Перейти до основного вмісту

Об'єм піраміди

    Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту
    $$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H$$
  1. НМТ 2024. Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють 20 см і 12 см. Обчисліть об’єм (см$^3$) піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.
    АБВГД
    1800 1200 2400 800 600
    Показати відповідь
    Д. За формулою площі ромба через діагоналі $S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 10 \cdot 12 = 120\,см^2$. Тоді за формулою об'єму піраміди $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 15 = 40 \cdot 15 = 600\,см^3.$
  2. НМТ 2023. Укажіть формулу для обчислення об'єму $V$ правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють $a$.
    АБВГД
    $V = a^3$ $V = \frac{4a^2}{3}$ $V = 4a^2$ $V = \frac{a^3}{3}$ $V = \frac{a^3}{4}$
    Показати відповідь
    Г. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді $S_{осн} = a^2$. За формулою об'єму піраміди $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}.$
  3. Об’єм прямої трикутної призми $ABCA_1B_1C_1$ дорівнює 48 см$^3$. Точка $M$ — середина ребра $CC_1$ (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди $MABC$.

    АБВГД
    6 см$^3$ 8 см$^3$ 12 см$^3$ 16 см$^3$ 24 см$^3$
    Показати відповідь
    Б. Так як точка $M$ - середина висоти призми, то $CC_1 = 2CM$. Об'єм призми знаходимо за формулою $V = S_{осн}h$. Тоді $S_{ABC} \cdot CC_1 = S_{ABC} \cdot 2 \cdot CM = 48\,см^2$, звідки $S_{ABC} \cdot CM = 24\,см^2$. Об'єм піраміди знаходимо за формулою $V = \frac{1}{3} S_{осн}h$. Тоді $V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot CM = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8\,см^3$.
  4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а об’єм - 64 см$^3$. Знайдіть висоту піраміди.
    АБВГД
    $\frac{4}{3}$ см 4 см 8 см 12 см 16 см
    Показати відповідь
    Г. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди $S = 4^2 = 16\,см^2$. Об'єм піраміди знаходимо за формулою $V = \frac{1}{3} S_{осн}h$. Маємо $64 = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot h$. Звідси $h = 64 : 16 \cdot 3 = 12$ см.
  5. Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 36 см$^2$. Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.
    АБВГД
    108 см$^3$ 144 см$^3$ 216 см$^3$ 288 см$^3$ 432 см$^3$
    Показати відповідь
    Б. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата $x$. Тоді площа основи $S = x^2 = 36$, звідки $x = 6$ см. Тоді висота піраміди $2 \cdot 6 = 12$ см. Об'єм піраміди знаходимо за формулою $V = \frac{1}{3} S_{осн}h$. Маємо $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144\,см^3$.
  6. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 15 см, а сторона основи - $9\sqrt{2}$ см. Визначте об’єм цієї піраміди (у см$^3$).
    Показати відповідь
    648.

    Так як піраміда правильна, то в основі її лежить квадрат. Діагональ $BD$ квадрата дорівнює $AD \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2}\sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18$ см. Так як точка $O$ перетину діагоналей ділить їх навпіл, то $OD = BD : 2 = 18 : 2 = 9$ см. З прямокутного трикутника $SOD$: $SO^2 = SD^2 - OD^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144\,см^2$. Отже $SO = 12$ см. $S_{осн} = AD^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162\,см^2$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 162 \cdot 12 = 162 \cdot 4 = 648\,см^3$.

  7. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, апофема - 13 см. Обчисліть об’єм (у см$^3$) цієї піраміди.
    Показати відповідь
    400.

    З прямокутного трикутника $SKO$ за теоремою Піфагора $OK^2 = SK^2 - SO^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$, звідки $OK = 5$ см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює $2 \cdot OK = 2 \cdot 5 = 10$ см. Площа основи $S_{осн} = a^2 = 10^2 = 100\,см^2$. $V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 100 \cdot 4 = 400\,см^3$.

  8. Основою піраміди $SABCD$ є трапеція $ABCD$ ($AD \parallel BC$), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро $SB$ перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції $ABCD.$ Знайдіть відстань від середини ребра $SD$ до площини $SBC$ (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 210 см$^3$.

    6,3

    Розв'язування. Так як бічне ребро вдвічі більше за середню лінію трапеції, то $SB = 2 \cdot 5 = 10$ см. Нехай висота трапеції дорівнює $x$. Тоді площа трапеції $S = 5x$. Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту, тому $V = \frac{1}{3} S \cdot SB$. Підставимо значення: $210 = \frac{1}{3} \cdot 5x \cdot 10$. Звідси $x = 210 : 5 : 10 \cdot 3 = 12,6$ см. Проведемо перпендикуляр $DM$ до прямої $BC$. Так як $SB \perp ABCD$, то $DM \perp SBC$. Нехай точка $K$ - середина ребра $SD$. Проведемо в трикутнику $SMD$ середню лінію $KP$. Оскільки $KP \parallel DM$, то $KP \perp SBC$. Таким чином $KP$ - шукана відстань, що дорівнює половині $DM$: $12,6 : 2 = 6,3$ см.

⇐ VІ.5.
Об'єм призми		 До змісту ⇒ VІ.7.
Об'єми тіл обертання

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Первісна функції

Правила інтегрування C⋅f(x)dx=C⋅ f(x)dx (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x)dx Таблиця первісних x n dx= +C dx=ln|x|+C sinxdx=-cosx+C cosxdx=sinx+C dx=tgx+C dx= -ctgx+C a x dx= +C e x dx=e x +C НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції Обчисліть значення виразу . Відповідь 31 . Скористатись геометричним змістом визначеного інтеграла. НМТ 2024. Обчисліть інтеграл . Відповідь 10 . Скористатись формулою скороченого множення. НМТ 2023. Якщо функція F(x)=x 3 +4 є однією з первісних функції f(x), то f(x)= А Б В Г Д 3x 2 +4 3x 2 3x 2x 2 Відповідь Б . Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x)=х -4 ? А Б В Г Д F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= F(x)= Відповідь Д . Функція F(x)=10x 5 -4 є первісною функції f(x). Укажіть функцію G(x), яка також є первісною функції f(x). А Б В Г Д G(x)= 10x 5 +7 G(x)= 2x 6 -4x G(x)=50x 6 G(x)=50x 4 G(x)= x 5 -4 Відповідь А . Якщо ...
8 коментарів
Read more »

Дійсні числа

Завдання 1. НМТ. Маса протона наближено дорівнює 1,67 ∙ 10 −27 кг. Визначте наближену масу (кг) 100 протонів. 167 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −25 1,67 ∙ 10 −29 1,67 ∙ 10 −2700 1,67 ∙ 10 25 Показати відповідь Б . 100 ∙ 1,67 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 100 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 ∙ 10 −27 = 1,67 ∙ 10 2 + (-27) = 1,67 ∙ 10 −25 (використали властивість множення степенів з однаковими основами). Завдання 2. НМТ. Узгодьте вираз (1–3) із твердженням (А − Д) щодо значення цього виразу. 1 \frac{\pi}{3} 2 sin(\frac{7\pi}{2}) 3 π cos 90° А є ірраціональним числом Б є натуральним числом В є цілим від’ємним числом Г є раціональним числом, що не є цілим Д дорівнює 0 Показати відповідь 1-А, 2-В, 3-Б . 1. Є ірраціональним числом. 2. sin(\frac{7\pi}{2}) = sin(\frac{7\pi}{2} - 2\pi) = sin(\frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{2}) = sin(\frac{3\pi}{2}) = - 1 (використали властивість періодичності функції sinx). -1 є цілим від’ємним числом. 3. π cos 90° = π 0 = 1. 1 є натуральни...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) так, щоб утворилося правильне твердження. Початок речення Закінчення речення 1 Найбільше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 9] дорівнює 2 Найменше значення функції y = f(x) на відрізку [1; 3] дорівнює 3 Найбільше ціле значення x, за якого справджується нерівність f(x)<0, дорівнює А −1. Б 9. В 6. Г 7. Д 5. Показати відпові...
13 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 НМТ 2024. Заступник директора школи складає розклад уроків для 10-го класу. Він запланував на понеділок шість уроків з таких предметів: геометрія, біологія, англійська мова, хімія, фізична культура, географія. Скільки всього існує різних варіантів розкладу уроків на ц...
15 коментарів
Read more »

Тригонометричні вирази

Функція 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o 180 o 270 o sin 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tg 0 1 не існує 0 не існує сtg не існує 1 0 не існує 0 Знаходження значень невідомих тригонометричних функцій за відомими: sin 2 α+cos 2 α = 1 tgαctgα = 1 1+tg 2 α = 1+ctg 2 α = tgα = ctgα = Тригонометричні функції суми кутів: sin(α+β) = sinα⋅cosβ+cosα⋅sinβ sin(α-β) = sinα⋅cosβ-cosα⋅sinβ cos(α+β) = cosα⋅cosβ-sinα⋅sinβ cos(α-β) = cosα⋅cosβ+sinα⋅sinβ tg(α+β) = tg(α-β) = Формули зведення: 1. Визначити знак функції для даного кута. Функція (0,90 o ) (90 o ,180 o ) (180 o ,270 o ) (270 o ,360 o ) sin + + - - cos + - - + tg,ctg + - + - 2. Якщо перехід здійснено через π, 2π функцію ...
Дописати коментар
Read more »