Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках.

На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ.

---

Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме (Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).

Наносимо отримане число на числову пряму. При цьому якщо нерівність строга (<,>), то точка виколота, якщо не строга (≤,≥), то точка зафарбована. Штрихуємо в напрямку, куди вказує знак нерівності і записуємо отриману відповідь (якщо точка виколота, то дужка у відповіді кругла; якщо зафарбована, то дужка квадратна).

НМТ 2026 (демо). Розв’яжіть систему нерівностей {\footnotesize\begin{cases}x^2 + 4 \ge 0,\\[-0.4em]2(3x - 5) - 6 \lt x + 8\end{cases}}

∅

[−4; 4,8)

[2; 4,8)

(−∞; 4,8)

(−∞; −2] ∪ [2; 4,8)

Показати відповідь

Г.
{\footnotesize\begin{cases}x^2 + 4 \ge 0,\\[-0.4em]2(3x - 5) - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]2\cdot3x - 2\cdot5 - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]6x - 10 - 6 \lt x + 8\end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]6x - x \lt 8 + 10 + 6 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]5x \lt 24 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]x \lt 24:5 \end{cases}}
{\footnotesize\begin{cases}x^2 \ge -4,\\[-0.4em]x \lt 4,8 \end{cases}}
Так як квадрат числа завжди є додатнім, тому розв'язком першої нерівності системи є будь-яке число. Тому розв'язком системи буде розв'язок другої нерівності.
Тоді х∈ (−∞; 4,8).

НМТ 2023. Розв'яжіть нерівність х+3≤0.

А	Б	В	Г	Д
[0; 3]	(-∞; 3]	(-∞; -3]	(3; +∞)	(-3; +∞)

Показати відповідь

В
х+3≤0
х≤-3
х ∈(-∞; -3]

---

Відомо, що a<b. Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.

А	Б	В	Г	Д
-2a<-2b	\sqrt{2}a>\sqrt{b}	\frac{a}{3}>\frac{b}{3}	a-4>b-4	0,5-a>0,5-b

Показати відповідь

Д.
А) При множенні обох частин нерівності на від'ємне значення (-2) знак нерівності повинен змінитися, а у нас залишився, тому не підходить.
Б) При множенні обох частин нерівності на додатнє значення (\sqrt{2}) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
В) При діленні обох частин нерівності на додатнє значення (3) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
Г) При відніманні від обох частин нерівності числа (4) знак нерівності повинен залишитися, а у нас змінився, тому не підходить.
Д) При множенні нерівності на від'ємне значення (-1) знак нерівності повинен змінитися, а потім після додавання додатного числа (0,5) змінений знак повинен залишитися. Отже, остаточно знак повинен помінятися, отже ця нерівність правильна.

Розв’яжіть нерівність 0,2х-54<0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;27)	(270;+∞)	(-∞;2,7)	(-∞;270)	(10,8;+∞)

Показати відповідь

Г.
0,2х-54<0
0,2х<54 (домножимо обидві частини нерівності на 5)
х<270. Отже, х∈(-∞;270).

Розв’яжіть систему нерівностей \left\{\begin{matrix}4x-7\ge2x+1,\\x\ge-3\end{matrix}\right..

А	Б	В	Г	Д
[-1;+∞)	[-3;4]	⊘	[-3;+∞)	[4;+∞)

Показати відповідь

Д.
Розв'яжемо першу нерівність:
4x-7≥2x+1
4x-2x≥1+7
2x≥8
x≥4
x∈[4;+∞)
Друга нерівність: x≥-3
x∈[-3;+∞)
Перший проміжок повністю входить у другий, тому він є розв'язком системи. Маємо відповідь [4;+∞).

Розв’яжіть систему нерівностей \left\{\begin{matrix}6>2x,\\7x-28\le0\end{matrix}\right..

А	Б	В	Г	Д
(-∞;3)	(3;4]	(-∞;-3)	(-3;4]	(-∞;4]

Показати відповідь

А.
Розв'яжемо першу нерівність:
6>2x
x<3
Розв'яжемо другу нерівність:
7x-28≤0
7x≤28
x≤28:7
x≤4
Перший проміжок повністю входить у другий, тому він є розв'язком системи. Маємо відповідь (-∞;3).

Розв’яжіть систему нерівностей \left\{\begin{matrix}-x>-3,\\2x+5>0\end{matrix}\right..

А	Б	В	Г	Д
(-2,5;+∞)	(-3;+∞)	(3;+∞)	(2,5;3)	(-2,5;3)

Показати відповідь

Д.
Розв'яжемо першу нерівність:
-x>-3
x<3
Розв'яжемо другу нерівність:
2x+5>0
2x>-5
x>-2,5
Відповіддю є проміжок (-2,5;3).

Розв’яжіть нерівність х³-2x<(x+2)(x²-2x+4).

А	Б	В	Г	Д
(-4;+∞)	(-∞;-4)	(-0,25;+∞)	(-∞;-0,25)	(4;+∞)

Показати відповідь

А.
х³-2x<(x+2)(x²-2x+4)
х³-2x<х³+8
-2x<8
x> -4. Отже, х∈(-4;+∞).

Для розв'язування квадратичних нерівностей, нерівностей з раціональними виразами, застосовують метод інтервалів. Для розв'язування цим методом потрібно виконати наступні дії:
І. Перенести всі частини нерівності в ліву частину (отримати в правій частині лише 0), якщо маємо декілька дробів, звести їх до одного.
ІІ. Знайти ОДЗ нерівності. Тут можливі випадки:

1. Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0
2. Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0
3. Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0

ІІІ. Знайти нулі функції, що стоїть в лівій частині нерівності. Для цього прирівняти до 0 і розв'язати відповідне рівняння
IV. Нанести отримані точки з двох попередніх пунктів на числову пряму (зафарбовані лише точки, які знайдені в п. ІІІ за умови, що нерівність нестрога) і розбити ними числову пряму на інтервали.
V. Визначити знак в кожному з інтервалів. Для цього взяти внутрішню точку кожного інтервалу, підставити в нерівність і отриманий знак поставити в інтервал.
VI. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (визначається знаком нерівності - більше або менше 0)
VII. Записати відповідь

Розв’яжіть нерівність \frac{1}{x}\le\frac{1}{3}.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0)	(0;3]	[3;+∞)	(-∞;0)∪[3;+∞)	(-∞;3]

Показати відповідь

Г.
\frac{1}{x}\le\frac{1}{3}
\frac{1}{x}-\frac{1}{3}≤0
\frac{3-x}{3x}≤0
Розв'яжемо отриману нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠0.
2. Нулі функції: х = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, х∈(-∞;0)∪[3;+∞).

Укажіть число, що є розв'язком нерівності \frac{5}{x-3}≥1.

А	Б	В	Г	Д
-2	0	2	9	4

Показати відповідь

Д.
І спосіб
\frac{5}{x-3}≥1
\frac{5}{x-3}-1≥0
\frac{5}{x-3}-\frac{x-3}{x-3}≥0
\frac{5-(x-3)}{x-3}≥0
\frac{5-x+3}{x-3}≥0
\frac{8-x}{x-3}≥0.
Розв'яжемо отриману нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠3.
2. Нулі функції: х = 8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, х∈(3;8]. Даному проміжку належить лише число 4.
ІI спосіб
Підставимо дані числа у нерівність. Маємо:
А) \frac{5}{-2-3} = \frac{5}{-5} = -1≤1
Б) \frac{5}{0-3} = \frac{5}{-3}≤1
В) \frac{5}{2-3} = \frac{5}{-1} = -5≤1
Г) \frac{5}{9-3} = \frac{5}{6}≤1
Д) \frac{5}{4-3} = \frac{5}{1} = 5≥1. Задовільняє.

Розв’яжіть нерівність \frac{1}{x-5}<0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;5)	(-∞;-5)	(-∞;5)∪(5;+∞)	(-5;+∞)	(5;+∞)

Показати відповідь

А.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠5.
2. Нулі функції: немає.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, х∈(-∞;5).

Розв’яжіть нерівність \frac{3x}{x+1}<\frac{7}{x+1}.

А	Б	В	Г	Д
(-1;\frac{7}{3})	(-∞;-1)	(-∞;-1)∪(\frac{7}{3};+∞)	(-∞;-1)∪(-1;\frac{7}{3})	(-∞;\frac{7}{3})

Показати відповідь

А.
\frac{3x}{x+1}<\frac{7}{x+1}
\frac{3x}{x+1}-\frac{7}{x+1}<0
\frac{3x-7}{x+1}<0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠-1.
2. Нулі функції: x = \frac{7}{3}.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈(-1;\frac{7}{3}).

Розв’яжіть нерівність \frac{x-4}{x}≤0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0)∪(0;4]	(0;4]	[-4;0)	(-∞;-4]	(-∞;0)∪[4;+ ∞)

Показати відповідь

Б.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠0.
2. Нулі функції: x = 4.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈(0;4].

Розв’яжіть нерівність \frac{x+1}{x}≤\frac{4}{3}.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0)∪[3; + ∞)	(0;3]	[3; + ∞)	(-∞;0)	(-∞;3]

Показати відповідь

А.
\frac{x+1}{x}≤\frac{4}{3}
\frac{x+1}{x}-\frac{4}{3}≤0
\frac{3(x+1)-4x}{3x}≤0
\frac{3x+3-4x}{3x}≤0
\frac{3-x}{3x}≤0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠0.
2. Нулі функції: x = 3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈(-∞;0)∪[3; + ∞).

Розв’яжіть нерівність \frac{2x-4}{x+1}<0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;2)	(-∞;-1)∪(-1;2)	(-1;2)	(-∞;-1)∪(2;+ ∞)	(-∞;-1)

Показати відповідь

В.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠ -1.
2. Нулі функції: 2x-4 = 0, звідси x = 2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈(-1;2).

Розв’яжіть нерівність (x²+64)(x-5)>0.

А	Б	В	Г	Д
(5;+∞)	(-∞;5)∪(5;+∞)	(5;8)	(-∞;5)∪(8;+ ∞)	(-∞;5)

Показати відповідь

А.
Оскільки x²+64 завжди більше 0, то на нього можна поділити обидві частини нерівності, при цьому знак нерівності не змінюється. Маємо x-5>0. Звідси x>5. Отже, x∈(5;+∞).

Укажіть число, що є розв’язком нерівності x²<9.

А	Б	В	Г	Д
-8	-4,5	-2	3	8

Показати відповідь

В.
Потрібно знайти число, яке піднесене до квадрату буде менше 9. Це число -2, так як (-2)² = 4<9.

Розв’яжіть нерівність (x+4)²≤16.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;8]	(-∞;0]	(-∞;4]	[-8;8]	[-8;0]

Показати відповідь

Д.
(x+4)²≤16
x²+8x+16≤16
x²+8x+16-16≤0
x²+8x≤0
x(x+8)≤0
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
Нулі функції: x = 0, x = -8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈[-8;0].

Розв’яжіть нерівність \frac{x^2+64}{x-5}>0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;5)∪(8;+∞)	(-∞;5)∪(5;+∞)	(5;8)	(5;+∞)	(-∞;5)

Показати відповідь

Г.
Оскільки чисельник дробу завжди більше нуля, то для того, щоб дріб був більше нуля, його знаменник також повинен бути більше нуля, отже маємо x-5>0, звідси x>5. Отже, x∈(5;+∞).

Розв’яжіть нерівність \frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}≥0.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;-3)∪(2;5]	(-3;-2)∪[5;+∞)	(-∞;-3)∪(2; +∞)	(-∞;-2)∪(3; +∞)	(-3;2)∪{5}

Показати відповідь

В.
Оскільки чисельник дробу завжди більше або дорівнює 0, то сам дріб більше або дорівнює нулю або коли чисельник дорівнює 0 (отже, х = 5), або коли знаменник більше нуля. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x²+x-6 = 0.
Д = 1²-4⋅1⋅(-6) = 1+24 = 25.
x¹ = \frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2
x² = \frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈(-∞;-3)∪(2; +∞). Оскільки число 5 входить у другий проміжок, то відповідь така і залишається.

Розв’яжіть нерівність \frac{(x-6)(x+2)^2}{x-3}≤0.

А	Б	В	Г	Д
{-2}∪(3;6]	(-∞;-2]∪(3;6]	[-2; 6]	(-∞;6]	(-∞;3)∪(3;6]

Показати відповідь

А.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠ 3.
2. Нулі функції: x = 6, x = -2.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈{-2}∪(3;6] (точку -2 включили, оскільки вона замальована).

Розв’яжіть нерівність x³≥x².

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0]U[1;+∞)	[0;1]	[1;+∞)	{0}U[1; +∞)	[-1;+∞)

Показати відповідь

Г.
x³≥x²
x³-x²≥0
x²(x-1)≥0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈ R.
2. Нулі функції: x = 0, x = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈{0}U[1; +∞) (якщо до інтервалів під'єднуємо точку, то пишемо її у фігурних дужках).

Розв’яжіть нерівність a²>a.

А	Б	В	Г	Д
(1;+∞)	(0;1)	(-∞;0)	(-∞;0)∪(1; +∞)	(-∞;1)

Показати відповідь

Г.
a²>a
a²-a>0
a(a-1)>0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈ R.
2. Нулі функції: x = 0, x = 1.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже, x∈(-∞;0)∪(1; +∞).

Розв’яжіть нерівність \frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}≥1. У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв'язків.

Показати відповідь

34.
\frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}≥1
\frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}-1≥0
\frac{3x+4(x-2)-(x-2)x}{(x-2)x}≥0
\frac{3x+4x-8-x^2+2x}{(x-2)x}≥0
\frac{9x-8-x^2}{(x-2)x}≥0.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠2, x≠0.
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння 9x-8-x² = 0.
Д = 9²-4⋅(-1)⋅(-8) = 81-32 = 49.
x₁ = \frac{-9+\sqrt{49}}{2\cdot(-1)} = \frac{-9+7}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1.
x₂ = \frac{-9-\sqrt{49}}{2\cdot(-1)} = \frac{-9-7}{-2} = \frac{-16}{-2} = 8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

До цілих розв'язків належать числа 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Їх сума 1+3+4+5+6+7+8 = 34.

Розв’яжіть нерівність \frac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}<0. У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа не має, то у відповідь запишіть число 100.

Показати відповідь

-4.
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: знайдемо, коли знаменник обертається в 0. Для цього розв'яжемо квадратне рівняння x²+3x-10 = 0.
Д = 3²-4⋅1⋅(-10) = 9+40 = 49.
x₁ = \frac{-3+\sqrt{49}}{2\cdot1} = \frac{-3+7}{2} = \frac{4}{2} = 2
x₂ = \frac{-3-\sqrt{49}}{2\cdot1} = \frac{-3-7}{2} = \frac{-10}{2} = -5.
Отже, х≠ -5, x≠2.
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x²+11x+30 = 0.
Д = 11²-4⋅1⋅30 = 121-120 = 1.
x₁ = \frac{-11+\sqrt{1}}{2\cdot1} = \frac{-11+1}{2} = \frac{-10}{2} = -5
x₂ = \frac{-11-\sqrt{1}}{2\cdot1} = \frac{-11-1}{2} = \frac{-12}{2} = -6.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Найменшим цілим із отриманої відповіді є число -4.

На рисунку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку (-∞;+ ∞) і має лише три нулі.

Розв'яжіть систему \left\{\begin{matrix}f(x)\ge0,\\x^2+x-6>0\end{matrix}\right. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.

Показати відповідь

27.
Розв'яжемо другу нерівність в системі за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈R.
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x²+x-6 = 0.
Д = 1²-4⋅1⋅(-6) = 1+24 = 25.
x₁ = \frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2
x₂ = \frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{-1-5}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Тоді маємо розв'язком другої нерівності проміжок (-∞;-3)∪(2; +∞). Розв'язком першої нерівності за малюнком маємо проміжок [-1;6]∪{9}. Перетином цих проміжків є проміжок (2;6]∪{9}. Цілими розв'язками будуть числа 3,4,5,6,9 і відповіддю є число 3+4+5+6+9 = 27.

Розв’яжіть нерівність x²+2^log₂(-2x)-15<0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності.

Показати відповідь

-3.
Знайдемо ОДЗ нерівності. Так як у підлогарифмічному виразі стоїть -2х, то -2х повинен бути більше 0, тому х<0.
Використаємо формулу a^log_ab = b. Отримаємо нерівність x²-2x-15<0. Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x∈R
2. Нулі функції: розв'яжемо квадратне рівняння x²-2x-15 = 0.
D = 2²-4⋅1⋅(-15) = 4+60 = 64.
x₁ = \frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot1} = \frac{2+8}{2} = \frac{10}{2} = 5
x₂ = \frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot1} = \frac{2-8}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
Нанесемо отримані точки на числову пряму і врахуємо ОДЗ початкової нерівності.

Цілими розв'язками будуть числа -2, -1. Сума цих чисел -3.

⇐ ІІ.5. Логарифмічні рівняння

До змісту

⇒ ІІ.7. Показникові нерівності