Системи рівнянь

Системи рівнянь — це фундамент математичного моделювання. Більшість прикладних задач з фізики, економіки чи геометрії врешті-решт зводяться до пошуку спільних значень змінних x та y, які задовольняють дві або більше умов одночасно. На іспиті НМТ системи рівнянь зустрічаються як у вигляді чистих алгебраїчних прикладів, так і в текстових задачах на рух, роботу чи суміші.

Для успішного розв'язання важливо володіти трьома основними "інструментами":

• Метод підстановки: ідеальний, коли в одному з рівнянь коефіцієнт біля змінної дорівнює 1 або -1. Виражаємо одну змінну та "вкладаємо" її в інше рівняння.
• Метод додавання (виключення змінних): найшвидший спосіб, коли коефіцієнти біля x та y є однаковими за модулем. Додаючи або віднімаючи рівняння, ми миттєво позбуваємося однієї невідомої.
• Графічний метод: незамінний, коли потрібно визначити кількість розв'язків системи. Кожен розв'язок — це точка перетину графіків функцій на площині.

У цьому розділі ми розглянемо як класичні лінійні системи, так і більш складні випадки: системи з показниками, логарифмами, тригонометрією та модулями. Особливу увагу приділено методам оцінки області значень, які часто стають ключем до розв'язання завдань поглибленого рівня.

---

Способи розв'язування систем рівнянь
1. Метод підстановки. Виражаємо з одного з рівнянь системи одну змінну через іншу і підставляємо у інше рівняння. Отримуємо рівняння відносно однієї змінної, розв'язуємо його і підставляємо отримане значення змінної у будь-яке рівняння, щоб отримати значення другої змінної.
2. Метод додавання. Якщо рівняння системи мають однаковий вигляд, то утворюємо (за необхідності) однакові коефіцієнти біля однієї із змінних шляхом множення рівнянь системи на відповідні числа і потім віднімаємо від одного з рівнянь інше. Отримуємо рівняння відносно однієї змінної, розв'язуємо його і підставляємо отримане значення змінної у будь-яке рівняння, щоб отримати значення другої змінної.

Завдання 1. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}2x-\frac{y}{3} = 7,\\4x+\frac{2y}{3}=6\end{cases}. Якщо (x₀;y₀) - розв'язок системи, то x₀+y₀=

–3,5

4,5

6

-4

10,5

Показати відповідь

А
\begin{cases}2x-\frac{y}{3} = 7,\\4x+\frac{2y}{3}=6\end{cases}. Помножимо перше рівняння системи на 2.
\begin{cases}4x-\frac{2y}{3} = 14,\\4x+\frac{2y}{3}=6\end{cases}. Додамо обидва рівняння системи, при цьому змінна y зникає(коефіцієнти цієї змінної в цих рівняннях є протилежними числами).
8х = 20
х = 20 : 8
х = 2,5
Підставимо отримане значення х у перше рівняння початкової системи.
2\cdot2,5-\frac{y}{3} = 7
5-\frac{y}{3} = 7
-\frac{y}{3} = 7 - 5
-\frac{y}{3} = 2
y = 2 · (-3)
y = - 6.
x₀+y₀= 2,5 + (- 6) = - 3,5.

Завдання 2. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}\frac{1}{3y} = \frac{2}{x},\\x-y=30\end{cases}. Якщо (x₀;y₀) - розв'язок системи, то x₀+y₀=

–150

35

36

42

150

Показати відповідь

Г.
\begin{cases}\frac{1}{3y} = \frac{2}{x},\\x-y=30\end{cases}. Виразимо з першого рівняння х через у.
\frac{1}{3y} = \frac{2}{x}. За властивістю пропорції (добуток крайніх членів пропорції дорівнює добутку середніх членів пропорції) маємо
1 · x = 3y · 2
x = 6y
Підставимо даний вираз у друге рівняння системи
6у - у = 30
5у = 30
у = 30 : 5
у = 6
Підставимо отримане значення y у вираз x = 6y
x = 6 · 5 = 36. x₀+y₀= 36 + 6 = 42.

Завдання 3. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}6(x+5)+10y = 3,\\2x = y+4\end{cases}. Для одержаного розв’язку (x₀;y₀) укажіть суму x₀+y₀.

–2,5

–3,5

3,5

6,5

–1,5

Показати відповідь

А.
\begin{cases}6(x+5)+10y = 3,\\2x = y+4\end{cases}
\begin{cases}6x+30+10y = 3,\\2x = y+4\end{cases}
\begin{cases}6x+10y = -27,\\2x-y = 4\end{cases}
Помножимо друге рівняння на -3 і додамо обидва рівняння. Маємо: \begin{cases}6x+10y = -27,\\-6x+3y = -12\end{cases}
6x - 6x + 10y + 3y = -27 - 12
13y = -39
y = -39 : 13
y = -3
Підставимо отримане значення y в друге рівняння: 2х = -3+4. Звідси 2х = 1 і х = 0,5. У відповідь маємо 0,5-3 = -2,5.

Завдання 4. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}2y = 5x,\\x+y = 14\end{cases}. Для одержаного розв’язку (x₀;y₀) укажіть добуток x₀·y₀.

5

10

20

40

48

Показати відповідь

Г.
1. Метод підстановки. З другого рівняння системи маємо, що х = 14-у. Підставимо це у перше рівняння. Маємо 2у = 5(14-у). Звідси 2у = 70-5у. Перенесемо -5у у ліву частину рівняння, отримаємо 7у = 70, звідки у = 10. Підставимо це значення у вираз х = 14-у і отримаємо х = 14-10 = 4. У відповідь маємо 4·10 = 40.
2. Метод додавання. Помножимо обидві частини другого рівняння в системі на 2. Маємо \begin{cases}2y-5x = 0,\\2x+2y = 28\end{cases} і віднімемо від другого рівняння перше. Отримаємо 2х+2y-2y-(-5x) = 28. Звідси 7х = 28 і х = 28:7 = 4. Підставимо отримане значення х у перше рівняння: 2у = 5·4. Звідси 2y = 20 і y = 10. У відповідь маємо 4·10 = 40.

Завдання 5. Розв’яжіть систему \begin{cases}4y = 6x,\\x-y = 12\end{cases}. Якщо (x₀;y₀) - розв'язок цієї системи, то x₀ =

-24

36

4,8

7,2

-36

Показати відповідь

А.
Помножимо обидві частини другого рівняння в системі на 4. Маємо \begin{cases}4y = 6x,\\4x-4y = 48\end{cases} і додамо обидва рівняння. Отримаємо 4х = 48 + 6х. Звідси -2х = 48 і х = 48 : (-2) = -24. Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 4у = 6·(-24). Звідси y = 6·(-24):4 = 6·(-6) = -36. У відповідь маємо -24.

Завдання 6. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}2x+5y = 5,\\x-2y = 7\end{cases}. Для одержаного розв’язку (x₀;y₀) системи знайдіть суму x₀+y₀.

-18

3

4

8

12

Показати відповідь

В.
I спосіб
Додамо перше та друге рівняння в системі. Отримаємо 3x+3y = 12. Якщо поділити обидві частини отриманої рівності на 3, отримаємо x+y = 4. Уважно! Даний спосіб можна використовувати лише за умови, що розв'язок існує (для цього достатньо перевірити, що відношення коефіцієнтів при відповідних змінних не однакові 2:1≠5:(-2).
II спосіб
Помножимо обидві частини другого рівняння в системі на 2. Маємо \begin{cases}2x+5y = 5,\\2x-4y = 14\end{cases} і віднімемо від першого рівняння друге. Отримаємо 5y+4y = 5-14. Звідси 9y = -9 і y = -1. Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 2х+5(-1) = 5. Звідси 2х = 10 і х = 5. У відповідь маємо х+у = 5-1 = 4.
IIІ спосіб
Виразимо в другому рівнянні х через у. Маємо \begin{cases}2x+5y = 5,\\x = 7+2y\end{cases}. Підставимо даний вираз у І рівняння. Маємо \begin{cases}2(7+2y)+5y = 5,\\x = 7+2y\end{cases}. Розв'яжемо перше рівняння.
2(7+2y)+5y = 5
14+4y+5y = 5
9у = 5-14
9у = -9
y = -1.
Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 2х+5(-1) = 5. Звідси 2х = 10 і х = 5. У відповідь маємо х+у = 5-1 = 4.

Завдання 7. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}2x-3y = 14,\\x+3y = -11\end{cases}. Для одержаного розв’язку (x₀;y₀) обчисліть суму x₀+y₀.

-4

1

-1

4

-3

Показати відповідь

Д.
I спосіб
Додамо рівняння системи. Отримаємо 2х+х-3у+3у = 14-11. Звідси 3х = 3 і х = 1. Підставимо отримане значення х у перше рівняння: 2·1-3y = 14. Звідси -3y = 12 і y = - 4. У відповідь маємо х+у = 1-4 = -3.
II спосіб
Виразимо в другому рівнянні х через у. Маємо \begin{cases}2x-3y = 14,\\x = -11-3y\end{cases}. Підставимо даний вираз у І рівняння. Маємо \begin{cases}2(-11-3y)-3y = 14,\\x = -11-3y\end{cases}. Розв'яжемо перше рівняння.
2(-11-3y)-3y = 14
-22-6y-3y = 14
-9у = 14+22
-9у = 36
y = -4.
Підставимо отримане значення у у перше рівняння: 2х-3(-4) = 14. Звідси 2х = 2 і х = 1. У відповідь маємо х+у = 1-4 = -3.

Завдання 8. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}xy = -12,\\x(2y-1) = -18\end{cases}. Якщо (x₀;y₀) – розв'язок системи, то x₀ =.

-6

-16

-9

2

6

Показати відповідь

А.
Розкриємо дужки в другому рівнянні. Отримаємо \begin{cases}xy = -12,\\2xy-x = -18\end{cases}. Підставимо у друге рівняння з першого замість ху число -12. Маємо \begin{cases}xy = -12,\\2\cdot(-12)-x = -18\end{cases}. Розв'яжемо друге рівняння.
2·(-12)-x = -18
-24-x = -18
-x = -18+24
-x = 6
x = -6.
Підставимо отримане значення x у перше рівняння: -6y = -12. Звідси y = 2. У відповідь маємо х = -6.

Завдання 9. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}x+y = 5,\\4^x = 16^{-1}\end{cases}. Якщо (x₀;y₀) – розв'язок цієї системи, то x₀·y₀ =

-36

-14

-6

4

6

Показати відповідь

Б.
Розв'яжемо спочатку друге рівняння. Маємо 4^x = 4^-2, звідки х = -2.
Підставимо отримане значення x у перше рівняння: -2+y = 5. Звідси y = 7. У відповідь маємо x₀·y₀· = -2·7 = -14.

Завдання 10. Скільки всього розв’язків має система рівнянь \begin{cases}x^2-y^2 = -5,\\x^2+y^2 = 3\end{cases}?

жодного

один

два

три

більше трьох

Показати відповідь

А.
Додамо обидва рівняння системи. Маємо x²+x²-y²+у² = -5+3. Звідси 2x² = -2, тоді x² = -1. Оскільки квадрат числа не може бути від'ємним, то дане рівняння не має розв'язків.

Завдання 11. Скільки всього розв’язків має система рівнянь \begin{cases}x^2-y^2 = -4,\\x^2+y^2 = 4\end{cases}?

жодного

один

два

три

більше трьох

Показати відповідь

В.
Додамо обидва рівняння системи. Маємо x²+x²-y²+у² = -4+4. Звідси 2x² = 0, тоді x² = 0 і х = 0.
Підставимо отримане значення x у друге рівняння 0+у² = 4. Звідси y² = 4 і y = ±2. Отже маємо два розв'язки.

Завдання 12. Якщо \sqrt{x}+y = 5 і 2\sqrt{x}-y = 7, то у дорівнює

-2

-1

3

2

1

Показати відповідь

Д.
Додамо обидва рівняння. Маємо 3\sqrt{x} = 12. Звідси \sqrt{x} = 4
Підставимо отримане значення у перше рівняння: 4+у = 5. Звідси y = 1.

Завдання 13. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}3\sqrt{x} = 12,\\x-2y = 26\end{cases}. Для одержаного розв’язку (x₀;y₀) системи обчисліть суму x₀+y₀.

11

21

-7

-10

-14

Показати відповідь

А.
Розв'яжемо спочатку перше рівняння. Маємо \sqrt{x} = 4, звідки х = 16. Підставимо отримане значення х у друге рівняння системи: 16-2у = 26, звідки -2у = 10 і у = -5. У відповідь маємо 16-5 = 11.

Завдання 14. Розв’яжіть систему \begin{cases}y+x = 3,\\x^2+4 = 8y\end{cases}. Якщо пара (x₀;y₀) є єдиним розв’язком цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь добуток x₀∙y₀. Якщо пари (x₁;y₁) та (x₂;y₂) є розв’язками цієї системи рівнянь, то запишіть у відповідь найменший із добутків x₁∙y₁ та x₂∙y₂.

Показати відповідь

-130.
Виразимо з першого рівняння у через х: \begin{cases}y = 3-x,\\x^2+4 = 8y\end{cases}. Підставимо у друге рівняння замість у отриманий вираз. Маємо:
x²+4 = 8(3-x)
x²+4 = 24-8x
x²+4-24+8x = 0
x²+8x-20 = 0
D = 8²-4·1·(-20) = 64+80 = 144.
x₁ = \frac{-8+\sqrt{144}}{2\cdot1} = \frac{-8+12}{2} = \frac{4}{2} = 2
x₂ = \frac{-8-\sqrt{144}}{2\cdot1} = \frac{-8-12}{2} = \frac{-20}{2} = -10
Підставимо отримані значення х у перше рівняння
x₁ = 2: y+2 = 3, звідси у₁ = 1
x₂ = -10: y-10 = 3, звідси у₂ = 13.
Підстановкою перевіряємо, що обидві пари є розв'язками. Тоді x₁∙y₁ = 2 і x₂∙y₂ = -130. Найменшим з цих добутків є число -130.

Завдання 15. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}y-x = 9,\\\frac{x+8}{2y-5} = 2\end{cases}. Запишіть у відповідь добуток x₀∙y₀, якщо пара (x₀;y₀) є розв’язком цієї системи рівнянь.

Показати відповідь

-18.
Помножимо обидві частини другого рівняння на його знаменник. Маємо
\begin{cases}y-x = 9,\\x+8 = 2(2y-5)\end{cases}
\begin{cases}y-x = 9,\\x+8 = 4y-10\end{cases}.
\begin{cases}y-x = 9,\\x-4y = -18\end{cases}.
Додамо обидва рівняння, маємо:
y-x+x-4y = 9-18
-3y = -9. Звідси y = 3.
Підставимо отримане значення у у перше рівняння
3-х = 9, звідси -х = 6 і х = -6.
Підстановкою перевіряємо, що ця пара є розв'язком. Тоді x₀·у₀ = -6·3 = -18.

Завдання 16. Розв’яжіть систему \begin{cases}5cos\frac{\pi{y}}{2} = x^2-8x+21,\\y+5x-4 = 0\end{cases}. Якщо система має єдиний розв’язок (x₀;y₀), то у відповідь запишіть суму x₀+y₀; якщо система має більше, ніж один розв’язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків.

Показати відповідь

-12.
Оцінимо ліву та праву частину першого рівняння. Оскільки функція y = cosx не перевищує 1, то y = 5cosx не перевищує 5. З правого боку парабола, гілки якої спрямовані вгору, отже найменше значення вона досягає у вершині. x_в = -b:2a = 8:2 = 4. y_в = 4²-8·4+21 = 16-32+21 = 5. Оскільки в рівності з лівого боку стоїть вираз, який не більше 5, а з правого боку стоїть вираз, який не менше 5, то рівними вони будуть лише при значенні 5 (одразу маємо, що права функція досягає цього значення лише в точці х = 4). Підставимо х = 4 у друге рівняння. Маємо у+5·4-4 = 0, звідки у = -16. Перевіркою встановлюємо, що 5cos(π·(-16):2) = 5cos(8π) = 5. Отже, пара (4;-16) дійсно є розв'язком і у відповіді маємо число 4-16 = -12.

Завдання 17. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}cos(\frac{\pi}{2}(2x+5)) = 1+(y-1)^8,\\4sin\frac{\pi{y}}{2} = 4x^2+4x+5\end{cases}. Запишіть у відповідь добуток x₀y₀, якщо пара (x₀;y₀) є розв’язком системи рівнянь.

Показати відповідь

-0,5.
Оцінимо ліву та праву частину першого рівняння. Функція y = cosx не перевищує 1. З правого боку парабола, гілки якої спрямовані вгору, піднята на одиницю вгору і зміщена на 1 праворуч (отже значення правої частини не менше одиниці). Оскільки в рівності з лівого боку стоїть вираз, який не більше 1, а з правого боку стоїть вираз, який не менше 1, то рівними вони будуть лише при значенні 1 (одразу маємо, що права функція досягає цього значення лише в точці у = 1). Оцінимо ліву та праву частину другого рівняння. Функція y = sinx не перевищує 1, отже y = 4sinx не перевищує 4. З правого боку парабола, гілки якої спрямовані вгору, отже найменше значення вона досягає у вершині. x_в = -b:2a = -4:8 = -0,5. y_в = 4(-0,5)²+4·(-0,5)+5 = 1-2+5 = 4. Оскільки в рівності з лівого боку стоїть вираз, який не більше 4, а з правого боку стоїть вираз, який не менше 4, то рівними вони будуть лише при значенні 4 (одразу маємо, що права функція досягає цього значення лише в точці х = -0,5. Перевіркою встановлюємо, що cos(π:2·(2(-0,5)+5)) = cos(π:2·4) = cos(2π) = 1 і 4sin(π·1:2) = 4sin(π:2) = 4·1 = 4. Отже, пара (-0,5;1) дійсно є розв'язком і у відповіді маємо число -0,5·1 = -0,5.

Завдання 18. Розв’яжіть систему рівнянь \begin{cases}2^x\cdot3^y = 24,\\2^y\cdot3^x = 54\end{cases}. Запишіть у відповідь суму x₀+y₀, якщо пара (x₀;y₀) є розв’язком системи рівнянь.

Показати відповідь

4.
Оскільки з лівого боку в першому рівнянні стоїть добуток простих чисел, то правий бік також представимо у вигляді добутку простих чисел (розкладемо на прості множники). Маємо 2^x·3^y = 24 = 8·3 = 2³3¹. Звідси маємо, що х = 3, у = 1. Підставимо отримані значення у друге рівняння. Маємо 2¹·3³ = 2·27 = 54. Отже, пара (3;1) дійсно є розв'язком і у відповіді маємо число 3+1 = 4.

⇐ ІІ.8.
Логарифмічні нерівності До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.10.
Текстові задачі ⇒