Площа поверхні многогранників

• Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи на висоту S_б=P⋅H.
• Площа повної поверхні призми дорівнює сумі бічної поверхні та подвоєної площі основи S_п=S_б+2S_осн.
• Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему (висоту бічної грані, проведеної з вершини піраміди) S_б=0,5⋅P⋅H.
• Площа повної поверхні піраміди дорівнює сумі бічної поверхні та площи основи S_п=S_б+S_осн.
1. Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює см.

   А	Б	В	Г	Д
   8 см2	16 см2	20 см2	24 см2	36 см2

   Відповідь

   Г.
   Діагональ куба зі стороною а можна знайти за формулою d=a.
Правильну відповідь можна дізнатися, натискаючи кнопку Відповідь під завданням. Послуга ознайомлення з повними розв’язаннями завдань з цієї теми коштує 50 грн. Для отримання цієї послуги надішліть зі своєї електронної пошти листа на адресу ssychov@gmail.com з вказівкою теми "6.8. Площа поверхні многогранників". У відповідь Вам надійде розрахунковий рахунок для переказу коштів. Після оплати надішліть скріншот квитанції і на Вашу адресу надійдуть розв’язки у pdf-форматі. Для перегляду зразка розв’язання натисніть кнопку нижче.

Зразок

2. Знайдіть довжину ребра куба, площа поверхні якого дорівнює 96 см².

   А	Б	В	Г	Д
   2 см	3 см	4 см	6 см	8 см

   Відповідь

   В.
   У куба 6 однакових граней.
3. 2020. На рисунку зображено прямокутник і рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють 10 см і 13 см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює 260 см².

   

   А	Б	В	Г	Д
   520 см2	720 см2	780 см2	840 см2	960 см2

   Відповідь

   Г.
   Знайти площу трикутника за формулою Герона. Обчислити площі бічних граней.
4. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а периметр її бічної грані — 22 см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

   А	Б	В	Г	Д
   66 см2	72 см2	96 см2	114 см2	264 см2

   Відповідь

   В.
   За допомогою периметра бічної грані знайти висоту.
5. 2019. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а периметр її бічної грані — 20 см. Визначте площу бічної поверхні призми.

   А	Б	В	Г	Д
   24 см2	60 см2	72 см2	84 см2	96 см2

   Відповідь

   В.
   За допомогою периметра бічної грані знайти висоту.
6. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо її висота дорівнює 6 см.

   А	Б	В	Г	Д
   96 см2	80 см2	72 см2	32 см2	24 см2

   Відповідь

   В.
7. Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як 2:3:4. Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює 12 см².

   А	Б	В	Г	Д
   42 см2	54 см2	60 см2	84 см2	108 см2

   Відповідь

   Б.
   Ввести коефіцієнт пропорційності х.
8. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а, діагональ бічної грані — d. Укажіть формулу для обчислення площі S_б бічної поверхні цієї призми.

   А	Б	В	Г	Д
   Sб=3a⋅	Sб=3a⋅	Sб=3ad	Sб=a⋅	Sб=a(d2+a2)

   Відповідь

   А.
   Скористатись теоремою Піфагора.
9. 2019. У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у 2 ряди 10 шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою 10 см і діаметром основи 15 мм (див. рисунок 2). Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладень обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.

   

   А	Б	В	Г	Д
   225 см2	255 см2	450 см2	600 см2	75 см2

   Відповідь

   Б.
   За малюнком знайти лінійні вимірки коробки.
10. На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює 52 см, а периметр основи призми становить 12 см.

    

    А	Б	В	Г	Д
    36 см2	48 см2	60 см2	72 см2	96 см2

    Відповідь

    Г. Знайти спочатку сторону основи.
11. 2021. Визначте довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо площа її повної поверхні дорівнює 208 см², а довжина сторони основи — 8 см.

    А	Б	В	Г	Д
    13 см	12 см	9 см	8 см	6 см

    Відповідь

    В.
12. 2021. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, апофема — 7 см. Визначте площу повної поверхні цієї піраміди.

    А	Б	В	Г	Д
    84 см2	204 см2	156 см2	162 см2	120 см2

    Відповідь

    Д.
13. 2019. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60^o. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

    А	Б	В	Г	Д
    72 см2	24 см2	48 см2	72 см2	144 см2

    Відповідь

    А.
14. Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює 10 см, а довжина бічного ребра — 13 см.

    А	Б	В	Г	Д
    180 см2	см2	см2	360 см2	390 см2

    Відповідь

    А.
15. На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює 10 см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см²).

    

    А	Б	В	Г	Д
    100	100	400	100(1+)	200

    Відповідь

    А.
    Спочатку знайти площу однієї грані.
16. SABC і S₁A₁B₁C₁ — правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁. Визначте площу бічної поверхні піраміди SABC, якщо площа бічної грані S₁A₁B₁ дорівнює 8 см².

    А	Б	В	Г	Д
    16 см2	24 см2	48 см2	64 см2	96 см2

    Відповідь

    Д.
    Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності.
17. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120^o. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30^o. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює 4 см.
    Відповідь

    96. Проведемо в ромбі висоти, що виходять з основи висоти піраміди. За допомогою отриманих трикутників знайти сторони та висоти бічних граней.
18. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює 30^o. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60^o. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см.
    Відповідь

    144. Якщо в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу, S_пр=S⋅cosφ.
19. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см. Обчисліть площу повної поверхні піраміди (у см²), якщо кут між апофемою та висотою піраміди дорівнює 30^o.
    Відповідь

    108.
20. Усі бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60^o. Площа повної поверхні піраміди дорівнює см². Обчисліть площу (у см²) перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через висоту піраміди й діагональ її основи.
    Відповідь

    27. Якщо в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу, S_пр=S⋅cosφ. Позначити сторону квадрата за х, виразити через нього відомі величини.
21. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60^o. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см²).
    Відповідь

    24.

⇐VІ.7. Об'єми тіл обертання

До змісту

⇒VI.9. Площа поверхні тіл обертання