Шлях до математики: кроки успіху: Піраміда та її елементи

Піраміда:

у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер
бічні грані піраміди - трикутники, а правильної піраміди - рівнобедрені трикутники
правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника

2019. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?

А Б В Г Д

Відповідь

Б.
Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди.
Визначте кількість граней восьмикутної піраміди.

А Б В Г Д

7 8 9 16 17

Відповідь

В.
Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней.
Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер?

А Б В Г Д

4 6 7 12 13

Відповідь

В.
Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12:2=6 ребер основи. Маємо 6 бічних граней та 1 грань основи. Разом 7 граней.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.

А Б В Г Д

6 см 3 $\sqrt{5}$ см 5 $\sqrt{3}$ см 9 см 15 см

Відповідь

Г.
Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Так як діагональ квадрата зі стороною а можна знайти за формулою d=a $\sqrt{2}$ , то АС=12 $\sqrt{2}$ см. Тоді АО=АС:2=6 $\sqrt{2}$ . Так як SO - висота, то трикутник ASO прямокутний і за теоремою Піфагора AS²=AO²+OS²=36⋅2+9=72+9=81. Тоді бічне ребро AS дорівнює 9 см.
2020. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 24 см, апофема утворює з площиною основи піраміди кут 45^o. Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.

А Б В Г Д

24 16 $\sqrt{3}$ 24 $\sqrt{2}$ 48 48 $\sqrt{2}$

Відповідь

Г.
Кут SKO між апофемою SK і її проекцією ОК є кутом між площиною основи і апофемою і дорівнює за умовою 45^o. Тоді прямокутний трикутник SKO є рівнобедреним (два кути по 45^o) і ОК=SO=24. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2⋅OK=2⋅24=48.
Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.

А Б В Г Д

6 см 9 см 10 см 12 см 14 см

Відповідь

Г.
Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює Р:4=72:4=18 см. Так як SK - апофема, то ОК перпендикуляр до CD і тоді він дорівнює половині сторони квадрата. Отже Ок=18:2=9 см. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OS²=SK²-OK²=225-81=144. Тоді висота піраміди дорівнює 12 см.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема — 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

А Б В Г Д

$\frac{1}{5}$ $\frac{3}{5}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{4}{5}$ $\frac{4}{3}$

Відповідь

Б.
Оскільки SK - апофема, то відрізок SK перпендикулярний до сторони основи і за теоремою про три перпендикуляри відрізок ОК також перпендикулярний до сторони основи. Тоді кут між площиною бічної грані і площиною основи є кутом між SK і OK. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OK²=SK²-OS²=25-16=9. Тоді ОК=3 см. З цього ж прямокутного трикутника косинус потрібного кута дорівнює відношенню прилеглого катета (ОК) до гіпотенузи (SK), тобто $\frac{3}{5}$ .
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічне ребро — 5 см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.
Відповідь

0,8.

З прямокутного трикутника SOD за теоремою Піфагора OD²=SD²-SO²=25-9=16. Тоді OD дорівнює 4 см. Оскільки проекцією ребра SD на площину основи є відрізок OD, то кутом між бічним ребром і площиною основи є кут ODS. cos∠ODS=OD:SD=4:5=0,8.