Перейти до основного вмісту

Призма (паралелепіпед, куб) та її елементи

Призма та її види — це центральна тема розділу многогранників, яка вимагає розуміння властивостей паралельності та перпендикулярності у просторі. Вивчення призм починається з базових понять: вершин, ребер та граней, і веде до складніших об’єктів, таких як прямокутні паралелепіпеди та куби.

На цій сторінці представлено повний тренажер для підготовки до НМТ. Ми розберемося, як відрізнити розгортку трикутної призми від піраміди, як знаходити кути між мимобіжними діагоналями куба та як обчислювати висоту призми за площею її перерізу.

    Призма:
    • у n-кутної призми 2n вершин, n+2 граней, 3n ребер
    • бічні грані призми - паралелограми, а прямої призми - прямокутники
    Види призм:
    • пряма - ребра призми перпендикулярні до основи
    • правильна призма - пряма призма, в основі якої лежить правильний багатокутник
    • паралелепіпед - призма, в основі якої лежить паралелограм
    • прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, всі грані якого прямокутники
    • куб - прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні
  1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

    Трикутна призма, Triangular prysm
    чотирикутна піраміда, Square pyramid
    трикутна піраміда, Triangular pyramid
    прямокутний паралелепіпед, Rectangular prism
    п'ятикутна призма, Pentagonal prism
    Показати відповідь
    А.
    Маємо два однакових трикутника - основи і 3 прямокутника - бічні грані, тому наведено розгортку трикутної призми.
  2. На рисунку зображено прямокутник і трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює 38 см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює 11 см.

    АБВГД
    16\sqrt{3} см2 32\sqrt{3} см2 24 см2 64 см2 24\sqrt{3} см2
    Показати відповідь
    А.
    Так як маємо трикутну призму, то трикутник - це основа, а прямокутник - бічна грань призми. Тоді одна зі сторін прямокутника - висота довжиною 11 см, а друга - сторона основи. За формулою периметра прямокутника P=2(a+b) маємо:
    38=2(а+11)
    а+11=38:2
    а+11=19
    a=8.
    Площа основи S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3} см2.
  3. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 72 см. Визначте довжину одного ребра цього куба.
    АБВГД
    6 см 8 см 9 см 12 см 18 см
    Показати відповідь
    А.
    У куба всього 12 ребер. Тому довжина одного ребра 72:12=6 см.
  4. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Визначте градусну міру кута між прямими АВ1 і DD1.

    АБВГД
    0o 30o 45o 60o 90o
    Показати відповідь
    В.
    Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АА1||DD1, то кут між прямими АВ1 і DD1 дорівнює куту між прямими АВ1 і АА1. Так як ABCDA1B1C1D1 куб, то AA1B1В - квадрат, а в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45o.
  5. Площа однієї грані куба дорівнює 12 см2. Визначте довжину діагоналі куба.
    АБВГД
    6 см 3\sqrt{3} см 2\sqrt{6} см 3\sqrt{2} см 8 см
    Показати відповідь
    А.
    Нехай сторона куба дорівнює х. Тоді за умовою х2=12 (площа грані куба дорівнює квадрату сторони). Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Відповідно для куба маємо АС12=AD2+DC2+CC12=х2+х2+х2=12+12+12=36 см2. Тоді діагональ куба дорівнює 6 см.
  6. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює 40 см2. Периметр основи призми дорівнює 20\sqrt{2} см. Визначте висоту призми.
    АБВГД
    \sqrt{2} см 2\sqrt{2} см 4 см 1 см 2 см
    Показати відповідь
    В.

    Так як призма правильна чотирикутна, то в основі призми лежить квадрат. Так як у квадрата всі сторони рівні, то сторона АВ квадрата дорівнює Р:4=20\sqrt{2}:4=5\sqrt{2}. Діагональним перерізом призми є прямокутник АА1С1С. Знайдемо його сторону АС. Так як діагональ квадрата зі стороною а можна знайти за формулою d=a\sqrt{2}, то АС=5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=5⋅2=10 см. Так як діагональний переріз прямокутник, то його площа дорівнює добутку його сторін. Тоді SАА1С1С=AA1⋅AC. Звідси AA1=40:10=4 см.
  7. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнює 60 см. Визначте суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.
    АБВГ
    360 см 240 см 180 см 120 см
    Показати відповідь
    Б.
    Так як у прямокутного паралелепіпеда 3 групи однакових ребер по 4, а з однієї вершини виходить по одному ребру з кожної групи, то сума довжин усіх ребер паралелепіпеда 60⋅4=240 см.
  8. Сума довжин усіх бічних ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 120 см. Визначте довжину його висоти.
    АБВГД
    15 см 30 см 40 см 60 см 10 см
    Показати відповідь
    Б.
    Так як у прямокутного паралелепіпеда 4 однакових бічних ребра, то довжина одного дорівнює 120:4=30 см. Так як у прямокутного паралелепіпеда довжина висоти співпадає з довжиною бічного ребра, то довжина висоти дорівнює 30 см.
  9. Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см, 4 см.
    АБВГД
    \sqrt{29} см 9 см \sqrt{13} см 5 см 2\sqrt{5} см
    Показати відповідь
    А.
    Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Маємо d2=22+32+42=4+9+16=29. Тоді діагональ паралелепіпеда дорівнює \sqrt{29} см.
  10. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якому АВ = 3, AD = 4, AA1=2. Увідповідніть початок речення (1-3) так, щоб утворилося правильне речення.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Відстань від точки С до площини (АA1В1) дорівнює
    2 Відстань від точки А до прямої СC1 дорівнює
    3 Відстань між площинами (АВС) і (A1B1C1) дорівнює    		 А 2
    Б 3
    В 4
    Г 5
    Д 7
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-А.
    1) Відстанню від точки С до площини (АA1В1) є відрізок СВ, який дорівнює АD і дорівнює 4.
    2) Відстанню від точки А до прямої СC1 є відрізок АС, який з прямокутного трикутника ADC можна знайти за теоремою Піфагора (використовуючи "єгипетський" трикутник одразу маємо АС=5).
    3) Відстанню між площинами (АВС) і (A1B1C1) є відрізок AA1=2.
  11. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1, ребро якого дорівнює 2. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Довжина діагоналі куба дорівнює
    2 Відстань від точки А до прямої А1С1 дорівнює
    3 Відстань від точки А до площини (BB1D1) дорівнює    		 А 2
    Б 2\sqrt{2}
    В 2\sqrt{3}
    Г \sqrt{3}
    Д \sqrt{2}
    Показати відповідь
    1-В, 2-А, 3-Д.
    1) Довжина діагоналі куба зі стороною а дорівнює a\sqrt{3}, тому маємо довжину 2\sqrt{3}.
    2) Відстанню від точки А до прямої A1C1 є відрізок АA1, який дорівнює 2.
    3) Відстанню від точки А до площини (BB1D1) є довжина перпендикуляра, проведеного з точки А до BD. Так як основа - квадрат, то цей перпендикуляр є половиною діагоналі квадрата основи. Діагональ квадрата з основою 2 дорівнює 2\sqrt{2}, а її половина - \sqrt{2}.
  12. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Установіть відповідність між заданими кутами (1-4) та їхніми градусними мірами (А-Д).

    Кут Градусна міра кута
    1 кут між прямими АА1 і DC1
    2 кут між прямими BD і A1C1
    3 кут між прямими АB1 і A1D
    4 кут між прямими BB1 і DD1    		 А 0o
    Б 30o
    В 45o
    Г 60o
    Д 90o
    Відповідь
    1-В, 2-Д, 3-Г, 4-А.
    1) Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АB1||DC1, то кут між прямими АA1 і DC1 дорівнює куту між прямими АA1 і АB1. А в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45o.
    2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A1C1||АС, то кут між прямими BD і A1C1 дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90o.
    3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ1||DC1, то кут між прямими АB1 і A1D дорівнює куту між прямими DC1 і A1D. Трикутник DA1C1 є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60o.
    4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0o.
  13. На рисунках (1-4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1-4) та назвою фігури (А-Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три точки.

    Рисунок Переріз
    1 рис. 1
    2 рис. 2
    3 рис. 3
    4 рис. 4    		 А трикутник
    Б прямокутник
    В трапеція
    Г п’ятикутник
    Д ромб
    Показати відповідь
    1-В, 2-А, 3-Д, 4-Б.
    1) Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АB1||DC1, то кут між прямими АA1 і DC1 дорівнює куту між прямими АA1 і АB1. А в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45o.
    2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A1C1||АС, то кут між прямими BD і A1C1 дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90o.
    3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ1||DC1, то кут між прямими АB1 і A1D дорівнює куту між прямими DC1 і A1D. Трикутник DA1C1 є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60o.
    4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0o.
  14. Основою прямої чотирикутної призми ABCDA1B1C1D1 є прямокутник зі сторонами 4 см і 4\sqrt{3}см. Площина, що проходить через вершини А, В1 і С призми, утворює з площиною її основи кут 60o. Визначте висоту призми (у см).
    Показати відповідь
    6.

    Оскільки ABCD - прямокутник, то АС є гіпотенузою прямокутного трикутника АВС і її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо АС2=AB2+ВС2=16⋅3+16=48+16=64. Звідси АС=8 см. Проведемо в трикутнику АВС висоту ВО. Тоді за теоремою про три перпендикуляри відрізок В1О також перпендикулярний до відрізка АС і кут ВОВ1 дорівнює 60o. Знайдемо ВО. Так як ВО - перпендикуляр, проведений з прямого кута, то ВС2=AC⋅OC. Підставимо відомі значення і отримаємо 16=8⋅OC. Звідси ОС=16:8=2 см. Тоді з прямокутного трикутника ОВС за теоремою Піфагора ВО2=ВС2-ОС2=16-4=12. Звідси ОВ=\sqrt{12}=2\sqrt{3}. З прямокутного трикутника ВОВ1 ВВ1=OВtg60o=2\sqrt{3}\sqrt{3}=2⋅3=6 см.
  15. На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.

    Показати відповідь
    6.
    Якщо скласти цю розгортку, то отримаємо трикутну призму. Відповідно маємо 3⋅2=6 вершин.
⇐VI.1.
Взаємне розміщення прямих і площин у просторі		 До змісту ⇒VІ.3.
Піраміда та її елементи

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
15 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках. На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ. Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме ( Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності ...
Дописати коментар
Read more »

Площі фігур

Площі фігур — це одна з центральних тем планіметрії, яка вимагає не лише знання формул, а й уміння бачити приховані зв'язки між елементами фігур. Розуміння того, як площа залежить від висот, кутів та радіусів описаних і вписаних кіл, дозволяє розв'язувати найскладніші задачі НМТ, де декілька фігур комбінуються в одну систему. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви навчитеся застосовувати формулу Герона, знаходити площі через діагоналі та використовувати властивості подібних фігур. Тут зібрано все: від базових трикутників до складних комбінацій прямокутників із секторами та колами. Площі фігур Площа трикутника : S=0,5absinα (Площа трикутника дорівнює половині добутку двох сторін на синус кута між ними) S=0,5ah a (Площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони) S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} , p=(a+b+c):2 (Формула Герона) S= \frac{abc}{4R} (R-радіус описаного кола) S=pr (r-радіус вписаного кола) Площа п...
Дописати коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар