Логарифмічні нерівності

Логарифмічні нерівності — важливий розділ алгебри, що вивчає співвідношення між логарифмічними виразами залежно від властивостей їхньої основи. Розуміння цієї теми є критично важливим для успішного складання НМТ, оскільки вона поєднує в собі знання області допустимих значень, властивостей зростання та спадання функцій, а також навички роботи з системами нерівностей.

На цій сторінці представлено систематизований виклад теорії та практикум із детальним розбором тестових завдань НМТ минулих років. Ми розглянемо алгоритми розв’язання типових нерівностей, навчимося правильно враховувати ОДЗ та дізнаємося, у яких випадках знак нерівності змінюється на протилежний, а у яких — залишається незмінним.

---

1. Якщо a>1, то з нерівності log_af(x)<log_ag(x) слідує, що \begin{cases}f(x)\lt{g(x)}\\f(x)>0\\g(x)>0 \end{cases}
2. Якщо 0<a<1, то з нерівності log_af(x)<log_ag(x) слідує, що \begin{cases}f(x)>g(x)\\f(x)>0\\g(x)>0 \end{cases}
3. Якщо a>1, то з нерівності log_af(x)<k слідує, що \begin{cases}f(x)\lt{a^k}\\f(x)>0 \end{cases}
4. Якщо 0<a<1, то з нерівності log_af(x)<k слідує, що \begin{cases}f(x)>a^k\\f(x)>0 \end{cases}

НМТ 2023. Розв’яжіть нерівність log_0,3(x+3)>log_0,34.

А	Б	В	Г	Д
(1; +∞)	(7; +∞)	(-∞; 1)	(0; 1)	(-3; 1)

Показати відповідь

Д
Оскільки основа 0,3 менша за 1, то знак нерівності змінюємо
\begin{cases}x + 3\lt4,\\x + 3 \gt0 \end{cases}
\begin{cases}x \lt4-3,\\x \gt0-3 \end{cases}
\begin{cases}x \lt1,\\x \gt-3 \end{cases}
Отже, х∈(-3; 1).

---

Розв’яжіть нерівність log_0,9(3x)>2.

А	Б	В	Г	Д
(-∞; 0,27)	(-∞; 0,6)	(0,27; +∞)	(0,6; +∞)	(0; 0,27)

Показати відповідь

Д.
ОДЗ: x>0.
log_0,9(3x)>2
3x<0,9² (основа менша 1, тому знак нерівності змінюємо на протилежний)
3x<0,81
x<0,27
Враховуючи ОДЗ, маємо x∈(0; 0,27).

Розв’яжіть нерівність log₃x<-1.

А	Б	В	Г	Д
(\frac{1}{3};+∞)	(-∞;\frac{1}{3})	(-\frac{1}{3};0)	(0;\frac{1}{3})	(-∞ -3)

Показати відповідь

Г.
ОДЗ: x>0.
log₃x<-1
x<3^-1 (основа більше 1, тому знак нерівності залишаємо без змін). Звідси x<\frac{1}{3}. Враховуючи ОДЗ, маємо x∈(0;\frac{1}{3}) .

Розв’яжіть нерівність log_0,5(х-1)>2.

А	Б	В	Г	Д
(1;1,25)	(2;+∞)	(1,25;+∞)	(0;0,25)	(-∞;1,25)

Показати відповідь

А.
ОДЗ: x-1>0, звідси x>1.
log_0,5(х-1)>2
x-1<0,5² (основа менше за 1, тому знак нерівності змінюємо на протилежний)
x-1<0,25
x<0,25+1
x<1,25.
Враховуючи ОДЗ, маємо x∈(1;1,25).

Розв’яжіть нерівність log_{\frac{1}{5}}x>2.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;\frac{1}{25})	(\frac{1}{25};+∞)	(0;\frac{1}{25})	(10;+∞)	(-∞;\frac{1}{10})

Показати відповідь

В.
ОДЗ: x>0.
log_{\frac{1}{5}}x>2
x<\left(\frac{1}{5}\right)^2
x<\frac{1}{25}
Враховуючи ОДЗ, маємо x∈(0;\frac{1}{25}) .

Розв’яжіть нерівність log_0,55<log_0,5x.

А	Б	В	Г	Д
(-5;0)	(0;5)	(5;+∞)	(0,5;5)	(-∞;5)

Показати відповідь

Б.
ОДЗ: x>0.
log_0,55<log_0,5x
5>x (основа менше за 1, тому знак нерівності змінюємо на протилежний)
x<5.
Враховуючи ОДЗ, маємо x∈(0;5).

Розв’яжіть нерівність log_0,4x≥log_0,42.

А	Б	В	Г	Д
(-∞;2]	(0,4;2]	(0;+∞)	[2;+∞)	(0;2]

Показати відповідь

Д.
ОДЗ: x>0.
log_0,4x≥log_0,42
x≤2 (основа менше за 1, тому знак нерівності змінюємо на протилежний).

Враховуючи ОДЗ, маємо x∈(0;2].

Розв’яжіть нерівність log_{\frac{1}{4}}3⋅log₄x>0.

А	Б	В	Г	Д
(1;+∞)	(0;4)	(0;1)	(4;+∞)	(-∞;1)

Показати відповідь

В.
ОДЗ: x>0.
Оскільки в першому логарифмі основа менше за 1, а підлогарифмічний вираз більше за 1, то значення даного логарифму менше 0. Тому ми можемо поділити обидві частини нерівності на цей логарифм, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний. Маємо log₄x<0. Звідси x<4⁰ і x<1. Враховуючи ОДЗ, маємо x∈(0;1).

Розв’яжіть нерівність log₂x<b, використавши рисунок.

А	Б	В	Г	Д
(0;2b)	(0;b)	(-∞;2b)	(log2b;+∞)	(-∞;b)

Показати відповідь

А.
Знайдемо, в якій точці значення функції дорівнює b. log₂x = b. Звідси x = 2^b. За графіком, функція менше за b, коли х менше за 2^b. Отже x∈(0;2^b).

Розв’яжіть нерівності (1-4). Кожній нерівності поставте у відповідність множину всіх її розв’язків (А-Д).

Нерівність	Множина розв'язків
1 5x-2>1 2 \frac{-2}{x+2}>0 3 log2x<1 4 x2<4	А (-∞;2) Б (-2;2) В (0;2) Г (-∞;-2) Д (2;+∞)

Показати відповідь

1-Д, 2-Г, 3-В, 4-Б.
1) 5^x-2>1
5^x-2>5⁰
x-2>0
x>2. Звідси x∈(2;+∞).
2) Оскільки чисельник менше 0, то для того, щоб дріб був більше 0, потрібно, щоб знаменник був менше 0. Отже x+2<0. Звідси x<-2 і x∈(-∞;-2).
3) log₂x<1
x<2. За ОДЗ x>0. Звідси x∈(0;2).
4) x²<4. Звідси |x|<2. Тоді -2<x<2 і x∈(-2;2) .

Знайдіть кількість усіх цілих розв’язків нерівності log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)≥-2. Якщо нерівність має безліч цілих розв’язків, то у відповідь запишіть число 100.

Показати відповідь

4.
1. ОДЗ: x²+6x>0. Звідси маємо x(x+6)>0. Розв'яжемо дану нерівність методом інтервалів. Нулі функції х = 0 та х = -6. Нанесемо ці точки на числову пряму.

Звідси x∈(-∞;-6)∪(0;+∞).
2. log_{\frac{1}{4}}(x^2+6x)≥-2
x²+6x≤\left(\frac{1}{4}\right)^{-2}
x²+6x≤4²
x²+6x≤16
x²+6x-16≤0. Розв'яжемо дану нерівність методом інтервалів. Знайдемо корені відповідного квадратного рівняння.
Д = 6²-4⋅1⋅(-16) = 36+64 = 100.
x₁ = \frac{-6+\sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{-6+10}{2} = \frac{4}{2} = 2
x₂ = \frac{-6-\sqrt{100}}{2\cdot1} = \frac{-6-10}{2} = \frac{-16}{2} = -8.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.

Отже x∈[-8;2]. Враховуючи ОДЗ, маємо проміжок х∈[-8;-6)∪(0;2]. Цілі числа: -8, -7, 1, 2. Отже, їх кількість 4.

Розв’яжіть нерівність lg\frac{4}{2x-3}≥0. У відповіді запишіть найбільший розв’язок цієї нерівності. Якщо найбільший розв’язок нерівності не існує, то у відповіді запишіть число 100.

Показати відповідь

3,5.
1. ОДЗ: \frac{4}{2x-3}≥0. Оскільки чисельник більше 0, то для того, щоб дріб був більше 0, потрібно, щоб знаменник був більше 0. Отже 2x-3>0. Звідси маємо 2x>3 і x>1,5.
2. lg\frac{4}{2x-3}≥0
\frac{4}{2x-3}≥10⁰
\frac{4}{2x-3}≥1
Оскільки з ОДЗ відомо, що знаменник більше 0, то ми можемо домножити обидві частини нерівності на знаменник, при цьому знак нерівності залишається без змін. Маємо 4≥2x-3
2x-3≤4
2x≤4+3
2x≤7
x≤3,5. Враховуючи ОДЗ, маємо проміжок х∈(1,5;3,5]. Найбільшим розв'язком цієї нерівності є число 3,5.

⇐ ІІ.7. Показникові нерівності

До змісту

⇒ ІІ.9. Системи рівнянь