Перейти до основного вмісту

Вектори на площині

Вектори — це не просто стрілки на площині, а потужний інструмент, який об'єднує геометрію та алгебру. Вони дозволяють описувати фізичні величини, такі як сила чи швидкість, за допомогою чисел і координат. На цій сторінці ми розберемо все, що необхідно для успішного складання НМТ: від знаходження координат вектора до складних задач на скалярний добуток.

Ви опануєте ключові навички:

  • Розрахунок довжини (модуля) вектора за його координатами.
  • Виконання лінійних операцій: додавання за правилами трикутника та паралелограма.
  • Перевірку умов перпендикулярності та колінеарності — найчастіші питання в тестах минулих років.

Нижче представлено детальний конспект із формулами та інтерактивні завдання з розв'язаннями для самоперевірки.

    Дії над векторами на площині:
    • Координати вектора \vec{AB} знаходяться за формулою:
      \vec{AB}=(xB-xA;yB-yA)
    • Довжина вектора \vec{a} знаходиться за формулою:
      |\vec{a}|=\sqrt{{x_{\vec{a}}^2+{y_{\vec{a}}^2}}
    • Додавання (віднімання) векторів:
      \vec{a}\pm\vec{b}=(x\vec{a}±x\vec{b};y\vec{a}±y\vec{b})
    • Множення вектора на скаляр (число):
      k⋅\vec{a}=(kx\vec{a};ky\vec{a})
    • Скалярний добуток векторів:
      \vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|cosα, де α - кут між векторами
    • Скалярний добуток векторів:
      \vec{a}\cdot\vec{b}=x\vec{a}⋅x\vec{b}+y\vec{a}⋅y\vec{b}
    • Косинус кута між векторами:cosα=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}
    Умова перпендикулярності векторів: два вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0
    Умова колінеарності векторів: два вектори колінеарні, коли відношення відповідних координат цих векторів рівні
  1. Знайдіть координати вектора \vec{AB}, якщо А (-2;3), В (-8;-5).
    АБВГД
    \vec{AB} (6;8) \vec{AB} (-10;-8) \vec{AB} (-10;-2) \vec{AB} (-6;-2) \vec{AB} (-6;-8)
    Показати відповідь
    Д.
    \vec{AB} (xB-xA;yB-yA)=(-8-(-2);-5-3)=(-8+2);-5-3)=(-6;-8).
  2. При якому значенні х вектори \vec{a}(2;х) і \vec{b}(-4;10) перпендикулярні?
    АБВГД
    -5 -0,8 0,8 5 20
    Показати відповідь
    В.
    Знайдемо скалярний добуток векторів. \vec{a}\cdot\vec{b}=2⋅(-4)+x⋅10=-8+10x. Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -8+10х=0, звідки 10х=8 і х=8:10=0,8.
  3. На рисунку зображено квадрат ABCD. Укажіть правильну векторну рівність.

    АБВГД
    \vec{AC}=\vec{AB}-\vec{AD} \vec{AC}=\vec{AD}-\vec{AB} \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD} \vec{AC}= -\vec{AD}-\vec{AB} \vec{AC}=\sqrt{2}(\vec{AB}+\vec{AD})
    Показати відповідь
    В.
    За правилом паралелограма додавання векторів \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}.
  4. Довжини перпендикулярних векторів \vec{a} і \vec{b}(див. рисунок) дорівнюють 6 і 8 відповідно. Знайдіть довжину вектора \vec{a}+\vec{b}

    АБВГД
    2 6 8 10 14
    Показати відповідь
    Г.
    Оскільки |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^2}, то |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}+\vec{b})^2}=\sqrt{\vec{a}^2+2\vec{a}\vec{b}+\vec{b}^2}=\sqrt{6^2+0+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 (так як добуток перпендикулярних векторів дорівнює нулю, а квадрат вектора дорівнює квадрату його довжину).
  5. У прямокутній системі координат на площині дано вектори \vec{a}(3;4) і \vec{b}(-2;2). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок реченняЗакінчення речення
    1 Довжина вектора \vec{a}
    2 Сумою векторів\vec{a} і \vec{c}(-3;k) є нульовий вектор, якщо k
    3 Вектори\vec{b} і \vec{d}(-4;m) колінеарні, якщо m
    4 Скалярний добуток векторів \vec{a}і\vec{b}     		А дорівнює 7.
    Б дорівнює 2.
    В дорівнює -4.
    Г дорівнює 5.
    Д дорівнює 4.
    Показати відповідь
    1-Г, 2-В, 3-Д, 4-Б.
    1) |\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
    2) \vec{a}+\vec{c}=(3+(-3);4+k)=(0;4+k). Даний вектор дорівнює вектору (0;0) при 4+k=0, тобто k= -4.
    3) Дані вектори колінеарні, якщо відношення їх відповідних координат рівні. Маємо -2:(-4)=2:m. Звідси m=-4⋅2:(-2)=4.
    4) Скалярний добуток цих векторів дорівнює 3⋅(-2)+4⋅2=-6+8=2.
  6. На рисунку зображено вектори \vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d} у прямокутній системі координат. Установіть відповідність між парою векторів (1-4) і твердженням (А-Д), що є правильним для цієї пари.

    ВекториТвердження
    1 \vec{a}і\vec{b}
    2 \vec{a}і\vec{c}
    3 \vec{c}і\vec{d}
    4 \vec{b}і\vec{c}    		 А вектори перпендикулярні
    Б вектори колінеарні, але не рівні
    В скалярний добуток векторів більший за 0
    Г вектори рівні
    Д кут між векторами тупий
    Показати відповідь
    1-В, 2-Д, 3-А, 4-Б.
    1) Кут між даними векторами гострий, тому їх скалярний добуток більше за 0.
    2) Кут між даними векторами тупий
    3) Дані вектори перпендикулярні.
    4) Дані вектори колінеарні, але оскільки вони протилежно напрямлені, то вони не рівні.
  7. У прямокутній системі координат на площині задано паралелограм ABCD, cosA=0,44. Визначте довжину діагоналі ВD, якщо скалярний добуток векторів \vec{AB}(6; -8) і \vec{AD}дорівнює 88.
    Показати відповідь
    18.
    Знайдемо довжину вектора \vec{AB}. |\vec{AB}|=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=10. Скалярний добуток векторів \vec{AB} і \vec{AD} можна знайти за формулою \vec{AB}\cdot\vec{AD}=|\vec{AB}|\cdot|\vec{AD}|cosA. Підставимо у цю рівність відомі значення і отримаємо:88=10\vec{AD}⋅0,44, звідки |\vec{AD}|=88:(10⋅0,44)=88:4,4=20. Тоді довжину діагоналі BD можна знайти за теоремою косинусів:
    BD2=AB2+AD2-2AB⋅ADcosA
    BD2=102+202-2⋅10⋅20⋅0,44
    BD2=100+400-400⋅0,44
    BD2=500-176
    BD2=324
    Звідси BD=18.
  8. У прямокутній системі координат ху на площині коло задано рівнянням х2-4х+у2+12у=9. Центр О цього кола збігається з точкою перетину діагоналей паралелограма АВСD. Визначте координати вершини С(хC;уC), якщо вектор \vec{OA}(-1;2). У відповідь запишіть добуток хC·уC.
    Показати відповідь
    -24.
    Приведемо рівняння кола до канонічного:
    х2-4х+у2+12у=9
    х2-4х+4+у2+12у+36=9+4+36
    (х-2)2+(у+6)2=49
    Отже, координати центра кола точки О (2;-6)
    Знайдемо координати точки А з формули \vec{OA}(хА-хО;уА-уО)
    хА-2=-1, звідки хА=1
    уА+6=2, звідки уА=-4
    Так як О - точка перетину діагоналей паралелограма, то вона ділить діагональ АС навпіл і є серединою відрізка. За формулами середини відрізка маємо:
    хО=(хА+хС):2
    2=(1+хС):2
    4=1+хС
    хС=3
    уО=(уА+уС):2
    -6=(-4+уС):2
    -12=-4+уС
    уС=-8
    хC·уC=3·(-8)=-24.
  9. На колі із центром О, яке задано рівнянням х2+у2=80, вибрано точку М(х0,у0) так, що вектор \vec{OM} перпендикулярний до вектора \vec{a} (-2;1). Визначте абсцису х0 точки М, якщо х0<0.
    Показати відповідь
    -4.
    Так як точка М належить колу, то її координати повинні задовільняти рівнянню цього кола. Маємо х02+у02=80
    Координати вектора \vec{OM} дорівнюють (х0,у0), так як початок вектора О (0;0). Так як вектори \vec{OM} і \vec{a} перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо -2х0+у0=0, звідки у0=2х0. Підставимо цю рівність у попередню і маємо:
    х02+(2x0)2=80
    х02+4x02=80
    5х02=80
    х02=80:5
    х02=16
    х0=±4.
    Так як за умовою х0<0, то х0=-4.
  10. У прямокутній системі координат на площині задано вектори \vec{a}(-1;1) та \vec{b}(-1;2). Визначте значення m, за якого вектори \vec{a}+m\vec{b} та \vec{b} перпендикулярні.
    Показати відповідь
    -0,6.
    Знайдемо вектор \vec{a}+m\vec{b}: (-1+m⋅(-1);1+m⋅2)=(-1-m;1+2m). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
    (-1-m)⋅(-1)+(1+2m)⋅2=0
    1+m+2+4m=0
    5m=-3
    m=-3:5
    m=-0,6.
  11. У прямокутній системі координат на площині задано взаємно перпендикулярні вектори \vec{AB} та \vec{a}(4; 3). Визначте абсцису точки В, якщо А(-2;0), а точка В лежить на прямій у=2х.
    Показати відповідь
    -0,8.
    Нехай абсциса точки В дорівнює х. Тоді її ордината буде 2х (точка В лежить на прямій у=2х). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-2);2x-0)=(x+2;2x). Оскільки вказані вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0. Маємо:
    (x+2)⋅4+2x⋅3=0
    4x+8+6x=0
    10x= -8
    x= -8:10
    x= -0,8.
  12. У прямокутній системі координат на площині задано колінеарні вектори вектори \vec{AB} та \vec{a} (3; -5). Визначте абсцису точки В, якщо А(-4;1), а точка В лежить на прямій у=3.
    Показати відповідь
    -5,2.
    Нехай абсциса точки В дорівнює х. Її ордината буде 3 (точка В лежить на прямій у=3). Знайдемо координати вектора \vec{AB}: (x-(-4);3-1)=(x+4;2). Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: (x+4):3=2:(-5). Звідси х+4=2⋅3:(-5)=6:(-5)= -1,2. Звідси х= -1,2-4= -5,2.
  13. При якому значенні у вектори \vec{a} (-3; 5) і \vec{b} (6; у) колінеарні?
    Показати відповідь
    -10.
    Оскільки вказані вектори колінеарні, то відношення їх відповідних координат рівні. Маємо: -3:6=5:y. Звідси y=5⋅6:(-3)=30:(-3)= -10.
  14. Визначте кут між векторами \vec{a} і \vec{b}+\vec{c}у градусах, якщо відомо, що \vec{a} (2; 2), \vec{b} (2; 4) і \vec{c} (-2;-6).
    Показати відповідь
    135.
    Знайдемо вектор \vec{b}+\vec{c}: (2+(-2);4+(-6))=(0;-2). Знайдемо довжини векторів: |\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2}=|\vec{a}|=\sqrt{2^2+2^2}, |\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{0^2+(-2)^2}=\sqrt{0+4}=\sqrt{4}=2. Скалярний добуток векторів дорівнює 2⋅0+2⋅(-2)=0-4= -4. За формулою косинуса кута між векторами маємо: cos(\vec{a},\vec{b}+\vec{c})=\frac{\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}+\vec{c}|}=\frac{-4}{2\sqrt{2}\cdot2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}. Так як косинус кута від'ємний, то кут тупий і він дорівнює 180o-arccos|\frac{-1}{\sqrt{2}}|=180o-arccos\frac{1}{\sqrt{2}}=180o-45o=135o.
  15. Обчисліть скалярний добуток векторів, зображених на рисунку.

    Показати відповідь
    18.
    Оскільки початок першого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (0;1), то його координати (0-4;1-3)=(-4;-2). Оскільки початок другого вектора знаходиться в точці (4;3), а кінець в точці (1;0), то його координати (1-4;0-3)=(-3;-3). Скалярний добуток векторів (-4)⋅(-3)+(-2)⋅(-3)=12+6=18.
⇐V.10.
Координати на площині		 До змісту ⇒V.12.
Практичні задачі

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
15 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках. На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ. Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме ( Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності ...
Дописати коментар
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

7 клас. Геометрія. Центральні та вписані кути

У чому різниця між центральним та вписаним кутами і як вони пов'язані між собою? У цьому уроці ми вивчимо ключові властивості кутів у колі: від вимірювання дуг до особливих випадків, коли вписаний кут спирається на діаметр. Ви дізнаєтеся, чому кути, що спираються на одну хорду, є рівними, та навчитеся розв'язувати задачі на пошук градусних мір кутів, використовуючи наочні схеми та покрокові розв'язання прикладів. Центральним кутом називають кут з вершиною в центрі кола. Частину кола, яка лежить усередині кута, називають дугою кола , що відповідає цьому центральному куту. На зображенні утворено дві дуги: \stackrel{\frown}{\text{BDC}} та \stackrel{\frown}{\text{BEC}} Градусною мірою дуги кола називають градусну міру відповідного центрального кута. Вписаний кут - кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло. Властивості вписаних кутів: Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку спирається (вписаний кут дорівнює половині відповідного центр...
Дописати коментар
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар