Піраміда та її елементи — це базова тема стереометрії, яка регулярно зустрічається у тестах ЗНО та НМТ. Для успішного розв'язання таких завдань важливо не просто знати кількість ребер чи граней, а вміти "бачити" внутрішні зв'язки фігури: як висота, апофема та радіус основи утворюють прямокутні трикутники. На цій сторінці ми пропонуємо детальний розбір типових завдань — від логічних питань на підрахунок елементів до знаходження кутів та довжин за допомогою теореми Піфагора.
Кожне завдання супроводжується поясненням та кресленням, щоб ви могли опанувати логіку розв’язання. Якщо ви шукаєте аналіз конкретної задачі, з якою виникли труднощі — просто гортайте вниз, розбір найбільш характерних прикладів допоможе вам знайти відповідь.
Піраміда:
у n-кутної піраміди n+1 вершина, n+1 граней, 2n ребер
правильна піраміда - піраміда, в основі якої лежить правильний багатокутник, а основа висоти співпадає з центром цього багатокутника
Розгортку якого з наведених многогранників зображено на рисунку?
Показати відповідь
Б. Маємо один чотирикутник - основу і 4 трикутника - бічні грані, тому наведено розгортку чотирикутної піраміди.
Визначте кількість граней восьмикутної піраміди.
7
8
9
16
17
Показати відповідь
В. Маємо 8 бічних граней та 1 грань основи. Разом 9 граней.
Скільки всього граней у піраміди, яка має 12 ребер?
4
6
7
12
13
Показати відповідь
В. Оскільки в піраміді однакова кількість бічних ребер та ребер основи, то дана піраміда має 12 : 2 = 6 ребер основи. Маємо 6 бічних граней та 1 грань основи. Разом 7 граней.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а сторона основи — 12 см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.
6 см
3\sqrt{5} см
5\sqrt{3} см
9 см
15 см
Показати відповідь
Г .Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Так як діагональ квадрата зі стороною a можна знайти за формулою d = a\sqrt2, то AC = 12\sqrt2 см. Тоді AO = AC : 2 = 6\sqrt2 см. Так як SO - висота, то трикутник ASO прямокутний і за теоремою Піфагора AS2 = AO2 + OS2 = 36 ⋅ 2 + 9 = 72 + 9 = 81. Тоді бічне ребро AS дорівнює 9 см.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 24 см, апофема утворює з площиною основи піраміди кут 45°. Визначте довжину сторони основи цієї піраміди.
24
16\sqrt3
24\sqrt2
48
48\sqrt2
Показати відповідь
Г .
Кут SKO між апофемою SK і її проекцією ОК є кутом між площиною основи і апофемою і дорівнює за умовою 45°. Тоді прямокутний трикутник SKO є рівнобедреним (два кути по 45°) і ОК = SO = 24 см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2 ⋅ OK = 2 ⋅ 24 = 48 см.
Периметр основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 72 см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює 15 см.
6 см
9 см
10 см
12 см
14 см
Показати відповідь
Г .
Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює Р : 4 = 72 : 4 = 18 см. Так як SK - апофема, то ОК перпендикуляр до CD і тоді він дорівнює половині сторони квадрата. Отже ОK = 18 : 2 = 9 см. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OS² = SK² - OK² = 225 - 81 = 144. Тоді висота піраміди дорівнює 12 см.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а її апофема — 5 см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.
\frac{1}{5}
\frac{3}{5}
\frac{3}{4}
\frac{4}{5}
\frac{4}{3}
Показати відповідь
Б. Оскільки SK - апофема, то відрізок SK перпендикулярний до сторони основи і за теоремою про три перпендикуляри відрізок ОК також перпендикулярний до сторони основи. Тоді кут між площиною бічної грані і площиною основи є кутом між SK і OK. З прямокутного трикутника OKS за теоремою Піфагора OK² = SK² - OS² = 25 - 16 = 9. Тоді ОК = 3 см. З цього ж прямокутного трикутника косинус потрібного кута дорівнює відношенню прилеглого катета (ОК) до гіпотенузи (SK), тобто \frac{3}{5}.
Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см, а бічне ребро — 5 см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.
0,8. З прямокутного трикутника SOD за теоремою Піфагора OD² = SD² - SO² = 25 - 9 = 16. Тоді OD дорівнює 4 см. Оскільки проекцією ребра SD на площину основи є відрізок OD, то кутом між бічним ребром і площиною основи є кут ODS. cos∠ODS = OD : SD = 4 : 5 = 0,8.
Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках. На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ. Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме ( Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності ...
Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
У чому різниця між центральним та вписаним кутами і як вони пов'язані між собою? У цьому уроці ми вивчимо ключові властивості кутів у колі: від вимірювання дуг до особливих випадків, коли вписаний кут спирається на діаметр. Ви дізнаєтеся, чому кути, що спираються на одну хорду, є рівними, та навчитеся розв'язувати задачі на пошук градусних мір кутів, використовуючи наочні схеми та покрокові розв'язання прикладів. Центральним кутом називають кут з вершиною в центрі кола. Частину кола, яка лежить усередині кута, називають дугою кола , що відповідає цьому центральному куту. На зображенні утворено дві дуги: \stackrel{\frown}{\text{BDC}} та \stackrel{\frown}{\text{BEC}} Градусною мірою дуги кола називають градусну міру відповідного центрального кута. Вписаний кут - кут, вершина якого належить колу, а сторони перетинають це коло. Властивості вписаних кутів: Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку спирається (вписаний кут дорівнює половині відповідного центр...
10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Коментарі