Площа поверхні тіл обертання — ключова тема для розуміння властивостей циліндрів, конусів та сфер. Обчислення площ їхніх поверхонь базується на розгортках: наприклад, розгортка бічної поверхні циліндра є прямокутником, а розгортка бічної поверхні конуса — сектором круга.
На цій сторінці ви знайдете формули для обчислення бічної та повної поверхонь, а також детальні розв'язання задач НМТ.
- Площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою Sб = 2πRH
- Площа повної поверхні циліндра дорівнює сумі бічної поверхні та подвоєної площі основи Sп = Sб + 2Sосн, тобто Sп = 2πRH + 2πR²
- Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою Sб = πRl (l - твірна)
- Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі бічної поверхні та площі основи Sп = Sб + Sосн, тобто Sп = πRl + πR²
- Площа поверхні сфери обчислюється за формулою S = 4πR²
Показати відповідь
37,5.
AM = √(4-8)² + (-9-(-12))² + (7-12)² = √16 + 9 + 25 = √50 = √25 ∙ 2 = 5√2. Оскільки ∆АМВ рівносторонній, то АВ = АМ = 5√2. Тоді R = AВ : 2 = 5√2 : 2 = 2,5√2. Sосн = πR² = π ∙ (2,5√2)² = π ∙ 6,25 ∙ 2 = 12,5π. Sбічн = πRl = π ∙ 2,5√2 ∙ 5√2 = π ∙ 2,5 ∙ 5 ∙ 2 = 25π. Sповн = Sосн + Sбічн = 12,5π + 25π = 37,5π. У відповідь записуємо 37,5π : π = 37,5.
Завдання 2. Осьовим перерізом циліндра є квадрат зі стороною 8 см. Визначте площу S (см²) бічної поверхні цього циліндра. У відповіді запишіть значення виразу Sπ
AM = √(4-8)² + (-9-(-12))² + (7-12)² = √16 + 9 + 25 = √50 = √25 ∙ 2 = 5√2. Оскільки ∆АМВ рівносторонній, то АВ = АМ = 5√2. Тоді R = AВ : 2 = 5√2 : 2 = 2,5√2. Sосн = πR² = π ∙ (2,5√2)² = π ∙ 6,25 ∙ 2 = 12,5π. Sбічн = πRl = π ∙ 2,5√2 ∙ 5√2 = π ∙ 2,5 ∙ 5 ∙ 2 = 25π. Sповн = Sосн + Sбічн = 12,5π + 25π = 37,5π. У відповідь записуємо 37,5π : π = 37,5.
Показати відповідь
64.
Діаметр основи циліндра дорівнює 8 см, тому R = 8 : 2 = 4 см. S = 2πRH = 2 ∙ π ∙ 4 ∙ 8 = 64π. У відповідь записуємо Sπ = 64ππ = 64.
Діаметр основи циліндра дорівнює 8 см, тому R = 8 : 2 = 4 см. S = 2πRH = 2 ∙ π ∙ 4 ∙ 8 = 64π. У відповідь записуємо Sπ = 64ππ = 64.
Завдання 3. Площа повної поверхні циліндра дорівнює 92π, а площа його бічної поверхні — 56π. Визначте площу основи цього циліндра.
6π
18π
13π
48π
36π
Показати відповідь
Б.
Так як Sп = Sб + 2Sосн, то 2Sосн = Sп-Sб = 92π-56π = 36π. Тоді Sосн = 36π : 2 = 18π.
Завдання 4. Укажіть формулу для обчислення площі бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює l, а висота — h.
Так як Sп = Sб + 2Sосн, то 2Sосн = Sп-Sб = 92π-56π = 36π. Тоді Sосн = 36π : 2 = 18π.
S = lh
S = 2lh
S = lh²
S = lh
S = hl
Показати відповідь
Г.
Так як площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою Sб = 2πRH, а 2πR = l, то маємо S = lh.
Завдання 5. Лист заліза, що має форму прямокутника ABCD (АВ = 50 см), згортають таким чином, щоб отримати циліндричну трубу (див. рисунки 1 і 2). Краї АВ і CD зварюють між собою без накладання одного краю на інший. Обчисліть площу бічної поверхні отриманого циліндра (труби), якщо діаметр його основи дорівнює 20 см. Виберіть відповідь, найближчу до точної. Товщиною листа заліза та швом від зварювання знехтуйте.
Так як площа бічної поверхні циліндра обчислюється за формулою Sб = 2πRH, а 2πR = l, то маємо S = lh.
1570 см²
3150 см²
5240 см²
6300 см²
1000 см²
Показати відповідь
Б.
Радіус основи дорівнює R = d : 2 = 20 : 2 = 10 см. Висота циліндра збігається зі стороною АВ і дорівнює 50 см. Тоді площа бічної поверхні дорівнює S = 2πRH = 2π · 10 · 50 = 1000π≈1000 · 3,14 = 3140 см². Найближча відповідь 3150 см².
Завдання 6. Циліндр, радіус основи якого дорівнює 4 см, висота — 12 см, перетнули площиною, паралельною до його основи. Утворилося два циліндри. Визначте суму площ повних поверхонь утворених циліндрів.
Радіус основи дорівнює R = d : 2 = 20 : 2 = 10 см. Висота циліндра збігається зі стороною АВ і дорівнює 50 см. Тоді площа бічної поверхні дорівнює S = 2πRH = 2π · 10 · 50 = 1000π≈1000 · 3,14 = 3140 см². Найближча відповідь 3150 см².
96π см²
108π см²
128π см²
144π см²
160π см²
Показати відповідь
Д.
Площа бічної поверхні циліндра до розрізання дорівнює S = 2πRH = 2π · 4 · 12 = 96π см². Після розрізання маємо два циліндри, сума площ бічної поверхні яких дорівнює площі бічної поверхні початкового циліндра. Утворені циліндри мають однакові радіуси основ. Площа однієї з них S = πR² = 16π см². Разом маємо чотири основи. Тоді сума площ повних поверхонь буде 96π + 4 · 16π = 160π см².
Завдання 7. Прямокутник із сторонами 8 см і 10 см обертається навколо меншої сторони (див. рисунок). Знайдіть площу повної поверхні отриманого тіла обертання.
Площа бічної поверхні циліндра до розрізання дорівнює S = 2πRH = 2π · 4 · 12 = 96π см². Після розрізання маємо два циліндри, сума площ бічної поверхні яких дорівнює площі бічної поверхні початкового циліндра. Утворені циліндри мають однакові радіуси основ. Площа однієї з них S = πR² = 16π см². Разом маємо чотири основи. Тоді сума площ повних поверхонь буде 96π + 4 · 16π = 160π см².
360π см²
160π см²
260π см²
288π см²
800π см²
Показати відповідь
А.
При обертанні утворюється циліндр, радіус основи якого - більша сторона, тобто 10 см, а висота - менша, тобто 8 см. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює Sб = 2πRH = 2π · 10 · 8 = 160π см². Площа основи Sосн = πR² = 100π см². Площа повної поверхні буде Sп = Sб + 2Sосн = 160π + 2 · 100π = 360π см².
Завдання 8. Укажіть формулу для визначення радіуса R основи конуса з твірною L, якщо площа бічної поверхні цього конуса дорівнює S.
При обертанні утворюється циліндр, радіус основи якого - більша сторона, тобто 10 см, а висота - менша, тобто 8 см. Площа бічної поверхні циліндра дорівнює Sб = 2πRH = 2π · 10 · 8 = 160π см². Площа основи Sосн = πR² = 100π см². Площа повної поверхні буде Sп = Sб + 2Sосн = 160π + 2 · 100π = 360π см².
R = πLS
R = S2πL
R = LπS
R = √3SπL
R = SπL
Показати відповідь
Д.
Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πRL. Звідси R = SπL.
Завдання 9. Укажіть формулу для визначення радіуса R сфери, площа якої дорівнює S.
Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πRL. Звідси R = SπL.
R = √Sπ
R = √4πS
R = √4πS
R = √S4π
R = √4Sπ
Показати відповідь
Г.
Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR². Звідси R² = S : 4π, звідки R = √S4π.
Завдання 10. Визначте площу сфери, діаметр якої дорівнює 12 см.
Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR². Звідси R² = S : 4π, звідки R = √S4π.
36π см²
72π см²
144π см²
288π см²
576π см²
Показати відповідь
В.
Радіус сфери R = d : 2 = 12 : 2 = 6 см. Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR² = 4π · 6² = 144π см².
Завдання 11. Площа великого круга кулі (див. рисунок) дорівнює S. Визначте площу сфери, що обмежує цю кулю.
Радіус сфери R = d : 2 = 12 : 2 = 6 см. Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR² = 4π · 6² = 144π см².
4S
S²
4S3
2S
S4
Показати відповідь
А. Площа великого круга кулі дорівнює πR², що дорівнює S за умовою. Площа поверхні сфери дорівнює 4πR². Підставимо замість πR² його значення S і маємо площу сфери 4S.
Завдання 12. У циліндр з радіусом основи 3 см і висотою 4 см вписано конус (див. рисунок). До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1 Площа бічної поверхні циліндра дорівнює
2 Площа повної поверхні циліндра дорівнює
3 Площа основи конуса дорівнює
4 Площа бічної поверхні конуса дорівнює
2 Площа повної поверхні циліндра дорівнює
3 Площа основи конуса дорівнює
4 Площа бічної поверхні конуса дорівнює
А 9π см²
Б 12π см²
В 15π см²
Г 24π см²
Д 42π см²
Б 12π см²
В 15π см²
Г 24π см²
Д 42π см²
Показати відповідь
1-Г, 2-Д, 3-А, 4-В.
1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює Sб = 2πRH = 2π · 3 · 4 = 24π см².
2) Площа основи циліндра дорівнює Sосн = πR² = π · 3² = 9π. Тоді площа повної поверхні циліндра дорівнює Sп = Sб + 2Sосн = 24π + 2 · 9π = 42π см².
3) Так як циліндр і конус мають спільну основу, то Sосн = 9π.
4) З прямокутного трикутника, в якому гіпотенуза - твірна, а катети - висота та радіус конуса, маємо, що квадрат твірної дорівнює 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Звідси твірна дорівнює 5 см. Тоді площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πRL = π · 3 · 5 = 15π см².
Завдання 13. Установіть відповідність між геометричним тілом (1-4) та площею його повної поверхні (А-Д).
1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює Sб = 2πRH = 2π · 3 · 4 = 24π см².
2) Площа основи циліндра дорівнює Sосн = πR² = π · 3² = 9π. Тоді площа повної поверхні циліндра дорівнює Sп = Sб + 2Sосн = 24π + 2 · 9π = 42π см².
3) Так як циліндр і конус мають спільну основу, то Sосн = 9π.
4) З прямокутного трикутника, в якому гіпотенуза - твірна, а катети - висота та радіус конуса, маємо, що квадрат твірної дорівнює 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Звідси твірна дорівнює 5 см. Тоді площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πRL = π · 3 · 5 = 15π см².
1 циліндр з радіусом основи 3 та висотою 4
2 конус з радіусом основи 3 та твірною 5
3 куб з ребром √3π
4 куля радіуса 2√3
2 конус з радіусом основи 3 та твірною 5
3 куб з ребром √3π
4 куля радіуса 2√3
А 18π
Б 24π
В 36π
Г 42π
Д 48π
Б 24π
В 36π
Г 42π
Д 48π
Показати відповідь
1-Г, 2-Б, 3-А, 4-Д.
1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює Sб = 2πRH = 2π · 3 · 4 = 24π. Площа основи Sосн = πR² = 9π. Площа повної поверхні буде Sп = Sб + 2Sосн = 24π + 2 · 9π = 42π.
2) Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πRL = π · 3 · 5 = 15π. Площа основи Sосн = πR² = 9π. Площа повної поверхні буде Sп = Sб + Sосн = 15π + 9π = 24π.
3) Площа однієї грані куба S = 3π. В куба 6 однакових граней. Тому площа повної поверхні 6 · 3π = 18π.
4) Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR² = 4π · 4 · 3 = 48π.
Завдання 14. Установіть відповідність між вимірами конуса (1-3) та правильним щодо нього твердженням (А-Д).
1) Площа бічної поверхні циліндра дорівнює Sб = 2πRH = 2π · 3 · 4 = 24π. Площа основи Sосн = πR² = 9π. Площа повної поверхні буде Sп = Sб + 2Sосн = 24π + 2 · 9π = 42π.
2) Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πRL = π · 3 · 5 = 15π. Площа основи Sосн = πR² = 9π. Площа повної поверхні буде Sп = Sб + Sосн = 15π + 9π = 24π.
3) Площа однієї грані куба S = 3π. В куба 6 однакових граней. Тому площа повної поверхні 6 · 3π = 18π.
4) Площа поверхні сфери дорівнює S = 4πR² = 4π · 4 · 3 = 48π.
1 радіус основи дорівнює 6, висота - 3√3
2 радіус основи дорівнює 3, висота - 3√3
3 радіус основи дорівнює 4, висота - 3
2 радіус основи дорівнює 3, висота - 3√3
3 радіус основи дорівнює 4, висота - 3
А конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти
Б діаметр основи конуса дорівнює 12
В твірна конуса дорівнює 12
Г площа бічної поверхні конуса дорівнює 20π
Д об’єм конуса дорівнює 108√3π
Б діаметр основи конуса дорівнює 12
В твірна конуса дорівнює 12
Г площа бічної поверхні конуса дорівнює 20π
Д об’єм конуса дорівнює 108√3π
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-Г.
1) Якщо радіус основи r = 6, то d = 2r = 12
2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l² = 9 + 9 · 3 = 9 + 27 = 36. Отже твірна конуса дорівнює 6. Так як радіус вдвічі менше за 6, то цей конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти.
3) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l² = 16 + 9 = 25. Отже твірна конуса дорівнює 5. Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πrl = π · 4 · 5 = 20π.
Завдання 15. Радіус основи конуса дорівнює r, а твірна — l. До кожного початку речення (1-4) доберіть його закінчення (А-Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
1) Якщо радіус основи r = 6, то d = 2r = 12
2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l² = 9 + 9 · 3 = 9 + 27 = 36. Отже твірна конуса дорівнює 6. Так як радіус вдвічі менше за 6, то цей конус утворено обертанням рівностороннього трикутника зі стороною 6 навколо його висоти.
3) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо l² = 16 + 9 = 25. Отже твірна конуса дорівнює 5. Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πrl = π · 4 · 5 = 20π.
1 Якщо площа бічної поверхні конуса втричі більша за площу його основи, то
2 Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то
3 Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то
4 Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює 5πr², то
2 Якщо висота конуса дорівнює радіусу його основи, то
3 Якщо проекція твірної на площину основи конуса удвічі менша за твірну, то
4 Якщо площа повної поверхні конуса дорівнює 5πr², то
А l = 2r
Б l = √2r
В l = 3r
Г l = 4r
Д l = r
Б l = √2r
В l = 3r
Г l = 4r
Д l = r
Показати відповідь
1-В, 2-Б, 3-А, 4-Г.
1) Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πrl. Площа основи Sосн = πr². Маємо за умовою Sб = 3Sосн. πrl = 3πr². Звідси l = 3r.
2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо h = r. Тоді за теоремою Піфагора l² = h² + r² = r² + r² = 2r². Звідси l = √2r
3) Проекцією твірної на площину основи є радіус. За умовою ця проекція удвічі менша за твірну, тому маємо l = 2r.
4) Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πrl. Площа основи Sосн = πr². Площа повної поверхні конуса дорівнює Sп = Sб + Sосн. Маємо 5πr² = πrl + πr². Звідси 4πr² = πrl і l = 4r.
Завдання 16. Через точки А і В, що лежать на колах верхньої та нижньої основ циліндра і не належать одній твірній, проведено площину паралельно осі циліндра. Відстань від центра нижньої основи до цієї площини дорівнює 2 см, а площа утвореного перерізу - 60√2 см². Визначте довжину відрізка АВ (у см), якщо площа бічної поверхні циліндра дорівнює 20√30π см².
1) Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πrl. Площа основи Sосн = πr². Маємо за умовою Sб = 3Sосн. πrl = 3πr². Звідси l = 3r.
2) Твірна конуса є гіпотенузою прямокутного трикутника з катетами радіусом та висотою. З умови маємо h = r. Тоді за теоремою Піфагора l² = h² + r² = r² + r² = 2r². Звідси l = √2r
3) Проекцією твірної на площину основи є радіус. За умовою ця проекція удвічі менша за твірну, тому маємо l = 2r.
4) Площа бічної поверхні конуса дорівнює Sб = πrl. Площа основи Sосн = πr². Площа повної поверхні конуса дорівнює Sп = Sб + Sосн. Маємо 5πr² = πrl + πr². Звідси 4πr² = πrl і l = 4r.
Показати відповідь
18.
Проведемо переріз циліндра площиною, що проходить через вказані точки паралельно осі циліндра. Маємо прямокутник ACBD. Опустимо з центра нижньої основи перпендикуляр ОК до BD. Відрізок ОК є перпендикуляром від центра нижньої основи до площини перерізу, тому ОК = 2 см. Так як трикутник DOB рівнобедрений (OD = OB як радіуси кола основи), то висота ОК є медіаною. Нехай DK = x, тоді КВ = х і DB = 2х. Площа прямокутника ACBD дорівнює добутку AD і DB, отже AD · DB = 60√2. Звідси AD = 60√2 : 2х = 30√2x. З прямокутного трикутника ОКD за теоремою Піфагора OD² = OK² + KD² = 4 + x². Звідси радіус основи OD = √4 + x². Площа бічної поверхні циліндра дорівнює S = 2π · OD · AD. Підставимо відомі значення і отримаємо:
20√30π = 2π√4 + x² · 30√2x
√30 = √4 + x² · 3√2x
30 = (4 + x²) · 9 · 2x²
30x² = (4 + x²) · 18
5x² = (4 + x²) · 3
5x² = 12 + 3x²
2x² = 12
x² = 6
x = √6.
Тоді DB = 2√6, AD = 30√2√6 = 30√3 = 30 · √3√3 · √3 = 30 · √33 = 10√3. З прямокутного трикутника ADB за теоремою Піфагора AB² = AD² + DB² = 100 · 3 + 4 · 6 = 300 + 24 = 324. Тоді АВ = 18 см.
Завдання 17. На рисунку зображено розгортку конуса. Визначте відношення площі повної поверхні цього конуса до площі його бічної поверхні.
20√30π = 2π√4 + x² · 30√2x
√30 = √4 + x² · 3√2x
30 = (4 + x²) · 9 · 2x²
30x² = (4 + x²) · 18
5x² = (4 + x²) · 3
5x² = 12 + 3x²
2x² = 12
x² = 6
x = √6.
Тоді DB = 2√6, AD = 30√2√6 = 30√3 = 30 · √3√3 · √3 = 30 · √33 = 10√3. З прямокутного трикутника ADB за теоремою Піфагора AB² = AD² + DB² = 100 · 3 + 4 · 6 = 300 + 24 = 324. Тоді АВ = 18 см.
Показати відповідь
1,4.
За малюнком маємо радіус основи конуса R = 6, а твірна l = 15. Площа бічної поверхні конуса Sб = πRl, площа повної поверхні Sп = Sб + Sосн = πRl + πR² = πR(R + l). Знайдемо відношення площ.Sп : Sб = πR(R + l) : πRl = (R + l) : l = (6 + 15) : 15 = 21 : 15 = 7 : 5 = 1,4.
За малюнком маємо радіус основи конуса R = 6, а твірна l = 15. Площа бічної поверхні конуса Sб = πRl, площа повної поверхні Sп = Sб + Sосн = πRl + πR² = πR(R + l). Знайдемо відношення площ.Sп : Sб = πR(R + l) : πRl = (R + l) : l = (6 + 15) : 15 = 21 : 15 = 7 : 5 = 1,4.
Коментарі