Ірраціональні рівняння

Ірраціональні рівняння — це рівняння, у яких невідома величина (змінна) знаходиться під знаком кореня або в основі степеня з дробовим показником. Такі задачі часто зустрічаються в інженерних розрахунках, фізиці та при побудові складних геометричних моделей.

Головна особливість ірраціональних рівнянь полягає у необхідності врахування області допустимих значень (ОДЗ). На цій сторінці ми розглянемо базовий алгоритм розв’язання: ізоляцію радикалу та піднесення обох частин рівняння до відповідного степеня. Ви дізнаєтеся, чому перевірка знайдених коренів є обов’язковим етапом і як «сторонні» корені можуть з’явитися навіть при правильних обчисленнях. Наведені завдання допоможуть вам відпрацювати навички, необхідні для успішного складання НМТ.

---

Зазвичай, для розв'язування простих ірраціональних рівнянь, вираз з коренем переносимо в ліву частину, все інше в праву частину рівняння, підносимо до відповідного степеня і розв'язуємо отримане рівняння
Важливо!Не забуваємо в ірраціональних рівняннях робити перевірку

Завдання 1. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \sqrt{x+12} = 3.

[–12; –6)

[–6; 0)

[0; 6)

[6; 12)

[12; +∞)

Показати відповідь

Б.
\sqrt{x+12} = 3. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
(\sqrt{x+12})^2 = 3²
х + 12 = 9
x = 9 - 12
x = - 3. Даний корінь належить проміжку [–6; 0).

Завдання 2. Розв’яжіть рівняння 4\sqrt{x} = 1

\frac{1}{2}

\frac{1}{8}

16

\frac{-1}{2};\frac{1}{2}

\frac{1}{16}

Показати відповідь

Д
4\sqrt{x} = 1
\sqrt{x}=\frac{1}{4}
(\sqrt{x})^2=(\frac{1}{4})^2
x = \frac{1}{16}

Завдання 3. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \sqrt{6-4x} = 4

[-3; -1)

[-1; 0)

[0; 1)

[1; 3)

[3; 6)

Показати відповідь

А.
\sqrt{6-4x} = 4. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
(\sqrt{6-4x})^2 = 4² 6 - 4x = 16
- 4x = 16 - 6
- 4х = 10
x = 10 : (-4)
x = - 2,5
Так як -3 < -2,5 < -1, то корінь рівняння належить проміжку [-3; -1).

Завдання 4. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння \sqrt{1-x} = 4

(-20; -10)

(-10; -5)

(-5; 5)

(5; 10)

(10; 20)

Показати відповідь

А.
\sqrt{1-x} = 4. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
(\sqrt{1-x})^2 = 4²
1 - x = 16
- x = 16 - 1
- х = 15
x = - 15
Так як -20 < -15 < -10, то корінь рівняння належить проміжку (-20; -10).

Завдання 5. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння \sqrt[3]{2x} = -3?

(-30; -20)

(-20; -10)

(-10; 0)

(0; 10)

(10; 20)

Показати відповідь

Б.
\sqrt[3]{2x} = -3.Піднесемо до куба ліву та праву частину рівняння.
(\sqrt[3]{2x})^3 = (-3)³2x = - 27
x = - 27 : 2
x = - 13,5
Так як -20 < - 13,5 < -10, то корінь рівняння належить проміжку (-20; -10).

Завдання 6. Розв’яжіть рівняння x-5+\sqrt{2x^2-14x+13} = 0. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.

Показати відповідь

-2.
x-5+\sqrt{2x^2-14x+13} = 0
\sqrt{2x^2-14x+13} = 5 - x
(\sqrt{2x^2-14x+13})^2 = (5 - x)²
2x² - 14x + 13 = (5 - x)²
2x² - 14x + 13 = 5² - 2 · 5 · x + x²
2x² - 14x + 13 = 25 - 10x + x²
2x² - 14x + 13 - 25 + 10x - x² = 0
x² - 4x -12 = 0
D = (-4)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-12) = 16 + 48 = 64.
x_1 = \frac{4-\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{4-8}{2}=\frac{-4}{2}=-2
x_2 = \frac{4+\sqrt{64}}{2\cdot1}=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = - 2 маємо:
-2-5+\sqrt{2\cdot(-2)^2-14\cdot(-2)+13}=-7+\sqrt{8+28+13}=-7+\sqrt{49}=-7 + 7 = 0
Отже х = -2 є коренем рівняння.
При х = 6 маємо:
6-5+\sqrt{2\cdot6^2-14\cdot6+13}=1+\sqrt{71-84+13}=1+\sqrt{1}=1+1 ≠ 0
Отже, х = 6 сторонній корінь.

Завдання 7. Розв’яжіть рівняння \sqrt{x-2}\sqrt{2x+1} = \sqrt{3}. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповіді зазначте добуток усіх коренів. Якщо рівняння не має коренів, то у відповіді запишіть число 100.

Показати відповідь

2,5.
\sqrt{x-2}\sqrt{2x+1} = \sqrt{3}
(\sqrt{x-2}\sqrt{2x+1})^2 = (\sqrt{3})^2
(х - 2)(2х + 1) = 3
х · 2x + х · 1 - 2 · 2х - 2 · 1 = 3
2x² + х - 4х - 2 = 3
2x² + х - 4х - 2 - 3 = 0
2x² - 3х - 5 = 0
D = (-3)² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-5) = 9 + 40 = 49.
x_1 = \frac{3-\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{3-7}{4}=\frac{-4}{4}=-1
x_2 = \frac{3+\sqrt{49}}{2\cdot2}=\frac{3+7}{4}=\frac{10}{4}=2,5
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = -1 маємо:
\sqrt{-1-2}\sqrt{2\cdot(-1)+1} = \sqrt{3} Так як квадратного кореня з від'ємного числа не існує, то х = -1 сторонній корінь рівняння.
При х = 2,5 маємо:
\sqrt{2,5-2}\sqrt{2\cdot2,5+1} = \sqrt{0,5}\sqrt{6}=\sqrt{0,5\cdot6}=\sqrt{3}
Отже, х = 2,5 є коренем.

Завдання 8. Розв’яжіть рівняння \sqrt{x^2-x-6} = \sqrt{-2x}. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповідь їх добуток.

Показати відповідь

-3.
\sqrt{x^2-x-6} = \sqrt{-2x}
(\sqrt{x^2-x-6})^2 = (\sqrt{-2x})^2
x² - x - 6 = - 2x
x² - x - 6 + 2x = 0
x² + х - 6 = 0
D = 1² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-6) = 1 + 24 = 25
x_1 = \frac{-1-\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}=-3
x_2 = \frac{-1+\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}=2
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = -3 маємо:
\sqrt{(-3)^2-(-3)-6} = \sqrt{-2\cdot(-3)}
\sqrt{9+3-6} = \sqrt{6}
\sqrt{6} = \sqrt{6}
х = -3 є коренем рівняння.
При х = 2 маємо
\sqrt{2^2-2-6} = \sqrt{-2\cdot2}
\sqrt{4-2-6} = \sqrt{-4}
Так як квадратного кореня з від'ємного числа не існує, то х = 2 сторонній корінь рівняння.

⇐ ІІ.1.
Лінійні, квадратні, дробово-раціональні рівняння До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.3.
Тригонометричні рівняння ⇒