Перейти до основного вмісту

Системи рівнянь

    Способи розв'язування систем рівнянь
    1. Метод підстановки. Виражаємо з одного з рівнянь системи одну змінну через іншу і підставляємо у інше рівняння. Отримуємо рівняння відносно однієї змінної, розв'язуємо його і підставляємо отримане значення змінної у будь-яке рівняння, щоб отримати значення другої змінної.
    2. Метод додавання. Якщо рівняння системи мають однаковий вигляд, то утворюємо (за необхідності) однакові коефіцієнти біля однієї із змінних шляхом множення рівнянь системи на відповідні числа і потім віднімаємо від одного з рівнянь інше. Отримуємо рівняння відносно однієї змінної, розв'язуємо його і підставляємо отримане значення змінної у будь-яке рівняння, щоб отримати значення другої змінної.
  1. НМТ 2024. Розв’яжіть систему рівнянь . Якщо (x0;y0) - розв'язок системи, то x0+y0=
    АБВГД
    –3,5 4,5 6 -4 10,5
    Показати відповідь
    А
  2. НМТ 2023. Розв’яжіть систему рівнянь . Якщо (x0;y0) - розв'язок системи, то x0+y0=
    АБВГД
    –150 35 36 42 150
    Показати відповідь
    Г.
    Виразити з першого рівняння х через у.
  3. Розв’яжіть систему рівнянь . Для одержаного розв’язку (x0;y0) укажіть суму x0+y0.
    АБВГД
    –2,5 –3,5 3,5 6,5 –1,5
    Показати відповідь
    А.



    Помножимо друге рівняння на -3 і додамо обидва рівняння. Маємо:
    6x-6x+10y+3y = -27-12
    13y = -39
    y = -39:13
    y = -3
    Підставимо отримане значення y в друге рівняння: 2х = -3+4. Звідси 2х = 1 і х = 0,5. У відповідь маємо 0,5-3 = -2,5.
  4. Розв’яжіть систему рівнянь . Для одержаного розв’язку (x0;y0) укажіть добуток x0⋅y0.
    АБВГД
    5 10 20 40 48
    Показати відповідь
    Г.
    1. Метод підстановки. З другого рівняння системи маємо, що х = 14-у. Підставимо це у перше рівняння. Маємо 2у = 5(14-у). Звідси 2у = 70-5у. Перенесемо -5у у ліву частину рівняння, отримаємо 7у = 70, звідки у = 10. Підставимо це значення у вираз х = 14-у і отримаємо х = 14-10 = 4. У відповідь маємо 4⋅10 = 40.
    2. Метод додавання. Помножимо обидві частини другого рівняння в системі на 2. Маємо і віднімемо від другого рівняння перше. Отримаємо 2х+2y-2y-(-5x) = 28. Звідси 7х = 28 і х = 28:7 = 4. Підставимо отримане значення х у перше рівняння: 2у = 5⋅4. Звідси 2y = 20 і y = 10. У відповідь маємо 4⋅10 = 40.
  5. Розв’яжіть систему . Якщо (x0;y0) - розв'язок цієї системи, то x0 =
    АБВГД
    -24 36 4,8 7,2 -36
    Показати відповідь
    А.
    Помножимо обидві частини другого рівняння в системі на 4. Маємо і додамо обидва рівняння. Отримаємо 4х = 48+6х. Звідси -2х = 48 і х = 48:(-2) = -24. Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 4у = 6⋅(-24). Звідси y = 6⋅(-24):4 = 6⋅(-6) = -36. У відповідь маємо -24.
  6. Розв’яжіть систему рівнянь . Для одержаного розв’язку (x0;y0) системи знайдіть суму x0+y0.
    АБВГД
    -18 3 4 8 12
    Показати відповідь
    В.
    I спосіб
    Додамо перше та друге рівняння в системі. Отримаємо 3x+3y = 12. Якщо поділити обидві частини отриманої рівності на 3, отримаємо x+y = 4. Уважно! Даний спосіб можна використовувати лише за умови, що розв'язок існує (для цього достатньо перевірити, що відношення коефіцієнтів при відповідних змінних не однакові 2:1≠5:(-2).
    II спосіб
    Помножимо обидві частини другого рівняння в системі на 2. Маємо і віднімемо від першого рівняння друге. Отримаємо 5y+4y = 5-14. Звідси 9y = -9 і y = -1. Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 2х+5(-1) = 5. Звідси 2х = 10 і х = 5. У відповідь маємо х+у = 5-1 = 4.
    IIІ спосіб
    Виразимо в другому рівнянні х через у. Маємо . Підставимо даний вираз у І рівняння. Маємо . Розв'яжемо перше рівняння.
    2(7+2y)+5y = 5
    14+4y+5y = 5
    9у = 5-14
    9у = -9
    y = -1.
    Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 2х+5(-1) = 5. Звідси 2х = 10 і х = 5. У відповідь маємо х+у = 5-1 = 4.
  7. Розв’яжіть систему рівнянь . Для одержаного розв’язку (x0;y0) обчисліть суму x0+y0.
    АБВГД
    -4 1 -1 4 -3
    Показати відповідь
    Д.
    I спосіб
    Додамо рівняння системи. Отримаємо 2х+х-3у+3у = 14-11. Звідси 3х = 3 і х = 1. Підставимо отримане значення х у перше рівняння: 2⋅1-3y = 14. Звідси -3y = 12 і y = - 4. У відповідь маємо х+у = 1-4 = -3.
    II спосіб
    Виразимо в другому рівнянні х через у. Маємо . Підставимо даний вираз у І рівняння. Маємо . Розв'яжемо перше рівняння.
    2(-11-3y)-3y = 14
    -22-6y-3y = 14
    -9у = 14+22
    -9у = 36
    y = -4.
    Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 2х-3(-4) = 14. Звідси 2х = 2 і х = 1. У відповідь маємо х+у = 1-4 = -3.
  8. Розв’яжіть систему рівнянь . Якщо (x0;y0) – розв'язок системи, то x0 =.
    АБВГД
    -6 -16 -9 2 6
    Показати відповідь
    А .
    Розкриємо дужки в другому рівнянні. Отримаємо . Підставимо у друге рівняння з першого замість ху число -12. Маємо . Розв'яжемо друге рівняння.
    2⋅(-12)-x = -18
    -24-x = -18
    -x = -18+24
    -x = 6
    x = -6.
    Підставимо отримане значення x у перше рівняння: -6y = -12. Звідси y = 2. У відповідь маємо х = -6.
  9. Розв’яжіть систему рівнянь . Якщо (x0;y0) – розв'язок цієї системи, то x0⋅y0 =
    АБВГД
    -36 -14 -6 4 6
    Показати відповідь
    Б.
    Розв'яжемо спочатку друге рівняння. Маємо 4x = 4-2, звідки х = -2.
    Підставимо отримане значення x у перше рівняння: -2+y = 5. Звідси y = 7. У відповідь маємо x0⋅y0⋅ = -2⋅7 = -14.
  10. Скільки всього розв’язків має система рівнянь ?
    АБВГД
    жодного один два три більше трьох
    Показати відповідь
    А.
    Додамо обидва рівняння системи. Маємо x2+x2-y2+у2 = -5+3. Звідси 2x2 = -2, тоді x2 = -1. Оскільки квадрат числа не може бути від'ємним, то дане рівняння не має розв'язків.
  11. Скільки всього розв’язків має система рівнянь ?
    АБВГД
    жодного один два три більше трьох
    Показати відповідь
    В.
    Додамо обидва рівняння системи. Маємо x2+x2-y2+у2 = -4+4. Звідси 2x2 = 0, тоді x2 = 0 і х = 0.
    Підставимо отримане значення x у друге рівняння 0+у2 = 4. Звідси y2 = 4 і y = ±2. Отже маємо два розв'язки.
  12. Якщо +y = 5 і -y = 7, то у дорівнює
    АБВГД
    -2 -1 3 2 1
    Показати відповідь
    Д.
    Додамо обидва рівняння. Маємо 3 = 12. Звідси = 4
    Підставимо отримане значення у перше рівняння: 4+у = 5. Звідси y = 1.
  13. Розв’яжіть систему рівнянь . Для одержаного розв’язку (x0;y0) системи обчисліть суму x0+y0.
    АБВГД
    11 21 -7 -10 -14
    Показати відповідь
    А.
    Розв'яжемо спочатку перше рівняння. Маємо = 4, звідки х = 16. Підставимо отримане значення х у друге рівняння системи: 16-2у = 26, звідки -2у = 10 і у = -5. У відповідь маємо 16-5 = 11.
  14. Розв’яжіть систему . Якщо пара (x0;y0) є єдиним розв’язком цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь добуток x0∙y0. Якщо пари (x1;y1) та (x2;y2) є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків x1∙y1 та x2∙y2.
    Показати відповідь
    -130.
    Виразимо з першого рівняння у через х: . Підставимо у друге рівняння замість у отриманий вираз. Маємо:
    x2+4 = 8(3-x)
    x2+4 = 24-8x
    x2+4-24+8x = 0
    x2+8x-20 = 0
    D = 82-4⋅1⋅(-20) = 64+80 = 144.
    x1 = = 2
    x2 = = -10
    Підставимо отримані значення х у перше рівняння
    x1 = 2: y+2 = 3, звідси у1 = 1
    x2 = -10: y-10 = 3, звідси у2 = 13.
    Підстановкою перевіряємо, що обидві пари є розв'язками. Тоді x1∙y1 = 2 і x2∙y2 = -130. Найменшим з цих добутків є число -130.
  15. Розв’яжіть систему рівнянь . Запишіть у відповідь добуток x0∙y0, якщо пара (x0;y0) є розв’язком цієї системи рівнянь.
    Показати відповідь
    -18.
    Помножимо обидві частини другого рівняння на його знаменник. Маємо


    .
    Додамо обидва рівняння, маємо:
    y-x+x-4y = 9-18
    -3y = -9. Звідси y = 3.
    Підставимо отримане значення у у перше рівняння
    3-х = 9, звідси -х = 6 і х = -6.
    Підстановкою перевіряємо, що ця пара є розв'язком. Тоді x0⋅у0 = -6⋅3 = -18.
  16. Розв’яжіть систему . Якщо система має єдиний розв’язок (x0;y0), то у відповідь запишіть суму x0+y0; якщо система має більше, ніж один розв’язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків.
    Показати відповідь
    -12.
    Оцінимо ліву та праву частину першого рівняння. Оскільки функція y = cosx не перевищує 1, то y = 5cosx не перевищує 5. З правого боку парабола, гілки якої спрямовані вгору, отже найменше значення вона досягає у вершині. xв = -b:2a = 8:2 = 4. yв = 42-8⋅4+21 = 16-32+21 = 5. Оскільки в рівності з лівого боку стоїть вираз, який не більше 5, а з правого боку стоїть вираз, який не менше 5, то рівними вони будуть лише при значенні 5 (одразу маємо, що права функція досягає цього значення лише в точці х = 4). Підставимо х = 4 у друге рівняння. Маємо у+5⋅4-4 = 0, звідки у = -16. Перевіркою встановлюємо, що 5cos(π⋅(-16):2) = 5cos(8π) = 5. Отже, пара (4;-16) дійсно є розв'язком і у відповіді маємо число 4-16 = -12.
  17. Розв’яжіть систему рівнянь . Запишіть у відповідь добуток x0y0, якщо пара (x0;y0) є розв’язком системи рівнянь.
    Показати відповідь
    -0,5.
    Оцінимо ліву та праву частину першого рівняння. Функція y = cosx не перевищує 1. З правого боку парабола, гілки якої спрямовані вгору, піднята на одиницю вгору і зміщена на 1 праворуч (отже значення правої частини не менше одиниці). Оскільки в рівності з лівого боку стоїть вираз, який не більше 1, а з правого боку стоїть вираз, який не менше 1, то рівними вони будуть лише при значенні 1 (одразу маємо, що права функція досягає цього значення лише в точці у = 1). Оцінимо ліву та праву частину другого рівняння. Функція y = sinx не перевищує 1, отже y = 4sinx не перевищує 4. З правого боку парабола, гілки якої спрямовані вгору, отже найменше значення вона досягає у вершині. xв = -b:2a = -4:8 = -0,5. yв = 4(-0,5)2+4⋅(-0,5)+5 = 1-2+5 = 4. Оскільки в рівності з лівого боку стоїть вираз, який не більше 4, а з правого боку стоїть вираз, який не менше 4, то рівними вони будуть лише при значенні 4 (одразу маємо, що права функція досягає цього значення лише в точці х = -0,5. Перевіркою встановлюємо, що cos(π:2⋅(2(-0,5)+5)) = cos(π:2⋅4) = cos(2π) = 1 і 4sin(π⋅1:2) = 4sin(π:2) = 4⋅1 = 4. Отже, пара (-0,5;1) дійсно є розв'язком і у відповіді маємо число -0,5⋅1 = -0,5.
  18. Розв’яжіть систему рівнянь . Запишіть у відповідь суму x0+y0, якщо пара (x0;y0) є розв’язком системи рівнянь.
    Показати відповідь
    4.
    Оскільки з лівого боку в першому рівнянні стоїть добуток простих чисел, то правий бік також представимо у вигляді добутку простих чисел (розкладемо на прості множники). Маємо 2x⋅3y = 24 = 8⋅3 = 2331. Звідси маємо, що х = 3, у = 1. Підставимо отримані значення у друге рівняння. Маємо 21⋅33 = 2⋅27 = 54. Отже, пара (3;1) дійсно є розв'язком і у відповіді маємо число 3+1 = 4.
⇐ ІІ.8.
Логарифмічні нерівності		 До змісту ⇒ ІІ.10.
Текстові задачі

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар