Дії з дробами та многочленами — це фундамент алгебраїчної грамотності, необхідний для успішного розв'язання рівнянь, нерівностей та дослідження функцій. На цій сторінці ми зібрали ключові формули скороченого множення (квадрат суми/різниці, різниця квадратів, сума/різниця кубів) та алгоритми роботи з раціональними виразами: від розкриття дужок до скорочення складних дробів.
Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок, що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете покроково розібрати методи групування, винесення спільного множника за дужки та роботу зі степенями. Кожне завдання супроводжується детальним розв’язанням, що допоможе вашим учням уникати типових помилок зі знаками та спрощенням.
Формули скороченого множення
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). \frac{4x^2-25}{(2x-5)^2} =
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 - b2 = (a - b)(a + b)
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
\frac{2x + 5}{2x-5}
1
2x + 5
\frac{1}{2x-5}
-1
Показати відповідь
А.
\frac{4x^2-25}{(2x-5)^2} = \frac{(2x)^2-5^2}{(2x-5)^2} = \frac{(2x-5)(2x + 5)}{(2x-5)^2} = \frac{2x + 5}{2x-5}
Завдання 2. (4x − 5)2 =
\frac{4x^2-25}{(2x-5)^2} = \frac{(2x)^2-5^2}{(2x-5)^2} = \frac{(2x-5)(2x + 5)}{(2x-5)^2} = \frac{2x + 5}{2x-5}
16x2 − 40x + 25
16x2 − 25
16x2 − 20x + 25
16x2 + 25
4x2 − 40x + 25
Показати відповідь
А.
(4x − 5)2 = (4x)2 − 2 ∙ 4х ∙ 5 + 52 = 16x2 − 40х + 25.
Завдання 3. Розкладіть вираз 4x2 – 144 на множники.
(4x − 5)2 = (4x)2 − 2 ∙ 4х ∙ 5 + 52 = 16x2 − 40х + 25.
(2x – 12)(2x + 12)
(2x – 72)(2x + 72)
(2x – 12)2
(2x – 72)2
2(x – 6)(x + 6)
Показати відповідь
А.
4x2 – 144 = (2x)2 – 122 = (2х - 12)(2х + 12).
Завдання 4. Спростіть вираз \frac{a^2 + ab}{(a + b)^2}-\frac{2a + b}{a + b}.
4x2 – 144 = (2x)2 – 122 = (2х - 12)(2х + 12).
1
\frac{a-b}{a + b}
\frac{b-a}{a + b}
\frac{3a + b}{a + b}
-1
Показати відповідь
Д.
\frac{a^2 + ab}{(a + b)^2}-\frac{2a + b}{a + b} = \frac{a(a + b)}{(a + b)^2}-\frac{2a + b}{a + b} = \frac{a}{a + b}-\frac{2a + b}{a + b} = \frac{a - (2a + b)}{a + b} = \frac{a - 2a -b}{a + b} = \frac{ - a -b}{a + b} = \frac{-(a + b)}{a + b} = -1.
\frac{a^2 + ab}{(a + b)^2}-\frac{2a + b}{a + b} = \frac{a(a + b)}{(a + b)^2}-\frac{2a + b}{a + b} = \frac{a}{a + b}-\frac{2a + b}{a + b} = \frac{a - (2a + b)}{a + b} = \frac{a - 2a -b}{a + b} = \frac{ - a -b}{a + b} = \frac{-(a + b)}{a + b} = -1.
Завдання 5. Спростіть вираз 2(х + 5у) - (4у - 7х).
9х + у
9х + 14у
-5х + 6у
9х + 6у
16х + 2у
Показати відповідь
Г.
2(х + 5у) - (4у - 7х) = 2х + 10у - 4у + 7х = 9х + 6у.
Завдання 6. Обчисліть \frac{5^4\cdot2^4}{20^3}.
2(х + 5у) - (4у - 7х) = 2х + 10у - 4у + 7х = 9х + 6у.
\frac{5}{4}
\frac{1}{10}
\frac{1}{2}
\frac{1}{20}
10
Показати відповідь
А.
\frac{5^4\cdot2^4}{20^3} = \frac{(5\cdot2)^4}{(2\cdot10)^3} = \frac{10^4}{2^3\cdot10^3} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}.
Завдання 7. Спростіть вираз \frac{3m-2n}{8}-\frac{3m}{8}.
\frac{5^4\cdot2^4}{20^3} = \frac{(5\cdot2)^4}{(2\cdot10)^3} = \frac{10^4}{2^3\cdot10^3} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}.
\frac{-n}{4}
\frac{-n}{8}
\frac{-n}{6}
\frac{-m}{4}
\frac{3m-n}{4}
Показати відповідь
А.
\frac{3m-2n}{8}-\frac{3m}{8} = \frac{3m-2n-3m}{8} = \frac{-2n}{8} = \frac{-n}{4}.
Завдання 8. \frac{15^3}{3^2} =
\frac{3m-2n}{8}-\frac{3m}{8} = \frac{3m-2n-3m}{8} = \frac{-2n}{8} = \frac{-n}{4}.
5
15
125
375
675
Показати відповідь
Г.
\frac{15^3}{3^2} = \frac{15\cdot15\cdot15}{3\cdot3} = \frac{5\cdot5\cdot15}{1\cdot1}= 375.
Завдання 9. (а-4)2-а2 =
\frac{15^3}{3^2} = \frac{15\cdot15\cdot15}{3\cdot3} = \frac{5\cdot5\cdot15}{1\cdot1}= 375.
–8а + 16
8а + 16
16
–4а + 16
–4а + 8
Показати відповідь
А.
І спосіб. (а - 4)2 - а2 = (а2 - 2 · a · 4 + 42) - а2 = –8а + 16.
ІI спосіб. (а - 4)2 - а2 = (а - 4 - а) · (а - 4 + а) = -4 · (2а - 4) = –8а + 16.
Завдання 10. x + 2(x - 2) =
І спосіб. (а - 4)2 - а2 = (а2 - 2 · a · 4 + 42) - а2 = –8а + 16.
ІI спосіб. (а - 4)2 - а2 = (а - 4 - а) · (а - 4 + а) = -4 · (2а - 4) = –8а + 16.
3х-4
3х + 4
3х
3х-2
2х-2
Показати відповідь
А.
x + 2(x - 2) = х + 2х - 4 = 3х - 4.
Завдання 11. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (2х-3)2 + 12х.
x + 2(x - 2) = х + 2х - 4 = 3х - 4.
4x2 + 12x-9
4x2 + 9
4x2-9
4x2 + 12x + 9
4x2 + 6x + 9
Показати відповідь
Б.
(2х - 3)2 + 12х = 4x2 - 12x + 9 + 12x = 4x2 + 9.
Завдання 12. Якщо х2 - y2 = 7 і 3х + 3у = 63, то х - у =
(2х - 3)2 + 12х = 4x2 - 12x + 9 + 12x = 4x2 + 9.
14
147
-\frac{1}{3}
-3
\frac{1}{3}
Показати відповідь
Д.
З рівності 3х + 3у = 63 маємо х + у = 63 : 3 = 21. Так як за формулою скороченого множення х2 - y2 = (х - у)(х + у), то (х - у) · 21 = 7, звідки х - у = 7 : 21 = \frac{1}{3}.
Завдання 13. Якщо \frac{a}{b} = \frac{2}{7}, то \frac{b}{a} = ?
З рівності 3х + 3у = 63 маємо х + у = 63 : 3 = 21. Так як за формулою скороченого множення х2 - y2 = (х - у)(х + у), то (х - у) · 21 = 7, звідки х - у = 7 : 21 = \frac{1}{3}.
-\frac{7}{2}
\frac{7}{2}
\frac{2}{7}
-\frac{2}{7}
\frac{5}{7}
Показати відповідь
Б.
Якщо в рівності з обох боків лише знаходиться по одному дробу, то їх можна одночасно перевернути. Маємо \frac{b}{a} = \frac{7}{2}.
Завдання 14. Спростіть вираз -2ху2 - (3ху2 - 2х2у) =
Якщо в рівності з обох боків лише знаходиться по одному дробу, то їх можна одночасно перевернути. Маємо \frac{b}{a} = \frac{7}{2}.
-5ху2 + 2х2у
-5ху2-2х2у
ху2-2х2у
-6ху2 + 2х2у
-3ху2
Показати відповідь
А.
-2ху2 - (3ху2 - 2х2у) = -2ху2 - 3ху2 + 2х2у = (-2ху2 - 3ху2) + 2х2у = -5ху2 + 2х2у (додаємо лише ті многочлени, які мають однакові степені при відповідних змінних).
Завдання 15. Скоротіть дріб \frac{a^2-b^2}{a^2-ab}.
-2ху2 - (3ху2 - 2х2у) = -2ху2 - 3ху2 + 2х2у = (-2ху2 - 3ху2) + 2х2у = -5ху2 + 2х2у (додаємо лише ті многочлени, які мають однакові степені при відповідних змінних).
\frac{a + b}{a}
\frac{a-b}{a}
\frac{b}{a}
b
\frac{a + b}{b}
Показати відповідь
А.
\frac{a^2-b^2}{a^2-ab} = \frac{(a-b)(a + b)}{a(a-b)} = \frac{a + b}{a}.
Завдання 16. Спростіть вираз \frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}.
\frac{a^2-b^2}{a^2-ab} = \frac{(a-b)(a + b)}{a(a-b)} = \frac{a + b}{a}.
\frac{a + b}{ab}
\frac{1}{ab}
\frac{1}{b-a}
\frac{a-b}{ab}
0
Показати відповідь
А.
\frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{ab(a-b)} = \frac{(a-b)(a + b)}{ab(a-b)} = \frac{a + b}{ab}.
Завдання 17. \frac{3x^2y}{9xy^3}.
\frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)} = \frac{a^2-b^2}{ab(a-b)} = \frac{(a-b)(a + b)}{ab(a-b)} = \frac{a + b}{ab}.
27x3y4
\frac{x^3y^4}{3}
\frac{3x}{y^2}
\frac{x^3}{3y^4}
\frac{x}{3y^2}
Показати відповідь
Д.
\frac{3x^2y}{9xy^3} = \frac{x}{3y^2}.
Завдання 18. Скоротіть дріб \frac{10ab^3}{5a^2b}.
\frac{3x^2y}{9xy^3} = \frac{x}{3y^2}.
\frac{2b^2}{a}
\frac{b^4}{2a^3}
50a^3b^4
\frac{2b^4}{a^3}
\frac{b^2}{2a}
Показати відповідь
А.
\frac{10ab^3}{5a^2b} = \frac{2b^{3-1}}{a^{2-1}} = \frac{2b^2}{a}.
Завдання 19. Спростіть вираз \frac{a^{24}}{(a^4)^2}.
\frac{10ab^3}{5a^2b} = \frac{2b^{3-1}}{a^{2-1}} = \frac{2b^2}{a}.
a18
a3
a8
a4
a16
Показати відповідь
Д.
\frac{a^{24}}{(a^4)^2} = \frac{a^{24}}{a^8}=a^{24-8}=a^{16}.
Завдання 20. Обчисліть \frac{2^6\cdot5^6}{10^4}.
\frac{a^{24}}{(a^4)^2} = \frac{a^{24}}{a^8}=a^{24-8}=a^{16}.
101,5
102
108
109
1010
Показати відповідь
Б.
\frac{2^6\cdot5^6}{10^4} = \frac{(2\cdot5)^6}{10^4} = \frac{10^6}{10^4} = 106-4 = 102.
Завдання 21. Спростіть вираз 0,8b9 : (8b3), де b≠0.
\frac{2^6\cdot5^6}{10^4} = \frac{(2\cdot5)^6}{10^4} = \frac{10^6}{10^4} = 106-4 = 102.
0,1b6
10b6
6,4b12
0,1b3
10b3
Показати відповідь
А.
0,8b9 : (8b3) = 0,1b9 - 3 = 0,1b6.
Завдання 22. Спростіть вираз 5x^4y:\frac{x}{2y}.
0,8b9 : (8b3) = 0,1b9 - 3 = 0,1b6.
\frac{5}{2}x^3
10x3y2
10x3
10x4y2
\frac{2}{3}x^3
Показати відповідь
Б.
5x^4y:\frac{x}{2y} = 5x^4y\cdot\frac{2y}{x} = 10x3y2.
Завдання 23. Спростіть вираз \frac{(a-b)^2-b^2}{a}.
5x^4y:\frac{x}{2y} = 5x^4y\cdot\frac{2y}{x} = 10x3y2.
a
a-2b
a-b
a + b
a-2b2
Показати відповідь
Б.
\frac{(a-b)^2-b^2}{a} = \frac{a^2-2ab + b^2-b^2}{a} = \frac{a^2-2ab}{a} = \frac{a(a-2b)}{a} = a-2b.
Завдання 24. Спростіть вираз \frac{a^2-1}{1-\frac{1}{a}}.
\frac{(a-b)^2-b^2}{a} = \frac{a^2-2ab + b^2-b^2}{a} = \frac{a^2-2ab}{a} = \frac{a(a-2b)}{a} = a-2b.
a(a-1)
-a2
-a(a + 1)
\frac{a + 1}{a}
a(a + 1)
Показати відповідь
Д.
\frac{a^2-1}{1-\frac{1}{a}} = (a^2-1):(1-\frac{1}{a}) = (a^2-1):\frac{a-1}{a} = (a^2-1)\cdot\frac{a}{a-1} = \frac{(a^2-1)a}{a-1} = \frac{(a-1)(a + 1)a}{a-1} = a(a + 1).
Завдання 25. Якщо \frac{1}{a} = \frac{1}{b}-\frac{1}{c}, то с =
\frac{a^2-1}{1-\frac{1}{a}} = (a^2-1):(1-\frac{1}{a}) = (a^2-1):\frac{a-1}{a} = (a^2-1)\cdot\frac{a}{a-1} = \frac{(a^2-1)a}{a-1} = \frac{(a-1)(a + 1)a}{a-1} = a(a + 1).
\frac{ab}{a-b}
\frac{ab}{b-a}
a-b
\frac{1}{a}-\frac{1}{b}
\frac{a-b}{ab}
Показати відповідь
А.
\frac{1}{a} = \frac{1}{b}-\frac{1}{c}
\frac{1}{c} = \frac{1}{b}-\frac{1}{a}
\frac{1}{c} = \frac{a-b}{ab}
c = \frac{ab}{a-b}.
Завдання 26. Визначте m із співвідношення \frac{m}{2} = \frac{3}{n}, де n ≠ 0.
\frac{1}{a} = \frac{1}{b}-\frac{1}{c}
\frac{1}{c} = \frac{1}{b}-\frac{1}{a}
\frac{1}{c} = \frac{a-b}{ab}
c = \frac{ab}{a-b}.
m = 6n
m = \frac{6}{n}
m = \frac{2n}{3}
m = \frac{3}{2n}
m = \frac{n}{6}
Показати відповідь
Б.
m = 2 · \frac{3}{n} = \frac{6}{n}.
Завдання 27. Розкладіть вираз (x + y)2-9x2 на множники.
m = 2 · \frac{3}{n} = \frac{6}{n}.
(-8х + у)(10х + у)
(-2х-у)(4х-у)
(-2х + у)(4х + у)
(4х + у)2
(-2х + у)2
Показати відповідь
В.
(x + y)2-9x2 = (x + y)2-(3x)2 = (x + y-3x)(x + y + 3x) = (-2x + y)(4x + y).
Завдання 28. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу (2х + 5)(3-х).
(x + y)2-9x2 = (x + y)2-(3x)2 = (x + y-3x)(x + y + 3x) = (-2x + y)(4x + y).
15 + х-2х2
15 + х + 2х2
15 + 6х-2х2
15 + 11х-2х2
15 + 11х + 2х2
Показати відповідь
А.
(2х + 5)(3-х) = 6х-2х2 + 15-5х = 15 + х-2х2.
Завдання 29. Знайдіть вираз, тотожно рівний даному виразу х4 + х3-х-1.
(2х + 5)(3-х) = 6х-2х2 + 15-5х = 15 + х-2х2.
(х + 1)2(х2 + х + 1)
(х2-х + 1)(х-1)2
(х-1)3 (х + 1)
(х-1)(х + 1)3
(х2-1)(х2 + х + 1)
Показати відповідь
Д.
х4 + х3-х-1 = x3(x + 1)-(x + 1) = (x + 1)(x3-1) = (x + 1)(x-1)(x2 + x + 1) = (x2-1)(x2 + x + 1).
Завдання 30. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу х2 + 4.
х4 + х3-х-1 = x3(x + 1)-(x + 1) = (x + 1)(x3-1) = (x + 1)(x-1)(x2 + x + 1) = (x2-1)(x2 + x + 1).
(х + 2)(х-2)
х(х + 4)
(х + 2)2 + 4х
(х + 2)2
(х-2)2 + 4х
Показати відповідь
Д.
(х + 2)(х-2) = х2-4.
х(х + 4) = х2 + 4х.
(х + 2)2 + 4х = х2 + 4х + 4 + 4х = х2 + 8х + 4.
(х + 2)2 = х2 + 4х + 4.
(х-2)2 + 4х = х2-4х + 4 + 4х = х2 + 4.
Завдання 31. Спростіть вираз \frac{9-x^2}{x^2 + 6x + 9}.
(х + 2)(х-2) = х2-4.
х(х + 4) = х2 + 4х.
(х + 2)2 + 4х = х2 + 4х + 4 + 4х = х2 + 8х + 4.
(х + 2)2 = х2 + 4х + 4.
(х-2)2 + 4х = х2-4х + 4 + 4х = х2 + 4.
\frac{3-x}{x + 3}
\frac{x-3}{x + 3}
3-x
\frac{1}{x + 3}
\frac{1}{6x}
Показати відповідь
А.
\frac{9-x^2}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(3-x)(3 + x)}{(x + 3)^2} = \frac{3-x}{x + 3}.
Завдання 32. Спростіть вираз \frac{a^2 + 16}{a-4}-\frac{8a}{a-4}.
\frac{9-x^2}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(3-x)(3 + x)}{(x + 3)^2} = \frac{3-x}{x + 3}.
-1
a-4
a + 4
1
(a-4)2
Показати відповідь
Б.
\frac{a^2 + 16}{a-4}-\frac{8a}{a-4} = \frac{a^2 + 16-8a}{a-4} = \frac{(a-4)^2}{a-4} = a-4.
Завдання 33. Спростіть вираз a(a + 2b)-(a + b)2.
\frac{a^2 + 16}{a-4}-\frac{8a}{a-4} = \frac{a^2 + 16-8a}{a-4} = \frac{(a-4)^2}{a-4} = a-4.
4ab + b2
4ab-b2
-b2
2ab-b2
b2
Показати відповідь
В.
a(a + 2b)-(a + b)2 = a2 + 2ab-a2-2ab-b2 = -b2.
Завдання 34. \frac{2a + 2}{2} =.
a(a + 2b)-(a + b)2 = a2 + 2ab-a2-2ab-b2 = -b2.
a + 2
2a + 1
a + 1
2a
a
Показати відповідь
В.
\frac{2a + 2}{2} = \frac{2(a + 1)}{2} = a + 1.
Завдання 35. 2(5x + 6) =
\frac{2a + 2}{2} = \frac{2(a + 1)}{2} = a + 1.
10x + 12
10x + 6
7x + 8
7x + 12
5x + 8
Показати відповідь
А.
2(5x + 6) = 10x + 12.
Завдання 36. Спростіть вираз 2a-(3b-2a)
2(5x + 6) = 10x + 12.
-3b
4a-3b
-6ab-4a
-6ab + 4a
-6ab-4a2
Показати відповідь
Б.
2a-(3b-2a) = 2a-3b + 2a = 4a-3b.
Завдання 37. 0,4x2 · 5x3 =
2a-(3b-2a) = 2a-3b + 2a = 4a-3b.
2x6
20x5
2x5
0,2x5
0,2x6
Показати відповідь
В.
0,4x2 · 5x3 = 0,4 · 5x2 + 3 = 2x5.
Завдання 38. Якщо 2^a = \frac{1}{5}, то 26-a =
0,4x2 · 5x3 = 0,4 · 5x2 + 3 = 2x5.
12,8
59
69
240
320
Показати відповідь
Д.
26-a = \frac{2^6}{2^a} = 64:\frac{1}{5} = 64 · 5 = 320.
Завдання 39. Установіть відповідність між виразом (1-3) і тотожно рівним йому виразом (А-Д), якщо а — довільне додатне число, а≠1.
26-a = \frac{2^6}{2^a} = 64:\frac{1}{5} = 64 · 5 = 320.
1 а4 : а3
2 \frac{a^2-a}{1-a}
3 7-log7a
2 \frac{a^2-a}{1-a}
3 7-log7a
А a2
Б a7
В \frac{1}{a}
Г a
Д -a
Б a7
В \frac{1}{a}
Г a
Д -a
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-В .
1) а4:а3 = а4-3 = а
2) \frac{a^2-a}{1-a} = \frac{a(a-1)}{-(a-1)} = -a
3) 7-log7a = 7log7a-1 = a-1 = \frac{1}{a}.
Завдання 40. Установіть відповідність між твердженнями про дріб (1-4) та дробом (А-Д), для якого це твердження є правильним.
1) а4:а3 = а4-3 = а
2) \frac{a^2-a}{1-a} = \frac{a(a-1)}{-(a-1)} = -a
3) 7-log7a = 7log7a-1 = a-1 = \frac{1}{a}.
1 є скоротним
2 є неправильним
3 менший за 0,5
4 є оберненим до дробу 1\frac{2}{5}
2 є неправильним
3 менший за 0,5
4 є оберненим до дробу 1\frac{2}{5}
А \frac{5}{7}
Б \frac{13}{27}
В \frac{41}{10}
Г \frac{7}{10}
Д \frac{34}{51}
Б \frac{13}{27}
В \frac{41}{10}
Г \frac{7}{10}
Д \frac{34}{51}
Показати відповідь
1-Д, 2-В, 3-Б, 4-А .
1) \frac{34}{51} = \frac{34:17}{51:17} = \frac{2}{3}, отже цей дріб є скоротним.
2) Так як 41 > 10, то \frac{41}{10} є неправильним дробом.
3) Так як 13 · 2 = 26 < 27, то \frac{13}{27} менше за 0,5.
4) 1\frac{2}{5} = \frac{7}{5} і оберненим до нього є \frac{5}{7}.
Завдання 41. Установіть відповідність між виразами (1-4) та їхніми значеннями, якщо х = 0,5 (А-Д).
1) \frac{34}{51} = \frac{34:17}{51:17} = \frac{2}{3}, отже цей дріб є скоротним.
2) Так як 41 > 10, то \frac{41}{10} є неправильним дробом.
3) Так як 13 · 2 = 26 < 27, то \frac{13}{27} менше за 0,5.
4) 1\frac{2}{5} = \frac{7}{5} і оберненим до нього є \frac{5}{7}.
1 \frac{x^2-9}{3 + x}
2 (x-5)2 + 5(2x-5)
3 \frac{x^3 + 1}{x^2-x + 1}
4 \frac{3x-6}{8x} · \frac{x}{x^2-4x + 4}
2 (x-5)2 + 5(2x-5)
3 \frac{x^3 + 1}{x^2-x + 1}
4 \frac{3x-6}{8x} · \frac{x}{x^2-4x + 4}
А -2,5
Б -0,25
В 0,25
Г 1,5
Д 2,5
Б -0,25
В 0,25
Г 1,5
Д 2,5
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Г, 4-Б .
1)\frac{x^2-9}{3 + x} = \frac{(x-3)(x + 3)}{3 + x} = x-3. 0,5-3 = -2,5
2) (x-5)2 + 5(2x-5) = x2-10x + 25 + 10x-25 = x2. 0,5 2 = 0,25.
3)\frac{x^3 + 1}{x^2-x + 1} = \frac{(x + 1)(x^2-x + 1)}{x^2-x + 1} = x + 1. 0,5 + 1 = 1,5.
4) \frac{3x-6}{8x} · \frac{x}{x^2-4x + 4} = \frac{3(x-2)}{8x} · \frac{x}{(x-2)^2} = \frac{3}{8x} · \frac{x}{x-2} = \frac{3}{8} · \frac{1}{x-2} = \frac{3}{8(x-2)}. \frac{3}{8(0,5-2)} = \frac{3}{4-16} = \frac{3}{-12} = \frac{1}{-4} = -0,25.
Завдання 42. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А-Д).
1)\frac{x^2-9}{3 + x} = \frac{(x-3)(x + 3)}{3 + x} = x-3. 0,5-3 = -2,5
2) (x-5)2 + 5(2x-5) = x2-10x + 25 + 10x-25 = x2. 0,5 2 = 0,25.
3)\frac{x^3 + 1}{x^2-x + 1} = \frac{(x + 1)(x^2-x + 1)}{x^2-x + 1} = x + 1. 0,5 + 1 = 1,5.
4) \frac{3x-6}{8x} · \frac{x}{x^2-4x + 4} = \frac{3(x-2)}{8x} · \frac{x}{(x-2)^2} = \frac{3}{8x} · \frac{x}{x-2} = \frac{3}{8} · \frac{1}{x-2} = \frac{3}{8(x-2)}. \frac{3}{8(0,5-2)} = \frac{3}{4-16} = \frac{3}{-12} = \frac{1}{-4} = -0,25.
1 (2a + b) 2
2 (2a-b)(b + 2a)
3 (a-2b) 2
4 (a + 2b)(2a-b)
2 (2a-b)(b + 2a)
3 (a-2b) 2
4 (a + 2b)(2a-b)
А 4a2-b2
Б 4b2-2ab + a2
В 2a2 + 3ab-2b2
Г 4a2 + 4ab + b2
Д 4b2-4ab + a2
Б 4b2-2ab + a2
В 2a2 + 3ab-2b2
Г 4a2 + 4ab + b2
Д 4b2-4ab + a2
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-Д, 4-В.
1) (2a + b) 2 = 4a2 + 4ab + b2
2) (2a-b)(b + 2a) = 2ab + 4a2-b2-2ab = 4a2-b2
3) (a-2b) 2 = a2-4ab + 4b2.
4) (a + 2b)(2a-b) = 2a2-ab + 4ab-2b2 = 2a2 + 3ab-2b2.
Завдання 43. До кожного виразу (1-4) при a>0 доберіть тотожно йому рівний (А-Д).
1) (2a + b) 2 = 4a2 + 4ab + b2
2) (2a-b)(b + 2a) = 2ab + 4a2-b2-2ab = 4a2-b2
3) (a-2b) 2 = a2-4ab + 4b2.
4) (a + 2b)(2a-b) = 2a2-ab + 4ab-2b2 = 2a2 + 3ab-2b2.
1 \frac{2a^5}{a^6}
2 (2a)5 · a6
3 (2a6)5
4 \sqrt[6]{64a^5}
2 (2a)5 · a6
3 (2a6)5
4 \sqrt[6]{64a^5}
А 32a11
Б 2a^\frac{5}{6}
В 2a^\frac{6}{5}
Г 2a-1
Д 32a30
Б 2a^\frac{5}{6}
В 2a^\frac{6}{5}
Г 2a-1
Д 32a30
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-Д, 4-Б.
1) \frac{2a^5}{a^6} = \frac{2}{a^{6-5}} = 2a-1.
2) (2a)5 · a6 = 25a5 · a6 = 32a5 + 6 = 32a11
3) (2a6)5 = 25a6 · 5 = 32a30
4) \sqrt[6]{64a^5} = (64a^5)^\frac{1}{6} = 64^\frac{1}{6}a^{5\cdot\frac{1}{6}} = 2a^\frac{5}{6}.
Завдання 44. Відомо, що \frac{2a^2-8b^2}{a-2b} = 18. Тоді
1) \frac{2a^5}{a^6} = \frac{2}{a^{6-5}} = 2a-1.
2) (2a)5 · a6 = 25a5 · a6 = 32a5 + 6 = 32a11
3) (2a6)5 = 25a6 · 5 = 32a30
4) \sqrt[6]{64a^5} = (64a^5)^\frac{1}{6} = 64^\frac{1}{6}a^{5\cdot\frac{1}{6}} = 2a^\frac{5}{6}.
- a + 2b =
- a3 + (2b) 3 + 3a · 2b(a + 2b) =
Показати відповідь
9; 729.
\frac{2a^2-8b^2}{a-2b} = \frac{2(a^2-4b^2)}{a-2b} = \frac{2(a-2b)(a + 2b)}{a-2b} = 2(a + 2b) = 18. Звідси a + 2b = 9.
a3 + (2b)3 + 3a · 2b(a + 2b) = a3 + 3a2 · 2b + 3a · (2b) 2 + (2b) 3 = (a + 2b)3 = 93 = 729.
Завдання 45. Обчисліть значення виразу \frac{10a + b}{b^2-4a^2} + \frac{4a + 2b}{b^2 + 4ab + 4a^2} при a = 0,25, b = 4,5.
\frac{2a^2-8b^2}{a-2b} = \frac{2(a^2-4b^2)}{a-2b} = \frac{2(a-2b)(a + 2b)}{a-2b} = 2(a + 2b) = 18. Звідси a + 2b = 9.
a3 + (2b)3 + 3a · 2b(a + 2b) = a3 + 3a2 · 2b + 3a · (2b) 2 + (2b) 3 = (a + 2b)3 = 93 = 729.
Показати відповідь
0,75.
\frac{10a + b}{b^2-4a^2} + \frac{4a + 2b}{b^2 + 4ab + 4a^2} = \frac{10a + b}{(b-2a)(b + 2a)} + \frac{2(2a + b)}{(b + 2a)^2} = \frac{10a + b}{(b-2a)(b + 2a)} + \frac{2}{2a + b} = \frac{(10a + b) + 2(b-2a)}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{10a + b + 2b-4a}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{6a + 3b}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{3(2a + b)}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{3}{b-2a} = \frac{3}{4,5-2\cdot0,25} = \frac{3}{4,5-0,5} = \frac{3}{4} = 0,75.
Завдання 46. Обчисліть значення виразу \frac{a^2-b^2}{a-b}-\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}, якщо a = 10,2, b = -0,2.
\frac{10a + b}{b^2-4a^2} + \frac{4a + 2b}{b^2 + 4ab + 4a^2} = \frac{10a + b}{(b-2a)(b + 2a)} + \frac{2(2a + b)}{(b + 2a)^2} = \frac{10a + b}{(b-2a)(b + 2a)} + \frac{2}{2a + b} = \frac{(10a + b) + 2(b-2a)}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{10a + b + 2b-4a}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{6a + 3b}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{3(2a + b)}{(b-2a)(b + 2a)} = \frac{3}{b-2a} = \frac{3}{4,5-2\cdot0,25} = \frac{3}{4,5-0,5} = \frac{3}{4} = 0,75.
Показати відповідь
-0,204.
\frac{a^2-b^2}{a-b}-\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)(a + b)}{a-b}-\frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)(a + b)} = \frac{a + b}{1}-\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2-(a^2 + ab + b^2)}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2-a^2-ab-b^2}{a + b} = \frac{ab}{a + b} = \frac{10,2\cdot(-0,2)}{10,2-0,2} = \frac{-2,04}{10} = -0,204.
Завдання 47. Знайдіть значення виразу \frac{m + 4}{m^2-6m + 9}\cdot\frac{2m-6}{m^2-16}-\frac{2}{m-4}, якщо m = 4,25.
\frac{a^2-b^2}{a-b}-\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2} = \frac{(a-b)(a + b)}{a-b}-\frac{(a-b)(a^2 + ab + b^2)}{(a-b)(a + b)} = \frac{a + b}{1}-\frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2-(a^2 + ab + b^2)}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2-a^2-ab-b^2}{a + b} = \frac{ab}{a + b} = \frac{10,2\cdot(-0,2)}{10,2-0,2} = \frac{-2,04}{10} = -0,204.
Показати відповідь
-1,6.
\frac{m + 4}{m^2-6m + 9}\cdot\frac{2m-6}{m^2-16}-\frac{2}{m-4} = \frac{m + 4}{(m-3)^2}\cdot\frac{2(m-3)}{(m-4)(m + 4)}-\frac{2}{m-4} = \frac{1}{(m-3)^2}\cdot\frac{2(m-3)}{m-4}-\frac{2}{m-4} = \frac{1}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4}-\frac{2}{m-4} = (\frac{1}{m-3}-1)\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{1-m + 3}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{4-m}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{-(m-4)}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{-1}{m-3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{-2}{m-3} = \frac{-2}{4,25-4} = \frac{-2\cdot4}{1,25\cdot4} = \frac{-8}{5} = \frac{-16}{10} = -1,6.
Завдання 48. Спростіть вираз 2(a2-5ab + 4b2)-3(2a2-2ab + 3b2) та обчисліть його значення, якщо a = 1,1, b = 0,8.
\frac{m + 4}{m^2-6m + 9}\cdot\frac{2m-6}{m^2-16}-\frac{2}{m-4} = \frac{m + 4}{(m-3)^2}\cdot\frac{2(m-3)}{(m-4)(m + 4)}-\frac{2}{m-4} = \frac{1}{(m-3)^2}\cdot\frac{2(m-3)}{m-4}-\frac{2}{m-4} = \frac{1}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4}-\frac{2}{m-4} = (\frac{1}{m-3}-1)\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{1-m + 3}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{4-m}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{-(m-4)}{m-3}\cdot\frac{2}{m-4} = \frac{-1}{m-3}\cdot\frac{2}{1} = \frac{-2}{m-3} = \frac{-2}{4,25-4} = \frac{-2\cdot4}{1,25\cdot4} = \frac{-8}{5} = \frac{-16}{10} = -1,6.
Показати відповідь
-9.
2(a2-5ab + 4b2)-3(2a2-2ab + 3b2) = 2a2-10ab + 8b2-6a2 + 6ab-9b2 = -4a2-4ab-b2 = -(4a2 + 4ab + b2) = -(2a + b)2 = -(2 · 1,1 + 0,8)2 = -(2,2 + 0,8)2 = -32 = -9.
Завдання 49. Обчисліть значення виразу \frac{a^3 + b^3}{a + b}-(a2 + b2), якщо a = 4^\frac{7}{4}, b = 2^\frac{1}{2}
2(a2-5ab + 4b2)-3(2a2-2ab + 3b2) = 2a2-10ab + 8b2-6a2 + 6ab-9b2 = -4a2-4ab-b2 = -(4a2 + 4ab + b2) = -(2a + b)2 = -(2 · 1,1 + 0,8)2 = -(2,2 + 0,8)2 = -32 = -9.
Показати відповідь
-16.
\frac{a^3 + b^3}{a + b}-(a2 + b2) = \frac{(a + b)(a^2-ab + b^2)}{a + b}-(a2 + b2) = a2-ab + b2-a2-b2 = -ab = -4^\frac{7}{4}\cdot2^\frac{1}{2} = -2^\frac{14}{4}\cdot2^\frac{1}{2} = -2^\frac{7}{2}\cdot2^\frac{1}{2} = -2^{\frac{7}{2} + \frac{1}{2}} = -2^\frac{8}{2} = -24 = -16.
Завдання 50. Відомо, що \frac{y-x}{2x} = \frac{3}{4}, де 0<x<y. У скільки разів число у більше за число х?
\frac{a^3 + b^3}{a + b}-(a2 + b2) = \frac{(a + b)(a^2-ab + b^2)}{a + b}-(a2 + b2) = a2-ab + b2-a2-b2 = -ab = -4^\frac{7}{4}\cdot2^\frac{1}{2} = -2^\frac{14}{4}\cdot2^\frac{1}{2} = -2^\frac{7}{2}\cdot2^\frac{1}{2} = -2^{\frac{7}{2} + \frac{1}{2}} = -2^\frac{8}{2} = -24 = -16.
Показати відповідь
2,5.
За пропорцією маємо
4(y - x) = 3 · 2x
4y - 4x = 6x
4y = 6x + 4x
4y = 10x
y = 10x : 4
y = 2,5x.
За пропорцією маємо
4(y - x) = 3 · 2x
4y - 4x = 6x
4y = 6x + 4x
4y = 10x
y = 10x : 4
y = 2,5x.
Коментарі