Об'єм призми (паралелепіпеда, куба)

• Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту V=S_осн⋅H
• Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів (довжини, ширини та висоти) V=abc
• Об'єм куба дорівнює кубу довжини його ребра V=a³
1. Визначте об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює 12.

   А	Б	В	Г	Д
   16	64	48	64	576

   Відповідь

   А.
   Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Його сторона 12:3=4. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 4. Площа основи призми S==. Об'єм призми V=S_оснh=.
2. Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює см².

   А	Б	В	Г	Д
   54см3	27см3	27 см3	см3	162см3

   Відповідь

   А.
   Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною а дорівнює . Тоді маємо . Звідси a²=9⋅4=36. Тоді сторона основи 6. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 6. Об'єм призми V=S_оснh=9⋅6=54.
3. На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють 40 см, 40 см і 50 см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить 5 см, а товщина днища — 10 см. Який об’єм бетону (у м³) було використано для виготовлення 10 таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.

   

   А	Б	В	Г	Д
   0,32 м3	0,33 м3	0,36 м3	0,44 м3	0,8 м3

   Відповідь

   Г.
   Спочатку обчислимо об'єм зовнішнього паралелепіпеда. Так як він є прямокутним, то його об'єм дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V₁=40⋅40⋅50=80000 см³. Знайдемо об'єм внутрішнього (полого) паралелепіпеда. Внутрішній (полий) прямокутний паралелепіпед має виміри 40-5-5=30 см, 50-5-5=40 см, 40-10=30 см. Тоді його об'єм V₂=30⋅40⋅30=36000 см³. Об'єм використаного бетону дорівнює різниці об'ємів зовнішнього і внутрішнього паралелепіпедів, тобто V₁-V₂=80000-36000=44000 см³. Тоді на 10 таких ємностей піде 44000⋅10=440000 см³. Оскільки в 1 м 100 см, то в 1 м³ 100³=1000000 см³. Тоді для переведення см³ в м³ поділимо отримане число на 1000000. Маємо 440000:1000000=0,44 м³.
4. На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть об’єм цього паралелепіпеда.

   

   А	Б	В	Г	Д
   96 см3	108 см3	128 см3	136 см3	144 см3

   Відповідь

   А.
   За малюнком маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 4 см та 12-4=8 см (сторона 12 складається з висоти паралелепіпеда та частини, що прилягає до сторони 4 см). Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=3⋅4⋅8=96 см³.
5. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких - 3 см і 6 см. Визначте об’єм цього тіла.

   

   А	Б	В	Г	Д
   108 см3	54 см3	144 см3	36 см3	Інша відповідь

   Відповідь

   А.
   Дана розгортка є розгорткою прямокутного паралелепіпеда. За малюнком та даними числами маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 6 см та 6 см. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=3⋅6⋅6=108 см³.
6. Основою прямої трикутної призми АВСА₁В₁С₁ є рівнобедрений трикутник АВС, де АВ=ВС=25 см, АС=30 см. Через бічне ребро АА₁ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми (у см³), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см².
   Відповідь

   900.

   

   Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона. р=(АВ+ВС+АС):2=(25+25+30):2=40 см. S= ====20⋅15=300. Так як площина перерізу перпендикулярна до ВС, то відрізок АМ є висотою трикутника АВС. З формули площі трикутника S=0,5ah, маємо h=2S:a. Тоді АМ=2⋅300:25=24 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку його сторін. Маємо S=AM⋅AA₁. Підставимо відомі значення і отримаємо 72=24⋅AA₁, звідки AA₁=72:24=3 см. Об'єм призми знаходимо за формулою V=S_оснh. Маємо S=300⋅3=900 см³.
7. Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 25 см, 12 см, 6,5 см. Знайдіть масу m цеглини (у г). (Для знаходження маси цеглини скористайтеся формулою m=ρV, де V – об’єм, ρ=1,8 г/см³ — густина цегли).
   Відповідь

   3510.
   Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=25⋅12⋅6,5=1950 см³. Тоді m=1,8⋅1950=3510 г.
8. Основою прямої призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є рівнобічна трапеція ABCD. Основа АD трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу ВС. Через бічне ребро СС₁ призми проведено площину паралельно ребру АВ. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см²), якщо об’єм призми дорівнює 672 см³, а її висота - 8 см.
   Відповідь

   104.

   

   Нехай ВС=х. Тоді АD=BK=6х (ВК - висота трапеції). Знайдемо площу трапеції. S=(BC+AD)⋅BK:2=(x+6x)⋅6x:2=7x⋅3x=21x². Об'єм прямої призми дорівнює добутку площі основи на висоту призми (її ребро). Маємо V=Sh. Підставимо відомі значення і отримаємо 672=21x²⋅8. Звідси x²=672:21:8=4 і х=2 см. Тоді ВС=2 см, AD=BK=12 см. Проведемо висоту СМ трапеції. Так як трапеція рівнобічна, то АК=МD. ВСМК - прямокутник, тому КМ=ВС=2 см. Тоді АК+MD=AD-KM=12-2=10 см і АК=10:2=5 см. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора AB²=AK²+BK²=25+144=169. Звідси АВ=13 см. Так як площина перерізу паралельна АВ, то СР=АВ=13 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку сторін. Маємо S=CP⋅CC₁=13⋅8=104 см².

⇐VІ.4. Тіла обертання

До змісту

⇒VІ.6. Об'єм піраміди