Об'єми тіл обертання

• Об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту V=S_осн⋅H. Так як основою циліндра є круг, площа якого S=πR², то маємо ще одну формулу V=πR²H
• Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту V=S_осн⋅H. Так як основою конуса є круг, площа якого S=πR², то маємо ще одну формулу V=πR²H
• Об'єм кулі обчислюється за формулою V=πR³
1. На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об’єм.

   

   А	Б	В	Г	Д
   9π см3	15π см3	30π см3	36π см3	45π см3

   Відповідь

   Д.
Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 30 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "6.7. Об'єми тіл обертання". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.

Зразок

2. Об’єм циліндра дорівнює 72π см³. Знайдіть висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 3 см.

   А	Б	В	Г	Д
   24 см	12 см	9 см	8 см	6 см

   Відповідь

   Г.
   Підставити значення об'єму у формулу.
3. Укажіть формулу для обчислення висоти H циліндра, площа основи якого дорівнює S, а об’єм - V.

   А	Б	В	Г	Д
   H=	H=	H=VS	H=	H=

   Відповідь

   Б.
4. Знайдіть об’єм конуса, якщо його радіус дорівнює 6 см, твірна — 10 см.

   А	Б	В	Г	Д
   48π см3	60π см3	96π см3	120π см3	288π см3

   Відповідь

   В.
   Скористатись теоремою Піфагора.
5. Об’єм циліндра дорівнює 48 см³. Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.

   А	Б	В	Г	Д
   6 см3	8 см3	16 см3	24 см3	36 см3

   Відповідь

   Б.
6. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого а.

   А	Б	В	Г	Д
   4а3	πа3	2πа3	4πа3	2+2πa3

   Відповідь

   В.
   При обертанні куба навколо ребра утворюється циліндр, радіус основи якого дорівнює діагоналі основи куба.
7. Укажіть формулу для обчислення об’єму V конуса, площа основи якого дорівнює S, а висота — h.

   А	Б	В	Г	Д
   V=Sh	V=	V=4Sh	V=	V=

   Відповідь

   Д.
8. Цукерка має форму конуса, висота якого дорівнює 3 см, а діаметр основи — 2 см. Маса 1 см³ шоколаду, з якого виготовлено цукерку, становить 3 г. Визначте масу 100 таких цукерок, якщо кожна цукерка є однорідною і не має всередині порожнин. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

   А	Б	В	Г	Д
   900 г	950 г	1000 г	1050 г	1100 г

   Відповідь

   Б.
9. Об’єм кулі дорівнює 36π см³. Знайдіть її діаметр.

   А	Б	В	Г	Д
   3 см	24 см	6 см	18 см	12 см

   Відповідь

   В.
10. Укажіть формулу для обчислення об’єму V півкулі радіуса R (див. рисунок).

    

    А	Б	В	Г	Д
    V=4πR2	V=πR3	V=πR3	V=2πR2	V=πR3

    Відповідь

    Б.
11. Установіть відповідність між тілом обертання, заданим умовою (1-4), та формулою (А-Д) для обчислення його об’єму V.

    

    Тіло обертання

    Об’єм

    1 квадрат зі стороною а обертається навколо прямої, що проходить через сторону цього квадрата (рис. 1) 2 прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом a обертається навколо прямої, що проходить через катет цього трикутника (рис. 2) 3 прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом а обертається навколо прямої, що проходить через вершину гострого кута цього трикутника перпендикулярно до одного з його катетів (рис. 3) 4 круг, радіус якого дорівнює , обертається навколо прямої, що проходить через центр цього круга (рис. 4)

    А V=πa3 Б V=πa3 В V=πa3 Г V=πa3 Д V=2πa3

    Відповідь

    1-Г, 2-А, 3-В, 4-Б.
    1) При обертанні квадрата навколо сторони утворюється циліндр, радіус основи і висота якого дорівнює а.
    2) При обертанні прямокутного трикутника навколо катета утворюється конус, радіус основи і висота якого дорівнює а.
    3) При такому обертанні утворюється тіло, яке складається з циліндра, радіус основи і висота якого дорівнює а, з якого вирізали конус з тими ж значеннями радіуса та висоти.
    4) При обертанні круга навколо свого діаметра утворюється куля.
12. Установіть відповідність між геометричним тілом (1-4) і його об’ємом (А-Д).

    

    Тіло	Об’єм
    1циліндр, діаметр основи та висота якого дорівнюють а (рис. 1) 2 конус, діаметр основи та висота якого дорівнюють а (рис. 2) 3 куля, діаметр якої дорівнює а (рис. 3) 4 правильна трикутна призма, сторона основи та бічне ребро якої дорівнюють відповідно а і (рис. 4)	А πa3 Б πa3 В πa3 Г πa3 Д πa3

    Відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
13. Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює 25π см², а його об’єм — 100π см³. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок	Закінчення
    1Висота циліндра дорівнює 2 Висота конуса дорівнює 3 Радіус основи циліндра дорівнює 4 Твірна конуса дорівнює	А 4 см Б 5 см В 8 см Г 12 см Д 13 см

    Відповідь

    1-А, 2-Г, 3-Б, 4-Д.
    4) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника, у якого катети - висота і радіус основи конуса.
14. Об’єм тіла, утвореного обертанням рівнобедреного трикутника навколо висоти, проведеної до його основи, дорівнює 320π см³. Обчисліть довжину бічної сторони цього трикутника (у см), якщо його основа дорівнює 16 см.
    Відповідь

    17.
    При обертанні трикутника навколо цієї висоти ми отримаємо конус, діаметр якого дорівнює основі трикутника, а висота конуса дорівнює висоті трикутника, проведеної до основи.
15. Визначте довжину твірної конуса (у см), якщо його об’єм дорівнює 800π см³, а площа основи - 100π см².
    Відповідь

    26.
16. Укажіть номер фужера, у який можна налити найбільше рідини.

    

    Відповідь

    3.
    Обчислити об'єми кожної з фігур.

⇐VІ.6. Об'єм піраміди

До змісту

⇒VІ.8. Площа поверхні многогранників