Об'єм піраміди — одна з найпопулярніших тем у блоці стереометрії на НМТ. Головний секрет успіху тут криється не лише у формулі "одна третя площі основи на висоту", а й у вмінні працювати з планіметрією в основі: квадратами, ромбами та трапеціями. На цій сторінці ми розберемо реальні задачі з тестів минулих років, навчимося знаходити висоту піраміди через апофему та побачимо, як об'єм піраміди пов'язаний з об'ємом призми.
Тренуйтеся на прикладах — і ви навчитеся бачити розв'язок навіть у найскладніших просторових конструкціях! Якщо ви шукаєте розв'язок конкретної вправи — просто гортайте вниз до розділу «Приклади», де ми крок за кроком розбираємо кожну умову.
Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту V = 13Sосн · H
Завдання 1. Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють 20 см і 12 см. Обчисліть об’єм (см³) піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.
1800
1200
2400
800
600
Показати відповідь
Д. За формулою площі ромба через діагоналі Sосн = 12 · d₁ · d₂ = 12 · 20 · 12 = 10 · 12 = 120 см². Тоді за формулою об'єму піраміди V = 13Sосн · H = 13 · 120 · 15 = 40 · 15 = 600 см³.
Завдання 2. Укажіть формулу для обчислення об'єму V правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють a.
V = a³
V = 4a²3
V = 4a²
V = a³3
V = a³4
Показати відповідь
Г. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді Sосн = a². За формулою об'єму піраміди 13Sосн · H = 13 · a² · a = a³3.
Завдання 3. Об’єм прямої трикутної призми ABCA₁B₁C₁ дорівнює 48 см³. Точка M — середина ребра CC₁ (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди MABC.
6 см³
8 см³
12 см³
16 см³
24 см³
Показати відповідь
Б. Так як точка M - середина висоти призми, то CC₁ = 2CM. Об'єм призми знаходимо за формулою V = Sоснh. Тоді SABC · CC₁ = SABC · 2 · CM = 48 см³, звідки SABC · CM = 24 см³. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V = 13Sосн · H. Тоді V = 13S∆ABC · CM = 13 · 24 = 8 см³.
Завдання 4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а об’єм - 64 см³. Знайдіть висоту піраміди.
43 см
4 см
8 см
12 см
16 см
Показати відповідь
Г. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди S = 4² = 16 см². Об'єм піраміди знаходимо за формулою 13Sосн · H. Маємо 64 = 13 · 16 · h. Звідси h = 64 : 16 · 3 = 12 см.
Завдання 5. Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 36 см². Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.
108 см³
144 см³
216 см³
288 см³
432 см³
Показати відповідь
Б. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата x. Тоді площа основи S = x² = 36, звідки x = 6 см. Тоді висота піраміди 2 · 6 = 12 см. За формулою об'єма піраміди маємо V = 13 · 36 · 12 = 12 · 12 = 144 см³.
Завдання 6. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 15 см, а сторона основи - 9√2 см. Визначте об’єм цієї піраміди (у см³).
Показати відповідь
648.
Так як піраміда правильна, то в основі її лежить квадрат. Діагональ BD квадрата дорівнює AD · √2 = 9√2 · √2 = 9 · 2 = 18 см. Так як точка O перетину діагоналей ділить їх навпіл, то OD = BD : 2 = 18 : 2 = 9 см. З прямокутного трикутника SOD: SO² = SD² - OD² = 15² - 9² = 225 - 81 = 144 см². Отже SO = 12 см. Sосн = AD² = (9√2)² = 81 · 2 = 162 см². V = 13 · 162 · 12 = 162 · 4 = 648 см³.
Завдання 7. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, апофема - 13 см. Обчисліть об’єм (у см³) цієї піраміди.
Показати відповідь
400.
З прямокутного трикутника SKO за теоремою Піфагора OK² = SK² - SO² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25, звідки OK = 5 см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2 · OK = 2 · 5 = 10 см. Площа основи Sосн = a² = 10² = 100 см². V = 13 · Sосн · H = 13 · 100 · 12 = 100 · 4 = 400 см³.
Завдання 8. Основою піраміди SABCD є трапеція ABCD (AD∥BC), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро SB перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції ABCD. Знайдіть відстань від середини ребра SD до площини SBC (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 210 см³.
Показати відповідь
6,3
Так як бічне ребро вдвічі більше за середню лінію трапеції, то SB = 2 · 5 = 10 см. Нехай висота трапеції дорівнює x. Тоді площа трапеції S = 5x. Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту, тому V = 13 S · SB. Підставимо значення: 210 = 13 · 5x · 10. Звідси x = 210 : 5 : 10 · 3 = 12,6 см. Проведемо DM⊥BC. Оскільки SB⊥(ABCD), а DM лежить у площині основи, то DM⊥SB. Отже, DM перпендикулярна до двох прямих BC і SB, що перетинаються та лежать у площині SBC. Тому DM⊥(SBC). Нехай точка K - середина ребра SD. Проведемо в трикутнику SMD середню лінію KP. Оскільки KP∥DM, то KP⊥SBC. Таким чином KP - шукана відстань, що дорівнює половині DM: 12,6 : 2 = 6,3 см.
Коментарі