Перейти до основного вмісту

Трикутники та їх властивості

    Види трикутників
    1. За кутами
      1. Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c2<a2+b2).
      2. Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c2=a2+b2).
      3. Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c2>a2+b2).
    2. За сторонами
      1. Різносторонній - всі сторони різні.
      2. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою).
      3. Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні.
    Основні елементи трикутників
    1. Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
    2. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони.
    3. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить кут навпіл. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці і ділять протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника (якщо АК - бісектриса трикутника АВС, то ВК:КС=АВ:АС).
    4. Середня лінія трикутника - відрізок, який сполучає середини двох сторін трикутника. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні трикутника і дорівнює її половині.
    5. Гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника (лежить напроти прямого кута), катети - дві інші сторони прямокутного трикутника.
    6. Центр кола, описаного навколо трикутника, знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів. В прямокутному трикутнику він знаходиться на середині гіпотенузи.
    7. Центр кола, вписаного в трикутник, знаходиться в точці перетину бісектрис трикутника.
    Розв'язування трикутників (знаходження невідомих елементів трикутника за відомими)
    1. У трикутника сума всіх кутів дорівнює 180o.
    2. У правильного трикутника всі кути дорівнюють 60o.
    3. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.
    4. Теорема синусів: відношення сторін до синусів протилежних кутів рівні ==
    5. Теорема косинусів: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними AB2=AC2+BC2-2⋅AC⋅BC⋅cos∠C.
    6. Для прямокутного трикутника: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора) AB2=AC2+BC2 (за умови, що гіпотенуза АВ).
    7. Співвідношення у прямокутному трикутнику: sinα=AC:AB, cosα=BC:AB, tgα=AC:BC, ctgα=BC:AC (АС - протилежний катет до кута, ВС - прилеглий катет до кута, АВ - гіпотенуза).
  1. НМТ 2024. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. Cерединний перпендикуляр, проведений до сторони рівностороннього трикутника, ділить його на два рівних трикутники.
    ІІ. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до катетів прямокутного трикутника, є серединою його гіпотенузи.
    ІІІ. Точка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін будь-якого тупокутного трикутника, міститься всередині цього трикутника.
    АБВГД
    лише І лише І та ІІ лише І та ІІІ лише IІ та ІІІ І, ІІ та ІІІ
    Показати відповідь
    Б.
  2. НМТ 2024. Зовнішній кут при вершині A трикутника ABC дорівнює 100°, ∠C = 20° (див. рисунок). Визначте градусну міру кута B.
    АБВГД
    100° 90° 120° 80° 70°
    Показати відповідь
    Г.
  3. НМТ 2023. Периметр рівнобедреного трикутника АВС (див. рисунок) дорівнює 32 см. АВ=ВС=10 см. Узгодьте відрізок (1-3) з його довжиною (А-Д).
    Відрізок Довжина відрізка, см
    1 АС
    2 висота, проведена з вершини В
    3 радіус кола, описаного навколо трикутника АВС    		 А 6,25
    Б 7,5
    В 8
    Г 12
    Д 12,5
    Показати відповідь
    1-Г, 2-В, 3-А.
  4. НМТ 2023. У прямокутному трикутнику АСВ ∠C=90o, ∠B=24o. На продовженні катета АС вибрано точку К так, що АК=КВ (див. рисунок). Точка О - центр кола, описаного навколо трикутника АСВ. Узгодьте кут (1–3) із його градусною мірою (А–Д).
    Кут Градусна міра кута
    1 ∠ВАС
    2 ∠КВС
    3 ∠ОКВ    		 А 24o
    Б 34o
    В 42o
    Г 66o
    Д 72o
    Показати відповідь
    1-Г, 2-В, 3-А. 3. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, знаходиться на середині гіпотенузи.
  5. Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони АС трикутника АВС, якщо АВ=3 см, ВС=10 см.
    АБВГД
    3 см 5 см 7 см 11 см 15 см
    Показати відповідь
    Г.
    Перевірити виконання нерівності трикутника.
  6. У трикутнику АВС кут В — тупий. Які з наведених тверджень є правильними?
    І. ∠А+∠С<90o.
    II. AB+BC<AC.
    III. Центр кола, описаного навколо трикутника АВС, лежить поза його межами.
    АБВГД
    лише І і ІІ лише І лише ІІ і ІІІ І, ІІ і ІІІ лише І і ІІІ
    Показати відповідь
    Д.
  7. У трикутнику АВС: АВ=31 см, ВС=15 см, АС=26 см. Пряма а, паралельна стороні АВ, перетинає сторони ВС і АС у точках М і N відповідно. Обчисліть периметр трикутника MNC, якщо МС=5 см.
    АБВГД
    15 см 24 см 48 см 21 см 26 см
    Показати відповідь
    Б. Застосувати подібність трикутників.
  8. Сторони трикутника, одна з яких на 8 см більша за другу, утворюють кут 120o, а довжина третьої сторони дорівнює 28 см. Знайдіть периметр трикутника.
    АБВГД
    84 см 72 см 64 см 60 см 56 см
    Показати відповідь
    Г. Застосувати теорему косинусів.
  9. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а висота, опущена на неї, — 8 см. Знайдіть довжину основи трикутника.
    АБВГД
    6 см 4 см 12 см 4 см 16 см
    Показати відповідь
    Г. Застосувати теорему Піфагора.
  10. На рисунку зображено паралельні прямі a i b та січну CD. Знайдіть відстань між прямими a i b, якщо СК=5 см, KD=2 см, а відстань від точки К до прямої а дорівнює 1 см.

    АБВГД
    2,5 см 3 см 3,5 см 4 см 4,5 см
    Показати відповідь
    В. Застосувати подібність трикутників.
  11. На рисунку зображено рівнобедрений трикутник АВС (АВ=ВС). Визначте градусну міру кута ВАС, якщо ∠В=40o.

    АБВГД
    80o 70o 60o 50o 40o
    Показати відповідь
    Б.
  12. У трикутнику АВС: ∠А=65o, BD – бісектриса кута В (див. рисунок). Знайдіть градусну мірку кута ВСА, якщо ∠AВD=35o.

    АБВГД
    35o 45o 50o 55o 80o
    Показати відповідь
    Б.
  13. У трикутнику АВС: ∠А=59o, ∠В=62o. Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці О. Визначте величину кута АОВ.

    АБВГД
    98o 121o 144o 149o 154o
    Показати відповідь
    Б.
  14. Рівносторонній трикутник АВС та пряма КМ, що проходить через точку В, лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута КВА, якщо ∠СВМ=85o.

    АБВГД
    45o 35o 30o 25o 15o
    Показати відповідь
    Б.
  15. Прямі m і n паралельні. Обчисліть величину кута х, зображеного на рисунку.

    АБВГД
    40o 45o 50o 80o 140o
    Показати відповідь
    А.
  16. На рисунку зображено прямокутний трикутник з катетами a і b, гіпотенузою с та гострим кутом α. Укажіть правильну рівність.

    АБВГД
    cosα= cosα= cosα= cosα= cosα=
    Показати відповідь
    Д.
  17. У гострокутному трикутнику АВС проведено висоту ВМ. Визначте довжину сторони АВ, якщо ВМ=12, ∠А=α.
    АБВГД
    12cosα 12tgα 12sinα
    Показати відповідь
    Д.
  18. У трикутнику АВС задано АС=2 см, ∠А=50o, ∠В=70o (див. рисунок). Визначте ВС (у см) за теоремою синусів.

    АБВГД
    ВС= ВС= ВС= ВС= ВС=
    Показати відповідь
    Д. Застосувати теорему синусів.
  19. У трикутнику АВС: АВ=6 см, ВС=см, ∠В=45o. Обчисліть довжину медіани, проведеної з вершини С.
    АБВГД
    см см см см см
    Показати відповідь
    А.Застосувати теорему косинусів.
  20. Доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: “Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює...”.
    АБВГД
    гіпотенузі квадрату суми катетів квадрату гіпотенузи добутку катетів подвійному добутку катетів
    Показати відповідь
    В.
  21. Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення Закінчення речення
    1 Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на
    2 Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30o , зображено на
    3 Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на    		 А рис. 1.
    Б рис. 2.
    В рис. 3.
    Г рис. 4.
    Д рис. 5.
    Показати відповідь
    1-А, 2-В, 3-Д.
  22. У трикутнику АВС: АВ=с, ВС=а, АС=b.До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
    Початок речення Закінчення речення
    1 Якщо а=b=c
    2 Якщо c2=a2+b2
    3 Якщо a=c=
    4 Якщо c2=a2+b2-2ab(-)    		 А то ∠С=30o
    Б то ∠С=45o
    В то ∠С=60o
    Г то ∠С=90o
    Д то ∠С=120o
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-Б, 4-Д.
  23. Рівносторонній трикутник АВС та рівнобедрений трикутник АСD, у якому АС=DC і ∠AСD=40o, лежать в одній площині (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1-4) та його градусною мірою (А-Д).

    Кут Градусна міра
    1 ∠ABC
    2 ∠ADC
    3 кут між прямими АВ і AD
    4 кут між бісектрисами кутів ВАС і CAD    		 А 45o
    Б 50o
    В 60o
    Г 65o
    Д 70o
    Показати відповідь
    1-В, 2-Д, 3-Б, 4-Г.
  24. На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять трикутників. Установіть відповідність між запитаннями (1-4) та правильною відповіддю на нього (А-Д).

    Запитання Відповідь
    1 На якому рисунку зображено трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються?
    2 На якому рисунку зображено трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30o
    3 На якому рисунку зображено трикутник, площа якого дорівнює 10см2?
    4 На якому рисунку зображено трикутник, у якого діаметр описаного навколо нього кола дорівнює 10см?    		 А Рис. 1.
    Б Рис. 2.
    В Рис. 3.
    Г Рис. 4.
    Д Рис. 5.
    Показати відповідь
    1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.
  25. У прямокутний трикутник АВС вписано коло, яке дотикається катетів АС та ВС у точках К і М відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС (у см), якщо АК=4,5 см, МВ=6 см.
    Показати відповідь
    5,25.

    Провести радіуси в точки дотику, з'єднати центр кола з вершинами і розглянути отримані трикутники.

  26. Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга — 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що знаходиться між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах).
    Показати відповідь
    18.
  27. На сторонах АВ та АС трикутника АВС задано точки К і М відповідно, КМ||BC (див. рисунок). Визначте довжину відрізка КМ, якщо АК=6 см, КВ=2 см, ВС=10 см.

    Показати відповідь
    7,5.
    Застосувати подібність трикутників.
  28. На рисунку зображено траєкторію руху автомобіля з пункту А до пункту В, що складається з трьох прямолінійних ділянок АК, КМ та МВ. Визначте відстань d між пунктами А та В, якщо АК=60 км, КМ=120 км, МВ=100 км (вважайте, що зображені на рисунку відрізки лежать в одній площині).

    Показати відповідь
    200. Виконати паралельне перенесення КМ на вектор КА.
  29. У прямокутному трикутнику АВС (∠С=90o) відстані від середини медіани ВМ до катетів АС і ВС дорівнюють 5 см і 6 см відповідно.
    1. Визначте довжину катета АС (у см).
    2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника АВС.
    Показати відповідь
    24; 13.
⇐V.1.
Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості		 До змісту ⇒V.3.
Паралелограм та його властивості

Коментарі

Анонім каже…
клас
11 квітня 2023 р. о 15:36
Анонім каже…
Дуже дякую ❤
15 квітня 2023 р. о 16:37
Анонім каже…
дякую
1 серпня 2023 р. о 13:43
Анонім каже…
20 завдання пояснення у четвертому помилка. сін45=корінь із 2 /2
11 лютого 2024 р. о 00:26
Анонім каже…
√2/2=1/√2. Це одне й те саме значення
12 лютого 2024 р. о 08:55
Дописати коментар

Популярні публікації

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)&pm;g(x))dx= f(x)dx&pm; g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Тригонометричні вирази

Функція 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o sin 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 1 не існує 0 не існує сtg не існує 1 0 не існує 0 Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими: sin 2 α+cos 2 α = 1 tgαctgα = 1 1+tg 2 α = 1+ctg 2 α = tgα = ctgα = Тригонометричні функції суми кутів: sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ tg(α+β) = tg(α-β) = Формули зведення: 1. Визначити знак функції для даного кута. Функція (0,90 o ) (90 o ,180 o ) (180 o ,270 o ) (270 o ,360 o ) sin + + - - cos + - - + tg,ctg + - + - 2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію ...
Дописати коментар
Read more »