Перейти до основного вмісту

Вектори на площині

    Дії над векторами на площині:
    • Координати вектора знаходяться за формулою:
      =(xB-xA;yB-yA)
    • Довжина вектора знаходиться за формулою:
    • Додавання (віднімання) векторів:
      =(x±x;y±y)
    • Множення вектора на скаляр (число):
      k⋅=(kx;ky)
    • Скалярний добуток векторів:
      =cosα, де α - кут між векторами
    • Скалярний добуток векторів:
      =x⋅x+y⋅y
    • Косинус кута між векторами:cosα=
    Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
    Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні
  1. Знайдіть координати вектора , якщо А (-2;3), В (-8;-5).
    АБВГД
    (6;8) (-10;-8) (-10;-2) (-6;-2) (-6;-8)
    Показати відповідь
    Д.
    (xB-xA;yB-yA)=(-8-(-2);-5-3)=(-8+2);-5-3)=(-6;-8).
  2. При якому значенні х вектори (2;х) і (-4;10) перпендикулярні?
    АБВГД
    -5 -0,8 0,8 5 20
    Показати відповідь
    В.
    Знайдемо скалярний добуток векторів. =2⋅(-4)+x⋅10=-8+10x. Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -8+10х=0, звідки 10х=8 і х=8:10=0,8.
  3. На рисунку зображено квадрат ABCD. Укажіть правильну векторну рівність.

    АБВГД
    =- =- =+ = -- =
    Показати відповідь
    В.
    За правилом паралелограма додавання векторів .
  4. Довжини перпендикулярних векторів і (див. рисунок) дорівнюють 6 і 8 відповідно. Знайдіть довжину вектора

    АБВГД
    2 6 8 10 14
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки , то ====10 (так як добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю, а квадрат вектора дорівнює квадрату його довжину).
  5. У прямокутній системі координат на площині дано вектори (3;4) і (-2;2). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок реченняЗакінчення речення
    1 Довжина вектора
    2 Сумою векторів і (-3;k) є нульовий вектор, якщо k
    3 Вектори і (-4;m) колінеарні, якщо m
    4 Скалярний добуток векторів і     		А дорівнює 7.
    Б дорівнює 2.
    В дорівнює -4.
    Г дорівнює 5.
    Д дорівнює 4.
    Показати відповідь
    1-Г, 2-В, 3-Д, 4-Б.
    1) ==5
    2) =(3+(-3);4+k)=(0;4+k). Даний вектор дорівнює вектору (0;0) при 4+k=0, тобто k= -4.
    3) Дані вектори колінеарні, якщо відношення їх відповідних координат рівні. Маємо -2:(-4)=2:m. Звідси m=-4⋅2:(-2)=4.
    4) Скалярний добуток цих векторів дорівнює 3⋅(-2)+4⋅2=-6+8=2.
  6. На рисунку зображено вектори у прямокутній системі координат. Установіть відповідність між парою векторів (1-4) і твердженням (А-Д), що є правильним для цієї пари.

    ВекториТвердження
    1 і
    2 і
    3 і
    4 і    		 А вектори перпендикулярні
    Б вектори колінеарні, але не рівні
    В скалярний добуток векторів більший за 0
    Г вектори рівні
    Д кут між векторами тупий
    Показати відповідь
    1-В, 2-Д, 3-А, 4-Б.
    1) Кут між даними векторами гострий, тому їх скалярний добуток більше за 0.
    2) Кут між даними векторами тупий
    3) Дані вектори перпендикулярні.
    4) Дані вектори колінеарні, але оскільки вони протилежно напрямлені, то вони не рівні.
  7. У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм ABCD, cosA=0,44. Визначте довжину діагоналі ВD, якщо скалярний добуток векторів (6; -8) і дорівнює 88.
    Показати відповідь
    18.
    Знайдемо довжину вектора . =10. Скалярний добуток векторів і можна знайти за формулою cosA. Підставимо у цю рівність відомі значення і отримаємо:88=10⋅0,44, звідки =88:(10⋅0,44)=88:4,4=20. Тоді довжину діагоналі BD можна знайти за теоремою косинусів:
    BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcosA
    BD2=102+202-2⋅10⋅20⋅0,44
    BD2=100+400-400⋅0,44
    BD2=500-176
    BD2=324
    Звідси BD=18.
  8. У прямокутній системі координат ху на площині коло задано рівнянням х2-4х+у2+12у=9. Центр О цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма АВСD. Визначте координати вершини С(хC;уC), якщо вектор (-1;2). У відповідь запишіть добуток хC·уC.
    Показати відповідь
    -24.
    Приведемо рівняння кола до канонічного:
    х2-4х+у2+12у=9
    х2-4х+4+у2+12у+36=9+4+36
    (х-2)2+(у+6)2=49
    Отже, координати центра кола точки О (2;-6)
    Знайдемо координати точки А з формули (хА-хО;уА-уО)
    хА-2=-1, звідки хА=1
    уА+6=2, звідки уА=-4
    Так як О - точка перетину діагоналей паралелограма, то вона ділить діагональ АС навпіл і є серединою відрізка. За формулами середини відрізка маємо:
    хО=(хА+хС):2
    2=(1+хС):2
    4=1+хС
    хС=3
    уО=(уА+уС):2
    -6=(-4+уС):2
    -12=-4+уС
    уС=-8
    хC·уC=3·(-8)=-24.
  9. На колі із центром О, яке задано рівнянням х2+у2=80, вибрано точку М(х0,у0) так, що вектор перпендикулярний до вектора (-2;1). Визначте абсцису х0 точки М, якщо х0<0.
    Показати відповідь
    -4.
    Так як точка М належить колу, то її координати повинні задовільняти рівнянню цього кола. Маємо х02+у02=80
    Координати вектора дорівнюють (х0,у0), так як початок вектора О (0;0). Так як вектори і перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -2х0+у0=0, звідки у0=2х0. Підставимо цю рівність у попередню і маємо:
    х02+(2x0)2=80
    х02+4x02=80
    5х02=80
    х02=80:5
    х02=16
    х0=±4.
    Так як за умовою х0<0, то х0=-4.
  10. У прямокутній системі координат на площині задано вектори (-1;1) та (-1;2). Визначте значення m, за якого вектори та перпендикулярні.
    Показати відповідь
    -0,6.
    Знайдемо вектор : (-1+m⋅(-1);1+m⋅2)=(-1-m;1+2m). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
    (-1-m)⋅(-1)+(1+2m)⋅2=0
    1+m+2+4m=0
    5m=-3
    m=-3:5
    m=-0,6.
  11. У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори та (4; 3). Визначте абсцису точки В, якщо А(-2;0), а точка В лежить на прямій у=2х.
    Показати відповідь
    -0,8.
    Нехай абсциса точки В дорівнює х. Тоді її ордината буде 2х (точка В лежить на прямій у=2х). Знайдемо координати вектора : (x-(-2);2x-0)=(x+2;2x). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
    (x+2)⋅4+2x⋅3=0
    4x+8+6x=0
    10x= -8
    x= -8:10
    x= -0,8.
  12. У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори вектори та (3; -5). Визначте абсцису точки В, якщо А(-4;1), а точка В лежить на прямій у=3.
    Показати відповідь
    -5,2.
    Нехай абсциса точки В дорівнює х. Її ордината буде 3 (точка В лежить на прямій у=3). Знайдемо координати вектора : (x-(-4);3-1)=(x+4;2). Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: (x+4):3=2:(-5). Звідси х+4=2⋅3:(-5)=6:(-5)= -1,2. Звідси х= -1,2-4= -5,2.
  13. При якому значенні у вектори (-3; 5) і (6; у) колінеарні?
    Показати відповідь
    -10.
    Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: -3:6=5:y. Звідси y=5⋅6:(-3)=30:(-3)= -10.
  14. Визначте кут між векторами і у градусах, якщо відомо, що (2; 2), (2; 4) і (-2;-6).
    Показати відповідь
    135.
    Знайдемо вектор : (2+(-2);4+(-6))=(0;-2). Знайдемо довжини векторів: =, =. Скалярний добуток векторів дорівнює 2⋅0+2⋅(-2)=0-4= -4. За формулою косинуса кута між векторами маємо: =. Так як косинус кута від'ємний, то кут тупий і він дорівнює 180o-arccos=180o-arccos=180o-45o=135o.
  15. Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.

    Показати відповідь
    18.
    Оскільки початок першого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (0;1), то його координати (0-4;1-3)=(-4;-2). Оскільки початок другого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (1;0), то його координати (1-4;0-3)=(-3;-3). Скалярний добуток векторів (-4)⋅(-3)+(-2)⋅(-3)=12+6=18.
⇐V.10.
Координати на площині		 До змісту ⇒V.12.
Практичні задачі

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар