Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень.

На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО. Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду.

---

Арифметична прогресія
1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а_n = а₁ + (n-1)d
2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot{n} або S_n = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot{n}
3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а_n = а_n-1 + а_{n + 1}

Завдання 1. В арифметичній прогресії (a_n) відомо, що a₆ – a₁ = –30. Обчисліть значення виразу a₆ – a₄.

12

10

–15

–10

–12

Показати відповідь

Д.
a₆ – a₁ = a₁ + (6 - 1)d - a₁ = 5d. Так як a₆ – a₁ = –30, то 5d = - 30, звідки d = - 30 : 5 = - 6. a₆ – a₄ = a₁ + (6 - 1)d - (a₁ + (4 - 1)d ) = a₁ + 5d - a₁ - 3d = 2d = 2 ∙ (-6) = - 12.

Завдання 2. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови?

Показати відповідь

750.
За умовою маємо арифметичну прогресію з а₁ = 6, d = 2. На 25 день студент запам’ятав a₂₅ = a₁ + d ∙ (25 - 1) = 6 + 2 ∙ 24 = 6 + 48 = 54 символів. За 25 днів студент запам’ятав S₂₅ = \frac{a_1 + a_25}{2} · 25 = \frac{6 + 54}{2} · 25 = \frac{60}{2} · 25 = 30 · 25 = 750.

Завдання 3. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d = 5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел.

Показати відповідь

201.
Якщо записати перші декілька членів прогресії, то маємо: 27, 27 + 5 = 32, 32 + 5 = 37, 37 + 5 = 42, …. Тому членами прогресії є числа, що закінчуються на 7 або 2. В проміжку (60; 75) такими числами є 62, 67, 72. 62 + 67 + 72 = 201.

---

Завдання 4. Задано арифметичну прогресію (a_n), у якій різниця d = 0,5, п’ятнадцятий член а₁₅ = 12. Визначте перший член прогресії а₁.

24

12,5

6

5

4,5

Показати відповідь

Г.
З формули для довільного члена арифметичної прогресії маємо:
а₁₅ = а₁ + 14d
12 = а₁ + 14 · 0,5
12 = а₁ + 7
а₁ = 5.

Завдання 5. В арифметичній прогресії (a_n): а₁ = -4, a₅ = a₄ + 3. Визначте десятий член а₁₀ цієї прогресії.

-31

-27

26

27

23

Показати відповідь

Д.
З рівності a₅ = a₄ + 3 маємо, що d = 3. Тоді з формули для довільного члена арифметичної прогресії маємо а₁₀ = а₁ + 9d = -4 + 9 · 3 = -4 + 27 = 23.

Завдання 6. Арифметичну прогресію (a_n) задано формулою n-го члена a_n = 4-8n. Знайдіть різницю цієї прогресії.

8

4

-2

-4

-8

Показати відповідь

Д.
І спосіб.
Знайдемо з даної формули перші два члени прогресії: a₁ = 4-8 · 1 = 4-8 = -4; a₂ = 4-8 · 2 = 4-16 = -12. Тоді d = a₂-a₁ = -12-(-4) = -12 + 4 = -8.
ІІ спосіб.
Приведемо формулу n-го члена прогресії до стандартного виду: a_n = 4-8n = 4-8(n-1 + 1) = 4-8(n-1)-8 = -4-8(n-1). Звідси, якщо порівнювати з формулою загального члена (a_n = a₁ + d(n-1)), маємо d = -8.

Завдання 7. В арифметичній прогресії (a_n) задано a₁ = 4, a₂ = -1. Укажіть формулу для знаходження n-го члена цієї прогресії.

a_n = -1 + 5n

a_n = 7-3n

a_n = 5-n

a_n = 1 + 3n

a_n = 9-5n

Показати відповідь

Д.
d = a₂-a₁ = -1-4 = -5.
Тоді з формули a_n = a₁ + d(n-1), маємо a_n = 4-5(n-1) = 4-5n + 5 = 9-5n.

Завдання 8. В арифметичній прогресії (a_n) перший член a₁ = -21, різниця d = 1,5. Скільки всього від’ємних членів має ця прогресія?

13

14

15

16

18

Показати відповідь

Б.
З формули a_n = a₁ + d(n-1), маємо a_n = -21 + 1,5(n-1). З умови маємо, що a_n має бути менше 0. Маємо лінійну нерівність:
-21 + 1,5(n-1)<0 (помножимо на 2)
-42 + 3(n-1)<0
-42 + 3n-3<0
3n<42 + 3
3n<45
n<45:3
n<15.
Отже, щоб довільний член прогресії був від'ємний, його номер повинен бути менше 15, тобто таких членів 14.

Завдання 9. Знайдіть найбільший від’ємний член арифметичної прогресії 2,9; 2,2; 1,5;....

-0,1

-0,3

-0,6

-0,8

-1,3

Показати відповідь

В.
d = a₂-a₁ = 2,2-2,9 = -0,7.
Тоді з формули a_n = a₁ + d(n-1), маємо a_n = 2,9-0,7(n-1). З умови маємо, що a_n має бути менше 0. Маємо лінійну нерівність:
2,9-0,7(n-1)<0 (помножимо на 10)
29-7(n-1)<0
29-7n + 7<0
-7n<-29-7
-7n<-36 (поділимо на -7, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний)
n>36:7
Оскільки 36:7≈5,1, то щоб довільний член прогресії був від'ємний, його номер повинен бути більше 5,1, тобто самим першим від'ємним (а отже, і самим найбільшим) буде 6 член прогресії. Знайдемо його: a₆ = 2,9-0,7(6-1) = 2,9-0,7 · 5 = 2,9-3,5 = -0,6.

Завдання 10. У залі кінотеатру 18 рядів. У першому ряду знаходяться 7 місць, а в кожному наступному ряду на 2 місця більше, ніж у попередньому. Скільки всього місць у цьому залі?

432

438

369

450

864

Показати відповідь

А.
З умови маємо арифметичну прогресію з першим членом 7 та різницею 2. Потрібно знайти суму 18 перших елементів. З формули S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2}\cdot{n} маємо S₁₈ = \frac{2\cdot7 + (18-1)2}{2} · 18 = \frac{14 + 34}{2} · 18 = \frac{48}{2} · 18 = 24 · 18 = 432.

Завдання 11. Арифметичну прогресію (a_n) задано формулою n-го члена: a_n = 5-3,6n.
1. Визначте шостий член цієї прогресії.
2. Визначте різницю a₄-a₂.

Показати відповідь

-16,6; -7,2.
1. За формулою a₆ = 5-3,6 · 6 = 5-21,6 = -16,6.
2. За формулою a₄ = 5-3,6 · 4 = 5-14,4 = -9,4; a₂ = 5-3,6 · 2 = 5-7,2 = -2,2. a₄-a₂ = -9,4-(-2,2) = -9,4 + 2,2 = -7,2.

Завдання 12. Арифметичну прогресію (a_n) задано формулою n-го члена: a_n = 2,6n-7.
1. Визначте сьомий член цієї прогресії.
2. Визначте різницю a₄-a₁.

Показати відповідь

11,2; 7,8.
1. За формулою a₇ = 2,6 · 7-7 = 11,2.
2. За формулою a₄ = 2,6 · 4-7 = 3,4; a₁ = 2,6 · 1-7 = -4,4. a₄-a₁ = 3,4-(-4,4) = 3,4 + 4,4 = 7,8.

Завдання 13. Суму n перших членів арифметичної прогресії (a_n) задано формулою: S_n = \frac{5,2-0,8n}{2}\cdot{n}
1. Визначте суму перших шести членів цієї прогресії.
2. Визначте четвертий член цієї прогресії.

Показати відповідь

1,2; -0,2.
1. За формулою S₆ = \frac{5,2-0,8\cdot6}{2}\cdot{6} = 0,4 · 3 = 1,2.
2. Знайдемо S₃ та S₄.
S₃ = \frac{5,2-0,8\cdot3}{2}\cdot{3} = \frac{5,2-2,4}{2}\cdot{3} = \frac{2,8}{2}\cdot{3} = 1,4 · 3 = 4,2.
S₄ = \frac{5,2-0,8\cdot4}{2}\cdot{4} = 2 · 2 = 4.
Так як щоб отримати суму перших 4 членів, потрібно до суми перших трьох додати четвертий, то a₄ = S₄-S₃ = 4-4,2 = -0,2.

Завдання 14. Другий член арифметичної прогресії (а_n) на 7,2 більше за її шостий член.
1. Визначте різницю d цієї прогресії.
2. Визначте перший член а₁ цієї прогресії, якщо а₄ = 0,7.

Показати відповідь

-1,8;6,1.
1. З означення арифметичної прогресії слідує, що а_n = а_k + (n-k)d. Тоді а₆ = а₂ + 4d. За умовою а₂ = а₆ + 7,2. Підставимо це у попередній вираз. Маємо:
а₆ = а₆ + 7,2 + 4d
0 = 7,2 + 4d
4d = -7,2
d = -7,2:4
d = -1,8
2. Так як а₄ = а₁ + 3d, то маємо рівняння:
а₁ + 3 · (-1,8) = 0,7
а₁-5,4 = 0,7
а₁ = 5,4 + 0,7
а₁ = 6,1.

Завдання 15. В арифметичній прогресії (а_n) відомо, що а₂-а₅ = 7,8.
1. Визначте різницю d цієї прогресії.
2. Визначте перший член а₁ цієї прогресії, якщо її третій член а₃ = -1,8.

Показати відповідь

-2,6;3,4.
1. Так як а_n = а₁ + (n-1)d, то а₂ = а₁ + d, а₅ = а₁ + 4d, то а₂-а₅ = а₁ + d-(а₁ + 4d) = а₁ + d-а₁-4d = -3d = 7,8, звідки d = 7,8:(-3) = -2,6.
2. Так як а₃ = а₁ + 2d, то маємо рівняння:
а₁ + 2 · (-2,6) = -1,8
а₁-5,2 = -1,8
а₁ = 5,2-1,8
а₁ = 3,4.

Завдання 16. Обчисліть суму перших 20 членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 2, а сьомий - 20.

Показати відповідь

610.
Так як a₇ = a₁ + (7-1)d, то маємо рівняння 20 = 2 + 6d. Звідси d = 3. З формули S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} · n маємо S₂₀ = \frac{2\cdot2 + (20-1)3}{2} · 20 = \frac{4 + 57}{2} · 20 = \frac{61}{2} · 20 = 61 · 10 = 610.

Завдання 17. Третій член арифметичної прогресії вдвічі більший за її перший член. Визначте різницю цієї прогресії, якщо сума перших п’яти її членів дорівнює 190.

Показати відповідь

9,5.
Так як a₃ = a₁ + (3-1)d = a₁ + 2d і за умовою a₃ = 2a₁, то маємо рівняння a₁ + 2d = 2a₁. Звідси a₁ = 2d. З формули S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} · n маємо S₅ = \frac{2\cdot2d + (5-1)d}{2} · 5 = \frac{4d + 4d}{2} · 5 = \frac{8d}{2} · 5 = 20d. За умовою ця сума дорівнює 190. Отже 20d = 190, звідки d = 190:20 = 9,5.

Завдання 18. Плавець під час першого тренування подолав дистанцію у 450 м. Кожного наступного тренування він пропливав на 50 м більше, ніж попереднього, поки не досягнув результату — 1000 м за одне тренування. Після цього під час кожного відвідування басейну плавець пропливав 1000 м. Скільки всього кілометрів плавець проплив за перші 10 тижнів тренувань, якщо він тренувався тричі кожного тижня?

Показати відповідь

26,7.
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 450 та різницею d = 50. Знайдемо, на яке за номером тренування було досягнуто 1000 м. З формули a_n = a₁ + (n-1)d, то маємо:
1000 = 450 + (n-1) · 50
1000 = 450 + 50n-50
1000 = 400 + 50n
50n = 600
n = 12. Знайдемо, скільки метрів проплив плавець за перші 12 днів. З формули S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} · n маємо S₁₂ = \frac{450 + 1000}{2} · 12 = \frac{1450}{2} · 12 = 1450 · 6 = 8700 м. Всього було 10 · 3 = 30 тренувань. Отже за перші 12 днів плавець проплив 8700 м, а за останні 30-12 = 18 тренувань він проплив 18 · 1000 = 18000 м. Всього він проплив 8700 + 18000 = 26700 м. Оскільки відповідь потрібно надати у км, то маємо 26700:1000 = 26,7 км.

Завдання 19. Одним із мобільних операторів було запроваджено акцію “Довше розмовляєш — менше платиш” з такими умовами: плата за з’єднання відсутня; за першу хвилину розмови абонент сплачує 30 коп, а за кожну наступну хвилину розмови — на 3 коп менше, ніж за попередню; плата за одинадцяту та всі наступні хвилини розмови не нараховується; умови дійсні для дзвінків абонентам усіх мобільних операторів країни. Скільки за умовами акції коштуватиме абоненту цього мобільного оператора розмова тривалістю 8 хвилин (у грн)?

Показати відповідь

1,56.
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 30 та різницею d = -3. З формули S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} · n маємо S₈ = \frac{2\cdot30-3(8-1)}{2} · 8 = \frac{60-21}{2} · 8 = \frac{39}{2} · 8 = 39 · 4 = 156 коп. Оскільки відповідь потрібно надати у грн, то маємо 156:100 = 1,56 грн.

Завдання 20. Під час підготовки до заліку з вищої математики студент розв’язав за 9 днів 315 задач. У перший день він розв’язав 11 задач, а кожного наступного дня розв’язував на одну й ту ж саму кількість задач більше, ніж попереднього дня. Визначте кількість задач, які студент розв’язав дев’ятого дня.

Показати відповідь

59.
Маємо арифметичну прогресію з першим членом 11 та S₉ = 315.
З формули S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} · n маємо 315 = \frac{11 + a_9}{2} · 9. Домножимо обидві частини рівності на 2 і отримаємо:
630 = (11 + a₉) · 9 поділимо обидві частини рівності на 9
70 = 11 + a₉
a₉ = 70-11
a₉ = 59.

Завдання 21. Повна вартість доставки великогабаритних меблів у фірмі із перевезень складається з вартості їх доставки на 1-й поверх будинку і вартості підйому меблів на потрібний поверх. Вартість підйому меблів на кожен наступний поверх перевищує вартість їх підйому на попередній на одну й ту саму величину. Визначте повну вартість (у грн) доставки меблів на 11-й поверх будинку, якщо повна вартість доставки меблів на 4-й та 7-й поверхи цього будинку становить 142 грн та та 154 грн відповідно?

Показати відповідь

170.
Маємо арифметичну прогресію з четвертим членом 142 та сьомим членом 154. Потрібно знайти 11 член. Маємо систему \begin{cases}a_4 = 142,\\a_7 = 154\end{cases}. Застосуємо формулу загального члена арифметичної прогресії і підставимо відповідні вирази у дану систему. Маємо \begin{cases}a_1 + 3d = 142,\\a_1 + 6d = 154\end{cases}. Віднімемо від першого рівняння системи друге і отримаємо -3d = 142-154, звідки -3d = -12 і d = 4. Підставимо у перше рівняння системи знайдене значення різниці прогресії і отримаємо a₁ + 3 · 4 = 142, звідки a₁ = 142-12 = 130. Підставимо отримані значення у формулу n-го члена арифметичної прогресії і маємо a₁₁ = a₁ + 10d = 130 + 10 · 4 = 130 + 40 = 170.

Завдання 22. За якого від’ємного значення х значення виразів x²-4, 3-5x та 2-3х будуть послідовними членами арифметичної прогресії?

Показати відповідь

-8.
Оскільки для членів арифметичної прогресії правильна рівність 2a_n = a_n-1 + a_{n + 1}, то маємо: 2(3-5х) = x²-4 + 2-3х. Розкриємо дужки:
6-10x = x²-4 + 2-3х
x²-4 + 2-3х-6 + 10x = 0
x² + 7x-8 = 0
D = 7²-4 · 1 · (-8) = 49 + 32 = 81.
x₁ = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2\cdot1} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1
x₂ = \frac{-7-\sqrt{81}}{2\cdot1} = \frac{-7-9}{2} = \frac{-16}{2} = -8.
Від'ємне значення x = -8.

⇐ II.11.
Рівняння з параметром До змісту (НМТ/ЗНО) ІІІ.2.
Геометрична прогресія ⇒