Дії з ірраціональностями

Дії з ірраціональностями — фундаментальна тема алгебри, що охоплює правила роботи з коренями різних степенів та ірраціональними виразами. Вміння швидко спрощувати радикали, виносити множники з-під знака кореня та позбуватися ірраціональності в знаменнику є критично важливим для успішного складання НМТ, оскільки ці навички застосовуються не лише в числових виразах, а й у розв’язанні складних геометричних задач та ірраціональних рівнянь.

На цій сторінці представлено систематизований теоретичний мінімум та широкий практичний блок із розбором завдань НМТ минулих років. Ми детально розглянемо алгоритми роботи з модулем при добуванні кореня парного степеня, правила піднесення радикалів до степеня та методи порівняння ірраціональних чисел, що допоможе вам уникнути типових помилок на іспиті.

Дії з ірраціональностями
√a · √b = √ab
√a√b = √ab
b√c√a = bc√a
b√a = bc√aᶜ
√a² = |a|
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). 3√2³ · √36 =
12
6 · 9√2
6 · 6√2
72
6√2
Показати відповідь
А. 3√2³ · √36 = 2 · 6 = 12
Завдання 2. Обчисліть значення виразу 2√m + m + m, якщо m = 127.
23
6
16
32
29
Показати відповідь
А.
2√m + m + m = 2√3m = 2√3 · 127 = 2√19 = 2 · 13 = 23
Завдання 3. Обчисліть ∛189∛7
3
7
9
21
27
Показати відповідь
А.
∛189∛7 = 3√1897 = ∛27 = 3.
Завдання 4. Укажіть проміжок, якому належить значення виразу (1 - √2)².
(-3; 0)
[0; 0,5)
[0,5; 1)
[1; 2)
[2; 5)
Показати відповідь
Б.
Оскільки 2 ≈ 1,96, то √2 ≈ √1,96 ≈ 1,4 і 1 - √2 ≈ 1 - 1,4 ≈ -0,4. Тоді (1 - √2)² ≈ (-0,4)² ≈ 0,16. Дане значення належить проміжку [0;0,5).
Завдання 5. Знайдіть значення виразу 1b - 1a, якщо √3a - √3bab = √12.
-2
0,5
2
3
6
Показати відповідь
В.
√3a - √3bab = √3a - bab = √3(aab - bab) = √3(1b - 1a) = √12. Звідси 1b - 1a = √12 : √3 = √4 = 2.
Завдання 6. Якщо F = GMmR² і R > 0, то R =
√FGMm
√MmGF
√GFMm
√FGMm
√GMmF
Показати відповідь
Д.
F = GMmR²
R² = GMmF
R = √GMmF.
Завдання 7. Спростіть вираз √(√3 - 2)² + √(√3 + 2)²
-2√3
-4
-2√3 + 4
4
2√3
Показати відповідь
Г.
√(√3 - 2)² + √(√3 + 2)² = |√3 - 2| + |√3 + 2| = - √3 + 2 + √3 + 2 = 4 (так як √3 - 2 < 0, то |√3 - 2| = - √3 + 2).
Завдання 8. Знайдіть значення виразу √9 + a² - 6aa - 3, якщо а = 2,5.
-1
-0,5
0
0,5
1
Показати відповідь
А.
√9 + a² - 6aa - 3 = √(a - 3)²a - 3 = |a - 3|a - 3 = -a - 3a - 3 = - 1 (так як a - 3 < 0 при а = 2,5, то |a - 3| = - (a - 3)).
Завдання 9. Спростіть вираз 5a - 9 : 12√a + 6.
10√a - 3
52√a + 6
√a + 310
10√a + 3
2√a - 65
Показати відповідь
А.
5a - 9 : 12√a + 6 = 5a - 9 · 2√a + 61 = 5(√a)² - 3² · 2(√a + 3)1 = 5(√a - 3)(√a + 3) · 2(√a + 3)1 = 5√a - 3 · 21 = 10√a - 3.
Завдання 10. Спростіть вираз ∛6464.
116
14
13
4
16
Показати відповідь
А.
∛6464 = 464 = 116.
Завдання 11. Обчисліть 4√16 · 81.
6
12
18
36
72
Показати відповідь
А.
4√16 · 81 = 4√16 · 4√81 = 2 · 3 = 6.
Завдання 12. Обчисліть √125 5√32 - 512.
11√5
10√2 - √5
9
9√5
10√4000 - √5
Показати відповідь
Г.
√125 5√32 - 512 = √25 · 5 · 2 - √5 = 5√5 · 2 - √5 = 10√5 - √5 = 9√5.
Завдання 13. Спростіть вираз a⁴ · √a⁶, якщо a ≥ 0.
a¹²
a¹⁰
a⁸
a⁷
a⁵
Показати відповідь
Г.
a⁴ · √a⁶ = a⁴ · |a³| = a⁴ · a³ = a⁴⁺³ = a⁷.
Завдання 14. Спростіть вираз 3√4√a⁶, якщо a ≥ 0.
3√a²
√a
a²
6√a
7√a⁶
Показати відповідь
Б.
3√4√a⁶ = 3·4√a⁶ = 12√a⁶ = 2·6√a⁶ = √|a| = √a.
Завдання 15. Спростіть вираз 2√2 + 1√2 + 1.
2
√2 + 1
3 + √2
3 + 2√2
3 - √2
Показати відповідь
Д.
2√2 + 1√2 + 1 = (2√2 + 1)(√2 - 1)(√2 + 1)(√2 - 1) = 2√2 · √2 - 2√2 · 1 + 1 ·√2 - 1 · 1(√2)² - 1² = 4 - 2√2 + √2 - 12 - 1 = 3 - √21 = 3 - √2.
Завдання 16. Подайте вираз a7√a у вигляді степеня з основою а.
a-17
a⁻⁶
a17
a⁷
a67
Показати відповідь
Д.
a7√a = a : 7√a = a : a17 = a1 - 17 = a67.
Завдання 17. Нехай m і n – довільні дійсні числа, а – довільне додатне число, а ≠ 1. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1 Якщо (aᵐ)ⁿ = a⁴, то
2 Якщо aᵐ · aⁿ = a⁴, то
3 Якщо 8√aᵐ = √aⁿ, то
4 Якщо aⁿaᵐ = 1a⁴, то
А m + n = 4
Б m - n = 4
В mn = 4
Г m = 4n
Д m = 8n
Показати відповідь
1-В, 2-А, 3-Г, 4-Б.
1) (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ = a⁴, тому mn = 4.
2) aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ = a⁴, тому m + n = 4.
3) 8√aᵐ = am8 = √aⁿ = an2
m8 = n2
m = 8 · n : 2 = 4n
4) aⁿaᵐ = 1a⁴
aⁿ⁻ᵐ = a⁻⁴. Тоді m - n = 4.
Завдання 18. Обчисліть значення виразу √9a² - 24a + 16 - 3√27a³ за а = 0,7.
Показати відповідь
-0,2.
√9a² - 24a + 16 - 3√27a³ = √(3a - 4)² - 3√(3a)³ = |3a - 4| - 3a = |3 · 0,7 - 4| -3 · 0,7 = |2,1 - 4| - 2,1 = |-1,9| - 2,1 = 1,9 - 2,1 = -0,2.
Завдання 19. Обчисліть √18 - 8√2√2 · √9 + 4√2
Показати відповідь
7.
√18 - 8√2√2 · √9 + 4√2 = √2(9 - 4√2)√2 · √9 + 4√2 = √9 - 4√2 · √9 + 4√2 = √(9 - 4√2)(9 + 4√2) = √9² - (4√2)² = √81 - 16 · 2 = √81 - 32 = √49 = 7.
Завдання 20. Обчисліть значення виразу 3√2 - 5√2 - 1 + √24 - √300√3
Показати відповідь
-9.
3√2 - 5√2 - 1 + √24 - √300√3 = (3√2 - 5)(√2 + 1)(√2 - 1)(√2 + 1) + √3(√8 - √100)√3 = 3√2 · √2 + 3√2 · 1 - 5 · √2 - 5 · 1(√2)² - 1² + √8 - √100 = 6 + 3√2 - 5√2 - 52 - 1 + √8 - 10 = 1 - 2√21 + 2√2 - 10 = 1 - 2√2 + 2√2 - 10 = -9.
Завдання 21. Обчисліть значення виразу 538 - √11 + 2√13 + √11 - 9√13 + 2.
Показати відповідь
10.
538 - √11 + 2√13 + √11 - 9√13 + 2 = 53(8 + √11)(8 - √11)(8 + √11) + 2(√13 - √11)(√13 + √11)(√13 - √11) - 9(√13 - 2)(√13 + 2)(√13 - 2) = 53(8 + √11)8² - (√11)² + 2(√13 - √11)(√13)² - (√11)² - 9(√13 - 2)(√13)² - 2² = 53(8 + √11)64 - 11 + 2(√13 - √11)13 - 11 - 9(√13 - 2)13 - 4 = 53(8 + √11)53 + 2(√13 - √11)2 - 9(√13 - 2)9 = 8 + √11 + √13 - √11 - (√13 - 2) = 8 + √11 + √13 - √11 - √13 + 2 = 10.
Завдання 22. Обчисліть значення виразу 20√6 - (4√2 + 5√3)².
Показати відповідь
-83.
20√6 - (4√2 + 5√3)² = 20√6 - (2√2√2√2 + 5√3)² = 20√6 - (2√2 + 5√3)² = 20√6 - ((2√2)² + 2 · 2√2 · 5√3 + (5√3)²) = 20√6 - (4 · 2 + 20√6 + 25 · 3) = 20√6 - (8 + 20√6 + 75) = 20√6 - (83 + 20√6) = 20√6 - 83 - 20√6 = - 83.