Модуль числа (абсолютна величина) — це одна з базових концепцій алгебри, яка геометрично означає відстань від початку відліку до заданої точки на числовій прямій. Оскільки відстань не може бути від’ємною, результат обчислення модуля завжди невід’ємний. Розуміння властивостей модуля є критично важливим для розв’язання рівнянь та нерівностей, а також для спрощення виразів із радикалами та змінними.
На цій сторінці ми розберемо основні правила розкриття модуля залежно від знака підмодульного виразу та розглянемо типові алгоритми розв’язання модульних задач. Матеріал включає практичні завдання, серед яких — актуальні приклади з НМТ. Ви навчитеся не лише розв’язувати лінійні та квадратні рівняння з модулем, а й застосовувати метод інтервалів для складних нерівностей, що часто стає «каменем спотикання» на іспитах.
Дії з модулем
Якщо a ≥ 0, то |a| = a (|5| = 5)
Якщо a < 0, то |a| = - a (|- 5| = 5)
Якщо |x| = a, то х = ±a
Якщо |x|<a, то х∈(- a; a)
Якщо |x|>a, то х∈(- ∞; - a)∪(a; + ∞)
Завдання 1. НМТ. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |−2x − 3| > 5?
Якщо a ≥ 0, то |a| = a (|5| = 5)
Якщо a < 0, то |a| = - a (|- 5| = 5)
Якщо |x| = a, то х = ±a
Якщо |x|<a, то х∈(- a; a)
Якщо |x|>a, то х∈(- ∞; - a)∪(a; + ∞)
–2
–1
0
1
2
Показати відповідь
Д.
|−2x − 3| > 5
х є (- ∞; - 4) U (1; + ∞). Із запропонованих варіантів підходить лише 2.
Завдання 2. НМТ. Яке з наведених чисел є коренем рівняння |3x + 2| = 2?
|−2x − 3| > 5
- 2х - 3 > 5
- 2х > 5 + 3
- 2х > 8
х < 8 : (-2)
х < - 4
- 2х > 5 + 3
- 2х > 8
х < 8 : (-2)
х < - 4
- 2х - 3 < -5
- 2х < -5 + 3
- 2х < - 2
х > - 2 : (- 2)
х > 1
- 2х < -5 + 3
- 2х < - 2
х > - 2 : (- 2)
х > 1
\frac{4}{3}
- \frac{4}{3}
\frac{3}{2}
- \frac{2}{3}
- \frac{1}{3}
Показати відповідь
Б.
|3x + 2| = 2
З отриманих коренів в наведених є - \frac{4}{3}.
|3x + 2| = 2
3х + 2 = 2
3х = 2 - 2
3х = 0
х = 0
3х = 2 - 2
3х = 0
х = 0
3х + 2 = - 2
3х = - 2 - 2
3х = - 4
х = - 4/3
3х = - 2 - 2
3х = - 4
х = - 4/3
Завдання 3. |1 - \sqrt{3}| =
- 1 - \sqrt{3}
\sqrt{3} - 1
1 - \sqrt{3}
1 + \sqrt{3}
1
Показати відповідь
Б.
Так як \sqrt{3}≈1,7, то 1 - \sqrt{3}≈1 - 1,7 = - 0,7. Так як підмодульний вираз менше 0, то розкриваємо модуль, змінюючи всі знаки на протилежні і маємо |1 - \sqrt{3}| = - 1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1.
Завдання 4. Розв’яжіть рівняння \frac{|x|}{10} = 2.
Так як \sqrt{3}≈1,7, то 1 - \sqrt{3}≈1 - 1,7 = - 0,7. Так як підмодульний вираз менше 0, то розкриваємо модуль, змінюючи всі знаки на протилежні і маємо |1 - \sqrt{3}| = - 1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1.
- 5; 5
- 20; 20
20
5
- 0,2; 0,2
Показати відповідь
Б.
|x| = 2 · 10 = 20. Тоді х = ± 20.
Завдання 5. Яке з наведених чисел є коренем рівняння 2|x| = 2?
|x| = 2 · 10 = 20. Тоді х = ± 20.
х = 4
х = 2
х = 0
х = - 1
х = - 2
Показати відповідь
Г.
З умови маємо |x| = 2 : 2 = 1, звідси х = ± 1. У перелічених варіантах відповідей обираємо х = - 1.
Завдання 6. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |x|>3?
З умови маємо |x| = 2 : 2 = 1, звідси х = ± 1. У перелічених варіантах відповідей обираємо х = - 1.
3
1
0
- 3
- 8
Показати відповідь
Д.
І спосіб. Переберемо запропоновані відповіді. |3| = 3, |1| = 1, |0| = 0, |-3| = 3, |-8| = 8. Лише модуль -8 більше за 3.
ІІ спосіб.З нерівності |x| > 3 маємо сукупність нерівностей х < -3 та x > 3. Отже розв'язком цієї нерівності є (- ∞; - 3) ∪ (3; + ∞). Із запропонованих в даний проміжок потрапляє тільки -8.
Завдання 7. Розв’яжіть нерівність |- x| < 6.
І спосіб. Переберемо запропоновані відповіді. |3| = 3, |1| = 1, |0| = 0, |-3| = 3, |-8| = 8. Лише модуль -8 більше за 3.
ІІ спосіб.З нерівності |x| > 3 маємо сукупність нерівностей х < -3 та x > 3. Отже розв'язком цієї нерівності є (- ∞; - 3) ∪ (3; + ∞). Із запропонованих в даний проміжок потрапляє тільки -8.
(- ∞; - 6)
(- ∞; 6)
(- ∞; - 6)∪(6; + ∞)
(- 6;6)
(- 6; + ∞)
Показати відповідь
Г.
|-x| < 6
-6 < -х < 6
-6 < х < 6 (поділити на -1, змінивши знаки нерівності на протилежні, і переписати у порядку зростання).
Завдання 8. Розв’яжіть нерівність |x + 4|·(х - 1) < 0.
|-x| < 6
-6 < -х < 6
-6 < х < 6 (поділити на -1, змінивши знаки нерівності на протилежні, і переписати у порядку зростання).
(- ∞; - 4) U (1; + ∞)
(- 4; 1)
(- ∞; 1)
(- 1;4)
(- ∞; - 4) U (- 4;1)
Показати відповідь
Д.
Так як |x+4| ≥ 0, то маємо, що х - 1 < 0 і х + 4 ≠ 0. Звідси маємо, що х повинен бути менше за 1 і не дорівнювати -4. Отже відповіддю є (-∞; -4) U (-4;1).
Завдання 9. Якщо a<1, то |a - 1| + |- 7| =
Так як |x+4| ≥ 0, то маємо, що х - 1 < 0 і х + 4 ≠ 0. Звідси маємо, що х повинен бути менше за 1 і не дорівнювати -4. Отже відповіддю є (-∞; -4) U (-4;1).
a - 8
a + 6
- a + 6
- a - 6
- a + 8
Показати відповідь
Д.
Так як a < 1, то а - 1 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 1| = - а + 1) і маємо: |a - 1| + |- 7| = - а + 1 + 7 = - а + 8.
Завдання 10. Якщо a < 2, то 1 + |a - 2| =
Так як a < 1, то а - 1 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 1| = - а + 1) і маємо: |a - 1| + |- 7| = - а + 1 + 7 = - а + 8.
- a - 3
- a - 1
a - 1
а + 3
3 - a
Показати відповідь
Д.
Так як a < 2, то а - 2 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 2| = - а + 2) і маємо: 1 + |a - 2| = 1 - а + 2 = 3 - а.
Завдання 11. Якщо a < - 7 то \left|\frac{a^2 - 49}{a + 7}\right| =
Так як a < 2, то а - 2 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 2| = - а + 2) і маємо: 1 + |a - 2| = 1 - а + 2 = 3 - а.
7 - a
a + 7
a - 7
0
- 7 - a
Показати відповідь
А.
Спочатку за допомогою формули скороченого множення спростимо підмодульний вираз. \left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|=\left|\frac{(a-7)(a+7)}{a+7}\right|=|a-7|. Так як a < - 7, то a - 7 < - 14. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні: |a - 7| = - а + 7 = 7 - а.
Завдання 12. Спростіть вираз а - |a|, якщо a < 0.
Спочатку за допомогою формули скороченого множення спростимо підмодульний вираз. \left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|=\left|\frac{(a-7)(a+7)}{a+7}\right|=|a-7|. Так як a < - 7, то a - 7 < - 14. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні: |a - 7| = - а + 7 = 7 - а.
2a
a
0
- а
- 2a
Показати відповідь
А.
Так як a < 0, то |a| = - а, тоді маємо а - |a| = а - (- а) = а + а = 2а.
Завдання 13. Якщо а є (- 2; 3), то |a2 - a - 6| =
Так як a < 0, то |a| = - а, тоді маємо а - |a| = а - (- а) = а + а = 2а.
a2 - a - 6
a2 + a - 6
a2 + a + 6
- a2 + a + 6
- a2 - a + 6
Показати відповідь
Г.
Розв’яжемо квадратне рівняння a2 - a - 6 = 0.
D = (- 1)2 - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25
x_1=\frac{1-\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2,x_2=\frac{1+\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3. Тоді за формулою розкладання квадратного тричлена на множники a2 - a - 6 = (а - 3)(а + 2). Так як -2 < a < 3, то а - 3 < 0 та а + 2 > 0. Звідси маємо, що (а - 3)(а + 2) < 0, тому розкриваємо модуль з протилежними знаками. Маємо |a2 - a - 6| = |(а - 3)(а + 2)|= - (а - 3)(а + 2)= - a2 + a + 6.
Завдання 14. Укажіть множину всіх значень а, при яких виконується рівність |a3 - a2| = a3 - a2.
Розв’яжемо квадратне рівняння a2 - a - 6 = 0.
D = (- 1)2 - 4 · 1 · (- 6) = 1 + 24 = 25
x_1=\frac{1-\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2,x_2=\frac{1+\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3. Тоді за формулою розкладання квадратного тричлена на множники a2 - a - 6 = (а - 3)(а + 2). Так як -2 < a < 3, то а - 3 < 0 та а + 2 > 0. Звідси маємо, що (а - 3)(а + 2) < 0, тому розкриваємо модуль з протилежними знаками. Маємо |a2 - a - 6| = |(а - 3)(а + 2)|= - (а - 3)(а + 2)= - a2 + a + 6.
[1; + ∞)
{0}∪ [1; + ∞)
(- ∞; - 1] ∪{0}
[0; 1]
(- ∞; - 1]∪[1; + ∞)
Показати відповідь
Б.
Оскільки |a| = a при a ≥ 0, то з рівності |a3 - a2| = a3 - a2 маємо, що a3 - a2 ≥ 0. Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
a3 - a2 ≥ 0
a2(а-1) ≥0
Знайдемо нулі функції.
Нанесемо знайдені корні на числову пряму, визначимо знак в кожному інтервалі і заштрихуємо потрібний знак.
Зверніть увагу. Крім заштрихованої ділянки є ще заштрихована точка 0, тому її також треба додати до відповіді. Маємо а ∈ {0} ∪ [1; + ∞)
Завдання 15. Укажіть корінь рівняння |x2 - 6x| = 9, який належить проміжку (- 2; 1].
Оскільки |a| = a при a ≥ 0, то з рівності |a3 - a2| = a3 - a2 маємо, що a3 - a2 ≥ 0. Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
a3 - a2 ≥ 0
a2(а-1) ≥0
Знайдемо нулі функції.
a2 = 0
a = 0
a = 0
a - 1 = 0
a = 1
a = 1
3 - 3\sqrt{2}
3 - \sqrt{2}
1
2
4 - 2\sqrt{2}
Показати відповідь
А.
З рівності |x2 - 6x| = 9 маємо, що x2 - 6x = ± 9. Тоді маємо два рівняння: x2 - 6x + 9 = 0 та x2 - 6x - 9 = 0. Розв'яжемо ці рівняння.
x2 - 6x + 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0
x=\frac{6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3. Даний корінь не належить заданому проміжку.
x2 - 6x - 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 · 1 · (- 9) = 36 + 36 = 72
x_1=\frac{6-\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6-\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6-6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3-3\sqrt{2})}{2}=3-3\sqrt{2}, що менше 0 та більше -1,5, тому задовольняє умові. x_2=\frac{6+\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6+\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6+6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3+3\sqrt{2})}{2}=3+3\sqrt{2}, більше за 3, а отже не належить даному проміжку.
Завдання 16. Розв’яжіть рівняння |2x - 1| = 6.
З рівності |x2 - 6x| = 9 маємо, що x2 - 6x = ± 9. Тоді маємо два рівняння: x2 - 6x + 9 = 0 та x2 - 6x - 9 = 0. Розв'яжемо ці рівняння.
x2 - 6x + 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0
x=\frac{6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3. Даний корінь не належить заданому проміжку.
x2 - 6x - 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 · 1 · (- 9) = 36 + 36 = 72
x_1=\frac{6-\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6-\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6-6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3-3\sqrt{2})}{2}=3-3\sqrt{2}, що менше 0 та більше -1,5, тому задовольняє умові. x_2=\frac{6+\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6+\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6+6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3+3\sqrt{2})}{2}=3+3\sqrt{2}, більше за 3, а отже не належить даному проміжку.
- 3,5; 3,5
- 2,5; 2,5
- 3,5; 2,5
- 2,5; 3,5
3,5
Показати відповідь
Г.
З рівності |2x - 1| = 6 маємо, що 2х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
Завдання 17. Укажіть суму коренів рівняння |x - 1| = 6.
З рівності |2x - 1| = 6 маємо, що 2х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
2х - 1 = 6
2x = 6 + 1
2x = 7
x = 7 : 2
x = 3,5
2x = 6 + 1
2x = 7
x = 7 : 2
x = 3,5
2х - 1 = - 6
2x = - 6 + 1
2x = - 5
x = - 5 : 2
x = - 2,5
2x = - 6 + 1
2x = - 5
x = - 5 : 2
x = - 2,5
- 2
0
2
7
12
Показати відповідь
В.
З рівності |x - 1| = 6 маємо, що х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
Їх сума 7 + (- 5) = 7 - 5 = 2.
Завдання 18. Яке з наведених рівнянь має безліч коренів?
З рівності |x - 1| = 6 маємо, що х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
х - 1 = 6
x = 6 + 1
x = 7
x = 6 + 1
x = 7
х - 1 = - 6
x = - 6 + 1
x = - 5
x = - 6 + 1
x = - 5
cosx = π
x = - x
|x| = x
|x| = 2
|x| = - 3
Показати відповідь
В.
А) Так як π більше 1, то дане рівняння не має коренів.
Б) Дане рівняння має єдиний корінь х = 0.
В) Даний вираз є правильним при x ≥ 0, отже має безліч коренів.
Г) Дане рівняння має два корені х = 2 та х = - 2.
Д) Дане рівняння не має коренів.
Завдання 19. Розв’яжіть нерівність |x - 9| ≤ 3. У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв’язків на проміжку [- 15;15].
А) Так як π більше 1, то дане рівняння не має коренів.
Б) Дане рівняння має єдиний корінь х = 0.
В) Даний вираз є правильним при x ≥ 0, отже має безліч коренів.
Г) Дане рівняння має два корені х = 2 та х = - 2.
Д) Дане рівняння не має коренів.
Показати відповідь
63.
|x - 9| ≤ 3
- 3 ≤ x - 9 ≤ 3
- 3 + 9 ≤ x ≤ 3 + 9
6 ≤ x ≤ 12
На проміжку [- 15; 15] знаходяться розв'язки 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Сума цих розв'язків 63.
Завдання 20. Розв’яжіть рівняння x + 4|x| = 3. Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.
|x - 9| ≤ 3
- 3 ≤ x - 9 ≤ 3
- 3 + 9 ≤ x ≤ 3 + 9
6 ≤ x ≤ 12
На проміжку [- 15; 15] знаходяться розв'язки 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Сума цих розв'язків 63.
Показати відповідь
- 0,4.
Тому маємо два корені і їх сума 0,6 + (- 1) = - 0,4.
Завдання 21. Розв’яжіть рівняння ||2x - 1| - 3| = 5. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.
Якщо х ≥ 0, то |x| = x
х + 4х = З
5х = 3
х = 3 : 5
х = 0,6 (задовольняє умові x ≥ 0)
х + 4х = З
5х = 3
х = 3 : 5
х = 0,6 (задовольняє умові x ≥ 0)
Якщо х < 0, то |x| = -x
х - 4х = З
-3х = 3
х = 3 : (- 3)
x = -1 (задовольняє умові x<0)
х - 4х = З
-3х = 3
х = 3 : (- 3)
x = -1 (задовольняє умові x<0)
Показати відповідь
- 15,75.
||2x - 1| - 3| = 5
Отже коренями даного рівняння є х = 4,5 та х = -3,5. Їх добуток дорівнює -15,75.
Завдання 22. Знайдіть значення виразу |у - 2x|, якщо 4x2 - 4xy + y2 = \frac{9}{4}.
||2x - 1| - 3| = 5
|2x - 1| - 3 = 5
|2x - 1| = 5 + 3
|2x - 1| = 8
|2x - 1| = 5 + 3
|2x - 1| = 8
2x - 1 = 8
2x = 8 + 1
2x = 9
x = 4,5
2x = 8 + 1
2x = 9
x = 4,5
2x - 1 = -8
2x = -8 + 1
2x = -7
x = -3,5
2x = -8 + 1
2x = -7
x = -3,5
|2x - 1| - 3 = -5
|2x - 1| = -5 + 3
|2x - 1| = -2
Значення модуля не може бути від'ємним, тому коренів немає.|2x - 1| = -5 + 3
|2x - 1| = -2
Показати відповідь
1,5.
Скористаємось формулою скороченого множення. 4x2 - 4xy + y2 = (2x - y)2 = (y - 2x)2. За умовою маємо (y - 2x)^2 = \frac{9}{4}. Звідси \sqrt{(y - 2x)^2} =\sqrt{ \frac{9}{4}}. Так як за властивостями \sqrt{х^2} =|x|, то маємо |y - 2x| = \sqrt{ \frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1,5.
Скористаємось формулою скороченого множення. 4x2 - 4xy + y2 = (2x - y)2 = (y - 2x)2. За умовою маємо (y - 2x)^2 = \frac{9}{4}. Звідси \sqrt{(y - 2x)^2} =\sqrt{ \frac{9}{4}}. Так як за властивостями \sqrt{х^2} =|x|, то маємо |y - 2x| = \sqrt{ \frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1,5.
Коментарі