Об'єми тіл обертання

Об'єми тіл обертання — ключовий розділ стереометрії, що вивчає кількісні характеристики фігур, утворених обертанням плоских геометричних фігур навколо осі. Розуміння цих формул є критично важливим для розв'язання прикладних задач: від розрахунку об'єму рідини в ємностях до визначення маси промислових деталей.

На цій сторінці представлено систематизований виклад теорії та практикум із детальним розбором тестових завдань. Ми розглянемо взаємозв'язок між лінійними розмірами циліндра, конуса та кулі, навчимося працювати з розгортками та знаходити об'єми складних тіл, утворених обертанням трикутників і квадратів.

---

• Об'єм циліндра дорівнює добутку площі основи на висоту V = S_осн · H. Так як основою циліндра є круг, площа якого S = πR², то маємо ще одну формулу V = πR²H
• Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту V = \frac{1}{3}S_осн · H. Так як основою конуса є круг, площа якого S = πR², то маємо ще одну формулу V = \frac{1}{3}πR²H
• Об'єм кулі обчислюється за формулою V = \frac{4}{3}πR³

Завдання 1. На рисунку зображено розгортку циліндра. Знайдіть його об’єм.

9π см³

15π см³

30π см³

36π см³

45π см³

Показати відповідь

Д.
За малюнком радіус основи циліндра R = 3 см, а висота H = 5 см. S_осн = πR² = π ⋅ 3² = 9π см². Об'єм циліндра можна знайти за формулою V = S_осн H = 9π ⋅ 5 = 45π см³.

Завдання 2. Об’єм циліндра дорівнює 72π см³. Знайдіть висоту цього циліндра, якщо радіус його основи дорівнює 3 см.

24 см

12 см

9 см

8 см

6 см

Показати відповідь

Г.
S_осн = πR² = π ⋅ 3² = 9π см². Об'єм циліндра можна знайти за формулою V = S_осн H. Тоді
72π = 9π ⋅ H
H = 72π : (9π)
H = 8 см

Завдання 3. Укажіть формулу для обчислення висоти H циліндра, площа основи якого дорівнює S, а об’єм - V.

H = \frac{S}{V}

H = \frac{V}{S}

H = VS

H = \frac{V}{3S}

H = \frac{3V}{S}

Показати відповідь

Б.
Об'єм циліндра можна знайти за формулою V = S_осн H. Тоді V = S ⋅ H, звідси H = \frac{V}{S}

Завдання 4. Знайдіть об’єм конуса, якщо його радіус дорівнює 6 см, твірна — 10 см.

48π см³

60π см³

96π см³

120π см³

288π см³

Показати відповідь

В. З прямокутного трикутника ОАВ за теоремою Піфагора OA² = AB²-OB² = 10²-6² = 100-36 = 64. Тоді висота H = OA = 8 см. S_осн = πR² = π ⋅ 6² = 36π см². Об'єм конуса V = \frac{1}{3} \cdot36\pi\cdot8 = 12π · 8 = 96π см³.

Завдання 5. Об’єм циліндра дорівнює 48 см³. Знайдіть об’єм конуса, радіус основи якого дорівнює радіусу основи циліндра, а висота вдвічі менша за висоту циліндра.

6 см³

8 см³

16 см³

24 см³

36 см³

Показати відповідь

Б.
З умови маємо R_к = R_ц, H_к = H_ц:2. Оскільки для конуса і циліндра S_осн = πR², а R_к = R_ц, то S_{осн. ц} = S_{осн. к}. Так як V_ц = S_осн.ц H_ц, то 48 = S_осн.ц H_ц, звідки H_ц = 48:S_осн.ц. H_к = H_ц:2 = 48:S_осн.ц:2 = 24:S_осн.ц. V_к = \frac{1}{3} S_{осн. к}H_к = \frac{1}{3} S_{осн. ц} · 24:S_осн.ц = 24:3 = 8см³

Завдання 6. Знайдіть об’єм тіла, утвореного обертанням куба навколо свого ребра, довжина якого а.

4а³

πа³

2πа³

4πа³

2 + 2\sqrt{2}πa³

Показати відповідь

В.
При обертанні куба навколо ребра утворюється циліндр, радіус основи якого дорівнює діагоналі основи куба a√2, а висота а. S_осн = πR² = π ⋅ (a √2)² = 2a²π см². Об'єм циліндра V = S_осн H = 2a²π ⋅ a = 2πa³ см³.

Завдання 7. Укажіть формулу для обчислення об’єму V конуса, площа основи якого дорівнює S, а висота — h.

V = Sh

V = \frac{Sh}{2}

V = 4Sh

V = \frac{4Sh}{3}

V = \frac{Sh}{3}

Показати відповідь

Д.
Об'єм конуса дорівнює третині добутку площі основи на висоту. V = \frac{Sh}{3}

Завдання 8. Цукерка має форму конуса, висота якого дорівнює 3 см, а діаметр основи — 2 см. Маса 1 см³ шоколаду, з якого виготовлено цукерку, становить 3 г. Визначте масу 100 таких цукерок, якщо кожна цукерка є однорідною і не має всередині порожнин. Укажіть відповідь, найближчу до точної.

900 г

950 г

1000 г

1050 г

1100 г

Показати відповідь

Б.
Радіус основи конуса дорівнює R = d:2 = 2:2 = 1 см. Об'єм конуса можна знайти за формулою V = πR²H:3. Тоді V = π · 1² · 3:3 = π≈3,14 см³. Маса однієї цукерки становить m = ρV = 3 · 3,14 = 9,42 г. Маса 100 цукерок дорівнює 100 · 9,42 = 942 г. Найближча відповідь 950 г.

Завдання 9. Об’єм кулі дорівнює 36π см³. Знайдіть її діаметр.

3 см

24 см

6 см

18 см

12 см

Показати відповідь

В.
Об'єм кулі можна знайти за формулою V = 4πR³:3. Тоді 36π = 4πR³:3. Звідси R³ = 36π:4π · 3 = 27. Тоді R = 3 см і d = 2R = 6 см.

Завдання 10. Укажіть формулу для обчислення об’єму V півкулі радіуса R (див. рисунок).

V = 4πR²

V = \frac{2}{3}πR³

V = πR³

V = 2πR²

V = \frac{4}{3}πR³

Показати відповідь

Б. Об'єм кулі можна знайти за формулою V = \frac{4}{3}πR³. Так як маємо півкулю, то дане значення ділимо 2 (скорочуємо 4 на 2) і маємо \frac{2}{3}πR³.

Завдання 11. Установіть відповідність між тілом обертання, заданим умовою (1-4), та формулою (А-Д) для обчислення його об’єму V.

1 квадрат зі стороною а обертається навколо прямої, що проходить через сторону цього квадрата (рис. 1)
2 прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом a обертається навколо прямої, що проходить через катет цього трикутника (рис. 2)
3 прямокутний рівнобедрений трикутник із катетом а обертається навколо прямої, що проходить через вершину гострого кута цього трикутника перпендикулярно до одного з його катетів (рис. 3)
4 круг, радіус якого дорівнює \frac{3}{4}a, обертається навколо прямої, що проходить через центр цього круга (рис. 4)

А V = \frac{1}{3}πa³
Б V = \frac{9}{16}πa³
В V = \frac{2}{3}πa³
Г V = πa³
Д V = 2πa³

Показати відповідь

1-Г, 2-А, 3-В, 4-Б.
1) При обертанні квадрата навколо сторони утворюється циліндр, радіус основи і висота якого дорівнює а. Тоді V = πa² · a = πа³.
2) При обертанні прямокутного трикутника навколо катета утворюється конус, радіус основи і висота якого дорівнює а. Тоді V = πa² · a:3 = \frac{1}{3}πа³.
3) При такому обертанні утворюється тіло, яке складається з циліндра, радіус основи і висота якого дорівнює а, з якого вирізали конус з тими ж значеннями радіуса та висоти. Маємо V_ц = πa² · a = πа³, V_к = πa² · a:3 = \frac{1}{3}πа³. Тоді об'єм тіла дорівнює V_ц-V_к = \frac{2}{3}πа³
4) При обертанні круга навколо свого діаметра утворюється куля. Тоді V = \frac{4}{3}πR³ = \frac{4}{3}\pi(\frac{3}{4}a)^3 = \frac{4}{3}\pi\frac{27}{64}a^3 = \frac{9}{16}πa³.

Завдання 12. Установіть відповідність між геометричним тілом (1-4) і його об’ємом (А-Д).

1циліндр, діаметр основи та висота якого дорівнюють а (рис. 1)
2 конус, діаметр основи та висота якого дорівнюють а (рис. 2)
3 куля, діаметр якої дорівнює а (рис. 3)
4 правильна трикутна призма, сторона основи та бічне ребро якої дорівнюють відповідно а і \frac{\pi{a}}{2}(рис. 4)

А \frac{1}{6}πa³
Б \frac{1}{12}πa³
В \frac{1}{4}πa³
Г \frac{\sqrt{3}}{8}πa³
Д \frac{1}{3}πa³

Показати відповідь

1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
1) Радіус циліндра R = d:2 = a:2. Тоді V = π(a:2)² · a = \frac{1}{4}πa³.
2) Радіус конуса R = d:2 = a:2. Тоді V = π(a:2)² · a:3 = \frac{1}{12}πa³.
3) Радіус кулі R = d:2 = a:2. Тоді V = 4π(a:2)³:3 = \frac{1}{6}πa³.
4) Так як призма правильна, то в основі лежить правильний трикутник і площа основи дорівнює S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. V = SH = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{\pi{a}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}πa³.

Завдання 13. Циліндр і конус мають рівні об’єми та рівні радіуси основ. Площа основи циліндра дорівнює 25π см², а його об’єм — 100π см³. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1Висота циліндра дорівнює
2 Висота конуса дорівнює
3 Радіус основи циліндра дорівнює
4 Твірна конуса дорівнює

А 4 см
Б 5 см
В 8 см
Г 12 см
Д 13 см

Показати відповідь

1-А, 2-Г, 3-Б, 4-Д.
1) Оскільки для циліндра V = S_оснH, то H = V:S_осн = 100π:25π = 4 см.
2) Оскільки для конуса V = S_оснH:3, то H = V:S_осн · 3 = 100π:25π · 3 = 12 см.
3) Так як в основі лежить круг, а площа круга S = πR², то πR² = 25π, звідки R = 5 см.
4) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника, у якого катети - висота і радіус основи конуса. За теоремою Піфагора х² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169, звідки твірна дорівнює 13 см.

Завдання 14. Об’єм тіла, утвореного обертанням рівнобедреного трикутника навколо висоти, проведеної до його основи, дорівнює 320π см³. Обчисліть довжину бічної сторони цього трикутника (у см), якщо його основа дорівнює 16 см.

Показати відповідь

17.
Так як трикутник рівнобедрений, то висота, проведена до основи, є медіаною. Тоді при обертанні трикутника навколо цієї висоти ми отримаємо конус, діаметр якого дорівнює основі трикутника, а висота конуса дорівнює висоті трикутника, проведеної до основи. Так як діаметр основи конуса 16 см, то його радіус R = d:2 = 16:2 = 8 см. Основою конуса є круг, площа якого обчислюється за формулою S_осн = πR². Маємо S_осн = π · 8² = 64π. Об'єм конуса можна знайти за формулою V = S_осн · H:3. Підставимо відомі значення і отримаємо 320π = 64π · H:3. Звідси H = 320π:64π · 3 = 15 см. Тоді висота трикутника, проведена до його основи також дорівнює 15 см. Маємо прямокутний трикутник, катети якого 15 і 8 см (висота та половина основи трикутника), а гіпотенуза - бічна сторона. За теоремою Піфагора квадрат бічної сторони дорівнює 15² + 8² = 225 + 64 = 289, звідки бічна сторона дорівнює 17 см.

Завдання 15. Визначте довжину твірної конуса (у см), якщо його об’єм дорівнює 800π см³, а площа основи - 100π см².

Показати відповідь

26. Об'єм конуса можна знайти за формулою V = πR²H:3, або V = S_оснH:3. Тоді 800π = 100π · Н:3. Звідси Н = 800π:100π · 3 = 24 см. Так як S_осн = πR², то 100π = πR², звідки R = 10 см. З прямокутного трикутника ОАВ за теоремою Піфагора АВ² = AО² + OB² = 24² + 10² = 576 + 100 = 676, звідси АВ = 26 см.

Завдання 16. Укажіть номер фужера, у який можна налити найбільше рідини.

Показати відповідь

3.
1. Об'єм циліндра дорівнює V = π2² · 3 = 12π
2. Об'єм конуса дорівнює V = π4² · 3:3 = 16π
3. Об'єм півкулі дорівнює V = 4π3³:3:2 = 18π.

⇐ VІ.6.
Об'єм піраміди До змісту (НМТ/ЗНО) VІ.8.
Площа поверхні многогранників ⇒