Об'єм призми та її видів — це фундаментальна тема стереометрії, яка поєднує знання планіметрії (площі фігур) та просторового мислення. Уміння обчислювати місткість прямокутних паралелепіпедів та складних призм є базовим не лише для успішного складання НМТ, а й для розв'язання реальних інженерних та будівельних задач.
На цій сторінці ви знайдете детальний розбір демонстраційного варіанту НМТ, завдання з реальними розгортками та прикладні задачі на розрахунок об'єму матеріалів (бетону, цегли). Ми розглянемо, як знаходити висоту призми через площі перерізів та як правильно використовувати властивості ромба й трапеції в основі тіла.
- Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту V = Sосн · H
- Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів (довжини, ширини та висоти) V = abc
- Об'єм куба дорівнює кубу довжини його ребра V = a³
Показати відповідь
3600.
Розглянемо більший діагональний переріз AA₁C₁C. В ньому AA₁ = 8√3 за умовою. Площа цього перерізу S = AA₁ · AC, що дорівнює 240√3 за умовою. Тоді АС = 240√3 : (8√3) = 30. Так як ∠A = 60° за умовою, а сума двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то ∠B = 180° - ∠A = 180 ° - 60° = 120°. Розглянемо трикутник АВС. Нехай АВ = ВС = х. Запишемо теорему косинусів для сторони АС.
AC² = AB² + BC² - 2 · AB · BC · cos∠B
30² = x² + x² - 2 · x · x · cos120°
900 = 2x² - 2x² · cos(180° - 60°)
900 = 2x² + 2x² · cos60°
900 = 2x² + 2x² · 0,5
900 = 2x² + x²
3x² = 900
x² = 900 : 3
x² = 300
Тоді площа ромба (основи призми) Sосн = AB² · sin ∠A = 300 · sin60° = 300\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}. V = Sосн · H = 150\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 150 · 8 · 3 = 3600.
Завдання 2. Основою прямої призми є ромб зі стороною 20. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 58. Визначте об'єм призми, якщо її висота дорівнює 5.
AC² = AB² + BC² - 2 · AB · BC · cos∠B
30² = x² + x² - 2 · x · x · cos120°
900 = 2x² - 2x² · cos(180° - 60°)
900 = 2x² + 2x² · cos60°
900 = 2x² + 2x² · 0,5
900 = 2x² + x²
3x² = 900
x² = 900 : 3
x² = 300
Тоді площа ромба (основи призми) Sосн = AB² · sin ∠A = 300 · sin60° = 300\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}. V = Sосн · H = 150\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 150 · 8 · 3 = 3600.
Показати відповідь
1920.
Так як призма пряма, то діагональний переріз AA₁C₁C є прямокутником з P = 2(AA₁ + AC), що дорівнює за умовою 58. Так як АА₁ = 5, то
2(5 + AC) = 58
2 ∙ 5 + 2АС = 58
10 + 2АС = 58
2АС = 58 - 10
2АС = 48
АС = 48 : 2
АС = 24
Так як ромб є паралелограмом, а для паралелограма є співвідношення між сторонами і діагоналями d₁² + d₂² = 2(a² + b²), то
AC² + BD² = 2(AB² + AD²)
24² + BD² = 2(20² + 20²)
576 + BD² = 2(400 + 400)
BD² = 2 ∙ 800 - 576
BD² = 1024
BD = 32
Sосн = ½ ∙ AC ∙ BD = ½ ∙ 24 ∙ 32 = 12 ∙ 32 = 384
V = Sосн ∙ AA₁ = 384 ∙ 5 = 1920.
2(5 + AC) = 58
2 ∙ 5 + 2АС = 58
10 + 2АС = 58
2АС = 58 - 10
2АС = 48
АС = 48 : 2
АС = 24
Так як ромб є паралелограмом, а для паралелограма є співвідношення між сторонами і діагоналями d₁² + d₂² = 2(a² + b²), то
AC² + BD² = 2(AB² + AD²)
24² + BD² = 2(20² + 20²)
576 + BD² = 2(400 + 400)
BD² = 2 ∙ 800 - 576
BD² = 1024
BD = 32
Sосн = ½ ∙ AC ∙ BD = ½ ∙ 24 ∙ 32 = 12 ∙ 32 = 384
V = Sосн ∙ AA₁ = 384 ∙ 5 = 1920.
Завдання 3. Визначте об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює 12.
16\sqrt{3}
64
48
64\sqrt{3}
576
Показати відповідь
А.
Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Його сторона 12:3 = 4. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 4. Площа основи призми S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}. Об'єм призми V = Sоснh = 4\sqrt{3}\cdot4 = 16\sqrt{3}.
Завдання 4. Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює 9\sqrt{3}см².
Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Його сторона 12:3 = 4. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 4. Площа основи призми S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}. Об'єм призми V = Sоснh = 4\sqrt{3}\cdot4 = 16\sqrt{3}.
54\sqrt{3}см³
27\sqrt{3}см³
27 см³
\frac{27}{2}\sqrt{3} см³
162\sqrt{3}см³
Показати відповідь
А.
Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною а дорівнює \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Тоді маємо \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}. Звідси a² = 9 · 4 = 36. Тоді сторона основи 6. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 6. Об'єм призми V = Sоснh = 9\sqrt{3} · 6 = 54\sqrt{3}.
Завдання 5. На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють 40 см, 40 см і 50 см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить 5 см, а товщина днища — 10 см. Який об’єм бетону (у м³) було використано для виготовлення 10 таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.
Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною а дорівнює \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Тоді маємо \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}. Звідси a² = 9 · 4 = 36. Тоді сторона основи 6. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 6. Об'єм призми V = Sоснh = 9\sqrt{3} · 6 = 54\sqrt{3}.
0,32 м³
0,33 м³
0,36 м³
0,44 м³
0,8 м³
Показати відповідь
Г.
Спочатку обчислимо об'єм зовнішнього паралелепіпеда. Так як він є прямокутним, то його об'єм дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V₁ = 40 · 40 · 50 = 80000 см³. Знайдемо об'єм внутрішнього (полого) паралелепіпеда. Внутрішній (полий) прямокутний паралелепіпед має виміри 40-5-5 = 30 см, 50-5-5 = 40 см, 40-10 = 30 см. Тоді його об'єм V₂ = 30 · 40 · 30 = 36000 см³. Об'єм використаного бетону дорівнює різниці об'ємів зовнішнього і внутрішнього паралелепіпедів, тобто V₁-V₂ = 80000-36000 = 44000 см³. Тоді на 10 таких ємностей піде 44000 · 10 = 440000 см³. Оскільки в 1 м 100 см, то в 1 м³ 100³ = 1000000 см³. Тоді для переведення см³ в м³ поділимо отримане число на 1000000. Маємо 440000:1000000 = 0,44 м³.
Завдання 6. На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть об’єм цього паралелепіпеда.
Спочатку обчислимо об'єм зовнішнього паралелепіпеда. Так як він є прямокутним, то його об'єм дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V₁ = 40 · 40 · 50 = 80000 см³. Знайдемо об'єм внутрішнього (полого) паралелепіпеда. Внутрішній (полий) прямокутний паралелепіпед має виміри 40-5-5 = 30 см, 50-5-5 = 40 см, 40-10 = 30 см. Тоді його об'єм V₂ = 30 · 40 · 30 = 36000 см³. Об'єм використаного бетону дорівнює різниці об'ємів зовнішнього і внутрішнього паралелепіпедів, тобто V₁-V₂ = 80000-36000 = 44000 см³. Тоді на 10 таких ємностей піде 44000 · 10 = 440000 см³. Оскільки в 1 м 100 см, то в 1 м³ 100³ = 1000000 см³. Тоді для переведення см³ в м³ поділимо отримане число на 1000000. Маємо 440000:1000000 = 0,44 м³.
96 см³
108 см³
128 см³
136 см³
144 см³
Показати відповідь
А.
За малюнком маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 4 см та 12-4 = 8 см (сторона 12 складається з висоти паралелепіпеда та частини, що прилягає до сторони 4 см). Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V = 3 · 4 · 8 = 96 см³.
Завдання 7. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких - 3 см і 6 см. Визначте об’єм цього тіла.
За малюнком маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 4 см та 12-4 = 8 см (сторона 12 складається з висоти паралелепіпеда та частини, що прилягає до сторони 4 см). Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V = 3 · 4 · 8 = 96 см³.
108 см³
54 см³
144 см³
36 см³
Інша відповідь
Показати відповідь
А.
Дана розгортка є розгорткою прямокутного паралелепіпеда. За малюнком та даними числами маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 6 см та 6 см. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V = 3 · 6 · 6 = 108 см³.
Завдання 8. Основою прямої трикутної призми АВСА₁В₁С₁ є рівнобедрений трикутник АВС, де АВ = ВС = 25 см, АС = 30 см. Через бічне ребро АА₁ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми (у см³), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см².
Дана розгортка є розгорткою прямокутного паралелепіпеда. За малюнком та даними числами маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 6 см та 6 см. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V = 3 · 6 · 6 = 108 см³.
Показати відповідь
900.
Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона. р = (АВ + ВС + АС):2 = (25 + 25 + 30):2 = 40 см. S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)} = \sqrt{40(40-25)(40-25)(40-30)} = \sqrt{40\cdot15\cdot15\cdot10} = \sqrt{400\cdot15^2} = 20 · 15 = 300. Так як площина перерізу перпендикулярна до ВС, то відрізок АМ є висотою трикутника АВС. З формули площі трикутника S = 0,5ah, маємо h = 2S:a. Тоді АМ = 2 · 300:25 = 24 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку його сторін. Маємо S = AM · AA₁. Підставимо відомі значення і отримаємо 72 = 24 · AA₁, звідки AA₁ = 72:24 = 3 см. Об'єм призми знаходимо за формулою V = Sоснh. Маємо S = 300 · 3 = 900 см³.
Завдання 9. Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 25 см, 12 см, 6,5 см. Знайдіть масу m цеглини (у г). (Для знаходження маси цеглини скористайтеся формулою m = ρV, де V – об’єм, ρ = 1,8 г/см³ — густина цегли).
Показати відповідь
3510.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V = 25 · 12 · 6,5 = 1950 см³. Тоді m = 1,8 · 1950 = 3510 г.
Завдання 10. Основою прямої призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є рівнобічна трапеція ABCD. Основа АD трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу ВС. Через бічне ребро СС₁ призми проведено площину паралельно ребру АВ. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см²), якщо об’єм призми дорівнює 672 см³, а її висота - 8 см.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V = 25 · 12 · 6,5 = 1950 см³. Тоді m = 1,8 · 1950 = 3510 г.
Показати відповідь
104.
Нехай ВС = х. Тоді АD = BK = 6х (ВК - висота трапеції). Знайдемо площу трапеції. S = (BC + AD) · BK:2 = (x + 6x) · 6x:2 = 7x · 3x = 21x². Об'єм прямої призми дорівнює добутку площі основи на висоту призми (її ребро). Маємо V = Sh. Підставимо відомі значення і отримаємо 672 = 21x² · 8. Звідси x² = 672:21:8 = 4 і х = 2 см. Тоді ВС = 2 см, AD = BK = 12 см. Проведемо висоту СМ трапеції. Так як трапеція рівнобічна, то АК = МD. ВСМК - прямокутник, тому КМ = ВС = 2 см. Тоді АК + MD = AD-KM = 12-2 = 10 см і АК = 10:2 = 5 см. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора AB² = AK² + BK² = 25 + 144 = 169. Звідси АВ = 13 см. Так як площина перерізу паралельна АВ, то СР = АВ = 13 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку сторін. Маємо S = CP · CC₁ = 13 · 8 = 104 см².
Коментарі