Призма та її види — це центральна тема розділу многогранників, яка вимагає розуміння властивостей паралельності та перпендикулярності у просторі. Вивчення призм починається з базових понять: вершин, ребер та граней, і веде до складніших об’єктів, таких як прямокутні паралелепіпеди та куби.
На цій сторінці представлено повний тренажер для підготовки до НМТ. Ми розберемося, як відрізнити розгортку трикутної призми від піраміди, як знаходити кути між мимобіжними діагоналями куба та як обчислювати висоту призми за площею її перерізу.
Призма:
Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?
- у n-кутної призми 2n вершин, n + 2 граней, 3n ребер
- бічні грані призми - паралелограми, а прямої призми - прямокутники
- пряма - ребра призми перпендикулярні до основи
- правильна призма - пряма призма, в основі якої лежить правильний багатокутник
- паралелепіпед - призма, в основі якої лежить паралелограм
- прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, всі грані якого прямокутники
- куб - прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні
Показати відповідь
А.
Маємо два однакових трикутника - основи і 3 прямокутника - бічні грані, тому наведено розгортку трикутної призми.
Завдання 2. На рисунку зображено прямокутник і трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює 38 см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює 11 см.
Маємо два однакових трикутника - основи і 3 прямокутника - бічні грані, тому наведено розгортку трикутної призми.
16\sqrt{3} см²
32\sqrt{3} см²
24 см²
64 см²
24\sqrt{3} см²
Показати відповідь
А.
Так як маємо трикутну призму, то трикутник - це основа, а прямокутник - бічна грань призми. Тоді одна зі сторін прямокутника - висота довжиною 11 см, а друга - сторона основи. За формулою периметра прямокутника P = 2(a + b) маємо:
38 = 2(а + 11)
а + 11 = 38:2
а + 11 = 19
a = 8.
Площа основи S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} см².
Завдання 3. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 72 см. Визначте довжину одного ребра цього куба.
Так як маємо трикутну призму, то трикутник - це основа, а прямокутник - бічна грань призми. Тоді одна зі сторін прямокутника - висота довжиною 11 см, а друга - сторона основи. За формулою периметра прямокутника P = 2(a + b) маємо:
38 = 2(а + 11)
а + 11 = 38:2
а + 11 = 19
a = 8.
Площа основи S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} см².
6 см
8 см
9 см
12 см
18 см
Показати відповідь
А.
У куба всього 12 ребер. Тому довжина одного ребра 72:12 = 6 см.
Завдання 4. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Визначте градусну міру кута між прямими АВ₁ і DD₁.
У куба всього 12 ребер. Тому довжина одного ребра 72:12 = 6 см.
0°
30°
45°
60°
90°
Показати відповідь
В.
Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АА₁||DD₁, то кут між прямими АВ₁ і DD₁ дорівнює куту між прямими АВ₁ і АА₁. Так як ABCDA₁B₁C₁D₁ куб, то AA₁B₁В - квадрат, а в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45°.
Завдання 5. Площа однієї грані куба дорівнює 12 см². Визначте довжину діагоналі куба.
Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АА₁||DD₁, то кут між прямими АВ₁ і DD₁ дорівнює куту між прямими АВ₁ і АА₁. Так як ABCDA₁B₁C₁D₁ куб, то AA₁B₁В - квадрат, а в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45°.
6 см
3\sqrt{3} см
2\sqrt{6} см
3\sqrt{2} см
8 см
Показати відповідь
А.
Нехай сторона куба дорівнює х. Тоді за умовою х² = 12 (площа грані куба дорівнює квадрату сторони). Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Відповідно для куба маємо АС₁² = AD² + DC² + CC₁² = х² + х² + х² = 12 + 12 + 12 = 36 см². Тоді діагональ куба дорівнює 6 см.
Завдання 6. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює 40 см². Периметр основи призми дорівнює 20\sqrt{2} см. Визначте висоту призми.
Нехай сторона куба дорівнює х. Тоді за умовою х² = 12 (площа грані куба дорівнює квадрату сторони). Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Відповідно для куба маємо АС₁² = AD² + DC² + CC₁² = х² + х² + х² = 12 + 12 + 12 = 36 см². Тоді діагональ куба дорівнює 6 см.
\sqrt{2} см
2\sqrt{2} см
4 см
1 см
2 см
Показати відповідь
В.
Так як призма правильна чотирикутна, то в основі призми лежить квадрат. Так як у квадрата всі сторони рівні, то сторона АВ квадрата дорівнює Р:4 = 20\sqrt{2}:4 = 5\sqrt{2}. Діагональним перерізом призми є прямокутник АА₁С₁С. Знайдемо його сторону АС. Так як діагональ квадрата зі стороною а можна знайти за формулою d = a\sqrt{2}, то АС = 5\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 5 · 2 = 10 см. Так як діагональний переріз прямокутник, то його площа дорівнює добутку його сторін. Тоді SАА₁С₁С = AA₁ · AC. Звідси AA₁ = 40:10 = 4 см.
Завдання 7. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнює 60 см. Визначте суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.
360 см
240 см
180 см
120 см
Показати відповідь
Б.
Так як у прямокутного паралелепіпеда 3 групи однакових ребер по 4, а з однієї вершини виходить по одному ребру з кожної групи, то сума довжин усіх ребер паралелепіпеда 60 · 4 = 240 см.
Завдання 8. Сума довжин усіх бічних ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 120 см. Визначте довжину його висоти.
Так як у прямокутного паралелепіпеда 3 групи однакових ребер по 4, а з однієї вершини виходить по одному ребру з кожної групи, то сума довжин усіх ребер паралелепіпеда 60 · 4 = 240 см.
15 см
30 см
40 см
60 см
10 см
Показати відповідь
Б.
Так як у прямокутного паралелепіпеда 4 однакових бічних ребра, то довжина одного дорівнює 120:4 = 30 см. Так як у прямокутного паралелепіпеда довжина висоти дорівнює довжині бічного ребра, то довжина висоти дорівнює 30 см.
Завдання 9. Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см, 4 см.
Так як у прямокутного паралелепіпеда 4 однакових бічних ребра, то довжина одного дорівнює 120:4 = 30 см. Так як у прямокутного паралелепіпеда довжина висоти дорівнює довжині бічного ребра, то довжина висоти дорівнює 30 см.
\sqrt{29} см
9 см
\sqrt{13} см
5 см
2\sqrt{5} см
Показати відповідь
А.
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Маємо d² = 2² + 3² + 4² = 4 + 9 + 16 = 29. Тоді діагональ паралелепіпеда дорівнює \sqrt{29} см.
Завдання 10. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁, у якому АВ = 3, AD = 4, AA₁ = 2. Увідповідніть початок речення (1-3) так, щоб утворилося правильне речення.
Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Маємо d² = 2² + 3² + 4² = 4 + 9 + 16 = 29. Тоді діагональ паралелепіпеда дорівнює \sqrt{29} см.
1 Відстань від точки С до площини (АA₁В₁) дорівнює
2 Відстань від точки А до прямої СC₁ дорівнює
3 Відстань між площинами (АВС) і (A₁B₁C₁) дорівнює
2 Відстань від точки А до прямої СC₁ дорівнює
3 Відстань між площинами (АВС) і (A₁B₁C₁) дорівнює
А 2
Б 3
В 4
Г 5
Д 7
Б 3
В 4
Г 5
Д 7
Показати відповідь
1-В, 2-Г, 3-А.
1) Відстанню від точки С до площини (АA₁В₁) є відрізок СВ, який дорівнює АD і дорівнює 4.
2) Відстанню від точки А до прямої СC₁ є відрізок АС, який з прямокутного трикутника ADC можна знайти за теоремою Піфагора (використовуючи "єгипетський" трикутник одразу маємо АС = 5).
3) Відстанню між площинами (АВС) і (A₁B₁C₁) є відрізок AA₁ = 2.
Завдання 11. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро якого дорівнює 2. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Відстанню від точки С до площини (АA₁В₁) є відрізок СВ, який дорівнює АD і дорівнює 4.
2) Відстанню від точки А до прямої СC₁ є відрізок АС, який з прямокутного трикутника ADC можна знайти за теоремою Піфагора (використовуючи "єгипетський" трикутник одразу маємо АС = 5).
3) Відстанню між площинами (АВС) і (A₁B₁C₁) є відрізок AA₁ = 2.
1 Довжина діагоналі куба дорівнює
2 Відстань від точки А до прямої А₁С₁ дорівнює
3 Відстань від точки А до площини (BB₁D₁) дорівнює
2 Відстань від точки А до прямої А₁С₁ дорівнює
3 Відстань від точки А до площини (BB₁D₁) дорівнює
А 2
Б 2\sqrt{2}
В 2\sqrt{3}
Г \sqrt{3}
Д \sqrt{2}
Б 2\sqrt{2}
В 2\sqrt{3}
Г \sqrt{3}
Д \sqrt{2}
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Д.
1) Довжина діагоналі куба зі стороною а дорівнює a\sqrt{3}, тому маємо довжину 2\sqrt{3}.
2) Відстанню від точки А до прямої A₁C₁ є відрізок АA₁, який дорівнює 2.
3) Відстанню від точки А до площини (BB₁D₁) є довжина перпендикуляра, проведеного з точки А до BD. Так як основа - квадрат, то цей перпендикуляр є половиною діагоналі квадрата основи. Діагональ квадрата з основою 2 дорівнює 2\sqrt{2}, а її половина - \sqrt{2}.
Завдання 12. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між заданими кутами (1-4) та їхніми градусними мірами (А-Д).
1) Довжина діагоналі куба зі стороною а дорівнює a\sqrt{3}, тому маємо довжину 2\sqrt{3}.
2) Відстанню від точки А до прямої A₁C₁ є відрізок АA₁, який дорівнює 2.
3) Відстанню від точки А до площини (BB₁D₁) є довжина перпендикуляра, проведеного з точки А до BD. Так як основа - квадрат, то цей перпендикуляр є половиною діагоналі квадрата основи. Діагональ квадрата з основою 2 дорівнює 2\sqrt{2}, а її половина - \sqrt{2}.
1 кут між прямими АА₁ і DC₁
2 кут між прямими BD і A₁C₁
3 кут між прямими АB₁ і A₁D
4 кут між прямими BB₁ і DD₁
2 кут між прямими BD і A₁C₁
3 кут між прямими АB₁ і A₁D
4 кут між прямими BB₁ і DD₁
А 0°
Б 30°
В 45°
Г 60°
Д 90°
Б 30°
В 45°
Г 60°
Д 90°
Показати відповідь
1-В, 2-Д, 3-Г, 4-А.
1) Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АB₁||DC₁, то кут між прямими АA₁ і DC₁ дорівнює куту між прямими АA₁ і АB₁. А в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45°.
2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A₁C₁||АС, то кут між прямими BD і A₁C₁ дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90°.
3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ₁||DC₁, то кут між прямими АB₁ і A₁D дорівнює куту між прямими DC₁ і A₁D. Трикутник DA₁C₁ є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60°.
4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0°.
Завдання 13. На рисунках (1-4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1-4) та назвою фігури (А-Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три точки.
1) Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АB₁||DC₁, то кут між прямими АA₁ і DC₁ дорівнює куту між прямими АA₁ і АB₁. А в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45°.
2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A₁C₁||АС, то кут між прямими BD і A₁C₁ дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90°.
3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ₁||DC₁, то кут між прямими АB₁ і A₁D дорівнює куту між прямими DC₁ і A₁D. Трикутник DA₁C₁ є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60°.
4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0°.
1 рис. 1
2 рис. 2
3 рис. 3
4 рис. 4
2 рис. 2
3 рис. 3
4 рис. 4
А трикутник
Б прямокутник
В трапеція
Г п’ятикутник
Д ромб
Б прямокутник
В трапеція
Г п’ятикутник
Д ромб
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Д, 4-Б.
Завдання 14. Основою прямої чотирикутної призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є прямокутник зі сторонами 4 см і 4\sqrt{3}см. Площина, що проходить через вершини А, В₁ і С призми, утворює з площиною її основи кут 60°. Визначте висоту призми (у см).
Показати відповідь
6.
Оскільки ABCD - прямокутник, то АС є гіпотенузою прямокутного трикутника АВС і її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо АС² = AB² + ВС² = 16 · 3 + 16 = 48 + 16 = 64. Звідси АС = 8 см. Проведемо в трикутнику АВС висоту ВО. Тоді за теоремою про три перпендикуляри відрізок В₁О також перпендикулярний до відрізка АС і кут ВОВ₁ дорівнює 60°. Знайдемо ВО. Так як ВО - перпендикуляр, проведений з прямого кута, то ВС² = AC · OC. Підставимо відомі значення і отримаємо 16 = 8 · OC. Звідси ОС = 16:8 = 2 см. Тоді з прямокутного трикутника ОВС за теоремою Піфагора ВО² = ВС²-ОС² = 16-4 = 12. Звідси ОВ = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}. З прямокутного трикутника ВОВ₁ ВВ₁ = OВtg60° = 2\sqrt{3}\sqrt{3} = 2 · 3 = 6 см.
Завдання 15. На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.
Показати відповідь
6.
Якщо скласти цю розгортку, то отримаємо трикутну призму. Відповідно маємо 3 · 2 = 6 вершин.
Якщо скласти цю розгортку, то отримаємо трикутну призму. Відповідно маємо 3 · 2 = 6 вершин.
Коментарі