Перейти до основного вмісту

Логарифмічні рівняння

    Розв'язування логарифмічних рівнянь
    І спосіб. Перейти від логарифмічного рівняння до показникового (з рівняння logax = c слідує, що х = ac
    ІІ спосіб. З формули logaf(x) = logag(x) слідує f(x) = g(x)
    Важливо!Не забуваємо в логарифмічних рівняннях робити перевірку

    Завдання. НМТ 2026 (демо). Визначте корінь рівняння log3𝑥 = 2.

    \sqrt{3}
    5
    6
    8
    9
    Показати відповідь
    Д. log3𝑥 = 2
    x = 32 (за означенням логарифма)
    x = 9
  1. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння .
    АБВГД
    (-11;-2] (-2;1] (1;4] (4;7] (7;9]
    Показати відповідь
    Д.
    Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
  2. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log64x = .
    АБВГД
    (-∞;0] (0;1] (1;6] (6;32) [32;+∞)
    Показати відповідь
    Г.
    Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
  3. Розв’яжіть рівняння log3x = -1.
    АБВГД
    3 -1 -3
    Показати відповідь
    А.
    Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
  4. Розв’яжіть рівняння 4+ = 0.
    АБВГД
    - 2 16
    Показати відповідь
    Д.
    Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
  5. Розв’яжіть рівняння log2(x+2) = 3.
    АБВГД
    4 6 7 8 11
    Показати відповідь
    Б.
    Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
  6. Укажіть число, що є коренем рівняння -log2x = 3.
    АБВГД
    -9 -8 -6
    Показати відповідь
    Г.
    Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
  7. Якому проміжку належить корінь рівняння log2x = 2log23?
    АБВГД
    (0;2] (2;4] (4;6] (6;8] (8;10]
    Показати відповідь
    Д.
    Перенести множник перед логарифмом у степінь.
  8. Яке з наведених чисел є коренем рівняння log4(x-1) = 3?
    АБВГД
    4 13 63 65 82
    Показати відповідь
    Г.
    Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
  9. Розв’яжіть рівняння (1-4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів (А-Д) на відрізку [-5;5].
    Рівняння Кількість коренів
    1 cos2x-sin2x = 1
    2 log3x = -2
    3 = 0
    4 x4+5x2+4 = 0    		 А жодного
    Б один
    В два
    Г три
    Д чотири
    Показати відповідь
    1-Г, 2-Б, 3-В, 4-А .
    1) Застосувати тригонометричне перетворення, розв'язати рівняння і перебрати можливі значення n∈Z.
    2) Перейти від логарифмічного рівняння до показникового.
    3) Розв'язати рівняння, врахувати ОДЗ.
    4) Виконати заміну x2 = t.
  10. Розв’яжіть рівняння +log5x = 2. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число 100.
    Показати відповідь
    5,04.
    Виконати заміну log5x = t.
  11. Розв’яжіть рівняння log0,4(5x2-8) = log0,4(-3x). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповіді їхню суму.
    Показати відповідь
    -1,6.
    "Прибрати" логарифми, не забути виконати перевірку.
  12. Розв’яжіть рівняння log2x+log2(x-7) = 3. Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то запишіть у відповіді їхню суму.
    Показати відповідь
    8.
    Застосувати формулу суми логарифмів, перейти від логарифмічного рівняння до показникового, не забути виконати перевірку.
  13. Розв’яжіть рівняння |3lgx+1|-|lgx-3| = 2. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.
    Показати відповідь
    10,001.
    Виконати спочатку заміну lgx = t. Для розв'язування отриманого рівняння з модулями розкрити їх з перебором можливих випадків.
⇐ ІІ.4.
Показникові рівняння		 До змісту ⇒ ІІ.6.
Лінійні, квадратні, дробово-раціональні нерівності

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C Завдання. НМТ 2026 (демо). Позначте формулу для визначення площі S фігури, обмеженої графіками функцій 𝑦 = 2 𝑥 , 𝑦 = 2 та прямою 𝑥 = 0 (див. рисунок). S=\int_{0}^{2}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}2^x{dx} S=\int_{0}^{1}(2^x-2){dx} S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} S=\int_{0}^{2}(2-2^x){dx} Показати відповідь Г . Так як фігура обмежена числами 0 та 1 по осі абсцис, то ці числа є межами інтегрування. На даному проміжку фігура обмежена згори лінією у = 2, знизу лінією 𝑦 = 2 𝑥 . Тоді за формулою обчислення площі фігури S=\int_{0}^{1}(2-2^x){dx} . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Показати відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Показати відповідь 10 . Ск...
8 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар