Логарифмічні рівняння

Логарифмічні рівняння — розділ алгебри, що вивчає рівності, у яких невідома величина міститься під знаком логарифма або в його основі. Вміння розв'язувати такі рівняння є базовим для роботи зі складними математичними моделями в інформаційних технологіях, сейсмології та акустиці, де використовуються логарифмічні шкали.

На цій сторінці представлено систематизований виклад теорії та практикум із детальним розбором завдань НМТ. Ми розглянемо основні методи розв'язання: від переходу до показникового рівняння за означенням до методу заміни змінної та потенціювання. Особливу увагу приділено критично важливому етапу — перевірці коренів на відповідність області допустимих значень (ОДЗ).

---

Розв'язування логарифмічних рівнянь
І спосіб. Перейти від логарифмічного рівняння до показникового (з рівняння log_ax = c слідує, що х = a^c
ІІ спосіб. З формули log_af(x) = log_ag(x) слідує f(x) = g(x)
Важливо!Не забуваємо в логарифмічних рівняннях робити перевірку

Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Визначте корінь рівняння log₃𝑥 = 2.

\sqrt{3}

5

6

8

9

Показати відповідь

Д.
log₃𝑥 = 2
x = 3²(за означенням логарифма)
x = 9

Завдання 2. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log_{\frac{1}{3}}(x+1) = -2.

(-11;-2]

(-2;1]

(1;4]

(4;7]

(7;9]

Показати відповідь

Д.
log_{\frac{1}{3}}(x+1) = -2
(х+1) = (\frac{1}{3})^-2
(х+1) = 3²
x+1 = 9
x = 8.
Дане число належить проміжку (7;9].

Завдання 3. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log₆₄x = \frac{1}{2}.

(-∞;0]

(0;1]

(1;6]

(6;32)

[32;+∞)

Показати відповідь

Г.
log₆₄x = \frac{1}{2}
х = 64^\frac{1}{2}
x = \sqrt{64}
x = 8. Дане число належить проміжку (6;32).

Завдання 4. Розв’яжіть рівняння log₃x = -1.

\frac{1}{3}

3

-1

-3

\frac{-1}{3}

Показати відповідь

А.
log₃x = -1
х = 3^-1
x = \frac{1}{3}.

Завдання 5. Розв’яжіть рівняння 4+log_\frac{1}{2}x = 0.

\frac{1}{16}

-\frac{1}{16}

2

\frac{1}{8}

16

Показати відповідь

Д.
4+log_\frac{1}{2}x = 0
log_\frac{1}{2}x = -4
x = (\frac{1}{2})^{-4}
x = 2⁴
x = 16.

Завдання 6. Розв’яжіть рівняння log₂(x+2) = 3.

4

6

7

8

11

Показати відповідь

Б.
log₂(x+2) = 3
х+2 = 2³
х+2 = 8
х = 6.

Завдання 7. Укажіть число, що є коренем рівняння -log₂x = 3.

-9

-8

-6

\frac{1}{8}

\frac{1}{9}

Показати відповідь

Г.
-log₂x = 3
log₂x = -3
х = 2^-3
x = \frac{1}{8}.

Завдання 8. Якому проміжку належить корінь рівняння log₂x = 2log₂3?

(0;2]

(2;4]

(4;6]

(6;8]

(8;10]

Показати відповідь

Д.
log₂x = 2log₂3
log₂x = log₂3²
log₂x = log₂9
х = 9. Оскільки 9 більше за 8 та менше за 10, то корінь рівняння належить проміжку (8;10].

Завдання 9. Яке з наведених чисел є коренем рівняння log₄(x-1) = 3?

4

13

63

65

82

Показати відповідь

Г.
log₄(x-1) = 3
x-1 = 4³
x-1 = 64
х = 65.

Завдання 10. Розв’яжіть рівняння (1-4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів (А-Д) на відрізку [-5;5].

1 cos²x-sin²x = 1
2 log₃x = -2
3\frac{x^3-4x}{x^3+8} = 0
4 x⁴+5x²+4 = 0

А жодного
Б один
В два
Г три
Д чотири

Показати відповідь

1-Г, 2-Б, 3-В, 4-А.
1) cos²x-sin²x = 1
cos2x = 1
2x = 2πk, k∈Z
x = πk, k∈Z. При к = 0 х = 0, при к = 1 х = π, при к = -1 х = -π. При інших значеннях к отримаємо значення, що не лежать на відрізку [-5;5]. Отже маємо 3 корені.
2) log₃x = -2
х = 3^-2
x = \frac{1}{9}. Маємо 1 корінь, що лежить на відрізку [-5;5].
3) x³-4x = 0
x(x²-4) = 0. Дане рівняння має три корені: 0, 2, -2. Але при х = -2 знаменник обертається в нуль, тому залишається лише два корені.
4) x⁴+5x²+4 = 0. Виконаємо заміну x² = t, t≥0. Маємо квадратне рівняння t²+5t+4 = 0.
Д = 5²-4 · 1 · 4 = 25-16 = 9.
t₁ = \frac{-5+\sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-5+3}{2} = \frac{-2}{2} = -1
t₂ = \frac{-5-\sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-5-3}{2} = \frac{-8}{2} = -4
Обидва корені менше за 0, отже вони не підходять і рівняння не має коренів.

Завдання 11. Розв’яжіть рівняння log_5^2x+log₅x = 2. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число 100.

Показати відповідь

5,04.
Нехай log₅x = t. Тоді маємо рівняння t²+t = 2. Звідси t²+t-2 = 0.
Д = 1²-4 · 1 · (-2) = 1+8 = 9.
t₁ = \frac{-1+\sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1
t₂ = \frac{-1-\sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{-1-3}{2} = \frac{-4}{2} = -2.
log₅x = 1
x = 5
log₅x = -2
x = 5^-2
x = 1:25 = 0,04.
x₁+x₂ = 5+0,04 = 5,04.

Завдання 12. Розв’яжіть рівняння log_0,4(5x²-8) = log_0,4(-3x). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповіді їхню суму.

Показати відповідь

-1,6.
log_0,4(5x²-8) = log_0,4(-3x)
5x²-8 = -3x
5x²+3x-8 = 0.
Д = 3²-4 · 5 · (-8) = 9+160 = 169.
x₁ = \frac{-3+\sqrt{169}}{2\cdot5} = \frac{-3+13}{10} = \frac{10}{10} = 1
x₂ = \frac{-3-\sqrt{169}}{2\cdot5} = \frac{-3-13}{10} = \frac{-16}{10} = -1,6
Виконаємо перевірку.
При х = 1 маємо log_0,4(5 · 1²-8) = log_0,4(-3 · 1). Маємо від'ємний підлогарифмічний вираз, тому цей корінь зайвий.
При х = -1,6 маємо log_0,4(5 · (-1,6)²-8) = log_0,4(-3 · (-1,6))
log_0,4(5 · 2,56-8) = log_0,44,8
log_0,4(12,8-8) = log_0,44,8
log_0,44,8 = log_0,44,8. Маємо рівні вирази, отже х = -1,6 є коренем рівняння.

Завдання 13. Розв’яжіть рівняння log₂x+log₂(x-7) = 3. Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то запишіть у відповіді їхню суму.

Показати відповідь

8.
log₂x+log₂(x-7) = 3
log₂(x(x-7)) = 3 (сума логарифмів дорівнює логарифму добутку)
x(x-7) = 2³
x²-7x = 8
x²-7x-8 = 0.
D = 7²-4 · 1 · (-8) = 49+32 = 81.
x₁ = \frac{7+\sqrt{81}}{2\cdot1} = \frac{7+9}{2} = \frac{16}{2} = 8
x₂ = \frac{7-\sqrt{81}}{2\cdot1} = \frac{7-9}{2} = \frac{-2}{2} = -1
Виконаємо перевірку.
При х = 8 маємо log₂8+log₂(8-7) = log₂8+log₂1 = 3+0 = 3. Отже х = 8 є коренем рівняння.
При х = -1 маємо log₂(-1)+log₂(-1-7). Маємо від'ємний підлогарифмічний вираз, тому цей корінь зайвий.

Завдання 14. Розв’яжіть рівняння |3lgx+1|-|lgx-3| = 2. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.

Показати відповідь

10,001.
Нехай lgx = t. Маємо рівняння |3t+1|-|t-3| = 2
Для розкриття модулів визначимо, при яких t вирази у модулях обертаються в 0. Маємо 3t+1 = 0, тоді t = \frac{-1}{3}. t-3 = 0, звідси t = 3. Ці два значення розбивають числову пряму на три проміжки.
І проміжок. t<\frac{-1}{3}. Підставимо t = -1 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3(-1)+1 = -3+1 = -2<0, отже розкриваємо модуль з протилежними знаками; в другому -1-3 = -4<0, тому також розкриваємо з протилежними знаками. Маємо:
-3t-1+t-3 = 2
-3t+t = 2+1+3
-2t = 6
t = 6:(-2)
t = -3. Отримане значення належить відповідному проміжку, отже цей корінь залишаємо для подальшого розв'язування.
ІІ проміжок.\frac{-1}{3}≤t<3. Підставимо t = 0 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3 · 0+1 = 1>0, отже просто прибираємо дужки модуля; в другому 0-3 = -3<0, тому також розкриваємо з протилежними знаками. Маємо:
3t+1+t-3 = 2
3t+t = 2-1+3
4t = 4
t = 1.
Отримане значення належить відповідному проміжку, отже цей корінь залишаємо для подальшого розв'язування.
ІIІ проміжок. t≥3. Підставимо t = 4 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3 · 4+1 = 13>0, отже просто прибираємо дужки модуля; в другому 4-3 = 1>0, отже також просто прибираємо дужки модуля. Маємо:
3t+1-t+3 = 2
3t-t = 2-1-3
2t = -2
t = -1.
Отримане значення не належить відповідному проміжку, отже цей корінь зайвий.
Підставимо отримані значення t. Маємо:
lgx = -3
x = 10^-3
x = 0,001.
lgx = 1
x = 10¹
x = 10. Підстановкою перевіряємо, що обидва корені підходять, тоді відповідь x₁+x₂ = 0,001+10 = 10,001.

⇐ ІІ.4.
Показникові рівняння До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.6.
Лінійні, квадратні, дробово-раціональні нерівності ⇒