Шлях до математики: кроки успіху: Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

НМТ 2024. Визначте суму всіх цілих значень a, за кожного з яких рівняння lg(2ax + 5 − a) = lg(4x) не має коренів.
Відповідь

14
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки підлогарифмічний вираз завжди більше 0, маємо $\begin{cases} 2ax+5-a> 0 \\ 4x>0 \end{cases}$ , звідки $\begin{cases}2ax+5-a> 0 \\ x>0 \end{cases}$ .
Розв'яжемо рівняння
lg(2ax + 5 − a) = lg(4x)
2ax + 5 − a = 4x
2ax - 4x = a − 5
(2a - 4)x = a − 5
Якщо 2а - 4 = 0, то 2а = 4, звідки а = 2. Тоді маємо рівність 0х=2-5, яка є неправильною, тому при а = 2 рівняння не має коренів.
Якщо 2a - 4 ≠0, то $x=\frac{a-5}{2a-4}$
Знайдемо, при якому а знайдений корінь задовольняє ОДЗ.
Підставимо знайдене значення у першу нерівність системи.
$2a\cdot\frac{a-5}{2a-4}+5-a>0$
$\frac{2a\cdot(a-5)}{2a-4} + \frac{(5-a)(2a-4)}{2a-4}>0$
$\frac{2a\cdot(a-5)+(5-a)(2a-4)}{2a-4}>0$
$\frac{2a\cdot(a-5)-(a-5)(2a-4)}{2a-4}>0$
$\frac{(a-5)(2a - (2a-4))}{2a-4}>0$
$\frac{(a-5)(2a - 2a+4))}{2a-4}>0$
$\frac{4(a-5)}{2a-4}>0$
$\frac{4(a-5)}{2(a-2)}>0$
$\frac{a-5}{a-2}>0$
Розв'яжемо дану нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ. a-2≠0, звідки a≠2.
2. Нулі функції. а - 5=0, звідки а = 5.
Нанесемо точки на числову пряму. Так як маємо кожен корінь по одному разу і всі коефіцієнти при змінній а додатні (1), то маємо чередування знаків "+ - +".
Так як треба, щоб рівняння не мало коренів, то обираємо навпаки, не заштриховану область.
Тоді корінь не задовольняє першій нерівності ОДЗ, якщо a∈[2; 5].
При підстановці кореня в другу нерівність системи маємо таку ж нерівність $\frac{a-5}{a-2}>0$ , яку тільки що розв'язували. Тому остаточно рівняння не має коренів при a∈[2; 5]. Сума цілих значень з цього проміжку 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
НМТ 2024. Знайдіть усі значення a, за яких рівняння $\frac{x^2-ax+4}{x-5}=0$ має лише один корінь. Якщо таких значень кілька, то запишіть у відповіді їхній добуток.
Відповідь

-92,8
Знайдемо ОДЗ рівняння. Оскільки знаменник дробу не може дорівнювати 0, то х-5≠0, звідси х≠5.
Дріб дорівнює 0, коли чисельник дробу дорівнює 0. В чисельнику дробу знаходиться квадратний тричлен. Тоді рівняння має лише один корінь у двох випадках: якщо відповідне квадратне рівняння має лише один корінь (в такому випадку дискримінант рівняння дорівнює 0), або відповідне рівняння має два корені (дискримінант більше 0), але при цьому один з коренів є стороннім (тобто дорівнює 5).
Знайдемо дискримінант квадратного рівняння x² - аx + 4=0
D=(-а)²-4⋅1⋅4=а²-16.
Прирівняємо дискримінант до 0. Маємо
а²-16=0
а²=16
а=±4.
Знайдемо, при якому а корінь квадратного рівняння дорівнює 5. Для цього підставимо у рівняння замість х число 5. Маємо
5² - а ⋅5 + 4=0
25 - 5a + 4 = 0
- 5a = - 4 - 25
- 5a = - 29
a = - 29 : (-5)
a = 5,8.
При а=5,8 дискримінант квадратного рівняння D=5,8²-16>0, отже рівняння має 2 корені, але один з них дорівнює 5.
Таким чином, дане рівняння має один корінь при а = 4, а = -4 (відповідне квадратне рівняння має 1 корінь) та а = 5,8 (квадратне рівняння має два корені, але один корінь сторонній, так як дорівнює 5, що не задовольняє ОДЗ). Добуток отриманих чисел 4 ⋅ (-4)⋅5,8 = - 92,8.
НМТ 2023. Визначте додатне значення m, за якого один із коренів рівняння х²-(2m-4)x+16=0 на 6 більший від іншого.
Відповідь

7
За теоремою Вієта для квадратного рівняння х²+bx+c=0 є правильною система $\begin{cases}x_1+x_2=-b,\\x_1 \cdot x_2 = c;\end{cases}$
Крім того, за умовою x₂=x₁+6. Підставимо цю рівність і коефіцієнти у систему:
$\begin{cases}x_1+x_1+6=2m-4,\\x_1 \cdot (x_1+6) = 16;\end{cases}$
Розв'яжемо окремо друге рівняння.
x₁⋅( x₁+6)=16
x₁²+6x₁=16
x₁²+6x₁-16=0
D=6²-4⋅1⋅(-16)=36+64=100
$x_1,_1=\frac{-6-\sqrt{100}}{2\cdot1}=\frac{-6-10}{2}=\frac{-16}{2}=-8$ .
$x_1,_2=\frac{-6+\sqrt{100}}{2\cdot1}=\frac{-6+10}{2}=\frac{4}{2}=2$ .
Підставимо перше значення -8 в перше рівняння системи.
-8-8+6=2m-4
-10=2m-4
2m=-10+4
2m=-6
m=-6:2
m=-3
Підставимо друге значення 2 в перше рівняння системи.
2+2+6=2m-4
10=2m-4
2m=10+4
2m=14
m=14:2
m=7
Отже, один із коренів рівняння х²-(2m-4)x+16=0 на 6 більший від іншого за умови, що m=-3 та m=7. Треба визначити додатне значення m, тому відповідь 7.
НМТ 2023. Визначте кількість цілих значень a, за яких корені x₁ та x₂ квадратного рівняння х²-4ax+4a²-25=0 задовольняють умову x₁<1<x₂.
Відповідь

4
Розв'яжемо квадратне рівняння.
х²-4ax+4a²-25=0
D=(-4a)²-4⋅1⋅(4a²-25)=16a²-16a²+100.
$x_1=\frac{4a-\sqrt{100}}{2\cdot1}=\frac{4a-10}{2}=\frac{2(2a-5)}{2}=2a-5$ .
$x_2=\frac{4a+\sqrt{100}}{2\cdot1}=\frac{4a+10}{2}=\frac{2(2a+5)}{2}=2a+5$ .
Підставимо отримані значення в умову для коренів і маємо систему нерівностей:
$\begin{cases}2a-5<1,\\2a+5>1;\end{cases}$
$\begin{cases}2a<1+5,\\2a>1-5;\end{cases}$
$\begin{cases}2a<6,\\2a>-4;\end{cases}$
$\begin{cases}a<6:2,\\a>-4:2;\end{cases}$
$\begin{cases}a<3,\\a>-2;\end{cases}$

Розв'язком системи є a∈(-2; 3). На цьому проміжку є 4 цілих числа: -1; 0; 1; 2.

Задано систему рівнянь $\begin{cases}ax^2+ax+3^{2+y^2}=27\\x+3^{1+y^2}=8,\end{cases}$ , де х, y — змінні, а — стала.
1. Розв’яжіть цю систему, якщо а=0.
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.
Відповідь

1.(-1; -1) і (-1; 1)
2. якщо ає[0;0,6) , то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1);
якщо ає(-∞; 0)U[0,6; +∞) , то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і $(\frac{3}{a};\sqrt{log_3\frac{8a-3}{3a}});(\frac{3}{a};-\sqrt{log_3\frac{8a-3}{3a}})$
1. Підставимо замість а у систему 0. Маємо систему $\begin{cases}3^{2+y^2}=27\\x+3^{1+y^2}=8,\end{cases}$
$\begin{cases}3^{2+y^2}=3^3\\x+3^{1+y^2}=8,\end{cases}$
$\begin{cases}2+y^2=3\\x+3^{1+y^2}=8,\end{cases}$
$\begin{cases}y^2=1\\x+3^{1+1}=8,\end{cases}$
$\begin{cases}y=\pm1\\x+9=8,\end{cases}$
$\begin{cases}y=\pm1\\x=-1,\end{cases}$
Розв'язками є (-1; -1) і (-1; 1)
2. $\begin{cases}ax^2+ax+3^{2+y^2}=27\\x+3^{1+y^2}=8,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+ax+3^2\cdot3^{y^2}=27\\x+3^1\cdot3^{y^2}=8,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+ax+9\cdot3^{y^2}=27\\x+3\cdot3^{y^2}=8,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+ax+3\cdot(3\cdot3^{y^2})=27\\3\cdot3^{y^2}=8-x,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+ax+3\cdot(8-x)=27\\3\cdot3^{y^2}=8-x,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+ax+24-3x=27\\3\cdot3^{y^2}=8-x,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+ax-3x-3=0\\3\cdot3^{y^2}=8-x,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+(a-3)x-3=0\\3\cdot3^{y^2}=8-x,\end{cases}$
Розв'яжемо перше рівняння. При а=0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-1; -1) і (-1; 1)
При а≠0 маємо квадратне рівняння.
D=(a-3)²-4⋅a⋅(-3)=a²-6a+9+12a=a²+6a+9=(a+3)².
x₁= $\frac{-(a-3)+(a+3)}{2\cdot{a}}$ = $\frac{-a+3+a+3}{2a}$ = $\frac{6}{2a}$ = $\frac{3}{a}$ .
x₂= $\frac{-(a-3)-(a+3)}{2\cdot{a}}$ = $\frac{-a+3-a-3}{2a}$ = $\frac{-2a}{2a}$ = -1.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
$3\cdot3^{y^2}=8-\frac{3}{a}$
$3^{y^2}=\frac{8a-3}{3a}$
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, степінь якого завжди додатня (y²≥0) тобто вираз завжди не менше 3⁰=1), то при $\frac{8a-3}{3a}$ <1 рівняння не має коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
$\frac{8a-3}{3a}$ <1
$\frac{8a-3}{3a}-1$ <0
$\frac{8a-3-3a}{3a}$ <0
$\frac{5a-3}{3a}$ <0
1. ОДЗ: a≠0.
2. Нулі функції: 5a-3=0, звідки а=3:5=0,6.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Маємо на інтервалі (-∞; 0) знак "+", на інтервалі (0; 0,6) знак "-" і на інтервалі (0,6; +∞) знак "+". Так як нам потрібно знайти, коли дріб менше 0, то потрібен знак "-". Це проміжок (0; 0,6). Отже, при а∈(0; 0,6) даний вираз не має змісту.
При а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) маємо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
$log_33^{y^2}=log_3\frac{8a-3}{3a}$
$y^2\cdot{log_33}=log_3\frac{8a-3}{3a}$
$y^2=log_3\frac{8a-3}{3a}$
$y=\pm\sqrt{log_3\frac{8a-3}{3a}}$
Отже, при а∈(-∞; 0)U[0,6; +∞) маємо розв'язок $(\frac{3}{a};\pm\sqrt{log_3\frac{8a-3}{3a}})$ .
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
$3\cdot3^{y^2}=8-(-1)$
$3\cdot3^{y^2}=9$
$3^{y^2}=3$
y²=1
y=±1
Остаточно маємо, що якщо ає[0;0,6) , то розв’язками системи є (-1; -1) і (-1; 1); якщо ає(-∞; 0)U[0,6; +∞) , то розв’язком системи є (-1; -1); (-1; 1) і $(\frac{3}{a};\sqrt{log_3\frac{8a-3}{3a}});(\frac{3}{a};-\sqrt{log_3\frac{8a-3}{3a}})$
Доведіть тотожність $\frac{6a^2+20a-16}{a+4}$ = $\frac{2-3a}{sin330^o}$ .
Відповідь

Спростимо ліву частину тотожності. Для цього розкладемо чисельник дробу на множники. Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння.
6a²+20a-16=0 |:2
3a²+10a-8=0
D=10²-4⋅3⋅(-8)=100+96=196.
a₁= $\frac{-10+\sqrt{196}}{2\cdot3}$ = $\frac{-10+14}{6}$ = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ .
a₂= $\frac{-10-\sqrt{196}}{2\cdot3}$ = $\frac{-10-14}{6}$ = $\frac{-24}{6}$ = -4.
Тоді 6a²+20a-16=6(a- $\frac{2}{3}$ )(a+4)=(6a-4)(a+4). Маємо $\frac{6a^2+20a-16}{a+4}$ = $\frac{(6a-4)(a+4)}{a+4}$ =6a-4.
Спростимо праву частину тотожності
$\frac{2-3a}{sin330^o}$ = $\frac{2-3a}{sin(360^o-30^o)}$ = $\frac{2-3a}{-sin30^o}$ = $\frac{2-3a}{-\frac{1}{2}}$ =6a-4.
Отже обидві частині рівні, тотожність доведена.
Задано систему рівнянь $\begin{cases}ax^2+3ax+4^{1+\sqrt{y}}=8\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$ , де х, y — змінні, а — довільна стала.
1. Розв’яжіть систему, якщо а=0.
2. Визначте всі розв’язки заданої системи залежно від значень а.
Відповідь

1.(-3; 0,25)
2. якщо ає(-∞; -2)U[0; +∞) , то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо ає [-2; 0) , то розв’язками системи є (-3; 0,25) та $(\frac{2}{a};log_4^2\frac{a-2}{2a})$
1. Підставимо замість а у систему 0. Маємо систему $\begin{cases}4^{1+\sqrt{y}}=8\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}2^{2(1+\sqrt{y})}=2^3\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}2(1+\sqrt{y})=3\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}2+2\sqrt{y}=3\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}2\sqrt{y}=1\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}4y=1\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}y=0,25\\x+2\cdot4^{\sqrt{0,25}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}y=0,25\\x+2\cdot4^{0,5}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}y=0,25\\x+2\sqrt{4}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}y=0,25\\x+2\cdot2=1,\end{cases}$
$\begin{cases}y=0,25\\x+4=1,\end{cases}$
$\begin{cases}y=0,25\\x=-3,\end{cases}$
Відповідь (-3; 0,25).
2. $\begin{cases}ax^2+3ax+4^{1+\sqrt{y}}=8\\x+2\cdot4^{\sqrt{y}}=1,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+3ax+4\cdot4^{\sqrt{y}}=8\\2\cdot4^{\sqrt{y}}=1-x,\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+3ax+4\cdot\frac{1-x}{2}=8\\4^{\sqrt{y}}=\frac{1-x}{2},\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+3ax+2\cdot(1-x)=8\\4^{\sqrt{y}}=\frac{1-x}{2},\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+3ax+2-2x=8\\4^{\sqrt{y}}=\frac{1-x}{2},\end{cases}$
$\begin{cases}ax^2+(3a-2)x-6=0\\4^{\sqrt{y}}=\frac{1-x}{2},\end{cases}$
Розв'яжемо перше рівняння. При а=0 це рівняння вже розв'язано і розв'язком є (-3; 0,25)
При а≠0 маємо квадратне рівняння.
D=(3a-2)²-4⋅a⋅(-6)=9a²-12a+4+24a=9a²+12a+4=(3a+2)².
x₁= $\frac{-(3a-2)+(3a+2)}{2\cdot{a}}$ = $\frac{-3a+2+3a+2}{2a}$ = $\frac{4}{2a}$ = $\frac{2}{a}$ .
x₂= $\frac{-(3a-2)-(3a+2)}{2\cdot{a}}$ = $\frac{-3a+2-3a-2}{2a}$ = $\frac{-6a}{2a}$ = -3.
Підставимо отримане значення х₁ у друге рівняння системи.
$4^{\sqrt{y}}=\frac{1-\frac{2}{a}}{2}$
$4^{\sqrt{y}}=\frac{a-2}{2a}$
Так як в лівій частині рівняння показникова функція, степінь якого завжди додатня ( $\sqrt{y}\ge0$ тобто вираз завжди не менше 4⁰=1), то при $\frac{a-2}{2a}$ <1 рівняння не має коренів.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
$\frac{a-2}{2a}$ <1
$\frac{a-2}{2a}-1$ <0
$\frac{a-2-2a}{2a}$ <0
$\frac{-2-a}{2a}$ <0
$\frac{a+2}{2a}$ >0
1. ОДЗ: a≠0.
2. Нулі функції: а+2=0, звідки а=-2.
Нанесемо ці корені на числову пряму і знайдемо знаки на кожному з інтервалів. Маємо на інтервалі (-∞; -2) знак "+", на інтервалі (-2; 0) знак "-" і на інтервалі (0; +∞) знак "+". Так як нам потрібно знайти, коли дріб більше 0, то потрібен знак "+". Це проміжок (-∞; -2)U(0; +∞). Отже, при а∈(-∞; -2)U(0; +∞) даний вираз не має змісту.
При а∈[-2; 0) маємо додатнє значення і можемо продовжувати розв'язувати.
$log_44^{\sqrt{y}}=log_4\frac{a-2}{a}$
$\sqrt{y}\cdot{log_44}=log_4\frac{a-2}{a}$
$\sqrt{y}=log_4\frac{a-2}{a}$
$y=log_4^2\frac{a-2}{a}$
Отже, при а∈[-2; 0) маємо розв'язок $(\frac{2}{a};log_4^2\frac{a-2}{2a})$ .
Підставимо отримане значення х₂ у друге рівняння системи.
$4^{\sqrt{y}}=\frac{1-(-3)}{2}$
$4^{\sqrt{y}}=\frac{4}{2}$
$4^{\sqrt{y}}=2$
$2^{2\sqrt{y}}=2$
$2\sqrt{y}=1$
4y=1
y=0,5. Отже, при а≠0 маємо розв'язок (-3; 0,25). Так як при а=0 маємо точно такий розв'язок, то можна з'єднати і отримати, що при будь-якому а маємо розв'язок (-3; 0,25).
Остаточно маємо: якщо ає(-∞; -2)U[0; +∞) , то розв’язком системи є (-3; 0,25);
якщо ає [-2; 0) , то розв’язками системи є (-3; 0,25) та $(\frac{2}{a};log_4^2\frac{a-2}{2a})$ .
Доведіть тотожність $\frac{2a^2+5a-3}{a+3}$ = $\frac{1-2a}{2cos240^o}$ .
Відповідь

Спростимо ліву частину тотожності. Для цього розкладемо чисельник дробу на множники. Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння.
2a²+5a-3=0
D=5²-4⋅2⋅(-3)=25+24=49.
a₁= $\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot2}$ = $\frac{-5+7}{4}$ = $\frac{2}{4}$ =0,5.
a₂= $\frac{-5-\sqrt{49}}{2\cdot2}$ = $\frac{-5-7}{4}$ = $\frac{-12}{4}$ = -3.
Тоді 2a²+5a-3=2(a-0,5)(a+3). Маємо $\frac{2a^2+5a-3}{a+3}$ = $\frac{2(a-0,5)(a+3)}{a+3}$ =2(a-0,5)=2a-1.
Спростимо праву частину тотожності
$\frac{1-2a}{2cos240^o}$ = $\frac{1-2a}{2cos(180^o+60^o)}$ = $\frac{1-2a}{-2cos60^o}$ = $\frac{1-2a}{-2\cdot0,5}$ = $\frac{1-2a}{-1}$ =2a-1.
Отже обидві частині рівні, тотожність доведена.
Задано рівняння $\frac{(x-2)\cdot(x^2-3(a-1)x+2a^2-3a)}{log_{0,5}(3-2x)+2}$ = 0 , де х — змінна, а — стала.
1. Знайдіть множину допустимих значень змінної х.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Відповідь

1.хє(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
2. якщо ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,25)U(1,25;1,5) , то хє{a;2a-3}
якщо ає{-0,5}U[1,5;2,25) , то х = 2a-3
якщо а = 1,25, то х = a
якщо ає[2,25;+∞) , то рівняння коренів не має.
1. Маємо наступні обмеження:
1) Так як маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тобто log_0,5(3-2x)+2≠0
2) Так як підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0, то 3-2х>0.
1) log_0,5(3-2x)+2≠0
log_0,5(3-2x)≠-2
3-2x≠(0,5)^-2
3-2x≠( $\frac{1}{2}$ )^-2
3-2x≠2²
3-2x≠4
-2x≠4-3
-2x≠1
x≠1:(-2)
x≠-0,5
2) 3-2х>0
-2х>-3
х<-3:(-2)
х<1,5
$\begin{cases}x\neq -0,5 \\ x < 1,5\end{cases}$
Враховуючи ці два обмеження, маємо хє(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
2. Дріб дорівнює 0, коли його чисельник дорівнює 0, тому (x-2)⋅(x²-3(a-1)x+2a²-3a) = 0. Так як добуток двох виразів дорівнює 0, то або x-2 = 0, або x²-3(a-1)x+2a²-3a = 0.
Розв'яжемо перше рівняння. х-2 = 0, звідси х = 2, але х = 2 не належить множині допустимих значень змінної х, тому даний корінь є зайвим.
Розв'яєжемо друге рівняння.
x²-3(a-1)x+2a²-3a = 0
D = (3(a-1))²-4⋅1⋅(2a²-3a) = 9(a²-2a+1)-8a²+12a = 9a²-18a+9-8a²+12a = a²-6a+9 = (a-3)².
x₁ = $\frac{3(a-1)+(a-3)}{2}$ = $\frac{3a-3+a-3}{2}$ = $\frac{4a-6}{2}$ = $\frac{2(2a-3)}{2}$ = 2a-3.
x₂ = $\frac{3(a-1)-(a-3)}{2}$ = $\frac{3a-3-a+3}{2}$ = $\frac{2a}{2}$ = a.
Перевіримо, коли перший корінь задовільняє множині допустимих значень змінної х:
$\begin{cases}2a-3\neq -0,5 \\ 2a-3 < 1,5\end{cases}$
$\begin{cases}2a\neq 3-0,5 \\ 2a < 3+1,5\end{cases}$
$\begin{cases}2a\neq 2,5 \\ 2a < 4,5\end{cases}$
$\begin{cases}a\neq 1,25 \\ a < 2,25\end{cases}$
Враховуючи ці два обмеження, маємо що х = 2а-3 при ає(-∞; 1,25)U(1,25; 2,25).
Перевіримо, коли другий корінь задовільняє множині допустимих значень змінної х:
$\begin{cases}a\neq -0,5 \\ a < 1,5\end{cases}$
Враховуючи ці два обмеження, маємо що х = а при ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
Тоді на проміжку ає(-∞; -0,5) маємо два корені; при а = -0,5 лише х = 2а-3; потім на проміжку (-0,5; 1,25) знову два корені; при а = 1,25 лише х = а; на проміжку (1,25; 1,5) знову два корені; після цього до а = 2,25 лише корінь х = 2а-3 і при наступних значеннях а вже коренів не буде. Тому маємо остаточну відповідь:
якщо ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,25)U(1,25;1,5) , то хє{a;2a-3}
якщо ає{-0,5}U[1,5;2,25) , то х = 2a-3
якщо а = 1,25, то х = a
якщо ає[2,25;+∞) , то рівняння коренів не має.
Доведіть тотожність 1-8sin²xcos²x-2cos²2x = $\frac{x^3-1}{x^2+x+1}-x$ .
Відповідь

Спростимо ліву частину тотожності
1-8sin²xcos²x-2cos²2x = 1-2(2sinxcosx)²-2cos²2x = 1-2sin²2x-2cos²2x = 1-2(sin²2x+cos²2x) = 1-2 = -1
Спростимо праву частину тотожності
$\frac{x^3-1}{x^2+x+1}-x$ = $\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x^2+x+1}-x$ = х-1-х = -1.
Отже обидві частині рівні, тотожність доведена.
Задано рівняння (3^x+1+3^x+3-10)( $\sqrt{x^2+a}$ - $\sqrt{3a-6-x^2}$ ) = 0 , де х — змінна, а — стала.
1. Розв’яжіть рівняння 3^x+1+3^x+3-10 = 0.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Відповідь

1.х = -1
2. при ає(-∞;2 $\frac{1}{3}$ ) рівняння коренів не має
при ає[2 $\frac{1}{3}$ ,3) x = -1
при ає[3,+∞) x∈{-1; $\sqrt{a-3}$ , - $\sqrt{a-3}$ }.
1. 3^x+1+3^x+3-10 = 0
3^x⋅3¹+3^x⋅3³-10 = 0
3⋅3^x+27⋅3^x-10 = 0
30⋅3^x = 10
3^x = 10:30
3^x = $\frac{1}{3}$
3^x = 3^-1
x = -1
2.ОДЗ: $\begin{cases}x^2+a\ge0\\3a-6-x^2\ge0\end{cases}.$
(3^x+1+3^x+3-10)( $\sqrt{x^2+a}$ - $\sqrt{3a-6-x^2}$ ) = 0
3^x+1+3^x+3-10 = 0 або $\sqrt{x^2+a}$ - $\sqrt{3a-6-x^2}$ = 0
Перше рівняння має корінь -1
Розв'яжемо друге рівняння.
$\sqrt{x^2+a}$ - $\sqrt{3a-6-x^2}$ = 0
$\sqrt{x^2+a}$ = $\sqrt{3a-6-x^2}$
Обидві частини рівняння невід'ємні, тому можемо піднести їх до квадрату
x²+a = 3a-6-x²
x²+x² = 3a-6-a
2x² = 2a-6
x² = (2a-6):2
x² = a-3
Якщо а<3, то дане рівняння не має коренів (квадрат числа не може бути від'ємним).
Якщо а≥3, то x = ± $\sqrt{a-3}$ .
Перевіримо корені на відповідність ОДЗ.
x = -1
$\begin{cases}1+a\ge0\\3a-6-1\ge0\end{cases}.$
$\begin{cases}a\ge-1\\3a\ge7\end{cases}.$
$\begin{cases}a\ge-1\\a\ge\frac{7}{3}\end{cases}.$
$\begin{cases}a\ge-1\\a\ge2\frac{1}{3}\end{cases}.$
Так як $2\frac{1}{3}$ >-1, то розв'язком системи є а≥ $2\frac{1}{3}$ . Отже, х = -1 є коренем при ає[ $2\frac{1}{3}$ ,+∞)
При x = ± $\sqrt{a-3}$ x² = a-3. Тому підставивши в ОДЗ маємо:
$\begin{cases}a-3+a\ge0\\3a-6-a+3\ge0\end{cases}.$
$\begin{cases}2a-3\ge0\\2a-3\ge0\end{cases}.$
Так як ці корені маємо при а≥3, то 2а-3 завжди більше нуля за цієї умови і тому ці значення х є коренями при а≥3. Маємо остаточно: при ає(-∞;2 $\frac{1}{3}$ ) рівняння коренів не має
при ає[2 $\frac{1}{3}$ ,3) x = -1
при ає[3,+∞) x∈{-1; $\sqrt{a-3}$ , - $\sqrt{a-3}$ }.
Задано рівняння (5^2x+1-25^x-20)( $\sqrt{ax-6}$ - $\sqrt{a-2x}$ ) = 0 , де х — змінна, а — стала.
1. Розв’яжіть рівняння 5^2x+1-25^x-20 = 0.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Відповідь

1.х = 0,5
2. при ає(-∞;-2 $\sqrt{3}$ )U[-2;2 $\sqrt{3}$ ) рівняння коренів не має
при ає[-2 $\sqrt{3}$ ,-2)U[2 $\sqrt{3}$ ;12) x = $\frac{a+6}{a+2}$
при ає[12,+∞) x = $\frac{a+6}{a+2}$ , x = 0,5.
1. 5^2x+1-25^x-20 = 0
5⋅5^2x-5^2x-20 = 0
4⋅5^2x = 20
5^2x = 20:4
5^2x = 5
5^2x = 5¹
2x = 1
x = 0,5
2.ОДЗ: $\begin{cases}ax-6\ge0\\a-2x\ge0\end{cases}.$
(5^2x+1-25^x-20)( $\sqrt{ax-6}$ - $\sqrt{a-2x}$ ) = 0
5^2x+1-25^x-20 = 0 або $\sqrt{ax-6}$ - $\sqrt{a-2x}$ = 0
Перше рівняння має корінь 0,5
Розв'яжемо друге рівняння.
$\sqrt{ax-6}$ - $\sqrt{a-2x}$ = 0
$\sqrt{ax-6}$ = $\sqrt{a-2x}$
Обидві частини рівняння невід'ємні, тому можемо піднести їх до квадрату
ax-6 = a-2x
ax+2x = a+6
(a+2)x = a+6
Якщо а = -2, то маємо 0⋅x = 4, дане рівняння не має коренів.
Якщо а≠-2, то x = $\frac{a+6}{a+2}$ .
Перевіримо корені на відповідність ОДЗ.
x = 0,5
$\begin{cases}0,5a-6\ge0\\a-2\cdot0,5\ge0\end{cases}.$
$\begin{cases}0,5a\ge6\\a-1\ge0\end{cases}.$
$\begin{cases}a\ge12\\a\ge1\end{cases}.$
Так як 12≥1, то розв'язком системи є а≥12. Отже, х = 0,5 є коренем при ає[12,+∞)
x = $\frac{a+6}{a+2}$
$\begin{cases}\frac{a+6}{a+2}\cdot{a}-6\ge0\\a-2\cdot\frac{a+6}{a+2}\ge0\end{cases}.$
$\begin{cases}\frac{a^2+6a}{a+2}-6\ge0\\a-\frac{2a+12}{a+2}\ge0\end{cases}.$
$\begin{cases}\frac{a^2+6a-6a-12}{a+2}\ge0\\\frac{a^2+2a-2a-12}{a+2}\ge0\end{cases}.$
$\begin{cases}\frac{a^2-12}{a+2}\ge0\\\frac{a^2-12}{a+2}\ge0\end{cases}.$
$\frac{a^2-12}{a+2}\ge0$
$\frac{(a-\sqrt{12})(a+\sqrt{12})}{a+2}\ge0$
$\frac{(a-2\sqrt{3})(a+2\sqrt{3})}{a+2}\ge0$
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ. x≠-2.
2. Нулі: x = ±2 $\sqrt{3}$
Таким чином, x = $\frac{a+6}{a+2}$ є коренем при ає[-2 $\sqrt{3}$ ,-2)U[2 $\sqrt{3}$ ,+∞)
Отже, маємо наступну відповідь:
при ає(-∞;-2 $\sqrt{3}$ )U[-2;2 $\sqrt{3}$ ) рівняння коренів не має
при ає[-2 $\sqrt{3}$ ,-2)U[2 $\sqrt{3}$ ;12) x = $\frac{a+6}{a+2}$
при ає[12,+∞) x = $\frac{a+6}{a+2}$ , x = 0,5.
Задано рівняння $\frac{(x-\sqrt{x}-2)(a^2-16)}{2^x-a} = 0$ , де х — змінна, а — стала.
1. Розв’яжіть рівняння x- $\sqrt{x}$ -2 = 0.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Відповідь

1.х = 4
2. хє[0;+∞), якщо a = -4
хє[0;2)U(2;+∞), якщо a = 4
немає коренів при а = 16
х = 4 при ає(-∞;-4)U(-4;4)U(4;16)U(16;+∞).
1. x- $\sqrt{x}$ -2 = 0
Зробимо заміну $\sqrt{x}$ = t. Так як корень квадратний більше або дорівнює 0, то нам підходять лише значення t≥0. Маємо рівняння t²-t-2 = 0.
D = 1²-4⋅1⋅(-2) = 1+8 = 9.
t₁ = $\frac{1+\sqrt{9}}{2\cdot1}$ = $\frac{1+3}{2}$ = 4:2 = 2,
t₂ = $\frac{1-\sqrt{9}}{2\cdot1}$ = $\frac{1-3}{2}$ = -4:2 = -1
Другий корінь не задовільняє умові t≥0, тому залишається лише t = 2.
$\sqrt{x}$ = 2
x = 4
2.ОДЗ: I) 2^x-a≠0
2^x≠a
x≠log₂a
II)x≥0 (підкореневий вираз не може бути менше 0).
Так як дріб дорівнює нулю коли його чисельник дорівнює, то маємо рівняння (x- $\sqrt{x}$ -2)(a²-16) = 0. Звідси або x- $\sqrt{x}$ -2 = 0, розв'язком якого є х = 4, або a²-16 = 0, звідки a² = 16 і а = ±4.
Щоб корінь х = 4 задовольняв ОДЗ, потрібно, щоб 4≠log₂a, звідки a≠2⁴ = 16.
При а = ±4 підходить будь-яке значення х, що задовольняє ОДЗ, тобто x≥0. Але, так як x≠log₂a, то при а = 4 x≠log₂4 = 2. Отже, маємо наступну відповідь:
хє[0;+∞), якщо a = -4
хє[0;2)U(2;+∞), якщо a = 4
немає коренів при а = 16
х = 4 при ає(-∞;-4)U(-4;4)U(4;16)U(16;+∞).
Розв’яжіть рівняння $\frac{\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a}}{5\cdot5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x} = 0$ залежно від значень параметра a.
Відповідь

Рівняння не має змісту, якщо aє(-∞;0);
х = -2а;4-2а, якщо $a\in[0;\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3};1\frac{2}{3})\cup(1\frac{2}{3};+\infty)$ ;
$x = -3\frac{1}{3}$ , якщо $a = 1\frac{2}{3}$
$x = 3\frac{1}{3}$ , якщо $a = \frac{1}{3}$ .
1. ОДЗ. Оскільки в рівнянні є квадратні корені, то підкореневі вирази повинні бути більше 0. Крім того, маємо знаменник, отже він не повинен дорівнювати 0. Маємо систему $\begin{cases}x^2+(4a-4)x+4a^2\ge0,\\2a\ge0,\\5\cdot5^{2x}-5^{a+x}-5^{a-1}+5^x\ne0\end{cases}$
Розглянемо окремо кожен рядок.
1) x²+(4a-4)x+4a² = x²+4ax-4x+4a² = x²+4ax+4a²-4x = (x+2a)²-4x. Отже маємо (x+2a)²-4x≥0
2) 2a≥0, звідси a≥0
3) Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння.
5⋅5^2x-5^a+x-5^a-1+5^x = 0
5⋅5^2x-5^a⋅5^x-5^a-1+5^x = 0
Виконаємо заміну змінної 5^x = t, t≥0
5⋅t²-5^a⋅t-5^a-1+t = 0
5t²+(1-5^a)t-5^a-1 = 0
D = (1-5^a)²-4⋅5⋅5^a-1 = 1-2⋅5^a+5^2a+4⋅5^a = 1+2⋅5^a+5^2a = (1+5^a)².
t₁= $\frac{5^a-1+\sqrt{(5^a+1)^2}}{2\cdot5} = \frac{5^a-1+5^a+1}{10} = \frac{2\cdot5^a}{10} = \frac{5^a}{5}$ = 5^a-1
t₂= $\frac{5^a-1-\sqrt{(5^a+1)^2}}{2\cdot5} = \frac{5^a-1-5^a-1}{10} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$
Оскільки t повинно бути більше 0, то другий корінь є зайвий. Повертаємося до попередньої змінної. 5^x = 5^a-1. Звідси х = а-1. Тому маємо х≠а-1. Остаточно, маємо $\begin{cases}(x+2a)^2-4x\ge0,\\a\ge0,\\x\ne{a-1}\end{cases}$
2. Якщо дріб дорівнює 0, то його чисельник дорівнює 0. Маємо:
$\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2}-2\sqrt{2a} = 0$
$\sqrt{x^2+(4a-4)x+4a^2} = 2\sqrt{2a}$
Оскільки обидві частини рівняння додатні, то піднесемо їх до другого степеня. Маємо
x²+(4a-4)x+4a² = 4⋅2a
x²+(4a-4)x+4a²-8a = 0
D = (4a-4)²-4⋅1⋅(4a²-8a) = 16a²-32a+16-16a²+32a = 16.
x₁= $\frac{-4a+4+\sqrt{16}}{2\cdot1} = \frac{-4a+4+4}{2} = \frac{-4a+8}{2}$ = -2a+4.
x₂= $\frac{-4a+4-\sqrt{16}}{2\cdot1} = \frac{-4a+4-4}{2} = \frac{-4a}{2}$ = -2a.
Перевіримо, чи задовольняють отримані корені ОДЗ.
x₁ = -2a+4. $\begin{cases}(-2a+4+2a)^2-4(-2a+4)\ge0,\\a\ge0,\\-2a+4\ne{a-1}\end{cases}$
$\begin{cases}4^2+8a-16\ge0,\\a\ge0,\\-2a-a\ne{-1-4}\end{cases}$
$\begin{cases}8a\ge0,\\a\ge0,\\a\ne{5:3}\end{cases}$
Отже, дане число є коренем за умови, що a≥0 та $a\ne1\frac{2}{3}$ .
x₂ = -2a. $\begin{cases}(-2a+2a)^2-4(-2a)\ge0,\\a\ge0,\\-2a\ne{a-1}\end{cases}$
$\begin{cases}8a\ge0,\\a\ge0,\\-2a-a\ne{-1}\end{cases}$
$\begin{cases}a\ge0,\\a\ge0,\\a\ne{1:3}\end{cases}$
Отже, дане число є коренем за умови, що a≥0 та $a\ne\frac{1}{3}$ .
Таким чином, ці корені будуть зайвими, якщо a<0. Рівняння буде мати ці 2 корені, якщо a≥0 та $a\ne1\frac{2}{3},a\ne\frac{1}{3}$ , тобто при $a\in[0;\frac{1}{3})\cup(\frac{1}{3};1\frac{2}{3})\cup(1\frac{2}{3};+\infty)$ . Рівняння буде мати при $a = 1\frac{2}{3}$ лише корінь х = -2а, тобто $x = -2\cdot1\frac{2}{3} = -2\frac{4}{3} = -3\frac{1}{3}$ і мати при $a = \frac{1}{3}$ лише корінь х = -2а+4, тобто $x = -2\cdot\frac{1}{3}+4 = -\frac{2}{3}+4 = 3\frac{1}{3}$ .
При якому найменшому цілому значенні параметра а рівняння $\sqrt{2x+15}\cdot(\sqrt{x^2+18x+81}-\sqrt{x^2-10x+25}) = a\sqrt{2x+15}$ має лише два різні корені?
Відповідь

-10
Застосуємо до підкореневих виразів формулу скороченого множення. Маємо $\sqrt{2x+15}\cdot(\sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2}) = a\sqrt{2x+15}$ .
ОДЗ рівняння: 2х+15≥0, звідки x≥-7,5.
Перенесемо праву частину рівняння вліво і винесемо спільний множник за дужки. Маємо $\sqrt{2x+15}(\sqrt{(x+9)^2}-\sqrt{(x-5)^2}-a) = 0$ . Оскільки $\sqrt{x^2} = |x|$ , то отримаємо рівняння $\sqrt{2x+15}(|x+9|-|x-5|-a) = 0$ . Оскільки добуток дорівнює 0, то або $\sqrt{2x+15} = 0$ , або |x+9|-|x-5|-a = 0.
З першого рівняння маємо 2х+15 = 0, звідки х = -7,5, що задовільняє ОДЗ. Отже, отримали перший корінь.
Розв'яжемо друге рівняння. Щоб розкрити модулі, потрібно знайти, при яких значеннях модулі обертаються в 0. х+9 = 0, отже х = -9; х-5 = 0, отже х = 5. Оскільки перше значення виходить за межі ОДЗ (x≥-7,5), то маємо два проміжки для розкриття модулів: [-7,5;5) та [5;+∞).
Розглянемо перший проміжок. При x∈[-7,5;5) x+9≥0, отже розкриваємо |x+9| не змінюючи знаків; х-5≤0, отже розкриваємо |x-5|, змінюючи знаки на протилежні. Маємо:
x+9-(-x+5) = a
x+9+x-5 = a
2x+4 = a
2x = a-4
$x = \frac{a-4}{2}$ . Цей корінь повинен належати проміжку [-7,5;5), отже, маємо подвійну нерівність $-7,5\le\frac{a-4}{2}<5$
-7,5⋅2≤a-4<5⋅2
-15≤a-4<10
-15+4≤a<10+4
-11≤a<14
Розглянемо другий проміжок. При x∈[-5;+∞) x+9≥0, отже розкриваємо |x+9| не змінюючи знаків; х-5≥0, отже розкриваємо |x-5| також не змінюючи знаків. Маємо:
x+9-(x-5) = a
x+9-x+5 = a
14 = a.
Оскільки змінна зникла, то дане рівняння має безлич розв'язків, якщо а = 14 або жодного, якщо a≠4. Обидва ці випадки не задовільняють умові. Отже, друге рівняння має єдиний розв'язок $x = \frac{a-4}{2}$ при -11≤a<14.
Знайдемо, при якому значенні а корінь першого рівняння співпадає з коренем другого рівняння, оскільки в цьому випадку рівняння матиме один корінь, а не 2. $-7,5 = \frac{a-4}{2}$ . Звідси -15 = а-4 і а = -11. Отже, при а = -11 рівняння матиме не два різні корені, а два однакових. Тому остаточно, рівняння має два корені при -11<a<14 і найменшим цілим числом з цього проміжку є число -10.

Розв’яжіть нерівність $\frac{(9x^2-36x+36)(a-4)}{2^x-a}\ge0$ залежно від значень параметра а.
Відповідь

якщо ає(-∞;0], то х = 2;
якщо ає(0;4), то хє(-∞;log₂a)U{2};
якщо а = 4, то хє(-∞;2)U(2;+∞);
якщо ає(4;+∞), то хє{2}U(log₂a;+∞).
Виконаємо рівносильні перетворення. $\frac{(9x^2-36x+36)(a-4)}{2^x-a}\ge0$
$\frac{9(x^2-4x+4)(a-4)}{2^x-a}\ge0$
$\frac{9(x-2)^2(a-4)}{2^x-a}\ge0$
$\frac{(x-2)^2(a-4)}{2^x-a}\ge0$
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ. 2^x-a≠0
2^x≠a
x≠log₂a.
2. Нулі функції. При a = 4 маємо (x-2)²⋅0 = 0, тоді функція дорівнює 0 при будь-яких значеннях х з ОДЗ.
При a≠4 на вираз а-4 можна поділити і маємо (x-2)² = 0 і х = 2.
3. Оскільки за ОДЗ x≠log₂a, то при а = 4 маємо x≠log₂4, тобто x≠2. Так як функція дорівнює 0 при будь-яких значеннях х з ОДЗ, то при а = 4 маємо хє(-∞;2)U(2;+∞).
Оскільки в підлогарифмічному виразі стоїть а, то методом інтервалів розв'язуємо при додатному а. З'ясуємо, який розв'язок при недодатному а. Тоді 2^x-a є додатним, а-4 є від'ємним. Тоді дріб $\frac{(x-2)^2(a-4)}{2^x-a}\le0$ і ми маємо розв'зки лише тоді, коли дріб дорівнює 0, тобто при х = 2. Отже при ає(-∞;0] х = 2
При ає(0;4) log₂a<log₂4 = 2, тому на координатній прямій log₂a розміщується лівіше від 2. Маємо
Отже, при ає(0;4) хє(-∞;log₂a)U{2}
При ає(4;+∞) log₂a>log₂4 = 2, тому на координатній прямій log₂a розміщується правіше від 2. Маємо
Отже, при ає(4;+∞) хє{2}U(log₂a;+∞)
Розв’яжіть систему рівнянь $\begin{cases}|x-y| = |x-a|\\lg(y-a) = lg(4a^2+x-x^2)\end{cases}$ залежно від значень параметра a.
Відповідь

(-2a-1;-5a-2), якщо $a\in(-\infty;-\frac{1}{3})$
немає розв’язків, якщо $a\in[-\frac{1}{3};0]$
(2a;3a), якщо a є (0;+∞).
ОДЗ: y-a>0, звідки y>a та 4a²+x-x²>0.
З рівності |x-y| = |x-a| маємо два випадки: x-y = x-a , звідки у = а та x-y = -x+a, звідки у = 2х-а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у а. Маємо lg(а-a) = lg(4a²+x-x²). З лівого боку рівняння маємо lg0, який не існує, тому І випадок розв'язків не має.
Розглянемо ІІ випадок. Оскільки, y>a та у = 2х-а, то 2х-а>a, звідки х>a
Підставимо у друге рівняння системи замість у 2х-а. Маємо:
lg(2х-а-a) = lg(4a²+x-x²)
lg(2х-2a) = lg(4a²+x-x²)
2х-2a = 4a²+x-x²
2х-2a-4a²-x+x² = 0
x²+х-2a-4a² = 0
D = 1-4⋅1⋅(2a-4a²) = 1+8a+16a² = (4a+1)².
x₁= $\frac{-1+4a+1}{2}$ = 2a
x₂= $\frac{-1-4a-1}{2}$ = -2a-1.
Перевіримо, на виконання обмежень. Маємо з х>a, для І кореня 2а>a, звідки а>0; для другого кореня -2a-1>a, звідки -3a>1 і $a<-\frac{1}{3}$ . Обчислимо відповідні значення у. у₁ = 2⋅2a-a = 4a-a = 3a, у₂ = 2⋅(-2a-1)-a = -4a-2-a = -5a-2. Отже, маємо при а>0 (2а;3а); при $a<-\frac{1}{3}$ (-2a-1;-5a-2); при інших значеннях а розв'язків немає.
Розв’яжіть систему рівнянь $\begin{cases}(2x+a)^2 = (2y+a)^2\\\sqrt{3ax-8x-6y} = x\end{cases}$ залежно від значень параметра a.
Відповідь

(0;0), якщо aє(-∞;0];
(0;0), (3a; -4a), якщо a є (0; $4\frac{2}{3}$ ];
(0;0), (3a; -4a), (3a-14;3a-14), якщо a є ( $4\frac{2}{3}$ ;+∞).
З рівності (2x+a)² = (2y+a)² маємо два випадки: 2x+a = 2y+a , звідки x = y та 2x+a = -(2y+a), звідки у = -х-а.
Розглянемо І випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у x. Маємо $\sqrt{3ax-8x-6x} = x$ , звідки маємо $\sqrt{3ax-14x} = x$ . З даної рівності маємо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то х≥0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0, тому, якщо винести х за дужки і врахувати його знак, отримаємо 3а-14≥0, звідки а≥ $\frac{14}{3}$ і а≥ $4\frac{2}{3}$ .
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Маємо:
3ах-14х = х²
х²+14х-3ах = 0
х(х+14-3а) = 0
х = 0 або х = 3а-14. Перший корінь задовільняє умовам завжди, а другий при а≥ $4\frac{2}{3}$ . Але при а = $4\frac{2}{3}$ другий корінь дорівнює 0, тобто співпадає з першим. Тому другий корінь ми записуємо при а> $4\frac{2}{3}$ . Оскільки у = х, то маємо відповіді (0;0) завжди і (3а-14;3а-14) при а> $4\frac{2}{3}$
Розглянемо ІІ випадок. Підставимо у друге рівняння системи замість у -x-а. Маємо $\sqrt{3ax-8x-6(-x-a)} = x$ , звідки маємо $\sqrt{3ax-2x+6a} = x$ . З даної рівності маємо наступні обмеження: оскільки х дорівнює квадратному кореню, то x≥0; підкореневий вираз повинен бути більше або дорівнювати 0.
Піднесемо обидві частини даного рівняння до другого степеня. Маємо:
3ах-2х+6a = х²
х²+(2-3a)х-6a = 0
D = (2-3a)²-4⋅1⋅(-6a) = 4-12a+9a²+24a = 4+12a+9a² = (2+3a)²
x₁= $\frac{-2+3a+2+3a}{2}$ = 3a
x₂= $\frac{-2+3a-2-3a}{2}$ = -2
Перший корінь задовільняє умовам при а≥0, а другий корінь не задовільняє умові , що х більше або дорівнює 0. Зауважимо, що при а = 0 отриманий перший корінь співпадає з раніше отриманим коренем х = 0, тому записуємо у відповідь х = 3а за умови, що а>0. При цьому у = -х-а = -3а-а = -4а. Отже маємо такі відповіді: (0;0) при будь-яких значеннях а; (-3а;-4а), при а>0; і при а> $4\frac{2}{3}$ додається ще корінь (3а-14;3а-14).
Розв’яжіть нерівність $\frac{log_ax}{x^2+(a-4)x+4-2a}\le0$ залежно від значень параметра a.
Відповідь

якщо a є (0;1), то xє [1;2-a)U(2;+∞);
якщо a є (1;2), то xє (0;2-a)U[1;2);
якщо a є [2;+∞), то х є [1;2).
Розв'яжемо методом інтервалів.
1. ОДЗ: x>0, a>0, a≠1, і x²+(a-4)x+4-2a≠0. Розв'яжемо квадратне рівняння x²+(a-4)x+4-2a = 0
D = (a-4)²-4⋅1⋅(4-2a) = a²-8a+16-16+8a = a²
$x_1 = \frac{-a+4+a}{2} = 2,\\x_2 = \frac{-a+4-a}{2} = 2-a$ .
2. Нулі функції. З рівності log_ax = 0 маємо за властивостями логарифмів, що х = 1.
Нанесемо отримані числа на числову пряму. Оскільки невідоме значення кореня х = 2-a, розглянемо всі можливі випадки його розміщення.
I. 2-a≤0, (a≥2). Даний корінь знаходиться лівіше від усіх точок або співпадає з 0. Маємо такий малюнок:
. Отже, при даному значенні а (a є [2;+∞)) х є [1;2)
ІI. 0<2-a≤1, (1<a<2). Даний корінь знаходиться правіше від 0 та лівіше від усіх інших точок. Маємо такий малюнок:
. Отже, при даному значенні а (a є (1;2)) х є (0;2-a)U[1;2)
ІІI. 1<2-a≤2, (0<a<1). Даний корінь знаходиться правіше від 1 та лівіше від 2. Маємо такий малюнок:
. Отже, при даному значенні а (a є (0;1)) xє [1;2-a)U(2;+∞)
ІV. 2-a≥2. Це відбувається при a≤0, чого не може бути за ОДЗ. Отже, такого випадку не існує.
Знайдіть значення параметра а, при якому корінь рівняння $lg(sin5\pi{x}) = \sqrt{16+a-x}$ належить проміжку ( $\frac{3}{2}$ ;2).
Відповідь

-14,3
З правої сторони рівняння стоїть квадратний корінь, який не може бути меншим 0. Оскільки максимальне значення sin5πx дорівнює 1, то максимальне значення lg(sin5πx) дорівнює lg1, тобто 0. Отже, з лівої сторони стоїть вираз, максимальне значення якого дорівнює 0. В такому випадку рівність досягається лише за умови, що ліва та права частина рівняння дорівнює 0. Розв'яжемо відповідні рівняння
lg(sin5πx) = 0
sin5πx = 1
5πx = $\frac{\pi}{2}$ +2πn, n∈Z
x = $\frac{\pi}{2\cdot5\pi}+\frac{2\pi{n}}{5\pi}$ , n∈Z
x = $\frac{1}{2\cdot5}+\frac{2n}{5}$ , n∈Z
x = $\frac{1}{10}+\frac{2n}{5}$ , n∈Z
Знайдемо, при якому n даний корінь потрапить у межі ( $\frac{3}{2}$ ;2). Підбираємо цілі значення n і лише при n = 4 отримаємо корінь x = $\frac{1}{10}+\frac{8}{5} = \frac{1}{10}+\frac{16}{10} = \frac{17}{10}$ . Розв'яжемо друге рівняння. Маємо 16+a-x = 0, звідки х = 16+а. Підставимо замість х отриманий корінь і маємо рівняння $\frac{17}{10}$ = 16+а. Звідси а = $\frac{17}{10}-16 = \frac{17}{10}-\frac{160}{10} = -\frac{143}{10} = -14,3$ .
При яких значеннях параметра а рівняння $\frac{(x^2-2(a+1)x+6a-3)(tg\pi{x}-1)}{\sqrt[4]{49x^2-84xa+36a^2}} = 0$ на проміжку [0;1] має рівно 2 різні корені?
Відповідь

$a\in[\frac{1}{2};\frac{5}{8})\cup(\frac{5}{8};\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4};\frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8};1]$
1. ОДЗ. 1) Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тому 49x²-84xa+36a²≠0. Застосуємо до лівої частини формулу скороченого множення і отримаємо (7x-6a)²≠0, звідки 7x≠6а і $x\ne\frac{6a}{7}$ .
2) Оскільки маємо функцію tgx, яка має обмеження, то $\pi{x}\ne\frac{\pi}{2}+\pi{n}$ , де n∈Z, звідки $x\ne\frac{1}{2}+{n}$ , де n∈Z (за умови, що корінь належить проміжку [0;1] маємо $x\ne\frac{1}{2}$ .
2. Оскільки дріб дорівнює нулю, то його чисельник дорівнює 0. В чисельнику знаходиться добуток двох виразів, тому кожен з них може дорівнювати 0. Розв'яжемо окремо кожне з рівнянь.
x²-2(a+1)x+6a-3 = 0
D = 4(a+1)²-4⋅1⋅(6a-3) = 4a²+84+4-24a+12 = 4a²-16a+16 = (2a-4)²
$x_1 = \frac{2a+2+2a-4}{2} = \frac{4a-2}{2} = 2a-1\\x_2 = \frac{2a+2-2a+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
Розв'яжемо друге рівняння. Маємо:
tgπx-1 = 0
tgπx = 1
$\pi{x} = \frac{\pi}{4}+\pi{n}$ , де n∈Z,
$x = \frac{1}{4}+n$ , де n∈Z.
Отже, маємо три корені: х = 2а-1, х = 3 та х = $\frac{1}{4}$ +n, де n∈Z. Другий корінь не потрапляє в проміжок [0;1], тому його відкидаємо.
Перший корінь потрапляє в проміжок [0;1] за умови 0≤2a-1≤1
1≤2a≤2
$\frac{1}{2}$ ≤a≤1.
Перевіримо, за яких умов він задовільняє ОДЗ. Маємо 2а-1≠ $\frac{6a}{7}$
14a-7≠6a
8a≠7
a≠ $\frac{7}{8}$
2а-1≠ $\frac{1}{2}$
2а≠ $\frac{1}{2}$ +1
2а≠ $\frac{3}{2}$
а≠ $\frac{3}{4}$ . Отже, число 2а-1 є коренем і належить проміжку [0;1]за умови $a\in[\frac{1}{2};\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4};\frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8};1]$ .
Другий корінь потрапляє в проміжок [0;1] за умови 0≤ $\frac{1}{4}$ +n≤1. Цей корінь потрапляє в даний проміжок лише при n = 0, при цьому х = $\frac{1}{4}$ . Перевіримо, за яких умов він задовільняє ОДЗ. Маємо $\frac{1}{4}\ne\frac{6a}{7}$ , звідки a≠ $\frac{7}{24}$ . $\frac{1}{4}\ne\frac{1}{2}$ , що виконується завжди. Отже, ці два корені існують і знаходяться на потрібному проміжку при виконанні умов: $a\in[\frac{1}{2};\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4};\frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8};1]$ і a≠ $\frac{7}{24}$ . Оскільки $\frac{7}{24}<\frac{1}{2}$ , то маємо просто обмеження $a\in[\frac{1}{2};\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4};\frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8};1]$
За умовою ми повинні мати два різних корені, тому відкинемо значення а, при яких ці два корені співпадають. Маємо:
2а-1 = $\frac{1}{4}$
8a-4 = 1
8a = 5
a = $\frac{5}{8}$ . Остаточно маємо, що $a\in[\frac{1}{2};\frac{5}{8})\cup(\frac{5}{8};\frac{3}{4})\cup(\frac{3}{4};\frac{7}{8})\cup(\frac{7}{8};1]$ .
Знайдіть усі від’ємні значення параметра а, при яких система рівнянь $\begin{cases}2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x| = 11-y\\25x^2-20ax = y^2-4a^2\end{cases}$ має єдиний розв’язок. Якщо таке значення одне, то запишіть його у відповіді. Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їхню суму.
Відповідь

-8,5
Виконаємо перетворення в системі.
$\begin{cases}2\sqrt{y^2-4y+4}+3|x| = 11-y\\25x^2-20ax = y^2-4a^2\end{cases}$
$\begin{cases}2\sqrt{(y-2)^2}+3|x| = 11-y\\25x^2-20ax+4a^2 = y^2\end{cases}$
$\begin{cases}2|y-2|+3|x| = 11-y\\(5x-2a)^2 = y^2\end{cases}$ (оскільки $\sqrt{a^2} = |a|$ )
$\begin{cases}2|y-2|+3|x| = 11-y\\|5x-2a| = |y|\end{cases}$
Дана система має єдиний розв'язок, якщо графіки рівнянь системи мають одну точку перетину.
Побудуємо спочатку графік того рівняння, де відсутній параметр.
Для побудови графіка рівняння 2|y-2|+3|x| = 11-y знайдемо нулі модулів, отриманими значеннями розіб'ємо координатну площину на частини і в кожній частині розкриємо модулі, спростимо вирази і побудуємо відповідні частини графіків.
у-2 = 0, звідси у = 2; х = 0. Дані прямі розбивають координатну площину на 4 півплощини.
І. y≥2,x≥0. При даних значеннях маємо рівність 2у-4+3х = 11-у, звідки 3у = 15-3х і у = 5-х. Отже, в тій частині координатної площини, де y≥2,x≥0 будуємо графік функції у = 5-х
IІ. y≥2,x<0. При даних значеннях маємо рівність 2у-4-3х = 11-у, звідки 3у = 15+3х і у = 5+х. Отже, в тій частині координатної площини, де y≥2,x<0 будуємо графік функції у = 5+x
ІII. y<2,x≥0. При даних значеннях маємо рівність -2у-4+3х = 11-у, звідки -у = 7-3х і у = -7+3х. Отже, в тій частині координатної площини, де y<2,x≥0 будуємо графік функції у = -7+3х.
ІV. y<2,x<0. При даних значеннях маємо рівність -2у-4-3х = 11-у, звідки -у = 7+3х і у = -7-3х. Отже, в тій частині координатної площини, де y<2,x<0 будуємо графік функції у = -7-3х.
Побудуємо графік другого рівняння. Спочатку побудуємо без параметра, тобто |5x| = |y|. Для цього достатньо побудувати лінії y = 5x та y = -5x. Маємо наступний малюнок
Для того, щоб мати лише одну точку перетину побудованих графіків, почнемо рухати останній графік. Оскільки перетворення f(x-a) переміщує графік вздовж Ох, то при від'ємному (за завданням) а перемістимо графік вліво, поки не будемо мати одну точку перетину. Маємо графік:
Щоб визначити коефіцієнт а, достатньо в рівняння y = 5x-2a підставити координати точки перетину (-3;2). Маємо 2 = -15-2а, звідки 2а = -17 і а = -8,5.
Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система рівнянь $\begin{cases}(2a-1)sinx+cosx = 2\\asinx+(2a-1)cosx = a+1\end{cases}$ має безліч розв'язків.
Відповідь

1,5
Помножимо перше рівняння на 2а-1, щоб мати однакові коефіцієнти біля cosx. Маємо $\begin{cases}(2a-1)^2sinx+(2a-1)cosx = 2(2a-1)\\asinx+(2a-1)cosx = a+1\end{cases}$ . Віднімемо від першого рівняння друге і отримаємо (2a-1)²sinx-asinx = 2(2a-1)-(a+1). Розв'яжемо це рівняння.
(4a²-4a+1)sinx-asinx = 4a-2-a-1
(4a²-4a+1-a)sinx = 3a-3
(4a²-5a+1)sinx = 3(a-1).
Розкладемо квадратний тричлен у дужках на множники. D = 25-16 = 9.
$a_1 = \frac{5+\sqrt{9}}{2\cdot4} = \frac{5+3}{8} = 1\\a_2 = \frac{5-\sqrt{9}}{2\cdot4} = \frac{5-3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0,25$ . Тоді 4a²-5a+1 = 4(а-1)(а-0,25) = (а-1)(4а-1). Маємо рівняння (а-1)(4а-1)sinx = 3(a-1). Оскільки а≠1 (інакше в першому рівнянні отримали б sinx+cosx = 2, що, враховуючи область значень цих функцій, може бути лише при sinx = cosx = 1, чого не може бути, так як це суперечить основній тригонометричній тотожності), то ми можемо поділити обидві частини рівняння на а-1≠0. Маємо рівняння (4а-1)sinx = 3. Оскільки а≠0,25 (інакше в першому рівнянні отримали б -0,5sinx+cosx = 2, але, враховуючи область значень цих функцій, цей вираз може мати максимальне значення -0,5⋅(-1)+1 = 0,5+1 = 1,5), то ми можемо поділити обидві частини рівняння на 4а-1≠0. Маємо рівняння $sinx = \frac{3}{4a-1}$ . Дане рівняння буде мати безліч коренів, якщо це значення sinx лежить в межах [-1;1] і задовольняє основній тригонометричній тотожності. Знайдемо з першого рівняння cosx.
$(2a-1)\frac{3}{4a-1}+cosx = 2$
$cosx = 2-(2a-1)\frac{3}{4a-1}$
$cosx = \frac{2(4a-1)-(2a-1)3}{4a-1}$
$cosx = \frac{8a-2-6a+3}{4a-1}$
$cosx = \frac{2a+1}{4a-1}$
Підставимо отримані значення sinx і cosx у основну тригонометричну тотожність. Маємо:
$(\frac{2a+1}{4a-1})^2+(\frac{3}{4a-1})^2 = 1$
$\frac{4a^2+4a+1}{16a^2-8a+1}+\frac{9}{16a^2-8a+1} = 1$
$\frac{4a^2+4a+10}{16a^2-8a+1} = 1$
4a²+4a+10 = 16a²-8a+1
12a²-12a-9 = 0
4a²-4a-3 = 0
D = 16+4⋅12 = 16+48 = 64
$a_1 = \frac{4+\sqrt{64}}{2\cdot4} = \frac{4+8}{8} = \frac{12}{8} = 1,5\\a_2 = \frac{4-\sqrt{64}}{2\cdot4} = \frac{4-8}{8} = \frac{-4}{8} = -0,5$
З цих двох чисел найбільше 1,5. Перевіримо, що при а = 1,5 значення $\frac{3}{4a-1}$ лежить в межах [-1;1]. $\frac{3}{4\cdot1,5-1} = \frac{3}{6-1} = \frac{3}{5} = 0,6$ . Отже, при а = 1,5 рівняння $sinx = \frac{3}{4a-1}$ має безліч розв'язків, відповідно і система має безліч розв'язків.
При якому найменшому значенні а рівняння $\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32 = 6a$ має хоча б один корінь?
Відповідь

5,5
Перетворимо рівняння
$\sqrt{x-2+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32 = 6a$
$\sqrt{x-3+1+2\sqrt{x-3}}+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32 = 6a$
$\sqrt{(\sqrt{x-3})^2+2\sqrt{x-3}+1}+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32 = 6a$
$\sqrt{(\sqrt{x-3}+1)^2}+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32 = 6a$
$|\sqrt{x-3}+1|+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32 = 6a$
$\sqrt{x-3}+1+(14-2a)\sqrt[4]{x-3}+32 = 6a$ .
Виконаємо заміну $\sqrt[4]{x-3}$ = t, t≥0. Отримаємо рівняння t²+(14-2a)t+33-6a = 0. Для того, щоб початкове рівняння мало корені, потрібно, щоб це рівняння мало хоча б один невід'ємний корінь. Знайдемо корені цього рівняння. D = (14-2a)²-4(33-6a) = 196-56a+4a²-132+24a = 64-32a+4a² = (8-2a)²
$t_1 = \frac{2a-14+8-2a}{2} = \frac{-6}{2} = -3\\t_1 = \frac{2a-14-8+2a}{2} = \frac{4a-22}{2} = 2a-11$ .
Перший корінь не задовольняє умові. Другий буде задовольняти за умови 2a-11≥0
2a≥11
a≥5,5. Отже, мінімальне значення а = 5,5.
Знайдіть найменше значення а, при якому має розв’язки рівняння $\frac{1}{2}$ (sinx+ $\sqrt{3}$ cosx) = 6-5a-2a².
Відповідь

-3,5
Перетворимо рівняння
$\frac{1}{2}$ (sinx+ $\sqrt{3}$ cosx) = 6-5a-2a²
$\frac{1}{2}$ sinx+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ cosx) = 6-5a-2a²
sinxcos $\frac{\pi}{3}$ +sin $\frac{\pi}{3}$ cosx = 6-5a-2a²
sin(x+ $\frac{\pi}{3}$ ) = 6-5a-2a²
Дане тригонометричне рівняння має розв'язки за умови, що права частина рівняння лежить в межах [-1;1]
Маємо систему $\begin{cases}6-5a-2a^2\le1\\6-5a-2a^2\ge-1\end{cases}$
$\begin{cases}2a^2+5a-6\ge-1\\2a^2+5a-6\le1\end{cases}$
$\begin{cases}2a^2+5a-5\ge0\\2a^2+5a-7\le0\end{cases}$
Розв'яжемо першу нерівність. 2a²+5a-5 = 0. Знайдемо корені цього рівняння. D = 5²-4⋅2⋅(-5) = 25+40 = 65
$a_1 = \frac{-5+\sqrt{65}}{2\cdot2} = \frac{-5+\sqrt{65}}{4}\\a_2 = \frac{-5-\sqrt{65}}{2\cdot2} = \frac{-5-\sqrt{65}}{4}$ .Оцінимо приблизно корені першої нерівності. Оскільки $\sqrt{65}\approx\sqrt{64} = 8$ , то a₁≈(-5+8):4 = 0,75, a₂≈(-5-8):4 = -3,25. Маємо малюнок
Розв'яжемо другу нерівність. 2a²+5a-7 = 0. Знайдемо корені цього рівняння. D = 5²-4⋅2⋅(-7) = 25+56 = 81
$a_1 = \frac{-5+\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{-5+9}{4} = 1\\a_2 = \frac{-5-\sqrt{81}}{2\cdot2} = \frac{-5-9}{4} = -3,5$ . Маємо малюнок
Для знаходження розв'язку системи, нанесемо відповіді на одну координатну вісь.
Найменшим значенням із спільної заштрихованої області є число -3,5.
Знайдіть найменше значення параметра а, при якому система $\begin{cases}x^2+y^2 = a^2\\(x-7)^2+y^2 = 1\end{cases}$ має єдиний розв’язок.
Відповідь

-8
Розв'яжемо дане завдання графічно. Система має єдиний розв'язок, якщо графіки ліній в системі мають єдину точку перетину (дотику). Спочатку потрібно будувати ту лінію, яка не залежить від параметра. Будуємо (x-7)²+y² = 1. Це рівняння кола з центом в точці (7;0) та радіусом 1. Маємо малюнок.
Далі наносимо другу лінію. Це рівняння кола з центром в точці (0;0) і радіусом |a|.
За малюнком бачимо, що нам підходять радіуси 6 і 8 (зовнішній і внутрішній дотик), відповідно |a| = 6 та |a| = 8, звідки a = ±6,a = ±8. Найменше значення з цих а = -8.
При якому найбільшому від’ємному значенні параметра а рівняння $\sqrt[4]{|x|-1}-2x = a$ має один корінь?
Відповідь

-1,625
Перетворимо це рівняння.
$\sqrt[4]{|x|-1}-2x = a$
$\sqrt[4]{|x|-1} = 2x+a$
Розв'яжемо дане завдання графічно. Рівняння має єдиний корінь, якщо графіки ліній в лівій та правій частині рівняння мають одну точку перетину (дотику). Спочатку потрібно будувати ту лінію, яка не залежить від параметра. Будуємо $\sqrt[4]{|x|-1}$ . Будуємо графік кореня четвертого степеня ( $\sqrt[4]{x}$ ).
Перенесемо побудований графік на 1 одиницю праворуч ( $\sqrt[4]{x-1}$ ).
Побудуємо в лівій частині координатної площини лінію, симетричну даній відносно осі Оу ( $\sqrt[4]{|x|-1}$ ).
Далі будуємо лінію у = 2х+а. Це лінія у = 2х, перенесена на а одиниць уздовж осі Оу. Будуємо у = 2х.
Оскільки потрібно найбільше від'ємне значення а, то переміщуємо пряму вниз до першої точки дотику чи перетину з побудованим графіком кореня. Маємо такий малюнок.
З'ясуємо, при якому а маємо такий випадок. За малюнком видно, що у = 2х+а є дотичною. Оскільки кутовий коефіцієнт прямої дорівнює 2 (коефіцієнт біля х), то потрібно знайти точку, в якій кутовий коефіцієнт дотичної до графіка кореня дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт дорівнює значенню похідної в точці дотику. Знайдемо похідну функції. Оскільки за малюнком розглядаємо перетин при додатньому х, то можна спростити, замінивши |x| на х. $y^{'} = (\sqrt[4]{|x|-1})^{'} = (\sqrt[4]{x-1})^{'} = ((x-1)^{\frac{1}{4}})^{'} = \frac{1}{4}(x-1)^{\frac{-3}{4}}$ . Прирівняємо отримане значення до 2. Маємо рівняння $\frac{1}{4}(x-1)^{\frac{-3}{4}} = 2$
$(x-1)^{\frac{-3}{4}} = 8$
$(x-1)^{\frac{-1}{4}} = 2$
$(x-1)^{\frac{1}{4}} = 0,5$
х-1 = 0,0625
х = 1,0625.
Знайдемо у в точці дотику. $\sqrt[4]{1,0625-1} = \sqrt[4]{0,0625} = 0,5$ . Отже, спільна точка прямої та графіка кореня (1,0625;0,5). Тоді координати цієї точки задовольняють рівнянню прямої.
0,5 = 2⋅1,0625+a
0,5 = 2,125+a
a = 0,5-2,125
a = -1,625.
Розв’яжіть нерівність $\sqrt{\frac{4x-1}{x-a}}>a$ залежно від значень параметра a.
Відповідь

x є (-∞;a)U[0,25;+∞), якщо a є (-∞;0);
x є (-∞;a)U[ $\frac{a^3-1}{a^2-4}$ ;+∞), якщо a є [0;0,25];
x є (-∞; $\frac{a^3-1}{a^2-4}$ )U(a;+∞), якщо a є (0,25;2);
x є (2;+∞), якщо a = 2;
x є (a; $\frac{a^3-1}{a^2-4}$ ), якщо a є (2;+∞).
I. ОДЗ. Оскільки маємо корінь парного степеня, то підкорінний вираз повинен бути невід'ємним. Маємо $\frac{4x-1}{x-a}\ge0$ . Розв'яжемо дану нерівність методом інтервалів. 1) ОДЗ: х≠a. 2)Нулі функції: 4х-1 = 0, звідки х = 1:4 = 0,25. Розмістимо дані точки на числовій прямій і визначимо знаки в інтервалах. Розглянемо всі можливі випадки розміщення даних точок.
1) a<0,25.
2) a = 0,25.
3) a>0,25.
II. 1. Якщо а<0, то, оскільки корінь завжди більше від'ємного числа, то відповіддю будуть всі значення х, що задовольняють ОДЗ. При а<0 маємо перший випадок ОДЗ, отже, при a є (-∞;0) маємо x є (-∞;a)U[0,25;+∞).
2. Розглянемо випадок, коли a≥0. Тоді в нерівності з лівої та правої сторони стоять невід'ємні вирази і ми можемо піднести обидві частини нерівності до квадрату, незмінюючи при цьому знаки нерівності. Маємо:
$\frac{4x-1}{x-a}>a^2$ (оскільки квадрат числа невід'ємне число, то всі розв'язки цієї нерівності задовільняють ОДЗ нерівності)
$\frac{4x-1}{x-a}-a^2>0$
$\frac{4x-1-a^2x+a^3}{x-a}>0$
$\frac{(4-a^2)x+a^3-1}{x-a}>0$
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1) ОДЗ: х≠a. 2)Нулі функції: розв'яжемо рівняння (4-a²)x+a³-1 = 0. Звідси (4-a²)x = 1-a³ і (a²-4)x = a³-1. Якщо коефіцієнт біля х дорівнює 0, то на нього ділити не можна. Перевіримо, при якому значенні а цей коефіцієнт дорівнює 0. Маємо a²-4 = 0, звідки a = ±2. Оскільки розглядаємо невід'ємні значення а, то залишаємо лише а = 2. При а = 2 маємо нерівність $\frac{2^3-1}{x-2}>0$ , звідки, враховуючи додатнє значення чисельника, х є (2;+∞)
При a≠2 ми можемо поділити обидві частини рівняння на a²-4 і маємо нуль функції х = $\frac{a^3-1}{a^2-4}$ . Нанесемо отримані точки на числову пряму. Для цього розглянемо різні випадки розміщення точок. Знайдемо різницю між $\frac{a^3-1}{a^2-4}$ і а.
$\frac{a^3-1}{a^2-4}-a = \frac{a^3-1-a^3+4a}{a^2-4} = \frac{4a-1}{a^2-4}$ . На проміжку [0;2)U(2;+∞) маємо наступні знаки цієї різниці.
. Отже, при а є [0;0,25] та а є (2;+∞) ця різниця додатня і $\frac{a^3-1}{a^2-4}$ розміщена справа від а, а при а є (0,25;2) навпаки.
Розглянемо проміжок а є [0;0,25].
При а є (0,25;2) маємо
При а є (2;+∞) маємо
Задано систему нерівностей $\begin{cases}\frac{3x+6}{x}\le0\\log_{\frac{a}{2}}(x-a+2)^2\ge2log_{\frac{a}{2}}(a-1)\end{cases}$ , де х — змінна, а — додатна стала.
1. Розв’яжіть першу нерівність цієї системи.
2. Визначте множину розв’язків другої нерівності системи залежно від значень а.
3. Визначте всі розв’язки системи залежно від значень а.

Відповідь

1. хє[-2;0)
2. хє(-∞;-1]U[2a-3;+∞), якщо aє(2;+∞),
хє[-1;a-2)U(a-2;2a-3], якщо aє(1;2).
3. хє[-2;-1], якщо ає(2;+∞),
хє[-1;a-2)U(a-2;2a-3], якщо aє(1;1,5),
хє[-1;a-2)U(a-2;0), якщо aє[1,5;2).
1. $\frac{3x+6}{x}$ ≤0.
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ: х≠0.
2. Нулі функції: 3х+6 = 0, звідки х = -2. Нанесемо отримані числа на числову пряму та визначимо знак функції на кожному із отриманих проміжків. Маємо
Отже хє[-2;0).
2. $log_{\frac{a}{2}}(x-a+2)^2$ ≥2 $log_{\frac{a}{2}}(a-1)$ .
Знайдемо ОДЗ нерівності
Так як основа логарифма повинна бути більше за 0 та не дорівнювати 1, а підлогарифмічний вираз більше за 0, то маємо:
$\begin{cases}a:2\ge0\\a:2\ne1\\(x-a+2)^2>0\\a-1>0\end{cases}$
Так як за умовою а є додатною сталою, тобто a>0, то перша умова виконується завжди. Так як квадрат числа є невід'ємним числом, то третя нерівність виконується завжди, крім випадку, коли цей вираз дорівнює 0. Маємо:
$\begin{cases}a\ne2\\x-a+2\ne0\\a>1\end{cases}$
Звідси маємо наступне ОДЗ: x≠a-2; a∈(1;2)U(2;++∞).
Розв'яжемо нерівність. Маємо:
$log_{\frac{a}{2}}(x-a+2)^2\ge2log_{\frac{a}{2}}(a-1)$
$log_{\frac{a}{2}}(x-a+2)^2\ge{log_{\frac{a}{2}}(a-1)^2}$
І випадок. Нехай a>2. Тоді основа логарифма більше за 1 і з даної нерівності маємо:
(x-a+2)²≥(a-1)²
|x-a+2|≥|a-1|
|x-a+2|≥a-1 (так як а з ОДЗ більше за 1, то |a-1| = a-1)
$\begin{cases}x-a+2\ge{a-1}\\x-a+2\le{-a+1}\end{cases}$
$\begin{cases}x\ge{2a-3}\\x\le{-1}\end{cases}$
Так як при aє(2;+∞) 0<a-2<2a-3, то точка а-2, яка виключена з ОДЗ, у проміжок відповіді не входить.
Отже, хє(-∞;-1]U[2a-3;+∞), якщо aє(2;+∞),
ІІ випадок. Нехай 1<a<2. Тоді основа логарифма менше за 1 і з даної нерівності маємо:
(x-a+2)²≤(a-1)²
|x-a+2|≤|a-1|
|x-a+2|≤a-1 (так як а з ОДЗ більше за 1, то |a-1| = a-1)
$\begin{cases}x-a+2\le{a-1}\\x-a+2\ge{-a+1}\end{matrix}$
$\begin{cases}x\le{2a-3}\\x\ge{-1}\end{matrix}$
Так як при aє(1;2) -1<a-2<0<2a-3, то точка а-2, яка виключена з ОДЗ, розриває проміжок відповіді.
Отже, хє[-1;a-2)U(a-2;2a-3], якщо aє(1;2).
3. Знайдемо перетин розв'язків першої та другої нерівності.
1) хє[-2;0) та хє(-∞;-1]U[2a-3;+∞), якщо aє(2;+∞). При aє(2;+∞) 2а-3>1. Маємо
Тоді хє[-2;-1], якщо ає(2;+∞),
2) хє[-2;0) та хє[-1;a-2)U(a-2;2a-3], якщо aє(1;2).
При aє(1;2) a-2 є(-1;0). Знайдемо, коли 2а-3 знаходиться лівіше за 0. 2а-3<0, звідси а<1,5. Отже, при aє(1;1,5) маємо наступний малюнок
Отже, хє[-1;a-2)U(a-2;2a-3], якщо aє(1;1,5),
Відповідно, коли aє[1,5;2) 2а-3 розміщено правіше за 0 і маємо наступний малюнок
Отже, хє[-1;a-2)U(a-2;0), якщо aє[1,5;2).
Задано систему нерівностей $\begin{cases}(x+1):(x-2)\ge0\\(1:2)^{2sin^2(\pi{a})+cos(2\pi{a})+x}>a\end{cases}$ ,a де х — змінна, а — стала.
1. Розв’яжіть першу нерівність цієї системи.
2. Визначте множину розв’язків другої нерівності системи залежно від значень а.
3. Визначте всі розв’язки системи залежно від значень а.

Відповідь

1. хє(-∞;-1]U(2;+∞)
2. хєR, якщо ає(-∞;0];
хє(-∞;-log₂(2a)), якщо ає(0;+∞]
3. хє(-∞;-1]U(2;+∞), якщо ає(-∞;0];
хє(-∞;-1]U(2;-log₂((2a)), якщо ає(0; $\frac{1}{8}$ );
хє(-∞;-1], якщо ає[ $\frac{1}{8}$ ;1);
хє(-∞;-log₂(2a)), якщо aє[1;+∞).
1. $\frac{x+1}{x-2}\ge0$ .
Розв'яжемо цю нерівність методом інтервалів. 1. ОДЗ: х-2≠0, звідки х≠2. 2. Нулі функції: х+1 = 0, звідки х = -1. Нанесемо отримані числа на числову пряму та визначимо знак функції на кожному із отриманих проміжків. Маємо
Отже хє(-∞;-1]U(2;+∞).
2. $(\frac{1}{2})^{2sin^2(\pi{a})+cos(2\pi{a})+x}>a$ .
Спростимо степінь. 2sin²(πa)+cos(2πa)+x = 2sin²(πa)+cos²(πa)-sin²(πa)+x = sin²(πa)+cos²(πa)+x = 1+x.
Маємо нерівність $(\frac{1}{2})^{1+x}>a$
Так як у лівій частині нерівності знаходиться показникова функція, яка має додатні значення при будь-яких значеннях х, то якщо а менше або дорівнює 0, дана нерівність виконується при будь-яких значеннях х. Маємо хєR, якщо ає(-∞;0].
Якщо а більше за 0, то з нерівності $(\frac{1}{2})^{1+x}>a$ маємо $log_2(\frac{1}{2})^{1+x}>log_2a$
log₂(2)^-1-x>log₂a
-1-x>log₂a
-x>1+log₂a
-x>log₂2+log₂a
-x>log₂2a
x<-log₂2a
Маємо хє(-∞;-log₂(2a)), якщо ає(0;+∞]
3. Знайдемо перетин розв'язків першої та другої нерівності. Оскільки при недодатному значенні а розв'язком другої нерівності є хєR, то перетином в цьому випадку буде весь розв'язок першої нерівності. Отже, маємо, що хє(-∞;-1]U(2;+∞), якщо ає(-∞;0].
При a більше 0 розглянемо всі можливі положення -log₂(2a). Нехай -log₂(2a)>2. Тоді log₂(2a)<-2 і 2а<2^-2
$2a<\frac{1}{4}$
$a<\frac{1}{8}$
При цьому маємо такий перетин:
Отже, хє(-∞;-1]U(2;-log₂((2a)), якщо ає(0; $\frac{1}{8}$ ).
Нехай -1<-log₂(2a)≤2. Тоді -2≤log₂(2a)<1 і 2^-2<2а<2¹
$\frac{1}{4}\le2a<2$
$\frac{1}{8}\le{a}<1$
При цьому маємо такий перетин:
Отже хє(-∞;-1], якщо ає[ $\frac{1}{8}$ ;1).
Нехай -log₂(2a)≤-1. Тоді log₂(2a)≥1 і 2а≥2¹
2а≥2
а≥1

При цьому маємо такий перетин:
Отже хє(-∞;-log₂(2a)), якщо aє[1;+∞).
Задано систему нерівностей $\begin{cases}\pi^2-x^2\ge0\\(log_3a)\cdot(2sin^2x-(2a-1)sinx-a)\ge0\end{cases}$ , де х — змінна, а — додатна стала.
1. Розв’яжіть першу нерівність цієї системи.
2. Знайдіть множину розв’язків другої нерівності залежно від значень а.
3. Визначте всі розв’язки системи залежно від значень а.

Відповідь

якщо aє(0;1), тоді хє[-π;- $\frac{5\pi}{6}$ ]U[- $\frac{\pi}{6}$ ;arcsina]U[π-arcsina;π];
якщо a = 1, тоді хє[-π;π];
якщо aє(1;+∞), тоді хє[- $\frac{5\pi}{6}$ ;- $\frac{\pi}{6}$ ].
1. З нерівності π²-x²≥0 маємо π²≥x². Звідси |x|≤|π| і х∈[-π;π].
2. З умови а більше за 0. Розглянемо можливі випадки для а.
2.1. Якщо а = 1, тоді log₃a = log₃1 = 0 і з нерівності 0⋅(2sin²x-sinx-1)≥0 слідує, що 2sin²x-sinx-1 може приймати будь-які значення. Отже х∈R при а = 1.
2.2. Нехай а>1. Тоді log₃a>0 і з нерівності log₃a⋅(2sin²x-(2а-1)sinx-а)≥0 слідує, що 2sin²x-(2а-1)sinx-а≥0. Розв`яжемо цю нерівність. Нехай sinx = t, t∈[-1;1]. Маємо квадратичну нерівність 2t²-(2а-1)t-а≥0. Розв`яжемо її за методом інтервалів. Для цього знайдемо корені відповідного квадратного рівняння 2t²-(2а-1)t-а = 0.
D = (2a-1)²-4⋅2⋅(-a) = 4a²-4a+1+8a = 4a²+4a+1 = (2a+1)². Тоді корінь із дискримінанта дорівнює |2a+1| = 2a+1.
$t_1 = \frac{2a-1+2a+1}{2\cdot2} = \frac{4a}{4} = a$
$t_2 = \frac{2a-1-(2a+1)}{2\cdot2} = \frac{-2}{4} = -0,5$ .
Нанесемо знайдені корені на числову пряму, визначимо знак в кожному з інтервалів і заштрихуємо відповідну область (враховуючи, що а>1 і t∈[-1;1]). Маємо
Отже, t∈[-1;-0,5]. Тоді sinx≤ -0,5. Роз`яжемо цю нерівність за допомогою одиничного кола. На ньому позначимо всі точки, для яких синус (ордината) менша за -0,5 і обчислимо крайні точки. Маємо точки -arcsin(0,5) = - $\frac{\pi}{6}$ та -(π-arcsin(0,5)) = -(π- $\frac{\pi}{6}$ ) = - $\frac{5\pi}{6}$ (знак "-" беремо, оскільки рухаємося за годинниковою стрілкою).
Оскільки через кожний повний оберт значення повторяться, то маємо при а більше за 1 x∈[- $\frac{5\pi}{6}$ +2πn;- $\frac{\pi}{6}$ +2πn], де n∈Z.
2.3. Нехай 0<а<1. Тоді log₃a<0 і з нерівності log₃a⋅(2sin²x-(2а-1)sinx-а)≥0 слідує, що 2sin²x-(2а-1)sinx-а≤0. Розв`яжемо цю нерівність. Нехай sinx = t, t∈[-1;1]. Маємо квадратичну нерівність 2t²-(2а-1)t-а≥0. Розв`яжемо її за методом інтервалів. Корені відповідного квадратного рівняння 2t²-(2а-1)t-а = 0 t₁ = a, t₂ = -0,5. Нанесемо знайдені корені на числову пряму, визначимо знак в кожному з інтервалів і заштрихуємо відповідну область (враховуючи, що а<1 і t∈[-1;1]). Маємо
Отже, t∈[-0,5;a]. Тоді -0,5≤sinx≤a. Роз`яжемо цю нерівність за допомогою одиничного кола. На ньому позначимо всі точки, для яких синус (ордината) більше за -0,5 і менша за а, обчислимо крайні точки. Маємо точки -arcsin(0,5) = - $\frac{\pi}{6}$ , arcsina, π-arcsina, π+arcsin(0,5)) = π+ $\frac{\pi}{6}$ ) = $\frac{7\pi}{6}$ .
Оскільки через кожний повний оберт значення повторяться, то маємо при а менше за 1 x∈[- $\frac{\pi}{6}$ +2πn;arcsina+2πn]U[π-arcsina+2πn; $\frac{7\pi}{6}$ +2πn], де n∈Z.
Таким чином, розв`язком другої нерівності є
х∈R при а = 1.
x∈[- $\frac{5\pi}{6}$ +2πn;- $\frac{\pi}{6}$ +2πn], де n∈Z при aє(1;+∞).
x∈[- $\frac{\pi}{6}$ +2πn;arcsina+2πn]U[π-arcsina+2πn; $\frac{7\pi}{6}$ +2πn], де n∈Z при aє(0;1).
3. Розв`язком системи є спільні розв`язки першого та другого завдання. Таким чином, маємо
х∈[-π;π] при а = 1.
x∈[- $\frac{5\pi}{6}$ ;- $\frac{\pi}{6}$ ] при aє(1;+∞).
хє[-π;- $\frac{5\pi}{6}$ ]U[- $\frac{\pi}{6}$ ;arcsina]U[π-arcsina;π] при aє(0;1) (так як розглядаємо проміжок від -π до π, то штриховка при а менше 1 розділяється на 3 частини.

⇐ ІІ.10.
Текстові задачі

До змісту

⇒ ІІІ.1.
Арифметична прогресія

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)