Трикутники та їх властивості

Види трикутників

1. За кутами
   1. Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c²<a²+b²).
   2. Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c²=a²+b²).
   3. Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c²>a²+b²).
2. За сторонами
   1. Різносторонній - всі сторони різні.
   2. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою).
   3. Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні.
---
Основні елементи трикутників

1. Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
2. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони.
3. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить кут навпіл. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці і ділять протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника (якщо АК - бісектриса трикутника АВС, то ВК:КС=АВ:АС).
4. Середня лінія трикутника - відрізок, який сполучає середини двох сторін трикутника. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні трикутника і дорівнює її половині.
5. Гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника (лежить напроти прямого кута), катети - дві інші сторони прямокутного трикутника.
6. Центр кола, описаного навколо трикутника, знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів. В прямокутному трикутнику він знаходиться на середині гіпотенузи.
7. Центр кола, вписаного в трикутник, знаходиться в точці перетину бісектрис трикутника.
---
Розв'язування трикутників (знаходження невідомих елементів трикутника за відомими)

1. У трикутника сума всіх кутів дорівнює 180^o.
2. У правильного трикутника всі кути дорівнюють 60^o.
3. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.
4. Теорема синусів: відношення сторін до синусів протилежних кутів рівні ==
5. Теорема косинусів: квадрат сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними AB²=AC²+BC²-2⋅AC⋅BC⋅cos∠C.
6. Для прямокутного трикутника: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів (теорема Піфагора) AB²=AC²+BC² (за умови, що гіпотенуза АВ).
7. Співвідношення у прямокутному трикутнику: sinα=AC:AB, cosα=BC:AB, tgα=AC:BC, ctgα=BC:AC (АС - протилежний катет до кута, ВС - прилеглий катет до кута, АВ - гіпотенуза).
1. Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони АС трикутника АВС, якщо АВ=3 см, ВС=10 см.

   А	Б	В	Г	Д
   3 см	5 см	7 см	11 см	15 см

   Відповідь

   Г.
   Перевіримо виконання нерівності трикутника (a+b>c)
   А) 3+3<10 - не підходить
   Б) 5+3<10 - не підходить
   В) 7+3=10 - не підходить
   Г) 3+11>10, 3+10>11, 10+11>3 - підходить
   Д) 3+10<15 - не підходить.
2. 2019. У трикутнику АВС кут В — тупий. Які з наведених тверджень є правильними?
   І. ∠А+∠С<90^o.
   II. AB+BC<AC.
   III. Центр кола, описаного навколо трикутника АВС, лежить поза його межами.

   А	Б	В	Г	Д
   лише І і ІІ	лише І	лише ІІ і ІІІ	І, ІІ і ІІІ	лише І і ІІІ

   Відповідь

   Д.
   I. Так як кут тупий, то він більше 90^o, тоді, враховуючи, що в трикутнику сума кутів дорівнює 180^o, на суму двох інших кутів прилягає менше 90^o. Правильно.
   II. За нерівністю трикутника, сума двох сторін трикутника завжди більше за третю сторону. Не підходить.
   III. Дійсно, в тупокутному трикутнику центр кола, описаного навколо нього, лежить поза його межами. Правильно.
3. У трикутнику АВС: АВ=31 см, ВС=15 см, АС=26 см. Пряма а, паралельна стороні АВ, перетинає сторони ВС і АС у точках М і N відповідно. Обчисліть периметр трикутника MNC, якщо МС=5 см.

   А	Б	В	Г	Д
   15 см	24 см	48 см	21 см	26 см

   Відповідь

   Б.

   

   Оскільки відрізок NM паралельний АВ, то трикутники ABC і NMC подібні. Знайдемо коефіцієнт подібності. к=ВС:МС=15:5=3. Периметр трикутника АВС дорівнює Р=АВ+АС+ВС=31+26+15=72 см. Оскільки відношення периметрів подібних трикутників дорівнює коефіцієнту пропорційності, то Р_ΔABC:Р_ΔMNC=3. Звідси Р_ΔMNC=Р_ΔABC:3=72:3=24 см.
4. Сторони трикутника, одна з яких на 8 см більша за другу, утворюють кут 120^o, а довжина третьої сторони дорівнює 28 см. Знайдіть периметр трикутника.

   А	Б	В	Г	Д
   84 см	72 см	64 см	60 см	56 см

   Відповідь

   Г.

   

   Нехай в трикутнику АВС АС=х, тоді АВ=х+8. За теоремою косинусів маємо:
   BC²=AC²+AB²-2AC⋅AB⋅cosA
   28²=x²+(x+8)²-2x⋅(x+8)⋅cos120^o
   28²=x²+x²+16x+64-2x⋅(x+8)⋅(-0,5)
   784=2x²+16x+64+x²+8x
   784=3x²+24x+64
   3x²+24x+64-784=0
   3x²+24x-720=0 |:3
   x²+8x-240=0
   D=8²-4⋅1⋅(-240)=64+960=1024.
   x₁==12
   x₂==-20
   Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, то маємо лише х=12. Отже, АС=12, тоді АВ=12+8=20. Р=АВ+АС+ВС=20+12+28=60 см.
5. Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, а висота, опущена на неї, — 8 см. Знайдіть довжину основи трикутника.

   А	Б	В	Г	Д
   6 см	4 см	12 см	4 см	16 см

   Відповідь

   Г.

   

   Нехай АК - дана висота. Тоді трикутник АКС прямокутний і за теоремою Піфагора CK²=AC²-AK²=100-64=36. Звідси СК=6 см. Тоді КВ=СВ-СК=10-6=4 см. З прямокутного трикутника АКВ за теоремою Піфагора AB²=AK²+KB²=64+16=80. Тоді АВ=.
6. На рисунку зображено паралельні прямі a i b та січну CD. Знайдіть відстань між прямими a i b, якщо СК=5 см, KD=2 см, а відстань від точки К до прямої а дорівнює 1 см.

   

   А	Б	В	Г	Д
   2,5 см	3 см	3,5 см	4 см	4,5 см

   Відповідь

   В.

   

   Нехай ЕК - відстань від т. К до прямої а, СМ - відстань між прямими a i b. Маємо два подібних прямокутних трикутника СМD та КЕD (кут D спільний), а тому . Звідси CM==3,5.
7. На рисунку зображено рівнобедрений трикутник АВС (АВ=ВС). Визначте градусну міру кута ВАС, якщо ∠В=40^o.

   

   А	Б	В	Г	Д
   80o	70o	60o	50o	40o

   Відповідь

   Б.
   Оскільки трикутник рівнобедрений і АВ=ВС, то ∠А=∠С. Так як в трикутнику сума всіх кутів дорівнює 180^o, то ∠А+∠С=180^o-∠В=180^o-40^o=140^o. Так як ці кути рівні і їх сума 140^o, то кожен з них дорівнює 140^o:2=70^o. Тому кут ВАС дорівнює 70^o.
8. У трикутнику АВС: ∠А=65^o, BD – бісектриса кута В (див. рисунок). Знайдіть градусну мірку кута ВСА, якщо ∠AВD=35^o.

   

   А	Б	В	Г	Д
   35o	45o	50o	55o	80o

   Відповідь

   Б.
   Оскільки ВD - бісектриса кута В, то ∠СBD=∠ABD=35^o. Тоді ∠B=70^o. Так як в трикутнику сума всіх кутів дорівнює 180^o, то ∠C=180^o-∠В-∠A=180^o-70^o-65^o=45^o.
9. У трикутнику АВС: ∠А=59^o, ∠В=62^o. Із вершин цих кутів проведено висоти, що перетинаються в точці О. Визначте величину кута АОВ.

   

   А	Б	В	Г	Д
   98o	121o	144o	149o	154o

   Відповідь

   Б.

   

   Так як в трикутнику АКВ сума всіх кутів дорівнює 180^o, то ∠АВК=180^o-∠ВАК-∠АКВ=180^o-59^o-90^o=31^o. Так як в трикутнику АМВ сума всіх кутів дорівнює 180^o, то ∠ВАМ=180^o-∠АВМ-∠ВМА=180^o-62^o-90^o=28^o. Так як в трикутнику АВО сума всіх кутів дорівнює 180^o, то ∠АОВ=180^o-∠АВК-∠ВАМ=180^o-31^o-28^o=121^o.
10. Рівносторонній трикутник АВС та пряма КМ, що проходить через точку В, лежать в одній площині (див. рисунок). Визначте градусну міру кута КВА, якщо ∠СВМ=85^o.

    

    А	Б	В	Г	Д
    45o	35o	30o	25o	15o

    Відповідь

    Б.
    Оскільки трикутник рівносторонній, то кут АВС дорівнює 60^o. Оскільки кут КВА, АВС і СВМ разом утворюють розгорнутий кут, то їх сума дорівнює 180^o. Тоді ∠КВА=180^o-∠АВС-∠СВМ=180^o-60^o-85^o=35^o.
11. Прямі m і n паралельні. Обчисліть величину кута х, зображеного на рисунку.

    

    А	Б	В	Г	Д
    40o	45o	50o	80o	140o

    Відповідь

    А.

    

    Кут А дорівнює куту в 15^o як відповідні кути, кут В дорівнює куту в 25^o як вертикальні кути. Кут х є зовнішнім кутом при вершині С трикутника АВС, тому він дорівнює сумі кутів А і В. Отже х=∠А+∠В=15^o+25^o=40^o.
12. На рисунку зображено прямокутний трикутник з катетами a і b, гіпотенузою с та гострим кутом α. Укажіть правильну рівність.

    

    А	Б	В	Г	Д
    cosα=	cosα=	cosα=	cosα=	cosα=

    Відповідь

    Д.
    Оскільки косинус кута дорівнює відношенню прилеглого катета (b) до гіпотенузи (c), то cosα=.
13. У гострокутному трикутнику АВС проведено висоту ВМ. Визначте довжину сторони АВ, якщо ВМ=12, ∠А=α.

    А	Б	В	Г	Д
    	12cosα	12tgα	12sinα

    Відповідь

    Д.

    

    Оскільки синус кута дорівнює відношенню протилежного катета (ВМ) до гіпотенузи (АВ), то sinα=. Звідси АВ=.
14. У трикутнику АВС задано АС=2 см, ∠А=50^o, ∠В=70^o (див. рисунок). Визначте ВС (у см) за теоремою синусів.

    

    А	Б	В	Г	Д
    ВС=	ВС=	ВС=	ВС=	ВС=

    Відповідь

    Д.
    За теоремою синусів в трикутнику відношення сторін до синусів протилежних кутів рівні, тобто . Підставимо у це відношення відомі величини і отримаємо , звідки ВС=.
15. У трикутнику АВС: АВ=6 см, ВС=см, ∠В=45^o. Обчисліть довжину медіани, проведеної з вершини С.

    А	Б	В	Г	Д
    см	см	см	см	см

    Відповідь

    А.

    

    Оскільки СМ - медіана, то МВ=АВ:2=6:2=3 см. За теоремою косинусів в трикутнику МСВ маємо MC²=MB²+BC²-2MB⋅BCcosB
    MC²=3²+²-2⋅3⋅cos45^o
    MC²=9+2-2⋅3⋅⋅
    MC²=11-2⋅3
    MC²=11-6
    MC²=5
    MC=см.
16. Доберіть таке закінчення речення, щоб утворилося правильне твердження: “Сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює...”.

    А	Б	В	Г	Д
    гіпотенузі	квадрату суми катетів	квадрату гіпотенузи	добутку катетів	подвійному добутку катетів

    Відповідь

    В.
    За теоремою Піфагора сума квадратів катетів прямокутного трикутника дорівнює квадрату гіпотенузи.
17. 2021. Установіть відповідність між початком речення (1–3) і його закінченням (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються, зображено на 2 Трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30o , зображено на 3 Трикутник, у якого радіус описаного кола більший за 5 см, зображено на	А рис. 1. Б рис. 2. В рис. 3. Г рис. 4. Д рис. 5.

    Відповідь

    1-А, 2-В, 3-Д.
    1)На рис.1 зображено трикутник, у якого дві сторони рівні, тоді кути при основі також рівні і дорівнюють (180^o-60^o):2=120^o:2=60^o. Отже цей трикутник є правильним і у ньому центри вписаного й описаного кіл збігаються.
    2) На рис.3 зображено прямокутний трикутник, у якого катет дорівнює половині гіпотенузи, отже він лежить напроти кута 30^o.
    3) Знайдемо радіус кола описаного навколо трикутника з рис. 5 за формулою 2R======6⋅2=12. Звідси R=12:2=6.
18. У трикутнику АВС: АВ=с, ВС=а, АС=b.До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Якщо а=b=c 2 Якщо c2=a2+b2 3 Якщо a=c= 4 Якщо c2=a2+b2-2ab(-)	А то ∠С=30o Б то ∠С=45o В то ∠С=60o Г то ∠С=90o Д то ∠С=120o

    Відповідь

    1-В, 2-Г, 3-Б, 4-Д.
    1)Так як всі сторони рівні, то це рівносторонній трикутник, всі кути якого дорівнюють 60^o.
    2) Так як виконується теорема Піфагора, то даний трикутник прямокутний, причому с - гіпотенуза, отже кут С прямий.
    3) Оскільки дві сторони рівні, то даний трикутник рівнобедрений. Так як виконується рівність b²=a²+c², то маємо прямокутний трикутник з прямим кутом В. В прямокутному рівнобедреному трикутнику гострі кути рівні 45^o.
    4) Маємо записану теорему косинусів, з якої косинус кута С дорівнює -, отже кут С дорівнює 120^o.
19. Рівносторонній трикутник АВС та рівнобедрений трикутник АСD, у якому АС=DC і ∠AСD=40^o, лежать в одній площині (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1-4) та його градусною мірою (А-Д).

    

    Кут	Градусна міра
    1 ∠ABC 2 ∠ADC 3 кут між прямими АВ і AD 4 кут між бісектрисами кутів ВАС і CAD	А 45o Б 50o В 60o Г 65o Д 70o

    Відповідь

    1-В, 2-Д, 3-Б, 4-Г.
    1)Так як трикутник АВС рівносторонній, то всі його кути дорівнюють 60^o.
    2) Так як в трикутнику сума всіх кутів 180^o, і кут С в трикутнику ADC дорівнює 40^o, то ∠ADC+∠DAC=180^o-40^o=140^o. Так як даний трикутник рівнобедрений, то кути при основі рівні. Так як їх сума дорівнює 140^o і вони рівні, то кожен з них дорівнює 70^o.
    3) За малюнком кут між прямими АВ і AD дорівнює сумі кутів BAC і DAC, тобто 60^o+70^o=130^o. Але кутом між прямими вважається менший із суміжних кутів, утворених цими прямими, тому кут між прямими знаходимо як 180^o-130^o=50^o.
    4) За малюнком кут між бісектрисами кутів ВАС і CAD дорівнює сумі половин цих кутів (бісектриса поділяє кути навпіл), тому даний кут дорівнює половині сум кутів ВАС і CAD, тобто половині кута BAD. Маємо 130^o:2=65^o.
20. На рисунках (1-5) наведено інформацію про п’ять трикутників. Установіть відповідність між запитаннями (1-4) та правильною відповіддю на нього (А-Д).

    

    Запитання	Відповідь
    1 На якому рисунку зображено трикутник, у якого центри вписаного й описаного кіл збігаються? 2 На якому рисунку зображено трикутник, один із внутрішніх кутів якого дорівнює 30o 3 На якому рисунку зображено трикутник, площа якого дорівнює 10см2? 4 На якому рисунку зображено трикутник, у якого діаметр описаного навколо нього кола дорівнює 10см?	А Рис. 1. Б Рис. 2. В Рис. 3. Г Рис. 4. Д Рис. 5.

    Відповідь

    1-А, 2-В, 3-Д, 4-Г.
    1) На рис. 1 маємо рівнобедрений трикутник, з кутом при вершині 60^o, тому кути при основі дорівнюють (180^o-60^o):2=120^o:2=60^o. Отже цей трикутник рівносторонній і в нього центри вписаного й описаного кіл збігаються.
    2) На рис. 3 показано прямокутний трикутник, в якого катет вдвічі менше гіпотенузи. Це означає що кут, який лежить напроти цього катета, дорівнює 30^o.
    3) На малюнку 5 показано трикутник, в якого сторона 3+7=10 і висота, проведена до цієї сторони 2. За формулою площі маємо S=10⋅2:2=10.
    4) Знайдемо радіус кола, описаного навколо трикутника на мал. 4 за формулою =2R. Звідси 2R=. Так як d=2R, то d=10см.
21. У прямокутний трикутник АВС вписано коло, яке дотикається катетів АС та ВС у точках К і М відповідно. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС (у см), якщо АК=4,5 см, МВ=6 см.
    Відповідь

    5,25.

    

    Оскільки радіуси проведені в точки дотику перпендикулярні до дотичних, то маємо прямокутні трикутники AKO, ALO, BMO, BLO. В трикутниках AKO і ALO сторони KO і LO рівні (радіуси кола), сторона АО спільна, тому ці трикутники рівні і AK=AL. Аналогічно, MB=LB. Тоді гіпотенуза AB=AL+LB=4,5+6=10,5. В прямокутному трикутнику радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює половині гіпотенузи. Отже, R=10,5:2=5,25.
22. Дві вежі, одна з яких 40 футів, а друга — 30 футів заввишки, розташовано на відстані 50 футів одна від одної. До криниці, що знаходиться між ними, одночасно з обох веж злетіло по пташці. Рухаючись з однаковою швидкістю, вони прилетіли до криниці одночасно. Знайдіть відстань від криниці до найближчої вежі (у футах).
    Відповідь

    18.

    

    Маємо вежі АВ і CD відповідною довжиною, відстань між ними АС=50. Нехай відстань від вежі АВ до криниці О дорівнює х. Тоді відстань від другої вежі до криниці буде 50-х. Оскільки трикутники прямокутні, то ВО²=AB²+AO² = 40²+x² = 1600+x²; DО² = CD²+CO² = 30²+(50-x)²=900+2500-100x+x². Оскільки пташки летіли з однаковою швидкістю і однаковий час, то вони пролетіли однакову відстань. Отже BO=DO, відповідно BO²=DO²
    1600+x²=900+2500-100x+x²
    1600+x²=3400-100x+x²
    1600=3400-100x
    100x=3400-1600
    100x=1800
    x=18.
    Отже, АО=18б СО=50-18=32. Ближча відстань 18.
23. На сторонах АВ та АС трикутника АВС задано точки К і М відповідно, КМ||BC (див. рисунок). Визначте довжину відрізка КМ, якщо АК=6 см, КВ=2 см, ВС=10 см.

    

    Відповідь

    7,5.
    Оскільки КМ||BC, то трикутники АКМ і АВС подібні. Для подібних трикутників відношення відповідних сторін однакові, отже . Підставимо відомі значення і отримаємо . Звідси КМ=6⋅10:8=7,5.
24. На рисунку зображено траєкторію руху автомобіля з пункту А до пункту В, що складається з трьох прямолінійних ділянок АК, КМ та МВ. Визначте відстань d між пунктами А та В, якщо АК=60 км, КМ=120 км, МВ=100 км (вважайте, що зображені на рисунку відрізки лежать в одній площині).

    

    Відповідь

    200.

    

    Виконаємо паралельне перенесення КМ на вектор КА. Маємо в прямокутному трикутнику АОВ АО=КМ=120, ОВ=ОМ+МВ=АК+МВ=60+100=160. За теоремою Піфагора АВ²=АО²+ОВ²=120²+160²=14400+25600=40000. Тоді АВ=200 км.
25. У прямокутному трикутнику АВС (∠С=90^o) відстані від середини медіани ВМ до катетів АС і ВС дорівнюють 5 см і 6 см відповідно.
    1. Визначте довжину катета АС (у см).
    2. Визначте радіус (у см) кола, описаного навколо трикутника АВС.
    Відповідь

    24; 13.

    

    1. Так як відрізок ОК перпендикулярний до катета ВС, то він паралельний катету АС. Враховуючи, що О - середина відрізка ВМ, маємо що КО - середня лінія трикутника ВСМ. Тоді СМ=2⋅KO=2⋅6=12 см. Так як ВМ - медіана, то МА=СМ=12 см. Тоді АС=СМ+МА=12+12=24 см.
    2. Аналогічно ОР - середня лінія трикутника ВСМ і ВС=2⋅РO=2⋅5=10 см. З прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора АВ²=АС²+СВ²=24²+10²=576+100=676, звідки АВ=26 см. В прямокутному трикутнику радіус кола, описаного навколо нього, дорівнює половині гіпотенузи. Отже R=26:2=13 см.

⇐V.1. Найпростіші фігури на площині. Кути, їх властивості

До змісту

⇒V.3. Паралелограм та його властивості