Комбінації геометричних тіл — це розділ, де перетинаються властивості багатогранників та тіл обертання. Щоб розв'язати таку задачу, важливо правильно визначити, де саме знаходяться точки дотику або як спільні елементи (радіуси, висоти, твірні) пов'язують вписані та описані фігури.
На цій сторінці ми зібрали найскладніші завдання НМТ та ЗНО з детальними графічними поясненнями. Ви дізнаєтеся, як знайти об’єм конуса, вписаного в піраміду, обчислити площу сфери навколо призми та як працювати з перерізами комбінованих тіл. Кожне розв'язання супроводжується аналізом ключових геометричних співвідношень.
Завдання 1. Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює 9 см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює 12 см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.
3 см
5 см
6 см
7 см
8 см
Показати відповідь
Г.
Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається півсфери. Проведемо радіус сфери в точку дотику. Маємо прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза R — проведений радіус (12 см), а катети — r (радіус основи циліндра, 9 см) та висота h. За теоремою Піфагора h² = R²-r² = 12²-9² = 144-81 = 63. Оскільки 49<63<64, то 49<h²<64, звідки 7<h<8. Щоб посудина не торкалася кришки, потрібно взяти висоту менше за отриману. Найбільше число, що менше за h буде 7.
Завдання 2. У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилася в склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.
Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається півсфери. Проведемо радіус сфери в точку дотику. Маємо прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза R — проведений радіус (12 см), а катети — r (радіус основи циліндра, 9 см) та висота h. За теоремою Піфагора h² = R²-r² = 12²-9² = 144-81 = 63. Оскільки 49<63<64, то 49<h²<64, звідки 7<h<8. Щоб посудина не торкалася кришки, потрібно взяти висоту менше за отриману. Найбільше число, що менше за h буде 7.
1:π
2:π
1:2
2:3
1:3
Показати відповідь
В.
Нехай радіус кулі R. Тоді радіус основи циліндра також дорівнює R і висота циліндра H = 2R. Об’єм кулі Vк = 4πR³:3, об’єм циліндра Vц = πR² · H = πR² · 2R = 2πR³. Об’єм води, яка вилилася зі склянки, дорівнює об’єму кулі, а об’єм води, що залишилася, дорівнює різниці початкового об’єму (об’єму циліндра) і об’єму води, яка вилилася (об’єму кулі). Маємо (Vц-Vк):Vк = (2πR³-4πR³:3): (4πR³:3) = (2πR³-4πR³:3) · 3: (4πR³) = (6πR³-4πR³):(4πR³) = (2πR³):(4πR³) = 1:2.
Завдання 3. У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут 60°. Знайдіть об’єм піраміди (у см³), якщо твірна конуса дорівнює 9 см і нахилена до площини основи під кутом 45°.
Нехай радіус кулі R. Тоді радіус основи циліндра також дорівнює R і висота циліндра H = 2R. Об’єм кулі Vк = 4πR³:3, об’єм циліндра Vц = πR² · H = πR² · 2R = 2πR³. Об’єм води, яка вилилася зі склянки, дорівнює об’єму кулі, а об’єм води, що залишилася, дорівнює різниці початкового об’єму (об’єму циліндра) і об’єму води, яка вилилася (об’єму кулі). Маємо (Vц-Vк):Vк = (2πR³-4πR³:3): (4πR³:3) = (2πR³-4πR³:3) · 3: (4πR³) = (6πR³-4πR³):(4πR³) = (2πR³):(4πR³) = 1:2.
Показати відповідь
81.
Так як в основу конуса вписано прямокутний трикутник, то гіпотенуза АВ трикутника є діаметром кола основи і відповідно висота конуса SO є висотою піраміди. Тоді кут SAO є кутом нахилу твірної до площини основи і дорівнює 45° за умовою. Проведемо перпендикуляр ОК до катета ВС (ОК||АС). Тоді за теоремою про три перпендикуляри SK також перпендикулярний до ВС і кут SKO є кутом нахилу бічної грані до площини основи і дорівнює 60°. З прямокутного трикутника SAO AO = AScosA = 9cos45° = \frac{9}{\sqrt{2}}, SO = ASsinA = 9sin45° = \frac{9}{\sqrt{2}}. З прямокутного трикутника SKO KO = SOctgK = \frac{9}{\sqrt{2}}ctg60° = \frac{9}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{6}}. Так як О- центр кола, то О - середина АВ і ОК - середня лінія трикутника АВС. Звідси АС = 2ОК = \frac{18}{\sqrt{6}}. АВ = 2АО = \frac{18}{\sqrt{2}}. З прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора ВС² = AB²-AC² = \frac{18^2}{2}-\frac{18^2}{6} = \frac{18^2(3-1)}{6} = \frac{18^2}{3}. Тоді ВС = \frac{18}{\sqrt{3}}. Знайдемо площу основи. S = \frac{1}{2}AC\cdot{BC} = \frac{1}{2}\frac{18}{\sqrt{6}}\frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18^2}{2\sqrt{18}} = \frac{18^2}{6\sqrt{2}}. Об'єм піраміди V = \frac{1}{3}S\cdot{SO} = \frac{1}{3}\frac{18^2}{6\sqrt{2}}\frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{18\cdot18\cdot9}{3\cdot6\cdot2} = \frac{36\cdot9\cdot9}{36} = 81.
Завдання 4. Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює 50\sqrt{3}, а периметр основи - 50. Визначте об’єм V цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює 4. У відповідь запишіть значення \frac{V}{\pi} .
Так як в основу конуса вписано прямокутний трикутник, то гіпотенуза АВ трикутника є діаметром кола основи і відповідно висота конуса SO є висотою піраміди. Тоді кут SAO є кутом нахилу твірної до площини основи і дорівнює 45° за умовою. Проведемо перпендикуляр ОК до катета ВС (ОК||АС). Тоді за теоремою про три перпендикуляри SK також перпендикулярний до ВС і кут SKO є кутом нахилу бічної грані до площини основи і дорівнює 60°. З прямокутного трикутника SAO AO = AScosA = 9cos45° = \frac{9}{\sqrt{2}}, SO = ASsinA = 9sin45° = \frac{9}{\sqrt{2}}. З прямокутного трикутника SKO KO = SOctgK = \frac{9}{\sqrt{2}}ctg60° = \frac{9}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{6}}. Так як О- центр кола, то О - середина АВ і ОК - середня лінія трикутника АВС. Звідси АС = 2ОК = \frac{18}{\sqrt{6}}. АВ = 2АО = \frac{18}{\sqrt{2}}. З прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора ВС² = AB²-AC² = \frac{18^2}{2}-\frac{18^2}{6} = \frac{18^2(3-1)}{6} = \frac{18^2}{3}. Тоді ВС = \frac{18}{\sqrt{3}}. Знайдемо площу основи. S = \frac{1}{2}AC\cdot{BC} = \frac{1}{2}\frac{18}{\sqrt{6}}\frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18^2}{2\sqrt{18}} = \frac{18^2}{6\sqrt{2}}. Об'єм піраміди V = \frac{1}{3}S\cdot{SO} = \frac{1}{3}\frac{18^2}{6\sqrt{2}}\frac{9}{\sqrt{2}} = \frac{18\cdot18\cdot9}{3\cdot6\cdot2} = \frac{36\cdot9\cdot9}{36} = 81.
Показати відповідь
8.
З формули площі трикутника S = pr маємо радіус вписаного кола, а відповідно, і радіус основи конуса, r = S:p = 50\sqrt{3}:25 = 2\sqrt{3}. З прямокутного трикутника, де гіпотенуза — твірна конуса (4), а катети — висота h і радіус основи (2\sqrt{3}) маємо h² = 16-4 · 3 = 16-12 = 4, звідки h = 2. Об’єм конуса V = πR²h:3 = π · 4 · 3 · 2:3 = 8π. У відповідь пишемо число 8.
Завдання 5. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 13 см і основами 18 см і 8 см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса Sбічне(у см²), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60°. У відповіді запишіть значення \frac{S_b}{\pi}.
З формули площі трикутника S = pr маємо радіус вписаного кола, а відповідно, і радіус основи конуса, r = S:p = 50\sqrt{3}:25 = 2\sqrt{3}. З прямокутного трикутника, де гіпотенуза — твірна конуса (4), а катети — висота h і радіус основи (2\sqrt{3}) маємо h² = 16-4 · 3 = 16-12 = 4, звідки h = 2. Об’єм конуса V = πR²h:3 = π · 4 · 3 · 2:3 = 8π. У відповідь пишемо число 8.
Показати відповідь
72.
Знайдемо висоту трапеції. Так як трапеція рівнобедрена, то відрізки АК і MD рівні і дорівнюють (18-8):2 = 5. Тоді з прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора BK² = AB²-AK² = 13²-5² = 169-25 = 144, звідки ВК = 12. Так як коло вписано в трапецію, то висота трапеції є діаметром кола і радіус кола основи конуса дорівнює r = 12:2 = 6. З прямокутного трикутника SOT cos60° = OT:ST = 6:L, звідси L = 6:cos60° = 6:0,5 = 12. Sбічне = π · r · L = π · 6 · 12 = 72π. У відповідь пишемо число 72.
Завдання 6. Навколо правильної трикутної призми описано сферу радіуса 6 см. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут 30°. Визначте об’єм призми (у см³).
Показати відповідь
121,5.
Так як ОС = ОС₁, то трикутник ОСС₁ є рівнобедреним і в нього кути при основі рівні. Тоді кут СОС₁ дорівнює 180°-30°-30° = 120°. Знайдемо СС₁ за теоремою косинусів. СС₁² = ОС² + ОС₁²-2ОС · СС₁cosCОС₁ = 6² + 6²-2 · 6 · 6 · cos120° = 36 + 36-2 · 6 · 6 · (-0,5) = 36 + 36 + 36 = 108. Тоді СС₁ = \sqrt{108} = \sqrt{36\cdot3} = 6\sqrt{3}. Так як призма вписана в сферу, то відстань від центра сфери до площини основи дорівнює половині висоти призми. Тоді ОК = СС₁:2 = 3\sqrt{3}. З прямокутного трикутника ОКС за теоремою Піфагора КС² = ОС²-ОК² = 36-9 · 3 = 36-27 = 9, тоді КС = 3. Точка К є центром трикутника, отже є точкою перетину медіан і ділить відрізок МС у відношенні 2:1, починаючи від вершини С. Отже МС = КС · 3:2 = 3 · 3:2 = 4,5. З прямокутного трикутника АМС АС = MC:sinA = 4,5:sin60° = 4,5:\frac{\sqrt{3}}{2} = 4,5\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}. Так як призма правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною а дорівнює S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Маємо Sосн = \frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{9\cdot3\sqrt{3}}{4} = \frac{27\sqrt{3}}{4}. Об’єм призми V = SоснH = \frac{27\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3} = 27 · 3 · 6:4 = 486:4 = 121,5.
Завдання 7. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6. Бічне ребро піраміди нахилене до площини її основи під кутом 60°. Обчисліть площу S сфери, описаної навколо піраміди. У відповіді запишіть значення \frac{S}{\pi}.
Показати відповідь
96.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі її лежить квадрат. Діагональ квадрата BD дорівнює CD\sqrt{2} = 6\sqrt{2}. Так як SB = SD і кут при основі рівнобедреного трикутника SBD 60°, то даний трикутник є правильним. Знайдемо радіус кола, описаного навколо трикутника SBD. З формули a:sinα = 2R слідує R = a:sinα:2 = BD:sin60°:2 = 6\sqrt{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:2 = 6\sqrt{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}:2 = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. Радіус сфери, описаної навколо піраміди, співпадає з радіусом кола, описаним навколо діагонального перерізу піраміди. Тоді площа поверхні сфери S = 4πR² = 4π · 36 · 2:3 = 96π. У відповідь пишемо 96.
Завдання 8. У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює 36π см². Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом 60°. Знайдіть об’єм піраміди (у см³).
Показати відповідь
324.
Так як площа сфери S = 4πR², то 36π = 4πR², звідки R² = 9 і R = 3. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі її лежить квадрат. Розглянемо переріз піраміди, що проходить через висоту піраміди паралельно стороні основи (трикутник KSM). Так як SK = SM і кут при основі рівнобедреного трикутника SKM 60°, то даний трикутник є правильним. Тоді т. Р (центр вписаного кола) є точкою перетину медіан і поділяє SO у відношенні 2:1, починаючи від вершини S. Тоді SO = 3PO = 3 · 3 = 9. З прямокутного трикутника SOM OM = SO:tg∠OMS = 9:tg60° = 9:\sqrt{3}. Точка О ділить КМ навпіл, тому КМ = 18:\sqrt{3}. AD = KM = 18:\sqrt{3}. Площа основи S = AD² = 18²:3 = 108. V = SH:3 = 108 · 9:3 = 324.
Коментарі