Ірраціональні рівняння — це рівняння, у яких невідома величина (змінна) знаходиться під знаком кореня або в основі степеня з дробовим показником. Такі задачі часто зустрічаються в інженерних розрахунках, фізиці та при побудові складних геометричних моделей.
Головна особливість ірраціональних рівнянь полягає у необхідності врахування області допустимих значень (ОДЗ). На цій сторінці ми розглянемо базовий алгоритм розв’язання: ізоляцію радикалу та піднесення обох частин рівняння до відповідного степеня. Ви дізнаєтеся, чому перевірка знайдених коренів є обов’язковим етапом і як «сторонні» корені можуть з’явитися навіть при правильних обчисленнях. Наведені завдання допоможуть вам відпрацювати навички, необхідні для успішного складання НМТ.
Зазвичай, для розв'язування простих ірраціональних рівнянь, вираз з коренем переносимо в ліву частину, все інше в праву частину рівняння, підносимо до відповідного степеня і розв'язуємо отримане рівняння
Важливо! Не забуваємо в ірраціональних рівняннях робити перевірку
Завдання 1. Період T електромагнітних коливань у коливальному контурі, що складається з послідовно з’єднаних конденсатора ємністю С й котушки з індуктивністю L, обчислюють за формулою Томсона T = 2π√LC. Визначте із цієї формули індуктивність L.
Важливо! Не забуваємо в ірраціональних рівняннях робити перевірку
L = T2πC
L = 2πCT
L = TC2π
L = 4π²CT²
L = T²4π²C
Показати відповідь
Д.
T = 2π√LC
T² = 4π²LC
L = T²4π²C.
Завдання 2. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння х³ = -0,027.
T = 2π√LC
T² = 4π²LC
L = T²4π²C.
(-9; -0,5)
(-0,5; -0,25)
(-0,25; 0)
(0; 0,25)
(0,25; 9)
Показати відповідь
Б.
З рівняння х³ = - 0,027 маємо х = 3√-0,027 = -0,3. Так як -0,3 більше за -0,5 та менше за -0,25, то корінь належить проміжку (-0,5; -0,25).
Завдання 3. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння √x + 12 = 3.
З рівняння х³ = - 0,027 маємо х = 3√-0,027 = -0,3. Так як -0,3 більше за -0,5 та менше за -0,25, то корінь належить проміжку (-0,5; -0,25).
[–12; –6)
[–6; 0)
[0; 6)
[6; 12)
[12; +∞)
Показати відповідь
Б.
√x + 12 = 3. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
x + 12 = 3²
х + 12 = 9
x = 9 - 12
x = -3. Даний корінь належить проміжку [–6; 0).
Завдання 4. Розв’яжіть рівняння 4√x = 1.
√x + 12 = 3. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
x + 12 = 3²
х + 12 = 9
x = 9 - 12
x = -3. Даний корінь належить проміжку [–6; 0).
12
18
16
-12; 12
116
Показати відповідь
Д.
4√x = 1
√x = ¼
(√x)² = (¼)²
x = 116
Завдання 5. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння √6 - 4x = 4
4√x = 1
√x = ¼
(√x)² = (¼)²
x = 116
[-3; -1)
[-1; 0)
[0; 1)
[1; 3)
[3; 6)
Показати відповідь
А.
√6 - 4x = 4. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
(√6 - 4x)² = 4²
6 - 4x = 16
-4x = 16 - 6
-4х = 10
x = 10 : (-4)
x = -2,5
Оскільки -3 < -2,5 < -1, то корінь рівняння належить проміжку [-3; -1).
Завдання 6. Укажіть проміжок, якому належить корінь рівняння √1 - x = 4
√6 - 4x = 4. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
(√6 - 4x)² = 4²
6 - 4x = 16
-4x = 16 - 6
-4х = 10
x = 10 : (-4)
x = -2,5
Оскільки -3 < -2,5 < -1, то корінь рівняння належить проміжку [-3; -1).
(-20; -10)
(-10; -5)
(-5; 5)
(5; 10)
(10; 20)
Показати відповідь
А.
√1 - x = 4. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
(√1 - x)² = 4²
1 - x = 16
-x = 16 - 1
-х = 15
x = -15
Оскільки -20 < -15 < -10, то корінь рівняння належить проміжку (-20; -10).
Завдання 7. Якому з наведених проміжків належить корінь рівняння 3√2x = -3?
√1 - x = 4. Піднесемо до квадрату ліву та праву частину рівняння.
(√1 - x)² = 4²
1 - x = 16
-x = 16 - 1
-х = 15
x = -15
Оскільки -20 < -15 < -10, то корінь рівняння належить проміжку (-20; -10).
(-30; -20)
(-20; -10)
(-10; 0)
(0; 10)
(10; 20)
Показати відповідь
Б.
3√2x = -3. Піднесемо до куба ліву та праву частину рівняння.
(3√2x)³ = (-3)³
2x = -27
x = -27 : 2
x = -13,5
Оскільки -20 < -13,5 < -10, то корінь рівняння належить проміжку (-20; -10).
Завдання 8. Розв’яжіть рівняння x - 5 + √2x² - 14x + 13 = 0. Якщо рівняння має кілька коренів, то у відповідь запишіть їх добуток.
3√2x = -3. Піднесемо до куба ліву та праву частину рівняння.
(3√2x)³ = (-3)³
2x = -27
x = -27 : 2
x = -13,5
Оскільки -20 < -13,5 < -10, то корінь рівняння належить проміжку (-20; -10).
Показати відповідь
-2.
x - 5 + √2x² - 14x + 13 = 0
√2x² - 14x + 13 = 5 - x
(√2x² - 14x + 13)² = (5 - x)²
2x² - 14x + 13 = (5 - x)²
2x² - 14x + 13 = 5² - 2 · 5 · x + x²
2x² - 14x + 13 = 25 - 10x + x²
2x² - 14x + 13 - 25 + 10x - x² = 0
x² - 4x -12 = 0
D = (-4)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-12) = 16 + 48 = 64.
x₁ = 4 - √642 · 1 = 4 - 82 = -42 = - 2
x₂ = 4 + √642 · 1 = 4 + 82 = 122 = 6
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = - 2 маємо:
-2 - 5 + √2 · (-2)² - 14 · (-2) + 13 = -7 + √8 + 28 + 13 = -7 + √49 = -7 + 7 = 0
Отже, х = -2 є коренем рівняння.
При х = 6 маємо:
6 - 5 + √2 · 6² - 14 · 6 + 13 = 1 + √72 - 84 + 13 = 1 + √1 = 1 + 1 = 2 ≠ 0
Отже, х = 6 сторонній корінь.
Завдання 9. Розв’яжіть рівняння √x - 2√2x + 1 = √3. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповіді зазначте добуток усіх коренів. Якщо рівняння не має коренів, то у відповіді запишіть число 100.
x - 5 + √2x² - 14x + 13 = 0
√2x² - 14x + 13 = 5 - x
(√2x² - 14x + 13)² = (5 - x)²
2x² - 14x + 13 = (5 - x)²
2x² - 14x + 13 = 5² - 2 · 5 · x + x²
2x² - 14x + 13 = 25 - 10x + x²
2x² - 14x + 13 - 25 + 10x - x² = 0
x² - 4x -12 = 0
D = (-4)² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-12) = 16 + 48 = 64.
x₁ = 4 - √642 · 1 = 4 - 82 = -42 = - 2
x₂ = 4 + √642 · 1 = 4 + 82 = 122 = 6
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = - 2 маємо:
-2 - 5 + √2 · (-2)² - 14 · (-2) + 13 = -7 + √8 + 28 + 13 = -7 + √49 = -7 + 7 = 0
Отже, х = -2 є коренем рівняння.
При х = 6 маємо:
6 - 5 + √2 · 6² - 14 · 6 + 13 = 1 + √72 - 84 + 13 = 1 + √1 = 1 + 1 = 2 ≠ 0
Отже, х = 6 сторонній корінь.
Показати відповідь
2,5.
√x - 2√2x + 1 = √3
(√x - 2√2x + 1)² = (√3)²
(х - 2)(2х + 1) = 3
х · 2x + х · 1 - 2 · 2х - 2 · 1 = 3
2x² + х - 4х - 2 = 3
2x² + х - 4х - 2 - 3 = 0
2x² - 3х - 5 = 0
D = (-3)² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-5) = 9 + 40 = 49.
x₁ = 3 - √492 · 2 = 3 - 74 = -44 = - 1
x₂ = 3 + √492 · 2 = 3 + 74 = 104 = 2,5
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = -1 маємо:
√-1 - 2√2 · (-1) + 1 = √-3√-1
Так як квадратного кореня з від'ємного числа не існує, то х = -1 сторонній корінь рівняння.
При х = 2,5 маємо:
√2,5 - 2√2 · 2,5 + 1 = √0,5√6 = √3
Отже, х = 2,5 є коренем.
Завдання 10. Розв’яжіть рівняння √x² - x - 6 = √-2x. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має кілька коренів, запишіть у відповідь їх добуток.
√x - 2√2x + 1 = √3
(√x - 2√2x + 1)² = (√3)²
(х - 2)(2х + 1) = 3
х · 2x + х · 1 - 2 · 2х - 2 · 1 = 3
2x² + х - 4х - 2 = 3
2x² + х - 4х - 2 - 3 = 0
2x² - 3х - 5 = 0
D = (-3)² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-5) = 9 + 40 = 49.
x₁ = 3 - √492 · 2 = 3 - 74 = -44 = - 1
x₂ = 3 + √492 · 2 = 3 + 74 = 104 = 2,5
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = -1 маємо:
√-1 - 2√2 · (-1) + 1 = √-3√-1
Так як квадратного кореня з від'ємного числа не існує, то х = -1 сторонній корінь рівняння.
При х = 2,5 маємо:
√2,5 - 2√2 · 2,5 + 1 = √0,5√6 = √3
Отже, х = 2,5 є коренем.
Показати відповідь
-3.
√x² - x - 6 = √-2x
(√x² - x - 6)² = (√-2x)²
x² - x - 6 = - 2x
x² - x - 6 + 2x = 0
x² + х - 6 = 0
D = 1² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-6) = 1 + 24 = 25
x₁ = -1 - √252 · 1 = -1 - 52 = -62 = - 3
x₂ = -1 + √252 · 1 = -1 + 52 = 42 = 2
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = -3 маємо:
√(-3)² - (-3) - 6 = √-2 ⋅ (-3)
√9 + 3 - 6 = √6
√6 = √6
Отже, х = -3 є коренем рівняння.
При х = 2 маємо
√2² - 2 - 6 = √-2 ⋅ 2
√4 - 2 - 6 = √-4
Так як квадратного кореня з від'ємного числа не існує, то х = 2 сторонній корінь рівняння.
√x² - x - 6 = √-2x
(√x² - x - 6)² = (√-2x)²
x² - x - 6 = - 2x
x² - x - 6 + 2x = 0
x² + х - 6 = 0
D = 1² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-6) = 1 + 24 = 25
x₁ = -1 - √252 · 1 = -1 - 52 = -62 = - 3
x₂ = -1 + √252 · 1 = -1 + 52 = 42 = 2
Перевіримо ці корені, підставивши їх в умову.
При х = -3 маємо:
√(-3)² - (-3) - 6 = √-2 ⋅ (-3)
√9 + 3 - 6 = √6
√6 = √6
Отже, х = -3 є коренем рівняння.
При х = 2 маємо
√2² - 2 - 6 = √-2 ⋅ 2
√4 - 2 - 6 = √-4
Так як квадратного кореня з від'ємного числа не існує, то х = 2 сторонній корінь рівняння.
Коментарі