Піраміда та її елементи — це базова тема стереометрії, яка регулярно зустрічається у тестах ЗНО та НМТ. Для успішного розв'язання таких завдань важливо не просто знати кількість ребер чи граней, а вміти "бачити" внутрішні зв'язки фігури: як висота, апофема та радіус основи утворюють прямокутні трикутники. На цій сторінці ми пропонуємо детальний розбір типових завдань — від логічних питань на підрахунок елементів до знаходження кутів та довжин за допомогою теореми Піфагора.
Кожне завдання супроводжується поясненням та кресленням, щоб ви могли опанувати логіку розв’язання. Якщо ви шукаєте аналіз конкретної задачі, з якою виникли труднощі — просто гортайте вниз, розбір найбільш характерних прикладів допоможе вам знайти відповідь.
Піраміда:
у n-кутної піраміди n + 1 вершина, n + 1 граней, 2n ребер
правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника
Завдання 1. Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?
Показати відповідь
Б. Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди.
Завдання 2. Визначте кількість граней восьмикутної піраміди.
7
8
9
16
17
Показати відповідь
В. Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней.
Завдання 3. Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер?
4
6
7
12
13
Показати відповідь
В. Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12 : 2 = 6 ребер основи. Маємо 6 бічних граней та 1 грань основи. Разом 7 граней.
Завдання 4. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.
6 см
3\sqrt{5} см
5\sqrt{3} см
9 см
15 см
Показати відповідь
Г .Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Так як діагональ квадрата зі стороною a можна знайти за формулою d = a\sqrt2, то AC = 12\sqrt2 см. Тоді AO = AC : 2 = 6\sqrt2 см. Так як SO - висота, то трикутник ASO прямокутний і за теоремою Піфагора AS² = AO² + OS² = 36 · 2 + 9 = 72 + 9 = 81. Тоді бічне ребро AS дорівнює 9 см.
Завдання 5. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 24 см, апофема утворює з площиною основи піраміди кут 45°. Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.
24
16\sqrt3
24\sqrt2
48
48\sqrt2
Показати відповідь
Г .
Кут SKO між апофемою SK і її проекцією ОК є кутом між площиною основи і апофемою і дорівнює за умовою 45°. Тоді прямокутний трикутник SKO є рівнобедреним (два кути по 45°) і ОК = SO = 24 см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2 · OK = 2 · 24 = 48 см.
Завдання 6. Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.
6 см
9 см
10 см
12 см
14 см
Показати відповідь
Г .
Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює Р : 4 = 72 : 4 = 18 см. Так як SK - апофема, то ОК перпендикуляр до CD і тоді він дорівнює половині сторони квадрата. Отже ОK = 18 : 2 = 9 см. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OS² = SK² - OK² = 225 - 81 = 144. Тоді висота піраміди дорівнює 12 см.
Завдання 7. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема — 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.
\frac{1}{5}
\frac{3}{5}
\frac{3}{4}
\frac{4}{5}
\frac{4}{3}
Показати відповідь
Б. Оскільки SK - апофема, то відрізок SK перпендикулярний до сторони основи і за теоремою про три перпендикуляри відрізок ОК також перпендикулярний до сторони основи. Тоді кут між площиною бічної грані і площиною основи є кутом між SK і OK. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OK² = SK² - OS² = 25 - 16 = 9. Тоді ОК = 3 см. З цього ж прямокутного трикутника косинус потрібного кута дорівнює відношенню прилеглого катета (ОК) до гіпотенузи (SK), тобто \frac{3}{5}.
Завдання 8. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічне ребро — 5 см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.
Показати відповідь
0,8.
З прямокутного трикутника SOD за теоремою Піфагора OD² = SD² - SO² = 25 - 9 = 16. Тоді OD дорівнює 4 см. Оскільки проекцією ребра SD на площину основи є відрізок OD, то кутом між бічним ребром і площиною основи є кут ODS. cos∠ODS = OD : SD = 4 : 5 = 0,8.
Аналіз функцій за їхніми графіками — це одна з найбільш наочних тем математики, яка вимагає вміння «читати» рисунок і швидко виділяти ключові властивості об'єкта. На НМТ завдання цього типу зустрічаються дуже часто, оскільки вони дозволяють перевірити комплексне розуміння теми: від визначення координат точок перетину з осями до аналізу поведінки складних періодичних процесів.
Призма та її види — це центральна тема розділу многогранників, яка вимагає розуміння властивостей паралельності та перпендикулярності у просторі. Вивчення призм починається з базових понять: вершин, ребер та граней, і веде до складніших об’єктів, таких як прямокутні паралелепіпеди та куби. На цій сторінці представлено повний тренажер для підготовки до НМТ. Ми розберемося, як відрізнити розгортку трикутної призми від піраміди, як знаходити кути між мимобіжними діагоналями куба та як обчислювати висоту призми за площею її перерізу.
Трикутники та їх властивості — це фундамент геометрії, без якого неможливо уявити успішне складання НМТ. Розуміння класифікації трикутників, знання особливостей їхніх медіан, бісектрис та висот дозволяє розв'язувати задачі, які на перший погляд здаються громіздкими. Вміння швидко застосовувати теореми синусів та косинусів, а також знання метричних співвідношень у прямокутному трикутнику є ключем до високого бала на іспиті.
Формули скороченого множення — це математичні "трафарети", які дозволяють миттєво підносити вирази до степеня або розкладати їх на множники без довгих обчислень у стовпчик. На цій сторінці ми розберемо п'ять магічних формул: від квадрата суми до різниці кубів. Ви дізнаєтеся, як швидко обчислювати квадрати великих чисел (наприклад, 59²), навчитеся розпізнавати формули у громіздких многочленах та зрозумієте різницю між повним та неповним квадратом. Опануйте ці інструменти, і алгебра стане для вас значно простішою!
Коментарі