Площа поверхні тіл обертання

Площа поверхні тіл обертання — ключова тема для розуміння властивостей циліндрів, конусів та сфер. Обчислення площ їхніх поверхонь базується на розгортках фігур: наприклад, бічна поверхня циліндра — це прямокутник, а конуса — сектор круга.

На цій сторінці ви знайдете формули для обчислення бічної та повної поверхонь, а також детальні розв'язання задач НМТ. Ми розберемо випадки обертання плоских фігур, роботу з перерізами та нестандартні задачі на розгортки, що допоможе вам впевнено готуватися до іспитів.

---

• Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S_б=2πRH
• Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі бічної поверхні та подвоєної площі основи S_п=S_б+2S_осн, тобто S_п=2πRH+2πR²
• Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою S_б=πRl (l - твірна)
• Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі бічної поверхні та площі основи S_п=S_б+S_осн, тобто S_п=πRl+πR²
• Площа поверхні сфери обчислюється за формулою S=4πR²
1. НМТ 2024. У прямокутній системі координат у просторі задано конус із вершиною M(4; −9; 7). Осьовим перерізом цього конуса є рівносторонній трикутник AMB. Визначте площу S повної поверхні цього конуса, якщо A(8; −12; 12). У відповіді запишіть значення \frac{S}{\pi}.
   Показати відповідь

   37,5.
   AM = \sqrt{(4-8)^2+(-9-(-12)^2+(7-12)^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2+(-5)^2}=\sqrt{16+9+25}=\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}. Так як ∆АМВ рівносторонній, то АВ=АМ=5√2. Тоді R = AВ : 2 = 5√2 : 2 = 2,5√2. S_осн = πR² = π ∙ (2,5√2)2 = π ∙ 6,25 ∙ 2 = 12,5π. S_бічн = πRl = π ∙ 2,5√2 ∙ 5√2 = π ∙ 2,5 ∙ 5 ∙ 2 = 25π. S_повн = S_осн + S_бічн = 12,5π + 25π = 37,5π. У відповідь записуємо 37,5π:π = 37,5.
2. НМТ 2023. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8 см. Визначте площу S (см²) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу \frac{S}{\pi}
   Показати відповідь

   64.
   R = AD : 2 = 8 : 2 = 4 см. S = 2πRH = 2 ∙ π ∙ 4 ∙ 8 = 64π. У відповідь записуємо \frac{S}{\pi}=\frac{64\pi}{\pi}=64.

---

3. Площа повної поверхні циліндра дорівнює 92π, а площа його бічної поверхні — 56π. Визначте площу основи цього циліндра.

   А	Б	В	Г	Д
   6π	18π	13π	48π	36π

   Показати відповідь

   Б.
   Так як S_п=S_б+2S_осн, то 2S_осн= S_п-S_б=92π-56π=36π. Тоді S_осн=36π:2=18π.
4. Укажіть формулу для обчислення площі бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює l, а висота — h.

   А	Б	В	Г	Д
   S=\frac{l}{h}	S=2lh	S=lh2	S=lh	S=\frac{h}{l}

   Показати відповідь

   .
   Так як площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою S_б=2πRH, а 2πR=l, то маємо S=lh.
5. Лист заліза, що має форму прямокутника ABCD (АВ=50 см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки 1 і 2). Краї АВ і CD зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює 20 см. Виберіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.

   

   А	Б	В	Г	Д
   1570 см2	3150 см2	5240 см2	6300 см2	1000 см2

   Показати відповідь

   Б.
   Радіус основи дорівнює R=d:2=20:2=10 см. Висота циліндра співпадає з стороною АВ і дорівнює 50 см. Тоді площа бічної поверхні дорівнює S=2πRH=2π⋅10⋅50=1000π≈1000⋅3,14=3140 см². Найближча відповідь 3150 см².
6. Циліндр, радіус основи якого дорівнює 4 см, висота — 12 см, перетнули площиною, паралельною до його основи. Утворилося два циліндри. Визначте суму площ повних поверхонь утворених циліндрів.

   А	Б	В	Г	Д
   96π см2	108π см2	128π см2	144π см2	160π см2

   Показати відповідь

   Д.
   Площа бічної поверхні циліндра до розрізання дорівнює S=2πRH=2π⋅4⋅12=96π см². Після розрізання маємо два циліндри, сума площ бічної поверхні яких дорівнює площі бічної поверхні початкового циліндра. Дані циліндри мають однакові основи. Площа однієї з них S=πR²=16π см². Разом маємо чотири основи. Тоді сума площ повних поверхонь буде 96π+4⋅16π=160π см².
7. Прямокутник із сторонами 8 см і 10 см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.

   

   А	Б	В	Г	Д
   360π см2	160π см2	260π см2	288π см2	800π см2

   Показати відповідь

   А.
   При обертанні утворюється циліндр, радіус основи якого - більша сторона, тобто 10 см, а висота - менша, тобто 8 см. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S_б=2πRH=2π⋅10⋅8=160π см². Площа основи S_осн=πR²=100π см². Площа повної поверхні буде S_п=S_б+2S_осн=160π+2⋅100π=360π см².
8. Укажіть формулу для визначення радіуса R основи конуса з твірною L, якщо площа бічної поверхні цього конуса дорівнює S.

   А	Б	В	Г	Д
   R=\frac{\pi{L}}{S}	R=\frac{S}{2\pi{L}}	R=\frac{L}{\pi{S}}	R=\sqrt{\frac{3S}{\pi{L}}}	R=\frac{S}{\pi{L}}

   Показати відповідь

   Д.
   Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б=πRL. Звідси R=\frac{S}{\pi{L}}.
9. Укажіть формулу для визначення радіуса R сфери, площа якої дорівнює S.

   А	Б	В	Г	Д
   R=\sqrt{\frac{S}{\pi}}	R=\sqrt{\frac{4\pi}{S}}	R=\sqrt{4\pi{S}}	R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}	R=\sqrt{\frac{4S}{\pi}}

   Показати відповідь

   Г.
   Площа поверхні сфери дорівнює S=4πR². Звідси R²=S:4π, звідки R=\sqrt{\frac{S}{4\pi}}.
10. Визначте площу сфери, діаметр якої дорівнює 12 см.

    А	Б	В	Г	Д
    36π см2	72π см2	144π см2	288π см2	576π см2

    Показати відповідь

    В.
    Радіус сфери R=d:2=12:2=6 см. Площа поверхні сфери дорівнює S=4πR²=4π6²=144π см².
11. Площа великого круга кулі (див. рисунок) дорівнює S. Визначте площу сфери, що обмежує цю кулю.

    

    А	Б	В	Г	Д
    4S	S2	\frac{4S}{3}	2S	\frac{S}{4}

    Показати відповідь

    А.Площа великого круга кулі дорівнює πR², що дорівнює S за умовою. Площа поверхні сфери дорівнює 4πR². Підставимо замість πR² його значення S і маємо площу сфери 4S.
12. У циліндр з радіусом основи 3 см і висотою 4 см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює 2 Площа повної поверхні циліндра дорівнює 3 Площа основи конуса дорівнює 4 Площа бічної поверхні конуса дорівнює	А 9π см2 Б 12π см2 В 15π см2 Г 24π см2 Д 42π см2

    Показати відповідь

    1-Г, 2-Д, 3-А, 4-В.
    1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S_б=2πRH=2π⋅3⋅4=24π см².
    2) Площа основи циліндра дорівнює S_осн=πR²=π⋅3²=9π. Тоді площа повної поверхні циліндра дорівнює S_п=S_б+2S_осн=24π+2⋅9π=42π см².
    3) Так як циліндр і конус мають спільну основу, то S_осн=9π.
    4) З прямокутного трикутника, в якому гіпотенуза - твірна, а катети - висота та радіус ромба, маємо, що квадрат твірної дорівнює 3²+4²=9+16=25. Звідси твірна дорівнює 5 см. Тоді площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б=πRL=π⋅3⋅5=15π см².
13. Установіть відповідність між геометричним тілом (1-4) та площею його повної поверхні (А-Д).

    Тіло	Площа поверхні
    1 циліндр з радіусом основи 3 та висотою 4 2 конус з радіусом основи 3 та твірною 5 3 куб з ребром \sqrt{3\pi} 4 куля радіуса 2\sqrt{3}	А 18π Б 24π В 36π Г 42π Д 48π

    Показати відповідь

    1-Г, 2-Б, 3-А, 4-Д.
    1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S_б=2πRH=2π⋅3⋅4=24π. Площа основи S_осн=πR²=9π. Площа повної поверхні буде S_п=S_б+2S_осн=24π+2⋅9π=42π.
    2) Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б=πRL=π⋅3⋅5=15π. Площа основи S_осн=πR²=9π. Площа повної поверхні буде S_п=S_б+S_осн=15π+9π=24π.
    3) Площа однієї грані куба S=3π. В куба 6 однакових граней. Тому площа повної поверхні 6⋅3π=18π.
    4) Площа поверхні сфери дорівнює S=4πR²=4π⋅4⋅3=48π.
14. Установіть відповідність між вимірами конуса (1-3) та правильним щодо нього твердженням (А-Д).

    Виміри конуса	Твердження щодо конуса
    1 радіус основи дорівнює 6, висота - 3\sqrt{3} 2 радіус основи дорівнює 3, висота - 3\sqrt{3} 3 радіус основи дорівнює 4, висота - 3	А конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти Б діаметр основи конуса дорівнює 12 В твірна конуса дорівнює 12 Г площа бічної поверхні конуса дорівнює 20π Д об’єм конуса дорівнює 108\sqrt{3}\pi

    Показати відповідь

    1-Б, 2-А, 3-Г.
    1) Якщо радіус основи r=6, то d=2r=12
    2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l²=9+9⋅3=9+27=36. Отже твірна конуса дорівнює 6. Так як радіус вдвічі менше за 6, то цей конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти.
    3) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l²=16+9=25. Отже твірна конуса дорівнює 5. Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б=πrl=π⋅4⋅5=20π.
15. Радіус основи конуса дорівнює r, а твірна — l. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.

    Початок речення	Закінчення речення
    1 Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то 2 Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то 3 Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то 4 Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює 5πr2, то	А l=2r Б l= \sqrt{2}r В l=3r Г l=4r Д l=r

    Показати відповідь

    1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
    1) Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б=πrl. Площа основи S_осн=πr². Маємо за умовою S_б=3S_осн. πrl=3πr². Звідси l=3r.
    2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо h=r. Тоді за теоремою Піфагора l²=h²+r²=r²+r²=2r². Звідси l= \sqrt{2}r
    3)Проекцією твірною на площину основи є радіус, тому маємо l=2r.
    4) Площа бічної поверхні конуса дорівнює S_б=πrl. Площа основи S_осн=πr². Площа повної поверхні конуса дорівнює S_п=S_б+S_осн. Маємо 5πr²=πrl+πr². Звідси 4πr²=πrl і l=4r.
16. Через точки А і В, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу - 60\sqrt{2} см². Визначте довжину відрізка АВ (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює 20\sqrt{30}\pi см².
    Показати відповідь

    18.

    

    Проведемо переріз циліндра площиною, що проходить через вказані точки паралельно осі циліндра. Маємо прямокутник ACBD. Опустимо з центра нижньої основи перпендикуляр ОК до BD. Даний перпендикуляр є відстанню від центра нижньої основи до площини і відповідно дорівнює 2 см. Так як трикутник DOB рівнобедрений (OD=OB як радіуси кола основи), то висота ОК є медіаною. Нехай DK=x, тоді КВ=х і DB=2х. Площа прямокутника ACBD дорівнює добутку AD і DB, отже AD⋅DB=60\sqrt{2}. Звідси AD=60\sqrt{2}:2х=\frac{30\sqrt{2}}{x}. З прямокутного трикутника ОКD за теоремою Піфагора OD²=OK²+KD²=4+x². Звідси радіус основи OD=\sqrt{4+x^2}. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S=2π⋅OD⋅AD. Підставимо відомі значення і отримаємо:
    20\sqrt{30}π=2π\sqrt{4+x^2}⋅\frac{30\sqrt{2}}{x}
    \sqrt{30}=\sqrt{4+x^2}⋅\frac{3\sqrt{2}}{x}
    30=(4+x²)⋅\frac{9\cdot2}{x^2}
    30x²=(4+x²)⋅18
    5x²=(4+x²)⋅3
    5x²=12+3x²
    2x²=12
    x²=6
    x=\sqrt{6}.
    Тоді DB=2\sqrt{6}, AD=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=>\frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}. З прямокутного трикутника ADB за теоремою Піфагора AB²=AD²+DB²=100⋅3+4⋅6=300+24=324. Тоді АВ=18 см.
17. На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.

    

    Показати відповідь

    1,4.
    За малюнком маємо радіус основи конуса R=6, а твірна l=15. Площа бічної поверхні циліндра S_б=πRl, площа повної поверхні S_п=S_б+S_осн=πRl+πR²=πR(R+l). Знайдемо відношення площ.S_п:S_б=πR(R+l):πRl=(R+l):l=(6+15):15=21:15=7:5=1,4.

⇐VІ.8. Площа поверхні многогранників

До змісту

⇒VІ.10. Комбінації тіл