Показникові рівняння — це рівняння, у яких змінна міститься в показнику степеня. Розуміння принципів їх розв’язання є важливим для вивчення процесів органічного росту, складних відсотків у фінансових розрахунках та радіоактивного розпаду в ядерній фізиці.
На цій сторінці ми розберемо ключовий алгоритм роботи з такими рівняннями: зведення обох частин рівності до спільної основи. Ви опануєте застосування властивостей степенів для спрощення складних виразів та навчитеся розв'язувати типові завдання НМТ, де потрібно не лише знайти корінь, а й визначити проміжок, якому він належить. Усі приклади супроводжуються покроковими поясненнями для кращого засвоєння матеріалу.
Якщо a > 0,a ≠ 1 і af(x) = ag(x), то f(x) = g(x)
Завдання 1. Розв’яжіть рівняння 3x² = 81. Якщо рівняння має один корінь, то вкажіть проміжок, якому він належить. Якщо рівняння має кілька коренів, то вкажіть проміжок, якому належить найменший з них.
(–∞; –10)
[–10; –3)
[–3; –2)
[–2; 0)
[0; +∞)
Показати відповідь
Г
3x² = 81
3x² = 3⁴
x² = 4
x = ±2. Найменше значення х = - 2 належить проміжку [–2; 0).
3x² = 81
3x² = 3⁴
x² = 4
x = ±2. Найменше значення х = - 2 належить проміжку [–2; 0).
Завдання 2. Укажіть число, що є коренем рівняння 5ˣ⁻² = 25.
7
4
3
2
1
Показати відповідь
Б.
5ˣ⁻² = 25
5ˣ⁻² = 5²
x - 2 = 2
x = 4.
Завдання 3. Розв’яжіть рівняння 4ˣ = 8.
5ˣ⁻² = 25
5ˣ⁻² = 5²
x - 2 = 2
x = 4.
12
23
32
2
32
Показати відповідь
В.
4ˣ = 8
2²ˣ = 2³
2x = 3
x = 32.
Завдання 4. Розв’яжіть рівняння 3⁷ˣ = 9. Отриманий корінь рівняння округліть до десятих.
4ˣ = 8
2²ˣ = 2³
2x = 3
x = 32.
0,2
0,29
0,3
0,4
3,5
Показати відповідь
В.
3⁷ˣ = 9
3⁷ˣ = 3²
7x = 2
х = 2 : 7 ≈ 0,2857. Оскільки округлюємо до десятих, то відкидаємо всі цифри, починаючи з другої після коми. Оскільки перша з цифр, що відкидаються, 8 більше 4, то останню цифру, що залишаємо (2), збільшуємо на 1. Маємо х ≈ 0,3.
Завдання 5. Розв’яжіть рівняння 2²ˣ = 12³.
3⁷ˣ = 9
3⁷ˣ = 3²
7x = 2
х = 2 : 7 ≈ 0,2857. Оскільки округлюємо до десятих, то відкидаємо всі цифри, починаючи з другої після коми. Оскільки перша з цифр, що відкидаються, 8 більше 4, то останню цифру, що залишаємо (2), збільшуємо на 1. Маємо х ≈ 0,3.
-3
-2
-1,5
1,5
2
Показати відповідь
В.
2²ˣ = 12³
2²ˣ = 2⁻³ (при переході степеня з знаменника в чисельник (або навпаки) показник степеня змінює знак)
2x = -3
x = -3 : 2
x = -1,5.
Завдання 6. Розв’яжіть рівняння 3ˣ = 2√36.
2²ˣ = 12³
2²ˣ = 2⁻³ (при переході степеня з знаменника в чисельник (або навпаки) показник степеня змінює знак)
2x = -3
x = -3 : 2
x = -1,5.
рівняння не має коренів
х = -1
х = -0,5
х = 0,5
х = 1
Показати відповідь
В.
3ˣ = 2√36
3ˣ = √33
3ˣ = 3½3
3ˣ = 3½ - 1
3ˣ = 30,5 - 1
3ˣ = 3-0,5
x = -0,5.
Завдання 7. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 3ˣ⁺⁴ = 27?
3ˣ = 2√36
3ˣ = √33
3ˣ = 3½3
3ˣ = 3½ - 1
3ˣ = 30,5 - 1
3ˣ = 3-0,5
x = -0,5.
[-4;-2)
[-2;0)
[0;2)
[2;4)
[4;6)
Показати відповідь
Б.
3ˣ⁺⁴ = 27
3ˣ⁺⁴ = 3³
х + 4 = 3
x = 3 - 4
x = -1. Оскільки -1 більше за -2 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку [-2;0).
Завдання 8. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 3ˣ = 127?
3ˣ⁺⁴ = 27
3ˣ⁺⁴ = 3³
х + 4 = 3
x = 3 - 4
x = -1. Оскільки -1 більше за -2 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку [-2;0).
(-∞; -5]
(-5; -2]
(-2; 0]
(0; 2]
(2; +∞)
Показати відповідь
Б.
3ˣ = 127
3ˣ = 3⁻³
x = -3.
Оскільки -3 більше за -5 та менше за -2, то корінь рівняння належить проміжку (-5; -2].
Завдання 9. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 2ˣ⁺³ - 3 · 2ˣ = 10√2?
3ˣ = 127
3ˣ = 3⁻³
x = -3.
Оскільки -3 більше за -5 та менше за -2, то корінь рівняння належить проміжку (-5; -2].
(-∞;0)
[0;0,5)
[0,5;1)
[1;2)
[2;+∞)
Показати відповідь
Г.
2ˣ⁺³ - 3 · 2ˣ = 10√2
2ˣ · 2³ - 3 · 2ˣ = 10√2
8 · 2ˣ - 3 · 2ˣ = 10√2
5 · 2ˣ = 10√2
2ˣ = 2√2
2ˣ = 2 · 2½
2ˣ = 2 · 20,5
2ˣ = 21+0,5
2ˣ = 21,5
x = 1,5.
Оскільки 1,5 більше за 1 та менше за 2, то корінь рівняння належить проміжку [1;2).
Завдання 10. Якому проміжку належить корінь рівняння 5ˣ⁺¹ = 125?
2ˣ⁺³ - 3 · 2ˣ = 10√2
2ˣ · 2³ - 3 · 2ˣ = 10√2
8 · 2ˣ - 3 · 2ˣ = 10√2
5 · 2ˣ = 10√2
2ˣ = 2√2
2ˣ = 2 · 2½
2ˣ = 2 · 20,5
2ˣ = 21+0,5
2ˣ = 21,5
x = 1,5.
Оскільки 1,5 більше за 1 та менше за 2, то корінь рівняння належить проміжку [1;2).
[0; 3)
[3; 4)
[4; 10)
[10; 25)
[25; 625]
Показати відповідь
А.
5ˣ⁺¹ = 125
5ˣ⁺¹ = 5³
х + 1 = 3
x = 3 - 1
x = 2. Оскільки 2 більше за 0 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку [0;3).
Завдання 11. Якому з наведених нижче проміжків належить корінь рівняння 5ˣ⁺³ = (1125)ˣ?
5ˣ⁺¹ = 125
5ˣ⁺¹ = 5³
х + 1 = 3
x = 3 - 1
x = 2. Оскільки 2 більше за 0 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку [0;3).
(-3; -2]
(-2; -1]
(-1; 0]
(0; 1]
(1; 3]
Показати відповідь
В.
5ˣ⁺³ = (1125)ˣ
5ˣ⁺³ = (15³)ˣ
5ˣ⁺³ = 5⁻³ˣ (при переході степеня з знаменника в чисельник (або навпаки) показник степеня змінює знак)
х + 3 = -3x
x + 3x = -3
4x = -3
x = -3 : 4
x = -0,75. Оскільки -0,75 більше за -1 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку (-1;0].
Завдання 12. Визначте проміжок, якому належить корінь рівняння 0,4²ˣ⁻¹ = 0,064 ?
5ˣ⁺³ = (1125)ˣ
5ˣ⁺³ = (15³)ˣ
5ˣ⁺³ = 5⁻³ˣ (при переході степеня з знаменника в чисельник (або навпаки) показник степеня змінює знак)
х + 3 = -3x
x + 3x = -3
4x = -3
x = -3 : 4
x = -0,75. Оскільки -0,75 більше за -1 та менше за 0, то корінь рівняння належить проміжку (-1;0].
(-3; -2]
(-2; -1]
(-1; 0]
(0; 1]
(1; 3]
Показати відповідь
Д.
0,4²ˣ⁻¹ = 0,064
0,4²ˣ⁻¹ = 0,4³
2х - 1 = 3
2x = 3 + 1
2x = 4
x = 2. Оскільки 2 більше за 1 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку (1; 3].
Завдання 13. Розв’яжіть рівняння 3ˣ · 4ˣ = (12ˣ⁺¹)⁵.
0,4²ˣ⁻¹ = 0,064
0,4²ˣ⁻¹ = 0,4³
2х - 1 = 3
2x = 3 + 1
2x = 4
x = 2. Оскільки 2 більше за 1 та менше за 3, то корінь рівняння належить проміжку (1; 3].
Показати відповідь
-1,25.
3ˣ · 4ˣ = (12ˣ⁺¹)⁵
(3 · 4)ˣ = (12ˣ⁺¹)⁵
12ˣ = (12ˣ⁺¹)⁵
12ˣ = 12⁵ˣ⁺⁵
х = 5х + 5
х - 5x = 5
-4х = 5
х = 5 : (-4)
x = -1,25.
3ˣ · 4ˣ = (12ˣ⁺¹)⁵
(3 · 4)ˣ = (12ˣ⁺¹)⁵
12ˣ = (12ˣ⁺¹)⁵
12ˣ = 12⁵ˣ⁺⁵
х = 5х + 5
х - 5x = 5
-4х = 5
х = 5 : (-4)
x = -1,25.
Коментарі