Перейти до основного вмісту

Модуль дійсного числа

Дії з модулем
Якщо a ≥ 0, то |a| = a (|5| = 5)
Якщо a < 0, то |a| = - a (|- 5| = 5)
Якщо |x| = a, то х = ±a
Якщо |x|<a, то х∈(- a; a)
Якщо |x|>a, то х∈(- ∞; - a)∪(a; + ∞)

Завдання 1. НМТ. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |−2x − 3| > 5?

–2
–1
0
1
2
Показати відповідь
Д.
|−2x − 3| > 5
- 2х - 3 > 5
- 2х > 5 + 3
- 2х > 8
х < 8 : (-2)
х < - 4
- 2х - 3 < -5
- 2х < -5 + 3
- 2х < - 2
х > - 2 : (- 2)
х > 1
Числова пряма з точками x-41 х є (- ∞; - 4) U (1; + ∞). Із запропонованих варіантів підходить лише 2.

Завдання 2. НМТ. Яке з наведених чисел є коренем рівняння |3x + 2| = 2?

\frac{4}{3}
- \frac{4}{3}
\frac{3}{2}
- \frac{2}{3}
- \frac{1}{3}
Показати відповідь
Б.
|3x + 2| = 2
3х + 2 = 2
3х = 2 - 2
3х = 0
х = 0
3х + 2 = - 2
3х = - 2 - 2
3х = - 4
х = - 4/3
З отриманих коренів в наведених є - \frac{4}{3}.

Завдання 3. |1 - \sqrt{3}| =

- 1 - \sqrt{3}
\sqrt{3} - 1
1 - \sqrt{3}
1 + \sqrt{3}
1
Показати відповідь
Б.
Так як \sqrt{3}≈1,7, то 1 - \sqrt{3}≈1 - 1,7 = - 0,7. Так як підмодульний вираз менше 0, то розкриваємо модуль, змінюючи всі знаки на протилежні і маємо |1 - \sqrt{3}| = - 1 + \sqrt{3} = \sqrt{3} - 1.

Завдання 4. Розв’яжіть рівняння \frac{|x|}{10} = 2.

- 5; 5
- 20; 20
20
5
- 0,2; 0,2
Показати відповідь
Б.
|x| = 2 ⋅ 10 = 20. Тоді х = ± 20.

Завдання 5. Яке з наведених чисел є коренем рівняння 2|x| = 2?

х = 4
х = 2
х = 0
х = - 1
х = - 2
Показати відповідь
Г.
З умови маємо |x| = 2 : 2 = 1, звідси х = ± 1. У перелічених варіантах відповідей обираємо х = - 1.

Завдання 6. Яке з наведених чисел є розв’язком нерівності |x|>3?

3
1
0
- 3
- 8
Показати відповідь
Д.
І спосіб. Переберемо запропоновані відповіді. |3| = 3, |1| = 1, |0| = 0, |-3| = 3, |-8| = 8. Лише модуль -8 більше за 3.
ІІ спосіб.З нерівності |x| > 3 маємо сукупність нерівностей х < -3 та x > 3. Отже розв'язком цієї нерівності є (- ∞; - 3) ∪ (3; + ∞). Із запропонованих в даний проміжок потрапляє тільки -8.

Завдання 7. Розв’яжіть нерівність |- x| < 6.

(- ∞; - 6)
(- ∞; 6)
(- ∞; - 6)∪(6; + ∞)
(- 6;6)
(- 6; + ∞)
Показати відповідь
Г.
|-x| < 6 ⇒ -6 < -х < 6 ⇒ -6 < х < 6 (поділити на -1, змінивши знаки нерівності на протилежні, і переписати у порядку зростання).

Завдання 8. Розв’яжіть нерівність |x + 4|·(х - 1) < 0.

(- ∞; - 4) U (1; + ∞)
(- 4; 1)
(- ∞; 1)
(- 1;4)
(- ∞; - 4) U (- 4;1)
Показати відповідь
Д.
Так як |x+4| ≥ 0, то маємо, що х - 1 < 0 і х + 4 ≠ 0. Звідси маємо, що х повинен бути менше за 1 і не дорівнювати -4. Отже відповіддю є (-∞; -4) U (-4;1).

Завдання 9. Якщо a<1, то |a - 1| + |- 7| =

a - 8
a + 6
- a + 6
- a - 6
- a + 8
Показати відповідь
Д.
Так як a < 1, то а - 1 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 1| = - а + 1) і маємо: |a - 1| + |- 7| = - а + 1 + 7 = - а + 8.

Завдання 10. Якщо a < 2, то 1 + |a - 2| =

- a - 3
- a - 1
a - 1
а + 3
3 - a
Показати відповідь
Д.
Так як a < 2, то а - 2 < 0. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні (|a - 2| = - а + 2) і маємо: 1 + |a - 2| = 1 - а + 2 = 3 - а.

Завдання 11. Якщо a < - 7 то \left|\frac{a^2 - 49}{a + 7}\right| =

7 - a
a + 7
a - 7
0
- 7 - a
Показати відповідь
А.
Спочатку за допомогою формули скороченого множення спростимо підмодульний вираз. \left|\frac{a^2-49}{a+7}\right|=\left|\frac{(a-7)(a+7)}{a+7}\right|=|a-7|. Так як a < - 7, то a - 7 < - 14. Тоді, враховуючи що вираз в модулі від'ємний, при розкритті модуля змінюємо всі знаки на протилежні: |a - 7| = - а + 7 = 7 - а.

Завдання 12. Спростіть вираз а - |a|, якщо a < 0.

2a
a
0
- а
- 2a
Показати відповідь
А.
Так як a < 0, то |a| = - а, тоді маємо а - |a| = а - (- а) = а + а = 2а.

Завдання 13. Якщо а є (- 2; 3), то |a2 - a - 6| =

a2 - a - 6
a2 + a - 6
a2 + a + 6
- a2 + a + 6
- a2 - a + 6
Показати відповідь
Г.
Розв’яжемо квадратне рівняння a2 - a - 6 = 0.
D = (- 1)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 6) = 1 + 24 = 25
x_1=\frac{1-\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2,x_2=\frac{1+\sqrt25}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3. Тоді за формулою розкладання квадратного тричлена на множники a2 - a - 6 = (а - 3)(а + 2). Так як -2 < a < 3, то а - 3 < 0 та а + 2 > 0. Звідси маємо, що (а - 3)(а + 2) < 0, тому розкриваємо модуль з протилежними знаками. Маємо |a2 - a - 6| = |(а - 3)(а + 2)|= - (а - 3)(а + 2)= - a2 + a + 6.

Завдання 14. Укажіть множину всіх значень а, при яких виконується рівність |a3 - a2| = a3 - a2.

[1; + ∞)
{0}∪ [1; + ∞)
(- ∞; - 1] ∪{0}
[0; 1]
(- ∞; - 1]∪[1; + ∞)
Показати відповідь
Б.
Оскільки |a| = a при a ≥ 0, то з рівності |a3 - a2| = a3 - a2 маємо, що a3 - a2 ≥ 0. Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
a3 - a2 ≥ 0
a2(а-1) ≥0
Знайдемо нулі функції.
a2 = 0
a = 0
a - 1 = 0
a = 1
Нанесемо знайдені корні на числову пряму, визначимо знак в кожному інтервалі і заштрихуємо потрібний знак. Числова пряма з точкамиx01--+ Зверніть увагу. Крім заштрихованої ділянки є ще заштрихована точка 0, тому її також треба додати до відповіді. Маємо а ∈ {0} ∪ [1; + ∞)

Завдання 15. Укажіть корінь рівняння |x2 - 6x| = 9, який належить проміжку (- 2; 1].

3 - 3\sqrt{2}
3 - \sqrt{2}
1
2
4 - 2\sqrt{2}
Показати відповідь
А.
З рівності |x2 - 6x| = 9 маємо, що x2 - 6x = ± 9. Тоді маємо два рівняння: x2 - 6x + 9 = 0 та x2 - 6x - 9 = 0. Розв'яжемо ці рівняння.
x2 - 6x + 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 9 = 36 - 36 = 0
x=\frac{6}{2\cdot1}=\frac{6}{2}=3. Даний корінь не належить заданому проміжку.
x2 - 6x - 9 = 0
D = (- 6)2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (- 9) = 36 + 36 = 72
x_1=\frac{6-\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6-\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6-6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3-3\sqrt{2})}{2}=3-3\sqrt{2}, що менше 0 та більше -1,5, тому задовольняє умові. x_2=\frac{6+\sqrt{72}}{2\cdot1}=\frac{6+\sqrt{36\cdot2}}{2}=\frac{6+6\sqrt{2}}{2}=\frac{2(3+3\sqrt{2})}{2}=3+3\sqrt{2}, більше за 3, а отже не належить даному проміжку.

Завдання 16. Розв’яжіть рівняння |2x - 1| = 6.

- 3,5; 3,5
- 2,5; 2,5
- 3,5; 2,5
- 2,5; 3,5
3,5
Показати відповідь
Г.
З рівності |2x - 1| = 6 маємо, що 2х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
2х - 1 = 6
2x = 6 + 1
2x = 7
x = 7 : 2
x = 3,5
2х - 1 = - 6
2x = - 6 + 1
2x = - 5
x = - 5 : 2
x = - 2,5

Завдання 17. Укажіть суму коренів рівняння |x - 1| = 6.

- 2
0
2
7
12
Показати відповідь
В.
З рівності |x - 1| = 6 маємо, що х - 1 = ± 6. Тоді маємо два рівняння:
х - 1 = 6
x = 6 + 1
x = 7
х - 1 = - 6
x = - 6 + 1
x = - 5
Їх сума 7 + (- 5) = 7 - 5 = 2.

Завдання 18. Яке з наведених рівнянь має безліч коренів?

cosx = π
x = - x
|x| = x
|x| = 2
|x| = - 3
Показати відповідь
В.
А) Так як π більше 1, то дане рівняння не має коренів.
Б) Дане рівняння має єдиний корінь х = 0.
В) Даний вираз є правильним при x ≥ 0, отже має безліч коренів.
Г) Дане рівняння має два корені х = 2 та х = - 2.
Д) Дане рівняння не має коренів.

Завдання 19. Розв’яжіть нерівність |x - 9| ≤ 3. У відповіді запишіть суму всіх її цілих розв’язків на проміжку [- 15;15].

Показати відповідь
63.
|x - 9| ≤ 3
- 3 ≤ x - 9 ≤ 3
- 3 + 9 ≤ x ≤ 3 + 9
6 ≤ x ≤ 12
На проміжку [- 15; 15] знаходяться розв'язки 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Сума цих розв'язків 63.

Завдання 20. Розв’яжіть рівняння x + 4|x| = 3. Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму.

Показати відповідь
- 0,4.
Якщо х > 0, то |x| = x
х + 4х = З
5х = 3
х = 3 : 5
х = 0,6 (задовольняє умові x ≥ 0)
Якщо х ≤ 0, то |x| = -x
х - 4х = З
-3х = 3
х = 3 : (- 3)
x = -1 (задовольняє умові x<0)
Тому маємо два корені і їх сума 0,6 + (- 1) = - 0,4.

Завдання 21. Розв’яжіть рівняння ||2x - 1| - 3| = 5. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів.

Показати відповідь
- 15,75.
||2x - 1| - 3| = 5
|2x - 1| - 3 = 5
|2x - 1| = 5 + 3
|2x - 1| = 8
2x - 1 = 8
2x = 8 + 1
2x = 9
x = 4,5
2x - 1 = -8
2x = -8 + 1
2x = -7
x = -3,5
|2x - 1| - 3 = -5
|2x - 1| = -5 + 3
|2x - 1| = -2
Значення модуля не може бути від'ємним, тому коренів немає.
Отже коренями даного рівняння є х = 4,5 та х = -3,5. Їх добуток дорівнює -15,75.

Завдання 22. Знайдіть значення виразу |у - 2x|, якщо 4x2 - 4xy + y2 = \frac{9}{4}.

Показати відповідь
1,5.
Скористаємось формулою скороченого множення. 4x2 - 4xy + y2 = (2x - y)2 = (y - 2x)2. За умовою маємо (y - 2x)^2 = \frac{9}{4}. Звідси \sqrt{(y - 2x)^2} =\sqrt{ \frac{9}{4}}. Так як за властивостями \sqrt{х^2} =|x|, то маємо |y - 2x| = \sqrt{ \frac{9}{4}}=\frac{3}{2}=1,5.

Коментарі

Unknown каже…
дуже дякую
21 квітня 2021 р. о 13:01
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Похідна функції

Правила диференціювання (C)'=0 (C⋅f(x))'=C⋅f'(x) (f(x)&pm;g(x))'=f'(x)&pm;g'(x) (f(x)⋅g(x))'=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x) ( )'= (f(g(x)))'=f' g ⋅g' x Таблиця похідних (x n )'=nx n-1 (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tgx)'= (ctgx)'= (a x )'=a x lna (e x )'=e x (log a x)'= (lnx)'= Завдання. НМТ 2026 (демо). Задано функцію 𝑓(𝑥)={\footnotesize\begin{cases}30,x\lt-2,\\[-0.2em] 2x^4+x,x\ge-2\end{cases}} . Обчисліть значення виразу 𝑓(-3) - 𝑓'(2). Показати відповідь –35 . Так як - 3 < - 2, то f(- 3) = 30. Так як 2 > - 2, то для знаходження значення похідної в точці 2 застосовуємо функцію f(x) = 2x 4 + x. Знайдемо похідну даної функції. f'(x) = 2 ⋅ 4 x 4 - 1 + 1 = 8x 3 + 1. Підставимо в отриману похідну значення х = 2. f'(2) = 8 ⋅ 2 3 + 1 = 8 ⋅ 8 + 1 = 64 + 1 = 65. Тоді 𝑓(-3) - 𝑓'(2) = 30 - 65 = - 35. НМТ 2023. Матеріальна точка рухається прямолінійно...
3 коментарі
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар