Площа поверхні многогранників

Площа поверхні многогранників — одна з фундаментальних тем стереометрії, яка постійно зустрічається у сертифікаційних роботах. Вона вимагає не лише знання базових формул, а й розуміння структури кожної грані: від простого квадрата в кубі до трикутників з використанням тригонометрії в пірамідах.

На цій сторінці зібрано повний теоретичний мінімум та практикум із задачами НМТ та ЗНО. Ви навчитеся працювати з розгортками призм, знаходити апофеми пірамід та використовувати метод ортогональної проекції для швидкого знаходження бічної поверхні. Кожна задача супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання.

---

• Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи на висоту S_б=P⋅H.
• Площа повної поверхні призми дорівнює сумі бічної поверхні та подвоєної площі основи S_п=S_б+2S_осн.
• Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему (висоту бічної грані, проведеної з вершини піраміди) S_б=0,5⋅P⋅H.
• Площа повної поверхні піраміди дорівнює сумі бічної поверхні та площи основи S_п=S_б+S_осн.
1. НМТ 2024. Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а апофема на 2 см більша за сторону основи піраміди.

   А	Б	В	Г	Д
   72 cм2	384 cм2	192 cм2	120 cм2	240 cм2

   Показати відповідь

   Г.
   За умовою АВ = 8 см, SD = АВ + 2 = 8 + 2 = 10 см. Р_осн= 3 ∙ AB = 3 ∙ 8 = 24 cм. S_б= 0,5 ∙ Росн ∙ SD = 0,5 ∙ 24 ∙ 10 = 12 ∙ 10 = 120 cм².
2. Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює 2\sqrt{3} см.

   А	Б	В	Г	Д
   8 см2	16 см2	20 см2	24 см2	36\sqrt{2} см2

   Показати відповідь

   Г.
   Так як діагональ куба зі стороною а можна знайти за формулою d=a\sqrt{3}, то маємо 2\sqrt{3}=a\sqrt{3}, звідки сторона куба дорівнює 2. Площа однієї грані куба дорівнює 2²=4. Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6⋅4=24 см².
3. Знайдіть довжину ребра куба, площа поверхні якого дорівнює 96 см².

   А	Б	В	Г	Д
   2 см	3 см	4 см	6 см	8 см

   Показати відповідь

   В.
   Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6S, де S - площа однієї грані. Тоді S=96:6=16 см².Так як гранню куба є квадрат, а його площа дорівнює квадрату ребра, то ребро куба дорівнює 4 см.
4. На рисунку зображено прямокутник і рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють 10 см і 13 см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює 260 см².

   

   А	Б	В	Г	Д
   520 см2	720 см2	780 см2	840 см2	960 см2

   Показати відповідь

   Г.
   Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. p=(10+13+13):2=36:2=18 см. S=\sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)}=\sqrt{18\cdot8\cdot5\cdot5}=\sqrt{9\cdot16\cdot25}=3⋅4⋅5=60 см². Так як трикутник є основою призми (він не може бути бічною гранню), то площа основи S_осн=60 см².
   Найбільша бічна грань містить більшу сторону основу, тобто одна зі сторін прямокутника дорівнює 13 см. Площа прямокутника S=ab, маємо 260=13а, звідки а=260:13=20. Тоді друга сторона прямокутника бічної грані (висота призми) дорівнює 20 см. Тоді площа іншої бічної грані S=10⋅20=200 см². Площа бічої поверхні призми дорівнює S_бічна=260+260+200=720 см². S_повна=S_бічна+2S_осн=720+2⋅60=720+120=840 см².
5. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а периметр її бічної грані — 22 см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

   А	Б	В	Г	Д
   66 см2	72 см2	96 см2	114 см2	264 см2

   Показати відповідь

   В.
   Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 22:2=11 см. Так як сторона основи 3, то висота призми 11-3=8 см. Площа однієї грані 3⋅8=24 см². Так як призма правильна чотирикутна, то бічна поверхня складається з 4 однакових граней. Тоді площа бічної поверхні дорівнює 4⋅24=96 см².
6. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а периметр її бічної грані — 20 см. Визначте площу бічної поверхні призми.

   А	Б	В	Г	Д
   24 см2	60 см2	72 см2	84 см2	96 см2

   Показати відповідь

   В.
   Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тому сторна основи дорівнює Р:3=12:3=4 см. Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 20:2=10 см. Так як сторона основи 4, то висота призми 10-4=6см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тобто 12⋅6=72 см².
7. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо її висота дорівнює 6 см.

   А	Б	В	Г	Д
   96 см2	80 см2	72 см2	32 см2	24 см2

   Показати відповідь

   В.
   Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S=12⋅6=72 см².
8. Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як 2:3:4. Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює 12 см².

   А	Б	В	Г	Д
   42 см2	54 см2	60 см2	84 см2	108 см2

   Показати відповідь

   Б.
   Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо сторони основи 2х, 3х та 4х. Якщо взяти висоту призми за Н, тоді площа найменшої грані дорівнює 2х⋅H, або 12 за умовою. Звідси х⋅H=12:2=6 см². Периметр основи P=2х+3х+4х=9х. Тоді площа бічної грані S_бічна=P⋅H=9x⋅H=9⋅6=54 см².
9. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а, діагональ бічної грані — d. Укажіть формулу для обчислення площі S_б бічної поверхні цієї призми.

   А	Б	В	Г	Д
   Sб=3a⋅\sqrt{d^2-a^2}	Sб=3a⋅\sqrt{d^2+a^2}	Sб=3ad	Sб=a⋅\sqrt{a^2-d^2}	Sб=a(d2+a2)

   Показати відповідь

   А.
   Так як призма правильна, то вона пряма. Тоді ребро висота призми є бічним ребром і її квадрат можна знайти за теоремою Піфагора як різницю квадратів діагоналі бічної грані та основи (діагональ бічної грані є гіпотенузою). Тоді висота призми дорівнює \sqrt{d^2-a^2}. Так як в основі правильний трикутник, то периметр основи дорівнює 3а. Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S_б=3a\sqrt{d^2-a^2}.
10. У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у 2 ряди 10 шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою 10 см і діаметром основи 15 мм (див. рисунок 2). Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладень обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.

    

    А	Б	В	Г	Д
    225 см2	255 см2	450 см2	600 см2	75 см2

    Показати відповідь

    Б.
    За малюнком маємо наступні лінійні вимірки коробки: 5⋅15=75 мм, 2⋅15=30 мм, 10 см. Переведемо всі виміри у см: 7,5 см, 3 см, 10 см. Оскільки в паралелепіпеда три пари однакових граней, то площа повної поверхні: 2(7,5⋅3+7,5⋅10+3⋅10)=15⋅3+15⋅10+6⋅10=45+150+60=255 см².
11. На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює 52 см, а периметр основи призми становить 12 см.

    

    А	Б	В	Г	Д
    36 см2	48 см2	60 см2	72 см2	96 см2

    Показати відповідь

    Г.

    

    Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді сторона основи дорівнює Р:3=12:3=4 см. Нехай висота призми дорівнює х, тоді за малюнком периметр розгортки дорівнює, починаючи знизу, 4+х+х+4+х+х+4+х+х+4=16+6х, що дорівнює 52 за умовою. Тоді 16+6х=52, звідки 6х=52-16=36 і х=6 см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тому маємо 12⋅6=72 см².
12. Визначте довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо площа її повної поверхні дорівнює 208 см², а довжина сторони основи — 8 см.

    А	Б	В	Г	Д
    13 см	12 см	9 см	8 см	6 см

    Показати відповідь

    В.
    Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди S_осн=a²=8²=64 см². Площа повної поверхні правильної піраміди S_повна=S_бічна+S_осн, звідки S_бічна=S_повна-S_осн=208-64=144 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a=4⋅8=32 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 144=32⋅h_a:2, звідки довжина апофеми h_a=144:32⋅2=9 см.
13. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, апофема — 7 см. Визначте площу повної поверхні цієї піраміди.

    А	Б	В	Г	Д
    84 см2	204 см2	156 см2	162 см2	120 см2

    Показати відповідь

    Д.
    Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди S_осн=a²=6²=36 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a=4⋅6=24 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо S_бічна=24⋅7:2=12⋅7=84 см². Площа повної поверхні правильної піраміди S_повна=S_бічна+S_осн=84+36=120 см².
14. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60^o. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.

    А	Б	В	Г	Д
    72 см2	24\sqrt{3} см2	48\sqrt{3} см2	72\sqrt{3} см2	144 см2

    Показати відповідь

    А.
    Знайдемо площу основи. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи S_осн=6²=36. Так як всі грані піраміди нахилені під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні з кутом нахилу 60^o. Тоді S_бічн=S_осн:cos60^o=36:0,5=72 см².
15. Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює 10 см, а довжина бічного ребра — 13 см.

    А	Б	В	Г	Д
    180 см2	15\sqrt{69} см2	30\sqrt{69} см2	360 см2	390 см2

    Показати відповідь

    А.
    Так як піраміда правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді Р=10⋅3=30 см. Бічна грань - рівнобедрений трикутник, бічні сторони 13, а основа 10. Апофема ділить основу навпіл, тому її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо апофему 12 (її квадрат за теоремою Піфагора 13²-5²=169-25=144). Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 30⋅12:2=180 см².
16. На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює 10 см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см²).

    

    А	Б	В	Г	Д
    100\sqrt{3}	100	400\sqrt{3}	100(1+\sqrt{3})	200

    Показати відповідь

    А.
    Так як трикутники правильні, то їх площу можна знайти за формулою S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Маємо S=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}. Так як сторони квадрата рівні, то рівні сторони і у трикутників. Тоді площу бічної грані знайдемо помноживши площу одного трикутника на 4. Маємо S=4⋅25\sqrt{3}=100\sqrt{3}.
17. SABC і S₁A₁B₁C₁ — правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁. Визначте площу бічної поверхні піраміди SABC, якщо площа бічної грані S₁A₁B₁ дорівнює 8 см².

    А	Б	В	Г	Д
    16 см2	24 см2	48 см2	64 см2	96 см2

    Показати відповідь

    Д.
    З умови маємо, що грані пірамід (трикутники) подібні. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Отже, так як ребра піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁, то коефіцієнт подібності дорівнює 2. Тоді площа грані SAB в 4 рази більше площі грані S₁A₁B₁ і дорівнює 4⋅8=32. Так як піраміда правильна трикутна, то площу бічної поверхні піраміди SABC знайдемо помноживши площу однієї іі бічної грані на 3. Маємо 32⋅3=96 см².
18. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120^o. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30^o. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює 4 см.
    Показати відповідь

    96.

    

    Так як дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то висота піраміди проходить через їх спільне ребро. Таким чином, SB- висота піраміди і дорівнює 4 см. Проведемо в ромбі висоти ВК і ВМ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похилі SK і SM також перпендикулярні до сторін основи і кути SKB та SMB є кутами нахилу бічних граней до площини основи і дорівнюють 30^o за умовою. З прямокутного трикутника SBK SK=SB:sin∠SKB=4:sin30^o=4:0,5=8, BK=SBctg∠SKB=4ctg30^o=4\sqrt{3}.Так як в ромбі кут В дорівнює 120^o, то кут А дорівнює 180^o-120^o=60^o. З прямокутного трикутника АВК АВ=ВК:sin∠ВАК=4\sqrt{3}:sin60^o=4\sqrt{3}:\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=4⋅2=8 см. Площа трикутника ASB дорівнює 0,5АВ⋅SB=0,5⋅8⋅4=16 см². Аналогічну площу має трикутник SBC. Площа трикутника ASD дорівнює 0,5AD⋅SK=0,5⋅8⋅8=32 ². Аналогічну площу має трикутник SDM. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней і дорівнює 16+16+32+32=96 см².
19. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює 30^o. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60^o. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см.
    Показати відповідь

    144.

    

    Проведемо в ромбі перпендикуляр ОК. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похила SK також перпендикулярна до сторони основи і кут SKО є кутом нахилу бічних граней до площини основи і дорівнює 60^o за умовою. Крім того, оскільки ОК - перпендикуляр з центра ромба до сторони ромба, то ОК - центр вписаного кола і за умовою дорівнює 3 см. Проведемо висоту ВМ ромба. Так як відрізки BM і ОК перпендикулярні до сторони основи, то вони паралельні. Так як точка О ділить BD навпіл відрізки ОК і ВМ паралельні, то ОК - середня лінія трикутника BMD, тоді ВМ=2ОК=6 см. Так як ∠C=∠A=30^o, то з прямокутного трикутника ВСМ ВС=ВМ:sin∠BCM=6:sin30^o=6:0,5=12 см.
    І спосіб. З прямокутного трикутника SОK SK=ОК:cos∠OKS=3:cos60^o=3:0,5=6.Площа бічної грані SDC дорівнює 0,5CD⋅SK=0,5⋅12⋅6=36 см². Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, всі ребра основи рівні, то піраміда має однакові бічні грані і площа бічної поверхні дорівнює площі однієї бічної грані, помноженої на 4, тобто 36⋅4=144 см²
    ІІ спосіб. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули S_пр=S⋅cosφ слідує, що площу бічної поверхні піраміди можна знайти, поділивши площу основу на косинус кута нахилу. Площу ромба знайдемо як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони. S=CD⋅BM=12⋅6=72 см². Поділимо це число на cos60^o (0,5) і отримаємо 144 см².
20. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см. Обчисліть площу повної поверхні піраміди (у см²), якщо кут між апофемою та висотою піраміди дорівнює 30^o.
    Показати відповідь

    108.

    

    Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD||OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто 6:2=3 см. З прямокутного трикутника SOM SM=OМ:sin∠OSM=3:sin30^o=3:0,5=6 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо Р=4⋅6=24 см і S_б=24⋅6:2=72 см². Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат і S_осн=6²=36 см². S_п=S_осн+S_б=36+72=108 см².
21. Усі бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60^o. Площа повної поверхні піраміди дорівнює 54\sqrt{6} см². Обчисліть площу (у см²) перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через висоту піраміди й діагональ її основи.
    Показати відповідь

    27.

    

    Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата дорівнює х. Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD||OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто х:2=0,5х см. З прямокутного трикутника SOM SO=OМtg∠SMO=0,5xtg60^o=0,5x\sqrt{3} см. Діагональ BD квадрата x\sqrt{2}. Тоді площа шуканого перерізу (трикутника BSD) дорівнює 0,5BD⋅SO= 0,5⋅(0,5x\sqrt{3})x\sqrt{2}=0,25x^2\sqrt{6}. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули S_пр=S⋅cosφ слідує, що S_б=S_осн:cos60^o=S_осн:0,5=2S_осн. S_п=S_осн+S_б=S_осн+2S_осн=3S_осн. Звідси S_осн=S_п:3=18\sqrt{6}. Отже x²=18\sqrt{6}. Тоді площа шуканого перерізу дорівнює 0,25⋅18\sqrt{6}\sqrt{6}=0,25⋅18⋅6=27 см².
22. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60^o. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см²).
    Показати відповідь

    24.

    

    Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді кут SMO є кутом між апофемою та площиною основи і дорівнює 60^o. З прямокутного трикутника SOM SM=SO:sin∠OMS=3:sin60^o=3:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6}{\sqrt{3}}, OM=SO:tg∠OMS=3:tg60^o=\frac{3}{\sqrt{3}}. Так як Тоді AD||OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто AD=2OM=\frac{6}{\sqrt{3}} см. Тоді периметр основи Р=4AD=\frac{24}{\sqrt{3}}. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо \frac{24}{\sqrt{3}}\cdot\frac{6}{\sqrt{3}}:2=\frac{24\cdot6}{3\cdot2}=24 см².

⇐VІ.7. Об'єми тіл обертання

До змісту

⇒VI.9. Площа поверхні тіл обертання