Лінійні нерівності та їх системи

Лінійні нерівності та їх системи — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках.

Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме. Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).

Позначаємо отримане число на числовій прямій. При цьому якщо нерівність строга (<,>), то точка виколота, якщо не строга (≤,≥), то точка зафарбована. Штрихуємо в напрямку, куди вказує знак нерівності і записуємо отриману відповідь (якщо точка виколота, то дужка у відповіді кругла; якщо зафарбована, то дужка квадратна).

Завдання 1. Розв'яжіть нерівність х + 3 ≤ 0.
[0; 3]
(-∞; 3]
(-∞; -3]
(3; +∞)
(-3; +∞)
Показати відповідь
В.
х + 3 ≤0
х ≤ -3
розв'язок лінійної нерівності x-3 х ∈(-∞; -3]
Завдання 2. Відомо, що a<b. Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.
-2a < -2b
√2a > √2b
a3 > b3
a - 4 > b - 4
0,5 - a > 0,5 - b
Показати відповідь
Д.
А) При множенні обох частин нерівності на від'ємне число (-2) знак нерівності повинен змінитися, а у нас залишився, тому не підходить.
Б) При множенні обох частин нерівності на додатне число (√2) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
В) При діленні обох частин нерівності на додатне число (3) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
Г) При відніманні від обох частин нерівності числа (4) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
Д) При множенні нерівності на від'ємне число (-1) знак нерівності повинен змінитися, а потім після додавання додатного числа (0,5) змінений знак повинен залишитися. Отже, остаточно знак повинен помінятися, отже ця нерівність правильна.
Завдання 3. Розв’яжіть нерівність 0,2х - 54 < 0.
(-∞; 27)
(270; +∞)
(-∞; 2,7)
(-∞; 270)
(10,8; +∞)
Показати відповідь
Г.
0,2х - 54 < 0
0,2х < 54 (домножимо обидві частини нерівності на 5)
х < 270 розв'язок лінійної нерівності x270 Отже, х∈(-∞;270).
Завдання 4. Розв’яжіть систему нерівностей {4x - 7 ≥ 2x + 1,x ≥ -3.
[-1; +∞)
[-3; 4]
⊘
[-3; +∞)
[4; +∞)
Показати відповідь
Д.
Розв'яжемо першу нерівність:
4x - 7 ≥ 2x + 1
4x - 2x ≥ 1 + 7
2x ≥ 8
x ≥ 4
Друга нерівність: x ≥ -3 розв’язок системи лінійних нерівностей x4-3 Маємо подвійне штрихування на проміжку [4;+∞).
Завдання 5. Розв’яжіть систему нерівностей {6 > 2x,7x - 28 ≤ 0.
(-∞; 3)
(3; 4]
(-∞; -3)
(-3; 4]
(-∞; 4]
Показати відповідь
А.
Розв'яжемо першу нерівність:
6 > 2x
x < 3
Розв'яжемо другу нерівність:
7x - 28 ≤ 0
7x ≤ 28
x ≤ 28 : 7
x ≤ 4
розв’язок системи лінійних нерівностей x43 Маємо подвійне штрихування на проміжку (-∞;3).
Завдання 6. Розв’яжіть систему нерівностей {-x > -3,2x + 5 > 0
(-2,5;+∞)
(-3;+∞)
(3;+∞)
(2,5;3)
(-2,5;3)
Показати відповідь
Д.
Розв'яжемо першу нерівність:
-x > -3
x < 3
Розв'яжемо другу нерівність:
2x + 5 > 0
2x > -5
x > -2,5
розв’язок системи лінійних нерівностей x3-2,5 Маємо подвійне штрихування на проміжку (-2,5;3).
Завдання 7. Розв’яжіть нерівність х³ - 2x < (x + 2)(x² - 2x + 4).
(-4; +∞)
(-∞; -4)
(-0,25; +∞)
(-∞; -0,25)
(4; +∞)
Показати відповідь
А.
х³ - 2x < (x + 2)(x² - 2x + 4)
х³ - 2x < х³ + 8
-2x < 8
x > -4. розв'язок лінійної нерівності x-4 Отже, х∈(-4;+∞).