Рівняння з параметром — це задачі, у яких потрібно розв'язати рівняння для всіх можливих значень параметра a. Основна особливість таких завдань полягає в тому, що зі зміною параметра можуть змінюватися область допустимих значень, кількість коренів і навіть сама можливість існування розв’язків.
Під час розв’язування рівнянь з параметром важливо не лише знайти можливі корені, а й дослідити, за яких значень параметра вони задовольняють умови задачі. На цій сторінці розглянуто типові методи, що використовуються в завданнях НМТ:
- аналіз області допустимих значень (ОДЗ) та перевірка знайдених коренів;
- розбиття задачі на окремі випадки залежно від значення параметра;
- заміна змінної в показникових, логарифмічних та ірраціональних рівняннях;
- дослідження отриманих коренів і визначення, при яких значеннях параметра вони існують.
Нижче зібрано задачі НМТ та авторські вправи з докладними покроковими розв’язаннями. Вони допоможуть навчитися досліджувати рівняння з параметром, правильно враховувати всі можливі випадки та записувати повну відповідь залежно від значення параметра.
Завдання 1. Задано рівняння (x - 2) · (x² - 3(a - 1)x + 2a² - 3a)log0,5(3 - 2x) + 2 = 0, де х — змінна, а — стала.
1. Знайдіть множину допустимих значень змінної х.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Показати відповідь
1.хє(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
2. якщо ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,25)U(1,25; 1,5), то хє{a; 2a -3}
якщо ає{ -0,5}U[1,5; 2,25), то х = 2a -3
якщо а = 1,25, то х = a
якщо ає[2,25; +∞), то рівняння коренів не має.
1. Маємо наступні обмеження:
1) Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тобто log0,5(3 - 2x) + 2 ≠ 0
2) Оскільки підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0, то 3 - 2х > 0.
1) log0,5(3 - 2x) + 2 ≠ 0
log0,5(3 - 2x) ≠ -2
3 - 2x ≠ (0,5)⁻²
3 - 2x ≠ (½)⁻²
3 - 2x ≠ 2²
3 - 2x ≠ 4
-2x ≠ 4 - 3
-2x ≠ 1
x ≠ 1 : (-2)
x ≠ -0,5
2) 3 - 2х > 0
-2х > -3
х < -3 : (-2)
х < 1,5
{x ≠ -0,5х < 1,5
Враховуючи ці два обмеження, маємо хє(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
2. Дріб дорівнює 0, коли його чисельник дорівнює 0, тому (x - 2) · (x² - 3(a - 1)x + 2a² - 3a) = 0. Оскільки добуток двох виразів дорівнює 0, то або x - 2 = 0, або x² - 3(a - 1)x + 2a² - 3a = 0.
Розв'яжемо перше рівняння. х - 2 = 0, звідси х = 2, але х = 2 не належить множині допустимих значень змінної х, тому даний корінь є зайвим.
Розв'яжемо друге рівняння.
x² - 3(a - 1)x + 2a² - 3a = 0
D = (3(a - 1))² - 4 · 1 · (2a² - 3a) = 9(a² - 2a + 1) - 8a² + 12a = 9a² - 18a + 9 - 8a² + 12a = a² -6a + 9 = (a - 3)².
x₁ = 3(a -1) - (a -3)2 = 3a - 3 - a + 32 = 2a2 = a
x₂ = 3(a -1) + (a -3)2 = 3a - 3 + a - 32 = 4a - 62 = 2(2a - 3)2 = 2a - 3.
Перевіримо, коли перший корінь належить множині допустимих значень.
{a ≠ -0,5a < 1,5
Враховуючи ці два обмеження, маємо що х = а при ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
Перевіримо, коли другий корінь належить множині допустимих значень.
{2a - 3 ≠ -0,52a - 3 < 1,5⇔ {2a ≠ 3 - 0,52a < 3 + 1,5⇔ {2a ≠ 2,52a < 4,5⇔ {a ≠ 1,25a < 2,25
Враховуючи ці два обмеження, маємо що х = 2а - 3 при ає(-∞; 1,25)U(1,25; 2,25).
Тоді на проміжку ає(-∞; -0,5) маємо два корені; при а = -0,5 лише х = 2а - 3; потім на проміжку (-0,5; 1,25) знову два корені; при а = 1,25 лише х = а; на проміжку (1,25; 1,5) знову два корені; після цього до а = 2,25 лише корінь х = 2а - 3 і при наступних значеннях а вже коренів не буде. Тому маємо остаточну відповідь:
якщо ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,25)U(1,25; 1,5), то хє{a; 2a - 3}
якщо ає{ -0,5}U[1,5; 2,25), то х = 2a - 3
якщо а = 1,25, то х = a
якщо ає[2,25; +∞), то рівняння коренів не має.
Завдання 2. Задано рівняння (3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10)(√x² + a - √3a - 6 - x²) = 0, де х — змінна, а — стала.2. якщо ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,25)U(1,25; 1,5), то хє{a; 2a -3}
якщо ає{ -0,5}U[1,5; 2,25), то х = 2a -3
якщо а = 1,25, то х = a
якщо ає[2,25; +∞), то рівняння коренів не має.
1. Маємо наступні обмеження:
1) Оскільки маємо дріб, то його знаменник не дорівнює 0, тобто log0,5(3 - 2x) + 2 ≠ 0
2) Оскільки підлогарифмічний вираз повинен бути більше 0, то 3 - 2х > 0.
1) log0,5(3 - 2x) + 2 ≠ 0
log0,5(3 - 2x) ≠ -2
3 - 2x ≠ (0,5)⁻²
3 - 2x ≠ (½)⁻²
3 - 2x ≠ 2²
3 - 2x ≠ 4
-2x ≠ 4 - 3
-2x ≠ 1
x ≠ 1 : (-2)
x ≠ -0,5
2) 3 - 2х > 0
-2х > -3
х < -3 : (-2)
х < 1,5
{x ≠ -0,5х < 1,5
Враховуючи ці два обмеження, маємо хє(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
2. Дріб дорівнює 0, коли його чисельник дорівнює 0, тому (x - 2) · (x² - 3(a - 1)x + 2a² - 3a) = 0. Оскільки добуток двох виразів дорівнює 0, то або x - 2 = 0, або x² - 3(a - 1)x + 2a² - 3a = 0.
Розв'яжемо перше рівняння. х - 2 = 0, звідси х = 2, але х = 2 не належить множині допустимих значень змінної х, тому даний корінь є зайвим.
Розв'яжемо друге рівняння.
x² - 3(a - 1)x + 2a² - 3a = 0
D = (3(a - 1))² - 4 · 1 · (2a² - 3a) = 9(a² - 2a + 1) - 8a² + 12a = 9a² - 18a + 9 - 8a² + 12a = a² -6a + 9 = (a - 3)².
x₁ = 3(a -1) - (a -3)2 = 3a - 3 - a + 32 = 2a2 = a
x₂ = 3(a -1) + (a -3)2 = 3a - 3 + a - 32 = 4a - 62 = 2(2a - 3)2 = 2a - 3.
Перевіримо, коли перший корінь належить множині допустимих значень.
{a ≠ -0,5a < 1,5
Враховуючи ці два обмеження, маємо що х = а при ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,5).
Перевіримо, коли другий корінь належить множині допустимих значень.
{2a - 3 ≠ -0,52a - 3 < 1,5⇔ {2a ≠ 3 - 0,52a < 3 + 1,5⇔ {2a ≠ 2,52a < 4,5⇔ {a ≠ 1,25a < 2,25
Враховуючи ці два обмеження, маємо що х = 2а - 3 при ає(-∞; 1,25)U(1,25; 2,25).
Тоді на проміжку ає(-∞; -0,5) маємо два корені; при а = -0,5 лише х = 2а - 3; потім на проміжку (-0,5; 1,25) знову два корені; при а = 1,25 лише х = а; на проміжку (1,25; 1,5) знову два корені; після цього до а = 2,25 лише корінь х = 2а - 3 і при наступних значеннях а вже коренів не буде. Тому маємо остаточну відповідь:
якщо ає(-∞; -0,5)U(-0,5; 1,25)U(1,25; 1,5), то хє{a; 2a - 3}
якщо ає{ -0,5}U[1,5; 2,25), то х = 2a - 3
якщо а = 1,25, то х = a
якщо ає[2,25; +∞), то рівняння коренів не має.
1. Розв’яжіть рівняння 3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10 = 0.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Показати відповідь
1.х = -1
2. при ає(-∞; 2⅓) рівняння коренів не має
при ає[2⅓; 3) x = -1
при ає[3; +∞) x∈{ -1; √a - 3; -√a - 3}.
1. 3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10 = 0
3ˣ ·3¹ + 3ˣ · 3³ - 10 = 0
3 · 3ˣ + 27 · 3ˣ - 10 = 0
30 · 3ˣ = 10
3ˣ = 10 : 30
3ˣ = ⅓
3ˣ = 3⁻¹
x = -1
2.ОДЗ: {x² + a ≥ 03a - 6 - x² ≥ 0.
(3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10)(√x² + a - √3a - 6 - x²) = 0
3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10 = 0 або √x² + a - √3a - 6 - x² = 0
Перше рівняння має корінь -1
Розв'яжемо друге рівняння.
√x² + a - √3a - 6 - x² = 0
√x² + a = √3a - 6 - x²
Обидві частини рівняння невід'ємні, тому можемо піднести обидві частини до квадрата.
x² + a = 3a - 6 - x²
x² + x² = 3a - 6 - a
2x² = 2a - 6
x² = (2a - 6) : 2
x² = a - 3
Якщо а < 3, то дане рівняння не має коренів (квадрат числа не може бути від'ємним).
Якщо а ≥ 3, то x = ±√a - 3.
Перевіримо корені на відповідність ОДЗ.
x = -1
{1 + a ≥ 03a - 6 - 1 ≥ 0⇔ {a ≥ -13a ≥ 7⇔ {a ≥ -1a ≥ 73⇔ {a ≥ -1a ≥ 2⅓
Оскільки 2⅓ > -1, то розв'язком системи є а ≥ 2⅓. Отже, х = -1 є коренем при ає[2⅓; +∞)
При x = ±√a - 3 x² = a - 3. Тому підставивши в ОДЗ маємо:
{a - 3 + a ≥ 03a - 6 - (a - 3) ≥ 0⇔ {2a - 3 ≥ 03a - 6 - a + 3 ≥ 0⇔ {2a - 3 ≥ 02a - 3 ≥ 0
Оскільки ці корені маємо при а ≥ 3, то 2а -3 завжди більше нуля за цієї умови і тому ці значення х є коренями при а ≥ 3. Маємо остаточно: при ає(-∞; 2⅓) рівняння коренів не має
при ає[2⅓; 3) x = -1
при ає[3; +∞) x∈{-1; √a - 3; -√a - 3}.
Завдання 3. Задано рівняння (5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20)(√ax - 6 - √a - 2x) = 0, де х — змінна, а — стала.2. при ає(-∞; 2⅓) рівняння коренів не має
при ає[2⅓; 3) x = -1
при ає[3; +∞) x∈{ -1; √a - 3; -√a - 3}.
1. 3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10 = 0
3ˣ ·3¹ + 3ˣ · 3³ - 10 = 0
3 · 3ˣ + 27 · 3ˣ - 10 = 0
30 · 3ˣ = 10
3ˣ = 10 : 30
3ˣ = ⅓
3ˣ = 3⁻¹
x = -1
2.ОДЗ: {x² + a ≥ 03a - 6 - x² ≥ 0.
(3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10)(√x² + a - √3a - 6 - x²) = 0
3ˣ⁺¹ + 3ˣ⁺³ - 10 = 0 або √x² + a - √3a - 6 - x² = 0
Перше рівняння має корінь -1
Розв'яжемо друге рівняння.
√x² + a - √3a - 6 - x² = 0
√x² + a = √3a - 6 - x²
Обидві частини рівняння невід'ємні, тому можемо піднести обидві частини до квадрата.
x² + a = 3a - 6 - x²
x² + x² = 3a - 6 - a
2x² = 2a - 6
x² = (2a - 6) : 2
x² = a - 3
Якщо а < 3, то дане рівняння не має коренів (квадрат числа не може бути від'ємним).
Якщо а ≥ 3, то x = ±√a - 3.
Перевіримо корені на відповідність ОДЗ.
x = -1
{1 + a ≥ 03a - 6 - 1 ≥ 0⇔ {a ≥ -13a ≥ 7⇔ {a ≥ -1a ≥ 73⇔ {a ≥ -1a ≥ 2⅓
Оскільки 2⅓ > -1, то розв'язком системи є а ≥ 2⅓. Отже, х = -1 є коренем при ає[2⅓; +∞)
При x = ±√a - 3 x² = a - 3. Тому підставивши в ОДЗ маємо:
{a - 3 + a ≥ 03a - 6 - (a - 3) ≥ 0⇔ {2a - 3 ≥ 03a - 6 - a + 3 ≥ 0⇔ {2a - 3 ≥ 02a - 3 ≥ 0
Оскільки ці корені маємо при а ≥ 3, то 2а -3 завжди більше нуля за цієї умови і тому ці значення х є коренями при а ≥ 3. Маємо остаточно: при ає(-∞; 2⅓) рівняння коренів не має
при ає[2⅓; 3) x = -1
при ає[3; +∞) x∈{-1; √a - 3; -√a - 3}.
1. Розв’яжіть рівняння 5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20 = 0.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Показати відповідь
1.х = 0,5
2. при ає(-∞; -2√3)U[-2; 2√3) рівняння коренів не має
при ає[-2√3; -2)U[2√3; 12) x = a + 6a + 2
при ає[12, +∞) x = a + 6a + 2, x = 0,5.
1. 5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20 = 0
5·5²ˣ -5²ˣ -20 = 0
4 · 5²ˣ = 20
5²ˣ = 20 : 4
5²ˣ = 5
5²ˣ = 5¹
2x = 1
x = 0,5
2.ОДЗ: {ax - 6 ≥ 0a - 2x ≥ 0.
(5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20)(√ax - 6 - √a - 2x) = 0
5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20 = 0 або √ax - 6 - √a - 2x = 0
Перше рівняння має корінь 0,5
Розв'яжемо друге рівняння.
√ax - 6 - √a - 2x = 0
√ax - 6 = √a - 2x
Обидві частини рівняння невід'ємні, тому можемо піднести обидві частини до квадрата.
ax - 6 = a - 2x
ax + 2x = a + 6
(a + 2)x = a + 6
Якщо а = -2, то маємо 0 · x = 4, дане рівняння не має коренів.
Якщо а ≠ -2, то x = a + 6a + 2.
Перевіримо корені на відповідність ОДЗ.
x = 0,5
{0,5a - 6 ≥ 0a - 2 · 0,5 ≥ 0⇔ {0,5a ≥ 6a - 1 ≥ 0⇔ {a ≥ 12a ≥ 1
Оскільки 12 > 1, то розв'язком системи є а ≥ 12. Отже, х = 0,5 є коренем при ає[12; +∞)
x = a + 6a + 2
Оскільки цей корінь отримано з умови √ax - 6 = √a - 2x, то достатньо перевірити виконання першої нерівності ОДЗ, оскільки друга дасть таку саму.
a + 6a + 2 · a - 6 ≥ 0
a² + 6aa + 2 - 6 ≥ 0
a² + 6aa + 2 - 6a + 12a + 2 ≥ 0
a² + 6a - (6a + 12)a + 2 ≥ 0
a² + 6a - 6a - 12a + 2 ≥ 0
a² - 12a + 2 ≥ 0
(a - √12)(a + √12)a + 2 ≥ 0
(a - 2√3)(a + 2√3)a + 2 ≥ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ. a ≠ -2.
2. Нулі: a = ±2√3
Таким чином, x = a + 6a + 2 є коренем при ає[-2√3; -2)U[2√3; +∞)
Отже, маємо наступну відповідь:
при ає(-∞; -2√3)U[ -2; 2√3) рівняння коренів не має
при ає[-2√3; -2)U[2√3; 12) x = a + 6a + 2
при ає[12, +∞) x = a + 6a + 2, x = 0,5.
Завдання 4. Розв’яжіть рівняння √x² + (4a - 4)x + 4a² - 2√2a5 · 5²ˣ - 5ᵃ⁺ˣ - 5ᵃ⁻¹ + 5ˣ = 0 залежно від значень параметра a.
2. при ає(-∞; -2√3)U[-2; 2√3) рівняння коренів не має
при ає[-2√3; -2)U[2√3; 12) x = a + 6a + 2
при ає[12, +∞) x = a + 6a + 2, x = 0,5.
1. 5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20 = 0
5·5²ˣ -5²ˣ -20 = 0
4 · 5²ˣ = 20
5²ˣ = 20 : 4
5²ˣ = 5
5²ˣ = 5¹
2x = 1
x = 0,5
2.ОДЗ: {ax - 6 ≥ 0a - 2x ≥ 0.
(5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20)(√ax - 6 - √a - 2x) = 0
5²ˣ⁺¹ -25ˣ - 20 = 0 або √ax - 6 - √a - 2x = 0
Перше рівняння має корінь 0,5
Розв'яжемо друге рівняння.
√ax - 6 - √a - 2x = 0
√ax - 6 = √a - 2x
Обидві частини рівняння невід'ємні, тому можемо піднести обидві частини до квадрата.
ax - 6 = a - 2x
ax + 2x = a + 6
(a + 2)x = a + 6
Якщо а = -2, то маємо 0 · x = 4, дане рівняння не має коренів.
Якщо а ≠ -2, то x = a + 6a + 2.
Перевіримо корені на відповідність ОДЗ.
x = 0,5
{0,5a - 6 ≥ 0a - 2 · 0,5 ≥ 0⇔ {0,5a ≥ 6a - 1 ≥ 0⇔ {a ≥ 12a ≥ 1
Оскільки 12 > 1, то розв'язком системи є а ≥ 12. Отже, х = 0,5 є коренем при ає[12; +∞)
x = a + 6a + 2
Оскільки цей корінь отримано з умови √ax - 6 = √a - 2x, то достатньо перевірити виконання першої нерівності ОДЗ, оскільки друга дасть таку саму.
a + 6a + 2 · a - 6 ≥ 0
a² + 6aa + 2 - 6 ≥ 0
a² + 6aa + 2 - 6a + 12a + 2 ≥ 0
a² + 6a - (6a + 12)a + 2 ≥ 0
a² + 6a - 6a - 12a + 2 ≥ 0
a² - 12a + 2 ≥ 0
(a - √12)(a + √12)a + 2 ≥ 0
(a - 2√3)(a + 2√3)a + 2 ≥ 0
Розв'яжемо нерівність методом інтервалів.
1. ОДЗ. a ≠ -2.
2. Нулі: a = ±2√3
Таким чином, x = a + 6a + 2 є коренем при ає[-2√3; -2)U[2√3; +∞)
Отже, маємо наступну відповідь:
при ає(-∞; -2√3)U[ -2; 2√3) рівняння коренів не має
при ає[-2√3; -2)U[2√3; 12) x = a + 6a + 2
при ає[12, +∞) x = a + 6a + 2, x = 0,5.
Показати відповідь
Рівняння не має змісту, якщо aє(-∞; 0);
х = -2а; 4 - 2а, якщо a∈[0; ⅓)∪(⅓; 1⅔)∪(1⅔; +∞);
x = -3⅓, якщо a = 1⅔
x = 3⅓, якщо a = ⅓.
1. ОДЗ. Оскільки в рівнянні є квадратні корені, то підкореневі вирази повинні бути не менше 0. Крім того, маємо знаменник, отже він не повинен дорівнювати 0. Маємо систему {x² + (4a - 4)x + 4a² ≥ 02a ≥ 05 · 5²ˣ - 5ᵃ⁺ˣ - 5ᵃ⁻¹ + 5ˣ ≠ 0
Розглянемо окремо кожен рядок.
1) x² + (4a - 4)x + 4a² = x² + 4ax - 4x + 4a² = x² + 4ax + 4a² - 4x = (x + 2a)² - 4x. Отже маємо (x + 2a)² - 4x ≥ 0
2) 2a ≥ 0, звідси a ≥ 0
3) Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння.
5 · 5²ˣ - 5ᵃ⁺ˣ - 5ᵃ⁻¹ + 5ˣ = 0
5 · 5²ˣ - 5ᵃ · 5ˣ - 5ᵃ⁻¹ + 5ˣ = 0
Виконаємо заміну змінної 5ˣ = t, t ≥ 0
5 · t² - 5ᵃ · t - 5ᵃ⁻¹ + t = 0
5t² + (1 - 5ᵃ)t - 5ᵃ⁻¹ = 0
D = (1 - 5ᵃ)² - 4 · 5 · 5ᵃ⁻¹ = 1 - 2 · 5ᵃ + 5²ᵃ + 4 · 5ᵃ = 1 + 2 · 5ᵃ + 5²ᵃ = (1 + 5ᵃ)².
t₁ = 5ᵃ - 1 - (1 + 5ᵃ)2 · 5 = 5ᵃ - 1 - 1 - 5ᵃ10 = -210 = -0,2
t₂ = 5ᵃ - 1 + (1 + 5ᵃ)2 · 5 = 5ᵃ - 1 + 1 + 5ᵃ10 = 2 · 5ᵃ10 = 5ᵃ5 = 5ᵃ⁻¹
Оскільки t повинно бути не менше 0, то перший корінь є зайвий. Повертаємося до попередньої змінної. 5ˣ = 5ᵃ⁻¹. Звідси х = а -1. Тому маємо х ≠ а - 1. Остаточно, маємо {(x + 2a)² - 4x ≥ 0a ≥ 0х ≠ а - 1
2. Якщо дріб дорівнює 0, то його чисельник дорівнює 0. Маємо:
√x² + (4a - 4)x + 4a² - 2√2a
√x² + (4a - 4)x + 4a² = 2√2a
Оскільки обидві частини рівняння додатні, то піднесемо обидві частини до квадрата. Маємо
x² + (4a - 4)x + 4a² = 4 · 2a
x² + (4a - 4)x + 4a² - 8a = 0
D = (4a - 4)² - 4 · 1 · (4a² - 8a) = 16a² - 32a + 16 - 16a² + 32a = 16.
x₁ = -4a + 4 - √162 · 1 = -4a + 4 - 42 = -4a2 = -2a
x₂ = -4a + 4 + √162 · 1 = -4a + 4 + 42 = -4a + 82 = 2(-2a + 4)2 = -2a + 4
Перевіримо, чи задовольняють отримані корені ОДЗ.
x₁ = -2a.
{(-2a + 2a)² - 4(-2a) ≥ 0a ≥ 0-2a ≠ а - 1⇔ {8a ≥ 0a ≥ 0-2a - a ≠ -1⇔ {a ≥ 0a ≥ 0-3a ≠ -1⇔ {a ≥ 0a ≥ 0a ≠ ⅓. Отримуємо лише дві різні умови: a ≥ 0, a ≠ ⅓.
x₂ = -2a + 4.
{(-2a + 4 + 2a)² - 4(-2a + 4) ≥ 0a ≥ 0-2a + 4 ≠ а - 1⇔ {4² +8a -16 ≥ 0a ≥ 0-2a - a ≠ -1 - 4⇔ {8a ≥ 0a ≥ 0-3a ≠ -5⇔ {a ≥ 0a ≥ 0a ≠ 53⇔ {a ≥ 0a ≥ 0a ≠ 1⅔
Отримуємо лише дві різні умови: a ≥ 0, a ≠ 1⅔.
Отже, дане число є коренем за умови, що a ≥ 0 та a ≠ 1⅔.
Таким чином, ці корені будуть зайвими, якщо a < 0. Рівняння буде мати ці 2 корені, якщо a ≥ 0 та a ≠ 1⅔, a ≠ ⅓, тобто при a∈[0; ⅓)∪(⅓; 1⅔)∪(1⅔; +∞). Рівняння буде мати при a = 1⅔ лише корінь х = -2а, тобто x = -2 · 1⅔ = -2 · 53 = -103 = -3⅓ і мати при a = ⅓ лише корінь х = -2а + 4, тобто x = -2 · ⅓ + 4 = -⅔ + 4 = 3⅓.
Завдання 5. Задано рівняння (x - √x - 2)(a² - 16)2ˣ - a = 0, де х — змінна, а — стала.х = -2а; 4 - 2а, якщо a∈[0; ⅓)∪(⅓; 1⅔)∪(1⅔; +∞);
x = -3⅓, якщо a = 1⅔
x = 3⅓, якщо a = ⅓.
1. ОДЗ. Оскільки в рівнянні є квадратні корені, то підкореневі вирази повинні бути не менше 0. Крім того, маємо знаменник, отже він не повинен дорівнювати 0. Маємо систему {x² + (4a - 4)x + 4a² ≥ 02a ≥ 05 · 5²ˣ - 5ᵃ⁺ˣ - 5ᵃ⁻¹ + 5ˣ ≠ 0
Розглянемо окремо кожен рядок.
1) x² + (4a - 4)x + 4a² = x² + 4ax - 4x + 4a² = x² + 4ax + 4a² - 4x = (x + 2a)² - 4x. Отже маємо (x + 2a)² - 4x ≥ 0
2) 2a ≥ 0, звідси a ≥ 0
3) Розв'яжемо відповідне квадратне рівняння.
5 · 5²ˣ - 5ᵃ⁺ˣ - 5ᵃ⁻¹ + 5ˣ = 0
5 · 5²ˣ - 5ᵃ · 5ˣ - 5ᵃ⁻¹ + 5ˣ = 0
Виконаємо заміну змінної 5ˣ = t, t ≥ 0
5 · t² - 5ᵃ · t - 5ᵃ⁻¹ + t = 0
5t² + (1 - 5ᵃ)t - 5ᵃ⁻¹ = 0
D = (1 - 5ᵃ)² - 4 · 5 · 5ᵃ⁻¹ = 1 - 2 · 5ᵃ + 5²ᵃ + 4 · 5ᵃ = 1 + 2 · 5ᵃ + 5²ᵃ = (1 + 5ᵃ)².
t₁ = 5ᵃ - 1 - (1 + 5ᵃ)2 · 5 = 5ᵃ - 1 - 1 - 5ᵃ10 = -210 = -0,2
t₂ = 5ᵃ - 1 + (1 + 5ᵃ)2 · 5 = 5ᵃ - 1 + 1 + 5ᵃ10 = 2 · 5ᵃ10 = 5ᵃ5 = 5ᵃ⁻¹
Оскільки t повинно бути не менше 0, то перший корінь є зайвий. Повертаємося до попередньої змінної. 5ˣ = 5ᵃ⁻¹. Звідси х = а -1. Тому маємо х ≠ а - 1. Остаточно, маємо {(x + 2a)² - 4x ≥ 0a ≥ 0х ≠ а - 1
2. Якщо дріб дорівнює 0, то його чисельник дорівнює 0. Маємо:
√x² + (4a - 4)x + 4a² - 2√2a
√x² + (4a - 4)x + 4a² = 2√2a
Оскільки обидві частини рівняння додатні, то піднесемо обидві частини до квадрата. Маємо
x² + (4a - 4)x + 4a² = 4 · 2a
x² + (4a - 4)x + 4a² - 8a = 0
D = (4a - 4)² - 4 · 1 · (4a² - 8a) = 16a² - 32a + 16 - 16a² + 32a = 16.
x₁ = -4a + 4 - √162 · 1 = -4a + 4 - 42 = -4a2 = -2a
x₂ = -4a + 4 + √162 · 1 = -4a + 4 + 42 = -4a + 82 = 2(-2a + 4)2 = -2a + 4
Перевіримо, чи задовольняють отримані корені ОДЗ.
x₁ = -2a.
{(-2a + 2a)² - 4(-2a) ≥ 0a ≥ 0-2a ≠ а - 1⇔ {8a ≥ 0a ≥ 0-2a - a ≠ -1⇔ {a ≥ 0a ≥ 0-3a ≠ -1⇔ {a ≥ 0a ≥ 0a ≠ ⅓. Отримуємо лише дві різні умови: a ≥ 0, a ≠ ⅓.
x₂ = -2a + 4.
{(-2a + 4 + 2a)² - 4(-2a + 4) ≥ 0a ≥ 0-2a + 4 ≠ а - 1⇔ {4² +8a -16 ≥ 0a ≥ 0-2a - a ≠ -1 - 4⇔ {8a ≥ 0a ≥ 0-3a ≠ -5⇔ {a ≥ 0a ≥ 0a ≠ 53⇔ {a ≥ 0a ≥ 0a ≠ 1⅔
Отримуємо лише дві різні умови: a ≥ 0, a ≠ 1⅔.
Отже, дане число є коренем за умови, що a ≥ 0 та a ≠ 1⅔.
Таким чином, ці корені будуть зайвими, якщо a < 0. Рівняння буде мати ці 2 корені, якщо a ≥ 0 та a ≠ 1⅔, a ≠ ⅓, тобто при a∈[0; ⅓)∪(⅓; 1⅔)∪(1⅔; +∞). Рівняння буде мати при a = 1⅔ лише корінь х = -2а, тобто x = -2 · 1⅔ = -2 · 53 = -103 = -3⅓ і мати при a = ⅓ лише корінь х = -2а + 4, тобто x = -2 · ⅓ + 4 = -⅔ + 4 = 3⅓.
1. Розв’яжіть рівняння x - √x - 2 = 0.
2. Розв’яжіть задане рівняння залежно від значень а.
Показати відповідь
1.х = 4
2. хє[0; +∞), якщо a = -4
хє[0; 2)U(2; +∞), якщо a = 4
немає коренів при а = 16
х = 4 при ає(-∞; -4)U(-4; 4)U(4; 16)U(16; +∞).
1. x - √x - 2 = 0
Зробимо заміну √x = t. Оскільки корінь квадратний більше або дорівнює 0, то нам підходять лише значення t ≥ 0. Маємо рівняння t² - t -2 = 0.
D = (-1)² - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9.
t₁ = 1 - √92 · 1 = 1 - 32 · 1 = -22 = -1
t₂ = 1 + √92 · 1 = 1 + 32 · 1 = 42 = 2
Перший корінь не задовольняє умові t ≥ 0, тому залишається лише t = 2.
√x = 2
x = 4
2. ОДЗ: I) 2ˣ - a ≠ 0
2ˣ ≠ a
x ≠ log₂a
II) x ≥ 0 (підкореневий вираз не може бути менше 0).
Оскільки дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, то маємо рівняння (x - √x - 2)(a² - 16) = 0. Звідси або x - √x - 2 = 0, розв'язком якого є х = 4, або a² - 16 = 0, звідки a² = 16 і а = ±4.
Щоб корінь х = 4 задовольняв ОДЗ, потрібно, щоб 4 ≠ log₂a, звідки a ≠ 2⁴ = 16.
При а = ±4 підходить будь-яке значення х, що задовольняє ОДЗ, тобто x ≥ 0. Але, Оскільки x ≠ log₂a, то при а = 4 x ≠ log₂4 = 2. Отже, маємо наступну відповідь:
хє[0; +∞), якщо a = -4
хє[0; 2)U(2; +∞), якщо a = 4
немає коренів при а = 16
х = 4 при ає(-∞; -4)U(-4; 4)U(4; 16)U(16; +∞).
2. хє[0; +∞), якщо a = -4
хє[0; 2)U(2; +∞), якщо a = 4
немає коренів при а = 16
х = 4 при ає(-∞; -4)U(-4; 4)U(4; 16)U(16; +∞).
1. x - √x - 2 = 0
Зробимо заміну √x = t. Оскільки корінь квадратний більше або дорівнює 0, то нам підходять лише значення t ≥ 0. Маємо рівняння t² - t -2 = 0.
D = (-1)² - 4 · 1 · (-2) = 1 + 8 = 9.
t₁ = 1 - √92 · 1 = 1 - 32 · 1 = -22 = -1
t₂ = 1 + √92 · 1 = 1 + 32 · 1 = 42 = 2
Перший корінь не задовольняє умові t ≥ 0, тому залишається лише t = 2.
√x = 2
x = 4
2. ОДЗ: I) 2ˣ - a ≠ 0
2ˣ ≠ a
x ≠ log₂a
II) x ≥ 0 (підкореневий вираз не може бути менше 0).
Оскільки дріб дорівнює нулю, коли його чисельник дорівнює нулю, то маємо рівняння (x - √x - 2)(a² - 16) = 0. Звідси або x - √x - 2 = 0, розв'язком якого є х = 4, або a² - 16 = 0, звідки a² = 16 і а = ±4.
Щоб корінь х = 4 задовольняв ОДЗ, потрібно, щоб 4 ≠ log₂a, звідки a ≠ 2⁴ = 16.
При а = ±4 підходить будь-яке значення х, що задовольняє ОДЗ, тобто x ≥ 0. Але, Оскільки x ≠ log₂a, то при а = 4 x ≠ log₂4 = 2. Отже, маємо наступну відповідь:
хє[0; +∞), якщо a = -4
хє[0; 2)U(2; +∞), якщо a = 4
немає коренів при а = 16
х = 4 при ає(-∞; -4)U(-4; 4)U(4; 16)U(16; +∞).
Коментарі