Перейти до основного вмісту

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме (Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).

Наносимо отримане число на числову пряму. При цьому якщо нерівність строга (<,>), то точка виколота, якщо не строга (≤,≥), то точка зафарбована. Штрихуємо в напрямку, куди вказує знак нерівності і записуємо отриману відповідь (якщо точка виколота, то дужка у відповіді кругла; якщо зафарбована, то дужка квадратна).

Завдання. НМТ 2026 (демо). Розв’яжіть систему нерівностей {\footnotesize\begin{cases}x^2 + 4 \ge 0,\\[-0.4em]2(3x - 5) - 6 \lt x + 8\end{cases}}

∅
[−4; 4,8)
[2; 4,8)
(−∞; 4,8)
(−∞; −2] ∪ [2; 4,8)
Показати відповідь
Г.
{\footnotesize\begin{cases}x^2 + 4 \ge 0,\\[-0.4em]2(3x - 5) - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]2\cdot3x - 2\cdot5 - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]6x - 10 - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]6x - x \lt 8 + 10 + 6 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]5x \lt 24 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]x \lt 24:5 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]x \lt 4,8 \end{cases}}
Так як квадрат числа завжди є додатнім, тому розв'язком першої нерівності системи є будь-яке число. Тому розв'язком системи буде розв'язок другої нерівності.
Розв'язок лінійної нерівності 4,8 Тоді х∈ (−∞; 4,8).
  1. НМТ 2023. Розв'яжіть нерівність х+3≤0.
    АБВГД
    [0; 3] (-∞; 3] (-∞; -3] (3; +∞) (-3; +∞)
    Показати відповідь
    В.
  2. Відомо, що a<b. Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.
    АБВГД
    -2a<-2b > > a-4>b-4 0,5-a>0,5-b
    Показати відповідь
    Д.
    Перебрати можливі варіанти. Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).
  3. Розв’яжіть нерівність 0,2х-54<0.
    АБВГД
    (-∞;27) (270;+∞) (-∞;2,7) (-∞;270) (10,8;+∞)
    Показати відповідь
    Г.
  4. Розв’яжіть систему нерівностей .
    АБВГД
    [-1;+∞) [-3;4] ⊘ [-3;+∞) [4;+∞)
    Показати відповідь
    Д.
    Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
  5. Розв’яжіть систему нерівностей .
    АБВГД
    (-∞;3) (3;4] (-∞;-3) (-3;4] (-∞;4]
    Показати відповідь
    А.
    Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
  6. Розв’яжіть систему нерівностей .
    АБВГД
    (-2,5;+∞) (-3;+∞) (3;+∞) (2,5;3) (-2,5;3)
    Показати відповідь
    Д.
    Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
  7. Розв’яжіть нерівність х3-2x<(x+2)(x2-2x+4).
    АБВГД
    (-4;+∞) (-∞;-4) (-0,25;+∞) (-∞;-0,25) (4;+∞)
    Показати відповідь
    А.
    Скористатись формулами скороченого множення.
    8. Для розв'язування квадратичних нерівностей, нерівностей з раціональними виразами, застосовують метод інтервалів. Для розв'язування цим методом потрібно виконати наступні дії:
    І. Перенести всі частини нерівності в ліву частину (отримати в правій частині лише 0), якщо маємо декілька дробів, звести їх до одного.
    ІІ. Знайти ОДЗ нерівності. Тут можливі випадки:
    1. Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0
    2. Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0
    3. Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0
    ІІІ. Знайти нулі функції, що стоїть в лівій частині нерівності. Для цього прирівняти до 0 і розв'язати відповідне рівняння
    IV. Нанести отримані точки з двох попередніх пунктів на числову пряму (зафарбовані лише точки, які знайдені в п. ІІІ за умови, що нерівність нестрога) і розбити ними числову пряму на інтервали.
    V. Визначити знак в кожному з інтервалів. Для цього взяти внутрішню точку кожного інтервалу, підставити в нерівність і отриманий знак поставити в інтервал.
    VI. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (визначається знаком нерівності - більше або менше 0)
    VII. Записати відповідь
  8. Розв’яжіть нерівність .
    АБВГД
    (-∞;0) (0;3] [3;+∞) (-∞;0)∪[3;+∞) (-∞;3]
    Показати відповідь
    Г.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  9. Укажіть число, що є розв'язком нерівності ≥1.
    АБВГД
    -2 0 2 9 4
    Показати відповідь
    Д.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  10. Розв’яжіть нерівність <0.
    АБВГД
    (-∞;5) (-∞;-5) (-∞;5)∪(5;+∞) (-5;+∞) (5;+∞)
    Показати відповідь
    А.
    Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
  11. Розв’яжіть нерівність <.
    АБВГД
    (-1;) (-∞;-1) (-∞;-1)∪(;+∞) (-∞;-1)∪(-1;) (-∞;)
    Показати відповідь
    А.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  12. Розв’яжіть нерівність ≤0.
    АБВГД
    (-∞;0)∪(0;4] (0;4] [-4;0) (-∞;-4] (-∞;0)∪[4;+ ∞)
    Показати відповідь
    Б.
    Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
  13. Розв’яжіть нерівність ≤.
    АБВГД
    (-∞;0)∪[3; + ∞) (0;3] [3; + ∞) (-∞;0) (-∞;3]
    Показати відповідь
    А.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
  14. Розв’яжіть нерівність <0.
    АБВГД
    (-∞;2) (-∞;-1)∪(-1;2) (-1;2) (-∞;-1)∪(2;+ ∞) (-∞;-1)
    Показати відповідь
    В.
    Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
  15. Розв’яжіть нерівність (x2+64)(x-5)>0.
    АБВГД
    (5;+∞) (-∞;5)∪(5;+∞) (5;8) (-∞;5)∪(8;+ ∞) (-∞;5)
    Показати відповідь
    А.
    Врахувати, що x2+64 завжди більше 0.
  16. Укажіть число, що є розв’язком нерівності x2<9.
    АБВГД
    -8 -4,5 -2 3 8
    Показати відповідь
    В.
    Перебрати надані варіанти відповідей.
  17. Розв’яжіть нерівність (x+4)2≤16.
    АБВГД
    (-∞;8] (-∞;0] (-∞;4] [-8;8] [-8;0]
    Показати відповідь
    Д.
    Перенести все в ліву частину і розв'язати методом інтервалів.
  18. Розв’яжіть нерівність >0.
    АБВГД
    (-∞;5)∪(8;+∞) (-∞;5)∪(5;+∞) (5;8) (5;+∞) (-∞;5)
    Показати відповідь
    Г.
    Врахувати, що чисельник дробу завжди більше нуля.
  19. Розв’яжіть нерівність ≥0.
    АБВГД
    (-∞;-3)∪(2;5] (-3;-2)∪[5;+∞) (-∞;-3)∪(2; +∞) (-∞;-2)∪(3; +∞) (-3;2)∪{5}
    Показати відповідь
    В.
    Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що 5-х знаходиться у другому степені.
  20. Розв’яжіть нерівність ≤0.
    АБВГД
    {-2}∪(3;6] (-∞;-2]∪(3;6] [-2; 6] (-∞;6] (-∞;3)∪(3;6]
    Показати відповідь
    А.
    Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що х+2 знаходиться у другому степені і при штриховці буде зафарбована точка, що не входить в жоден із заштрихованих проміжків.
  21. Розв’яжіть нерівність x3≥x2.
    АБВГД
    (-∞;0]U[1;+∞) [0;1] [1;+∞) {0}U[1; +∞) [-1;+∞)
    Показати відповідь
    Г.
    Перенести все в ліву частину, винести спільний множник за дужки. Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що a знаходиться у другому степені і при штриховці буде зафарбована точка, що не входить в жоден із заштрихованих проміжків.
  22. Розв’яжіть нерівність a2>a.
    АБВГД
    (1;+∞) (0;1) (-∞;0) (-∞;0)∪(1; +∞) (-∞;1)
    Показати відповідь
    Г.
    Перенести все в ліву частину, винести спільний множник за дужки. Розв'язати нерівність методом інтервалів.
  23. Розв’яжіть нерівність ≥1. У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв'язків.
    Показати відповідь
    34.
    Перенести все в ліву частину, звести до одного дробу. Розв'язати нерівність методом інтервалів.
  24. Розв’яжіть нерівність <0. У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа не має, то у відповідь запишіть число 100.
    Показати відповідь
    -4.
    Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що х=-5 зустрічається при розв'язанні двічі.
  25. На рисунку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку (-∞;+ ∞) і має лише три нулі.

    Розв'яжіть систему У відповідь запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.
    Показати відповідь
    27.
    Розв'язати другу нерівність в системі за методом інтервалів. Розв'язок першої нерівності знайти за малюнком. Знайти перетин отриманих розв'язків.
  26. Розв’яжіть нерівність x2+2log2(-2x)-15<0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності.
    Показати відповідь
    -3.
    Знайти ОДЗ нерівності. Спростити вираз, використувуючи формулу alogab = b. Отриману нерівність розв'язати методом інтервалів.
⇐ ІІ.5.
Логарифмічні рівняння		 До змісту ⇒ ІІ.7.
Показникові нерівності

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар