Перейти до основного вмісту

Об'єм призми (паралелепіпеда, куба)

  • Об'єм призми дорівнює добутку площі основи на висоту V=Sосн⋅H
  • Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів (довжини, ширини та висоти) V=abc
  • Об'єм куба дорівнює кубу довжини його ребра V=a3

Завдання. НМТ 2026 (демо). Основою прямої призми є ромб із гострим кутом 60°. Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює 240√3. Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює 8√3.

Показати відповідь
3600.
Розглянемо більший діагональний переріз AA1C1C. В ньому AA1 = 8√3 за умовою. Площа цього перерізу S = AA1 ⋅ AC, що дорівнює 240√3 за умовою. Тоді АС = 240√3 : (8√3) = 30. Так як ∠A = 60° за умовою, а сума двох сусідніх кутів ромба дорівнює 180°, то ∠B = 180° - ∠A = 180 ° - 60° = 120°. Розглянемо трикутник АВС. Нехай АВ = ВС = х. Запишемо теорему косинусів для сторони АС.
AC2 = AB2 + BC2 - 2 ⋅ AB ⋅ BC ⋅ cos∠B
302 = x2 + x2 - 2 ⋅ x ⋅ x ⋅ cos120°
900 = 2x2 - 2x2 ⋅ cos(180° - 60°)
900 = 2x2 + 2x2 ⋅ cos60°
900 = 2x2 + 2x2 ⋅ 0,5
900 = 2x2 + x2
3x2 = 900
x2 = 900 : 3
x2 = 300
Тоді площа ромба (основи призми) Sосн = AB2 ⋅ sin ∠A = 300 ⋅ sin60° = 300\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=150\sqrt{3}. V = Sосн ⋅ H = 150\sqrt{3} \cdot 8\sqrt{3} = 150 ⋅ 8 ⋅ 3 = 3600.
  1. НМТ 2023. Основою прямої призми є ромб зі стороною 20. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 58. Визначте об'єм призми, якщо її висота дорівнює 5.
    Показати відповідь
    1920.
  2. Визначте об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює 12.
    АБВГД
    16 64 48 64 576
    Показати відповідь
    А.
    Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Його сторона 12:3=4. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 4. Площа основи призми S==. Об'єм призми V=Sоснh=.
  3. Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює см2.
    АБВГД
    54см3 27см3 27 см3 см3 162см3
    Показати відповідь
    А.
    Так як призма трикутна правильна, то в основі лежить правильний трикутник. Площа правильного трикутника зі стороною а дорівнює . Тоді маємо . Звідси a2=9⋅4=36. Тоді сторона основи 6. Так як бічні грані квадрати, то висота призми дорівнює стороні основи і дорівнює 6. Об'єм призми V=Sоснh=9⋅6=54.
  4. На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють 40 см, 40 см і 50 см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить 5 см, а товщина днища — 10 см. Який об’єм бетону (у м3) було використано для виготовлення 10 таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.

    АБВГД
    0,32 м3 0,33 м3 0,36 м3 0,44 м3 0,8 м3
    Показати відповідь
    Г.
    Спочатку обчислимо об'єм зовнішнього паралелепіпеда. Так як він є прямокутним, то його об'єм дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V1=40⋅40⋅50=80000 см3. Знайдемо об'єм внутрішнього (полого) паралелепіпеда. Внутрішній (полий) прямокутний паралелепіпед має виміри 40-5-5=30 см, 50-5-5=40 см, 40-10=30 см. Тоді його об'єм V2=30⋅40⋅30=36000 см3. Об'єм використаного бетону дорівнює різниці об'ємів зовнішнього і внутрішнього паралелепіпедів, тобто V1-V2=80000-36000=44000 см3. Тоді на 10 таких ємностей піде 44000⋅10=440000 см3. Оскільки в 1 м 100 см, то в 1 м3 1003=1000000 см3. Тоді для переведення см3 в м3 поділимо отримане число на 1000000. Маємо 440000:1000000=0,44 м3.
  5. На рисунку зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть об’єм цього паралелепіпеда.

    АБВГД
    96 см3 108 см3 128 см3 136 см3 144 см3
    Показати відповідь
    А.
    За малюнком маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 4 см та 12-4=8 см (сторона 12 складається з висоти паралелепіпеда та частини, що прилягає до сторони 4 см). Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=3⋅4⋅8=96 см3.
  6. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких - 3 см і 6 см. Визначте об’єм цього тіла.

    АБВГД
    108 см3 54 см3 144 см3 36 см3 Інша відповідь
    Показати відповідь
    А.
    Дана розгортка є розгорткою прямокутного паралелепіпеда. За малюнком та даними числами маємо лінійні розміри прямокутного паралелепіпеда 3 см, 6 см та 6 см. Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=3⋅6⋅6=108 см3.
  7. Основою прямої трикутної призми АВСА1В1С1 є рівнобедрений трикутник АВС, де АВ=ВС=25 см, АС=30 см. Через бічне ребро АА1 призми проведено площину, перпендикулярну до ребра ВС. Визначте об’єм призми (у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює 72 см2.
    Показати відповідь
    900.

    Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона. р=(АВ+ВС+АС):2=(25+25+30):2=40 см. S= ====20⋅15=300. Так як площина перерізу перпендикулярна до ВС, то відрізок АМ є висотою трикутника АВС. З формули площі трикутника S=0,5ah, маємо h=2S:a. Тоді АМ=2⋅300:25=24 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку його сторін. Маємо S=AM⋅AA1. Підставимо відомі значення і отримаємо 72=24⋅AA1, звідки AA1=72:24=3 см. Об'єм призми знаходимо за формулою V=Sоснh. Маємо S=300⋅3=900 см3.
  8. Цеглина має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 25 см, 12 см, 6,5 см. Знайдіть масу m цеглини (у г). (Для знаходження маси цеглини скористайтеся формулою m=ρV, де V – об’єм, ρ=1,8 г/см3 — густина цегли).
    Показати відповідь
    3510
    Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його лінійних вимірів. Маємо V=25⋅12⋅6,5=1950 см3. Тоді m=1,8⋅1950=3510 г.
  9. Основою прямої призми ABCDA1B1C1D1 є рівнобічна трапеція ABCD. Основа АD трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу ВС. Через бічне ребро СС1 призми проведено площину паралельно ребру АВ. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см2), якщо об’єм призми дорівнює 672 см3, а її висота - 8 см.
    Показати відповідь
    104.

    Нехай ВС=х. Тоді АD=BK=6х (ВК - висота трапеції). Знайдемо площу трапеції. S=(BC+AD)⋅BK:2=(x+6x)⋅6x:2=7x⋅3x=21x2. Об'єм прямої призми дорівнює добутку площі основи на висоту призми (її ребро). Маємо V=Sh. Підставимо відомі значення і отримаємо 672=21x2⋅8. Звідси x2=672:21:8=4 і х=2 см. Тоді ВС=2 см, AD=BK=12 см. Проведемо висоту СМ трапеції. Так як трапеція рівнобічна, то АК=МD. ВСМК - прямокутник, тому КМ=ВС=2 см. Тоді АК+MD=AD-KM=12-2=10 см і АК=10:2=5 см. З прямокутного трикутника АВК за теоремою Піфагора AB2=AK2+BK2=25+144=169. Звідси АВ=13 см. Так як площина перерізу паралельна АВ, то СР=АВ=13 см. Так як переріз є прямокутником, то його площа дорівнює добутку сторін. Маємо S=CP⋅CC1=13⋅8=104 см2.
⇐VІ.4.
Тіла обертання		 До змісту ⇒VІ.6.
Об'єм піраміди

Коментарі

Big-boss777 каже…
Дякую за доволі цікавий список задач. Буду радити колегам. Хотілося б поділитись з Вашою аудиторію ресурсом, на матеріалах якого навчаюсь. Можливо комусь пригоди обсяг: https://www.mathros.net.ua/kategorija/surface-area-and-volume-geometric-shapes
8 березня 2023 р. о 20:57
Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Рівняння та нерівності підвищеного рівня (з параметром)

Завдання. НМТ 2026 (демо). За якого найбільшого значення a рівняння 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 не має коренів?. Показати відповідь -2,5 . 3 x + (4a 2 + 10a) ⋅ 3 -x = 4a + 5 Помножимо обидві частини рівності на 3 x 3 2x + 4a 2 + 10a = (4a + 5)3 x Нехай 3 x = t. Так як 3 x >0, то t >0 t 2 + 4a 2 + 10a = (4a + 5)t t 2 - (4a + 5)t + 4a 2 + 10a = 0 D = (4a + 5) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ (4a 2 + 10a) = 16a 2 + 40a + 25 - 16a 2 - 40a = 25 t_1 = \frac{4a+5-\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5-5}{2} = \frac{4a}{2} = 2a t_2 = \frac{4a+5+\sqrt{25}}{2\cdot1} = \frac{4a+5+5}{2} = \frac{4a+10}{2} = \frac{2(2a+5)}{2} = 2a+5 Рівняння не має коренів, якщо обидва ці корені не відповідають умові t >0, тобто при t ≤ 0. 2a ≤ 0 a ≤ 0 : 2 a ≤ 0 2a + 5 ≤ 0 2a ≤ - 5 a ≤ - 5 : 2 a ≤ - 2,5 Числова пряма з точками t -2,5 0 Отже рівняння не має коренів при a ∈ (-∞ -2,5]. Найбільше значення з цього проміжку ...
1 коментар
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no solution,one solution, or infinitely many solutions. In this post, we will look at how to solve equations that contain one variable to the first power. Such equations are called linear equations . To solve such equations, you can apply The Subtraction property of equality. If a = b, then a - c =b - c ; The Addition property of equality. If a = b, then a + c = b...
Дописати коментар