Логарифмічні рівняння — розділ алгебри, що вивчає рівності, у яких невідома величина міститься під знаком логарифма або в його основі. Вміння розв'язувати такі рівняння широко використовується під час побудови математичних моделей в інформаційних технологіях, сейсмології та акустиці, де використовуються логарифмічні шкали.
На цій сторінці представлено систематизований виклад теорії та практикум із детальним розбором завдань НМТ. Ми розглянемо основні методи розв'язання: від переходу до показникового рівняння за означенням до методу заміни змінної та потенціювання. Особливу увагу приділено важливому етапу — перевірці коренів на відповідність області допустимих значень (ОДЗ).
Розв'язування логарифмічних рівнянь
І спосіб. Перейти від логарифмічного рівняння до показникового (з рівняння logₐx = c слідує, що х = aᶜ)
ІІ спосіб. Якщо a > 0, a ≠ 1, то з рівності logₐf(x) = logₐg(x) випливає, що f(x)=g(x).
Важливо! Якщо логарифмічне рівняння розв'язується за означенням логарифма, то знайдений корінь автоматично задовольняє ОДЗ. В інших випадках (після використання властивостей логарифмів, заміни змінної, потенціювання тощо) обов'язково перевіряйте знайдені корені або область допустимих значень.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Визначте корінь рівняння log₃x = 2.
І спосіб. Перейти від логарифмічного рівняння до показникового (з рівняння logₐx = c слідує, що х = aᶜ)
ІІ спосіб. Якщо a > 0, a ≠ 1, то з рівності logₐf(x) = logₐg(x) випливає, що f(x)=g(x).
Важливо! Якщо логарифмічне рівняння розв'язується за означенням логарифма, то знайдений корінь автоматично задовольняє ОДЗ. В інших випадках (після використання властивостей логарифмів, заміни змінної, потенціювання тощо) обов'язково перевіряйте знайдені корені або область допустимих значень.
√3
5
6
8
9
Показати відповідь
Д.
log₃x = 2
x = 3² (за означенням логарифма)
x = 9
Завдання 2. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log⅓(x + 1) = -2.
log₃x = 2
x = 3² (за означенням логарифма)
x = 9
(-11; -2]
(-2; 1]
(1; 4]
(4; 7]
(7; 9]
Показати відповідь
Д.
log⅓(x + 1) = -2
(х+1) = (⅓)⁻²
(х+1) = 3²
x + 1 = 9
x = 8.
Дане число належить проміжку (7;9].
Завдання 3. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння log₆₄x = 12.
log⅓(x + 1) = -2
(х+1) = (⅓)⁻²
(х+1) = 3²
x + 1 = 9
x = 8.
Дане число належить проміжку (7;9].
(-∞; 0]
(0; 1]
(1; 6]
(6; 32)
[32; +∞)
Показати відповідь
Г.
log₆₄x = 12
х = 6412
x = √64
x = 8. Отримане число належить проміжку (6; 32).
Завдання 4. Розв’яжіть рівняння log₃x = -1.
log₆₄x = 12
х = 6412
x = √64
x = 8. Отримане число належить проміжку (6; 32).
⅓
3
-1
-3
-⅓
Показати відповідь
А.
log₃x = -1
х = 3⁻¹
x = ⅓.
Завдання 5. Розв’яжіть рівняння 4 + log½x = 0.
log₃x = -1
х = 3⁻¹
x = ⅓.
116
-116
2
18
16
Показати відповідь
Д.
4 + log½x = 0
log½x = -4
x = (½)⁻⁴
x = 2⁴
x = 16.
Завдання 6. Розв’яжіть рівняння log₂(x + 2) = 3.
4 + log½x = 0
log½x = -4
x = (½)⁻⁴
x = 2⁴
x = 16.
4
6
7
8
11
Показати відповідь
Б.
log₂(x + 2) = 3
х + 2 = 2³
х + 2 = 8
х = 6.
Завдання 7. Укажіть число, що є коренем рівняння -log₂x = 3.
log₂(x + 2) = 3
х + 2 = 2³
х + 2 = 8
х = 6.
-9
-8
-6
18
19
Показати відповідь
Г.
-log₂x = 3
log₂x = -3
х = 2⁻³
x = 18.
Завдання 8. Якому проміжку належить корінь рівняння log₂x = 2log₂3?
-log₂x = 3
log₂x = -3
х = 2⁻³
x = 18.
(0; 2]
(2; 4]
(4; 6]
(6; 8]
(8; 10]
Показати відповідь
Д.
log₂x = 2log₂3
log₂x = log₂3²
log₂x = log₂9
х = 9. Перевіримо ОДЗ: x > 0. Оскільки 9 > 0, знайдений корінь задовольняє ОДЗ. Отже, корінь рівняння належить проміжку (8; 10].
Завдання 9. Яке з наведених чисел є коренем рівняння log₄(x - 1) = 3?
log₂x = 2log₂3
log₂x = log₂3²
log₂x = log₂9
х = 9. Перевіримо ОДЗ: x > 0. Оскільки 9 > 0, знайдений корінь задовольняє ОДЗ. Отже, корінь рівняння належить проміжку (8; 10].
4
13
63
65
82
Показати відповідь
Г.
log₄(x - 1) = 3
x - 1 = 4³
x - 1 = 64
х = 65.
Завдання 10. Розв’яжіть рівняння (1-4). Установіть відповідність між кожним рівнянням та кількістю його коренів (А-Д) на відрізку [-5; 5].
log₄(x - 1) = 3
x - 1 = 4³
x - 1 = 64
х = 65.
1 cos²x - sin²x = 1
2 log₃x = -2
3 x³ - 4xx³ + 8 = 0
4 x⁴ + 5x² + 4 = 0
2 log₃x = -2
3 x³ - 4xx³ + 8 = 0
4 x⁴ + 5x² + 4 = 0
А жодного
Б один
В два
Г три
Д чотири
Б один
В два
Г три
Д чотири
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-В, 4-А.
1) cos²x - sin²x = 1
cos2x = 1
2x = 2πk, k∈Z
x = πk, k∈Z. При к = 0 х = 0, при к = 1 х = π, при к = -1 х = -π. При інших значеннях к отримаємо значення, що не належать відрізку [-5; 5]. Отже маємо 3 корені.
2) log₃x = -2
х = 3⁻²
x = 19. Маємо 1 корінь, що належить відрізку [-5; 5].
3) x³ - 4x = 0
x(x² - 4) = 0. Рівняння має три корені: 0, 2, -2. Але при х = -2 знаменник обертається в нуль, тому залишається лише два корені.
4) x⁴ + 5x² + 4 = 0. Виконаємо заміну x² = t, t ≥ 0. Маємо квадратне рівняння t² + 5t + 4 = 0.
D = 5² - 4 · 1 · 4 = 25 - 16 = 9.
t₁ = -5 - √92 · 1 = -5 - 32 = -82 = -4
t₂ = -5 + √92 · 1 = -5 + 32 = -22 = -1
Обидва корені менше за 0, отже вони не підходять і рівняння не має коренів.
Завдання 11. Розв’яжіть рівняння log²₅x + log₅x = 2. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповіді, якщо рівняння має кілька коренів, то у відповіді запишіть їхню суму. Якщо рівняння не має коренів, запишіть у відповіді число 100.
1) cos²x - sin²x = 1
cos2x = 1
2x = 2πk, k∈Z
x = πk, k∈Z. При к = 0 х = 0, при к = 1 х = π, при к = -1 х = -π. При інших значеннях к отримаємо значення, що не належать відрізку [-5; 5]. Отже маємо 3 корені.
2) log₃x = -2
х = 3⁻²
x = 19. Маємо 1 корінь, що належить відрізку [-5; 5].
3) x³ - 4x = 0
x(x² - 4) = 0. Рівняння має три корені: 0, 2, -2. Але при х = -2 знаменник обертається в нуль, тому залишається лише два корені.
4) x⁴ + 5x² + 4 = 0. Виконаємо заміну x² = t, t ≥ 0. Маємо квадратне рівняння t² + 5t + 4 = 0.
D = 5² - 4 · 1 · 4 = 25 - 16 = 9.
t₁ = -5 - √92 · 1 = -5 - 32 = -82 = -4
t₂ = -5 + √92 · 1 = -5 + 32 = -22 = -1
Обидва корені менше за 0, отже вони не підходять і рівняння не має коренів.
Показати відповідь
5,04.
Нехай log₅x = t. Тоді маємо рівняння t² + t = 2. Звідси t² + t - 2 = 0.
D = (-1)² - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9.
t₁ = -1 - √92 · 1 = -1 - 32 = -42 = -2
t₂ = -1 + √92 · 1 = -1 + 32 = 22 = 1
log₅x = 1
x = 5
log₅x = -2
x = 5⁻²
x = 1:25 = 0,04.
x₁ + x₂ = 5 + 0,04 = 5,04.
Завдання 12. Розв’яжіть рівняння log0,4(5x² - 8) = log0,4(-3x). Якщо рівняння має єдиний корінь, запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповіді їхню суму.
Нехай log₅x = t. Тоді маємо рівняння t² + t = 2. Звідси t² + t - 2 = 0.
D = (-1)² - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9.
t₁ = -1 - √92 · 1 = -1 - 32 = -42 = -2
t₂ = -1 + √92 · 1 = -1 + 32 = 22 = 1
log₅x = 1
x = 5
log₅x = -2
x = 5⁻²
x = 1:25 = 0,04.
x₁ + x₂ = 5 + 0,04 = 5,04.
Показати відповідь
-1,6.
log0,4(5x² - 8) = log0,4(-3x)
5x² - 8 = -3x
5x² + 3x - 8 = 0.
D = 3² - 4 · 5 · (-8) = 9 + 160 = 169.
x₁ = -3 - √1692 · 5 = -3 - 1310 = -1610 = -2,6
x₂ = -3 + √1692 · 5 = -3 + 1310 = 1010 = 1
Перевіримо, чи задовольняють знайдені корені область допустимих значень.
При х = 1 маємо log0,4(5 · 1² - 8) = log0,4(-3 · 1). Маємо від'ємний підлогарифмічний вираз, тому цей корінь зайвий.
При х = -1,6 маємо log0,4(5 · (-1,6)² - 8) = log0,4(-3 · (-1,6))
log0,4(5 · 2,56 - 8) = log0,44,8
log0,4(12,8 - 8) = log0,44,8
log0,44,8 = log0,44,8. Шляхом рівносильних перетворень отримали рівні вирази, отже х = -1,6 є коренем рівняння.
Завдання 13. Розв’яжіть рівняння log₂x + log₂(x - 7) = 3. Якщо рівняння має єдиний корінь, то запишіть його у відповіді. Якщо рівняння має кілька коренів, то запишіть у відповіді їхню суму.
log0,4(5x² - 8) = log0,4(-3x)
5x² - 8 = -3x
5x² + 3x - 8 = 0.
D = 3² - 4 · 5 · (-8) = 9 + 160 = 169.
x₁ = -3 - √1692 · 5 = -3 - 1310 = -1610 = -2,6
x₂ = -3 + √1692 · 5 = -3 + 1310 = 1010 = 1
Перевіримо, чи задовольняють знайдені корені область допустимих значень.
При х = 1 маємо log0,4(5 · 1² - 8) = log0,4(-3 · 1). Маємо від'ємний підлогарифмічний вираз, тому цей корінь зайвий.
При х = -1,6 маємо log0,4(5 · (-1,6)² - 8) = log0,4(-3 · (-1,6))
log0,4(5 · 2,56 - 8) = log0,44,8
log0,4(12,8 - 8) = log0,44,8
log0,44,8 = log0,44,8. Шляхом рівносильних перетворень отримали рівні вирази, отже х = -1,6 є коренем рівняння.
Показати відповідь
8.
log₂x + log₂(x - 7) = 3
log₂(x(x - 7)) = 3 (сума логарифмів дорівнює логарифму добутку)
x(x - 7) = 2³
x² - 7x = 8
x² - 7x - 8 = 0.
D = (-7)² - 4 · 1 · (-8) = 49 + 32 = 81.
x₁ = 7 - √812 · 1 = 7 - 92 = -22 = -1
x₂ = 7 + √812 · 1 = 7 + 92 = 162 = 8
Виконаємо перевірку.
При х = 8 маємо log₂8 + log₂(8 - 7) = log₂8 + log₂1 = 3 + 0 = 3. Отже х = 8 є коренем рівняння.
При х = -1 маємо log₂(-1) + log₂(-1 - 7). Маємо від'ємний підлогарифмічний вираз, тому цей корінь зайвий.
Завдання 14. Розв’яжіть рівняння |3lgx + 1| - |lgx - 3| = 2. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.
log₂x + log₂(x - 7) = 3
log₂(x(x - 7)) = 3 (сума логарифмів дорівнює логарифму добутку)
x(x - 7) = 2³
x² - 7x = 8
x² - 7x - 8 = 0.
D = (-7)² - 4 · 1 · (-8) = 49 + 32 = 81.
x₁ = 7 - √812 · 1 = 7 - 92 = -22 = -1
x₂ = 7 + √812 · 1 = 7 + 92 = 162 = 8
Виконаємо перевірку.
При х = 8 маємо log₂8 + log₂(8 - 7) = log₂8 + log₂1 = 3 + 0 = 3. Отже х = 8 є коренем рівняння.
При х = -1 маємо log₂(-1) + log₂(-1 - 7). Маємо від'ємний підлогарифмічний вираз, тому цей корінь зайвий.
Показати відповідь
10,001.
Нехай lgx = t. Маємо рівняння |3t + 1| - |t - 3| = 2
Для розкриття модулів визначимо, при яких t вирази у модулях дорівнюють нулю. Якщо 3t + 1 = 0, то t = -⅓. Якщо t - 3 = 0, то t = 3. Ці два значення розбивають числову пряму на три проміжки.
І проміжок. t < -⅓. Підставимо t = -1 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2 < 0, отже розкриваємо модуль з протилежними знаками; в другому -1 - 3 = -4 < 0, тому також розкриваємо з протилежними знаками. Маємо:
-3t -1 + t - 3 = 2
-3t + t = 2 + 1 + 3
-2t = 6
t = 6 : (-2)
t = -3. Отримане значення належить відповідному проміжку, отже цей корінь залишаємо для подальшого розв'язування.
ІІ проміжок.-⅓ ≤ t < 3. Підставимо t = 0 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3 · 0 + 1 = 1 > 0, отже просто прибираємо дужки модуля; в другому 0 - 3 = -3 < 0, тому розкриваємо з протилежними знаками. Маємо:
3t + 1 + t - 3 = 2
3t + t = 2 - 1 + 3
4t = 4
t = 1.
Отримане значення належить відповідному проміжку, отже цей корінь залишаємо для подальшого розв'язування.
ІIІ проміжок. t ≥ 3. Підставимо t = 4 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3 · 4 + 1 = 13 > 0, отже просто прибираємо дужки модуля; в другому 4 - 3 = 1 > 0, отже також просто прибираємо дужки модуля. Маємо:
3t + 1 - t + 3 = 2
3t - t = 2 - 1 - 3
2t = -2
t = -1.
Одержане значення не належить відповідному проміжку, отже цей корінь зайвий.
Підставимо отримані значення t. Маємо:
lgx = -3
x = 10⁻³
x = 0,001.
lgx = 1
x = 10¹
x = 10. Підстановкою перевіряємо, що обидва корені підходять, тоді відповідь x₁ + x₂ = 0,001+10 = 10,001.
Нехай lgx = t. Маємо рівняння |3t + 1| - |t - 3| = 2
Для розкриття модулів визначимо, при яких t вирази у модулях дорівнюють нулю. Якщо 3t + 1 = 0, то t = -⅓. Якщо t - 3 = 0, то t = 3. Ці два значення розбивають числову пряму на три проміжки.
І проміжок. t < -⅓. Підставимо t = -1 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2 < 0, отже розкриваємо модуль з протилежними знаками; в другому -1 - 3 = -4 < 0, тому також розкриваємо з протилежними знаками. Маємо:
-3t -1 + t - 3 = 2
-3t + t = 2 + 1 + 3
-2t = 6
t = 6 : (-2)
t = -3. Отримане значення належить відповідному проміжку, отже цей корінь залишаємо для подальшого розв'язування.
ІІ проміжок.-⅓ ≤ t < 3. Підставимо t = 0 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3 · 0 + 1 = 1 > 0, отже просто прибираємо дужки модуля; в другому 0 - 3 = -3 < 0, тому розкриваємо з протилежними знаками. Маємо:
3t + 1 + t - 3 = 2
3t + t = 2 - 1 + 3
4t = 4
t = 1.
Отримане значення належить відповідному проміжку, отже цей корінь залишаємо для подальшого розв'язування.
ІIІ проміжок. t ≥ 3. Підставимо t = 4 з цього проміжку у підмодульні вирази. Отримаємо в першому модулі 3 · 4 + 1 = 13 > 0, отже просто прибираємо дужки модуля; в другому 4 - 3 = 1 > 0, отже також просто прибираємо дужки модуля. Маємо:
3t + 1 - t + 3 = 2
3t - t = 2 - 1 - 3
2t = -2
t = -1.
Одержане значення не належить відповідному проміжку, отже цей корінь зайвий.
Підставимо отримані значення t. Маємо:
lgx = -3
x = 10⁻³
x = 0,001.
lgx = 1
x = 10¹
x = 10. Підстановкою перевіряємо, що обидва корені підходять, тоді відповідь x₁ + x₂ = 0,001+10 = 10,001.
Коментарі