Взаємне розміщення прямих і площин у просторі

Прямі у просторі можуть:

• перетинатися, тоді через них можна провести площину, причому тільки одну
• бути паралельними, якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині (ознака паралельності прямих: дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою)
• бути мимобіжними, якщо вони не перетинаються і НЕ лежать в одній площині
Пряма та площина у просторі можуть:

• перетинатися
• бути паралельними, (ознака паралельності прямої та площини: якщо пряма, що не лежить в площині, паралельна якій-небудь прямій, що лежить у цій площині, то пряма та площина паралельні)
Площини у просторі можуть:

• перетинатися
• бутипаралельними, (ознака паралельності площин: якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом прямим іншої площини, то ці площини паралельні)
У просторі площину проводять через:

• три точки, що не лежать на одній прямій
• пряму та точку, що не лежить на цій прямій
• дві прямі, що перетинаються
• дві прямі, що паралельні
1. НМТ 2024. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть із-поміж наведених пряму, паралельну площині грані AA₁B₁B.

   

   А	Б	В	Г	Д
   BC	C1D	BD	CB1	A1B

   Показати відповідь

   Б.

---

2. У просторі задано пряму m і точку А, яка не належить m. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Через точку А і пряму m можна провести лише одну площину.
   ІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, паралельну прямій m.
   ІІІ. Через точку А можна провести лише одну площину, перпендикулярну до прямої m.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І і ІІ	лише І і ІІІ	лише ІІІ	лише ІІ і ІІІ	І, ІІ і ІІІ

   Показати відповідь

   Б.
3. Прямі a і b мимобіжні. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Прямі a та b перетинаються.
   ІІ. Прямі a та b лежать в одній площині.
   ІІІ. Існує пряма, паралельна прямій a, що перетинає пряму b.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише ІІ	лише І та ІІ	лише ІІІ	І, ІІ та ІІІ

   Показати відповідь

   Г.
4. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.
   ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.
   ІІІ. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише І і ІІ	лише І і ІІІ	лише ІІ і ІІІ	І, ІІ і ІІІ

   Показати відповідь

   Б.
5. У просторі задано паралельні прямі m і n. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Існує площина, що містить обидві прямі m і n.
   ІІ. Існує пряма, що перетинає обидві прямі m і n.
   ІІІ. Існує точка, що належить обом прямим m і n.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише ІІ	лише ІІ та ІІІ	лише ІІІ	лише І та ІІ

   Показати відповідь

   Д.
6. Які з наведених тверджень правильні?
   І. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині.
   ІІ. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині.
   ІІІ. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.
   

   А	Б	В	Г	Д
   лише ІІ	лише ІІІ	лише І та ІІ	лише І і ІІІ	лише ІІ і ІІІ

   Показати відповідь

   А.
7. Точка А належить площині α. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Через точку А можна провести пряму, перпендикулярну до площини α.
   ІІ. Через точку А можна провести площину, перпендикулярну до площини α.
   ІІІ. Через точку А можна провести площину, паралельну площині α.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише ІІ та ІІІ	лише ІІ	лише І та ІІ	І, ІІ та ІІІ

   Показати відповідь

   Г.
8. Пряма b не має спільних точок з площиною α. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. Через пряму b можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.
   ІІ. Через пряму b можна провести лише одну площину, паралельну площині α.
   ІІІ. У площині α можна провести лише одну пряму, паралельну прямій b.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І	лише ІІ	лише І і ІІ	лише ІІ і ІІІ	І, ІІ і ІІІ

   Показати відповідь

   В.
9. У просторі задано пряму b і точку А, що не належить цій прямій. Скільки всього існує різних площин, які проходять через точку А і не мають спільних точок з прямою b?

   А	Б	В	Г	Д
   жодної	лише одна	лише дві	лише три	безліч

   Показати відповідь

   Д.
10. Задано дві мимобіжні прямі a і b. Скільки існує різних площин, які проходять через пряму a та є паралельними прямій b?

    А	Б	В	Г	Д
    жодної	одна	дві	три	безліч

    Показати відповідь

    Б.
11. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює з CD₁ пару мимобіжних прямих.

    

    А	Б	В	Г	Д
    А1В	C1D	CВ1	АВ	CD

    Показати відповідь

    Г.
12. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих паралельна площині (AA₁B₁)?

    

    А	Б	В	Г	Д
    BC	BD	C1D	CB1	A1B

    Показати відповідь

    В.
13. Площини α і β паралельні. Які з наведених тверджень є правильними? І. Існує пряма, що лежить і в площині α, і в площині β. ІІ. Якщо пряма перпендикулярна до площини α, то вона перпендикулярна до площини β. ІІІ. Якщо пряма лежить у площині α, то вона паралельна будь-якій прямій у площині β.

    А	Б	В	Г	Д
    лише І	лише І та ІІ	лише ІІ	лише ІІ та ІІІ	лише ІІІ

    Показати відповідь

    В.
14. Відрізок АВ перетинає площину α в точці О. Проекції відрізків АО і ВО на цю площину дорівнюють 5 см і 20 см відповідно. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо АО=8 см.

    А	Б	В	Г	Д
    10 см	22 см	32 см	40 см	52 см

    Показати відповідь

    Г. Застосувати подібні трикутники.
15. З вершини В квадрата ABCD проведено перпендикуляр SB до площини цього квадрата (див. рисунок). Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠SBA=90^o.
    ІІ. ∠SAD=∠SDA
    III. ∠SAD=90^o.

    

    А	Б	В	Г	Д
    лише І	лише І і ІІ	лише І і ІІІ	лише ІІІ	І, ІІ і ІІІ

    Показати відповідь

    В.
16. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між парою прямих (1-4) та їх взаємним розташуванням (А-Д).

    

    Прямі	Взаємне розташування
    1 АС й СС1 2 AB1 і CD1 3 АС й СD1 4 AB1 і C1D	А прямі паралельні Б прямі мимобіжні В прямі перетинаються й утворюють прямий кут Г прямі перетинаються й утворюють кут 45o Д прямі перетинаються й утворюють кут 60o

    Показати відповідь

    1-В, 2-Б, 3-Д, 4-А.
17. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁.Установіть відповідність між початком речення (1-3) та його закінченням (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Точка С1 симетрична точці А1 відносно площини 2 Пряма АD паралельна площині 3 Пряма СC1 є прямою перетину площин (ВВ1С1) та	А (АА1В1) Б (DD1C1) В (А1B1C1) Г (АА1D1) Д (BB1D1)

    Показати відповідь

    1-Д, 2-В, 3-Б.
18. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Пряма СВ 2 Пряма СD1 3 Пряма АС 4 Пряма А1В	А паралельна площині AA1B1В Б перпендикулярна площині AA1B1В В належить площині AA1B1В Г паралельна площині AA1B1В Д має з площиною AA1B1В кут 45o

    Показати відповідь

    1-Б, 2-А, 3-Д, 4-В.
19. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Установіть відповідність між заданими кутами (1-4) та їхніми градусними мірами (А-Д).

    

    Кут	Градусна міра кута
    1 кут між прямими АА1 і DC1 2 кут між прямими BD і A1C1 3 кут між прямими АB1 і A1D 4 кут між прямими BB1 і DD1	А 0o Б 30o В 45o Г 60o Д 90o

    Показати відповідь

    1-В, 2-Д, 3-Г, 4-А.
20. ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямокутний паралелепіпед. Кожній площині (1-4), що виділена кольором, поставте у відповідність паралельну їх пряму (А-Д).

    

    Площина	Пряма
    1 АВ1С1 (рис. 1) 2 DD1C1 (рис. 2) 3 AA1C1 (рис. 3) 4 AB1D1 (рис. 4)	А BC Б A1D В A1B Г BD Д DD1

    Показати відповідь

    1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.

⇐V.12. Практичні задачі

До змісту

⇒VІ.2. Призма (паралелепіпед, куб) та її елементи