Показникові рівняння

Показникові рівняння

Якщо a^f(x) = a^g(x), то f(x) = g(x)

НМТ 2024. Розв’яжіть рівняння $3^{x^2}=81$ . Якщо рівняння має один корінь, то вкажіть проміжок, якому він належить. Якщо рівняння має кілька коренів, то вкажіть проміжок, якому належить найменший з них.

А Б В Г Д

(–∞; –10) [–10; –3) [–3; –2) [–2; 0) [0; +∞)

Показати відповідь
Г

Укажіть число, що є коренем рівняння 5^х-2 = 25.

А Б В Г Д

7 4 3 2 1

Показати відповідь
Б.
5^х-2 = 25
5^х-2 = 5²
x-2 = 2
x = 4.
Розв’яжіть рівняння 4^х = 8.

А Б В Г Д

$\frac{1}{2}$ $\frac{2}{3}$ $\frac{3}{2}$ 2 32

Показати відповідь
В.
4^х = 8
2^2х = 2³
2x = 3
x = $\frac{3}{2}$ .

Розв’яжіть рівняння 3^7х = 9. Отриманий корінь рівняння округліть до десятих.

А Б В Г Д

0,2 0,29 0,3 0,4 3,5

Показати відповідь
В.
3^7х = 9
3^7х = 3²
7x = 2
х = 2:7≈0,2857. Так як округлюємо до десятих, то відкидаємо всі цифри, починаючи з другої після коми. Так як перша з цифр, що відкидаються, 8 більше 4, то останню цифру, що залишаємо (2), збільшуємо на 1. Маємо х≈0,3.
Розв’яжіть рівняння 2^2x = $\frac{1}{2^3}$ .

А Б В Г Д

-3 -2 -1,5 1,5 2

Показати відповідь
В.
2^2x = $\frac{1}{2^3}$
2^2x = 2^-3 (якщо число переміщується із знаменника в чисельник або навпаки, його степінь змінює свій знак)
2x = -3
x = -3:2
x = -1,5.
Розв’яжіть рівняння 3^x = $\frac{2\sqrt{3}}{6}$ .

А Б В Г Д

рівняння не має коренів х = -1 х = -0,5 х = 0,5 х = 1

Показати відповідь
В.
3^x = $\frac{2\sqrt{3}}{6}$
3^x = $\frac{\sqrt{3}}{3}$
3^x = $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3}$
3^x = $3^{\frac{1}{2}-1}$
3^x = $3^{-\frac{1}{2}}$
3^x = 3^-0,5
x = -0,5.
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 3^х+4 = 27?

А Б В Г Д

[-4;-2) [-2;0) [0;2) [2;4) [4;6)

Показати відповідь
Б.
3^х+4 = 27
3^х+4 = 3³
х+4 = 3
x = 3-4
x = -1. Оскільки -1 більше за -2 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку [-2;0).
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 3^х = $\frac{1}{27}$ ?

А Б В Г Д

(-∞;-5] (-5;-2] (-2;0] (0;2] (2;+∞)

Показати відповідь
Б.
3^х = $\frac{1}{27}$
3^х = 3^-3
x = -3.
Оскільки -3 більше за -5 та менше за -2, то корінь рівняння належить проміжку (-5;-2].
Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 2^х+3-3⋅2^х = 10 $\sqrt{2}$ ?

А Б В Г Д

(-∞;0) [0;0,5) [0,5;1) [1;2) [2;+∞)

Показати відповідь
Г.
2^х+3-3⋅2^х = 10 $\sqrt{2}$
2^х⋅2³-3⋅2^х = 10 $\sqrt{2}$
8⋅2^х-3⋅2^х = 10 $\sqrt{2}$
5⋅2^х = 10 $\sqrt{2}$
2^х = 2 $\sqrt{2}$
2^х = 2 $2^{\frac{1}{2}}$
2^х = 2⋅2^0,5
2^х = 2^1+0,5
2^х = 2^1,5
x = 1,5.
Оскільки 1,5 більше за 1 та менше за 2, то корінь рівняння належить проміжку [1;2).
Якому проміжку належить корінь рівняння 5^х+1 = 125?

А Б В Г Д

[0;3) [3;4) [4;10) [10;25) [25;625]

Показати відповідь
А.
5^х+1 = 125
5^х+1 = 5³
х+1 = 3
x = 3-1
x = 2. Оскільки 2 більше за 0 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку [0;3).
Якому з наведених нижче проміжків належить корінь рівняння 5^х+3 = $\left(\frac{1}{125}\right)^x$ ?

А Б В Г Д

(-3;-2] (-2;-1] (-1;0] (0;1] (1;3]

Показати відповідь
В.
5^х+3 = $\left(\frac{1}{125}\right)^x$
5^х+3 = $\left(\frac{1}{5^3}\right)^x$
5^х+3 = 5^-3x (якщо число переміщується із знаменника в чисельник або навпаки, його степінь змінює свій знак)
х+3 = -3x
x+3x = -3
4x = -3
x = -3:4
x = -0,75. Оскільки -0,75 більше за -1 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку (-1;0].
Визначте проміжок, якому належить корінь рівняння 0,4^2х-1 = 0,064 ?

А Б В Г Д

(-3;-2] (-2;-1] (-1;0] (0;1] (1;3]

Показати відповідь
Д.
0,4^2х-1 = 0,064
0,4^2х-1 = 0,4³
2х-1 = 3
2x = 3+1
2x = 4
x = 2. Оскільки 2 більше за 1 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку (1;3].
Розв’яжіть рівняння 3^х⋅4^х = (12^х+1)⁵.
Показати відповідь
-1,25.
3^х⋅4^х = (12^х+1)⁵
(3⋅4)^х = (12^х+1)⁵
12^х = (12^х+1)⁵
12^х = 12^5х+5
х = 5х+5
х-5x = 5
-4х = 5
х = 5:(-4)
x = -1,25.

⇐ ІІ.3.
Тригонометричні рівняння

До змісту

⇒ ІІ.5.
Логарифмічні рівняння

Коментарі