Шлях до математики: кроки успіху: Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме (Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).

Наносимо отримане число на числову пряму. При цьому якщо нерівність строга (<,>), то точка виколота, якщо не строга (≤,≥), то точка зафарбована. Штрихуємо в напрямку, куди вказує знак нерівності і записуємо отриману відповідь (якщо точка виколота, то дужка у відповіді кругла; якщо зафарбована, то дужка квадратна).

НМТ 2023. Розв'яжіть нерівність х+3≤0.

А Б В Г Д

[0; 3] (-∞; 3] (-∞; -3] (3; +∞) (-3; +∞)

Відповідь

В.

Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 70 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "2.6. Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.

Зразок

Відомо, що a<b. Серед наведених нерівностей укажіть правильну нерівність.

А Б В Г Д

-2a<-2b $\sqrt{2}a$ > $\sqrt{b}$ $\frac{a}{3}$ > $\frac{b}{3}$ a-4>b-4 0,5-a>0,5-b

Відповідь

Д.
Перебрати можливі варіанти. Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності на від'ємне число, знак нерівності змінюється на протилежний).
Розв’яжіть нерівність 0,2х-54<0.

А Б В Г Д

(-∞;27) (270;+∞) (-∞;2,7) (-∞;270) (10,8;+∞)

Відповідь

Г.

Розв’яжіть систему нерівностей $\left\{\begin{matrix}4x-7\ge2x+1,\\x\ge-3\end{matrix}\right.$ .

А Б В Г Д

[-1;+∞) [-3;4] ⊘ [-3;+∞) [4;+∞)

Відповідь

Д.
Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
Розв’яжіть систему нерівностей $\left\{\begin{matrix}6>2x,\\7x-28\le0\end{matrix}\right.$ .

А Б В Г Д

(-∞;3) (3;4] (-∞;-3) (-3;4] (-∞;4]

Відповідь

А.
Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
Розв’яжіть систему нерівностей $\left\{\begin{matrix}-x>-3,\\2x+5>0\end{matrix}\right.$ .

А Б В Г Д

(-2,5;+∞) (-3;+∞) (3;+∞) (2,5;3) (-2,5;3)

Відповідь

Д.
Розв'язати нерівності і знайти спільну заштриховану частину.
Розв’яжіть нерівність х³-2x<(x+2)(x²-2x+4).

А Б В Г Д

(-4;+∞) (-∞;-4) (-0,25;+∞) (-∞;-0,25) (4;+∞)

Відповідь

А.
Скористатись формулами скороченого множення.

Для розв'язування квадратичних нерівностей, нерівностей з раціональними виразами, застосовують метод інтервалів. Для розв'язування цим методом потрібно виконати наступні дії:
І. Перенести всі частини нерівності в ліву частину (отримати в правій частині лише 0), якщо маємо декілька дробів, звести їх до одного.
ІІ. Знайти ОДЗ нерівності. Тут можливі випадки:

Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0
Якщо є корінь парного степеня, то його підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0
Якщо є логарифм, то його підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0

ІІІ. Знайти нулі функції, що стоїть в лівій частині нерівності. Для цього прирівняти до 0 і розв'язати відповідне рівняння
IV. Нанести отримані точки з двох попередніх пунктів на числову пряму (зафарбовані лише точки, які знайдені в п. ІІІ за умови, що нерівність нестрога) і розбити ними числову пряму на інтервали.
V. Визначити знак в кожному з інтервалів. Для цього взяти внутрішню точку кожного інтервалу, підставити в нерівність і отриманий знак поставити в інтервал.
VI. Заштрихувати інтервали з потрібним знаком (визначається знаком нерівності - більше або менше 0)
VII. Записати відповідь

Розв’яжіть нерівність $\frac{1}{x}\le\frac{1}{3}$ .

А Б В Г Д

(-∞;0) (0;3] [3;+∞) (-∞;0)∪[3;+∞) (-∞;3]

Відповідь

Г.
Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
Укажіть число, що є розв'язком нерівності $\frac{5}{x-3}$ ≥1.

А Б В Г Д

-2 0 2 9 4

Відповідь

Д.
Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{1}{x-5}$ <0.

А Б В Г Д

(-∞;5) (-∞;-5) (-∞;5)∪(5;+∞) (-5;+∞) (5;+∞)

Відповідь

А.
Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{3x}{x+1}$ < $\frac{7}{x+1}$ .

А Б В Г Д

(-1; $\frac{7}{3}$ ) (-∞;-1) (-∞;-1)∪( $\frac{7}{3}$ ;+∞) (-∞;-1)∪(-1; $\frac{7}{3}$ ) (-∞; $\frac{7}{3}$ )

Відповідь

А.
Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{x-4}{x}$ ≤0.

А Б В Г Д

(-∞;0)∪(0;4] (0;4] [-4;0) (-∞;-4] (-∞;0)∪[4;+ ∞)

Відповідь

Б.
Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{x+1}{x}$ ≤ $\frac{4}{3}$ .

А Б В Г Д

(-∞;0)∪[3; + ∞) (0;3] [3; + ∞) (-∞;0) (-∞;3]

Відповідь

А.
Перенести все в ліву частину, звести до одного дроба і розв'язати методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{2x-4}{x+1}$ <0.

А Б В Г Д

(-∞;2) (-∞;-1)∪(-1;2) (-1;2) (-∞;-1)∪(2;+ ∞) (-∞;-1)

Відповідь

В.
Розв'язати нерівність за методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність (x²+64)(x-5)>0.

А Б В Г Д

(5;+∞) (-∞;5)∪(5;+∞) (5;8) (-∞;5)∪(8;+ ∞) (-∞;5)

Відповідь

А.
Врахувати, що x²+64 завжди більше 0.
Укажіть число, що є розв’язком нерівності x²<9.

А Б В Г Д

-8 -4,5 -2 3 8

Відповідь

В.
Перебрати надані варіанти відповідей.
Розв’яжіть нерівність (x+4)²≤16.

А Б В Г Д

(-∞;8] (-∞;0] (-∞;4] [-8;8] [-8;0]

Відповідь

Д.
Перенести все в ліву частину і розв'язати методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{x^2+64}{x-5}$ >0.

А Б В Г Д

(-∞;5)∪(8;+∞) (-∞;5)∪(5;+∞) (5;8) (5;+∞) (-∞;5)

Відповідь

Г.
Врахувати, що чисельник дробу завжди більше нуля.
Розв’яжіть нерівність $\frac{(5-x)^2}{x^2+x-6}$ ≥0.

А Б В Г Д

(-∞;-3)∪(2;5] (-3;-2)∪[5;+∞) (-∞;-3)∪(2; +∞) (-∞;-2)∪(3; +∞) (-3;2)∪{5}

Відповідь

В.
Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що 5-х знаходиться у другому степені.
Розв’яжіть нерівність $\frac{(x-6)(x+2)^2}{x-3}$ ≤0.

А Б В Г Д

{-2}∪(3;6] (-∞;-2]∪(3;6] [-2; 6] (-∞;6] (-∞;3)∪(3;6]

Відповідь

А.
Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що х+2 знаходиться у другому степені і при штриховці буде зафарбована точка, що не входить в жоден із заштрихованих проміжків.
Розв’яжіть нерівність x³≥x².

А Б В Г Д

(-∞;0]U[1;+∞) [0;1] [1;+∞) {0}U[1; +∞) [-1;+∞)

Відповідь

Г.
Перенести все в ліву частину, винести спільний множник за дужки. Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що a знаходиться у другому степені і при штриховці буде зафарбована точка, що не входить в жоден із заштрихованих проміжків.
Розв’яжіть нерівність a²>a.

А Б В Г Д

(1;+∞) (0;1) (-∞;0) (-∞;0)∪(1; +∞) (-∞;1)

Відповідь

Г.
Перенести все в ліву частину, винести спільний множник за дужки. Розв'язати нерівність методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{3}{x-2}+\frac{4}{x}$ ≥1. У відповідь запишіть суму всіх цілих її розв'язків.
Відповідь

34.
Перенести все в ліву частину, звести до одного дробу. Розв'язати нерівність методом інтервалів.
Розв’яжіть нерівність $\frac{x^2+11x+30}{x^2+3x-10}$ <0. У відповідь запишіть найменше ціле число, що задовольняє цю нерівність. Якщо такого числа не має, то у відповідь запишіть число 100.
Відповідь
-4.
Розв'язати нерівність методом інтервалів. Звернути увагу, що х=-5 зустрічається при розв'язанні двічі.
На рисунку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку (-∞;+ ∞) і має лише три нулі.
Розв'яжіть систему $\left\{\begin{matrix}f(x)\ge0,\\x^2+x-6>0\end{matrix}\right.$ У відповідь запишіть суму всіх цілих розв'язків системи.
Відповідь
27.
Розв'язати другу нерівність в системі за методом інтервалів. Розв'язок першої нерівності знайти за малюнком. Знайти перетин отриманих розв'язків.
Розв’яжіть нерівністьx²+2^log₂(-2x)-15<0. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності.
Відповідь
-3.
Знайти ОДЗ нерівності. Спростити вираз, використувуючи формулу a^log_ab = b. Отриману нерівність розв'язати методом інтервалів.

⇐ ІІ.5.
Логарифмічні рівняння

До змісту

⇒ ІІ.7.
Показникові нерівності

Шлях до математики: кроки успіху

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Немає коментарів:

Дописати коментар

А	Б	В	Г	Д
-2a<-2b	$\sqrt{2}a$ > $\sqrt{b}$	$\frac{a}{3}$ > $\frac{b}{3}$	a-4>b-4	0,5-a>0,5-b

А	Б	В	Г	Д
(-∞;27)	(270;+∞)	(-∞;2,7)	(-∞;270)	(10,8;+∞)

А	Б	В	Г	Д
(-4;+∞)	(-∞;-4)	(-0,25;+∞)	(-∞;-0,25)	(4;+∞)

А	Б	В	Г	Д
(-∞;5)	(-∞;-5)	(-∞;5)∪(5;+∞)	(-5;+∞)	(5;+∞)

А	Б	В	Г	Д
(-1; $\frac{7}{3}$ )	(-∞;-1)	(-∞;-1)∪( $\frac{7}{3}$ ;+∞)	(-∞;-1)∪(-1; $\frac{7}{3}$ )	(-∞; $\frac{7}{3}$ )

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0)∪(0;4]	(0;4]	[-4;0)	(-∞;-4]	(-∞;0)∪[4;+ ∞)

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0)∪[3; + ∞)	(0;3]	[3; + ∞)	(-∞;0)	(-∞;3]

А	Б	В	Г	Д
(-∞;2)	(-∞;-1)∪(-1;2)	(-1;2)	(-∞;-1)∪(2;+ ∞)	(-∞;-1)

А	Б	В	Г	Д
(5;+∞)	(-∞;5)∪(5;+∞)	(5;8)	(-∞;5)∪(8;+ ∞)	(-∞;5)

А	Б	В	Г	Д
(-∞;5)∪(8;+∞)	(-∞;5)∪(5;+∞)	(5;8)	(5;+∞)	(-∞;5)

А	Б	В	Г	Д
[0; 3]	(-∞; 3]	(-∞; -3]	(3; +∞)	(-3; +∞)

А	Б	В	Г	Д
[-1;+∞)	[-3;4]	⊘	[-3;+∞)	[4;+∞)

А	Б	В	Г	Д
(-∞;3)	(3;4]	(-∞;-3)	(-3;4]	(-∞;4]

А	Б	В	Г	Д
(-2,5;+∞)	(-3;+∞)	(3;+∞)	(2,5;3)	(-2,5;3)

А	Б	В	Г	Д
(-∞;-3)∪(2;5]	(-3;-2)∪[5;+∞)	(-∞;-3)∪(2; +∞)	(-∞;-2)∪(3; +∞)	(-3;2)∪{5}

А	Б	В	Г	Д
{-2}∪(3;6]	(-∞;-2]∪(3;6]	[-2; 6]	(-∞;6]	(-∞;3)∪(3;6]

А	Б	В	Г	Д
(-∞;0]U[1;+∞)	[0;1]	[1;+∞)	{0}U[1; +∞)	[-1;+∞)