Площа поверхні призми — — одна з важливих тем стереометрії, що трапляється в завданнях НМТ та ЗНО. Вона вимагає не лише знання базових формул, а й розуміння структури кожної грані.
На цій сторінці зібрано повний теоретичний мінімум та практикум із задачами НМТ та ЗНО. Кожна задача супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання.
- Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи на висоту Sб = P · H.
- Площа повної поверхні призми дорівнює сумі бічної поверхні та подвоєної площі основи Sп = Sб + 2Sосн.
8 см²
16 см²
20 см²
24 см²
36√2 см²
Показати відповідь
Г.
Так як діагональ куба зі стороною а можна знайти за формулою d = a√3, то маємо 2√3 = a√3, звідки сторона куба дорівнює 2. Площа однієї грані куба дорівнює 2² = 4. Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6 · 4 = 24 см².
Завдання 2. Знайдіть довжину ребра куба, площа поверхні якого дорівнює 96 см².
Так як діагональ куба зі стороною а можна знайти за формулою d = a√3, то маємо 2√3 = a√3, звідки сторона куба дорівнює 2. Площа однієї грані куба дорівнює 2² = 4. Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6 · 4 = 24 см².
2 см
3 см
4 см
6 см
8 см
Показати відповідь
В.
Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6S, де S - площа однієї грані. Тоді S = 96 : 6 = 16 см². Так як гранню куба є квадрат, а його площа дорівнює квадрату ребра, то ребро куба дорівнює 4 см.
Завдання 3. На рисунку зображено прямокутник і рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють 10 см і 13 см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює 260 см².
Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6S, де S - площа однієї грані. Тоді S = 96 : 6 = 16 см². Так як гранню куба є квадрат, а його площа дорівнює квадрату ребра, то ребро куба дорівнює 4 см.
520 см²
720 см²
780 см²
840 см²
960 см²
Показати відповідь
Г.
Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. p = (10 + 13 + 13) : 2 = 36 : 2 = 18 см. S = √18(18-10)(18-13)(18-13) = √18·8·5·5 = √9·16·25 = 3 · 4 · 5 = 60 см². Оскільки призма пряма, її бічні грані є прямокутниками. Тому трикутник є основою призми і площа основи Sосн = 60 см².
Найбільша бічна грань містить найбільшу сторону основи, тобто одна зі сторін прямокутника дорівнює 13 см. Площа прямокутника S = ab, маємо 260 = 13а, звідки а = 260 : 13 = 20. Тоді друга сторона прямокутника бічної грані (висота призми) дорівнює 20 см. Тоді площа іншої бічної грані S = 10 · 20 = 200 см². Площа бічної поверхні призми дорівнює Sбічна = 260 + 260 + 200 = 720 см². Sповна = Sбічна + 2Sосн = 720 + 2 · 60 = 720 + 120 = 840 см².
Завдання 4. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а периметр її бічної грані — 22 см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.
Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. p = (10 + 13 + 13) : 2 = 36 : 2 = 18 см. S = √18(18-10)(18-13)(18-13) = √18·8·5·5 = √9·16·25 = 3 · 4 · 5 = 60 см². Оскільки призма пряма, її бічні грані є прямокутниками. Тому трикутник є основою призми і площа основи Sосн = 60 см².
Найбільша бічна грань містить найбільшу сторону основи, тобто одна зі сторін прямокутника дорівнює 13 см. Площа прямокутника S = ab, маємо 260 = 13а, звідки а = 260 : 13 = 20. Тоді друга сторона прямокутника бічної грані (висота призми) дорівнює 20 см. Тоді площа іншої бічної грані S = 10 · 20 = 200 см². Площа бічної поверхні призми дорівнює Sбічна = 260 + 260 + 200 = 720 см². Sповна = Sбічна + 2Sосн = 720 + 2 · 60 = 720 + 120 = 840 см².
66 см²
72 см²
96 см²
114 см²
264 см²
Показати відповідь
В.
Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 22 : 2 = 11 см. Так як сторона основи 3, то висота призми 11 - 3 = 8 см. Площа однієї грані 3 · 8 = 24 см². Так як призма правильна чотирикутна, то бічна поверхня складається з 4 однакових граней. Тоді площа бічної поверхні дорівнює 4 · 24 = 96 см².
Завдання 5. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а периметр її бічної грані — 20 см. Визначте площу бічної поверхні призми.
Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 22 : 2 = 11 см. Так як сторона основи 3, то висота призми 11 - 3 = 8 см. Площа однієї грані 3 · 8 = 24 см². Так як призма правильна чотирикутна, то бічна поверхня складається з 4 однакових граней. Тоді площа бічної поверхні дорівнює 4 · 24 = 96 см².
24 см²
60 см²
72 см²
84 см²
96 см²
Показати відповідь
В.
Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тому сторона основи дорівнює Р : 3 = 12 : 3 = 4 см. Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 20 : 2 = 10 см. Так як сторона основи 4, то висота призми 10 - 4 = 6 см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тобто 12 · 6 = 72 см².
Завдання 6. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо її висота дорівнює 6 см.
Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тому сторона основи дорівнює Р : 3 = 12 : 3 = 4 см. Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 20 : 2 = 10 см. Так як сторона основи 4, то висота призми 10 - 4 = 6 см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тобто 12 · 6 = 72 см².
96 см²
80 см²
72 см²
32 см²
24 см²
Показати відповідь
В.
Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S = 12 · 6 = 72 см².
Завдання 7. Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як 2:3:4. Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює 12 см².
Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S = 12 · 6 = 72 см².
42 см²
54 см²
60 см²
84 см²
108 см²
Показати відповідь
Б.
Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо сторони основи 2х, 3х та 4х. Якщо взяти висоту призми за Н, тоді площа найменшої грані дорівнює 2х · H, або 12 за умовою. Звідси х · H = 12 : 2 = 6 см². Периметр основи P = 2х + 3х + 4х = 9х. Тоді площа бічної грані Sбічна = P · H = 9x · H = 9 · 6 = 54 см².
Завдання 8. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а, діагональ бічної грані — d. Укажіть формулу для обчислення площі Sб бічної поверхні цієї призми.
Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо сторони основи 2х, 3х та 4х. Якщо взяти висоту призми за Н, тоді площа найменшої грані дорівнює 2х · H, або 12 за умовою. Звідси х · H = 12 : 2 = 6 см². Периметр основи P = 2х + 3х + 4х = 9х. Тоді площа бічної грані Sбічна = P · H = 9x · H = 9 · 6 = 54 см².
Sб = 3a · √d² - a²
Sб = 3a · √d² + a²
Sб = 3ad
Sб = a · √a² - d²
Sб = a(d² + a²)
Показати відповідь
А.
Оскільки призма правильна, то вона пряма. Тоді висота призми є бічним ребром і її квадрат можна знайти за теоремою Піфагора як різницю квадратів діагоналі бічної грані та основи (діагональ бічної грані є гіпотенузою). Тоді висота призми дорівнює √d² - a². Так як в основі правильний трикутник, то периметр основи дорівнює 3а. Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо Sб = 3a√d² - a².
Завдання 9. У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у 2 ряди 10 шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою 10 см і діаметром основи 15 мм (див. рисунок 2). Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладень обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.
Оскільки призма правильна, то вона пряма. Тоді висота призми є бічним ребром і її квадрат можна знайти за теоремою Піфагора як різницю квадратів діагоналі бічної грані та основи (діагональ бічної грані є гіпотенузою). Тоді висота призми дорівнює √d² - a². Так як в основі правильний трикутник, то периметр основи дорівнює 3а. Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо Sб = 3a√d² - a².
225 см²
255 см²
450 см²
600 см²
75 см²
Показати відповідь
Б.
За малюнком маємо наступні лінійні виміри коробки: 5 · 15 = 75 мм, 2 · 15 = 30 мм, 10 см. Переведемо всі виміри у см: 7,5 см, 3 см, 10 см. Оскільки в паралелепіпеда три пари однакових граней, то площа повної поверхні: 2(7,5 · 3 + 7,5 · 10 + 3 · 10) = 15 · 3 + 15 · 10 + 6 · 10 = 45 + 150 + 60 = 255 см².
Завдання 10. На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює 52 см, а периметр основи призми становить 12 см.
За малюнком маємо наступні лінійні виміри коробки: 5 · 15 = 75 мм, 2 · 15 = 30 мм, 10 см. Переведемо всі виміри у см: 7,5 см, 3 см, 10 см. Оскільки в паралелепіпеда три пари однакових граней, то площа повної поверхні: 2(7,5 · 3 + 7,5 · 10 + 3 · 10) = 15 · 3 + 15 · 10 + 6 · 10 = 45 + 150 + 60 = 255 см².
36 см²
48 см²
60 см²
72 см²
96 см²
Показати відповідь
Г.
Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді сторона основи дорівнює Р : 3 = 12 : 3 = 4 см. Нехай висота призми дорівнює х, тоді за малюнком периметр розгортки дорівнює, починаючи знизу, 4 + х + х + 4 + х + х + 4 + х + х + 4 = 16 + 6х, що дорівнює 52 за умовою. Тоді 16 + 6х = 52, звідки 6х = 52 - 16 = 36 і х = 6 см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тому маємо 12 · 6 = 72 см².
Коментарі