Перейти до основного вмісту

Модуль дійсного числа

Дії з модулем
Якщо a ≥ 0, то |a| = a (|5| = 5)
Якщо a < 0, то |a| = - a (|- 5| = 5)
Якщо |x| = a, то х = ±a
Якщо |x|<a, то х∈(- a; a)
Якщо |x|>a, то х∈(- ∞; - a)∪(a; + ∞)

Завдання 1. НМТ. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |−2x − 3| > 5?

–2
–1
0
1
2
Показати відповідь
Д.
|−2x − 3| > 5
- 2х - 3 > 5
- 2х > 5 + 3
- 2х > 8
х < 8 : (-2)
х < - 4
- 2х - 3 < -5
- 2х < -5 + 3
- 2х < - 2
х > - 2 : (- 2)
х > 1
Числова пряма з точками x-41 х є (- ∞; - 4) U (1; + ∞). Із запропонованих варіантів підходить лише 2.

Завдання 2. НМТ. Яке з наведених чисел є коренем рівняння |3x + 2| = 2?

\frac{4}{3}
- \frac{4}{3}
\frac{3}{2}
- \frac{2}{3}
- \frac{1}{3}
Показати відповідь
Б.
|3x + 2| = 2
3х + 2 = 2
3х = 2 - 2
3х = 0
х = 0
3х + 2 = - 2
3х = - 2 - 2
3х = - 4
х = - 4/3
З отриманих коренів в наведених є - \frac{4}{3}.

Завдання 3. |1 - \sqrt{3}| =

- 1 - \sqrt{3}
\sqrt{3} - 1
1 - \sqrt{3}
1 + \sqrt{3}
1
Показати відповідь
Б.
Так як \sqrt{3}≈1,7, то 1 - \sqrt{3}≈1 - 1,7 = - 0,7. Так як підмодульний вираз менше 0, то розкриваємо модуль, змінюючи всі знаки на протилежні і маємо |1 - \sqrt{3}| = - 1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1.

Завдання 4. Розв’яжіть рівняння \frac{|x|}{10} = 2.

- 5; 5
- 20; 20
20
5
- 0,2; 0,2
Показати відповідь
Б.
|x| = 2 ⋅ 10 = 20. Тоді х = ± 20.

Завдання 5. Яке з наведених чисел є коренем рівняння 2|x| = 2?

х = 4
х = 2
х = 0
х = - 1
х = - 2
Показати відповідь
Г.
З умови маємо |x| = 2 : 2 = 1, звідси х = ± 1. У перелічених варіантах відповідей обираємо х = - 1.

Завдання 6. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |x|>3?

3
1
0
- 3
- 8
Показати відповідь
Д.
І спосіб. Переберемо запропоновані відповіді. |3| = 3, |1| = 1, |0| = 0, |-3| = 3, |-8| = 8. Лише модуль -8 більше за 3.
ІІ спосіб.З нерівності |x| > 3 маємо сукупність нерівностей х < -3 та x > 3. Отже розв'язком цієї нерівності є (- ∞; - 3) ∪ (3; + ∞). Із запропонованих в даний проміжок потрапляє тільки -8.

Завдання 7. Розв’яжіть нерівність |- x| < 6.

(- ∞; - 6)
(- ∞; 6)
(- ∞; - 6)∪(6; + ∞)
(- 6;6)
(- 6; + ∞)
Показати відповідь
Г.
|-x| < 6 ⇒ -6 < -х < 6 ⇒ -6 < х < 6 (поділити на -1, змінивши знаки нерівності на протилежні, і переписати у порядку зростання).

Завдання 8. Розв’яжіть нерівність |x + 4|·(х - 1) < 0.

(- ∞; - 4) U (1; + ∞)
(- 4; 1)
(- ∞; 1)
(- 1;4)
(- ∞; - 4) U (- 4;1)
Показати відповідь
Д.
Так як |x+4| ≥ 0, то маємо, що х - 1 < 0 і х + 4 ≠ 0. Звідси маємо, що х повинен бути менше за 1 і не дорівнювати -4. Отже відповіддю є (-∞; -4) U (-4;1).

Завдання 9. Якщо a<1, то |a - 1| + |- 7| =

a - 8
a + 6
- a + 6
- a - 6
- a + 8
Показати відповідь
Д.
Так як a < 1, то а - 1 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 1| = - а + 1) і маємо: |a - 1| + |- 7| = - а + 1 + 7 = - а + 8.

Завдання 10. Якщо a < 2, то 1 + |a - 2| =

- a - 3
- a - 1
a - 1
а + 3
3 - a
Показати відповідь
Д.
Так як a < 2, то а - 2 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 2| = - а + 2) і маємо: 1 + |a - 2| = 1 - а + 2 = 3 - а.

Завдання 11. Якщо a < - 7 то \left|\frac{a^2 - 49}{a + 7}\right| =

7 - a
a + 7
a - 7
0
- 7 - a
Показати відповідь
А.
Спочатку за допомогою формули скороченого множення спростимо підмодульний вираз. \left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|=\left|\frac{(a-7)(a+7)}{a+7}\right|=|a-7|. Так як a < - 7, то a - 7 < - 14. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні: |a - 7| = - а + 7 = 7 - а.

Завдання 12. Спростіть вираз а - |a|, якщо a < 0.

2a
a
0
- а
- 2a
Показати відповідь
А.
Так як a < 0, то |a| = - а, тоді маємо а - |a| = а - (- а) = а + а = 2а.

Завдання 13. Якщо а є (- 2; 3), то |a2 - a - 6| =

a2 - a - 6
a2 + a - 6
a2 + a + 6
- a2 + a + 6
- a2 - a + 6
Показати відповідь
Г.
Розв’яжемо квадратне рівняння a2 - a - 6 = 0.
D = (- 1)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25
x_1=\frac{1-\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2,x_2=\frac{1+\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3. Тоді за формулою розкладання квадратного тричлена на множники a2 - a - 6 = (а - 3)(а + 2). Так як -2 < a < 3, то а - 3 < 0 та а + 2 > 0. Звідси маємо, що (а - 3)(а + 2) < 0, тому розкриваємо модуль з протилежними знаками. Маємо |a2 - a - 6| = |(а - 3)(а + 2)|= - (а - 3)(а + 2)= - a2 + a + 6.

Завдання 14. Укажіть множину всіх значень а, при яких виконується рівність |a3 - a2| = a3 - a2.

[1; + ∞)
{0}∪ [1; + ∞)
(- ∞; - 1] ∪{0}
[0; 1]
(- ∞; - 1]∪[1; + ∞)
Показати відповідь
Б.
Оскільки |a| = a при a ≥ 0, то з рівності |a3 - a2| = a3 - a2 маємо, що a3 - a2 ≥ 0. Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
a3 - a2 ≥ 0
a2(а-1) ≥0
Знайдемо нулі функції.
a2 = 0
a = 0
a - 1 = 0
a = 1
Нанесемо знайдені корні на числову пряму, визначимо знак в кожному інтервалі і заштрихуємо потрібний знак. Числова пряма з точкамиx01--+ Зверніть увагу. Крім заштрихованої ділянки є ще заштрихована точка 0, тому її також треба додати до відповіді. Маємо а ∈ {0} ∪ [1; + ∞)

Завдання 15. Укажіть корінь рівняння |x2 - 6x| = 9, який належить проміжку (- 2; 1].

3 - 3\sqrt{2}
3 - \sqrt{2}
1
2
4 - 2\sqrt{2}
Показати відповідь
А.
З рівності |x2 - 6x| = 9 маємо, що x2 - 6x = ± 9. Тоді маємо два рівняння: x2 - 6x + 9 = 0 та x2 - 6x - 9 = 0. Розв'яжемо ці рівняння.
x2 - 6x + 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 - 36 = 0
x=\frac{6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3. Даний корінь не належить заданому проміжку.
x2 - 6x - 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 9) = 36 + 36 = 72
x_1=\frac{6-\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6-\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6-6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3-3\sqrt{2})}{2}=3-3\sqrt{2}, що менше 0 та більше -1,5, тому задовольняє умові. x_2=\frac{6+\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6+\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6+6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3+3\sqrt{2})}{2}=3+3\sqrt{2}, більше за 3, а отже не належить даному проміжку.

Завдання 16. Розв’яжіть рівняння |2x - 1| = 6.

- 3,5; 3,5
- 2,5; 2,5
- 3,5; 2,5
- 2,5; 3,5
3,5
Показати відповідь
Г.
З рівності |2x - 1| = 6 маємо, що 2х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
2х - 1 = 6
2x = 6 + 1
2x = 7
x = 7 : 2
x = 3,5
2х - 1 = - 6
2x = - 6 + 1
2x = - 5
x = - 5 : 2
x = - 2,5

Завдання 17. Укажіть суму коренів рівняння |x - 1| = 6.

- 2
0
2
7
12
Показати відповідь
В.
З рівності |x - 1| = 6 маємо, що х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
х - 1 = 6
x = 6 + 1
x = 7
х - 1 = - 6
x = - 6 + 1
x = - 5
Їх сума 7 + (- 5) = 7 - 5 = 2.

Завдання 18. Яке з наведених рівнянь має безліч коренів?

cosx = π
x = - x
|x| = x
|x| = 2
|x| = - 3
Показати відповідь
В.
А) Так як π більше 1, то дане рівняння не має коренів.
Б) Дане рівняння має єдиний корінь х = 0.
В) Даний вираз є правильним при x ≥ 0, отже має безліч коренів.
Г) Дане рівняння має два корені х = 2 та х = - 2.
Д) Дане рівняння не має коренів.

Завдання 19. Розв’яжіть нерівність |x - 9| ≤ 3. У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв’язків на проміжку [- 15;15].

Показати відповідь
63.
|x - 9| ≤ 3
- 3 ≤ x - 9 ≤ 3
- 3 + 9 ≤ x ≤ 3 + 9
6 ≤ x ≤ 12
На проміжку [- 15; 15] знаходяться розв'язки 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Сума цих розв'язків 63.

Завдання 20. Розв’яжіть рівняння x + 4|x| = 3. Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

Показати відповідь
- 0,4.
Якщо х > 0, то |x| = x
х + 4х = З
5х = 3
х = 3 : 5
х = 0,6 (задовольняє умові x ≥ 0)
Якщо х ≤ 0, то |x| = -x
х - 4х = З
-3х = 3
х = 3 : (- 3)
x = -1 (задовольняє умові x<0)
Тому маємо два корені і їх сума 0,6 + (- 1) = - 0,4.

Завдання 21. Розв’яжіть рівняння ||2x - 1| - 3| = 5. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Показати відповідь
- 15,75.
||2x - 1| - 3| = 5
|2x - 1| - 3 = 5
|2x - 1| = 5 + 3
|2x - 1| = 8
2x - 1 = 8
2x = 8 + 1
2x = 9
x = 4,5
2x - 1 = -8
2x = -8 + 1
2x = -7
x = -3,5
|2x - 1| - 3 = -5
|2x - 1| = -5 + 3
|2x - 1| = -2
Значення модуля не може бути від'ємним, тому коренів немає.
Отже коренями даного рівняння є х = 4,5 та х = -3,5. Їх добуток дорівнює -15,75.

Завдання 22. Знайдіть значення виразу |у - 2x|, якщо 4x2 - 4xy + y2 = \frac{9}{4}.

Показати відповідь
1,5.
Скористаємось формулою скороченого множення. 4x2 - 4xy + y2 = (2x - y)2 = (y - 2x)2. За умовою маємо (y - 2x)^2 = \frac{9}{4}. Звідси \sqrt{(y - 2x)^2} =\sqrt{ \frac{9}{4}}. Так як за властивостями \sqrt{х^2} =|x|, то маємо |y - 2x| = \sqrt{ \frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1,5.

Коментарі

Unknown каже…
дуже дякую
21 квітня 2021 р. о 13:01
Дописати коментар

Популярні публікації

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Тригонометричні вирази

Функція 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o sin 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 1 не існує 0 не існує сtg не існує 1 0 не існує 0 Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими: sin 2 α+cos 2 α = 1 tgαctgα = 1 1+tg 2 α = 1+ctg 2 α = tgα = ctgα = Тригонометричні функції суми кутів: sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ tg(α+β) = tg(α-β) = Формули зведення: 1. Визначити знак функції для даного кута. Функція (0,90 o ) (90 o ,180 o ) (180 o ,270 o ) (270 o ,360 o ) sin + + - - cos + - - + tg,ctg + - + - 2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію ...
Дописати коментар
Read more »