Дії з ірраціональностями

Дії з ірраціональностями
$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$
$\sqrt[b]{\sqrt[c]{a}} = \sqrt[bc]{a}$
$\sqrt[b]{a} = \sqrt[bc]{a^c}$
$\sqrt{a^2} = |a|$

Завдання. НМТ 2026 (демо). \sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt{36}=

6\cdot\sqrt[9]{2}

6\cdot\sqrt[6]{2}

6\sqrt{2}

Показати відповідь

А. \sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt{36}=2\cdot6=12

НМТ 2024. Обчисліть значення виразу $2\sqrt{m+m+m}$ , якщо $m=\frac{1}{27}$ .

А Б В Г Д

$\frac{2}{3}$ 6 $\frac{1}{6}$ $\frac{3}{2}$ $\frac{2}{9}$

Показати відповідь
А.
НМТ 2024. Обчисліть $\frac{\sqrt[3]{189}}{\sqrt[3]{7}}$

А Б В Г Д

3 7 9 21 27

Показати відповідь
А.

Укажіть проміжок, якому належить значення виразу (1- $\sqrt{2}$ )².

А Б В Г Д

(-3;0) [0;0,5) [0,5;1) [1;2) [2;5)

Показати відповідь
Б.
Так як 2≈1,96, то $\sqrt{2}\approx\sqrt{1,96}$ = 1,4 і 1- $\sqrt{2}$ ≈1-1,4 = -0,4. Тоді (1- $\sqrt{2}$ )²≈(-0,4)² = 0,16. Дане значення належить проміжку [0;0,5).
Знайдіть значення виразу $\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$ , якщо $\frac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab} = \sqrt{12}$ .

А Б В Г Д

-2 0,5 2 3 6

Показати відповідь
В.
$\frac{\sqrt{3}a-\sqrt{3}b}{ab}$ = $\sqrt{3}\cdot\frac{a-b}{ab} = \sqrt{3}(\frac{a}{ab}-\frac{b}{ab})$ = $\sqrt{3}(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}) = \sqrt{12}$ . Звідси $\frac{1}{b}-\frac{1}{a} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4}$ = 2.

Якщо F = $\frac{GMm}{R^2}$ і R>0, то R =

А Б В Г Д

$\sqrt{FGMm}$ $\sqrt{\frac{Mm}{GF}}$ $\sqrt{\frac{GF}{Mm}}$ $\sqrt{\frac{F}{GMm}}$ $\sqrt{\frac{GMm}{F}}$

Показати відповідь
Д.
F = $\frac{GMm}{R^2}$
R² = $\frac{GMm}{F}$
R = $\sqrt{\frac{GMm}{F}}$ .
Спростіть вираз $\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$ + $\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}$ .

А Б В Г Д

-2 $\sqrt{3}$ -4 -2 $\sqrt{3}$ +4 4 2 $\sqrt{3}$

Показати відповідь
Г.
$\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2}$ + $\sqrt{(\sqrt{3}+2)^2}$ = | $\sqrt{3}$ -2|+| $\sqrt{3}$ +2| = - $\sqrt{3}$ +2+ $\sqrt{3}$ +2 = 4 (так як $\sqrt{3}$ -2<0, то | $\sqrt{3}$ -2| = - $\sqrt{3}$ +2).
Знайдіть значення виразу $\frac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3}$ , якщо а = 2,5.

А Б В Г Д

-1 -0,5 0 0,5 1

Показати відповідь
А.
$\frac{\sqrt{9+a^2-6a}}{a-3} = \frac{\sqrt{(a-3)^2}}{a-3}$ = $\frac{|a-3|}{a-3} = \frac{3-a}{a-3}$ = -1 (так як a-3<0 при а = 2,5, то |a-3| = 3-a).
Спростіть вираз $\frac{5}{a-9}$ : $\frac{1}{2\sqrt{a}+6}$ .

А Б В Г Д

$\frac{10}{\sqrt{a}-3}$ $\frac{5}{2\sqrt{a}+6}$ $\frac{\sqrt{a}+3}{10}$ $\frac{10}{\sqrt{a}+3}$ $\frac{2\sqrt{a}-6}{5}$

Показати відповідь
А.
$\frac{5}{a-9}$ : $\frac{1}{2\sqrt{a}+6}$ = $\frac{5}{a-9}$ ⋅ $\frac{2\sqrt{a}+6}{1}$ = $\frac{5(2\sqrt{a}+6)}{a-9}$ = $\frac{10(\sqrt{a}+3)}{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-3)}$ = $\frac{10}{\sqrt{a}-3}$ .
Спростіть вираз $\frac{\sqrt[3]{64}}{64}$ .

А Б В Г Д

$\frac{1}{16}$ $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{3}$ 4 16

Показати відповідь
А.
$\frac{\sqrt[3]{64}}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$ .
Обчисліть $\sqrt[4]{16\cdot81}$ .

А Б В Г Д

6 12 18 36 72

Показати відповідь
А.
$\sqrt[4]{16\cdot81} = \sqrt[4]{16}\cdot\sqrt[4]{81}$ = 2⋅3 = 6.
Обчисліть $\sqrt{125}\sqrt[5]{32}-5^\frac{1}{2}$ .

А Б В Г Д

11 $\sqrt{5}$ 10 $\sqrt{2}-\sqrt{5}$ 9 9 $\sqrt{5}$ $\sqrt[10]{4000}-\sqrt{5}$

Показати відповідь
Г.
$\sqrt{125}\sqrt[5]{32}-5^\frac{1}{2}$ = $\sqrt{25\cdot5}\cdot2-\sqrt{5}$ = 5 $\sqrt{5}$ ⋅2- $\sqrt{5}$ = 10 $\sqrt{5}$ - $\sqrt{5}$ = 9 $\sqrt{5}$ .
Спростіть вираз a⁴⋅ $\sqrt{a^6}$ , якщо a≥0.

А Б В Г Д

a¹² a¹⁰ a⁸ a⁷ a⁵

Показати відповідь
Г.
a⁴⋅ $\sqrt{a^6}$ = a⁴⋅|a³| = a⁴⋅a³ = a⁴⁺³ = a⁷.
Спростіть вираз $\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^6}}$ , якщо a≥0.

А Б В Г Д

$\sqrt[3]{a^2}$ $\sqrt{a}$ $a^2$ $\sqrt[6]{a}$ $\sqrt[7]{a^6}$

Показати відповідь
Б.
$\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^6}} = \sqrt[3\cdot4]{a^6}$ = $\sqrt[12]{a^6} = \sqrt[12:6]{|a|^{6:6}}$ = $\sqrt{|a|} = \sqrt{a}$ .
Спростіть вираз $\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}$ .

А Б В Г Д

2 $\sqrt{2}$ +1 3+ $\sqrt{2}$ 3+2 $\sqrt{2}$ 3- $\sqrt{2}$

Показати відповідь
Д.
$\frac{2\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}$ = $\frac{(2\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}$ = $\frac{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}^2-1^2}$ = $\frac{4-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-1}{2-1}$ = $\frac{3-\sqrt{2}}{1} = 3-\sqrt{2}$ .
Подайте вираз $\frac{a}{\sqrt[7]{a}}$ у вигляді степеня з основою а.

А Б В Г Д

$a^{-\frac{1}{7}}$ a^-6 $a^\frac{1}{7}$ a⁷ $a^\frac{6}{7}$

Показати відповідь
Д.
$\frac{a}{\sqrt[7]{a}} = \frac{a}{a^\frac{1}{7}}$ = $a^{1-\frac{1}{7}} = a^\frac{6}{7}$ .

Нехай m і n – довільні дійсні числа, а – довільне додатне число, а≠1. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Запитання	Відповідь на запитання
1 Якщо (a^m)ⁿ = a⁴, то 2 Якщо a^m⋅aⁿ = a⁴, то 3 Якщо $\sqrt[8]{a^m} = \sqrt{a^n}$ , то 4 Якщо $\frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}$ , то	А m+n = 4 Б m-n = 4 В mn = 4 Г m = 4n Д m = 8n

Показати відповідь

1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б .
1) (a^m)ⁿ = a^mn = a⁴, тому mn = 4.
2) a^m⋅aⁿ = a^m+n = a⁴, тому m+n = 4
3) $\sqrt[8]{a^m} = a^\frac{m}{8} = \sqrt{a^n} = a^\frac{n}{2}$ .m = 8⋅n:2 = 4n
4) $\frac{a^n}{a^m} = \frac{1}{a^4}$ . Звідси a^n-m = a^-4. Тоді m-n = 4.

Обчисліть значення виразу $\sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}$ за а=0,7.
Показати відповідь
-0,2.
$\sqrt{9a^2-24a+16}-\sqrt[3]{27a^3}$ = $\sqrt{(3a-4)^2}$ -3a=|3a-4|-3a=|3⋅0,7-4|-3⋅0,7=|2,1-4|-2,1=|-1,9|-2,1=1,9-2,1= -0,2.
Обчисліть $\frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}$
Показати відповідь
7.
$\frac{\sqrt{18-8\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}$ = $\sqrt{\frac{18-8\sqrt{2}}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}$ = $\sqrt{\frac{2(9-4\sqrt{2})}{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}$ = $\sqrt{9-4\sqrt{2}}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{2}}$ = $\sqrt{(9-4\sqrt{2})(9+4\sqrt{2})}$ = $\sqrt{81-16\cdot2}$ = $\sqrt{81-32}$ = $\sqrt{49}$ = 7.
Обчисліть значення виразу $\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}$ + $\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}}$
Показати відповідь
-9.
$\frac{3\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}-1}$ + $\frac{\sqrt{24}-\sqrt{300}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{(3\sqrt{2}-5)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}$ + $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{300}}{\sqrt{3}}$ = $\frac{3\sqrt{2}^2+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}-5}{\sqrt{2}^2-1^2}$ + $\sqrt{8}$ - $\sqrt{100}$ = $\frac{3\cdot2-2\sqrt{2}-5}{2-1}$ + $\sqrt{4\cdot2}$ -10 = $\frac{1-2\sqrt{2}}{1}$ +2 $\sqrt{2}$ -10 = 1-2 $\sqrt{2}$ +2 $\sqrt{2}$ -10 = 1-10 = -9.
Обчисліть значення виразу $\frac{53}{8-\sqrt{11}}$ + $\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$ - $\frac{9}{\sqrt{13}+2}$ .
Показати відповідь
10.
$\frac{53}{8-\sqrt{11}}$ + $\frac{2}{\sqrt{13}+\sqrt{11}}$ - $\frac{9}{\sqrt{13}+2}$ = $\frac{53(8+\sqrt{11})}{(8-\sqrt{11})(8+\sqrt{11})}$ + $\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{(\sqrt{13}+\sqrt{11})(\sqrt{13}-\sqrt{11})}$ - $\frac{9(\sqrt{13}-2)}{(\sqrt{13}+2) (\sqrt{13}-2)}$ = $\frac{53(8+\sqrt{11})}{8^2-\sqrt{11}^2}$ + $\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{\sqrt{13}^2-\sqrt{11}^2}$ - $\frac{9(\sqrt{13}-2)}{\sqrt{13}^2-2^2}$ = $\frac{53(8+\sqrt{11})}{64-11}$ + $\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{13-11}$ - $\frac{9(\sqrt{13}-2)}{13-4}$ = $\frac{53(8+\sqrt{11})}{53}$ + $\frac{2(\sqrt{13}-\sqrt{11})}{2}$ - $\frac{9(\sqrt{13}-2)}{9}$ = (8+ $\sqrt{11}$ )+( $\sqrt{13}$ - $\sqrt{11}$ )-( $\sqrt{13}$ -2) = 8+ $\sqrt{11}$ + $\sqrt{13}$ - $\sqrt{11}$ - $\sqrt{13}$ +2 = 8+2 = 10.
Обчисліть значення виразу $20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2$ .
Показати відповідь
-83.
$20\sqrt{6}-(\frac{4}{\sqrt{2}}+5\sqrt{3})^2$ = $20\sqrt{6}-(\frac{16}{2}+2\frac{4}{\sqrt{2}}5\sqrt{3}+25\cdot3)$ = 20 $\sqrt{6}$ -(8+ $\frac{40\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ +75) = 20 $\sqrt{6}$ -(83+ $\frac{40\sqrt{3}\sqrt{2}}{2})$ ) = 20 $\sqrt{6}$ -(83+20 $\sqrt{6}$ ) = 20 $\sqrt{6}$ -83-20 $\sqrt{6}$ = -83.