Показникові нерівності — фундаментальний розділ алгебри, що вивчає нерівності, у яких змінна знаходиться в показнику степеня. Розуміння цієї теми є критично важливим для розв'язання прикладних задач із фізики та економіки, де багато процесів описуються за допомогою експоненціальних моделей (наприклад, радіоактивний розпад або складні відсотки).
На цій сторінці представлено систематизований виклад теорії та практикум із детальним розбором тестових завдань. Ми розглянемо ключову особливість цієї теми: залежність знака нерівності від основи степеня, навчимося зводити вирази до спільної основи та працювати зі складними системами нерівностей.
1. Якщо a > 1, то з нерівності af(x) < ag(x) слідує, що f(x) < g(x).
2. Якщо 0 < a < 1, то з нерівності af(x) < ag(x) слідує, що f(x) > g(x).
Завдання 1. Розв'яжіть систему нерівностей {5ˣ < 25,2 - x < 8
2. Якщо 0 < a < 1, то з нерівності af(x) < ag(x) слідує, що f(x) > g(x).
(2; 6)
(2; +∞)
(–6; 5)
(–∞; –6)
(–6; 2)
Показати відповідь
Д
{5ˣ < 25,2 - x < 8
{5ˣ < 5²,- x < 8 - 2
{x < 2,- x < 6
{x < 2,x > -6
Маємо подвійне штрихування на проміжку x ∈(–6; 2)
{5ˣ < 25,2 - x < 8
{5ˣ < 5²,- x < 8 - 2
{x < 2,- x < 6
{x < 2,x > -6
Маємо подвійне штрихування на проміжку x ∈(–6; 2)
Завдання 2. Розв'яжіть нерівність 3ˣ < 27 ∙ 3⁻ˣ.
(–∞; 23)
(32; +∞)
(–∞; 3)
(23; +∞)
(–∞; 32)
Показати відповідь
Д.
3ˣ < 27∙3⁻ˣ
3ˣ : 3⁻ˣ< 27
3²ˣ < 27
3²ˣ <3³
2x < 3
x < 32. х ∈ (–∞; 32)
Завдання 3. Розв'яжіть нерівність 4 ∙ 3ˣ < 3ˣ + 6.
3ˣ < 27∙3⁻ˣ
3ˣ : 3⁻ˣ< 27
3²ˣ < 27
3²ˣ <3³
2x < 3
x < 32. х ∈ (–∞; 32)
(–∞; log₉6)
(–∞; log₂3)
(–∞; 2)
(–∞; 1)
(–∞; log₃2)
Показати відповідь
Д.
4 ∙ 3ˣ < 3ˣ + 6
4 ∙ 3ˣ -3ˣ < 6
3 ∙ 3ˣ < 6
3ˣ < 2
log₃3ˣ < log₃2 (прологарифмуємо обидві частини нерівності логарифмом з основою більше 1, тому знак нерівності не змінюємо)
x ∙ log₃3 < log₃2
x < log₃2 x∈(–∞; log₃2).
Завдання 4. Яке з наведених чисел є розв’язком подвійної нерівності 5 ≤ 3ˣ ≤ 15?
4 ∙ 3ˣ < 3ˣ + 6
4 ∙ 3ˣ -3ˣ < 6
3 ∙ 3ˣ < 6
3ˣ < 2
log₃3ˣ < log₃2 (прологарифмуємо обидві частини нерівності логарифмом з основою більше 1, тому знак нерівності не змінюємо)
x ∙ log₃3 < log₃2
x < log₃2 x∈(–∞; log₃2).
5
4
3
2
1
Показати відповідь
Г.
А) 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 > 15, тому не підходить.
Б) 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 > 15, тому не підходить.
В) 3³ = 3 · 3 · 3 = 27 > 15, тому не підходить.
Г) 3² = 3 · 3 = 9, 5 ≤ 9 ≤ 15, тому підходить.
Д) 3¹ = 3 < 5, тому не підходить.
Завдання 5. Розв'яжіть нерівність 2⁴ˣ⁻⁵ ≥ 2.
А) 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243 > 15, тому не підходить.
Б) 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81 > 15, тому не підходить.
В) 3³ = 3 · 3 · 3 = 27 > 15, тому не підходить.
Г) 3² = 3 · 3 = 9, 5 ≤ 9 ≤ 15, тому підходить.
Д) 3¹ = 3 < 5, тому не підходить.
[1,5; +∞)
[1,25; +∞)
[-1; +∞)
(-∞; -1]
[⅔; +∞)
Показати відповідь
А.
2⁴ˣ⁻⁵ ≥ 2
2⁴ˣ⁻⁵ ≥ 2¹
4x-5 ≥ 1
4x ≥ 6
x ≥ 6 : 4
x ≥ 1,5. x∈[1,5; +∞)
Завдання 6. Розв'яжіть нерівність (13)ˣ > 1.
2⁴ˣ⁻⁵ ≥ 2
2⁴ˣ⁻⁵ ≥ 2¹
4x-5 ≥ 1
4x ≥ 6
x ≥ 6 : 4
x ≥ 1,5. x∈[1,5; +∞)
(-∞;0)
(-∞;1)
(0;+∞)
(1;+∞)
(3;+∞)
Показати відповідь
А.
(13)ˣ > 1
(13)ˣ > (13)⁰
Оскільки основа менша за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x < 0. Отже, x∈(-∞;0).
Завдання 7. Розв'яжіть нерівність 2 ∙ (0,3)ˣ < 0,18.
(13)ˣ > 1
(13)ˣ > (13)⁰
Оскільки основа менша за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x < 0. Отже, x∈(-∞;0).
(-∞; 2)
(2; +∞)
(-∞; 0,3)
(0,3; +∞)
(0; 2)
Показати відповідь
Б.
2 ∙ (0,3)ˣ < 0,18
(0,3)ˣ < 0,18 : 2
(0,3)ˣ < 0,09
(0,3)ˣ < (0,3)².
Оскільки основа менша за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x > 2. Отже, x∈(2;+∞).
Завдання 8. Розв'яжіть нерівність (π4)ˣ < (4π)³.
2 ∙ (0,3)ˣ < 0,18
(0,3)ˣ < 0,18 : 2
(0,3)ˣ < 0,09
(0,3)ˣ < (0,3)².
Оскільки основа менша за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x > 2. Отже, x∈(2;+∞).
(-3; +∞)
(3; +∞)
(-∞; 3)
(-∞; -3)
(-∞; ⅓)
Показати відповідь
А.
(π4)ˣ < (4π)³
(π4)ˣ < (π4)⁻³
Оскільки основа менша за 1 (π ≈ 3,14 < 4), то знак нерівності перевертається і маємо x > -3. Отже, x∈(-3;+∞).
Завдання 9. Розв'яжіть нерівність 2ˣ ≤ 3.
(π4)ˣ < (4π)³
(π4)ˣ < (π4)⁻³
Оскільки основа менша за 1 (π ≈ 3,14 < 4), то знак нерівності перевертається і маємо x > -3. Отже, x∈(-3;+∞).
(-∞; log₂3]
(0; log₂3]
(-∞; 32)
(-∞; log₃2]
[log₂3; +∞)
Показати відповідь
А.
2ˣ ≤ 3
log₂2ˣ ≤ log₂3 (основа більше за 1, тому знак нерівності не змінюємо)
x · log₂2 ≤ log₂3
x ≤ log₂3. Отже, x∈(-∞; log₂3].
Завдання 10. Розв'яжіть нерівність 2ˣ + 2ˣ⁺³ ≥ 144.
2ˣ ≤ 3
log₂2ˣ ≤ log₂3 (основа більше за 1, тому знак нерівності не змінюємо)
x · log₂2 ≤ log₂3
x ≤ log₂3. Отже, x∈(-∞; log₂3].
[34,5; +∞)
[4; +∞)
(-∞; 4]
(-∞; 4,5]
[4,5; +∞)
Показати відповідь
Б.
2ˣ + 2ˣ⁺³ ≥ 144
2ˣ + 2ˣ · 2³ ≥ 144
2ˣ + 2ˣ · 8 ≥ 144
9 · 2ˣ ≥ 144
2ˣ ≥ 144 : 9
2ˣ ≥ 16
2ˣ ≥ 2⁴.
Оскільки основа більше за 1, то знак нерівності залишаємо без змін і маємо x ≥ 4. Отже, x∈[4; +∞).
Завдання 11. Розв'яжіть нерівність 10ˣ - 16 · 5ˣx + 2 ≥ 0. У відповіді запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку [-3; 7].
2ˣ + 2ˣ⁺³ ≥ 144
2ˣ + 2ˣ · 2³ ≥ 144
2ˣ + 2ˣ · 8 ≥ 144
9 · 2ˣ ≥ 144
2ˣ ≥ 144 : 9
2ˣ ≥ 16
2ˣ ≥ 2⁴.
Оскільки основа більше за 1, то знак нерівності залишаємо без змін і маємо x ≥ 4. Отже, x∈[4; +∞).
Показати відповідь
19.
Спростимо вираз 10ˣ - 16 · 5ˣx + 2 = (5 · 2)ˣ - 16 · 5ˣx + 2 = 5ˣ · 2ˣ - 16 · 5ˣx + 2 = 5ˣ(2ˣ - 16)x + 2
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
І. ОДЗ: x ≠ -2.
ІІ. Нулі функції: розв'яжемо рівняння 5ˣ(2ˣ - 16) = 0
Оскільки 5ˣ ≠ 0, то маємо 2ˣ - 16 = 0, звідки 2ˣ = 16 і x = 4.
Нанесемо отримані точки на числову пряму та визначимо знак дробу на кожному з утворених проміжків(враховуючи, що 5ˣ > 0 при будь-якому значенні x).
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -3. Маємо 5⁻³(2⁻³ - 16)-3 + 2 = 5⁻³(⅛ - 16)-1 > 0 (маємо два від'ємних множника). Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо 5⁰(2⁰ - 16)0 + 2 = 1 · (1 - 16)2 > 0 (маємо один від'ємний множник). Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 5. Маємо 5⁵(2⁵ - 16)5 + 2 = 5⁵ · (32 - 16)7 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈(-∞; -2)∪[4; +∞). Цілими значеннями, які крім того, належать проміжку [-3; 7], є -3, 4, 5, 6, 7 (-2 не включно, тому не рахуємо). У відповідь записуємо число -3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 19.
Спростимо вираз 10ˣ - 16 · 5ˣx + 2 = (5 · 2)ˣ - 16 · 5ˣx + 2 = 5ˣ · 2ˣ - 16 · 5ˣx + 2 = 5ˣ(2ˣ - 16)x + 2
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
І. ОДЗ: x ≠ -2.
ІІ. Нулі функції: розв'яжемо рівняння 5ˣ(2ˣ - 16) = 0
Оскільки 5ˣ ≠ 0, то маємо 2ˣ - 16 = 0, звідки 2ˣ = 16 і x = 4.
Нанесемо отримані точки на числову пряму та визначимо знак дробу на кожному з утворених проміжків(враховуючи, що 5ˣ > 0 при будь-якому значенні x).
Візьмемо внутрішню точку першого інтервалу х = -3. Маємо 5⁻³(2⁻³ - 16)-3 + 2 = 5⁻³(⅛ - 16)-1 > 0 (маємо два від'ємних множника). Ставимо в першому інтервалі знак "+".
Візьмемо внутрішню точку другого інтервалу х = 0. Маємо 5⁰(2⁰ - 16)0 + 2 = 1 · (1 - 16)2 > 0 (маємо один від'ємний множник). Ставимо в другому інтервалі знак "-".
Візьмемо внутрішню точку третього інтервалу х = 5. Маємо 5⁵(2⁵ - 16)5 + 2 = 5⁵ · (32 - 16)7 > 0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Оскільки маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈(-∞; -2)∪[4; +∞). Цілими значеннями, які крім того, належать проміжку [-3; 7], є -3, 4, 5, 6, 7 (-2 не включно, тому не рахуємо). У відповідь записуємо число -3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 19.
Коментарі