Тригонометричні рівняння — це рівняння, у яких невідома величина знаходиться під знаком тригонометричної функції (синуса, косинуса, тангенса або котангенса). Ці рівняння мають особливу природу, оскільки через періодичність функцій вони часто мають нескінченну кількість розв'язків.
На цій сторінці ви знайдете повний довідник формул для розв'язування найпростіших тригонометричних рівнянь, включаючи окремі випадки для значень 0, 1 та -1. Ми детально розберемо методи відбору коренів на заданому проміжку та специфіку розв'язування складніших конструкцій, де тригонометрія поєднується з логарифмами, модулями або ірраціональними виразами. Особливу увагу приділено алгоритмам перевірки ОДЗ, що дозволяє уникнути появи «сторонніх» коренів у відповіді.
sinx = a
Якщо a∈(-∞;-1)∪(1;+∞), то рівняння коренів не має
Якщо a∈(0;1), то x = (-1)narcsina+πn, n∈Z
Якщо a∈(-1;0), то x = (-1)n+1arcsin|a|+πn, n∈Z
Якщо a = -1, то x = \frac{3\pi}{2}+2πn, n∈Z
Якщо a = 0, то x = πn, n∈Z
Якщо a = 1, то x = \frac{\pi}{2}+2πn, n∈Z
cosx = a
Якщо a∈(-∞;-1)∪(1;+∞), то рівняння коренів не має
Якщо a∈(0;1), то x = ±arccosa+2πn, n∈Z
Якщо a∈(-1;0), то x = ±(π-arccos|a|)+2πn, n∈Z
Якщо a = -1, то x = π+2πn, n∈Z
Якщо a = 0, то x = \frac{\pi}{2}+πn, n∈Z
Якщо a = 1, то x = 2πn, n∈Z
tgx = a
Якщо a≥0, то x = arctga+πn, n∈Z
Якщо a<0, то x = -arctg|a|+πn, n∈Z
ctgx = a
Якщо a≥0, то x = arcctga+πn, n∈Z
Якщо a<0, то x = π-arctcg|a|+πn, n∈Z
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Скільки всього коренів рівняння cos 𝑥 = 0 належать проміжку [0; 2π]?
Якщо a∈(-∞;-1)∪(1;+∞), то рівняння коренів не має
Якщо a∈(0;1), то x = (-1)narcsina+πn, n∈Z
Якщо a∈(-1;0), то x = (-1)n+1arcsin|a|+πn, n∈Z
Якщо a = -1, то x = \frac{3\pi}{2}+2πn, n∈Z
Якщо a = 0, то x = πn, n∈Z
Якщо a = 1, то x = \frac{\pi}{2}+2πn, n∈Z
cosx = a
Якщо a∈(-∞;-1)∪(1;+∞), то рівняння коренів не має
Якщо a∈(0;1), то x = ±arccosa+2πn, n∈Z
Якщо a∈(-1;0), то x = ±(π-arccos|a|)+2πn, n∈Z
Якщо a = -1, то x = π+2πn, n∈Z
Якщо a = 0, то x = \frac{\pi}{2}+πn, n∈Z
Якщо a = 1, то x = 2πn, n∈Z
tgx = a
Якщо a≥0, то x = arctga+πn, n∈Z
Якщо a<0, то x = -arctg|a|+πn, n∈Z
ctgx = a
Якщо a≥0, то x = arcctga+πn, n∈Z
Якщо a<0, то x = π-arctcg|a|+πn, n∈Z
жодного
один
два
три
більше за три
Показати відповідь
В.
Якщо cos x = 0, то x = \frac{\pi}{2}+πn, n∈Z. При n = 0 маємо x = \frac{\pi}{2}, що належить заданому проміжку. При n = 1 маємо x = \frac{\pi}{2}+\pi = \frac{3\pi}{2}, що також належить заданому проміжку. При інших значеннях n маємо розв'язки рівняння, які не належать заданому проміжку.
Завдання 2. Укажіть корінь рівняння tg(3x) = –1.
Якщо cos x = 0, то x = \frac{\pi}{2}+πn, n∈Z. При n = 0 маємо x = \frac{\pi}{2}, що належить заданому проміжку. При n = 1 маємо x = \frac{\pi}{2}+\pi = \frac{3\pi}{2}, що також належить заданому проміжку. При інших значеннях n маємо розв'язки рівняння, які не належать заданому проміжку.
-\frac{\pi}{12}
-\frac{\pi}{3}
\frac{\pi}{12}
-\frac{4\pi}{3}
-\frac{\pi}{4}
Показати відповідь
А
tg(3x) = –1
3х = arctg(-1) + πn, nєZ
3х = - arctg1 + πn, nєZ
3x = -\frac{\pi}{4} + πn, nєZ
x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi{n}}{3}, nєZ
При n = 0 маємо x = -\frac{\pi}{12}
Завдання 3. Укажіть корінь рівняння sin4x = -1.
tg(3x) = –1
3х = arctg(-1) + πn, nєZ
3х = - arctg1 + πn, nєZ
3x = -\frac{\pi}{4} + πn, nєZ
x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi{n}}{3}, nєZ
При n = 0 маємо x = -\frac{\pi}{12}
\frac{3\pi}{8}
\frac{\pi}{8}
\frac{\pi}{4}
-\frac{\pi}{4}
-\frac{\pi}{2}
Показати відповідь
А
sin4x = -1
4x = \frac{3\pi}{2} + 2πn, nєZ
x = \frac{3\pi}{8}+\frac{2\pi{n}}{4}, nєZ
x = \frac{3\pi}{8}+\frac{\pi{n}}{2}, nєZ
При n = 0 маємо x = \frac{3\pi}{8}
sin4x = -1
4x = \frac{3\pi}{2} + 2πn, nєZ
x = \frac{3\pi}{8}+\frac{2\pi{n}}{4}, nєZ
x = \frac{3\pi}{8}+\frac{\pi{n}}{2}, nєZ
При n = 0 маємо x = \frac{3\pi}{8}
Завдання 4. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння 2sinx = -1.
\frac{\pi}{6}
\frac{\pi}{3}
\frac{5\pi}{6}
\frac{5\pi}{3}
\frac{7\pi}{6}
Показати відповідь
Д.
З даного рівняння маємо sinx = -0,5. Тоді x = (-1)k+1arcsin\frac{1}{2}+πk, k∈Z.
x = (-1)k+1\frac{\pi}{6}+πk, k∈Z.
При k = 0 маємо x = (-1)1\frac{\pi}{6}+π·0 = \frac{-\pi}{6}. Отримали від'ємне значення.
Беремо наступне значення k = 1. Маємо x = (-1)2\frac{\pi}{6}+π·1 = \frac{\pi}{6}+π = \frac{7\pi}{6}.При більших значеннях k будемо отримувати додатні корені, які більше за знайдене. Отже x = \frac{7\pi}{6}.
Завдання 5. Розв'яжіть рівняння tg(3x) = \sqrt{3}.
З даного рівняння маємо sinx = -0,5. Тоді x = (-1)k+1arcsin\frac{1}{2}+πk, k∈Z.
x = (-1)k+1\frac{\pi}{6}+πk, k∈Z.
При k = 0 маємо x = (-1)1\frac{\pi}{6}+π·0 = \frac{-\pi}{6}. Отримали від'ємне значення.
Беремо наступне значення k = 1. Маємо x = (-1)2\frac{\pi}{6}+π·1 = \frac{\pi}{6}+π = \frac{7\pi}{6}.При більших значеннях k будемо отримувати додатні корені, які більше за знайдене. Отже x = \frac{7\pi}{6}.
\frac{\pi}{6}+πn,n∈Z
\frac{\pi}{3}+πn,n∈Z
\frac{\pi}{9}+\frac{\pi{n}}{3},n∈Z
\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi{n}}{3},n∈Z
\frac{\pi}{9}+\pi{n},n∈Z
Показати відповідь
В.
tg(3x) = \sqrt{3}
3x = arctg\sqrt{3}+πn,n∈Z
3x = \frac{\pi}{3}+πn,n∈Z
x = \frac{\pi}{9}+\frac{\pi{n}}{3},n∈Z.
Завдання 6. Розв'яжіть рівняння sin(3x) = \frac{1}{2}.
tg(3x) = \sqrt{3}
3x = arctg\sqrt{3}+πn,n∈Z
3x = \frac{\pi}{3}+πn,n∈Z
x = \frac{\pi}{9}+\frac{\pi{n}}{3},n∈Z.
(-1)k\frac{\pi}{9}+\frac{\pi{k}}{3},k∈Z
\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi{k}}{3},k∈Z
(-1)k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi{k}}{3}k∈Z
\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi{k}}{3}k∈Z
(-1)k\frac{\pi}{18}+πk,k∈Z
Показати відповідь
В.
sin(3x) = \frac{1}{2}
3x = (-1)karcsin\frac{1}{2}+πk,k∈Z
3x = (-1)k\frac{\pi}{6}+πk,k∈Z
x = (-1)k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi{k}}{3},k∈Z.
Завдання 7. Розв'яжіть рівняння cos(3x) = \frac{1}{2}.
sin(3x) = \frac{1}{2}
3x = (-1)karcsin\frac{1}{2}+πk,k∈Z
3x = (-1)k\frac{\pi}{6}+πk,k∈Z
x = (-1)k\frac{\pi}{18}+\frac{\pi{k}}{3},k∈Z.
\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi{k}}{3}, k∈Z
(-1)kπ+3πk,k∈Z
±π+6πk,k∈Z
(-1)k\frac{\pi}{9}+\frac{1}{3}\pi{k}, k∈Z
\pm\frac{\pi}{9}+\frac{1}{3}\pi{k}, k∈Z
Показати відповідь
А.
cos(3x) = \frac{1}{2}
3x = ±arccos\frac{1}{2}+2πk, k∈Z
3x = \pm\frac{\pi}{3}+2πk, k∈Z
x = \pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi{k}}{3}, k∈Z.
Завдання 8. Розв'яжіть рівняння 3·\frac{sinx}{cosx} = \sqrt{3}.
cos(3x) = \frac{1}{2}
3x = ±arccos\frac{1}{2}+2πk, k∈Z
3x = \pm\frac{\pi}{3}+2πk, k∈Z
x = \pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi{k}}{3}, k∈Z.
\frac{\pi}{6}+πn,n∈Z
\frac{\pi}{3}+πn,n∈Z
\frac{\pi}{6}+2πn,n∈Z
\pm\frac{\pi}{6}+2πn,n∈Z
\frac{\pi}{9}+\frac{\pi{n}}{3},n∈Z
Показати відповідь
А.
3·\frac{sinx}{cosx} = \sqrt{3}
3tgx = \sqrt{3}
tgx = \frac{\sqrt{3}}{3}
x = arctg\frac{\sqrt{3}}{3}+πn,n∈Z
x = \frac{\pi}{6}+πn,n∈Z.
Завдання 9. Яке з наведених рівнянь не має коренів?
3·\frac{sinx}{cosx} = \sqrt{3}
3tgx = \sqrt{3}
tgx = \frac{\sqrt{3}}{3}
x = arctg\frac{\sqrt{3}}{3}+πn,n∈Z
x = \frac{\pi}{6}+πn,n∈Z.
sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}
tgx = \frac{\sqrt{3}}{2}
ctgx = \frac{-2}{\sqrt{3}}
tgx = \frac{2}{\sqrt{3}}
cosx = \frac{2}{\sqrt{3}}
Показати відповідь
Д.
Оскільки найпростіші тригонометричні рівняння з tgx і ctgx завжди мають корені, то шукаємо відповідь лише в А і Д. Найпростіші тригонометричні рівняння з sinx і cosx мають корені лише тоді, коли число після знака рівності лежить в межах відрізку [-1;1]. Оскільки \sqrt{3} менше за 2, то дріб \frac{\sqrt{3}}{2} менше за одиницю і рівняння А має корені, а дріб \frac{2}{\sqrt{3}} більше за одиницю і рівняння Д не має коренів.
Завдання 10. Задано рівняння:Оскільки найпростіші тригонометричні рівняння з tgx і ctgx завжди мають корені, то шукаємо відповідь лише в А і Д. Найпростіші тригонометричні рівняння з sinx і cosx мають корені лише тоді, коли число після знака рівності лежить в межах відрізку [-1;1]. Оскільки \sqrt{3} менше за 2, то дріб \frac{\sqrt{3}}{2} менше за одиницю і рівняння А має корені, а дріб \frac{2}{\sqrt{3}} більше за одиницю і рівняння Д не має коренів.
log2x-log2(x-2) = 1, (1)
cosx = 1-\sqrt{3}, (2)
|x+2| = -3, (3)
sin(x+\frac{\pi}{3}) = -π. (4)
Укажіть рівняння, яке НЕ МАЄ коренів на множині дійсних чисел.
(1) і (4)
(2) і (3)
(1) і (2)
(3) і (4)
Інша відповідь
Показати відповідь
Г.
1) log2x-log2(x-2) = 1
log2\frac{x}{x-2} = 1
\frac{x}{x-2} = 2
x = 2(x-2)
x = 2x-4
-x = -4
x = 4.
Перевірка log24-log2(4-2) = 2-1 = 1. Отже дане рівняння має корінь.
2) Оскільки \sqrt{3} лежить в межах [1;2], то 1-\sqrt{3} лежить в межах [-1;0]. Тому дане рівняння має корені.
3) Оскільки значення модуля не може бути від'ємним, то дане рівняння не має коренів.
4) Оскільки -π = -3,14, то дане рівняння не має коренів.
Завдання 11. Розв'яжіть рівняння sinx-\sqrt{3}cosx = 0.
1) log2x-log2(x-2) = 1
log2\frac{x}{x-2} = 1
\frac{x}{x-2} = 2
x = 2(x-2)
x = 2x-4
-x = -4
x = 4.
Перевірка log24-log2(4-2) = 2-1 = 1. Отже дане рівняння має корінь.
2) Оскільки \sqrt{3} лежить в межах [1;2], то 1-\sqrt{3} лежить в межах [-1;0]. Тому дане рівняння має корені.
3) Оскільки значення модуля не може бути від'ємним, то дане рівняння не має коренів.
4) Оскільки -π = -3,14, то дане рівняння не має коренів.
\frac{-\pi}{6}+πn,n∈Z
\frac{-\pi}{3}+πn,n∈Z
\frac{\pi}{6}+πn,n∈Z
\frac{\pi}{3}+πn,n∈Z
\frac{\pi}{2}+πn,n∈Z
Показати відповідь
Г.
sinx-\sqrt{3}cosx = 0 |:cosx≠0
tgx-\sqrt{3} = 0
tgx = \sqrt{3}
x = arctg\sqrt{3}+πn,n∈Z
x = \frac{\pi}{3}+πn,n∈Z.
Завдання 12. Розв'яжіть рівняння \frac{2cosx+1}{\sqrt{27+6x-x^2}} = 0. У відповідь запишіть кількість усіх його коренів. Якщо рівняння має безліч коренів, то у відповідь запишіть число 100.
sinx-\sqrt{3}cosx = 0 |:cosx≠0
tgx-\sqrt{3} = 0
tgx = \sqrt{3}
x = arctg\sqrt{3}+πn,n∈Z
x = \frac{\pi}{3}+πn,n∈Z.
Показати відповідь
4.
Знайдемо ОДЗ рівняння. Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тому 27+6x-x2≠0. Так як якщо є корінь парного степеня, то підкореневий вираз повинен бути невід'ємним і 27+6x-x2≥0. Якщо поєднати ці умови, то маємо одну нерівність 27+6x-x2>0. Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння 27+6x-x2 = 0.
D = 62-4·(-1)·27 = 36+108 = 144.
x1 = \frac{-6+\sqrt{144}}{2\cdot(-1)} = \frac{-6+12}{-2} = \frac{6}{-2} = -3
x2 = \frac{-6-\sqrt{144}}{2\cdot(-1)} = \frac{-6-12}{-2} = \frac{-18}{-2} = 9. Отже корені рівняння повинні лежати в межах (-3;9).
Якщо дріб дорівнює 0, то його чисельник дорівнює нулю.
2cosx+1 = 0
2cosx = -1
cosx = -0,5.
x = ±(π-arccos0,5)+2πn,n∈Z
x = ±(π-\frac{\pi}{3})+2πn,n∈Z
x = ±(\frac{3\pi-\pi}{3})+2πn,n∈Z
x = ±(\frac{2\pi}{3})+2πn,n∈Z
З'ясуємо кількість коренів, що лежать в інтервалі (-3;9).
При n = 0 маємо корені x = \pm\frac{2\pi}{3}. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 та -2, які лежать в потрібній межі.
При n = -1 маємо корені x = ±\frac{2\pi}{3}-2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2-6 = -4 та -2-6 = -8, які вже не лежать в потрібній межі.
При n = 1 маємо корені x = ±\frac{2\pi}{3}+2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2+6 = 8 та -2+6 = 4, які лежать в потрібній межі.
При n = 2 маємо корені x = ±\frac{2\pi}{3}+4π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2+12 = 20 та -2+12 = 10, які також не лежать в потрібній межі.
Отже, даній умові задовольняють лише 4 корені.
Знайдемо ОДЗ рівняння. Якщо є дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тому 27+6x-x2≠0. Так як якщо є корінь парного степеня, то підкореневий вираз повинен бути невід'ємним і 27+6x-x2≥0. Якщо поєднати ці умови, то маємо одну нерівність 27+6x-x2>0. Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння 27+6x-x2 = 0.
D = 62-4·(-1)·27 = 36+108 = 144.
x1 = \frac{-6+\sqrt{144}}{2\cdot(-1)} = \frac{-6+12}{-2} = \frac{6}{-2} = -3
x2 = \frac{-6-\sqrt{144}}{2\cdot(-1)} = \frac{-6-12}{-2} = \frac{-18}{-2} = 9. Отже корені рівняння повинні лежати в межах (-3;9).
Якщо дріб дорівнює 0, то його чисельник дорівнює нулю.
2cosx+1 = 0
2cosx = -1
cosx = -0,5.
x = ±(π-arccos0,5)+2πn,n∈Z
x = ±(π-\frac{\pi}{3})+2πn,n∈Z
x = ±(\frac{3\pi-\pi}{3})+2πn,n∈Z
x = ±(\frac{2\pi}{3})+2πn,n∈Z
З'ясуємо кількість коренів, що лежать в інтервалі (-3;9).
При n = 0 маємо корені x = \pm\frac{2\pi}{3}. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2 та -2, які лежать в потрібній межі.
При n = -1 маємо корені x = ±\frac{2\pi}{3}-2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2-6 = -4 та -2-6 = -8, які вже не лежать в потрібній межі.
При n = 1 маємо корені x = ±\frac{2\pi}{3}+2π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2+6 = 8 та -2+6 = 4, які лежать в потрібній межі.
При n = 2 маємо корені x = ±\frac{2\pi}{3}+4π. Взявши значення π приблизно рівним 3, маємо корені 2+12 = 20 та -2+12 = 10, які також не лежать в потрібній межі.
Отже, даній умові задовольняють лише 4 корені.
Коментарі