Площа поверхні тіл обертання

Площа поверхні тіл обертання — ключова тема для розуміння властивостей циліндрів, конусів та сфер. Обчислення площ їхніх поверхонь базується на розгортках фігур: наприклад, бічна поверхня циліндра — це прямокутник, а конуса — сектор круга.

На цій сторінці ви знайдете формули для обчислення бічної та повної поверхонь, а також детальні розв'язання задач НМТ. Ми розберемо випадки обертання плоских фігур, роботу з перерізами та нестандартні задачі на розгортки, що допоможе вам впевнено готуватися до іспитів.

---

• Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S_б = 2πRH
• Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі бічної поверхні та подвоєної площі основи S_п = S_б + 2S_осн, тобто S_п = 2πRH + 2πR²
• Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою S_б = πRl (l - твірна)
• Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі бічної поверхні та площі основи S_п = S_б + S_осн, тобто S_п = πRl + πR²
• Площа поверхні сфери обчислюється за формулою S = 4πR²

Завдання 1. У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною M(4; −9; 7). Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник AMB. Визначте площу S повної поверхні цього конуса, якщо A(8; −12; 12). У відповіді запишіть значення \frac{S}{\pi}.

Показати відповідь

37,5.
AM = \sqrt{(4-8)^2 + (-9-(-12)^2 + (7-12)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 3^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25\cdot2} = 5\sqrt{2}. Так як ∆АМВ рівносторонній, то АВ = АМ = 5√2. Тоді R = AВ : 2 = 5√2 : 2 = 2,5√2. S_осн = πR² = π ∙ (2,5√2)2 = π ∙ 6,25 ∙ 2 = 12,5π. S_бічн = πRl = π ∙ 2,5√2 ∙ 5√2 = π ∙ 2,5 ∙ 5 ∙ 2 = 25π. S_повн = S_осн + S_бічн = 12,5π + 25π = 37,5π. У відповідь записуємо 37,5π:π = 37,5.

Завдання 2. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8 см. Визначте площу S (см²) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу \frac{S}{\pi}

Показати відповідь

64.
R = AD : 2 = 8 : 2 = 4 см. S = 2πRH = 2 ∙ π ∙ 4 ∙ 8 = 64π. У відповідь записуємо \frac{S}{\pi} = \frac{64\pi}{\pi} = 64.

---

Завдання 3. Площа повної поверхні циліндра дорівнює 92π, а площа його бічної поверхні — 56π. Визначте площу основи цього циліндра.

6π

18π

13π

48π

36π

Показати відповідь

Б.
Так як S_п = S_б + 2S_осн, то 2S_осн = S_п-S_б = 92π-56π = 36π. Тоді S_осн = 36π:2 = 18π.

Завдання 4. Укажіть формулу для обчислення площі бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює l, а висота — h.

S = \frac{l}{h}

S = 2lh

S = lh²

S = lh

S = \frac{h}{l}

Показати відповідь

Г.
Так як площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S_б = 2πRH, а 2πR = l, то маємо S = lh.

Завдання 5. Лист заліза, що має форму прямокутника ABCD (АВ = 50 см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки 1 і 2). Краї АВ і CD зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює 20 см. Виберіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.

1570 см²

3150 см²

5240 см²

6300 см²

1000 см²

Показати відповідь

Б.
Радіус основи дорівнює R = d:2 = 20:2 = 10 см. Висота циліндра співпадає з стороною АВ і дорівнює 50 см. Тоді площа бічної поверхні дорівнює S = 2πRH = 2π · 10 · 50 = 1000π≈1000 · 3,14 = 3140 см². Найближча відповідь 3150 см².

Завдання 6. Циліндр, радіус основи якого дорівнює 4 см, висота — 12 см, перетнули площиною, паралельною до його основи. Утворилося два циліндри. Визначте суму площ повних поверхонь утворених циліндрів.

96π см²

108π см²

128π см²

144π см²

160π см²

Показати відповідь

Д.
Площа бічної поверхні циліндра до розрізання дорівнює S = 2πRH = 2π · 4 · 12 = 96π см². Після розрізання маємо два циліндри, сума площ бічної поверхні яких дорівнює площі бічної поверхні початкового циліндра. Дані циліндри мають однакові основи. Площа однієї з них S = πR² = 16π см². Разом маємо чотири основи. Тоді сума площ повних поверхонь буде 96π + 4 · 16π = 160π см².

Завдання 7. Прямокутник із сторонами 8 см і 10 см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

360π см²

160π см²

260π см²

288π см²

800π см²

Показати відповідь

А.
При обертанні утворюється циліндр, радіус основи якого - більша сторона, тобто 10 см, а висота - менша, тобто 8 см. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S_б = 2πRH = 2π · 10 · 8 = 160π см². Площа основи S_осн = πR² = 100π см². Площа повної поверхні буде S_п = S_б + 2S_осн = 160π + 2 · 100π = 360π см².

Завдання 8. Укажіть формулу для визначення радіуса R основи конуса з твірною L, якщо площа бічної поверхні цього конуса дорівнює S.

R = \frac{\pi{L}}{S}

R = \frac{S}{2\pi{L}}

R = \frac{L}{\pi{S}}

R = \sqrt{\frac{3S}{\pi{L}}}

R = \frac{S}{\pi{L}}

Показати відповідь

Д.
Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б = πRL. Звідси R = \frac{S}{\pi{L}}.

Завдання 9. Укажіть формулу для визначення радіуса R сфери, площа якої дорівнює S.

R = \sqrt{\frac{S}{\pi}}

R = \sqrt{\frac{4\pi}{S}}

R = \sqrt{4\pi{S}}

R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}

R = \sqrt{\frac{4S}{\pi}}

Показати відповідь

Г.
Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR². Звідси R² = S:4π, звідки R = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}.

Завдання 10. Визначте площу сфери, діаметр якої дорівнює 12 см.

36π см²

72π см²

144π см²

288π см²

576π см²

Показати відповідь

В.
Радіус сфери R = d:2 = 12:2 = 6 см. Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR² = 4π6² = 144π см².

Завдання 11. Площа великого круга кулі (див. рисунок) дорівнює S. Визначте площу сфери, що обмежує цю кулю.

4S

S²

\frac{4S}{3}

2S

\frac{S}{4}

Показати відповідь

А.Площа великого круга кулі дорівнює πR², що дорівнює S за умовою. Площа поверхні сфери дорівнює 4πR². Підставимо замість πR² його значення S і маємо площу сфери 4S.

Завдання 12. У циліндр з радіусом основи 3 см і висотою 4 см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює
2 Площа повної поверхні циліндра дорівнює
3 Площа основи конуса дорівнює
4 Площа бічної поверхні конуса дорівнює

А 9π см²
Б 12π см²
В 15π см²
Г 24π см²
Д 42π см²

Показати відповідь

1-Г, 2-Д, 3-А, 4-В.
1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S_б = 2πRH = 2π · 3 · 4 = 24π см².
2) Площа основи циліндра дорівнює S_осн = πR² = π · 3² = 9π. Тоді площа повної поверхні циліндра дорівнює S_п = S_б + 2S_осн = 24π + 2 · 9π = 42π см².
3) Так як циліндр і конус мають спільну основу, то S_осн = 9π.
4) З прямокутного трикутника, в якому гіпотенуза - твірна, а катети - висота та радіус ромба, маємо, що квадрат твірної дорівнює 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Звідси твірна дорівнює 5 см. Тоді площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б = πRL = π · 3 · 5 = 15π см².

Завдання 13. Установіть відповідність між геометричним тілом (1-4) та площею його повної поверхні (А-Д).

1 циліндр з радіусом основи 3 та висотою 4
2 конус з радіусом основи 3 та твірною 5
3 куб з ребром \sqrt{3\pi}
4 куля радіуса 2\sqrt{3}

А 18π
Б 24π
В 36π
Г 42π
Д 48π

Показати відповідь

1-Г, 2-Б, 3-А, 4-Д.
1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S_б = 2πRH = 2π · 3 · 4 = 24π. Площа основи S_осн = πR² = 9π. Площа повної поверхні буде S_п = S_б + 2S_осн = 24π + 2 · 9π = 42π.
2) Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б = πRL = π · 3 · 5 = 15π. Площа основи S_осн = πR² = 9π. Площа повної поверхні буде S_п = S_б + S_осн = 15π + 9π = 24π.
3) Площа однієї грані куба S = 3π. В куба 6 однакових граней. Тому площа повної поверхні 6 · 3π = 18π.
4) Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR² = 4π · 4 · 3 = 48π.

Завдання 14. Установіть відповідність між вимірами конуса (1-3) та правильним щодо нього твердженням (А-Д).

1 радіус основи дорівнює 6, висота - 3\sqrt{3}
2 радіус основи дорівнює 3, висота - 3\sqrt{3}
3 радіус основи дорівнює 4, висота - 3

А конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти
Б діаметр основи конуса дорівнює 12
В твірна конуса дорівнює 12
Г площа бічної поверхні конуса дорівнює 20π
Д об’єм конуса дорівнює 108\sqrt{3}\pi

Показати відповідь

1-Б, 2-А, 3-Г.
1) Якщо радіус основи r = 6, то d = 2r = 12
2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l² = 9 + 9 · 3 = 9 + 27 = 36. Отже твірна конуса дорівнює 6. Так як радіус вдвічі менше за 6, то цей конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти.
3) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l² = 16 + 9 = 25. Отже твірна конуса дорівнює 5. Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б = πrl = π · 4 · 5 = 20π.

Завдання 15. Радіус основи конуса дорівнює r, а твірна — l. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

1 Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то
2 Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то
3 Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то
4 Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює 5πr², то

А l = 2r
Б l = \sqrt{2}r
В l = 3r
Г l = 4r
Д l = r

Показати відповідь

1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
1) Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б = πrl. Площа основи S_осн = πr². Маємо за умовою S_б = 3S_осн. πrl = 3πr². Звідси l = 3r.
2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо h = r. Тоді за теоремою Піфагора l² = h² + r² = r² + r² = 2r². Звідси l = \sqrt{2}r
3)Проекцією твірною на площину основи є радіус, тому маємо l = 2r.
4) Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б = πrl. Площа основи S_осн = πr². Площа повної поверхні конуса дорівнює S_п = S_б + S_осн. Маємо 5πr² = πrl + πr². Звідси 4πr² = πrl і l = 4r.

Завдання 16. Через точки А і В, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу - 60\sqrt{2} см². Визначте довжину відрізка АВ (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює 20\sqrt{30}\pi см².

Показати відповідь

18. Проведемо переріз циліндра площиною, що проходить через вказані точки паралельно осі циліндра. Маємо прямокутник ACBD. Опустимо з центра нижньої основи перпендикуляр ОК до BD. Даний перпендикуляр є відстанню від центра нижньої основи до площини і відповідно дорівнює 2 см. Так як трикутник DOB рівнобедрений (OD = OB як радіуси кола основи), то висота ОК є медіаною. Нехай DK = x, тоді КВ = х і DB = 2х. Площа прямокутника ACBD дорівнює добутку AD і DB, отже AD · DB = 60\sqrt{2}. Звідси AD = 60\sqrt{2}:2х = \frac{30\sqrt{2}}{x}. З прямокутного трикутника ОКD за теоремою Піфагора OD² = OK² + KD² = 4 + x². Звідси радіус основи OD = \sqrt{4 + x^2}. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S = 2π · OD · AD. Підставимо відомі значення і отримаємо:
20\sqrt{30}π = 2π\sqrt{4 + x^2} · \frac{30\sqrt{2}}{x}
\sqrt{30} = \sqrt{4 + x^2} · \frac{3\sqrt{2}}{x}
30 = (4 + x²) · \frac{9\cdot2}{x^2}
30x² = (4 + x²) · 18
5x² = (4 + x²) · 3
5x² = 12 + 3x²
2x² = 12
x² = 6
x = \sqrt{6}.
Тоді DB = 2\sqrt{6}, AD = \frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = >\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}. З прямокутного трикутника ADB за теоремою Піфагора AB² = AD² + DB² = 100 · 3 + 4 · 6 = 300 + 24 = 324. Тоді АВ = 18 см.

Завдання 17. На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

Показати відповідь

1,4.
За малюнком маємо радіус основи конуса R = 6, а твірна l = 15. Площа бічної поверхні циліндра S_б = πRl, площа повної поверхні S_п = S_б + S_осн = πRl + πR² = πR(R + l). Знайдемо відношення площ.S_п:S_б = πR(R + l):πRl = (R + l):l = (6 + 15):15 = 21:15 = 7:5 = 1,4.

⇐ VІ.8.
Площа поверхні многогранників До змісту (НМТ/ЗНО) VІ.10.
Комбінації тіл ⇒