Об'єм піраміди

Об'єм піраміди — одна з найпопулярніших тем у блоці стереометрії на НМТ. Головний секрет успіху тут криється не лише у формулі "одна третя площі основи на висоту", а й у вмінні працювати з планіметрією в основі: квадратами, ромбами та трапеціями. На цій сторінці ми розберемо реальні задачі з тестів минулих років, навчимося знаходити висоту піраміди через апофему та побачимо, як об'єм піраміди пов'язаний з об'ємом призми.

Тренуйтеся на прикладах — і ви навчитеся бачити розв'язок навіть у найскладніших просторових конструкціях! Якщо ви шукаєте розв'язок конкретної вправи — просто гортайте вниз до розділу «Приклади», де ми крок за кроком розбираємо кожну умову.

---

Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту
V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H
1. НМТ 2024. Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють 20 см і 12 см. Обчисліть об’єм (см³) піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.

   А	Б	В	Г	Д
   1800	1200	2400	800	600

   Показати відповідь

   Д. За формулою площі ромба через діагоналі S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 10 \cdot 12 = 120\,см^2. Тоді за формулою об'єму піраміди V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 15 = 40 \cdot 15 = 600\,см^3.
2. НМТ 2023. Укажіть формулу для обчислення об'єму V правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють a.

   А	Б	В	Г	Д
   V = a3	V = \frac{4a^2}{3}	V = 4a2	V = \frac{a^3}{3}	V = \frac{a^3}{4}

   Показати відповідь

   Г. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді S_осн = a². За формулою об'єму піраміди V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}.

---

3. Об’єм прямої трикутної призми ABCA₁1B₁C₁ дорівнює 48 см³. Точка M — середина ребра CC₁ (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди MABC.

   

   А	Б	В	Г	Д
   6 см3	8 см3	12 см3	16 см3	24 см3

   Показати відповідь

   Б. Так як точка M - середина висоти призми, то CC₁ = 2CM. Об'єм призми знаходимо за формулою V = S_оснh. Тоді S_ABC ⋅ CC₁ = S_ABC ⋅ 2 ⋅ CM = 48 см², звідки S_ABC ⋅ CM = 24 см². Об'єм піраміди знаходимо за формулою V = \frac{1}{3} S_{осн}h. Тоді V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot CM = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8\,см^3.
4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а об’єм - 64 см³. Знайдіть висоту піраміди.

   А	Б	В	Г	Д
   \frac{4}{3} см	4 см	8 см	12 см	16 см

   Показати відповідь

   Г. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди S = 4² = 16 см². Об'єм піраміди знаходимо за формулою V = \frac{1}{3} S_{осн}h. Маємо 64 = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot h. Звідси h = 64 : 16 ⋅ 3 = 12 см.
5. Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 36 см². Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.

   А	Б	В	Г	Д
   108 см3	144 см3	216 см3	288 см3	432 см3

   Показати відповідь

   Б. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата x. Тоді площа основи S = x² = 36, звідки x = 6  см. Тоді висота піраміди 2 ⋅ 6 = 12  см. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V = \frac{1}{3} S_{осн}h. Маємо V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144\,см^3.
6. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 15 см, а сторона основи - 9\sqrt{2} см. Визначте об’єм цієї піраміди (у см³).
   Показати відповідь

   648.

   Так як піраміда правильна, то в основі її лежить квадрат. Діагональ BD квадрата дорівнює AD \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2}\sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18 см. Так як точка O перетину діагоналей ділить їх навпіл, то OD = BD : 2 = 18 : 2 = 9  см. З прямокутного трикутника SOD: SO² = SD² - OD² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144 см². Отже SO = 12  см. S_{осн} = AD^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162\,см^2. V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 162 \cdot 12 = 162 \cdot 4 = 648\,см^3.

7. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, апофема - 13 см. Обчисліть об’єм (у см³) цієї піраміди.
   Показати відповідь

   400.

   З прямокутного трикутника SKO за теоремою Піфагора OK² = SK² - SO² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25, звідки OK = 5  см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2 ⋅ OK = 2 ⋅ 5 = 10  см. Площа основи S_осн = a² = 10² = 100 см². V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 100 \cdot 4 = 400\,см^3.

8. Основою піраміди SABCD є трапеція ABCD (AD ∥ BC), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро SB перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції ABCD. Знайдіть відстань від середини ребра SD до площини SBC (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 210 см³.

   6,3

   Розв'язування. Так як бічне ребро вдвічі більше за середню лінію трапеції, то SB = 2 ⋅ 5 = 10  см. Нехай висота трапеції дорівнює x. Тоді площа трапеції S = 5x. Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту, тому V = \frac{1}{3} S \cdot SB. Підставимо значення: 210 = \frac{1}{3} \cdot 5x \cdot 10. Звідси x = 210 : 5 : 10 ⋅ 3 = 12,6  см. Проведемо перпендикуляр DM до прямої BC. Так як SB ⊥ ABCD, то DM ⊥ SBC. Нехай точка K - середина ребра SD. Проведемо в трикутнику SMD середню лінію KP. Оскільки KP ∥ DM, то KP ⊥ SBC. Таким чином KP - шукана відстань, що дорівнює половині DM: 12,6 : 2 = 6,3  см.

⇐ VІ.5. Об'єм призми

До змісту

⇒ VІ.7. Об'єми тіл обертання