Об'єм призми (паралелепіпеда, куба)

Об'єм призми та її видів — це фундаментальна тема стереометрії, яка поєднує знання планіметрії (площі фігур) та просторового мислення. Уміння обчислювати місткість прямокутних паралелепіпедів та складних призм є базовим не лише для успішного складання НМТ, а й для розв'язання реальних інженерних та будівельних задач.

На цій сторінці ви знайдете детальний розбір демонстраційного варіанту НМТ, завдання з реальними розгортками та прикладні задачі на розрахунок об'єму матеріалів (бетону, цегли). Ми розглянемо, як знаходити висоту призми через площі перерізів та як правильно використовувати властивості ромба й трапеції в основі тіла.

---

• Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту V=S_осн⋅H
• Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів (довжини, ширини та висоти) V=abc
• Об'єм куба дорівнює кубу довжини його ребра V=a³

Завдання. НМТ 2026 (демо). Основою прямої призми є ромб із гострим кутом 60°. Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює 240√3. Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює 8√3.

Показати відповідь

3600.

Розглянемо більший діагональний переріз AA₁C₁C. В ньому AA₁ = 8√3 за умовою. Площа цього перерізу S = AA₁ ⋅ AC, що дорівнює 240√3 за умовою. Тоді АС = 240√3 : (8√3) = 30. Так як ∠A = 60° за умовою, а сума двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то ∠B = 180° - ∠A = 180 ° - 60° = 120°. Розглянемо трикутник АВС. Нехай АВ = ВС = х. Запишемо теорему косинусів для сторони АС.
AC² = AB² + BC² - 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos∠B
30² = x² + x² - 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ cos120°
900 = 2x² - 2x² ⋅ cos(180° - 60°)
900 = 2x² + 2x² ⋅ cos60°
900 = 2x² + 2x² ⋅ 0,5
900 = 2x² + x²
3x² = 900
x² = 900 : 3
x² = 300
Тоді площа ромба (основи призми) S_осн = AB² ⋅ sin ∠A = 300 ⋅ sin60° = 300\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}. V = S_осн ⋅ H = 150\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 150 ⋅ 8 ⋅ 3 = 3600.

1. НМТ 2023. Основою прямої призми є ромб зі стороною 20. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 58. Визначте об'єм призми, якщо її висота дорівнює 5.
   Показати відповідь

   1920.
   Так як призма пряма, то діагональний переріз AA₁C₁C є прямокутником з P=2(AA₁+AC), що дорівнює за умовою 58. Так як АА₁=5, то
   2(5 + AC) = 58
   2 ∙ 5 + 2АС = 58
   10 + 2АС = 58
   2АС = 58 - 10
   2АС = 48
   АС = 48 : 2
   АС = 24
   Так як ромб є паралелограмом, а для паралелограма є співвідношення між сторонами і діагоналями d₁²+d₂² =2(a²+b²), то
   AC²+BD²=2(AB²+AD²)
   24²+BD²=2(20²+20²)
   576+BD²=2(400+400)
   BD²=2 ∙ 800 - 576
   BD²=1024
   BD=32
   Sосн=½ ∙ AC ∙ BD = ½ ∙ 24 ∙ 32 = 12 ∙ 32 = 384
   V = S_осн ∙ AA₁ = 384 ∙ 5 = 1920

---

2. Визначте об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює 12.

   А	Б	В	Г	Д
   16\sqrt{3}	64	48	64\sqrt{3}	576

   Показати відповідь

   А.
   Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Його сторона 12:3=4. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 4. Площа основи призми S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}. Об'єм призми V=S_оснh=4\sqrt{3}\cdot4=16\sqrt{3}.
3. Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює 9\sqrt{3}см².

   А	Б	В	Г	Д
   54\sqrt{3}см3	27\sqrt{3}см3	27 см3	\frac{27}{2}\sqrt{3}см3	162\sqrt{3}см3

   Показати відповідь

   А.
   Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною а дорівнює \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Тоді маємо \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}. Звідси a²=9⋅4=36. Тоді сторона основи 6. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 6. Об'єм призми V=S_оснh=9\sqrt{3}⋅6=54\sqrt{3}.
4. На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють 40 см, 40 см і 50 см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить 5 см, а товщина днища — 10 см. Який об’єм бетону (у м³) було використано для виготовлення 10 таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.

   

   А	Б	В	Г	Д
   0,32 м3	0,33 м3	0,36 м3	0,44 м3	0,8 м3

   Показати відповідь

   Г.
   Спочатку обчислимо об'єм зовнішнього паралелепіпеда. Так як він є прямокутним, то його об'єм дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V₁=40⋅40⋅50=80000 см³. Знайдемо об'єм внутрішнього (полого) паралелепіпеда. Внутрішній (полий) прямокутний паралелепіпед має виміри 40-5-5=30 см, 50-5-5=40 см, 40-10=30 см. Тоді його об'єм V₂=30⋅40⋅30=36000 см³. Об'єм використаного бетону дорівнює різниці об'ємів зовнішнього і внутрішнього паралелепіпедів, тобто V₁-V₂=80000-36000=44000 см³. Тоді на 10 таких ємностей піде 44000⋅10=440000 см³. Оскільки в 1 м 100 см, то в 1 м³ 100³=1000000 см³. Тоді для переведення см³ в м³ поділимо отримане число на 1000000. Маємо 440000:1000000=0,44 м³.
5. На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть об’єм цього паралелепіпеда.

   

   А	Б	В	Г	Д
   96 см3	108 см3	128 см3	136 см3	144 см3

   Показати відповідь

   А.
   За малюнком маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 4 см та 12-4=8 см (сторона 12 складається з висоти паралелепіпеда та частини, що прилягає до сторони 4 см). Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=3⋅4⋅8=96 см³.
6. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких - 3 см і 6 см. Визначте об’єм цього тіла.

   

   А	Б	В	Г	Д
   108 см3	54 см3	144 см3	36 см3	Інша відповідь

   Показати відповідь

   А.
   Дана розгортка є розгорткою прямокутного паралелепіпеда. За малюнком та даними числами маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 6 см та 6 см. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=3⋅6⋅6=108 см³.
7. Основою прямої трикутної призми АВСА₁В₁С₁ є рівнобедрений трикутник АВС, де АВ=ВС=25 см, АС=30 см. Через бічне ребро АА₁ призми проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми (у см³), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см².
   Показати відповідь

   900.

   

   Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона. р=(АВ+ВС+АС):2=(25+25+30):2=40 см. S= \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}=\sqrt{40(40-25)(40-25)(40-30)}=\sqrt{40\cdot15\cdot15\cdot10}=\sqrt{400\cdot15^2}=20⋅15=300. Так як площина перерізу перпендикулярна до ВС, то відрізок АМ є висотою трикутника АВС. З формули площі трикутника S=0,5ah, маємо h=2S:a. Тоді АМ=2⋅300:25=24 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку його сторін. Маємо S=AM⋅AA₁. Підставимо відомі значення і отримаємо 72=24⋅AA₁, звідки AA₁=72:24=3 см. Об'єм призми знаходимо за формулою V=S_оснh. Маємо S=300⋅3=900 см³.
8. Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 25 см, 12 см, 6,5 см. Знайдіть масу m цеглини (у г). (Для знаходження маси цеглини скористайтеся формулою m=ρV, де V – об’єм, ρ=1,8 г/см³ — густина цегли).
   Показати відповідь

   3510
   Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=25⋅12⋅6,5=1950 см³. Тоді m=1,8⋅1950=3510 г.
9. Основою прямої призми ABCDA₁B₁C₁D₁ є рівнобічна трапеція ABCD. Основа АD трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу ВС. Через бічне ребро СС₁ призми проведено площину паралельно ребру АВ. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см²), якщо об’єм призми дорівнює 672 см³, а її висота - 8 см.
   Показати відповідь

   104.

   

   Нехай ВС=х. Тоді АD=BK=6х (ВК - висота трапеції). Знайдемо площу трапеції. S=(BC+AD)⋅BK:2=(x+6x)⋅6x:2=7x⋅3x=21x². Об'єм прямої призми дорівнює добутку площі основи на висоту призми (її ребро). Маємо V=Sh. Підставимо відомі значення і отримаємо 672=21x²⋅8. Звідси x²=672:21:8=4 і х=2 см. Тоді ВС=2 см, AD=BK=12 см. Проведемо висоту СМ трапеції. Так як трапеція рівнобічна, то АК=МD. ВСМК - прямокутник, тому КМ=ВС=2 см. Тоді АК+MD=AD-KM=12-2=10 см і АК=10:2=5 см. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора AB²=AK²+BK²=25+144=169. Звідси АВ=13 см. Так як площина перерізу паралельна АВ, то СР=АВ=13 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку сторін. Маємо S=CP⋅CC₁=13⋅8=104 см².

⇐VІ.4. Тіла обертання

До змісту

⇒VІ.6. Об'єм піраміди