Дії з многочленами — це фундамент алгебраїчної грамотності, необхідний для успішного розв'язання рівнянь, нерівностей та дослідження функцій. На цій сторінці ми зібрали ключові формули скороченого множення (квадрат суми/різниці, різниця квадратів, сума/різниця кубів).
Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок, що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете покроково розібрати методи групування, винесення спільного множника за дужки та роботу зі степенями. Кожне завдання супроводжується детальним розв’язанням, що допоможе вашим учням уникати типових помилок зі знаками та спрощенням.
Формули скороченого множення
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a² - b² = (a - b)(a + b)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Завдання 1. (4x − 5)² =
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
a² - b² = (a - b)(a + b)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
16x² − 40x + 25
16x² − 25
16x² − 20x + 25
16x² + 25
4x² − 40x + 25
Показати відповідь
А.
(4x − 5)² = (4x)² − 2 ∙ 4х ∙ 5 + 5² = 16x² − 40х + 25.
Завдання 2. Розкладіть вираз 4x² – 144 на множники.
(4x − 5)² = (4x)² − 2 ∙ 4х ∙ 5 + 5² = 16x² − 40х + 25.
(2x – 12)(2x + 12)
(2x – 72)(2x + 72)
(2x – 12)²
(2x – 72)²
2(x – 6)(x + 6)
Показати відповідь
А.
4x² – 144 = (2x)² – 12² = (2х - 12)(2х + 12).
4x² – 144 = (2x)² – 12² = (2х - 12)(2х + 12).
Завдання 3. Спростіть вираз 2(х + 5у) - (4у - 7х).
9х + у
9х + 14у
-5х + 6у
9х + 6у
16х + 2у
Показати відповідь
Г.
2(х + 5у) - (4у - 7х) = 2х + 10у - 4у + 7х = 9х + 6у.
Завдання 4. (а-4)²-а² =
2(х + 5у) - (4у - 7х) = 2х + 10у - 4у + 7х = 9х + 6у.
–8а + 16
8а + 16
16
–4а + 16
–4а + 8
Показати відповідь
А.
І спосіб. (а - 4)² - а² = (а² - 2 · a · 4 + 4²) - а² = –8а + 16.
ІI спосіб. (а - 4)² - а² = (а - 4 - а) · (а - 4 + а) = -4 · (2а - 4) = –8а + 16.
Завдання 5. x + 2(x - 2) =
І спосіб. (а - 4)² - а² = (а² - 2 · a · 4 + 4²) - а² = –8а + 16.
ІI спосіб. (а - 4)² - а² = (а - 4 - а) · (а - 4 + а) = -4 · (2а - 4) = –8а + 16.
3х-4
3х + 4
3х
3х-2
2х-2
Показати відповідь
А.
x + 2(x - 2) = х + 2х - 4 = 3х - 4.
Завдання 6. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (2х-3)² + 12х.
x + 2(x - 2) = х + 2х - 4 = 3х - 4.
4x² + 12x - 9
4x² + 9
4x² - 9
4x² + 12x + 9
4x² + 6x + 9
Показати відповідь
Б.
(2х - 3)² + 12х = 4x² - 12x + 9 + 12x = 4x² + 9.
Завдання 7. Якщо х² - y² = 7 і 3х + 3у = 63, то х - у =
(2х - 3)² + 12х = 4x² - 12x + 9 + 12x = 4x² + 9.
14
147
-\frac{1}{3}
-3
⅓
Показати відповідь
Д.
З рівності 3х + 3у = 63 маємо х + у = 63 : 3 = 21. Так як за формулою скороченого множення х² - y² = (х - у)(х + у), то (х - у) · 21 = 7, звідки х - у = 7 : 21 = ⅓.
Завдання 8 Спростіть вираз -2ху² - (3ху² - 2х²у) =
З рівності 3х + 3у = 63 маємо х + у = 63 : 3 = 21. Так як за формулою скороченого множення х² - y² = (х - у)(х + у), то (х - у) · 21 = 7, звідки х - у = 7 : 21 = ⅓.
-5ху² + 2х²у
-5ху²-2х²у
ху²-2х²у
-6ху² + 2х²у
-3ху²
Показати відповідь
А.
-2ху² - (3ху² - 2х²у) = -2ху² - 3ху² + 2х²у = (-2ху² - 3ху²) + 2х²у = -5ху² + 2х²у (додаємо лише ті многочлени, які мають однакові степені при відповідних змінних).
Завдання 9. Розкладіть вираз (x + y)²-9x² на множники.
-2ху² - (3ху² - 2х²у) = -2ху² - 3ху² + 2х²у = (-2ху² - 3ху²) + 2х²у = -5ху² + 2х²у (додаємо лише ті многочлени, які мають однакові степені при відповідних змінних).
(-8х + у)(10х + у)
(-2х-у)(4х-у)
(-2х + у)(4х + у)
(4х + у)²
(-2х + у)²
Показати відповідь
В.
(x + y)²-9x² = (x + y)²-(3x)² = (x + y-3x)(x + y + 3x) = (-2x + y)(4x + y).
Завдання 10. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (2х + 5)(3-х).
(x + y)²-9x² = (x + y)²-(3x)² = (x + y-3x)(x + y + 3x) = (-2x + y)(4x + y).
15 + х - 2х²
15 + х + 2х²
15 + 6х - 2х²
15 + 11х - 2х²
15 + 11х + 2х²
Показати відповідь
А.
(2х + 5)(3-х) = 6х-2х² + 15-5х = 15 + х-2х².
Завдання 11. Знайдіть вираз, тотожно рівний даному виразу х⁴ + х³-х-1.
(2х + 5)(3-х) = 6х-2х² + 15-5х = 15 + х-2х².
(х + 1)²(х² + х + 1)
(х²-х + 1)(х-1)²
(х-1)³ (х + 1)
(х-1)(х + 1)³
(х²-1)(х² + х + 1)
Показати відповідь
Д.
х⁴ + х³-х-1 = x³(x + 1)-(x + 1) = (x + 1)(x³-1) = (x + 1)(x-1)(x² + x + 1) = (x²-1)(x² + x + 1).
Завдання 12. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу х² + 4.
х⁴ + х³-х-1 = x³(x + 1)-(x + 1) = (x + 1)(x³-1) = (x + 1)(x-1)(x² + x + 1) = (x²-1)(x² + x + 1).
(х + 2)(х-2)
х(х + 4)
(х + 2)² + 4х
(х + 2)²
(х-2)² + 4х
Показати відповідь
Д.
(х + 2)(х-2) = х²-4.
х(х + 4) = х² + 4х.
(х + 2)² + 4х = х² + 4х + 4 + 4х = х² + 8х + 4.
(х + 2)² = х² + 4х + 4.
(х-2)² + 4х = х²-4х + 4 + 4х = х² + 4.
Завдання 13. Спростіть вираз a(a + 2b)-(a + b)².
(х + 2)(х-2) = х²-4.
х(х + 4) = х² + 4х.
(х + 2)² + 4х = х² + 4х + 4 + 4х = х² + 8х + 4.
(х + 2)² = х² + 4х + 4.
(х-2)² + 4х = х²-4х + 4 + 4х = х² + 4.
4ab + b²
4ab - b²
-b²
2ab - b²
b²
Показати відповідь
В.
a(a + 2b)-(a + b)² = a² + 2ab-a²-2ab-b² = -b².
Завдання 14. 2(5x + 6) =
a(a + 2b)-(a + b)² = a² + 2ab-a²-2ab-b² = -b².
10x + 12
10x + 6
7x + 8
7x + 12
5x + 8
Показати відповідь
А.
2(5x + 6) = 10x + 12.
Завдання 15. Спростіть вираз 2a-(3b-2a)
2(5x + 6) = 10x + 12.
-3b
4a - 3b
-6ab - 4a
-6ab + 4a
-6ab - 4a²
Показати відповідь
Б.
2a-(3b-2a) = 2a-3b + 2a = 4a-3b.
Завдання 16. 0,4x² · 5x³ =
2a-(3b-2a) = 2a-3b + 2a = 4a-3b.
2x⁶
20x⁵
2x⁵
0,2x⁵
0,2x⁶
Показати відповідь
В.
0,4x² · 5x³ = 0,4 · 5x²⁺³ = 2x⁵.
Завдання 17. Якщо x = t - 2, то x² - t² =
0,4x² · 5x³ = 0,4 · 5x²⁺³ = 2x⁵.
4 - 2t
4 - 4t
4
-4t - 4
t² + 4
Показати відповідь
Б.
x² - t² = (t — 2)² - t² = t² - 4t + 4 - t² = - 4t + 4 = 4 - 4t.
Завдання 18. Якщо m = n - 1, то 7 - m =
x² - t² = (t — 2)² - t² = t² - 4t + 4 - t² = - 4t + 4 = 4 - 4t.
n - 8
6 - n
8 - n
n - 6
6 + n
Показати відповідь
В.
7 - m = 7 - (n - 1) = 7 - n + 1 = 8 - n.
Завдання 19. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А-Д).
7 - m = 7 - (n - 1) = 7 - n + 1 = 8 - n.
1 (2a + b)²
2 (2a - b)(b + 2a)
3 (a - 2b)²
4 (a + 2b)(2a - b)
2 (2a - b)(b + 2a)
3 (a - 2b)²
4 (a + 2b)(2a - b)
А 4a²-b²
Б 4b² - 2ab + a²
В 2a² + 3ab - 2b²
Г 4a² + 4ab + b²
Д 4b² - 4ab + a²
Б 4b² - 2ab + a²
В 2a² + 3ab - 2b²
Г 4a² + 4ab + b²
Д 4b² - 4ab + a²
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-Д, 4-В.
1) (2a + b) ² = 4a² + 4ab + b²
2) (2a - b)(b + 2a) = 2ab + 4a² - b² - 2ab = 4a² - b²
3) (a - 2b) ² = a² - 4ab + 4b².
4) (a + 2b)(2a - b) = 2a² - ab + 4ab - 2b² = 2a² + 3ab - 2b².
Завдання 20. Спростіть вираз 2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) та обчисліть його значення, якщо a = 1,1, b = 0,8.
1) (2a + b) ² = 4a² + 4ab + b²
2) (2a - b)(b + 2a) = 2ab + 4a² - b² - 2ab = 4a² - b²
3) (a - 2b) ² = a² - 4ab + 4b².
4) (a + 2b)(2a - b) = 2a² - ab + 4ab - 2b² = 2a² + 3ab - 2b².
Показати відповідь
-9.
2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) = 2a² - 10ab + 8b² - 6a² + 6ab - 9b² = -4a² - 4ab - b² = -(4a² + 4ab + b²) = -(2a + b)² = -(2 · 1,1 + 0,8)² = -(2,2 + 0,8)² = -3² = -9.
2(a² - 5ab + 4b²) - 3(2a² - 2ab + 3b²) = 2a² - 10ab + 8b² - 6a² + 6ab - 9b² = -4a² - 4ab - b² = -(4a² + 4ab + b²) = -(2a + b)² = -(2 · 1,1 + 0,8)² = -(2,2 + 0,8)² = -3² = -9.
Коментарі