Площа поверхні многогранників — одна з фундаментальних тем стереометрії, яка постійно зустрічається у сертифікаційних роботах. Вона вимагає не лише знання базових формул, а й розуміння структури кожної грані: від простого квадрата в кубі до трикутників з використанням тригонометрії в пірамідах.
На цій сторінці зібрано повний теоретичний мінімум та практикум із задачами НМТ та ЗНО. Ви навчитеся працювати з розгортками призм, знаходити апофеми пірамід та використовувати метод ортогональної проекції для швидкого знаходження бічної поверхні. Кожна задача супроводжується детальним поясненням логіки розв’язання.
- Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра основи на висоту Sб = P · H.
- Площа повної поверхні призми дорівнює сумі бічної поверхні та подвоєної площі основи Sп = Sб + 2Sосн.
- Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему (висоту бічної грані, проведеної з вершини піраміди) Sб = 0,5 · P · H.
- Площа повної поверхні піраміди дорівнює сумі бічної поверхні та площі основи Sп = Sб + Sосн.
72 cм²
384 cм²
192 cм²
120 cм²
240 cм²
Показати відповідь
Г.
За умовою АВ = 8 см, SD = АВ + 2 = 8 + 2 = 10 см. Росн = 3 ∙ AB = 3 ∙ 8 = 24 cм. Sб = 0,5 ∙ Росн ∙ SD = 0,5 ∙ 24 ∙ 10 = 12 ∙ 10 = 120 cм².
Завдання 2. Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює 2\sqrt{3} см.
За умовою АВ = 8 см, SD = АВ + 2 = 8 + 2 = 10 см. Росн = 3 ∙ AB = 3 ∙ 8 = 24 cм. Sб = 0,5 ∙ Росн ∙ SD = 0,5 ∙ 24 ∙ 10 = 12 ∙ 10 = 120 cм².
8 см²
16 см²
20 см²
24 см²
36\sqrt{2} см²
Показати відповідь
Г.
Так як діагональ куба зі стороною а можна знайти за формулою d = a\sqrt{3}, то маємо 2\sqrt{3} = a\sqrt{3}, звідки сторона куба дорівнює 2. Площа однієї грані куба дорівнює 2² = 4. Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6 · 4 = 24 см².
Завдання 3. Знайдіть довжину ребра куба, площа поверхні якого дорівнює 96 см².
Так як діагональ куба зі стороною а можна знайти за формулою d = a\sqrt{3}, то маємо 2\sqrt{3} = a\sqrt{3}, звідки сторона куба дорівнює 2. Площа однієї грані куба дорівнює 2² = 4. Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6 · 4 = 24 см².
2 см
3 см
4 см
6 см
8 см
Показати відповідь
В.
Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6S, де S - площа однієї грані. Тоді S = 96:6 = 16 см².Так як гранню куба є квадрат, а його площа дорівнює квадрату ребра, то ребро куба дорівнює 4 см.
Завдання 4. На рисунку зображено прямокутник і рівнобедрений трикутник, які є гранями прямої призми. Довжини основи та бічної сторони трикутника дорівнюють 10 см і 13 см відповідно. Визначте площу повної поверхні призми, якщо площа її найбільшої бічної грані дорівнює 260 см².
Так як у куба 6 однакових граней, то площа повної поверхні куба дорівнює 6S, де S - площа однієї грані. Тоді S = 96:6 = 16 см².Так як гранню куба є квадрат, а його площа дорівнює квадрату ребра, то ребро куба дорівнює 4 см.
520 см²
720 см²
780 см²
840 см²
960 см²
Показати відповідь
Г.
Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. p = (10 + 13 + 13):2 = 36:2 = 18 см. S = \sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)} = \sqrt{18\cdot8\cdot5\cdot5} = \sqrt{9\cdot16\cdot25} = 3 · 4 · 5 = 60 см². Так як трикутник є основою призми (він не може бути бічною гранню), то площа основи Sосн = 60 см².
Найбільша бічна грань містить більшу сторону основу, тобто одна зі сторін прямокутника дорівнює 13 см. Площа прямокутника S = ab, маємо 260 = 13а, звідки а = 260:13 = 20. Тоді друга сторона прямокутника бічної грані (висота призми) дорівнює 20 см. Тоді площа іншої бічної грані S = 10 · 20 = 200 см². Площа бічної поверхні призми дорівнює Sбічна = 260 + 260 + 200 = 720 см². Sповна = Sбічна + 2Sосн = 720 + 2 · 60 = 720 + 120 = 840 см².
Завдання 5. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює 3 см, а периметр її бічної грані — 22 см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.
Знайдемо площу трикутника за формулою Герона. p = (10 + 13 + 13):2 = 36:2 = 18 см. S = \sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)} = \sqrt{18\cdot8\cdot5\cdot5} = \sqrt{9\cdot16\cdot25} = 3 · 4 · 5 = 60 см². Так як трикутник є основою призми (він не може бути бічною гранню), то площа основи Sосн = 60 см².
Найбільша бічна грань містить більшу сторону основу, тобто одна зі сторін прямокутника дорівнює 13 см. Площа прямокутника S = ab, маємо 260 = 13а, звідки а = 260:13 = 20. Тоді друга сторона прямокутника бічної грані (висота призми) дорівнює 20 см. Тоді площа іншої бічної грані S = 10 · 20 = 200 см². Площа бічної поверхні призми дорівнює Sбічна = 260 + 260 + 200 = 720 см². Sповна = Sбічна + 2Sосн = 720 + 2 · 60 = 720 + 120 = 840 см².
66 см²
72 см²
96 см²
114 см²
264 см²
Показати відповідь
В.
Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 22:2 = 11 см. Так як сторона основи 3, то висота призми 11-3 = 8 см. Площа однієї грані 3 · 8 = 24 см². Так як призма правильна чотирикутна, то бічна поверхня складається з 4 однакових граней. Тоді площа бічної поверхні дорівнює 4 · 24 = 96 см².
Завдання 6. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см, а периметр її бічної грані — 20 см. Визначте площу бічної поверхні призми.
Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 22:2 = 11 см. Так як сторона основи 3, то висота призми 11-3 = 8 см. Площа однієї грані 3 · 8 = 24 см². Так як призма правильна чотирикутна, то бічна поверхня складається з 4 однакових граней. Тоді площа бічної поверхні дорівнює 4 · 24 = 96 см².
24 см²
60 см²
72 см²
84 см²
96 см²
Показати відповідь
В.
Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тому сторона основи дорівнює Р:3 = 12:3 = 4 см. Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 20:2 = 10 см. Так як сторона основи 4, то висота призми 10-4 = 6см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тобто 12 · 6 = 72 см².
Завдання 7. Периметр основи правильної трикутної призми дорівнює 12 см. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо її висота дорівнює 6 см.
Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тому сторона основи дорівнює Р:3 = 12:3 = 4 см. Бічною гранню призми є прямокутник. Тоді, так як в прямокутнику протилежні сторони рівні, то маємо суму сусідніх сторін прямокутника 20:2 = 10 см. Так як сторона основи 4, то висота призми 10-4 = 6см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тобто 12 · 6 = 72 см².
96 см²
80 см²
72 см²
32 см²
24 см²
Показати відповідь
В.
Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S = 12 · 6 = 72 см².
Завдання 8. Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як 2:3:4. Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює 12 см².
Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо S = 12 · 6 = 72 см².
42 см²
54 см²
60 см²
84 см²
108 см²
Показати відповідь
Б.
Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо сторони основи 2х, 3х та 4х. Якщо взяти висоту призми за Н, тоді площа найменшої грані дорівнює 2х · H, або 12 за умовою. Звідси х · H = 12:2 = 6 см². Периметр основи P = 2х + 3х + 4х = 9х. Тоді площа бічної грані Sбічна = P · H = 9x · H = 9 · 6 = 54 см².
Завдання 9. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює а, діагональ бічної грані — d. Укажіть формулу для обчислення площі Sб бічної поверхні цієї призми.
Нехай коефіцієнт пропорційності х. Тоді маємо сторони основи 2х, 3х та 4х. Якщо взяти висоту призми за Н, тоді площа найменшої грані дорівнює 2х · H, або 12 за умовою. Звідси х · H = 12:2 = 6 см². Периметр основи P = 2х + 3х + 4х = 9х. Тоді площа бічної грані Sбічна = P · H = 9x · H = 9 · 6 = 54 см².
Sб = 3a · \sqrt{d^2-a^2}
Sб = 3a · \sqrt{d^2 + a^2}
Sб = 3ad
Sб = a · \sqrt{a^2-d^2}
Sб = a(d² + a²)
Показати відповідь
А.
Так як призма правильна, то вона пряма. Тоді ребро висота призми є бічним ребром і її квадрат можна знайти за теоремою Піфагора як різницю квадратів діагоналі бічної грані та основи (діагональ бічної грані є гіпотенузою). Тоді висота призми дорівнює \sqrt{d^2-a^2}. Так як в основі правильний трикутник, то периметр основи дорівнює 3а. Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо Sб = 3a\sqrt{d^2-a^2}.
Завдання 10. У коробку у формі прямокутного паралелепіпеда щільно укладено у 2 ряди 10 шматочків крейди (див. рисунок 1). Кожний шматочок має форму циліндра висотою 10 см і діаметром основи 15 мм (див. рисунок 2). Визначте площу плівки, якою в один шар щільно з усіх боків без накладень обгорнуто цю коробку. Місцями з’єднання плівки та товщиною стінок коробки знехтуйте.
Так як призма правильна, то вона пряма. Тоді ребро висота призми є бічним ребром і її квадрат можна знайти за теоремою Піфагора як різницю квадратів діагоналі бічної грані та основи (діагональ бічної грані є гіпотенузою). Тоді висота призми дорівнює \sqrt{d^2-a^2}. Так як в основі правильний трикутник, то периметр основи дорівнює 3а. Так як призма правильна, то площа бічної поверхні дорівнює добутку периметра основи на висоту. Маємо Sб = 3a\sqrt{d^2-a^2}.
225 см²
255 см²
450 см²
600 см²
75 см²
Показати відповідь
Б.
За малюнком маємо наступні лінійні виміри коробки: 5 · 15 = 75 мм, 2 · 15 = 30 мм, 10 см. Переведемо всі виміри у см: 7,5 см, 3 см, 10 см. Оскільки в паралелепіпеда три пари однакових граней, то площа повної поверхні: 2(7,5 · 3 + 7,5 · 10 + 3 · 10) = 15 · 3 + 15 · 10 + 6 · 10 = 45 + 150 + 60 = 255 см².
Завдання 11. На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні цієї призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює 52 см, а периметр основи призми становить 12 см.
За малюнком маємо наступні лінійні виміри коробки: 5 · 15 = 75 мм, 2 · 15 = 30 мм, 10 см. Переведемо всі виміри у см: 7,5 см, 3 см, 10 см. Оскільки в паралелепіпеда три пари однакових граней, то площа повної поверхні: 2(7,5 · 3 + 7,5 · 10 + 3 · 10) = 15 · 3 + 15 · 10 + 6 · 10 = 45 + 150 + 60 = 255 см².
36 см²
48 см²
60 см²
72 см²
96 см²
Показати відповідь
Г.
Так як призма правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді сторона основи дорівнює Р:3 = 12:3 = 4 см. Нехай висота призми дорівнює х, тоді за малюнком периметр розгортки дорівнює, починаючи знизу, 4 + х + х + 4 + х + х + 4 + х + х + 4 = 16 + 6х, що дорівнює 52 за умовою. Тоді 16 + 6х = 52, звідки 6х = 52-16 = 36 і х = 6 см. Площа бічної поверхні правильної призми дорівнює добутку периметра основи на висоту, тому маємо 12 · 6 = 72 см².
Завдання 12. Визначте довжину апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо площа її повної поверхні дорівнює 208 см², а довжина сторони основи — 8 см.
13 см
12 см
9 см
8 см
6 см
Показати відповідь
В.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 8² = 64 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн, звідки Sбічна = Sповна-Sосн = 208-64 = 144 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 8 = 32 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 144 = 32 · ha:2, звідки довжина апофеми ha = 144:32 · 2 = 9 см.
Завдання 13. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, апофема — 7 см. Визначте площу повної поверхні цієї піраміди.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 8² = 64 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн, звідки Sбічна = Sповна-Sосн = 208-64 = 144 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 8 = 32 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 144 = 32 · ha:2, звідки довжина апофеми ha = 144:32 · 2 = 9 см.
84 см²
204 см²
156 см²
162 см²
120 см²
Показати відповідь
Д.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 6² = 36 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 6 = 24 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо Sбічна = 24 · 7:2 = 12 · 7 = 84 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн = 84 + 36 = 120 см².
Завдання 14. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, усі її бічні грані нахилені до площини основи під кутом 60°. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи піраміди Sосн = a² = 6² = 36 см². Периметр основи (квадрата) дорівнює 4a = 4 · 6 = 24 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо Sбічна = 24 · 7:2 = 12 · 7 = 84 см². Площа повної поверхні правильної піраміди Sповна = Sбічна + Sосн = 84 + 36 = 120 см².
72 см²
24\sqrt{3} см²
48\sqrt{3} см²
72\sqrt{3} см²
144 см²
Показати відповідь
А.
Знайдемо площу основи. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи Sосн = 6² = 36. Так як всі грані піраміди нахилені під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні з кутом нахилу 60°. Тоді Sбічн = Sосн:cos60° = 36:0,5 = 72 см².
Завдання 15. Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює 10 см, а довжина бічного ребра — 13 см.
Знайдемо площу основи. Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Тоді площа основи Sосн = 6² = 36. Так як всі грані піраміди нахилені під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні з кутом нахилу 60°. Тоді Sбічн = Sосн:cos60° = 36:0,5 = 72 см².
180 см²
15\sqrt{69} см²
30\sqrt{69} см²
360 см²
390 см²
Показати відповідь
А.
Так як піраміда правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді Р = 10 · 3 = 30 см. Бічна грань - рівнобедрений трикутник, бічні сторони 13, а основа 10. Апофема ділить основу навпіл, тому її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо апофему 12 (її квадрат за теоремою Піфагора 13²-5² = 169-25 = 144). Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 30 · 12:2 = 180 см².
Завдання 16. На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює 10 см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см²).
Так як піраміда правильна трикутна, то в основі лежить правильний трикутник. Тоді Р = 10 · 3 = 30 см. Бічна грань - рівнобедрений трикутник, бічні сторони 13, а основа 10. Апофема ділить основу навпіл, тому її можна знайти за теоремою Піфагора. Маємо апофему 12 (її квадрат за теоремою Піфагора 13²-5² = 169-25 = 144). Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему, тому маємо 30 · 12:2 = 180 см².
100\sqrt{3}
100
400\sqrt{3}
100(1 + \sqrt{3})
200
Показати відповідь
А.
Так як трикутники правильні, то їх площу можна знайти за формулою S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Маємо S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}. Так як сторони квадрата рівні, то рівні сторони і у трикутників. Тоді площу бічної грані знайдемо помноживши площу одного трикутника на 4. Маємо S = 4 · 25\sqrt{3} = 100\sqrt{3}.
Завдання 17. SABC і S₁A₁B₁C₁ — правильні трикутні піраміди. Кожне ребро піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁. Визначте площу бічної поверхні піраміди SABC, якщо площа бічної грані S₁A₁B₁ дорівнює 8 см².
Так як трикутники правильні, то їх площу можна знайти за формулою S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Маємо S = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}. Так як сторони квадрата рівні, то рівні сторони і у трикутників. Тоді площу бічної грані знайдемо помноживши площу одного трикутника на 4. Маємо S = 4 · 25\sqrt{3} = 100\sqrt{3}.
16 см²
24 см²
48 см²
64 см²
96 см²
Показати відповідь
Д.
З умови маємо, що грані пірамід (трикутники) подібні. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Отже, так як ребра піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁, то коефіцієнт подібності дорівнює 2. Тоді площа грані SAB в 4 рази більше площі грані S₁A₁B₁ і дорівнює 4 · 8 = 32. Так як піраміда правильна трикутна, то площу бічної поверхні піраміди SABC знайдемо помноживши площу однієї її бічної грані на 3. Маємо 32 · 3 = 96 см².
Завдання 18. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює 120°. Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом 30°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює 4 см.
З умови маємо, що грані пірамід (трикутники) подібні. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності. Отже, так як ребра піраміди SABC вдвічі більше за відповідне ребро піраміди S₁A₁B₁C₁, то коефіцієнт подібності дорівнює 2. Тоді площа грані SAB в 4 рази більше площі грані S₁A₁B₁ і дорівнює 4 · 8 = 32. Так як піраміда правильна трикутна, то площу бічної поверхні піраміди SABC знайдемо помноживши площу однієї її бічної грані на 3. Маємо 32 · 3 = 96 см².
Показати відповідь
96.
Так як дві бічні грані піраміди перпендикулярні до площини основи, то висота піраміди проходить через їх спільне ребро. Таким чином, SB- висота піраміди і дорівнює 4 см. Проведемо в ромбі висоти ВК і ВМ. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похилі SK і SM також перпендикулярні до сторін основи і кути SKB та SMB є кутами нахилу бічних граней до площини основи і дорівнюють 30° за умовою. З прямокутного трикутника SBK SK = SB:sin∠SKB = 4:sin30° = 4:0,5 = 8, BK = SBctg∠SKB = 4ctg30° = 4\sqrt{3}.Так як в ромбі кут В дорівнює 120°, то кут А дорівнює 180°-120° = 60°. З прямокутного трикутника АВК АВ = ВК:sin∠ВАК = 4\sqrt{3}:sin60° = 4\sqrt{3}:\frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}} = 4 · 2 = 8 см. Площа трикутника ASB дорівнює 0,5АВ · SB = 0,5 · 8 · 4 = 16 см². Аналогічну площу має трикутник SBC. Площа трикутника ASD дорівнює 0,5AD · SK = 0,5 · 8 · 8 = 32 ². Аналогічну площу має трикутник SDM. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює сумі площ її бічних граней і дорівнює 16 + 16 + 32 + 32 = 96 см².
Завдання 19. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює 30°. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60°. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см.
Показати відповідь
144.
Проведемо в ромбі перпендикуляр ОM. Тоді за теоремою про три перпендикуляри похила SM також перпендикулярна до сторони основи і кут SMО є кутом нахилу бічних граней до площини основи і дорівнює 60° за умовою. Крім того, оскільки ОM - перпендикуляр з центра ромба до сторони ромба, то ОM - центр вписаного кола і за умовою дорівнює 3 см. Проведемо висоту ВK ромба. Так як відрізки BK і ОM перпендикулярні до сторони основи, то вони паралельні. Так як точка О ділить BD навпіл і відрізки ОM і ВK паралельні, то ОM - середня лінія трикутника BKD, тоді ВK = 2ОM = 6 см. Так як ∠C = ∠A = 30°, то з прямокутного трикутника ВСK ВС = ВK:sin∠BKC = 6:sin30° = 6:0,5 = 12 см.
І спосіб. З прямокутного трикутника SОM SM = ОM:cos∠OMS = 3:cos60° = 3:0,5 = 6. Площа бічної грані SDC дорівнює 0,5CD · SM = 0,5 · 12 · 6 = 36 см². Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, всі ребра основи рівні, то піраміда має однакові бічні грані і площа бічної поверхні дорівнює площі однієї бічної грані, помноженої на 4, тобто 36 · 4 = 144 см²
ІІ спосіб. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули Sпр = S · cosφ слідує, що площу бічної поверхні піраміди можна знайти, поділивши площу основу на косинус кута нахилу. Площу ромба знайдемо як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони. S = CD · BK = 12 · 6 = 72 см². Поділимо це число на cos60° (0,5) і отримаємо 144 см².
Завдання 20. Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см. Обчисліть площу повної поверхні піраміди (у см²), якщо кут між апофемою та висотою піраміди дорівнює 30°.
І спосіб. З прямокутного трикутника SОM SM = ОM:cos∠OMS = 3:cos60° = 3:0,5 = 6. Площа бічної грані SDC дорівнює 0,5CD · SM = 0,5 · 12 · 6 = 36 см². Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, всі ребра основи рівні, то піраміда має однакові бічні грані і площа бічної поверхні дорівнює площі однієї бічної грані, помноженої на 4, тобто 36 · 4 = 144 см²
ІІ спосіб. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули Sпр = S · cosφ слідує, що площу бічної поверхні піраміди можна знайти, поділивши площу основу на косинус кута нахилу. Площу ромба знайдемо як добуток сторони на висоту, проведену до цієї сторони. S = CD · BK = 12 · 6 = 72 см². Поділимо це число на cos60° (0,5) і отримаємо 144 см².
Показати відповідь
108.
Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD||OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто 6:2 = 3 см. З прямокутного трикутника SOM SM = OМ:sin∠OSM = 3:sin30° = 3:0,5 = 6 см. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо Р = 4 · 6 = 24 см і Sб = 24 · 6:2 = 72 см². Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат і Sосн = 6² = 36 см². Sп = Sосн + Sб = 36 + 72 = 108 см².
Завдання 21. Усі бічні грані правильної чотирикутної піраміди нахилені до площини її основи під кутом 60°. Площа повної поверхні піраміди дорівнює 54\sqrt{6} см². Обчисліть площу (у см²) перерізу цієї піраміди площиною, що проходить через висоту піраміди й діагональ її основи.
Показати відповідь
27.
Так як піраміда правильна чотирикутна, то в основі лежить квадрат. Нехай сторона квадрата дорівнює х. Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді AD||OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто х:2 = 0,5х см. З прямокутного трикутника SOM SO = OМtg∠SMO = 0,5xtg60° = 0,5x\sqrt{3} см. Діагональ BD квадрата x\sqrt{2}. Тоді площа шуканого перерізу (трикутника BSD) дорівнює 0,5BD · SO = 0,5 · (0,5x\sqrt{3})x\sqrt{2} = 0,25x^2\sqrt{6}. Так як в піраміді усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під однаковим кутом, то основа є ортогональною проекцією бічної поверхні на основу і з формули Sпр = S · cosφ слідує, що
Sб = Sосн:cos60° = Sосн:0,5 = 2Sосн. Sп = Sосн + Sб = Sосн + 2Sосн = 3Sосн. Звідси Sосн = Sп:3 = 18\sqrt{6}. Отже x² = 18\sqrt{6}. Тоді площа шуканого перерізу дорівнює 0,25 · 18\sqrt{6}\sqrt{6} = 0,25 · 18 · 6 = 27 см².
Завдання 22. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 3 см. Апофема утворює з площиною основи кут 60°. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см²).
Показати відповідь
24.
Проведемо апофему SM. Так як відрізок SM перпендикулярний CD, то за теоремою про три перпендикуляри його проекція ОМ також перпендикулярна до CD. Тоді кут SMO є кутом між апофемою та площиною основи і дорівнює 60°. З прямокутного трикутника SOM SM = SO:sin∠OMS = 3:sin60° = 3:\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6}{\sqrt{3}}, OM = SO:tg∠OMS = 3:tg60° = \frac{3}{\sqrt{3}}. Так як Тоді AD||OM і так як О - середина АС, то ОМ - середня лінія трикутника ACD і дорівнює половині основи AD, тобто AD = 2OM = \frac{6}{\sqrt{3}} см. Тоді периметр основи Р = 4AD = \frac{24}{\sqrt{3}}. Площа бічної поверхні піраміди дорівнює половині добутку периметра основи на апофему. Маємо \frac{24}{\sqrt{3}}\cdot\frac{6}{\sqrt{3}}:2 = \frac{24\cdot6}{3\cdot2} = 24 см².
Коментарі