Перейти до основного вмісту

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

    Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме (Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).

    Наносимо отримане число на числову пряму. При цьому якщо нерівність строга (<,>), то точка виколота, якщо не строга (≤,≥), то точка зафарбована. Штрихуємо в напрямку, куди вказує знак нерівності і записуємо отриману відповідь (якщо точка виколота, то дужка у відповіді кругла; якщо зафарбована, то дужка квадратна).

  1. НМТ 2023. Розв'яжіть нерівність х+3≤0.
    АБВГД
    [0; 3] (-∞; 3] (-∞; -3] (3; +∞) (-3; +∞)
    Показати відповідь
    В.
  2. Відомо, що a<b. Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.
    АБВГД
    -2a<-2b > > a-4>b-4 0,5-a>0,5-b
    Показати відповідь
    Д.
    Перебрати можливі варіанти. Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).
  3. Розв’яжіть нерівність 0,2х-54<0.
    АБВГД
    (-∞;27) (270;+∞) (-∞;2,7) (-∞;270) (10,8;+∞)
    Показати відповідь
    Г.
  4. Розв’яжіть систему нерівностей .
    АБВГД
    [-1;+∞) [-3;4] ⊘ [-3;+∞) [4;+∞)
    Показати відповідь
    Д.
    Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
  5. Розв’яжіть систему нерівностей .
    АБВГД
    (-∞;3) (3;4] (-∞;-3) (-3;4] (-∞;4]
    Показати відповідь
    А.
    Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
  6. Розв’яжіть систему нерівностей .
    АБВГД
    (-2,5;+∞) (-3;+∞) (3;+∞) (2,5;3) (-2,5;3)
    Показати відповідь
    Д.
    Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
  7. Розв’яжіть нерівність х3-2x<(x+2)(x2-2x+4).
    АБВГД
    (-4;+∞) (-∞;-4) (-0,25;+∞) (-∞;-0,25) (4;+∞)
    Показати відповідь
    А.
    Скористатись формулами скороченого множення.
    8. Для розв'язування квадратичних нерівностей, нерівностей з раціональними виразами, застосовують метод інтервалів. Для розв'язування цим методом потрібно виконати наступні дії:
    І. Перенести всі частини нерівності в ліву частину (отримати в правій частині лише 0), якщо маємо декілька дробів, звести їх до одного.
    ІІ. Знайти ОДЗ нерівності. Тут можливі випадки:
    1. Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0
    2. Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0
    3. Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0
    ІІІ. Знайти нулі функції, що стоїть в лівій частині нерівності. Для цього прирівняти до 0 і розв'язати відповідне рівняння
    IV. Нанести отримані точки з двох попередніх пунктів на числову пряму (зафарбовані лише точки, які знайдені в п. ІІІ за умови, що нерівність нестрога) і розбити ними числову пряму на інтервали.
    V. Визначити знак в кожному з інтервалів. Для цього взяти внутрішню точку кожного інтервалу, підставити в нерівність і отриманий знак поставити в інтервал.
    VI. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (визначається знаком нерівності - більше або менше 0)
    VII. Записати відповідь
  8. Розв’яжіть нерівність .
    АБВГД
    (-∞;0) (0;3] [3;+∞) (-∞;0)∪[3;+∞) (-∞;3]
    Показати відповідь
    Г.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  9. Укажіть число, що є розв'язком нерівності ≥1.
    АБВГД
    -2 0 2 9 4
    Показати відповідь
    Д.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  10. Розв’яжіть нерівність <0.
    АБВГД
    (-∞;5) (-∞;-5) (-∞;5)∪(5;+∞) (-5;+∞) (5;+∞)
    Показати відповідь
    А.
    Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
  11. Розв’яжіть нерівність <.
    АБВГД
    (-1;) (-∞;-1) (-∞;-1)∪(;+∞) (-∞;-1)∪(-1;) (-∞;)
    Показати відповідь
    А.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  12. Розв’яжіть нерівність ≤0.
    АБВГД
    (-∞;0)∪(0;4] (0;4] [-4;0) (-∞;-4] (-∞;0)∪[4;+ ∞)
    Показати відповідь
    Б.
    Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
  13. Розв’яжіть нерівність ≤.
    АБВГД
    (-∞;0)∪[3; + ∞) (0;3] [3; + ∞) (-∞;0) (-∞;3]
    Показати відповідь
    А.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  14. Розв’яжіть нерівність <0.
    АБВГД
    (-∞;2) (-∞;-1)∪(-1;2) (-1;2) (-∞;-1)∪(2;+ ∞) (-∞;-1)
    Показати відповідь
    В.
    Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
  15. Розв’яжіть нерівність (x2+64)(x-5)>0.
    АБВГД
    (5;+∞) (-∞;5)∪(5;+∞) (5;8) (-∞;5)∪(8;+ ∞) (-∞;5)
    Показати відповідь
    А.
    Врахувати, що x2+64 завжди більше 0.
  16. Укажіть число, що є розв’язком нерівності x2<9.
    АБВГД
    -8 -4,5 -2 3 8
    Показати відповідь
    В.
    Перебрати надані варіанти відповідей.
  17. Розв’яжіть нерівність (x+4)2≤16.
    АБВГД
    (-∞;8] (-∞;0] (-∞;4] [-8;8] [-8;0]
    Показати відповідь
    Д.
    Перенести все в ліву частину і розв'язати методом інтервалів.
  18. Розв’яжіть нерівність >0.
    АБВГД
    (-∞;5)∪(8;+∞) (-∞;5)∪(5;+∞) (5;8) (5;+∞) (-∞;5)
    Показати відповідь
    Г.
    Врахувати, що чисельник дробу завжди більше нуля.
  19. Розв’яжіть нерівність ≥0.
    АБВГД
    (-∞;-3)∪(2;5] (-3;-2)∪[5;+∞) (-∞;-3)∪(2; +∞) (-∞;-2)∪(3; +∞) (-3;2)∪{5}
    Показати відповідь
    В.
    Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що 5-х знаходиться у другому степені.
  20. Розв’яжіть нерівність ≤0.
    АБВГД
    {-2}∪(3;6] (-∞;-2]∪(3;6] [-2; 6] (-∞;6] (-∞;3)∪(3;6]
    Показати відповідь
    А.
    Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що х+2 знаходиться у другому степені і при штриховці буде зафарбована точка, що не входить в жоден із заштрихованих проміжків.
  21. Розв’яжіть нерівність x3≥x2.
    АБВГД
    (-∞;0]U[1;+∞) [0;1] [1;+∞) {0}U[1; +∞) [-1;+∞)
    Показати відповідь
    Г.
    Перенести все в ліву частину, винести спільний множник за дужки. Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що a знаходиться у другому степені і при штриховці буде зафарбована точка, що не входить в жоден із заштрихованих проміжків.
  22. Розв’яжіть нерівність a2>a.
    АБВГД
    (1;+∞) (0;1) (-∞;0) (-∞;0)∪(1; +∞) (-∞;1)
    Показати відповідь
    Г.
    Перенести все в ліву частину, винести спільний множник за дужки. Розв'язати нерівність методом інтервалів.
  23. Розв’яжіть нерівність ≥1. У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв'язків.
    Показати відповідь
    34.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дробу. Розв'язати нерівність методом інтервалів.
  24. Розв’яжіть нерівність <0. У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа не має, то у відповідь запишіть число 100.
    Показати відповідь
    -4.
    Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що х=-5 зустрічається при розв'язанні двічі.
  25. На рисунку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку (-∞;+ ∞) і має лише три нулі.

    Розв'яжіть систему У відповідь запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.
    Показати відповідь
    27.
    Розв'язати другу нерівність в системі за методом інтервалів. Розв'язок першої нерівності знайти за малюнком. Знайти перетин отриманих розв'язків.
  26. Розв’яжіть нерівність x2+2log2(-2x)-15<0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності.
    Показати відповідь
    -3.
    Знайти ОДЗ нерівності. Спростити вираз, використувуючи формулу alogab = b. Отриману нерівність розв'язати методом інтервалів.
⇐ ІІ.5.
Логарифмічні рівняння		 До змісту ⇒ ІІ.7.
Показникові нерівності

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Правила порівняння звичайних дробів: 1. Якщо дроби мають однаковий знаменник, то більше той дріб, чисельник якого більше 4 / 7 > 3 / 7 ; 2. Якщо дроби мають однаковий чисельник, то більше той дріб, знаменник якого менше 6 / 13 > 6 / 17 ; 3. Неправильний дріб завжди більше правильного 7 / 4 > 4 / 7 ; 4. Якщо за цими правилами не можемо визначити, то зводимо дроби до спільного знаменника і використовуємо правило 1. Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 π 3 2 sin( 7π 2 ) 3 π cos 90° А є ірраціона...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Піраміда та її елементи

Піраміда: у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер бічні грані піраміди - трикутники, а правильної піраміди - рівнобедрені трикутники правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку? "> "> "> "> "> "> Показати відповідь Б . Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди. Завдання 2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди. 7 8 9 16 17 Показати відповідь В . Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней. Завдання 3. Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер? 4 6 7 12 13 Показати відповідь В . Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12 : 2 = 6 ребер о...
2 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »