умові і залишається 42 (42 ділиться націло на 2 та 3).
Завдання 12. У магазині придбали 6 однакових зошитів і кілька ручок по 3 грн за кожну з них. Яке з наведених чисел може виражати загальну вартість покупки (у грн)?
29
26
25
24
23
Показати відповідь
Г. Нехай вартість зошитів х, а кількість ручок – у. Тоді загальна вартість покупки 6х + 3у = 3(2х + у). Отже, це число обов’язково ділиться націло на 3. Із запропонованих лише число 24 ділиться націло на 3.
Завдання 13. У буфеті друзі купили кілька однакових тістечок вартістю 10 грн кожне і 5 однакових булочок вартістю х грн кожна. Яке з чисел може виражати загальну вартість цієї покупки (у грн), якщо х – ціле число?
31
32
33
34
35
Показати відповідь
Д. Нехай кількість тістечок у. Тоді загальна вартість покупки 10у + 5х = 5(2у + х). Отже, це число обов’язково ділиться націло на 5. Із запропонованих лише число 35 ділиться націло на 5.
Завдання 14. Якщо 2ᵃ = 3, то 4ᵃ⁺¹ =
12
13
18
36
64
Показати відповідь
Г. Виразимо 4ᵃ⁺¹ через 2ᵃ. 4ᵃ⁺¹ = 4ᵃ · 4¹ = (2²)ᵃ · 4 = (2ᵃ)²· 4 = (3)²· 4 = 9 · 4 = 36.
Завдання 15. Установіть відповідність між числовими виразами (1-4) та їхніми значеннями (А-Д).
1 2003²- 1997²
2 186²- 186 · 132 + 66²
3 98²+ 98 · 104 + 52²
4 47³- 47²· 51 + 17²· 141 - 17³
2 186²- 186 · 132 + 66²
3 98²+ 98 · 104 + 52²
4 47³- 47²· 51 + 17²· 141 - 17³
А 64000
Б 27000
В 24000
Г 22500
Д 14400
Б 27000
В 24000
Г 22500
Д 14400
Показати відповідь
1-В, 2-Д, 3-Г, 4-Б. Застосуємо формули скороченого множення. 1) 2003²- 1997²= (2003 - 1997)(2003 + 1997) = 6 · 4000 = 24000.
2) 186²- 186 · 132 + 66²= 186²- 186 · 66 · 2 + 66²= (186 - 66)²= 120²= 14400.
3) 98²+ 98 · 104 + 52²= 98²+ 98 · 52 · 2 + 52²= (98 + 52)²= 150²= 22500.
4) 47³- 47²· 51 + 17²· 141 - 17³= 47³- 47²· 17 · 3 + 17²· 47 · 3 - 17³= (47 - 17)³= 30³= 27000.
Завдання 16. Протягом тижня два кур’єри разом доставили 210 пакетів. Кількості пакетів, доставлених першим і другим кур’єрами за цей період, відносяться як 3:7. Скільки пакетів доставив другий кур’єр?
2) 186²- 186 · 132 + 66²= 186²- 186 · 66 · 2 + 66²= (186 - 66)²= 120²= 14400.
3) 98²+ 98 · 104 + 52²= 98²+ 98 · 52 · 2 + 52²= (98 + 52)²= 150²= 22500.
4) 47³- 47²· 51 + 17²· 141 - 17³= 47³- 47²· 17 · 3 + 17²· 47 · 3 - 17³= (47 - 17)³= 30³= 27000.
Показати відповідь
147. Нехай коефіцієнт пропорційності дорівнює х, тоді перший кур’єр доставив 3х пакетів, а другий – 7х. Разом вони доставили 3х + 7х = 10х пакетів, що дорівнює 210 за умовою. Отже, 10х = 210, звідки х = 210 : 10 = 21. Другий доставив 7х = 7 · 21 = 147 пакетів.
Коментарі