Пошук матеріалів

Взаємне розміщення прямих і площин у просторі

    Прямі у просторі можуть:
    • перетинатися, тоді через них можна провести площину, причому тільки одну
    • бути паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині (ознака паралельності прямих: дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою)
    • бути мимобіжними, якщо вони не перетинаються і НЕ лежать в одній площині
    Пряма та площина у просторі можуть:
    • перетинатися
    • бути паралельними, (ознака паралельності прямої та площини: якщо пряма, що не лежить в площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то пряма та площина паралельні)
    Площини у просторі можуть:
    • перетинатися
    • бутипаралельними, (ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим іншої площини, то ці площини паралельні)
    У просторі площину проводять через:
    • три точки, що не лежать на одній прямій
    • пряму та точку, що не лежить на цій прямій
    • дві прямі, що перетинаються
    • дві прямі, що паралельні
  1. У просторі задано пряму m і точку А, яка не належить m. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Через точку А і пряму m можна провести лише одну площину.
    ІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, паралельну прямій m.
    ІІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m.
    АБВГД
    лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Відповідь
    Б.
    І. За аксіомою через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, причому тільки одну. Є правильним.
    ІІ. Через точку можна провести безліч площин, паралельних даній прямій. Не є правильним.
    ІІІ.Дійсно, через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m. Є правильним.
  2. Прямі a і b мимобіжні. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Прямі a та b перетинаються.
    ІІ. Прямі a та b лежать в одній площині.
    ІІІ. Існує пряма, паралельна прямій a, що перетинає пряму b.
    АБВГД
    лише І лише ІІ лише І та ІІ лише ІІІ І, ІІ та ІІІ
    Відповідь
    Г.
    І. Якщо прямі a і b перетинаються, то вони лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
    ІІ. Якщо прямі a і b лежать в одній площині, тоді вони не можуть бути мимобіжними (мимобіжні прямі не лежать в одній площині). Не є правильним.
    ІІІ. На прямій b завжди можна взяти довільну точку, а через довільну точку завжди можна провести пряму, паралельну іншій прямій. Є правильним.
  3. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.
    ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.
    ІІІ. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.
    АБВГД
    лише І лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Відповідь
    Б.
    І. Через прямі, що перетинаються, можна провести площину, і причому лише одну. Є правильним.
    ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести єдину площину, паралельну даній. Тоді всі прямі, що лежать в цій площині, будуть паралельні іншій площині. Є правильним.
    ІІІ. Якщо пряма паралельна спільній прямій двох площин, що перетинаються, то вона паралельна цим площинам. Отже маємо випадок, коли пряма паралельна двом площинам, а вони між собою не паралельні. Не є правильним.
  4. У просторі задано паралельні прямі m і n. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Існує площина, що містить обидві прямі m і n.
    ІІ. Існує пряма, що перетинає обидві прямі m і n.
    ІІІ. Існує точка, що належить обом прямим m і n.
    АБВГД
    лише І лише ІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІІ лише І та ІІ
    Відповідь
    Д.
    І. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то така площина існує. Є правильним.
    ІІ. Так як прямі паралельні, то вони лежать в одній площині. А на площині завжди є пряма, що перетинає паралельні прямі. Є правильним.
    ІІІ. Оскільки в просторі прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині, то вони не мають спільної точки. Не є правильним.
  5. Які з наведених тверджень правильні?
    І. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині.
    ІІ. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині.
    ІІІ. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.
    АБВГД
    лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І і ІІІ лише ІІ і ІІІ
    Відповідь
    А.
    З аксіоми, що через три точки можна провести лише одну площину можна отримати, що плоска фігура належить площині, якщо вона має з нею 3 спільні точки.
    І. Оскільки маємо лише дві спільні точки, то коло перетинає площину. Не є правильним.
    ІІ. Оскільки маємо три спільні точки, то паралелограм лежить в цій площині. Є правильним.
    ІІІ. Три спільні точки круга можуть лежати на одній прямій (наприклад, діаметр круга), тоді круг лише перетинає площину. Не є правильним.
  6. Точка А належить площині α. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Через точку А можна провести пряму, перпендикулярну до площини α.
    ІІ. Через точку А можна провести площину, перпендикулярну до площини α.
    ІІІ. Через точку А можна провести площину, паралельну площині α.
    АБВГД
    лише І лише ІІ та ІІІ лише ІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ
    Відповідь
    Г.
    І. Є правильним.
    ІІ. Є правильним.
    ІІІ. Не є правильним (оскільки площини матимуть спільну точку, то вони співпадуть).
  7. Пряма b не має спільних точок з площиною α. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Через пряму b можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.
    ІІ. Через пряму b можна провести лише одну площину, паралельну площині α.
    ІІІ. У площині α можна провести лише одну пряму, паралельну прямій b.
    АБВГД
    лише І лише ІІ лише І і ІІ лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Відповідь
    В.
    І. Є правильним.
    ІІ. Є правильним.
    ІІІ. Не є правильним (якщо пряма а в площині паралельна прямій b, то і всі інші прямі площини, що паралельні прямій а, також будуть паралельні прямій b, тому таких прямих безліч).
  8. У просторі задано пряму b і точку А, що не належить цій прямій. Скільки всього існує різних площин, які проходять через точку А і не мають спільних точок з прямою b?
    АБВГД
    жодної лише одна лише дві лише три безліч
    Відповідь
    Д.
    Через точку у просторі можна провести безліч площин. Через точку А і пряму b можна провести лише одну площину. Тому залишається безліч площин, що проходять через точку А і не проходять через пряму b.
  9. Задано дві мимобіжні прямі a і b. Скільки існує різних площин, які проходять через пряму a та є паралельними прямій b?
    АБВГД
    жодної одна дві три безліч
    Відповідь
    Б.
    Через точку на прямій а проводимо пряму, паралельну прямій b. Через проведену пряму та пряму а можна провести лише одну площину.
  10. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює з CD1 пару мимобіжних прямих.

    АБВГД
    А1В C1D CВ1 АВ CD
    Відповідь
    Г.
    А) прямі паралельні; Б) прямі перетинаються; В) прямі перетинаються; Г) прямі мимобіжні; Д) прямі перетинаються.
  11. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Яка з наведених прямих паралельна площині (AA1B1)?

    АБВГД
    BC BD C1D CB1 A1B
    Відповідь
    В.
    А) пряма перетинає площину; Б) пряма перетинає площину; В) пряма паралельна площині (вона паралельна прямій B1А, що лежить в цій площині); Г) пряма перетинає площину; Д) пряма лежить в площині.
  12. Площини α і β паралельні. Які з наведених тверджень є правильними? І. Існує пряма, що лежить і в площині α, і в площині β. ІІ. Якщо пряма перпендикулярна до площини α, то вона перпендикулярна до площини β. ІІІ. Якщо пряма лежить у площині α, то вона паралельна будь-якій прямій у площині β.
    АБВГД
    лише І лише І та ІІ лише ІІ лише ІІ та ІІІ лише ІІІ
    Відповідь
    В.
    І. Не є правильним.
    ІІ. Є правильним.
    ІІІ. Не є правильним (прямі можуть бути мимобіжними).
  13. Відрізок АВ перетинає площину α в точці О. Проекції відрізків АО і ВО на цю площину дорівнюють 5 см і 20 см відповідно. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо АО=8 см.
    АБВГД
    10 см 22 см 32 см 40 см 52 см
    Відповідь
    Г.

    Так як ОМ і ОК - проекції, то трикутники АМО і ВКО прямокутні. Кути КОВ і МОА рівні як вертикальні. Тоді трикутники ВКО і АМО подібні. Для подібних трикутників відношення відповідних сторін рівні. Маємо КО:ОМ=ВО:ОА. Підставимо відомі значення. 20:5=ВО:8. Звідси ВО=20:5⋅8=32. Тоді АВ=АО+ОВ=8+32=40 см.
  14. З вершини В квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB до площини цього квадрата (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠SBA=90o.
    ІІ. ∠SAD=∠SDA
    III. ∠SAD=90o.

    АБВГД
    лише І лише І і ІІ лише І і ІІІ лише ІІІ І, ІІ і ІІІ
    Відповідь
    В.
    І. Так як SB перпендикуляр до площини, то кут між SB і прямою BA, що лежить в цій площині, прямий. Правильно
    ІІ. Не є правильним.
    ІІІ. Так як ABCD квадрат, то відрізок AD перпендикулярний до відрізка АВ, який є проекцією SA, тому за теоремою про три перпендикуляри шуканий кут прямий. Правильно.
  15. 2019. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Установіть відповідність між парою прямих (1-4) та їх взаємним розташуванням (А-Д).

    Прямі Взаємне розташування
    1 АС й СС1
    2 AB1 і CD1
    3 АС й СD1
    4 AB1 і C1D    		 А прямі паралельні
    Б прямі мимобіжні
    В прямі перетинаються й утворюють прямий кут
    Г прямі перетинаються й утворюють кут 45o
    Д прямі перетинаються й утворюють кут 60o
    Відповідь
    1-В, 2-Б, 3-Д, 4-А.
    1) Прямі перетинаються й утворюють прямий кут.
    2) Прямі мимобіжні.
    3) Дані прямі є сторонами трикутника ACD1. Так як всі його сторони - діагоналі граней куба, то вони рівні і трикутник є рівностороннім, тому кут між його сторонами дорівнює 60o.
    4) Прямі паралельні.
  16. 2020. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1.Установіть відповідність між початком речення (1-3) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Точка С1 симетрична точці А1 відносно площини
    2 Пряма АD паралельна площині
    3 Пряма СC1 є прямою перетину площин (ВВ1С1) та    		 А (АА1В1)
    Б (DD1C1)
    В (А1B1C1)
    Г (АА1D1)
    Д (BB1D1)
    Відповідь
    1-Д, 2-В, 3-Б.
    1) Площина симетрії точок С і С1 розміщена поередни між ними перпендикулярно до відрізка СС1. Це площина (ВВ1D1).
    2) Пряма AD паралельна площині (А1В1С1).
    3) СС1 є спільною прямою площин (ВВ1С1) та (DD1C1).
  17. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Пряма СВ
    2 Пряма СD1
    3 Пряма АС
    4 Пряма А1В    		 А паралельна площині AA1B1В
    Б перпендикулярна площині AA1B1В
    В належить площині AA1B1В
    Г паралельна площині AA1B1В
    Д має з площиною AA1B1В кут 45o
    Відповідь
    1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.
    1) Дана пряма перпендикулярна до площини.
    2) Дана пряма паралельна прямій ВA1, а отже і площині AA1B1В.
    3) Так як діагональ квадрата має з його стороною кут 45o, то пряма АС має з площиною AA1B1В кут 45o.
    4) Дана пряма належить площині.
  18. 2019. ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед. Увідповідніть площину (1-4) та паралельну їй пряму (А-Д).

    Площина Пряма
    1 АB1C1
    2 DD1C1
    3 AA1C1
    4 AB1D1    		 А BC
    Б A1D
    В A1B
    Г ВD
    Д DD1
    Відповідь
    1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.
    Для розв'язання починаємо не з площин, а прямих і дивимося, яким площинам вони паралельні. Маємо BC||АB1C1, A1D - ніякій, A1B||DD1C1, ВD||AB1D1, DD1||AA1C1.
⇐V.12.
Практичні задачі		 До змісту ⇒VІ.2.
Многогранники та їх елементи
Мітки:

4 коментарі:

Підписатися на: Дописати коментарі (Atom)