Показникові нерівності

1. Якщо а>1, то з нерівності a^f(x)<a^g(x) слідує, що f(x)<g(x).
2. Якщо 0<а<1, то з нерівності a^f(x)<a^g(x) слідує, що f(x)>g(x).
1. НМТ 2024. Розв’яжіть систему нерівностей

   А	Б	В	Г	Д
   (2; 6)	(2; +∞)	(–6; 5)	(–∞; –6)	(–6; 2)

   Показати відповідь

   Д

---

2. Розв’яжіть нерівність 3^x < 27∙3^-x.

   А	Б	В	Г	Д
   (–∞; )	(;+∞)	(–∞;3)	(;+∞)	(–∞; )

   Показати відповідь

   Д.
   3^x < 27∙3^-x
   3^x: 3^-x< 27
   3^2x < 27
   3^2x <3³
   2x < 3
   x < .
3. Розв’яжіть нерівність 4 ∙ 3^x < 3^x+ 6.

   А	Б	В	Г	Д
   (–∞; log96)	(–∞; log23)	(–∞; 2)	(–∞; 1)	(–∞; log32)

   Показати відповідь

   Д.
   4 ∙ 3^x < 3^x+ 6
   4 ∙ 3^x -3^x< 6
   3 ∙ 3^x < 6
   3^x < 2
   log₃3^x < log₃2 (прологарифмували обидві частини нерівності логарифмом з основою більше 1, тому знак нерівності не змінюємо)
   x ∙log₃3 < log₃2
   x < log₃2
   x∈(–∞; log₃2).
4. Яке з наведених чисел є розв’язком подвійної нерівності 5≤3^х≤15?

   А	Б	В	Г	Д
   5	4	3	2	1

   Показати відповідь

   Г.
   А) 3⁵ = 3⋅3⋅3⋅3⋅3 = 243>15, тому не підходить.
   Б) 3⁴ = 3⋅3⋅3⋅3 = 81>15, тому не підходить.
   В) 3³ = 3⋅3⋅3 = 27>15, тому не підходить.
   Г) 3² = 3⋅3 = 9, 5≤9≤15, тому підходить.
   Д) 3¹ = 3<5, тому не підходить.
5. Розв’яжіть нерівність 2^4x-5≥2.

   А	Б	В	Г	Д
   [1,5;+∞)	[1,25;+∞)	[-1;+∞)	(-∞;-1]	[ ;+∞)

   Показати відповідь

   А.
   2^4x-5≥2
   2^4x-5≥2¹
   4x-5≥1
   4x≥6
   x≥6:4
   x≥1,5.
6. Розв’яжіть нерівність >1.

   А	Б	В	Г	Д
   (-∞;0)	(-∞;1)	(0;+∞)	(1;+∞)	(3;+∞)

   Показати відповідь

   А.
   >1
   >
   Оскільки основа менше за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x<0. Отже, x∈(-∞;0).
7. Розв’яжіть нерівність 2∙(0,3)^х<0,18.

   А	Б	В	Г	Д
   (-∞;2)	(2;+∞)	(-∞;0,3)	(0,3;+∞)	(0;2)

   Показати відповідь

   Б.
   2∙(0,3)^х<0,18
   (0,3)^х<0,18:2
   (0,3)^х<0,09
   (0,3)^х<(0,3)².
   Оскільки основа менше за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x>2. Отже, x∈(2;+∞).
8. Розв’яжіть нерівність <.

   А	Б	В	Г	Д
   (-3;+∞)	(3;+∞)	(-∞;3)	(-∞;-3)

   Показати відповідь

   А.
   <
   <
   Оскільки основа менше за 1 (π≈3,14<4), то знак нерівності перевертається і маємо x> -3. Отже, x∈(-3;+∞).
9. Розв’яжіть нерівність 2^х≤3.

   А	Б	В	Г	Д
   (-∞;log23]	(0;log23]	(-∞;)	(-∞;log32]	[log23;+∞)

   Показати відповідь

   А.
   2^х≤3
   log₂2^х≤log₂3 (основа більше за 1, тому знак нерівності не змінюємо)
   x⋅log₂2≤log₂3
   x≤log₂3.
   Отже, x∈(-∞;log₂3].
10. Розв’яжіть нерівність 2^х+2^х+3≥144.

    А	Б	В	Г	Д
    [34,5;+∞)	[4;+∞)	(-∞;4]	(-∞;4,5]	[4,5;+∞)

    Показати відповідь

    Б.
    2^х+2^х+3≥144
    2^х+2^х⋅2³≥144
    2^х+2^х⋅8≥144
    9⋅2^х≥144
    2^х≥144:9
    2^х≥16
    2^х≥2⁴.
    Оскільки основа більше за 1, то знак нерівності залишаємо без змін і маємо x≥4.Отже, x∈[4;+∞).
11. Розв’яжіть нерівність ≥0. У відповіді запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку [-3;7].
    Показати відповідь

    19.
    Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
    1. ОДЗ: x≠ -2.
    2. Нулі функції: розв'яжемо рівняння 10^х-16⋅5^х = 0.
    10^х-16⋅5^х = 0
    (5⋅2)^х-16⋅5^х = 0
    5^х⋅2^х-16⋅5^х = 0
    5^х(2^х-16) = 0
    Оскільки 5^х≠0, то маємо 2^х-16 = 0, звідки 2^х = 16 і x = 4.
    Нанесемо отримані точки на числову пряму.

    

    Оскільки вибираємо цілі числа тільки на проміжку [-3;7], то маємо числа -3, 4, 5, 6, 7 (-2 не включно, тому не рахуємо). У відповідь записуємо число -3+4+5+6+7 = 19.

⇐ ІІ.6. Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

До змісту

⇒ ІІ.8. Логарифмічні нерівності