Піраміда та її елементи — це базова тема стереометрії, яка регулярно зустрічається у тестах ЗНО та НМТ. Для успішного розв'язання таких завдань важливо не просто знати кількість ребер чи граней, а вміти "бачити" внутрішні зв'язки фігури: як висота, апофема та радіус основи утворюють прямокутні трикутники. На цій сторінці ми пропонуємо детальний розбір типових завдань — від логічних питань на підрахунок елементів до знаходження кутів та довжин за допомогою теореми Піфагора.
Кожне завдання супроводжується поясненням та кресленням, щоб ви могли опанувати логіку розв’язання. Якщо ви шукаєте аналіз конкретної задачі, з якою виникли труднощі — просто гортайте вниз, розбір найбільш характерних прикладів допоможе вам знайти відповідь.
Піраміда:
у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер
правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника
Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?
Показати відповідь
Б. Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди.
Завдання 2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди.
7
8
9
16
17
Показати відповідь
В. Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней.
Завдання 3. Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер?
4
6
7
12
13
Показати відповідь
В. Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12 : 2 = 6 ребер основи. Маємо 6 бічних граней та 1 грань основи. Разом 7 граней.
Завдання 4. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.
6 см
3\sqrt{5} см
5\sqrt{3} см
9 см
15 см
Показати відповідь
Г .Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Так як діагональ квадрата зі стороною a можна знайти за формулою d = a\sqrt2, то AC = 12\sqrt2 см. Тоді AO = AC : 2 = 6\sqrt2 см. Так як SO - висота, то трикутник ASO прямокутний і за теоремою Піфагора AS2 = AO2 + OS2 = 36 ⋅ 2 + 9 = 72 + 9 = 81. Тоді бічне ребро AS дорівнює 9 см.
Завдання 5. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 24 см, апофема утворює з площиною основи піраміди кут 45°. Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.
24
16\sqrt3
24\sqrt2
48
48\sqrt2
Показати відповідь
Г .
Кут SKO між апофемою SK і її проекцією ОК є кутом між площиною основи і апофемою і дорівнює за умовою 45°. Тоді прямокутний трикутник SKO є рівнобедреним (два кути по 45°) і ОК = SO = 24 см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2 ⋅ OK = 2 ⋅ 24 = 48 см.
Завдання 6. Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.
6 см
9 см
10 см
12 см
14 см
Показати відповідь
Г .
Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює Р : 4 = 72 : 4 = 18 см. Так як SK - апофема, то ОК перпендикуляр до CD і тоді він дорівнює половині сторони квадрата. Отже ОK = 18 : 2 = 9 см. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OS² = SK² - OK² = 225 - 81 = 144. Тоді висота піраміди дорівнює 12 см.
Завдання 7. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема — 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.
\frac{1}{5}
\frac{3}{5}
\frac{3}{4}
\frac{4}{5}
\frac{4}{3}
Показати відповідь
Б. Оскільки SK - апофема, то відрізок SK перпендикулярний до сторони основи і за теоремою про три перпендикуляри відрізок ОК також перпендикулярний до сторони основи. Тоді кут між площиною бічної грані і площиною основи є кутом між SK і OK. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OK² = SK² - OS² = 25 - 16 = 9. Тоді ОК = 3 см. З цього ж прямокутного трикутника косинус потрібного кута дорівнює відношенню прилеглого катета (ОК) до гіпотенузи (SK), тобто \frac{3}{5}.
Завдання 8. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічне ребро — 5 см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.
0,8. З прямокутного трикутника SOD за теоремою Піфагора OD² = SD² - SO² = 25 - 9 = 16. Тоді OD дорівнює 4 см. Оскільки проекцією ребра SD на площину основи є відрізок OD, то кутом між бічним ребром і площиною основи є кут ODS. cos∠ODS = OD : SD = 4 : 5 = 0,8.
Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Коментарі