Об'єм піраміди

Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту
V=S_осн⋅H
1. Об’єм прямої трикутної призми АВСА₁В₁С₁ дорівнює 48 см³. Точка М — середина ребра СС₁ (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди МАВС.

   

   А	Б	В	Г	Д
   6 см3	8 см3	12 см3	16 см3	24 см3

   Відповідь

   Б.
   Так як точка М - середина висоти призми, то СС₁=2СМ. Об'єм призми знаходимо за формулою V=S_оснh. Тоді S_АВС⋅СС₁=S_АВС⋅2⋅СМ=48, звідки S_АВС⋅СМ=24. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V=S_оснh:3. Тоді V=S_АВС⋅СМ:3=24:3=8 см³.
2. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а об’єм — 64 см³. Знайдіть висоту піраміди.

   А	Б	В	Г	Д
   см	4 см	8 см	12 см	16 см

   Відповідь

   Г.
   Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи S=4²=16. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V=S_оснh:3. Маємо 64=16⋅h:3. Звідси h=64:16⋅3=12 см.
3. 2019. Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 36 см². Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.

   А	Б	В	Г	Д
   108 см3	144 см3	216 см3	288 см3	432 см3

   Відповідь

   Б.
   Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата х. Тоді площа основи S=х²=36, звідки х =6 см. Тоді висота піраміди 2⋅6=12 см. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V=S_оснh:3. Маємо V=36⋅12:3=36⋅4=144 см³.
4. 2020. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 15 см, а сторона основи - см. Визначте об’єм цієї піраміди (у см³).
   Відповідь

   648.

   

   Так як піраміда правильна, то в основі її лежить квадрат. Діагональ BD квадрата дорівнює AD⋅==9⋅2=18 см. Так як точка О перетину діагоналей ділить їх навпіл, то OD=BD:2=18:2=9 см. З прямокутного трикутника SOD SO²=SD²-OD²=15²-9²=225-81=144 см². Отже SO=12 см. S_осн=AD²=()²=81⋅2=162 см². V=S_осн⋅SO:3=162⋅12:3=162⋅4=648 см³.
5. Основою піраміди SABCD є трапеція ABCD (AD||BC), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро SB перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції ABCD. Знайдіть відстань від середини ребра SD до площини SBC (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 210 см³.
   Відповідь

   6,3.

   

   Так як бічне ребро вдвічі більше за середню лінію трапеції, то SB=2⋅5=10 см. Нехай висота трапеції дорівнює х. Тоді площа трапеції S=5х (середню лінію трапеції можна знайти як добуток середньої лінії трапеції на висоту). Об'єм призми дорівнює третині добутку площі основи на висоту, тому V=S⋅SB:3. Підставимо відомі значення і отримаємо 210=5х⋅10:3. Звідси х=210:5:10⋅3=12,6 см. Проведемо перпендикуляр DM до прямої ВС. Так як SB - перпендикуляр до площини основи, то за ознакою перпендикулярності прямої та площини відрізок DM перпендикулярний до площини SBC. Нехай точка К - середина відрізка SD. Проведемо в трикутнику SMD середню лінію трикутника КР. Так як середня лінія КР паралельна основі трикутника DM, а DM перпендикулярний до площини SBC, то відрізок KP також перпендикулярний до цієї площини. Так як точка Р належить відрізку SM, а точки S і M належать площині SBС, то точка Р лежить в цій площині. Таким чином KP - шукана відстань до площини і дорівнює половині DM, тобто 12,6:2=6,3 см.
6. 2020. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, апофема — 13 см. Обчисліть об’єм (у см³) цієї піраміди.
   Відповідь

   400.

   

   З прямокутного трикутника SKO за теоремою Піфагора ОК²=SK²-SO²=13²-12²=169-144=25, звідки ОК=5 см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2⋅OK=2⋅5=10 см. Площа основи (площа квадрата) S_осн=a²=10²=100. V=S_оснH:3=100⋅12:3=100⋅4=400 см³.

⇐VІ.5. Об'єм призми (паралелепіпеда, куба)

До змісту

⇒VІ.7. Об'єми тіл обертання