Тригонометричні рівняння — це рівняння, у яких невідома величина знаходиться під знаком тригонометричної функції (синуса, косинуса, тангенса або котангенса). Ці рівняння мають особливу природу, оскільки через періодичність функцій вони часто мають нескінченну кількість розв'язків.
На цій сторінці ви знайдете повний довідник формул для розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь, включаючи окремі випадки для значень 0, 1 та -1. На сторінці наведено методи відбору коренів на заданому проміжку та специфіку розв'язування складніших конструкцій, де тригонометрія поєднується з логарифмами, модулями або ірраціональними виразами. Особливу увагу приділено алгоритмам перевірки ОДЗ, що дозволяє уникнути появи «сторонніх» коренів у відповіді.
sinx = a
При |a| > 1 рівняння коренів не має
При -1 ≤ a ≤ 1 x = (-1)ⁿarcsina + πn, n∈Z
arcsin(-a) = - arcsina
sinx = -1 ⇒ x = 3π2 + 2πn, n∈Z
sinx = 0 ⇒ x = πn, n∈Z
sinx = 1 ⇒ x = π2 + 2πn, n∈Z cosx = a
При |a| > 1 рівняння коренів не має
При -1 ≤ a ≤ 1 x = ±arccosa + 2πn, n∈Z
arccos(-a) = π - arccosa
cosx = -1 ⇒ x = π + 2πn, n∈Z
cosx = 0 ⇒ x = π2 + πn, n∈Z
cosx = 1 ⇒ x = 2πn, n∈Z tgx = a
x = arctga + πn, n∈Z
arctg(-a) = -arctga ctgx = a
x = arcctga + πn, n∈Z
arcctg(-a) = π - arcctga
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Скільки всього коренів рівняння cos x = 0 належать проміжку [0; 2π]?
При |a| > 1 рівняння коренів не має
При -1 ≤ a ≤ 1 x = (-1)ⁿarcsina + πn, n∈Z
arcsin(-a) = - arcsina
sinx = -1 ⇒ x = 3π2 + 2πn, n∈Z
sinx = 0 ⇒ x = πn, n∈Z
sinx = 1 ⇒ x = π2 + 2πn, n∈Z cosx = a
При |a| > 1 рівняння коренів не має
При -1 ≤ a ≤ 1 x = ±arccosa + 2πn, n∈Z
arccos(-a) = π - arccosa
cosx = -1 ⇒ x = π + 2πn, n∈Z
cosx = 0 ⇒ x = π2 + πn, n∈Z
cosx = 1 ⇒ x = 2πn, n∈Z tgx = a
x = arctga + πn, n∈Z
arctg(-a) = -arctga ctgx = a
x = arcctga + πn, n∈Z
arcctg(-a) = π - arcctga
жодного
один
два
три
більше за три
Показати відповідь
В.
Якщо cos x = 0, то x = π2 + πn, n∈Z. При n = 0 маємо x = π2, що належить заданому проміжку. При n = 1 маємо x = π2 + π = 3π2, що також належить заданому проміжку. При інших значеннях n маємо розв'язки рівняння, які не належать заданому проміжку.
Завдання 2. Укажіть корінь рівняння tg(3x) = –1.
Якщо cos x = 0, то x = π2 + πn, n∈Z. При n = 0 маємо x = π2, що належить заданому проміжку. При n = 1 маємо x = π2 + π = 3π2, що також належить заданому проміжку. При інших значеннях n маємо розв'язки рівняння, які не належать заданому проміжку.
-π12
-π3
π12
-4π3
-π4
Показати відповідь
А
tg(3x) = –1
3х = arctg(-1) + πn, nєZ
3х = - arctg1 + πn, nєZ
3x = -π4 + πn, nєZ
x = -π12 + πn3, nєZ
При n = 0 маємо x = -π12
Завдання 3. Укажіть корінь рівняння sin4x = -1.
tg(3x) = –1
3х = arctg(-1) + πn, nєZ
3х = - arctg1 + πn, nєZ
3x = -π4 + πn, nєZ
x = -π12 + πn3, nєZ
При n = 0 маємо x = -π12
3π8
π8
π4
-π4
-π2
Показати відповідь
А
sin4x = -1
4x = 3π2 + 2πn, nєZ
x = 3π8 + 2πn4, nєZ
x = 3π8 + πn2, nєZ
При n = 0 маємо x = 3π8
sin4x = -1
4x = 3π2 + 2πn, nєZ
x = 3π8 + 2πn4, nєZ
x = 3π8 + πn2, nєZ
При n = 0 маємо x = 3π8
Завдання 4. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння 2sinx = -1.
π6
π3
5π6
5π3
7π6
Показати відповідь
Д.
З даного рівняння маємо sinx = -½. Тоді x = (-1)ᵏarcsin(-½) + πk, k∈Z.
x = -(-1)ᵏarcsin½ + πk, k∈Z.
x = (-1)ᵏ⁺¹π6 + πk, k∈Z.
При k = 0 маємо x = (-1)¹π6 + π · 0 = -π6. Отримали від'ємне значення.
Беремо наступне значення k = 1. Маємо x = (-1)²π6 + π · 1 = π6 + π = 7π6. При більших значеннях k будемо отримувати додатні корені, які більше за знайдене. Отже x = 7π6.
Завдання 5. Розв'яжіть рівняння tg(3x) = √3.
З даного рівняння маємо sinx = -½. Тоді x = (-1)ᵏarcsin(-½) + πk, k∈Z.
x = -(-1)ᵏarcsin½ + πk, k∈Z.
x = (-1)ᵏ⁺¹π6 + πk, k∈Z.
При k = 0 маємо x = (-1)¹π6 + π · 0 = -π6. Отримали від'ємне значення.
Беремо наступне значення k = 1. Маємо x = (-1)²π6 + π · 1 = π6 + π = 7π6. При більших значеннях k будемо отримувати додатні корені, які більше за знайдене. Отже x = 7π6.
π6 + πn, n∈Z
π3 + πn, n∈Z
π9 + πn3, n∈Z
π9 + 2πn3, n∈Z
π9 + πn, n∈Z
Показати відповідь
В.
tg(3x) = √3
3x = arctg√3 + πn, n∈Z
3x = π3 + πn, n∈Z
x = π9 + πn3, n∈Z.
Завдання 6. Розв'яжіть рівняння sin(3x) = 12.
tg(3x) = √3
3x = arctg√3 + πn, n∈Z
3x = π3 + πn, n∈Z
x = π9 + πn3, n∈Z.
(-1)ᵏπ9 + πk3, k∈Z
(-1)ᵏπ18 + 2πk3, k∈Z
(-1)ᵏπ18 + πk3, k∈Z
±π9 + 2πk3, k∈Z
(-1)ᵏπ18 + πk, k∈Z
Показати відповідь
В.
sin(3x) = 12
3x = (-1)ᵏarcsin½ + πk, k∈Z
3x = (-1)ᵏπ6 + πk, k∈Z
x = (-1)ᵏπ18 + πk3, k∈Z.
Завдання 7. Розв'яжіть рівняння cos(3x) = 12.
sin(3x) = 12
3x = (-1)ᵏarcsin½ + πk, k∈Z
3x = (-1)ᵏπ6 + πk, k∈Z
x = (-1)ᵏπ18 + πk3, k∈Z.
±π9 + 2πk3, k∈Z
(-1)ᵏπ + 3πk, k∈Z
±π + 6πk, k∈Z
(-1)ᵏπ9 + 13πk, k∈Z
±π9 + 13πk, k∈Z
Показати відповідь
А.
cos(3x) = 12
3x = ±arccos½ + 2πk, k∈Z
3x = ±π3 + 2πk, k∈Z
x = ±π9 + 2πk3, k∈Z.
Завдання 8. Розв'яжіть рівняння 3 · sinxcosx = √3.
cos(3x) = 12
3x = ±arccos½ + 2πk, k∈Z
3x = ±π3 + 2πk, k∈Z
x = ±π9 + 2πk3, k∈Z.
π6 + πn, n∈Z
π3 + πn, n∈Z
π6 + 2πn, n∈Z
±π6 + 2πn, n∈Z
π9 + πn3, n∈Z
Показати відповідь
А.
3 · sinxcosx = √3
3 · tgx = √3
tgx = √33
x = arctg√33 + πn, n∈Z
x = π6 + πn, n∈Z.
Завдання 9. Яке з наведених рівнянь не має коренів?
3 · sinxcosx = √3
3 · tgx = √3
tgx = √33
x = arctg√33 + πn, n∈Z
x = π6 + πn, n∈Z.
sinx = √32
tgx = √32
ctgx = -2√3
tgx = 2√3
cosx = 2√3
Показати відповідь
Д.
Оскільки найпростіші тригонометричні рівняння з tgx і ctgx завжди мають корені, то шукаємо відповідь лише в А і Д. Найпростіші тригонометричні рівняння з sinx і cosx мають корені лише тоді, коли число після знака рівності лежить в межах відрізку [-1; 1]. Оскільки √3 менше за 2, то дріб √32 менше за одиницю і рівняння А має корені, а дріб 2√3 більше за одиницю і рівняння Д не має коренів.
Завдання 10. Задано рівняння:Оскільки найпростіші тригонометричні рівняння з tgx і ctgx завжди мають корені, то шукаємо відповідь лише в А і Д. Найпростіші тригонометричні рівняння з sinx і cosx мають корені лише тоді, коли число після знака рівності лежить в межах відрізку [-1; 1]. Оскільки √3 менше за 2, то дріб √32 менше за одиницю і рівняння А має корені, а дріб 2√3 більше за одиницю і рівняння Д не має коренів.
log₂x - log₂(x - 2) = 1, (1)
cosx = 1 - √3, (2)
|x+2| = -3, (3)
sin(x + π3) = -π. (4)
Укажіть рівняння, яке НЕ МАЄ коренів на множині дійсних чисел.
(1) і (4)
(2) і (3)
(1) і (2)
(3) і (4)
Інша відповідь
Показати відповідь
Г.
1) log₂x - log₂(x - 2) = 1
log₂xx - 2 = 1
xx - 2 = 2
x = 2(x - 2)
x = 2x - 4
-x = -4
x = 4.
Перевірка log₂4 - log₂(4 - 2) = 2 - 1 = 1. Отже дане рівняння має корінь.
2) Оскільки √3 лежить в межах [1;2], то 1 - √3 лежить в межах [-1;0]. Тому дане рівняння має корені.
3) Оскільки значення модуля не може бути від'ємним, то дане рівняння не має коренів.
4) Оскільки -π ≈ -3,14, то дане рівняння не має коренів.
Завдання 11. Розв'яжіть рівняння sinx - √3cosx = 0.
1) log₂x - log₂(x - 2) = 1
log₂xx - 2 = 1
xx - 2 = 2
x = 2(x - 2)
x = 2x - 4
-x = -4
x = 4.
Перевірка log₂4 - log₂(4 - 2) = 2 - 1 = 1. Отже дане рівняння має корінь.
2) Оскільки √3 лежить в межах [1;2], то 1 - √3 лежить в межах [-1;0]. Тому дане рівняння має корені.
3) Оскільки значення модуля не може бути від'ємним, то дане рівняння не має коренів.
4) Оскільки -π ≈ -3,14, то дане рівняння не має коренів.
-π6 + πn, n∈Z
-π3 + πn, n∈Z
π6 + πn, n∈Z
π3 + πn, n∈Z
π2 + πn, n∈Z
Показати відповідь
Г.
sinx - √3cosx = 0 |:cosx ≠ 0
tgx - √3 = 0
tgx = √3
x = arctg√3 + πn, n∈Z
x = π3 + πn, n∈Z.
Завдання 12. Розв'яжіть рівняння 2cosx + 1√27 + 6x - x² = 0. У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, то у відповідь запишіть число 100.
sinx - √3cosx = 0 |:cosx ≠ 0
tgx - √3 = 0
tgx = √3
x = arctg√3 + πn, n∈Z
x = π3 + πn, n∈Z.
Показати відповідь
4.
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки корінь знаходиться у знаменнику, потрібно виконати дві умови: 27 + 6x - x² ≠ 0, 27 + 6x - x² ≥ 0. Об'єднавши ці умови, одержуємо 27 + 6x - x² > 0. Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння 27 + 6x - x² = 0.
D = 6² - 4 · (-1) · 27 = 36 + 108 = 144.
x₁ = -6 - √1442 · (-1) = -6 - 12-2 = -18-2 = 9
x₂ = -6 + √1442 · (-1) = -6 + 12-2 = 6-2 = -3. Отже корені рівняння повинні лежати в межах (-3; 9).
Оскільки знаменник дробу визначений і не дорівнює нулю, то дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю.
2cosx + 1 = 0
2cosx = -1
cosx = -½.
x = ±arccos(-½) + 2πn, n∈Z
x = ±(π - arccos½) + 2πn, n∈Z
x = ±(π - π3) + 2πn, n∈Z
x = ±(3π - π3) + 2πn, n∈Z
x = ±2π3 + 2πn, n∈Z
З'ясуємо кількість коренів, що лежать в інтервалі (-3; 9).
При n = 0 маємо корені x = ±2π3. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 та -2, які лежать в потрібній межі.
При n = -1 маємо корені x = ±2π3 - 2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 - 6 = -4 та -2 - 6 = -8, які вже не лежать в потрібній межі.
При n = 1 маємо корені x = ±2π3 + 2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 + 6 = 8 та -2 + 6 = 4, які лежать в потрібній межі.
При n = 2 маємо корені x = ±2π3 + 4π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 + 12 = 20 та -2 + 12 = 10, які також не лежать в потрібній межі.
Отже, даній умові задовольняють лише 4 корені.
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки корінь знаходиться у знаменнику, потрібно виконати дві умови: 27 + 6x - x² ≠ 0, 27 + 6x - x² ≥ 0. Об'єднавши ці умови, одержуємо 27 + 6x - x² > 0. Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння 27 + 6x - x² = 0.
D = 6² - 4 · (-1) · 27 = 36 + 108 = 144.
x₁ = -6 - √1442 · (-1) = -6 - 12-2 = -18-2 = 9
x₂ = -6 + √1442 · (-1) = -6 + 12-2 = 6-2 = -3. Отже корені рівняння повинні лежати в межах (-3; 9).
Оскільки знаменник дробу визначений і не дорівнює нулю, то дріб дорівнює нулю тоді й лише тоді, коли його чисельник дорівнює нулю.
2cosx + 1 = 0
2cosx = -1
cosx = -½.
x = ±arccos(-½) + 2πn, n∈Z
x = ±(π - arccos½) + 2πn, n∈Z
x = ±(π - π3) + 2πn, n∈Z
x = ±(3π - π3) + 2πn, n∈Z
x = ±2π3 + 2πn, n∈Z
З'ясуємо кількість коренів, що лежать в інтервалі (-3; 9).
При n = 0 маємо корені x = ±2π3. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 та -2, які лежать в потрібній межі.
При n = -1 маємо корені x = ±2π3 - 2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 - 6 = -4 та -2 - 6 = -8, які вже не лежать в потрібній межі.
При n = 1 маємо корені x = ±2π3 + 2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 + 6 = 8 та -2 + 6 = 4, які лежать в потрібній межі.
При n = 2 маємо корені x = ±2π3 + 4π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 + 12 = 20 та -2 + 12 = 10, які також не лежать в потрібній межі.
Отже, даній умові задовольняють лише 4 корені.
Коментарі