Комбінації тіл

Для розігрівання в мікрохвильовій печі рідких страв використовують посудину у формі циліндра, радіус основи якого дорівнює 9 см. Посудина ставиться на горизонтальний диск у формі круга і накривається кришкою, що має форму півсфери (див. рисунок). Радіус півсфери дорівнює 12 см і є меншим за радіус круга. Укажіть найбільше з наведених значень, якому може дорівнювати висота посудини, якщо посудина не торкається кришки.

А Б В Г Д

3 см 5 см 6 см 7 см 8 см

Показати відповідь
Г.
Розглянемо випадок, коли циліндр дотикається півсфери. Проведемо радіус сфери в точку дотику. Маємо прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза R — проведений радіус (12 см), а катети — r (радіус основи циліндра, 9 см) та висота h. За теоремою Піфагора h²=R²-r²=12²-9²=144-81= 63. Оскільки 49≤63≤64, то 49≤h²≤64, звідки 7≤h≤8. Щоб посудина не торкалася кришки, потрібно взяти висоту менше за отриману. Найбільше число, що менше за h буде 7.
У склянку циліндричної форми, наповнену водою по самі вінця, поклали металеву кульку, що дотикається до дна склянки та стінок (див. рисунок). Визначте відношення об’єму води, яка залишилася в склянці, до об’єму води, яка вилилася зі склянки.

А Б В Г Д

1:π 2:π 1:2 2:3 1:3

Показати відповідь
В.
Нехай радіус кулі R. Тоді радіус основи циліндра також дорівнює R і висота циліндра H=2R. Об’єм кулі V_к=4πR³:3, об’єм циліндра V_ц=πR²⋅H= πR²⋅2R= 2πR³. Об’єм води, яка вилилася зі склянки, дорівнює об’єму кулі, а об’єм води, що залишилася, дорівнює різниці початкового об’єму (об’єму циліндра) і об’єму води, яка вилилася (об’єма кулі). Маємо (V_ц-V_к):V_к=(2πR³-4πR³:3): (4πR³:3)= (2πR³-4πR³:3)⋅3: (4πR³)=(6πR³-4πR³):(4πR³)=(2πR³):(4πR³)=1:2.

У конус вписано піраміду, основою якої є прямокутний трикутник. Бічна грань, що містить один з катетів основи, утворює з площиною основи кут 60^o. Знайдіть об’єм піраміди (у см³), якщо твірна конуса дорівнює 9 см і нахилена до площини основи під кутом 45^o.
Показати відповідь
81.
Так як в основу конуса вписано прямокутний трикутник, то гіпотенуза АВ трикутника є діаметром кола основи і відповідно висота конуса SO є висотою піраміди. Тоді кут SAO є кутом нахилу твірної до площини основи і дорівнює 45^o за умовою. Проведемо перпендикуляр ОК до катета ВС (ОК||АС). Тоді за теоремою про три перпендикуляри SK також перпендикулярний до ВС і кут SKO є кутом нахилу бічної грані до площини основи і дорівнює 60^o.
З прямокутного трикутника SAO AO=AScosA=9cos45^o= $\frac{9}{\sqrt{2}}$ , SO=ASsinA=9sin45^o= $\frac{9}{\sqrt{2}}$ . З прямокутного трикутника SKO KO=SOctgK= $\frac{9}{\sqrt{2}}$ ctg60^o= $\frac{9}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{9}{\sqrt{6}}$ . Так як О- центр кола, то О - середина АВ і ОК - середня лінія трикутника АВС. Звідси АС=2ОК= $\frac{18}{\sqrt{6}}$ . АВ=2АО= $\frac{18}{\sqrt{2}}$ . З прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора ВС²=AB²-AC²= $\frac{18^2}{2}-\frac{18^2}{6}$ = $\frac{18^2(3-1)}{6}=\frac{18^2}{3}$ . Тоді ВС= $\frac{18}{\sqrt{3}}$ . Знайдемо площу основи. S= $\frac{1}{2}AC\cdot{BC}=\frac{1}{2}\frac{18}{\sqrt{6}}\frac{18}{\sqrt{3}}$ = $\frac{18^2}{2\sqrt{18}}=\frac{18^2}{6\sqrt{2}}$ . Об'єм піраміди V= $\frac{1}{3}S\cdot{SO}=\frac{1}{3}\frac{18^2}{6\sqrt{2}}\frac{9}{\sqrt{2}}$ = $\frac{18\cdot18\cdot9}{3\cdot6\cdot2}=\frac{36\cdot9\cdot9}{36}$ =81.
Навколо конуса описано трикутну піраміду, площа основи якої дорівнює 50 $\sqrt{3}$ , а периметр основи - 50. Визначте об’єм V цього конуса, якщо довжина його твірної дорівнює 4. У відповідь запишіть значення $\frac{V}{\pi}$ .
Показати відповідь
8.
З формули площи трикутника S=pr маємо радіус вписаного кола, а відповідно, і радіус основи конуса, r=S:p= $50\sqrt{3}$ :25=2 $\sqrt{3}$ . З прямокутного трикутника, де гіпотенуза — твірна конуса (4), а катети — висота h і радіус основи (2 $\sqrt{3}$ ) маємо h²=16-4⋅3=16-12=4, звідки h=2. Об’єм конуса V=πR²h:3=π⋅4⋅3⋅2:3=8π. У відповідь пишемо число 8.
У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною 13 см і основами 18 см і 8 см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса S_бічне(у см²), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом 60^o. У відповіді запишіть значення . $\frac{S_b}{\pi}$
Показати відповідь
72.
Знайдемо висоту трапеції. Так як трапеція рівнобедрена, то відрізки АК і MD рівні і дорівнюють (18-8):2=5. Тоді з прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора BK²=AB²-AK²=13²-5²=169-25=144, звідки ВК=12. Так як коло вписано в трапецію, то висота трапеції є діаметром кола і радіус кола основи конуса дорівнює r=12:2=6. З прямокутного трикутника cos60^o=6:L, звідси L=6:cos60^o=6:0,5=12. S_бічне=π⋅r⋅L=π⋅6⋅12=72π. У відповідь пишемо число 72.
Навколо правильної трикутної призми описано сферу радіуса 6 см. Радіус сфери, проведений до вершини призми, утворює з бічним ребром кут 30^o. Визначте об’єм призми (у см³).
Показати відповідь
121,5.
Так як ОС=ОС₁, то трикутник ОСС₁ є рівнобедреним і в нього кути при основі рівні. Тоді кут СОС₁ дорівнює 180^o-30^o-30^o=120^o. Знайдемо СС₁ за теоремою косинусів. СС₁²=ОС²+ОС₁²-2ОС⋅СС₁cosCОС₁=6²+6²-2⋅6⋅6⋅cos120^o=36+36-2⋅6⋅6⋅(-0,5)=36+36+36=108. Тоді СС₁= $\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt{3}$ . Так як призма вписана в сферу, то відстань від центра сфери до площини основи дорівнює половині висоти призми. Тоді ОК=СС₁:2=3 $\sqrt{3}$ . З прямокутного трикутника ОКС за теоремою Піфагора КС²=ОС²-ОК²=36-9⋅3=36-27=9, тоді КС=3. Точка К є центром трикутника, отже є точкою перетину медіан і ділить відрізок МС у відношенні 2:1, починаючи від вершини С. Отже МС=КС⋅3:2=3⋅3:2=4,5. З прямокутного трикутника АМС АС=MC:sinA=4,5:sin60^o=4,5: $\frac{\sqrt{3}}{2}=4,5\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}$ = $\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}}$ = $\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$ . Так як призма правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною а дорівнює S= $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ . Маємо S_осн= $\frac{(3\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\cdot3\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}$ . Об’єм призми V=S_оснH= $\frac{27\sqrt{3}}{4}\cdot6\sqrt{3}$ =27⋅3⋅6:4=486:4=121,5.
Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6. Бічне ребро піраміди нахилене до площини її основи під кутом 60^o. Обчисліть площу S сфери, описаної навколо піраміди. У відповіді запишіть значення $\frac{S}{\pi}$ .
Показати відповідь
96.
Так як призма правильна чотирикутна, то в основі її лежить квадрат. Діагональ квадрата BD дорівнює CD $\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ . Так як SB=SD і кут при основі рівнобедреного трикутника SBD 60^o, то даний трикутник є правильним. Знайдемо радіус кола, описаного навколо трикутника SBD. З формули a:sinα=2R слідує R= a:sinα:2= BD:sin60^o:2= $6\sqrt{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:2$ =6 $\sqrt{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}:2=\frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ . Радіус сфери, описаної наколо піраміди співпадає з радіусом кола, описаним навколо діагонального перерізу піраміди. Тоді площа поверхні сфери S=4πR²=4π⋅36⋅2:3=96π. У відповідь пишемо 96.
У правильну чотирикутну піраміду вписано сферу, площа якої дорівнює 36π см². Бічна грань піраміди нахилена до площини її основи під кутом 60^o. Знайдіть об’єм піраміди (у см³).
Показати відповідь
324.
Так як площа сфери S=4πR², то 36π=4πR², звідки R²=9 і R=3. Так як призма правильна чотирикутна, то в основі її лежить квадрат. Розглянемо переріз призми, що проходить через висоту призми паралельно стороні основи (трикутник KSM). Так як SK=SM і кут при основі рівнобедреного трикутника SKM 60^o, то даний трикутник є правильним. Тоді т. Р (центр вписаного кола) э точкою перетину медіан і поділяє SO у відношенні 2:1, починаючи від вершини S. Тоді SO=3PO=3⋅3=9. З прямокутного трикутника SOM OM=SO:tg∠OMS=9:tg60^o=9: $\sqrt{3}$ . Точка О ділить КМ навпіл, тому КМ=18: $\sqrt{3}$ . AD=KM=18: $\sqrt{3}$ . Площа основи S=AD²=18²:3=108. V=SH:3=108⋅9:3=324.