Перейти до основного вмісту

Призма (паралелепіпед, куб) та її елементи

    Призма:
    • у n-кутної призми 2n вершин, n+2 граней, 3n ребер
    • бічні грані призми - паралелограми, а прямої призми - прямокутники
    Види призм:
    • пряма - ребра призми перпендикулярні до основи
    • правильна призма - пряма призма, в основі якої лежить правильний багатокутник
    • паралелепіпед - призма, в основі якої лежить паралелограм
    • прямокутний паралелепіпед - паралелепіпед, всі грані якого прямокутники
    • куб - прямокутний паралелепіпед, всі ребра якого рівні
  1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

    Трикутна призма, Triangular prysm
    чотирикутна піраміда, Square pyramid
    трикутна піраміда, Triangular pyramid
    прямокутний паралелепіпед, Rectangular prism
    п'ятикутна призма, Pentagonal prism
    Показати відповідь
    А.
    Маємо два однакових трикутника - основи і 3 прямокутника - бічні грані, тому наведено розгортку трикутної призми.
  2. На рисунку зображено прямокутник і трикутник, що є гранями правильної трикутної призми. Периметр цього прямокутника дорівнює 38 см. Визначте площу основи цієї призми, якщо довжина висоти призми дорівнює 11 см.

    АБВГД
    16 см2 32 см2 24 см2 64 см2 24 см2
    Показати відповідь
    А.
    Так як маємо трикутну призму, то трикутник - це основа, а прямокутник - бічна грань призми. Тоді одна зі сторін прямокутника - висота довжиною 11 см, а друга - сторона основи. За формулою периметра прямокутника P=2(a+b) маємо:
    38=2(а+11)
    а+11=38:2
    а+11=19
    a=8.
    Площа основи S====16 см2.
  3. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 72 см. Визначте довжину одного ребра цього куба.
    АБВГД
    6 см 8 см 9 см 12 см 18 см
    Показати відповідь
    А.
    У куба всього 12 ребер. Тому довжина одного ребра 72:12=6 см.
  4. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Визначте градусну міру кута між прямими АВ1 і DD1.

    АБВГД
    0o 30o 45o 60o 90o
    Показати відповідь
    В.
    Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АА1||DD1, то кут між прямими АВ1 і DD1 дорівнює куту між прямими АВ1 і АА1. Так як ABCDA1B1C1D1 куб, то AA1B1В - квадрат, а в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45o.
  5. Площа однієї грані куба дорівнює 12 см2. Визначте довжину діагоналі куба.
    АБВГД
    6 см 3 см 2 см 3 см 8 см
    Показати відповідь
    А.
    Нехай сторона куба дорівнює х. Тоді за умовою х2=12 (площа грані куба дорівнює квадрату сторони). Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Відповідно для куба маємо АС12=AD2+DC2+CC12=х2+х2+х2=12+12+12=36 см2. Тоді діагональ куба дорівнює 6 см.
  6. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює 40 см2. Периметр основи призми дорівнює см. Визначте висоту призми.
    АБВГД
    см 2 см 4 см 1 см 2 см
    Показати відповідь
    В.

    Так як призма правильна чотирикутна, то в основі призми лежить квадрат. Так як у квадрата всі сторони рівні, то сторона АВ квадрата дорівнює Р:4=. Діагональним перерізом призми є прямокутник АА1С1С. Знайдемо його сторону АС. Так як діагональ квадрата зі стороною а можна знайти за формулою d=a, то АС=5=5⋅2=10 см. Так як діагональний переріз прямокутник, то його площа дорівнює добутку його сторін. Тоді SАА1С1С=AA1⋅AC. Звідси AA1=40:10=4 см.
  7. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнює 60 см. Визначте суму довжин усіх ребер цього паралелепіпеда.
    АБВГ
    360 см 240 см 180 см 120 см
    Показати відповідь
    Б.
    Так як у прямокутного паралелепіпеда 3 групи однакових ребер по 4, а з однієї вершини виходить по одному ребру з кожної групи, то сума довжин усіх ребер паралелепіпеда 60⋅4=240 см.
  8. Сума довжин усіх бічних ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 120 см. Визначте довжину його висоти.
    АБВГД
    15 см 30 см 40 см 60 см 10 см
    Показати відповідь
    Б.
    Так як у прямокутного паралелепіпеда 4 однакових бічних ребра, то довжина одного дорівнює 120:4=30 см. Так як у прямокутного паралелепіпеда довжина висоти співпадає з довжиною бічного ребра, то довжина висоти дорівнює 30 см.
  9. Знайдіть довжину діагоналі прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 2 см, 3 см, 4 см.
    АБВГД
    см 9 см см 5 см 2 см
    Показати відповідь
    А.
    Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його лінійних вимірів. Маємо d2=22+32+42=4+9+16=29. Тоді діагональ паралелепіпеда дорівнює см.
  10. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, у якому АВ = 3, AD = 4, AA1=2. Увідповідніть початок речення (1-3) так, щоб утворилося правильне речення.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Відстань від точки С до площини (АA1В1) дорівнює
    2 Відстань від точки А до прямої СC1 дорівнює
    3 Відстань між площинами (АВС) і (A1B1C1) дорівнює    		 А 2
    Б 3
    В 4
    Г 5
    Д 7
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-А.
    1) Відстанню від точки С до площини (АA1В1) є відрізок СВ, який дорівнює АD і дорівнює 4.
    2) Відстанню від точки А до прямої СC1 є відрізок АС, який з прямокутного трикутника ADC можна знайти за теоремою Піфагора (використовуючи "єгипетський" трикутник одразу маємо АС=5).
    3) Відстанню між площинами (АВС) і (A1B1C1) є відрізок AA1=2.
  11. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1, ребро якого дорівнює 2. До кожного початку речення (1-3) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Довжина діагоналі куба дорівнює
    2 Відстань від точки А до прямої А1С1 дорівнює
    3 Відстань від точки А до площини (BB1D1) дорівнює    		 А 2
    Б
    В
    Г
    Д
    Показати відповідь
    1-В, 2-А, 3-Д.
    1) Довжина діагоналі куба зі стороною а дорівнює , тому маємо довжину .
    2) Відстанню від точки А до прямої A1C1 є відрізок АA1, який дорівнює 2.
    3) Відстанню від точки А до площини (BB1D1) є довжина перпендикуляра, проведеного з точки А до BD. Так як основа - квадрат, то цей перпендикуляр є половиною діагоналі квадрата основи. Діагональ квадрата з основою 2 дорівнює , а її половина - .
  12. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Установіть відповідність між заданими кутами (1-4) та їхніми градусними мірами (А-Д).

    Кут Градусна міра кута
    1 кут між прямими АА1 і DC1
    2 кут між прямими BD і A1C1
    3 кут між прямими АB1 і A1D
    4 кут між прямими BB1 і DD1    		 А 0o
    Б 30o
    В 45o
    Г 60o
    Д 90o
    Відповідь
    1-В, 2-Д, 3-Г, 4-А.
    1) Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АB1||DC1, то кут між прямими АA1 і DC1 дорівнює куту між прямими АA1 і АB1. А в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45o.
    2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A1C1||АС, то кут між прямими BD і A1C1 дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90o.
    3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ1||DC1, то кут між прямими АB1 і A1D дорівнює куту між прямими DC1 і A1D. Трикутник DA1C1 є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60o.
    4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0o.
  13. На рисунках (1-4) зображено куб і три точки, що розміщені у вершинах куба або є серединами його ребер. Установіть відповідність між кожним рисунком (1-4) та назвою фігури (А-Д), яка є перерізом куба площиною, що проходить через три точки.

    Рисунок Переріз
    1 рис. 1
    2 рис. 2
    3 рис. 3
    4 рис. 4    		 А трикутник
    Б прямокутник
    В трапеція
    Г п’ятикутник
    Д ромб
    Показати відповідь
    1-В, 2-А, 3-Д, 4-Б.
    1) Дані прямі лежать в паралельних площинах і не паралельні, тому вони мимобіжні. Кут між мимобіжними прямими дорівнює куту між прямими, що перетинаються і відповідно паралельні даним мимобіжним прямим. Оскільки АB1||DC1, то кут між прямими АA1 і DC1 дорівнює куту між прямими АA1 і АB1. А в квадраті кут між стороною та його діагоналлю дорівнює 45o.
    2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A1C1||АС, то кут між прямими BD і A1C1 дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90o.
    3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ1||DC1, то кут між прямими АB1 і A1D дорівнює куту між прямими DC1 і A1D. Трикутник DA1C1 є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60o.
    4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0o.
  14. Основою прямої чотирикутної призми ABCDA1B1C1D1 є прямокутник зі сторонами 4 см і см. Площина, що проходить через вершини А, В1 і С призми, утворює з площиною її основи кут 60o. Визначте висоту призми (у см).
    Показати відповідь
    6.

    Оскільки ABCD - прямокутник, то АС є гіпотенузою прямокутного трикутника АВС і її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо АС2=AB2+ВС2=16⋅3+16=48+16=64. Звідси АС=8 см. Проведемо в трикутнику АВС висоту ВО. Тоді за теоремою про три перпендикуляри відрізок В1О також перпендикулярний до відрізка АС і кут ВОВ1 дорівнює 60o. Знайдемо ВО. Так як ВО - перпендикуляр, проведений з прямого кута, то ВС2=AC⋅OC. Підставимо відомі значення і отримаємо 16=8⋅OC. Звідси ОС=16:8=2 см. Тоді з прямокутного трикутника ОВС за теоремою Піфагора ВО2=ВС2-ОС2=16-4=12. Звідси ОВ=. З прямокутного трикутника ВОВ1 ВВ1=OВtg60o=2=2⋅3=6 см.
  15. На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.

    Показати відповідь
    6.
    Якщо скласти цю розгортку, то отримаємо трикутну призму. Відповідно маємо 3⋅2=6 вершин.
⇐VI.1.
Взаємне розміщення прямих і площин у просторі		 До змісту ⇒VІ.3.
Піраміда та її елементи

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар