Практичні задачі

Геометрія у реальному житті — це розділ, де математичні знання проходять перевірку на практиці. Як розрахувати кількість стовпчиків для заїзної кишені супермаркету? Чи зможе вантажівка проїхати під арковим мостом? Якої довжини має бути штанга тролейбуса для безперебійного руху? Усі ці питання вирішуються за допомогою базових фігур: трапецій, трикутників та кіл.

На цій сторінці ми зібрали прикладні задачі, які найчастіше зустрічаються в тестах ЗНО та НМТ. Ви навчитеся застосовувати теорему Піфагора до побутових об'єктів, працювати з масштабами та кутами нахилу, а також розв'язувати задачі на вписані та описані фігури в архітектурі та дизайні. Розбирайте покрокові розв'язання, щоб зрозуміти логіку переходу від малюнка до математичної формули!

Заїзна кишеня для висадки пасажирів громадського (маршрутного) транспорту й таксі, облаштована перед входом у супермаркет, має форму рівнобічної трапеції ABCD. Довжина більшої основи AD становить 38 м, ширина кишені дорівнює 5 м. Уздовж меншої основи ВС й бічних сторін АВ й CD планують установити запобіжні стовпчики на відстані 1 м один від одного. Частину з них уже встановили (див. рисунок). Скільки всього стовпчиків має бути за планом уздовж сторін АВ, ВС й CD цієї кишені, якщо вздовж ВС вже встановлено 15 стовпчиків?

А Б В Г Д

39 41 42 43 45

Показати відповідь
Б.
Так як вздовж ВС стоїть 15 стовпчиків, то довжина ВС 15-1=14 м. Знайдемо бічну сторону трапеції АВ. Для цього проведемо висоти трапеції ВК і СМ.
Тоді КМ=ВС=14 м. Так як трапеції рівнобічна, то відрізки АК і МD (проекції бічних сторін на основу AD) також рівні. Тому АК=(38-14):2=12 м. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора AB²=AK²+KB² = 12²+5² = 144+25=169, звідки АВ=13 м. Тоді на сторонах АВ, ВС та CD має бути 13+15+13=41 стовпчик (для сторін АВ і CD 14-і стовпчикі вже пораховано, так як вони належать стороні ВС).
Прямолінійною дорогою АВ рухається тролейбус (див. рисунок). Лінія CD електричного дроту паралельна АВ й даху MN тролейбуса. Штанга KN, що на рисунку є відрізком, утворює з MN кут 30⁰. Відстані між прямими CD й AB, MN й AB дорівнюють 6 м і 3,2 м відповідно. Укажіть проміжок, якому належить довжина (у м) штанги KN. Уважайте, що всі зазначені прямі лежать в одній площині.

А Б В Г Д

[1; 3) [3; 5) [5; 5,5) [5,5; 6) [6; 8)

Показати відповідь
Г. Відстань від точки К до прямої MN дорівнює 6-3,2=2,8 м. Ця відстань є катетом, який лежить напроти кута 30⁰, тому дорівнює половині гіпотенузи. Отже гіпотенуза KN дорівнює 2⋅2,8=5,6 м. Ця відстань належить проміжку [5,5; 6).
Цукерку циліндричної форми висотою 10 см і радіусом основи 1 см запаковано в коробку, що має форму правильної трикутної призми (див. рисунок). Основи циліндра вписано у відповідні основи призми. Основи коробки (призми) виготовлено з поліетилену, а всі її бічні грані – з паперу. Визначте площу паперу, витраченого на виготовлення такої коробки. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Витратами паперу на з’єднання граней коробки знехтуйте.

А Б В Г Д

55 см² 75 см² 105 см² 115 см² 135 см²

Показати відповідь
В.
Так як основи призми виготовлено з поліетілену, а потрібно визначити площу паперу, то папір витратили лише на бічну поверхню призми.
Знайдемо сторону основи. Для цього є декілька способів.
Можна, наприклад, врахувати, що трикутник в основі правильний, тоді висоти в ньому є медіанами та бісектрисами. Так як медіани точкою перетину поділяються у відношенні 2:1, то радіус вписаного кола - третина висоти трикутника, і висота трикутника буде 3 см. Далі розглянути прямокутний трикутник, утворений висотою, стороною та половиною сторони і або застосувати теорему Піфагора, взявши сторону трикутника за х, або використати тригонометричні функції в прямокутному трикутнику.
Другий спосіб - використати формулу радіуса кола, вписаного в правильний многокутник. За формулою r=a:(2tg(180^o:n)), де n - кількість сторін многокутника, а - сторона многокутника. Маємо для трикутника r=a:(2tg(180^o:3))=a:(2tg60^o)=\frac{a}{2\sqrt{3}}. Звідси а=2r\sqrt{3}=2\sqrt{3}≈2⋅1,7=3,4. Тоді Р_осн=3⋅3,4=10,2 см. S_бічна=Р_осн⋅H=10,2⋅10=102 см². Найближча відповідь 105 см².
Стріла CD автокрана нахилена до горизонтальної поверхні АВ під кутом 60⁰, CD=20 м (див. рисунок). Основа С стріли розташована на відстані d=2 м від АВ. Відстань h₁ від кінця D стріли до нижньої основи MN вантажу становить 6 м. Укажіть проміжок, якому належить відстань h₂ (у м) від MN до АВ. Уважайте, що MN||AB.

А Б В Г Д

(4;8] (8;10,5] (10,5;12,5] (12,5;14,5] (14,5;20]

Показати відповідь
Г.
Проведемо перпендикуляр DO з точки D до АВ. Проведемо з точки С перпендикуляр СК до DO. Тоді відрізок ОК дорівнює d і дорівнює 2 м. Відрізок DX дорівнює h₁ і дорівнює 6 м.
З прямокутного трикутника CDK DK=CDsin60⁰=20⋅\sqrt{3}:2=10\sqrt{3}≈10⋅1,7=17м. Тоді ХК=DK-DX=17-6=11 м. h₂=XK+KO=11+2=13 м. Отже значення h₂ приблизно дорівнює 13 м і належить проміжку (12,5;14,5].
Каркас колеса огляду складається з двох однакових кіл, до яких прикріплено 18 кабінок на однаковій відстані одна від одної, та ребер (радіусів кіл), що з’єднують місця прикріплення кабінок та центри кіл (див. рисунок). Довжина кожного ребра дорівнює 27 м. Визначте довжину дуги АВ кола із центром в точці О. Укажіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною каркасу знехтуйте.

А Б В Г Д

12,6 м 9,5 м 5,4 м 4,6 м 3,2 м

Показати відповідь
Б. Маємо радіус дуги кола 27 м. Визначимо кут АОВ. Так як 18 кабінок ділять коло на 18 однакових секторів, то величина кута сектора дорівнює 360^o:18=20^o. Знайдемо довжину дуги кола l=\frac{\pi{R}\alpha}{180}=\frac{\pi\cdot27\cdot20}{180}=\frac{\pi\cdot27}{9}=3π≈3⋅3,14=9,42 м. Найближче із запропонованих чисел - 9,5.
На рисунку зображено автомобільний тунель, поперечний переріз ABCD якого утворено хордою ВС, діаметром AD та двома рівними дугами АВ й DC кола із центром у точці О. Хорду ВС довжиною 6 м видно із центра О під кутом 90^o. У тунелі прокладено дорогу з двома смугами руху транспорту однакової ширини, розділювальною смугою шириною 0,4 м та двома технічними смугами завширшки 0,8 м кожна. Визначте ширину однієї смуги руху транспорту. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А Б В Г Д

1,8 м 2 м 3 м 3,2 м 3,4 м

Показати відповідь
Г.
Так як ВО і ОС - радіуси кола, то вони рівні і прямокутний трикутник ВОС є рівнобедреним. За теоремою Піфагора BC²=BO²+OC². Звідси (враховуючи ВО=ОС) 36=2ОВ², ОВ²=18, ОВ=\sqrt{18}=3\sqrt{2}≈3⋅1,41=4,23 м. Так як ОА також радіус кола, то АО≈4,23 м. Тоді ширина однієї смуги приблизно рівна 4,23-0,8-0,2=3,23 (на ліву частину приходиться 0,4:2=0,2 м розділювальної смуги). Найближче із запропонованих чисел - 3,2.
Перед світлофором на горизонтальній дорозі АВ зупиняється автобус. Найбільший кут MKN, під яким водієві автобуса видно світлофор повністю, дорівнює 30^o (див. рисунок). Проекція відрізка КМ на пряму АВ паралельна напрямку KN руху автобуса, LP⊥AB. KL=0,6 м, LP=1,6 м. Світлофор установлено на висоті h=4,6 м над дорогою. Укажіть з-поміж наведених найменшу відстань d від точки A до точки Р місця зупинки автобуса, за якої світлофор повністю потраплятиме в поле зору водія.

А Б В Г Д

3,6 м 4 м 4,4 м 4,7 м 5,2 м

Показати відповідь
Г.
Так як ANLP - прямокутник, то АР=NL і AN=LP=1,6 м. Тоді MN=AM-AN=4,6-1,6=3 м. З прямокутного трикутника MNK NK=MNctgK=3ctg30^o=3\sqrt{3}≈3⋅1,7=5,1 м. NL=NK-KL=5,1-0,6=4,5 м. Отже, АР≈4,5 м. Тоді найменша відстань, коли видно світлофор із запропонованих - 4,7 (найближче із запропонованих чисел, яке більше за дане).
Автомобіль рухався по дорозі паралельно паркану NP і зупинився біля закритих воріт KL так, як зображено на рисунку. Відомо, що розмах стулки воріт LM становить 2 м, OQ=1 м. Укажіть найменшу з наведених довжину відрізка LO, при яких стулка LM не зачепить автомобіль за умови повного відкривання воріт. Уважайте, що ворота перпендикулярні до площини дороги і мають прямокутну форму. Товщиною стулок знехтуйте.

А Б В Г Д

1,6 м 1,7 м 1,8 м 1,9 м 2 м

Показати відповідь
В.
Знайдемо, за якої умови стулки дотикнуться до автомобіля. Це буде у випадку, коли точка Q лежить на колі. Тоді LQ=2 (як радіус півкола, утвореного обертанням стулки LM). Тоді з прямокутного трикутника LQO за теоремою Піфагора LO²=LQ²-QO²=2²-1²=4-1=3. Отже, стулка дотикається автомобіля за умови, що LO=\sqrt{3}≈1,73.Тоді стулки не зачеплять автомобіль, якщо LO буде більше за це число. Найближче із запропонованих число 1,8.
2019. На кресленні кутової шафи (вид зверху) зображено рівні прямокутники ABCD і KMEF та п’ятикутник EMOAD (див. рисунок). Визначте довжину відрізка ED, якщо ОК=ОВ=1,2 м, КМ=АВ=0,5 м, KF=0,3 м. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

А Б В Г Д

0,5 м 0,55 м 0,65 м 0,6 м 0,7 м

Показати відповідь
Б.
Продовжимо сторони FE та CD прямокутників до перетину зі сторонами п'ятикутника в точках S і Q відповідно з перетином продовжень в точці Т. Оскільки прямокутники рівні, то QT=KF=ST=BC=0,3 м. Тоді ТЕ=FS-FE-TS=1,2-0,5-0,3=0,4 м і TD=QC-QT-DC=1,2-0,3-0,5=0,4 м. Трикутник TED прямокутний і за теоремою Піфагора ED²=TE²+TD²=0,4²+0,4²=0,16+0,16=0,32. Так як 0,5²=0,25 і 0,6²=0,36, то відповідь знаходиться між цими числами. 0,55²=0,3025. З чисел 0,25, 0,3025, 0,36 до 0,32 найближче число 0,3025, отже найбільш точна відповідь 0,55 м.

Автомобіль, задні дверцята якого відкриваються так, як зображено на рисунку, під’їжджає заднім ходом по горизонтальній поверхні СА перпендикулярно до вертикальної стіни АВ. Укажіть серед наведених найменшу відстань d від автомобіля до стіни АВ, за якої задні дверцята автомобіля зможуть із зачиненого стану КР безперешкодно набувати зображеного на рисунку положення КР’. КР’ =КР=0,9 м, cosβ=0,3. Наявністю заднього бампера автомобіля знехтуйте.

А Б В Г Д

0,85 м 0,8 м 0,75 м 0,7 м 0,6 м

Показати відповідь
Г.
Відстань буде достатня, коли відрізок КТ більше за 0,9. КТ складається з двох частин: МТ=d та КМ=ОР=КРcosβ=0,9⋅0,3=0,27. Тоді КТ=d+0,27. Достатньо, щоб КТ був більше за КР (0,9). Маємо d+0,27>0,9, звідки d>0,9-0,27, тобто d>0,63. Найменша із запропонованих відстаней, що задовольняє цій умові - 0,7
На рисунку зображено фрагмент поперечного перерізу стіни (прямокутник KLMN) з арковим прорізом ABFCD, верхня частина BFC якого є дугою кола радіуса 1 м. Відрізки АВ і DC перпендикулярні до AD, АВ=DC=2 м. AD=1,6 м, KL=2,75 м. Визначте відстань d від найвищої точки F прорізу до стелі LM.

А Б В Г Д

0,25 м 0,3 м 0,4 м 0,35 м 0,45 м

Показати відповідь
Г.
Нехай Р - центр кола дуги арки, точка Е - точка перетину радіуса РF і ВС. Оскільки РВ=РС (радіуси кола), то трикутник РВС є рівнобедреним і в ньому висота РЕ є медіаною. Тому ВЕ=ВС:2=1,6:2=0,8. Тоді в прямокутному трикутнику РВЕ PE²=PB²-BE²=1²-0,8²=1-0,64=0,36. Тоді РЕ=0,6. ЕF=PF-PE=1-0,6=0,4. Тоді висота арки 2+0,4=2,4. Відповідно шукана відстань d=2,75-2,4=0,35.
На рисунку зображено поперечний переріз аркового проїзду, верхня частина якого (дуга ВКС) має форму півкола радіуса ОС=2 м. Відрізки АВ і DC перпендикулярні до AD, AB=DC=2 м. Яке з наведених значень є найбільш можливим значенням висоти h вантажівки, за якого вона зможе проїхати через цей арковий проїзд, не торкаючись верхньої частини арки (дуги BKC)? Уважайте, що LMNP – прямокутник, у якому MN=2,4 м і MN||AD.

А Б В Г Д

4,4 м 4 м 3,7 м 3,5 м 3,2 м

Показати відповідь
Г.
Розглянемо випадок, коли вантажівка дотикається верхньої частини арки. Тоді точки M і N лежать на арці і ОМ=ОВ=2 м. Нехай відрізки ОК і MN перетинаються в точці Т. Тоді МТ=МN:2=2,4:2=1,2. В прямокутному трикутнику ОМТ за теоремою Піфагора TO²=OM²-MT²=2²-1,2²=4-1,44=2,56. Тоді ОТ=1,6 м. Оскільки відстань від О до AD дорівнює 2 м, то висота вантажівки, при якій вона доторкається арки 2+1,6=3,6 м. Таким чином, висота вантажівки повинна бути менше за це число, отже відповідь 3,5.
Для визначення ширини автомагістралі h_маг (у м), що має по 4 однакові смуги руху транспорту в обох напрямках (див. рисунок), використовують формулу h_маг=8b+r+2Δ, де b - ширина однієї смуги руху транспорту; r - ширина розподілювальної смуги між напрямками руху транспорту; Δ - ширина запобіжної смуги між крайньою смугою руху й бордюром.
1. Визначте ширину b (у м) однієї смуги, якщо h_маг=40,2 м, r=10 м, Δ=1,5 м.
2. Заплановано збільшити ширину b кожної смуги руху транспорту на 10% за рахунок лише зменшення ширини r розподілювальної смуги. На скільки метрів потрібно зменшити ширину r розподілювальної смуги?
Показати відповідь
3,4; 2,72.
1. Підставимо значення у формулу. Маємо:
40,2=8b+10+2⋅1,5
40,2=8b+10+3
40,2=8b+13
8b=40,2-13
8b=27,2
b=27,2:8
b=3,4
2. Якщо збільшити ширину b кожної смуги руху транспорту на 10%, то отримаємо збільшення на 3,4⋅0,1=0,34. Тоді потрібно зменшити ширину r розподілювальної смуги на 8⋅0,34=2,72.