Розуміння того, як взаємодіють прямі та площини у просторі — це фундамент, на якому тримається вся стереометрія. На відміну від планіметрії, тут з’являються мимобіжні прямі, які ніколи не перетинаються, але й не є паралельними, а паралельність площин потребує перевірки одразу за двома прямими, що перетинаються.
Цей розділ містить повний перелік опорних конспектів та тестових завдань, що максимально наближені до формату НМТ та ЗНО. Ми детально розберемо аксіоми стереометрії, ознаки паралельності та особливості куба як моделі для розв’язання задач. Ви навчитеся безпомилково визначати взаємне розміщення елементів, що є критично важливим для успішного виконання геометричної частини іспиту.
Прямі у просторі можуть:
Завдання 1. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані AA₁B₁B.
- перетинатися, тоді через них можна провести площину, причому тільки одну
- бути паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині (ознака паралельності прямих: дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою)
- бути мимобіжними, якщо вони не перетинаються і НЕ лежать в одній площині
- перетинатися
- бути паралельними, (ознака паралельності прямої та площини: якщо пряма, що не лежить в площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то пряма та площина паралельні)
- перетинатися
- бутипаралельними, (ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим іншої площини, то ці площини паралельні)
- три точки, що не лежать на одній прямій
- пряму та точку, що не лежить на цій прямій
- дві прямі, що перетинаються
- дві прямі, що паралельні
BC
C₁D
BD
CB₁
A₁B
Показати відповідь
Б.
Із побудованих прямих паралельна лівій грані куба виявилась лише пряма C₁D.
Із побудованих прямих паралельна лівій грані куба виявилась лише пряма C₁D.
Завдання 2. У просторі задано пряму m і точку А, яка не належить m. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Через точку А і пряму m можна провести лише одну площину.
ІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, паралельну прямій m.
ІІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m.
лише І і ІІ
лише І і ІІІ
лише ІІІ
лише ІІ і ІІІ
І, ІІ і ІІІ
Показати відповідь
Б.
І. За аксіомою через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, причому тільки одну. Є правильним.
ІІ. Через точку можна провести безліч площин, паралельних даній прямій. Не є правильним.
ІІІ. Дійсно, через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m. Є правильним.
Завдання 3. Прямі a і b мимобіжні. Які з наведених тверджень є правильними?І. За аксіомою через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, причому тільки одну. Є правильним.
ІІ. Через точку можна провести безліч площин, паралельних даній прямій. Не є правильним.
ІІІ. Дійсно, через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m. Є правильним.
І. Прямі a та b перетинаються.
ІІ. Прямі a та b лежать в одній площині.
ІІІ. Існує пряма, паралельна прямій a, що перетинає пряму b.
лише І
лише ІІ
лише І та ІІ
лише ІІІ
І, ІІ та ІІІ
Показати відповідь
Г.
І. Якщо прямі a і b перетинаються, то вони лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
ІІ. Якщо прямі a і b лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
ІІІ. На прямій b завжди можна взяти довільну точку, а через довільну точку завжди можна провести пряму, паралельну іншій прямій. Є правильним.
Завдання 4. Які з наведених тверджень є правильними?І. Якщо прямі a і b перетинаються, то вони лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
ІІ. Якщо прямі a і b лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
ІІІ. На прямій b завжди можна взяти довільну точку, а через довільну точку завжди можна провести пряму, паралельну іншій прямій. Є правильним.
І. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.
ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.
ІІІ. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.
лише І
лише І і ІІ
лише І і ІІІ
лише ІІ і ІІІ
І, ІІ і ІІІ
Показати відповідь
Б.
І. Через прямі, що перетинаються, можна провести площину, і причому лише одну. Є правильним.
ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести єдину площину, паралельну даній. Тоді всі прямі, що лежать в цій площині, будуть паралельні іншій площині. Є правильним.
ІІІ. Якщо пряма паралельна спільній прямій двох площин, що перетинаються, то вона паралельна цим площинам. Отже маємо випадок, коли пряма паралельна двом площинам, а вони між собою не паралельні. Не є правильним.
Завдання 5. У просторі задано паралельні прямі m і n. Які з наведених тверджень є правильними?І. Через прямі, що перетинаються, можна провести площину, і причому лише одну. Є правильним.
ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести єдину площину, паралельну даній. Тоді всі прямі, що лежать в цій площині, будуть паралельні іншій площині. Є правильним.
ІІІ. Якщо пряма паралельна спільній прямій двох площин, що перетинаються, то вона паралельна цим площинам. Отже маємо випадок, коли пряма паралельна двом площинам, а вони між собою не паралельні. Не є правильним.
І. Існує площина, що містить обидві прямі m і n.
ІІ. Існує пряма, що перетинає обидві прямі m і n.
ІІІ. Існує точка, що належить обом прямим m і n.
лише І
лише ІІ
лише ІІ та ІІІ
лише ІІІ
лише І та ІІ
Показати відповідь
Д.
І. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то така площина існує. Є правильним.
ІІ. Так як прямі паралельні, то вони лежать в одній площині. А на площині завжди є пряма, що перетинає паралельні прямі. Є правильним.
ІІІ. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то вони не мають спільної точки. Не є правильним.
Завдання 6. Які з наведених тверджень правильні?І. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то така площина існує. Є правильним.
ІІ. Так як прямі паралельні, то вони лежать в одній площині. А на площині завжди є пряма, що перетинає паралельні прямі. Є правильним.
ІІІ. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то вони не мають спільної точки. Не є правильним.
І. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині.
ІІ. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині.
ІІІ. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.
лише ІІ
лише ІІІ
лише І та ІІ
лише І і ІІІ
лише ІІ і ІІІ
Показати відповідь
А.
Так як за аксіомою через три точки можна провести лише одну площину, то плоска фігура належить площині, якщо вона має з нею 3 спільні точки.
І. Маємо лише 2 спільні точки, то коло перетинає площину. Не є правильним.
ІІ. Оскільки маємо 3 спільні точки, то паралелограм лежить в цій площині. Є правильним.
ІІІ. Три спільні точки круга можуть лежати на одній прямій (наприклад, діаметр круга), тоді круг лише перетинає площину. Не є правильним.
Завдання 7. Точка А належить площині α. Які з наведених тверджень є правильними?Так як за аксіомою через три точки можна провести лише одну площину, то плоска фігура належить площині, якщо вона має з нею 3 спільні точки.
І. Маємо лише 2 спільні точки, то коло перетинає площину. Не є правильним.
ІІ. Оскільки маємо 3 спільні точки, то паралелограм лежить в цій площині. Є правильним.
ІІІ. Три спільні точки круга можуть лежати на одній прямій (наприклад, діаметр круга), тоді круг лише перетинає площину. Не є правильним.
І. Через точку А можна провести пряму, перпендикулярну до площини α.
ІІ. Через точку А можна провести площину, перпендикулярну до площини α.
ІІІ. Через точку А можна провести площину, паралельну площині α.
лише І
лише ІІ та ІІІ
лише ІІ
лише І та ІІ
І, ІІ та ІІІ
Показати відповідь
Г.
І. Є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (оскільки площини матимуть спільну точку, то вони співпадають).
Завдання 8. Пряма b не має спільних точок з площиною α. Які з наведених тверджень є правильними?І. Є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (оскільки площини матимуть спільну точку, то вони співпадають).
І. Через пряму b можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.
ІІ. Через пряму b можна провести лише одну площину, паралельну площині α.
ІІІ. У площині α можна провести лише одну пряму, паралельну прямій b.
лише І
лише ІІ
лише І і ІІ
лише ІІ і ІІІ
І, ІІ і ІІІ
Показати відповідь
В.
І. Є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (якщо пряма а в площині паралельна прямій b, то і всі інші прямі площини, що паралельні прямій а, також будуть паралельні прямій b, тому таких прямих безліч).
Завдання 9. У просторі задано пряму b і точку А, що не належить цій прямій. Скільки всього існує різних площин, які проходять через точку А і не мають спільних точок з прямою b?
І. Є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (якщо пряма а в площині паралельна прямій b, то і всі інші прямі площини, що паралельні прямій а, також будуть паралельні прямій b, тому таких прямих безліч).
жодної
лише одна
лише дві
лише три
безліч
Показати відповідь
Д.
Через точку у просторі можна провести безліч площин. Через точку А і пряму b можна провести лише одну площину. Тому залишається безліч площин, що проходять через точку А і не проходять через пряму b.
Завдання 10. Задано дві мимобіжні прямі a і b. Скільки існує різних площин, які проходять через пряму a та є паралельними прямій b?
Через точку у просторі можна провести безліч площин. Через точку А і пряму b можна провести лише одну площину. Тому залишається безліч площин, що проходять через точку А і не проходять через пряму b.
жодної
одна
дві
три
безліч
Показати відповідь
Б.
Через точку на прямій а проводимо пряму, паралельну прямій b. Через проведену пряму та пряму а можна провести лише одну площину.
Завдання 11. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює з CD₁ пару мимобіжних прямих.
Через точку на прямій а проводимо пряму, паралельну прямій b. Через проведену пряму та пряму а можна провести лише одну площину.
А₁В
C₁D
CВ₁
АВ
CD
Показати відповідь
Г.
А) прямі паралельні;
Б) прямі перетинаються;
В) прямі перетинаються;
Г) прямі мимобіжні;
Д) прямі перетинаються.
Завдання 12. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих паралельна площині (AA₁B₁)?
А) прямі паралельні;
Б) прямі перетинаються;
В) прямі перетинаються;
Г) прямі мимобіжні;
Д) прямі перетинаються.
BC
BD
C₁D
CB₁
A₁B
Показати відповідь
В.
А) пряма перетинає площину;
Б) пряма перетинає площину;
В) пряма паралельна площині (вона паралельна прямій B₁А, що лежить в цій площині);
Г) пряма перетинає площину;
Д) пряма лежить в площині.
Завдання 13. Площини α і β паралельні. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Існує пряма, що лежить і в площині α, і в площині β.
ІІ. Якщо пряма перпендикулярна до площини α, то вона перпендикулярна до площини β.
ІІІ. Якщо пряма лежить у площині α, то вона паралельна будь-якій прямій у площині β.
А) пряма перетинає площину;
Б) пряма перетинає площину;
В) пряма паралельна площині (вона паралельна прямій B₁А, що лежить в цій площині);
Г) пряма перетинає площину;
Д) пряма лежить в площині.
лише І
лише І та ІІ
лише ІІ
лише ІІ та ІІІ
лише ІІІ
Показати відповідь
В.
І. Не є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (прямі можуть бути мимобіжними).
Завдання 14. Відрізок АВ перетинає площину α в точці О. Проекції відрізків АО і ВО на цю площину дорівнюють 5 см і 20 см відповідно. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо АО = 8 см.
І. Не є правильним.
ІІ. Є правильним.
ІІІ. Не є правильним (прямі можуть бути мимобіжними).
10 см
22 см
32 см
40 см
52 см
Показати відповідь
Г.
Так як ОМ і ОК - проекції, то трикутники АМО і ВКО прямокутні. ∠КОВ = ∠МОА як вертикальні. Тоді трикутники ВКО і АМО подібні. Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо КО:ОМ = ВО:ОА. Підставимо відомі значення. 20:5 = ВО:8. Звідси ВО = 20:5⋅8 = 32. Тоді АВ = АО + ОВ = 8 + 32 = 40 см.
Завдання 15. З вершини В квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB до площини цього квадрата (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?І. ∠SBA = 90°.
ІІ. ∠SAD = ∠SDA
III. ∠SAD = 90°.
лише І
лише І і ІІ
лише І і ІІІ
лише ІІІ
І, ІІ і ІІІ
Показати відповідь
В.
І. Так як SB перпендикуляр до площини, то кут між SB і прямою BA, що лежить в цій площині, прямий. Правильно
ІІ. Не є правильним.
ІІІ. Так як ABCD квадрат, то AD⊥АВ, який є проекцією SA, тому за теоремою про три перпендикуляри шуканий кут прямий. Правильно.
Завдання 16. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між парою прямих (1-4) та їх взаємним розташуванням (А-Д).
І. Так як SB перпендикуляр до площини, то кут між SB і прямою BA, що лежить в цій площині, прямий. Правильно
ІІ. Не є правильним.
ІІІ. Так як ABCD квадрат, то AD⊥АВ, який є проекцією SA, тому за теоремою про три перпендикуляри шуканий кут прямий. Правильно.
1 АС й СС₁
2 AB₁ і CD₁
3 АС й СD₁
4 AB₁ і C₁D
2 AB₁ і CD₁
3 АС й СD₁
4 AB₁ і C₁D
А прямі паралельні
Б прямі мимобіжні
В прямі перетинаються й утворюють прямий кут
Г прямі перетинаються й утворюють кут 45°
Д прямі перетинаються й утворюють кут 60°
Б прямі мимобіжні
В прямі перетинаються й утворюють прямий кут
Г прямі перетинаються й утворюють кут 45°
Д прямі перетинаються й утворюють кут 60°
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-Д, 4-А.
1) Прямі перетинаються й утворюють прямий кут.
2) Прямі мимобіжні.
3) Дані прямі є сторонами ∆ACD₁. Так як всі його сторони - діагоналі граней куба, то вони рівні і трикутник є рівностороннім, тому кут між його сторонами дорівнює 60°.
4) Прямі паралельні.
Завдання 17. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁.Установіть відповідність між початком речення (1-3) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Прямі перетинаються й утворюють прямий кут.
2) Прямі мимобіжні.
3) Дані прямі є сторонами ∆ACD₁. Так як всі його сторони - діагоналі граней куба, то вони рівні і трикутник є рівностороннім, тому кут між його сторонами дорівнює 60°.
4) Прямі паралельні.
1 Точка С₁ симетрична точці А₁ відносно площини
2 Пряма АD паралельна площині
3 Пряма СC₁ є прямою перетину площин (ВВ₁С₁) та
2 Пряма АD паралельна площині
3 Пряма СC₁ є прямою перетину площин (ВВ₁С₁) та
А (АА₁В₁)
Б (DD₁C₁)
В (А₁B₁C₁)
Г (АА₁D₁)
Д (BB₁D₁)
Б (DD₁C₁)
В (А₁B₁C₁)
Г (АА₁D₁)
Д (BB₁D₁)
Показати відповідь
1-Д, 2-В, 3-Б.
1) Площина симетрії точок С і С₁ розміщена посередині між ними перпендикулярно до відрізка СС₁. Це площина (ВВ₁D₁).
2) Пряма AD паралельна площині (А₁В₁С₁).
3) СС₁ є спільною прямою площин (ВВ₁С₁) та (DD₁C₁).
Завдання 18. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Площина симетрії точок С і С₁ розміщена посередині між ними перпендикулярно до відрізка СС₁. Це площина (ВВ₁D₁).
2) Пряма AD паралельна площині (А₁В₁С₁).
3) СС₁ є спільною прямою площин (ВВ₁С₁) та (DD₁C₁).
1 Пряма СВ
2 Пряма СD₁
3 Пряма АС
4 Пряма А₁В
2 Пряма СD₁
3 Пряма АС
4 Пряма А₁В
А паралельна площині AA₁B₁В
Б перпендикулярна площині AA₁B₁В
В належить площині AA₁B₁В
Г паралельна площині AA₁B₁В
Д має з площиною AA₁B₁В кут 45°
Б перпендикулярна площині AA₁B₁В
В належить площині AA₁B₁В
Г паралельна площині AA₁B₁В
Д має з площиною AA₁B₁В кут 45°
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.
1) Дана пряма перпендикулярна до площини.
2) Дана пряма паралельна прямій ВA₁, а отже і площині AA₁B₁В.
3) Так як діагональ квадрата має з його стороною кут 45°, то пряма АС має з площиною AA₁B₁В кут 45°.
4) Дана пряма належить площині.
Завдання 19. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між заданими кутами (1-4) та їхніми градусними мірами (А-Д).
1) Дана пряма перпендикулярна до площини.
2) Дана пряма паралельна прямій ВA₁, а отже і площині AA₁B₁В.
3) Так як діагональ квадрата має з його стороною кут 45°, то пряма АС має з площиною AA₁B₁В кут 45°.
4) Дана пряма належить площині.
1 кут між прямими АА₁ і DC₁
2 кут між прямими BD і A₁C₁
3 кут між прямими АB₁ і A₁D
4 кут між прямими BB₁ і DD₁
2 кут між прямими BD і A₁C₁
3 кут між прямими АB₁ і A₁D
4 кут між прямими BB₁ і DD₁
А 0°
Б 30°
В 45°
Г 60°
Д 90°
Б 30°
В 45°
Г 60°
Д 90°
Показати відповідь
1-В, 2-Д, 3-Г, 4-А.
1) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AA₁||DDC₁, то кут між прямими АА₁ і DC₁ дорівнює куту між прямими DD₁ і DC₁. А в квадраті кут між стороною та діагоналлю дорівнює 45°.
2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A₁C₁||АС, то кут між прямими BD і A₁C₁ дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90°.
3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ₁||DC₁, то кут між прямими АB₁ і A₁D дорівнює куту між прямими DC₁ і A₁D. ∆DA₁C₁ є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60°.
4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0°.
Завдання 20. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямокутний паралелепіпед. Кожній площині (1-4), що виділена кольором, поставте у відповідність паралельну їх пряму (А-Д).
1) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AA₁||DDC₁, то кут між прямими АА₁ і DC₁ дорівнює куту між прямими DD₁ і DC₁. А в квадраті кут між стороною та діагоналлю дорівнює 45°.
2) Дані прямі мимобіжні. Оскільки A₁C₁||АС, то кут між прямими BD і A₁C₁ дорівнює куту між прямими BD і AC. А в квадраті кут між діагоналями дорівнює 90°.
3) Дані прямі мимобіжні. Оскільки AВ₁||DC₁, то кут між прямими АB₁ і A₁D дорівнює куту між прямими DC₁ і A₁D. ∆DA₁C₁ є рівностороннім (його сторони це діагоналі однакових квадратів). Тоді шуканий кут дорівнює 60°.
4) Дані прямі паралельні, тому кут між ними дорівнює 0°.
1 АВ₁С₁ (рис. 1)
2 DD₁C₁ (рис. 2)
3 AA₁C₁ (рис. 3)
4 AB₁D₁ (рис. 4)
2 DD₁C₁ (рис. 2)
3 AA₁C₁ (рис. 3)
4 AB₁D₁ (рис. 4)
А BC
Б A₁D
В A₁B
Г BD
Д DD₁
Б A₁D
В A₁B
Г BD
Д DD₁
Показати відповідь
1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.
1) BC.
2) A₁B (лежить в площині, паралельній даній площині).
3) DD₁.
4) BD.
1) BC.
2) A₁B (лежить в площині, паралельній даній площині).
3) DD₁.
4) BD.
Коментарі