Показникові рівняння

Показникові рівняння — це рівняння, у яких змінна міститься в показнику степеня. Розуміння принципів їх розв’язання є критично важливим для вивчення процесів органічного росту, складних відсотків у фінансах та радіоактивного розпаду в ядерній фізиці.

На цій сторінці ми розберемо ключовий алгоритм роботи з такими рівняннями: зведення обох частин рівності до спільної основи. Ви опануєте застосування властивостей степенів для спрощення складних виразів та навчитеся розв'язувати типові завдання НМТ, де потрібно не лише знайти корінь, а й визначити проміжок, якому він належить. Усі приклади супроводжуються покроковими поясненнями для кращого засвоєння матеріалу.

---

Якщо a^f(x) = a^g(x), то f(x) = g(x)

Завдання 1. Розв’яжіть рівняння 3^{x^2}=81. Якщо рівняння має один корінь, то вкажіть проміжок, якому він належить. Якщо рівняння має кілька коренів, то вкажіть проміжок, якому належить найменший з них.

(–∞; –10)

[–10; –3)

[–3; –2)

[–2; 0)

[0; +∞)

Показати відповідь

Г
3^{x^2}=81
3^{x^2}=3^4
x² = 4
x = ±2. Найменше значення х = - 2 належить проміжку [–2; 0).

---

Завдання 2. Укажіть число, що є коренем рівняння 5^х-2 = 25.

7

4

3

2

1

Показати відповідь

Б.
5^х-2 = 25
5^х-2 = 5²
x-2 = 2
x = 4.

Завдання 3. Розв’яжіть рівняння 4^х = 8.

\frac{1}{2}

\frac{2}{3}

\frac{3}{2}

2

32

Показати відповідь

В.
4^х = 8
2^2х = 2³
2x = 3
x = \frac{3}{2}.

Завдання 4. Розв’яжіть рівняння 3^7х = 9. Отриманий корінь рівняння округліть до десятих.

0,2

0,29

0,3

0,4

3,5

Показати відповідь

В.
3^7х = 9
3^7х = 3²
7x = 2
х = 2:7≈0,2857. Так як округлюємо до десятих, то відкидаємо всі цифри, починаючи з другої після коми. Так як перша з цифр, що відкидаються, 8 більше 4, то останню цифру, що залишаємо (2), збільшуємо на 1. Маємо х ≈ 0,3.

Завдання 5. Розв’яжіть рівняння 2^2x = \frac{1}{2^3}.

-3

-2

-1,5

1,5

2

Показати відповідь

В.
2^2x = \frac{1}{2^3}
2^2x = 2^-3 (якщо число переміщується із знаменника в чисельник або навпаки, його степінь змінює свій знак)
2x = -3
x = -3:2
x = -1,5.

Завдання 6. Розв’яжіть рівняння 3^x = \frac{2\sqrt{3}}{6}.

рівняння не має коренів

х = -1

х = -0,5

х = 0,5

х = 1

Показати відповідь

В.
3^x = \frac{2\sqrt{3}}{6}
3^x = \frac{\sqrt{3}}{3}
3^x = \frac{3^{\frac{1}{2}}}{3}
3^x = 3^{\frac{1}{2}-1}
3^x = 3^{-\frac{1}{2}}
3^x = 3^-0,5
x = -0,5.

Завдання 7. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 3^х+4 = 27?

[-4;-2)

[-2;0)

[0;2)

[2;4)

[4;6)

Показати відповідь

Б.
3^х+4 = 27
3^х+4 = 3³
х+4 = 3
x = 3-4
x = -1. Оскільки -1 більше за -2 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку [-2;0).

Завдання 8. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 3^х = \frac{1}{27}?

(-∞;-5]

(-5;-2]

(-2;0]

(0;2]

(2;+∞)

Показати відповідь

Б.
3^х = \frac{1}{27}
3^х = 3^-3
x = -3.
Оскільки -3 більше за -5 та менше за -2, то корінь рівняння належить проміжку (-5;-2].

Завдання 9. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 2^х+3-3 · 2^х = 10\sqrt{2}?

(-∞;0)

[0;0,5)

[0,5;1)

[1;2)

[2;+∞)

Показати відповідь

Г.
2^х+3-3 · 2^х = 10\sqrt{2}
2^х · 2³-3 · 2^х = 10\sqrt{2}
8 · 2^х-3 · 2^х = 10\sqrt{2}
5 · 2^х = 10\sqrt{2}
2^х = 2\sqrt{2}
2^х = 22^{\frac{1}{2}}
2^х = 2 · 2^0,5
2^х = 2^1+0,5
2^х = 2^1,5
x = 1,5.
Оскільки 1,5 більше за 1 та менше за 2, то корінь рівняння належить проміжку [1;2).

Завдання 10. Якому проміжку належить корінь рівняння 5^х+1 = 125?

[0;3)

[3;4)

[4;10)

[10;25)

[25;625]

Показати відповідь

А.
5^х+1 = 125
5^х+1 = 5³
х+1 = 3
x = 3-1
x = 2. Оскільки 2 більше за 0 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку [0;3).

Завдання 11. Якому з наведених нижче проміжків належить корінь рівняння 5^х+3 = \left(\frac{1}{125}\right)^x?

(-3;-2]

(-2;-1]

(-1;0]

(0;1]

(1;3]

Показати відповідь

В.
5^х+3 = \left(\frac{1}{125}\right)^x
5^х+3 = \left(\frac{1}{5^3}\right)^x
5^х+3 = 5^-3x (якщо число переміщується із знаменника в чисельник або навпаки, його степінь змінює свій знак)
х+3 = -3x
x+3x = -3
4x = -3
x = -3:4
x = -0,75. Оскільки -0,75 більше за -1 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку (-1;0].

Завдання 12. Визначте проміжок, якому належить корінь рівняння 0,4^2х-1 = 0,064 ?

(-3;-2]

(-2;-1]

(-1;0]

(0;1]

(1;3]

Показати відповідь

Д.
0,4^2х-1 = 0,064
0,4^2х-1 = 0,4³
2х-1 = 3
2x = 3+1
2x = 4
x = 2. Оскільки 2 більше за 1 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку (1;3].

Завдання 13. Розв’яжіть рівняння 3^х · 4^х = (12^х+1)⁵.

Показати відповідь

-1,25.
3^х · 4^х = (12^х+1)⁵
(3 · 4)^х = (12^х+1)⁵
12^х = (12^х+1)⁵
12^х = 12^5х+5
х = 5х+5
х-5x = 5
-4х = 5
х = 5:(-4)
x = -1,25.

⇐ ІІ.3.
Тригонометричні рівняння До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.5.
Логарифмічні рівняння ⇒