Перейти до основного вмісту

Об'єм піраміди

Об'єм піраміди — одна з найпопулярніших тем у блоці стереометрії на НМТ. Головний секрет успіху тут криється не лише у формулі "одна третя площі основи на висоту", а й у вмінні працювати з планіметрією в основі: квадратами, ромбами та трапеціями. На цій сторінці ми розберемо реальні задачі з тестів минулих років, навчимося знаходити висоту піраміди через апофему та побачимо, як об'єм піраміди пов'язаний з об'ємом призми.

Тренуйтеся на прикладах — і ви навчитеся бачити розв'язок навіть у найскладніших просторових конструкціях! Якщо ви шукаєте розв'язок конкретної вправи — просто гортайте вниз до розділу «Приклади», де ми крок за кроком розбираємо кожну умову.

    Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту
    V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H
  1. НМТ 2024. Основою піраміди є ромб, діагоналі якого дорівнюють 20 см і 12 см. Обчисліть об’єм (см3) піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.
    АБВГД
    1800 1200 2400 800 600
    Показати відповідь
    Д. За формулою площі ромба через діагоналі S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 12 = 10 \cdot 12 = 120\,см^2. Тоді за формулою об'єму піраміди V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 120 \cdot 15 = 40 \cdot 15 = 600\,см^3.
  2. НМТ 2023. Укажіть формулу для обчислення об'єму V правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють a.
    АБВГД
    V = a3 V = \frac{4a^2}{3} V = 4a2 V = \frac{a^3}{3} V = \frac{a^3}{4}
    Показати відповідь
    Г. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді Sосн = a2. За формулою об'єму піраміди V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}.
  3. Об’єм прямої трикутної призми ABCA11B1C1 дорівнює 48 см3. Точка M — середина ребра CC1 (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди MABC.

    АБВГД
    6 см3 8 см3 12 см3 16 см3 24 см3
    Показати відповідь
    Б. Так як точка M - середина висоти призми, то CC1 = 2CM. Об'єм призми знаходимо за формулою V = Sоснh. Тоді SABC ⋅ CC1 = SABC ⋅ 2 ⋅ CM = 48 см2, звідки SABC ⋅ CM = 24 см2. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V = \frac{1}{3} S_{осн}h. Тоді V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot CM = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8\,см^3.
  4. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а об’єм - 64 см3. Знайдіть висоту піраміди.
    АБВГД
    \frac{4}{3} см 4 см 8 см 12 см 16 см
    Показати відповідь
    Г. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди S = 42 = 16 см2. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V = \frac{1}{3} S_{осн}h. Маємо 64 = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot h. Звідси h = 64 : 16 ⋅ 3 = 12 см.
  5. Площа основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 36 см2. Визначте об’єм цієї піраміди, якщо її висота вдвічі більша за сторону основи.
    АБВГД
    108 см3 144 см3 216 см3 288 см3 432 см3
    Показати відповідь
    Б. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата x. Тоді площа основи S = x2 = 36, звідки x = 6  см. Тоді висота піраміди 2 ⋅ 6 = 12  см. Об'єм піраміди знаходимо за формулою V = \frac{1}{3} S_{осн}h. Маємо V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 12 = 12 \cdot 12 = 144\,см^3.
  6. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 15 см, а сторона основи - 9\sqrt{2} см. Визначте об’єм цієї піраміди (у см3).
    Показати відповідь
    648.

    Так як піраміда правильна, то в основі її лежить квадрат. Діагональ BD квадрата дорівнює AD \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2}\sqrt{2} = 9 \cdot 2 = 18 см. Так як точка O перетину діагоналей ділить їх навпіл, то OD = BD : 2 = 18 : 2 = 9  см. З прямокутного трикутника SOD: SO2 = SD2 - OD2 = 152 - 92 = 225 - 81 = 144 см2. Отже SO = 12  см. S_{осн} = AD^2 = (9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162\,см^2. V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 162 \cdot 12 = 162 \cdot 4 = 648\,см^3.

  7. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см, апофема - 13 см. Обчисліть об’єм (у см3) цієї піраміди.
    Показати відповідь
    400.

    правильна чотирикутна піраміда, Regular square pyramid З прямокутного трикутника SKO за теоремою Піфагора OK2 = SK2 - SO2 = 132 - 122 = 169 - 144 = 25, звідки OK = 5  см. Оскільки піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді сторона квадрата дорівнює 2 ⋅ OK = 2 ⋅ 5 = 10  см. Площа основи Sосн = a2 = 102 = 100 см2. V = \frac{1}{3} S_{осн} H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 100 \cdot 4 = 400\,см^3.

  8. Основою піраміди SABCD є трапеція ABCD (AD ∥ BC), довжина середньої лінії якої дорівнює 5 см. Бічне ребро SB перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції ABCD. Знайдіть відстань від середини ребра SD до площини SBC (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює 210 см3.

    6,3

    Розв'язування. Так як бічне ребро вдвічі більше за середню лінію трапеції, то SB = 2 ⋅ 5 = 10  см. Нехай висота трапеції дорівнює x. Тоді площа трапеції S = 5x. Об'єм піраміди дорівнює третині добутку площі основи на висоту, тому V = \frac{1}{3} S \cdot SB. Підставимо значення: 210 = \frac{1}{3} \cdot 5x \cdot 10. Звідси x = 210 : 5 : 10 ⋅ 3 = 12,6  см. Проведемо перпендикуляр DM до прямої BC. Так як SB ⊥ ABCD, то DM ⊥ SBC. Нехай точка K - середина ребра SD. Проведемо в трикутнику SMD середню лінію KP. Оскільки KP ∥ DM, то KP ⊥ SBC. Таким чином KP - шукана відстань, що дорівнює половині DM: 12,6 : 2 = 6,3  см.

ABCDSOK
⇐ VІ.5.
Об'єм призми		 До змісту ⇒ VІ.7.
Об'єми тіл обертання

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар