Показникові нерівності

Показникові нерівності — фундаментальний розділ алгебри, що вивчає нерівності, у яких невідома величина знаходиться в показнику степеня. Розуміння цієї теми є критично важливим для розв'язання прикладних задач із фізики та економіки, де процеси описуються за допомогою експоненціальних моделей (наприклад, радіоактивний розпад або складні відсотки).

На цій сторінці представлено систематизований виклад теорії та практикум із детальним розбором тестових завдань. Ми розглянемо ключову особливість цієї теми: залежність знака нерівності від основи степеня, навчимося зводити вирази до спільної основи та працювати зі складними системами нерівностей.

---

1. Якщо а>1, то з нерівності a^f(x)<a^g(x) слідує, що f(x)<g(x).
2. Якщо 0<а<1, то з нерівності a^f(x)<a^g(x) слідує, що f(x)>g(x).

Завдання 1. Розв’яжіть систему нерівностей \begin{cases}5^x\lt25,\\2-x\lt8\end{cases}

(2; 6)

(2; +∞)

(–6; 5)

(–∞; –6)

(–6; 2)

Показати відповідь

Д
\begin{cases}5^x\lt25,\\2-x\lt8\end{cases}
\begin{cases}5^x\lt5^2,\\-x\lt8-2\end{cases}
\begin{cases}x\lt2,\\-x\lt6\end{cases}
\begin{cases}x\lt2,\\x\gt-6\end{cases}
Маємо подвійне штрихування на проміжку x ∈(–6; 2)

---

Завдання 2. Розв’яжіть нерівність 3^x < 27∙3^-x.

(–∞; \frac{2}{3})

(\frac{3}{2};+∞)

(–∞;3)

(\frac{2}{3};+∞)

(–∞; \frac{3}{2})

Показати відповідь

Д.
3^x < 27∙3^-x
3^x : 3^-x< 27
3^2x < 27
3^2x <3³
2x < 3
x < \frac{3}{2}. х ∈ (–∞; \frac{3}{2})

Завдання 3. Розв’яжіть нерівність 4 ∙ 3^x < 3^x+ 6.

(–∞; log₉6)

(–∞; log₂3)

(–∞; 2)

(–∞; 1)

(–∞; log₃2)

Показати відповідь

Д.
4 ∙ 3^x < 3^x+ 6
4 ∙ 3^x -3^x< 6
3 ∙ 3^x < 6
3^x < 2
log₃3^x < log₃2 (прологарифмували обидві частини нерівності логарифмом з основою більше 1, тому знак нерівності не змінюємо)
x ∙log₃3 < log₃2
x < log₃2 x∈(–∞; log₃2).

Завдання 4. Яке з наведених чисел є розв’язком подвійної нерівності 5≤3^х≤15?

5

4

3

2

1

Показати відповідь

Г.
А) 3⁵ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243>15, тому не підходить.
Б) 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81>15, тому не підходить.
В) 3³ = 3 · 3 · 3 = 27>15, тому не підходить.
Г) 3² = 3 · 3 = 9, 5≤9≤15, тому підходить.
Д) 3¹ = 3<5, тому не підходить.

Завдання 5. Розв’яжіть нерівність 2^4x-5≥2.

[1,5;+∞)

[1,25;+∞)

[-1;+∞)

(-∞;-1]

[\frac{2}{3};+∞)

Показати відповідь

А.
2^4x-5≥2
2^4x-5≥2¹
4x-5≥1
4x≥6
x≥6:4
x≥1,5. x∈[1,5;+∞)

Завдання 6. Розв’яжіть нерівність \left(\frac{1}{3}\right)^x>1.

(-∞;0)

(-∞;1)

(0;+∞)

(1;+∞)

(3;+∞)

Показати відповідь

А.
\left(\frac{1}{3}\right)^x>1
\left(\frac{1}{3}\right)^x>\left(\frac{1}{3}\right)^0
Оскільки основа менше за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x<0. Отже, x∈(-∞;0).

Завдання 7. Розв’яжіть нерівність 2∙(0,3)^х<0,18.

(-∞;2)

(2;+∞)

(-∞;0,3)

(0,3;+∞)

(0;2)

Показати відповідь

Б.
2∙(0,3)^х<0,18
(0,3)^х<0,18:2
(0,3)^х<0,09
(0,3)^х<(0,3)².
Оскільки основа менше за 1, то знак нерівності перевертається і маємо x>2. Отже, x∈(2;+∞).

Завдання 8. Розв’яжіть нерівність \left(\frac{\pi}{4}\right)^x<\left(\frac{4}{\pi}\right)^3.

(-3;+∞)

(3;+∞)

(-∞;3)

(-∞;-3)

\left(-\infty;\frac{1}{3}\right)

Показати відповідь

А.
\left(\frac{\pi}{4}\right)^x<\left(\frac{4}{\pi}\right)^3
\left(\frac{\pi}{4}\right)^x<\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-3}
Оскільки основа менше за 1 (π≈3,14<4), то знак нерівності перевертається і маємо x> -3. Отже, x∈(-3;+∞).

Завдання 9. Розв’яжіть нерівність 2^х≤3.

(-∞;log₂3]

(0;log₂3]

(-∞;\frac{3}{2})

(-∞;log₃2]

[log₂3;+∞)

Показати відповідь

А.
2^х≤3
log₂2^х≤log₂3 (основа більше за 1, тому знак нерівності не змінюємо)
x · log₂2≤log₂3
x≤log₂3. Отже, x∈(-∞;log₂3].

Завдання 10. Розв’яжіть нерівність 2^х+2^х+3≥144.

[34,5;+∞)

[4;+∞)

(-∞;4]

(-∞;4,5]

[4,5;+∞)

Показати відповідь

Б.
2^х+2^х+3≥144
2^х+2^х · 2³≥144
2^х+2^х · 8≥144
9 · 2^х≥144
2^х≥144:9
2^х≥16
2^х≥2⁴.
Оскільки основа більше за 1, то знак нерівності залишаємо без змін і маємо x≥4. Отже, x∈[4;+∞).

Завдання 11. Розв’яжіть нерівність \frac{10^x-16\cdot5^x}{x+2}≥0. У відповіді запишіть суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку [-3;7].

Показати відповідь

19.
Спростимо вираз \frac{10^x-16\cdot5^x}{x+2}=\frac{(5\cdot2)^x-16\cdot5^x}{x+2}=\frac{5^x\cdot2^x-16\cdot5^x}{x+2}=\frac{5^x(2^x-16)}{x+2}
Розв'яжемо нерівність за методом інтервалів.
1. ОДЗ: x≠ -2.
2. Нулі функції: розв'яжемо рівняння 5^х(2^х-16) = 0
Оскільки 5^х≠0, то маємо 2^х-16 = 0, звідки 2^х = 16 і x = 4.
Нанесемо отримані точки на числову пряму.
Знайдемо знак на кожному інтервалі.
При х = -3 маємо \frac{5^{-3}(2^{-3}-16)}{-3+2}\gt0. Ставимо в першому інтервалі знак "+".
При х = 0 маємо \frac{5^0(2^0-16)}{0+2}\lt0. Ставимо в другому інтервалі знак "-".
При х = 5 маємо \frac{5^5(2^5-16)}{5+2}\gt0. Ставимо в третьому інтервалі знак "+".
Так як маємо нерівність виду f(x)≥0, то заштриховуємо інтервали, що містять знак "+". Отже, x∈(-∞;-2)∪[4; +∞).Оскільки вибираємо цілі числа тільки на проміжку [-3;7], то маємо числа -3, 4, 5, 6, 7 (-2 не включно, тому не рахуємо). У відповідь записуємо число -3+4+5+6+7 = 19.

⇐ ІІ.6.
Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності До змісту (НМТ/ЗНО) ІІ.8.
Логарифмічні нерівності ⇒