Шлях до математики: кроки успіху: Вектори на площині

Дії над векторами на площині:

Координати вектора $\vec{AB}$ знаходяться за формулою:
$\vec{AB}$ =(x_B-x_A;y_B-y_A)
Довжина вектора $\vec{a}$ знаходиться за формулою:
$|\vec{a}|=\sqrt{{x_{\vec{a}}^2+{y_{\vec{a}}^2}}$
Додавання (віднімання) векторів:
$\vec{a}\pm\vec{b}$ =(x±x;y±y)
Множення вектора на скаляр (число):
k⋅ $\vec{a}$ =(kx;ky)
Скалярний добуток векторів:
$\vec{a}\cdot\vec{b}$ = $|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|$ cosα, де α - кут між векторами
Скалярний добуток векторів:
$\vec{a}\cdot\vec{b}$ =x⋅x+y⋅y
Косинус кута між векторами:cosα= $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні

Знайдіть координати вектора $\vec{AB}$ , якщо А (-2;3), В (-8;-5).

А Б В Г Д

$\vec{AB}$ (6;8) $\vec{AB}$ (-10;-8) $\vec{AB}$ (-10;-2) $\vec{AB}$ (-6;-2) $\vec{AB}$ (-6;-8)

Відповідь

Д.
$\vec{AB}$ (x_B-x_A;y_B-y_A)=(-8-(-2);-5-3)=(-8+2);-5-3)=(-6;-8).
При якому значенні х вектори $\vec{a}$ (2;х) і $\vec{b}$ (-4;10) перпендикулярні?

А Б В Г Д

-5 -0,8 0,8 5 20

Відповідь

В.
Знайдемо скалярний добуток векторів. $\vec{a}\cdot\vec{b}$ =2⋅(-4)+x⋅10=-8+10x. Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -8+10х=0, звідки 10х=8 і х=8:10=0,8.

На рисунку зображено квадрат ABCD. Укажіть правильну векторну рівність.

А Б В Г Д

$\vec{AC}$ = $\vec{AB}$ - $\vec{AD}$ $\vec{AC}$ = $\vec{AD}$ - $\vec{AB}$ $\vec{AC}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ $\vec{AC}$ = - $\vec{AD}$ - $\vec{AB}$ $\vec{AC}$ = $\sqrt{2}(\vec{AB}+\vec{AD})$

Відповідь

В.
За правилом паралелограма додавання векторів $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}$ .
Довжини перпендикулярних векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$ (див. рисунок) дорівнюють 6 і 8 відповідно. Знайдіть довжину вектора

А Б В Г Д

2 6 8 10 14

Відповідь

Г.
Оскільки $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2$ , то $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b})^2}$ = $\sqrt{\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2}$ = $\sqrt{6^2+0+8^2}$ = $\sqrt{36+64}=\sqrt{100}$ =10 (так як добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю, а квадрат вектора дорівнює квадрату його довжину).

У прямокутній системі координат на площині дано вектори $\vec{a}$ (3;4) і $\vec{b}$ (-2;2). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

Початок речення	Закінчення речення
1 Довжина вектора $\vec{a}$ 2 Сумою векторів $\vec{a}$ і $\vec{c}$ (-3;k) є нульовий вектор, якщо k 3 Вектори $\vec{b}$ і $\vec{d}$ (-4;m) колінеарні, якщо m 4 Скалярний добуток векторів $\vec{a}$ і $\vec{b}$	А дорівнює 7. Б дорівнює 2. В дорівнює -4. Г дорівнює 5. Д дорівнює 4.

Відповідь

1-Г, 2-В, 3-Д, 4-Б.
1) $|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}$ = $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}$ =5
2) $\vec{a}+\vec{c}$ =(3+(-3);4+k)=(0;4+k). Даний вектор дорівнює вектору (0;0) при 4+k=0, тобто k= -4.
3) Дані вектори колінеарні, якщо відношення їх відповідних координат рівні. Маємо -2:(-4)=2:m. Звідси m=-4⋅2:(-2)=4.
4) Скалярний добуток цих векторів дорівнює 3⋅(-2)+4⋅2=-6+8=2.

На рисунку зображено вектори $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ у прямокутній системі координат. Установіть відповідність між парою векторів (1-4) і твердженням (А-Д), що є правильним для цієї пари.

Вектори	Твердження
1 $\vec{a}$ і $\vec{b}$ 2 $\vec{a}$ і $\vec{c}$ 3 $\vec{c}$ і $\vec{d}$ 4 $\vec{b}$ і $\vec{c}$	А вектори перпендикулярні Б вектори колінеарні, але не рівні В скалярний добуток векторів більший за 0 Г вектори рівні Д кут між векторами тупий

Відповідь

1-В, 2-Д, 3-А, 4-Б.
1) Кут між даними векторами гострий, тому їх скалярний добуток більше за 0.
2) Кут між даними векторами тупий
3) Дані вектори перпендикулярні.
4) Дані вектори колінеарні, але оскільки вони протилежно напрямлені, то вони не рівні.

У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм ABCD, cosA=0,44. Визначте довжину діагоналі ВD, якщо скалярний добуток векторів $\vec{AB}$ (6; -8) і $\vec{AD}$ дорівнює 88.
Відповідь

18.
Знайдемо довжину вектора $\vec{AB}$ . $|\vec{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}$ =10. Скалярний добуток векторів $\vec{AB}$ і $\vec{AD}$ можна знайти за формулою $\vec{AB}\cdot\vec{AD}=|\vec{AB}|\cdot|\vec{AD}|$ cosA. Підставимо у цю рівність відомі значення і отримаємо:88=10 $\vec{AD}$ ⋅0,44, звідки $|\vec{AD}|$ =88:(10⋅0,44)=88:4,4=20. Тоді довжину діагоналі BD можна знайти за теоремою косинусів:
BD²=AB²+AD²-2AB⋅ADcosA
BD²=10²+20²-2⋅10⋅20⋅0,44
BD²=100+400-400⋅0,44
BD²=500-176
BD²=324
Звідси BD=18.
2020. У прямокутній системі координат ху на площині коло задано рівнянням х²-4х+у²+12у=9. Центр О цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма АВСD. Визначте координати вершини С(х_C;у_C), якщо вектор $\vec{OA}$ (-1;2). У відповідь запишіть добуток х_C·у_C.
Відповідь

-24.
Приведемо рівняння кола до канонічного:
х²-4х+у²+12у=9
х²-4х+4+у²+12у+36=9+4+36
(х-2)²+(у+6)²=49
Отже, координати центра кола точки О (2;-6)
Знайдемо координати точки А з формули $\vec{OA}$ (х_А-х_О;у_А-у_О)
х_А-2=-1, звідки х_А=1
у_А+6=2, звідки у_А=-4
Так як О - точка перетину діагоналей паралелограма, то вона ділить діагональ АС навпіл і є серединою відрізка. За формулами середини відрізка маємо:
х_О=(х_А+х_С):2
2=(1+х_С):2
4=1+х_С
х_С=3
у_О=(у_А+у_С):2
-6=(-4+у_С):2
-12=-4+у_С
у_С=-8
х_C·у_C=3·(-8)=-24.
2019. На колі із центром О, яке задано рівнянням х²+у²=80, вибрано точку М(х₀,у₀) так, що вектор $\vec{OM}$ перпендикулярний до вектора $\vec{a}$ (-2;1). Визначте абсцису х₀ точки М, якщо х₀<0.
Відповідь

-4.
Так як точка М належить колу, то її координати повинні задовільняти рівнянню цього кола. Маємо х₀²+у₀²=80
Координати вектора $\vec{OM}$ дорівнюють (х₀,у₀), так як початок вектора О (0;0). Так як вектори $\vec{OM}$ і $\vec{a}$ перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -2х₀+у₀=0, звідки у₀=2х₀. Підставимо цю рівність у попередню і маємо:
х₀²+(2x₀)²=80
х₀²+4x₀²=80
5х₀²=80
х₀²=80:5
х₀²=16
х₀=±4.
Так як за умовою х₀<0, то х₀=-4.
У прямокутній системі координат на площині задано вектори $\vec{a}$ (-1;1) та $\vec{b}$ (-1;2). Визначте значення m, за якого вектори $\vec{a}+m\vec{b}$ та $\vec{b}$ перпендикулярні.
Відповідь

-0,6.
Знайдемо вектор $\vec{a}+m\vec{b}$ : (-1+m⋅(-1);1+m⋅2)=(-1-m;1+2m). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
(-1-m)⋅(-1)+(1+2m)⋅2=0
1+m+2+4m=0
5m=-3
m=-3:5
m=-0,6.
У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори $\vec{AB}$ та $\vec{a}$ (4; 3). Визначте абсцису точки В, якщо А(-2;0), а точка В лежить на прямій у=2х.
Відповідь

-0,8.
Нехай абсциса точки В дорівнює х. Тоді її ордината буде 2х (точка В лежить на прямій у=2х). Знайдемо координати вектора $\vec{AB}$ : (x-(-2);2x-0)=(x+2;2x). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
(x+2)⋅4+2x⋅3=0
4x+8+6x=0
10x= -8
x= -8:10
x= -0,8.
У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори вектори $\vec{AB}$ та $\vec{a}$ (3; -5). Визначте абсцису точки В, якщо А(-4;1), а точка В лежить на прямій у=3.
Відповідь

-5,2.
Нехай абсциса точки В дорівнює х. Її ордината буде 3 (точка В лежить на прямій у=3). Знайдемо координати вектора $\vec{AB}$ : (x-(-4);3-1)=(x+4;2). Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: (x+4):3=2:(-5). Звідси х+4=2⋅3:(-5)=6:(-5)= -1,2. Звідси х= -1,2-4= -5,2.
При якому значенні у вектори $\vec{a}$ (-3; 5) і $\vec{b}$ (6; у) колінеарні?
Відповідь

-10.
Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: -3:6=5:y. Звідси y=5⋅6:(-3)=30:(-3)= -10.
Визначте кут між векторами $\vec{a}$ і $\vec{b}+\vec{c}$ у градусах, якщо відомо, що $\vec{a}$ (2; 2), $\vec{b}$ (2; 4) і $\vec{c}$ (-2;-6).
Відповідь

135.
Знайдемо вектор $\vec{b}+\vec{c}$ : (2+(-2);4+(-6))=(0;-2). Знайдемо довжини векторів: $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2}$ = $|\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2}$ , $|\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{0^2+(-2)^2}$ = $\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2$ . Скалярний добуток векторів дорівнює 2⋅0+2⋅(-2)=0-4= -4. За формулою косинуса кута між векторами маємо: $cos(\vec{a},\vec{b}+\vec{c})=\frac{\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}+\vec{c}|}$ = $\frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$ . Так як косинус кута від'ємний, то кут тупий і він дорівнює 180^o-arccos $|\frac{-1}{\sqrt{2}}|$ =180^o-arccos $\frac{1}{\sqrt{2}}$ =180^o-45^o=135^o.
Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.

Відповідь

18.
Оскільки початок першого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (0;1), то його координати (0-4;1-3)=(-4;-2). Оскільки початок другого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (1;0), то його координати (1-4;0-3)=(-3;-3). Скалярний добуток векторів (-4)⋅(-3)+(-2)⋅(-3)=12+6=18.

⇐V.10.
Координати на площині

До змісту

⇒V.12.
Практичні задачі

Шлях до математики: кроки успіху

Пошук матеріалів

Вектори на площині

Немає коментарів:

Дописати коментар

А	Б	В	Г	Д
$\vec{AB}$ (6;8)	$\vec{AB}$ (-10;-8)	$\vec{AB}$ (-10;-2)	$\vec{AB}$ (-6;-2)	$\vec{AB}$ (-6;-8)

А	Б	В	Г	Д
$\vec{AC}$ = $\vec{AB}$ - $\vec{AD}$	$\vec{AC}$ = $\vec{AD}$ - $\vec{AB}$	$\vec{AC}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$	$\vec{AC}$ = - $\vec{AD}$ - $\vec{AB}$	$\vec{AC}$ = $\sqrt{2}(\vec{AB}+\vec{AD})$

А	Б	В	Г	Д
-5	-0,8	0,8	5	20