Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень.
На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду.
Арифметична прогресія
1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: аₙ = а₁ + (n - 1)d
2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n або Sₙ = a₁ + aₙ2 · n
3. Співвідношення між трьома сусідніми членами прогресії: 2аₙ = аₙ₋₁ + аₙ₊₁
Завдання 1. В арифметичній прогресії (aₙ) відомо, що a₆ – a₁ = –30. Обчисліть значення виразу a₆ – a₄.
1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: аₙ = а₁ + (n - 1)d
2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n або Sₙ = a₁ + aₙ2 · n
3. Співвідношення між трьома сусідніми членами прогресії: 2аₙ = аₙ₋₁ + аₙ₊₁
12
10
–15
–10
–12
Показати відповідь
Д.
a₆ – a₁ = a₁ + (6 - 1)d - a₁ = 5d. Так як a₆ – a₁ = –30, то 5d = - 30, звідки d = - 30 : 5 = - 6. a₆ – a₄ = a₁ + (6 - 1)d - (a₁ + (4 - 1)d ) = a₁ + 5d - a₁ - 3d = 2d = 2 ∙ (-6) = - 12.
Завдання 2. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови?
a₆ – a₁ = a₁ + (6 - 1)d - a₁ = 5d. Так як a₆ – a₁ = –30, то 5d = - 30, звідки d = - 30 : 5 = - 6. a₆ – a₄ = a₁ + (6 - 1)d - (a₁ + (4 - 1)d ) = a₁ + 5d - a₁ - 3d = 2d = 2 ∙ (-6) = - 12.
Показати відповідь
750.
За умовою маємо арифметичну прогресію з а₁ = 6, d = 2. На 25 день студент запам’ятав a₂₅ = a₁ + d ∙ (25 - 1) = 6 + 2 ∙ 24 = 6 + 48 = 54 символів. За 25 днів студент запам’ятав S₂₅ = a₁ + a₂₅2 · 25 = 6 + 542 · 25 = 602 · 25 = 30 · 25 = 750.
Завдання 3. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d = 5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел.
За умовою маємо арифметичну прогресію з а₁ = 6, d = 2. На 25 день студент запам’ятав a₂₅ = a₁ + d ∙ (25 - 1) = 6 + 2 ∙ 24 = 6 + 48 = 54 символів. За 25 днів студент запам’ятав S₂₅ = a₁ + a₂₅2 · 25 = 6 + 542 · 25 = 602 · 25 = 30 · 25 = 750.
Показати відповідь
201.
Якщо записати перші кілька членів прогресії, то маємо: 27, 27 + 5 = 32, 32 + 5 = 37, 37 + 5 = 42, …. Тому членами прогресії є числа, що закінчуються на 7 або 2. В проміжку (60; 75) такими числами є 62, 67, 72. 62 + 67 + 72 = 201.
Якщо записати перші кілька членів прогресії, то маємо: 27, 27 + 5 = 32, 32 + 5 = 37, 37 + 5 = 42, …. Тому членами прогресії є числа, що закінчуються на 7 або 2. В проміжку (60; 75) такими числами є 62, 67, 72. 62 + 67 + 72 = 201.
Завдання 4. Задано арифметичну прогресію (aₙ), у якій різниця d = 0,5, п’ятнадцятий член а₁₅ = 12. Визначте перший член прогресії а₁.
24
12,5
6
5
4,5
Показати відповідь
Г.
З формули для довільного члена арифметичної прогресії маємо:
а₁₅ = а₁ + 14d
12 = а₁ + 14 · 0,5
12 = а₁ + 7
а₁ = 5.
Завдання 5. В арифметичній прогресії (aₙ): а₁ = -4, a₅ = a₄ + 3. Визначте десятий член а₁₀ цієї прогресії.
З формули для довільного члена арифметичної прогресії маємо:
а₁₅ = а₁ + 14d
12 = а₁ + 14 · 0,5
12 = а₁ + 7
а₁ = 5.
-31
-27
26
27
23
Показати відповідь
Д.
З рівності a₅ = a₄ + 3 маємо, що d = 3. Тоді з формули для довільного члена арифметичної прогресії маємо а₁₀ = а₁ + 9d = -4 + 9 · 3 = -4 + 27 = 23.
Завдання 6. Арифметичну прогресію (aₙ) задано формулою n-го члена aₙ = 4 - 8n. Знайдіть різницю цієї прогресії.
З рівності a₅ = a₄ + 3 маємо, що d = 3. Тоді з формули для довільного члена арифметичної прогресії маємо а₁₀ = а₁ + 9d = -4 + 9 · 3 = -4 + 27 = 23.
8
4
-2
-4
-8
Показати відповідь
Д.
І спосіб.
Знайдемо з даної формули перші два члени прогресії: a₁ = 4 - 8 · 1 = 4 - 8 = -4; a₂ = 4 - 8 · 2 = 4 - 16 = -12. Тоді d = a₂ - a₁ = -12 - (-4) = -12 + 4 = -8.
ІІ спосіб.
Приведемо формулу n-го члена прогресії до стандартного виду: aₙ = 4 - 8n = 4 - 8(n - 1 + 1) = 4 - 8(n - 1) - 8 = -4 - 8(n - 1). Звідси, якщо порівнювати з формулою загального члена (aₙ = a₁ + d(n - 1)), маємо d = -8.
Завдання 7. В арифметичній прогресії (aₙ) задано a₁ = 4, a₂ = -1. Укажіть формулу для знаходження n-го члена цієї прогресії.
І спосіб.
Знайдемо з даної формули перші два члени прогресії: a₁ = 4 - 8 · 1 = 4 - 8 = -4; a₂ = 4 - 8 · 2 = 4 - 16 = -12. Тоді d = a₂ - a₁ = -12 - (-4) = -12 + 4 = -8.
ІІ спосіб.
Приведемо формулу n-го члена прогресії до стандартного виду: aₙ = 4 - 8n = 4 - 8(n - 1 + 1) = 4 - 8(n - 1) - 8 = -4 - 8(n - 1). Звідси, якщо порівнювати з формулою загального члена (aₙ = a₁ + d(n - 1)), маємо d = -8.
aₙ = -1 + 5n
aₙ = 7-3n
aₙ = 5-n
aₙ = 1 + 3n
aₙ = 9-5n
Показати відповідь
Д.
d = a₂ - a₁ = -1 - 4 = -5.
Тоді з формули aₙ = a₁ + d(n - 1), маємо aₙ = 4 - 5(n - 1) = 4 - 5n + 5 = 9 - 5n.
Завдання 8. В арифметичній прогресії (aₙ) перший член a₁ = -21, різниця d = 1,5. Скільки всього від’ємних членів має ця прогресія?
d = a₂ - a₁ = -1 - 4 = -5.
Тоді з формули aₙ = a₁ + d(n - 1), маємо aₙ = 4 - 5(n - 1) = 4 - 5n + 5 = 9 - 5n.
13
14
15
16
18
Показати відповідь
Б.
З формули aₙ = a₁ + d(n - 1), маємо aₙ = -21 + 1,5(n - 1). Шукаємо всі від'ємні члени прогресії, тобто aₙ < 0. Маємо лінійну нерівність:
-21 + 1,5(n - 1) < 0 (помножимо на 2)
-42 + 3(n - 1) < 0
-42 + 3n - 3 < 0
3n < 42 + 3
3n < 45
n < 45 : 3
n < 15.
Отже, щоб довільний член прогресії був від'ємний, його номер повинен бути менше 15, тобто таких членів 14.
Завдання 9. Знайдіть найбільший від’ємний член арифметичної прогресії 2,9; 2,2; 1,5;....
З формули aₙ = a₁ + d(n - 1), маємо aₙ = -21 + 1,5(n - 1). Шукаємо всі від'ємні члени прогресії, тобто aₙ < 0. Маємо лінійну нерівність:
-21 + 1,5(n - 1) < 0 (помножимо на 2)
-42 + 3(n - 1) < 0
-42 + 3n - 3 < 0
3n < 42 + 3
3n < 45
n < 45 : 3
n < 15.
Отже, щоб довільний член прогресії був від'ємний, його номер повинен бути менше 15, тобто таких членів 14.
-0,1
-0,3
-0,6
-0,8
-1,3
Показати відповідь
В.
d = a₂ - a₁ = 2,2 - 2,9 = -0,7.
Тоді з формули aₙ = a₁ + d(n - 1), маємо aₙ = 2,9 - 0,7(n - 1). З умови маємо, що aₙ має бути менше 0. Маємо лінійну нерівність:
2,9 - 0,7(n - 1) < 0 (помножимо на 10)
29 - 7(n - 1) < 0
29 - 7n + 7 < 0
-7n < -29 - 7
-7n < -36 (поділимо на -7, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний)
n > 36 : 7
Оскільки 36 : 7 ≈ 5,1, то щоб довільний член прогресії був від'ємний, його номер повинен бути більше 5,1, тобто першим від'ємним, а отже найбільшим від'ємним членом буде шостий член прогресії. Знайдемо його: a₆ = 2,9 - 0,7(6 - 1) = 2,9 - 0,7 · 5 = 2,9 - 3,5 = -0,6.
Завдання 10. У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у цьому залі?
d = a₂ - a₁ = 2,2 - 2,9 = -0,7.
Тоді з формули aₙ = a₁ + d(n - 1), маємо aₙ = 2,9 - 0,7(n - 1). З умови маємо, що aₙ має бути менше 0. Маємо лінійну нерівність:
2,9 - 0,7(n - 1) < 0 (помножимо на 10)
29 - 7(n - 1) < 0
29 - 7n + 7 < 0
-7n < -29 - 7
-7n < -36 (поділимо на -7, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний)
n > 36 : 7
Оскільки 36 : 7 ≈ 5,1, то щоб довільний член прогресії був від'ємний, його номер повинен бути більше 5,1, тобто першим від'ємним, а отже найбільшим від'ємним членом буде шостий член прогресії. Знайдемо його: a₆ = 2,9 - 0,7(6 - 1) = 2,9 - 0,7 · 5 = 2,9 - 3,5 = -0,6.
432
438
369
450
864
Показати відповідь
А.
З умови маємо арифметичну прогресію з першим членом 7 та різницею 2. Потрібно знайти суму 18 перших елементів. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₁₈ = 2 ·7 + (18 - 1) · 22 · 18 = 14 + 342 · 18 = 482 · 18 = 24 · 18 = 432.
Завдання 11. Арифметичну прогресію (aₙ) задано формулою n-го члена: aₙ = 5 - 3,6n.З умови маємо арифметичну прогресію з першим членом 7 та різницею 2. Потрібно знайти суму 18 перших елементів. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₁₈ = 2 ·7 + (18 - 1) · 22 · 18 = 14 + 342 · 18 = 482 · 18 = 24 · 18 = 432.
1. Визначте шостий член цієї прогресії.
2. Визначте різницю a₄ - a₂.
Показати відповідь
-16,6; -7,2.
1. За формулою a₆ = 5 - 3,6 · 6 = 5 - 21,6 = -16,6.
2. За формулою a₄ = 5 - 3,6 · 4 = 5 - 14,4 = -9,4; a₂ = 5 - 3,6 · 2 = 5 - 7,2 = -2,2. a₄ - a₂ = -9,4 - (-2,2) = -9,4 + 2,2 = -7,2.
Завдання 12. Арифметичну прогресію (aₙ) задано формулою n-го члена: aₙ = 2,6n - 7.1. За формулою a₆ = 5 - 3,6 · 6 = 5 - 21,6 = -16,6.
2. За формулою a₄ = 5 - 3,6 · 4 = 5 - 14,4 = -9,4; a₂ = 5 - 3,6 · 2 = 5 - 7,2 = -2,2. a₄ - a₂ = -9,4 - (-2,2) = -9,4 + 2,2 = -7,2.
1. Визначте сьомий член цієї прогресії.
2. Визначте різницю a₄ - a₁.
Показати відповідь
11,2; 7,8.
1. За формулою a₇ = 2,6 · 7 - 7 = 11,2.
2. За формулою a₄ = 2,6 · 4 - 7 = 3,4; a₁ = 2,6 · 1 - 7 = -4,4. a₄ - a₁ = 3,4 - (-4,4) = 3,4 + 4,4 = 7,8.
Завдання 13. Суму n перших членів арифметичної прогресії (aₙ) задано формулою: Sₙ = 5,2 - 0,8n2 · n1. За формулою a₇ = 2,6 · 7 - 7 = 11,2.
2. За формулою a₄ = 2,6 · 4 - 7 = 3,4; a₁ = 2,6 · 1 - 7 = -4,4. a₄ - a₁ = 3,4 - (-4,4) = 3,4 + 4,4 = 7,8.
1. Визначте суму перших шести членів цієї прогресії.
2. Визначте четвертий член цієї прогресії.
Показати відповідь
1,2; -0,2.
1. За формулою S₆ = 5,2 - 0,8 · 62 · 6 = 5,2 - 4,82 · 6 = 0,42 · 6 = 0,4 · 3 = 1,2.
2. Знайдемо S₃ та S₄.
S₃ = 5,2 - 0,8 · 32 · 3 = 5,2 - 2,42 · 3 = 2,82 · 3 = 1,4 · 3 = 4,2.
S₄ = 5,2 - 0,8 · 42 · 4 = 5,2 - 3,22 · 4 = 22 · 4 = 4.
Оскільки S₄ = S₃ + a₄, то a₄ = S₄ - S₃ = 4 - 4,2 = -0,2.
Завдання 14. Другий член арифметичної прогресії (аₙ) на 7,2 більше за її шостий член.1. За формулою S₆ = 5,2 - 0,8 · 62 · 6 = 5,2 - 4,82 · 6 = 0,42 · 6 = 0,4 · 3 = 1,2.
2. Знайдемо S₃ та S₄.
S₃ = 5,2 - 0,8 · 32 · 3 = 5,2 - 2,42 · 3 = 2,82 · 3 = 1,4 · 3 = 4,2.
S₄ = 5,2 - 0,8 · 42 · 4 = 5,2 - 3,22 · 4 = 22 · 4 = 4.
Оскільки S₄ = S₃ + a₄, то a₄ = S₄ - S₃ = 4 - 4,2 = -0,2.
1. Визначте різницю d цієї прогресії.
2. Визначте перший член а₁ цієї прогресії, якщо а₄ = 0,7.
Показати відповідь
-1,8;6,1.
1. З означення арифметичної прогресії слідує, що аₙ = аₖ + (n - k)d. Тоді а₆ = а₂ + 4d. За умовою а₂ = а₆ + 7,2. Підставимо це у попередній вираз. Маємо:
а₆ = а₆ + 7,2 + 4d
0 = 7,2 + 4d
4d = -7,2
d = -7,2 : 4
d = -1,8
2. Так як а₄ = а₁ + 3d, то маємо рівняння:
а₁ + 3 · (-1,8) = 0,7
а₁ - 5,4 = 0,7
а₁ = 5,4 + 0,7
а₁ = 6,1.
Завдання 15. В арифметичній прогресії (аₙ) відомо, що а₂ - а₅ = 7,8.1. З означення арифметичної прогресії слідує, що аₙ = аₖ + (n - k)d. Тоді а₆ = а₂ + 4d. За умовою а₂ = а₆ + 7,2. Підставимо це у попередній вираз. Маємо:
а₆ = а₆ + 7,2 + 4d
0 = 7,2 + 4d
4d = -7,2
d = -7,2 : 4
d = -1,8
2. Так як а₄ = а₁ + 3d, то маємо рівняння:
а₁ + 3 · (-1,8) = 0,7
а₁ - 5,4 = 0,7
а₁ = 5,4 + 0,7
а₁ = 6,1.
1. Визначте різницю d цієї прогресії.
2. Визначте перший член а₁ цієї прогресії, якщо її третій член а₃ = -1,8.
Показати відповідь
-2,6; 3,4.
1. Так як аₙ = а₁ + (n - 1)d, то а₂ = а₁ + d, а₅ = а₁ + 4d, то а₂ - а₅ = а₁ + d - (а₁ + 4d) = а₁ + d - а₁ - 4d = -3d = 7,8, звідки d = 7,8 : (-3) = -2,6.
2. Так як а₃ = а₁ + 2d, то маємо рівняння:
а₁ + 2 · (-2,6) = -1,8
а₁ - 5,2 = -1,8
а₁ = 5,2 - 1,8
а₁ = 3,4.
Завдання 16. Обчисліть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 2, а сьомий - 20.
1. Так як аₙ = а₁ + (n - 1)d, то а₂ = а₁ + d, а₅ = а₁ + 4d, то а₂ - а₅ = а₁ + d - (а₁ + 4d) = а₁ + d - а₁ - 4d = -3d = 7,8, звідки d = 7,8 : (-3) = -2,6.
2. Так як а₃ = а₁ + 2d, то маємо рівняння:
а₁ + 2 · (-2,6) = -1,8
а₁ - 5,2 = -1,8
а₁ = 5,2 - 1,8
а₁ = 3,4.
Показати відповідь
610.
Так як a₇ = a₁ + (7 - 1)d, то маємо рівняння 20 = 2 + 6d. Звідси d = 3. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₂₀ = 2 · 2 + (20 - 1) · 32 · 20 = 4 + 572 · 20 = 612 · 20 = 61 · 10 = 610.
Завдання 17. Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Визначте різницю цієї прогресії, якщо сума перших п’яти її членів дорівнює 190.
Так як a₇ = a₁ + (7 - 1)d, то маємо рівняння 20 = 2 + 6d. Звідси d = 3. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₂₀ = 2 · 2 + (20 - 1) · 32 · 20 = 4 + 572 · 20 = 612 · 20 = 61 · 10 = 610.
Показати відповідь
9,5.
Так як a₃ = a₁ + (3 - 1)d = a₁ + 2d і за умовою a₃ = 2a₁, то маємо рівняння a₁ + 2d = 2a₁. Звідси a₁ = 2d. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₅ = 2 · 2d + (5 - 1)d2 · 5 = 4d + 4d2 · 5 = 8d2 · 5 = 4d · 5 = 20d. За умовою ця сума дорівнює 190. Отже 20d = 190, звідки d = 190 : 20 = 9,5.
Завдання 18. Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у 450 м. Кожного наступного тренування він пропливав на 50 м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату — 1000 м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав 1000 м. Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші 10 тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня?
Так як a₃ = a₁ + (3 - 1)d = a₁ + 2d і за умовою a₃ = 2a₁, то маємо рівняння a₁ + 2d = 2a₁. Звідси a₁ = 2d. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₅ = 2 · 2d + (5 - 1)d2 · 5 = 4d + 4d2 · 5 = 8d2 · 5 = 4d · 5 = 20d. За умовою ця сума дорівнює 190. Отже 20d = 190, звідки d = 190 : 20 = 9,5.
Показати відповідь
26,7.
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 450 та різницею d = 50. Визначимо, на якому тренуванні плавець уперше подолав 1000 м. З формули aₙ = a₁ + (n - 1)d, то маємо:
1000 = 450 + (n - 1) · 50
1000 = 450 + 50n - 50
1000 = 400 + 50n
50n = 600
n = 12. Знайдемо, скільки метрів проплив плавець за перші 12 днів. З формули Sₙ = a₁ + aₙ2 · n маємо S₁₂ = 450 + 10002 · 12 = 14502 · 12 = 1450 · 6 = 8700 м. Всього було 10 · 3 = 30 тренувань. Отже за перші 12 днів плавець проплив 8700 м, а за останні 30 - 12 = 18 тренувань він проплив 18 · 1000 = 18000 м. Всього він проплив 8700 + 18000 = 26700 м. Оскільки відповідь потрібно надати у км, то маємо 26700 : 1000 = 26,7 км.
Завдання 19. Одним із мобільних операторів було запроваджено акцію “Довше розмовляєш — менше платиш” з такими умовами: плата за з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує 30 коп, а за кожну наступну хвилину розмови — на 3 коп менше, ніж за попередню; плата за одинадцяту та всі наступні хвилини розмови не нараховується; умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни. Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю 8 хвилин (у грн)?
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 450 та різницею d = 50. Визначимо, на якому тренуванні плавець уперше подолав 1000 м. З формули aₙ = a₁ + (n - 1)d, то маємо:
1000 = 450 + (n - 1) · 50
1000 = 450 + 50n - 50
1000 = 400 + 50n
50n = 600
n = 12. Знайдемо, скільки метрів проплив плавець за перші 12 днів. З формули Sₙ = a₁ + aₙ2 · n маємо S₁₂ = 450 + 10002 · 12 = 14502 · 12 = 1450 · 6 = 8700 м. Всього було 10 · 3 = 30 тренувань. Отже за перші 12 днів плавець проплив 8700 м, а за останні 30 - 12 = 18 тренувань він проплив 18 · 1000 = 18000 м. Всього він проплив 8700 + 18000 = 26700 м. Оскільки відповідь потрібно надати у км, то маємо 26700 : 1000 = 26,7 км.
Показати відповідь
1,56.
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 30 та різницею d = -3. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₈ = 2 · 30 - 3(8 - 1)2 · 8 = 60 - 212 · 8 = 392 · 8 = 39 · 4 = 156 коп. Оскільки відповідь потрібно надати у грн, то маємо 156 : 100 = 1,56 грн.
Завдання 20. Під час підготовки до заліку з вищої математики студент розв’язав за 9 днів 315 задач. У перший день він розв’язав 11 задач, а кожного наступного дня розв’язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня. Визначте кількість задач, які студент розв’язав дев’ятого дня.
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 30 та різницею d = -3. З формули Sₙ = 2a₁ + (n - 1)d2 · n маємо S₈ = 2 · 30 - 3(8 - 1)2 · 8 = 60 - 212 · 8 = 392 · 8 = 39 · 4 = 156 коп. Оскільки відповідь потрібно надати у грн, то маємо 156 : 100 = 1,56 грн.
Показати відповідь
59.
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 11 та S₉ = 315.
З формули Sₙ = a₁ + aₙ2 · n маємо:
11 + a₉2 · 9 = 315
(11 + a₉) · 9 = 630
11 + a₉ = 630 : 9
11 + a₉ = 70
a₉ = 70 - 11
a₉ = 59.
Завдання 21. Повна вартість доставки великогабаритних меблів у фірмі із перевезень складається з вартості їх доставки на 1-й поверх будинку і вартості підйому меблів на потрібний поверх. Вартість підйому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину. Визначте повну вартість (у грн) доставки меблів на 11-й поверх будинку, якщо повна вартість доставки меблів на 4-й та 7-й поверхи цього будинку становить 142 грн та та 154 грн відповідно?
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 11 та S₉ = 315.
З формули Sₙ = a₁ + aₙ2 · n маємо:
11 + a₉2 · 9 = 315
(11 + a₉) · 9 = 630
11 + a₉ = 630 : 9
11 + a₉ = 70
a₉ = 70 - 11
a₉ = 59.
Показати відповідь
170.
Маємо арифметичну прогресію з четвертим членом 142 та сьомим членом 154. Потрібно знайти 11 член. Маємо a₄ = 142, a₇ = 154. Застосуємо формулу загального члена арифметичної прогресії і знайдемо різницю цих членів. Маємо a₇ - a₄ = a₁ + 6d - (a₁ + 3d) = a₁ + 6d - a₁ - 3d = 3d . Отже 3d = 154 - 142 = 12 і d = 4. Підставимо d у вираз a₁ + 3d = 142: a₁ + 3 · 4 = 142, звідки a₁ = 142 - 12 = 130. Підставимо отримані значення у формулу n-го члена арифметичної прогресії і маємо a₁₁ = a₁ + 10d = 130 + 10 · 4 = 130 + 40 = 170.
Завдання 22. За якого від’ємного значення х значення виразів x² - 4, 3 - 5x та 2 - 3х будуть послідовними членами арифметичної прогресії?
Маємо арифметичну прогресію з четвертим членом 142 та сьомим членом 154. Потрібно знайти 11 член. Маємо a₄ = 142, a₇ = 154. Застосуємо формулу загального члена арифметичної прогресії і знайдемо різницю цих членів. Маємо a₇ - a₄ = a₁ + 6d - (a₁ + 3d) = a₁ + 6d - a₁ - 3d = 3d . Отже 3d = 154 - 142 = 12 і d = 4. Підставимо d у вираз a₁ + 3d = 142: a₁ + 3 · 4 = 142, звідки a₁ = 142 - 12 = 130. Підставимо отримані значення у формулу n-го члена арифметичної прогресії і маємо a₁₁ = a₁ + 10d = 130 + 10 · 4 = 130 + 40 = 170.
Показати відповідь
-8.
Оскільки для членів арифметичної прогресії правильна рівність 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁, то маємо: 2(3 - 5х) = x² - 4 + 2 - 3х. Розкриємо дужки:
6 - 10x = x² - 4 + 2 - 3х
x² - 4 + 2 - 3х - 6 + 10x = 0
x² + 7x - 8 = 0
D = 7² - 4 · 1 · (-8) = 49 + 32 = 81.
x₁ = -7 - √812 · 1 = -7 - 92 = -162 = -8
x₂ = -7 + √812 · 1 = -7 + 92 = 22 = 1
Від'ємне значення x = -8.
Оскільки для членів арифметичної прогресії правильна рівність 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁, то маємо: 2(3 - 5х) = x² - 4 + 2 - 3х. Розкриємо дужки:
6 - 10x = x² - 4 + 2 - 3х
x² - 4 + 2 - 3х - 6 + 10x = 0
x² + 7x - 8 = 0
D = 7² - 4 · 1 · (-8) = 49 + 32 = 81.
x₁ = -7 - √812 · 1 = -7 - 92 = -162 = -8
x₂ = -7 + √812 · 1 = -7 + 92 = 22 = 1
Від'ємне значення x = -8.
Коментарі
Арифметична: a1 + a6 = a2 + a5 = a3 + a4
Геометрична: b1 * b6 = b2 * b5 = b3 * b4