Дії з ірраціональностями — фундаментальна тема алгебри, що охоплює правила роботи з коренями різних степенів та ірраціональними виразами. Вміння швидко спрощувати радикали, виносити множники з-під знака кореня та звільнятися від ірраціональності в знаменнику є критично важливим для успішного складання НМТ, оскільки ці навички застосовуються не лише в числових виразах, а й у розв’язанні складних геометричних задач та ірраціональних рівнянь.
На цій сторінці представлено систематизований теоретичний мінімум та широкий практичний блок із розбором завдань НМТ минулих років. Ми детально розглянемо алгоритми роботи з модулем при добуванні кореня парного степеня, правила піднесення радикалів до степеня та методи порівняння ірраціональних чисел, що допоможе вам уникнути типових помилок на іспиті.
Дії з ірраціональностями
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}
\sqrt[b]{\sqrt[c]{a}} = \sqrt[bc]{a}
\sqrt[b]{a} = \sqrt[bc]{a^c}
\sqrt{a^2} = |a|
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). \sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt{36}=
\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}
\sqrt[b]{\sqrt[c]{a}} = \sqrt[bc]{a}
\sqrt[b]{a} = \sqrt[bc]{a^c}
\sqrt{a^2} = |a|
12
6\cdot\sqrt[9]{2}
6\cdot\sqrt[6]{2}
72
6\sqrt{2}
Показати відповідь
А.\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt{36}=2\cdot6=12
Завдання 2. Обчисліть значення виразу 2\sqrt{m+m+m}, якщо m=\frac{1}{27}.
\frac{2}{3}
6
\frac{1}{6}
\frac{3}{2}
\frac{2}{9}
Показати відповідь
А.
2\sqrt{m+m+m} = 2\sqrt{3m} = 2\sqrt{3\cdot\frac{1}{27}} = 2\sqrt{\frac{1}{9}} = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Завдання 3. Обчисліть \frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}
2\sqrt{m+m+m} = 2\sqrt{3m} = 2\sqrt{3\cdot\frac{1}{27}} = 2\sqrt{\frac{1}{9}} = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}
3
7
9
21
27
Показати відповідь
А.
\frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[3]{\frac{189}{7}} = \sqrt[3]{27} = 3
\frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}} = \sqrt[3]{\frac{189}{7}} = \sqrt[3]{27} = 3
Завдання 4. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу (1-\sqrt{2})^2).
(-3;0)
[0;0,5)
[0,5;1)
[1;2)
[2;5)
Показати відповідь
Б.
Так як 2 ≈ 1,96, то \sqrt{2}\approx\sqrt{1,96} = 1,4 і 1-\sqrt{2} ≈ 1-1,4 = -0,4. Тоді (1-\sqrt{2})2 ≈ (-0,4)2 = 0,16. Дане значення належить проміжку [0;0,5).
Завдання 5. Знайдіть значення виразу \frac{1}{b}-\frac{1}{a}, якщо \frac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{12}.
Так як 2 ≈ 1,96, то \sqrt{2}\approx\sqrt{1,96} = 1,4 і 1-\sqrt{2} ≈ 1-1,4 = -0,4. Тоді (1-\sqrt{2})2 ≈ (-0,4)2 = 0,16. Дане значення належить проміжку [0;0,5).
-2
0,5
2
3
6
Показати відповідь
В.
\frac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{3}\cdot\frac{a-b}{ab} = \sqrt{3}(\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}) = \sqrt{3}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}) = \sqrt{12}. Звідси \frac{1}{b}-\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2.
Завдання 6. Якщо F = \frac{GMm}{R^2} і R>0, то R =\frac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{3}\cdot\frac{a-b}{ab} = \sqrt{3}(\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab}) = \sqrt{3}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}) = \sqrt{12}. Звідси \frac{1}{b}-\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2.
\sqrt{FGMm}
\sqrt{\frac{Mm}{GF}}
\sqrt{\frac{GF}{Mm}}
\sqrt{\frac{F}{GMm}}
\sqrt{\frac{GMm}{F}}
Показати відповідь
Д.
F = \frac{GMm}{R^2}
R2 = \frac{GMm}{F}
R = \sqrt{\frac{GMm}{F}}.
Завдання 7. Спростіть вираз\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}.
F = \frac{GMm}{R^2}
R2 = \frac{GMm}{F}
R = \sqrt{\frac{GMm}{F}}.
-2\sqrt{3}
-4
-2\sqrt{3}+4
4
2\sqrt{3}
Показати відповідь
Г.
\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} = |\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}+2| = -\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+2 = 4 (так як \sqrt{3}-2<0, то |\sqrt{3}-2| = -\sqrt{3}+2).
Завдання 8. Знайдіть значення виразу \frac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}, якщо а = 2,5.
\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2} = |\sqrt{3}-2|+|\sqrt{3}+2| = -\sqrt{3}+2+\sqrt{3}+2 = 4 (так як \sqrt{3}-2<0, то |\sqrt{3}-2| = -\sqrt{3}+2).
-1
-0,5
0
0,5
1
Показати відповідь
А.
\frac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3} = \frac{\sqrt{(a-3)^2}}{a-3} = \frac{|a-3|}{a-3} = \frac{3-a}{a-3} = -1 (так як a-3<0 при а = 2,5, то |a-3| = 3-a).
Завдання 9. Спростіть вираз \frac{5}{a-9}:\frac{1}{2\sqrt{a}+6}.
\frac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3} = \frac{\sqrt{(a-3)^2}}{a-3} = \frac{|a-3|}{a-3} = \frac{3-a}{a-3} = -1 (так як a-3<0 при а = 2,5, то |a-3| = 3-a).
\frac{10}{\sqrt{a}-3}
\frac{5}{2\sqrt{a}+6}
\frac{\sqrt{a}+3}{10}
\frac{10}{\sqrt{a}+3}
\frac{2\sqrt{a}-6}{5}
Показати відповідь
А.
\frac{5}{a-9}:\frac{1}{2\sqrt{a}+6} = \frac{5}{a-9}\cdot \frac{2\sqrt{a}+6}{1} = \frac{5(2\sqrt{a}+6)}{a-9} = \frac{10(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3)} = \frac{10}{\sqrt{a}-3}.
Завдання 10. Спростіть вираз \frac{\sqrt[3]{64}}{64}.
\frac{5}{a-9}:\frac{1}{2\sqrt{a}+6} = \frac{5}{a-9}\cdot \frac{2\sqrt{a}+6}{1} = \frac{5(2\sqrt{a}+6)}{a-9} = \frac{10(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3)} = \frac{10}{\sqrt{a}-3}.
\frac{1}{16}
\frac{1}{4}
\frac{1}{3}
4
16
Показати відповідь
А.
\frac{\sqrt[3]{64}}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}.
Завдання 11. Обчисліть \sqrt[4]{16\cdot81}.
\frac{\sqrt[3]{64}}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}.
6
12
18
36
72
Показати відповідь
А.
\sqrt[4]{16\cdot81} = \sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{81} = 2 · 3 = 6.
Завдання 12. Обчисліть \sqrt{125}\sqrt[5]{32}-5^\frac{1}{2}.
\sqrt[4]{16\cdot81} = \sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{81} = 2 · 3 = 6.
11\sqrt{5}
10\sqrt{2}-\sqrt{5}
9
9\sqrt{5}
\sqrt[10]{4000}-\sqrt{5}
Показати відповідь
Г.
\sqrt{125}\sqrt[5]{32}-5^\frac{1}{2} = \sqrt{25\cdot5}\cdot2-\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\cdot2-\sqrt{5} = 10\sqrt{5}-\sqrt{5} = 9\sqrt{5}.
Завдання 13. Спростіть вираз a4 · \sqrt{a^6}, якщо a ≥ 0.
\sqrt{125}\sqrt[5]{32}-5^\frac{1}{2} = \sqrt{25\cdot5}\cdot2-\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\cdot2-\sqrt{5} = 10\sqrt{5}-\sqrt{5} = 9\sqrt{5}.
a12
a10
a8
a7
a5
Показати відповідь
Г.
a4 · \sqrt{a^6} = a4 · |a3| = a4 · a3 = a4+3 = a7.
Завдання 14. Спростіть вираз \sqrt[3]{\sqrt[4]{a^6}}, якщо a ≥ 0.
a4 · \sqrt{a^6} = a4 · |a3| = a4 · a3 = a4+3 = a7.
\sqrt[3]{a^2}
\sqrt{a}
a^2
\sqrt[6]{a}
\sqrt[7]{a^6}
Показати відповідь
Б.
\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^6}} = \sqrt[3\cdot4]{a^6} = \sqrt[12]{a^6} = \sqrt[12:6]{|a|^{6:6}} = \sqrt{|a|} = \sqrt{a}.
Завдання 15. Спростіть вираз \frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}.
\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^6}} = \sqrt[3\cdot4]{a^6} = \sqrt[12]{a^6} = \sqrt[12:6]{|a|^{6:6}} = \sqrt{|a|} = \sqrt{a}.
2
\sqrt{2}+1
3+\sqrt{2}
3+2\sqrt{2}
3-\sqrt{2}
Показати відповідь
Д.
\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(2\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}^2-1^2} = \frac{4-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{2-1} = \frac{3-\sqrt{2}}{1} = 3-\sqrt{2}.
Завдання 16. Подайте вираз \frac{a}{\sqrt[7]{a}} у вигляді степеня з основою а.
\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(2\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}^2-1^2} = \frac{4-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{2-1} = \frac{3-\sqrt{2}}{1} = 3-\sqrt{2}.
a^{-\frac{1}{7}}
a-6
a^\frac{1}{7}
a7
a^\frac{6}{7}
Показати відповідь
Д.
\frac{a}{\sqrt[7]{a}} = \frac{a}{a^\frac{1}{7}} = a^{1-\frac{1}{7}} = a^\frac{6}{7}.
Завдання 17. Нехай m і n – довільні дійсні числа, а – довільне додатне число, а≠1. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
\frac{a}{\sqrt[7]{a}} = \frac{a}{a^\frac{1}{7}} = a^{1-\frac{1}{7}} = a^\frac{6}{7}.
1 Якщо (am)n = a4, то
2 Якщо am · an = a4, то
3 Якщо \sqrt[8]{a^m} = \sqrt{a^n}, то
4 Якщо \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}, то
2 Якщо am · an = a4, то
3 Якщо \sqrt[8]{a^m} = \sqrt{a^n}, то
4 Якщо \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}, то
А m+n = 4
Б m-n = 4
В mn = 4
Г m = 4n
Д m = 8n
Б m-n = 4
В mn = 4
Г m = 4n
Д m = 8n
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б.
1) (am)n = amn = a4, тому mn = 4.
2) am · an = am+n = a4, тому m+n = 4
3) \sqrt[8]{a^m} = a^\frac{m}{8} = \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2}.m = 8 · n:2 = 4n
4) \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}. Звідси an-m = a-4. Тоді m-n = 4.
Завдання 18. Обчисліть значення виразу \sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}за а=0,7.
1) (am)n = amn = a4, тому mn = 4.
2) am · an = am+n = a4, тому m+n = 4
3) \sqrt[8]{a^m} = a^\frac{m}{8} = \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2}.m = 8 · n:2 = 4n
4) \frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}. Звідси an-m = a-4. Тоді m-n = 4.
Показати відповідь
-0,2.
\sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}=\sqrt{(3a-4)^2}-3a=|3a-4|-3a=|3 · 0,7-4|-3 · 0,7=|2,1-4|-2,1=|-1,9|-2,1=1,9-2,1= -0,2.
Завдання 19. Обчисліть \frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}
\sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}=\sqrt{(3a-4)^2}-3a=|3a-4|-3a=|3 · 0,7-4|-3 · 0,7=|2,1-4|-2,1=|-1,9|-2,1=1,9-2,1= -0,2.
Показати відповідь
7.
\frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18-8\sqrt{2}}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2(9-4\sqrt{2})}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} =\sqrt{9-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} =\sqrt{(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2})} = \sqrt{81-16\cdot2} = \sqrt{81-32} = \sqrt{49} = 7.
Завдання 20. Обчисліть значення виразу \frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}}
\frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{18-8\sqrt{2}}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2(9-4\sqrt{2})}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} =\sqrt{9-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}} =\sqrt{(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2})} = \sqrt{81-16\cdot2} = \sqrt{81-32} = \sqrt{49} = 7.
Показати відповідь
-9.
\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{2}-5)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}^2-1^2}+\sqrt{8}-\sqrt{100} = \frac{3\cdot2-2\sqrt{2}-5}{2-1}+\sqrt{4\cdot2}-10 = \frac{1-2\sqrt{2}}{1}+2\sqrt{2}-10 = 1-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-10 = 1-10 = -9.
Завдання 21. Обчисліть значення виразу \frac{53}{8-\sqrt{11}}+\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}-\frac{9}{\sqrt{13}+2}.
\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}+\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \frac{(3\sqrt{2}-5)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}+\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}^2-1^2}+\sqrt{8}-\sqrt{100} = \frac{3\cdot2-2\sqrt{2}-5}{2-1}+\sqrt{4\cdot2}-10 = \frac{1-2\sqrt{2}}{1}+2\sqrt{2}-10 = 1-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-10 = 1-10 = -9.
Показати відповідь
10.
\frac{53}{8-\sqrt{11}}+\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}-\frac{9}{\sqrt{13}+2} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{(8-\sqrt{11})(8+\sqrt{11})}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{(\sqrt{13}+\sqrt{11})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{(\sqrt{13}+2) (\sqrt{13}-2)} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{8^2-\sqrt{11}^2}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{\sqrt{13}^2-\sqrt{11}^2}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{\sqrt{13}^2-2^2} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{64-11}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{13-11}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{13-4} =\frac{53(8+\sqrt{11})}{53}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{2}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{9} = (8+\sqrt{11})+(\sqrt{13}-\sqrt{11})-(\sqrt{13}-2) = 8+\sqrt{11}+\sqrt{13}-\sqrt{11}-\sqrt{13}+2 = 8+2 = 10.
Завдання 22. Обчисліть значення виразу 20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2.
\frac{53}{8-\sqrt{11}}+\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}-\frac{9}{\sqrt{13}+2} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{(8-\sqrt{11})(8+\sqrt{11})}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{(\sqrt{13}+\sqrt{11})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{(\sqrt{13}+2) (\sqrt{13}-2)} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{8^2-\sqrt{11}^2}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{\sqrt{13}^2-\sqrt{11}^2}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{\sqrt{13}^2-2^2} = \frac{53(8+\sqrt{11})}{64-11}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{13-11}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{13-4} =\frac{53(8+\sqrt{11})}{53}+\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{2}-\frac{9(\sqrt{13}-2)}{9} = (8+\sqrt{11})+(\sqrt{13}-\sqrt{11})-(\sqrt{13}-2) = 8+\sqrt{11}+\sqrt{13}-\sqrt{11}-\sqrt{13}+2 = 8+2 = 10.
Показати відповідь
-83.
20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2 = 20\sqrt{6}-(\frac{16}{2}+2\frac{4}{\sqrt{2}}5\sqrt{3}+25\cdot3) = 20\sqrt{6}-(8+\frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+75) = 20\sqrt{6}-(83+\frac{40\sqrt{3}\sqrt{2}}{2})) = 20\sqrt{6}-(83+20\sqrt{6}) = 20\sqrt{6}-83-20\sqrt{6} = -83.
20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2 = 20\sqrt{6}-(\frac{16}{2}+2\frac{4}{\sqrt{2}}5\sqrt{3}+25\cdot3) = 20\sqrt{6}-(8+\frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+75) = 20\sqrt{6}-(83+\frac{40\sqrt{3}\sqrt{2}}{2})) = 20\sqrt{6}-(83+20\sqrt{6}) = 20\sqrt{6}-83-20\sqrt{6} = -83.
Коментарі
, потужна розробка!