Перейти до основного вмісту

Тіла обертання

Завдання. НМТ 2026 (демо). Висота конуса та його твірна лежать на прямих, що

паралельні
не мають спільних точок
перпендикулярні
мимобіжні
належать одній площині
Показати відповідь
Д. Так як висота конуса та його твірна перетинаються, то за аксіомою стереометрії через них можна провести площину. Отже вони належать одній площині.
  1. НМТ 2024. На рисунку зображено циліндр, прямокутник ABCD – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.
    АБВГД
    AD BC AC BD AB
    Показати відповідь
    Д.
  2. НМТ 2023. Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: "Циліндр утворений обертанням ...
    АБВГД
    квадрата навколо його сторони" прямокутника навколо його діагоналі" прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи" прямокутного трикутника навколо його катета" квадрата навколо його діагоналі"
    Показати відповідь
    А.
  3. Радіус основи конуса дорівнює 4, його висота — h, а твірна — l. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для h і l.
    АБВГД
    16+h2=l2 4+h=l 16-h2=l2 h2-l2=16 8+h2=l2
    Показати відповідь
    А.
    Радіус основи, висота та твірна в конусі утворюють прямокутний трикутник з гіпотенузою - твірною. Тоді за теоремою Піфагора 16+h2=l2.
  4. Радіус основи конуса дорівнює r, твірна — l. Твірна утворює з висотою конуса кут 60o (див. рисунок). Визначте

    АБВГД
    =2
    Показати відповідь
    А.
    Маємо прямокутний трикутник з кутом 60o, гіпотенузою (твірною) та протилежним катетом (радіус основи). Тоді sin60o=, звідки .
  5. Точки А та В лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка АВ.
    АБВГ
    20 см 100π см 10 см 20π см
    Показати відповідь
    А.
    Найбільше можливе знавчення довжини відрізка АВ буде в тому випадку, якщо АВ - діаметр сфери. Тоді АВ=d=2R=2⋅10=20 см.
  6. Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота h цієї шухлядки?

    АБВГ
    3 см 6 см 10 см 13 см
    Показати відповідь
    Г.
    Так як висота шухляди повинна бути не менше діаметра кульки, то вона повинна бути не менше 2R=2⋅6=12 см. Підходить лише 13 см.
  7. Переріз кулі площиною має площу 81π см2. Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює 15 см.
    АБВГД
    6 см 8 см 9 см 12 см 15 см
    Показати відповідь
    Г.

    Перерізом кулі площиною є круг. Площу круга можна знати за формулою S=πR2. Таким чином πАВ2=81π, звідси АВ=9 см. Так як радіус кулі перпендикулярний до площини перерізу, то трикутник АВО прямокутний, в якому радіус кулі ОВ є гіпотенузою і дорівнює 15 см. За теоремою Піфагора ОА2=ОВ2-АВ2=225-81=144, звідки ОА дорівнює 12 см.
  8. Довжина кола основи конуса дорівнює 36π, твірна нахилена до площини основи під кутом 30o . Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).
    ВідрізокДовжина
    1 радіус основи конуса
    2 висота конуса
    3 радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса    		 А 6
    Б 18
    В 12
    Г 6
    Д 36
    Показати відповідь
    1-Б, 2-А, 3-В.

    1)Довжину кола можна знайти за формулою C=2πR. Звідси 2πR=36π, тому R=18.
    2) З прямокутного трикутника AOB AO=OBtg∠ABO=18tg30o=18⋅=6.
    3) Радіусом сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса, є твірна AB. З прямокутного трикутника AOB AB=2AO=12 (катет, що лежить проти кута 30o, дорівнює половині гіпотенузи).
  9. Установіть відповідність між вимірами циліндра (1-3) та правильним щодо нього твердженням (А-Д).
    Виміри циліндра Твердження щодо циліндра
    1 радіус основи дорівнює 6, висота - 4
    2 радіус основи дорівнює 2, висота - 6
    3 радіус основи дорівнює 4, висота - 6    		 А циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 та 6 навколо більшої сторони
    Б площа основи циліндра дорівнює 12π
    В твірна циліндра дорівнює 4
    Г площа бічної поверхні циліндра дорівнює 24π
    Д об’єм циліндра дорівнює 48π
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-А.
    1) Так як довжина твірної співпадає з довжиною висоти циліндра, то твірна циліндра дорівнює 4 см.
    2) Sбічна=2πRH=2π⋅2⋅6=24π.
    3) Циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 (радіус) та 6 (висота) навколо більшої сторони.
  10. Установіть відповідність між фігурою (1-4) і тілом обертання (А-Д), утвореним унаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

    Показати відповідь
    1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б.
    1) Отримуємо циліндр.
    2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
    3) Отримаємо зрізаний конус.
    4) Отримаємо циліндр і конус зі спільною основою.
  11. Установіть відповідність між фігурою (1-4) і тілом обертання (А-Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

    Показати відповідь
    1-Г, 2-А, 3-В, 4-Д.
    1) Отримуємо конус.
    2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
    3) Отримаємо циліндр і два конуси, які мають з циліндром спільні основи.
    4) Отримаємо зрізаний конус.
  12. Довжина кола основи конуса дорівнює 8π см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює 3 см.
    Показати відповідь
    5.

    Довжину кола можна знайти за формулою C=2πR. Звідси 2πR=8π, звідси R=4 см. З прямокутного трикутника ОАВ за теоремою Піфагора AB2=ОА2+ОВ2=9+16=25. Звідси твірна АВ дорівнює 5 см.
⇐VІ.3.
Піраміда та її елементи		 До змісту ⇒VІ.5.
Об'єми призми (паралелепіпеда, куба)

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Завдання. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількість стільців – 4х. Разом їх буде 3х + 4х = 7х. Отже, сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців ділиться націло на 7, і лише число 91 задовольняє цій умові. Завдання. НМТ 2026 (демо). Узгодьте вираз (1– 3) із його значенням (А – Д), якщо m = -\frac{4}{3} 1 |𝑚 − 4| 2 4m −1 3 (3𝑚 + 1) 0 А –3 Б 1 В 0 Г 3 Д \frac{16}{3} Показати відповідь 1-Д, 2-А, 3-Б . 1. |-\frac{4}{3}-4|=|-\frac{4}{3}-\frac{12}{3}|=|\frac{-4-12}{3}|=|\frac{-16}{3}|=\frac{16}{3} 2. 4\cdot(-\frac{4}{3})^{-1} = 4\cdot (-\frac{3}{4}) = -3 (при зміні знака степеня дріб перевертається) 3. Кожне число, від'ємне від 0, в нульовій степені д...
3 коментарі
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія 1. Знаходження n-го члена арифметичної прогресії: а n =а 1 +(n-1)d 2. Знаходження суми перших n членів арифметичної прогресії: S n = або S n = 3. Співвідношення між сусідніми членами прогресії: 2а n =а n-1 +а n+1 НМТ 2024. В арифметичній прогресії (a n ) відомо, що a 6 – a 1 = –30. Обчисліть значення виразу a 6 – a 4 . А Б В Г Д 12 10 –15 –10 –12 Показати відповідь Д . НМТ 2023. Студент вивчав японську мову за такою методикою: у перший день він запам'ятав 6 ієрогліфів, а кожного наступного дня - на 2 ієрогліфи більше, ніж попереднього. Скільки всього ієрогліфів запам'ятав цей студент за 25 днів від першого дня вивчення японської мови? Показати відповідь 750 . НМТ 2023. Число 27 є членом арифметичної прогресії з різницею d=5. Визначте числа з проміжку (60; 75), що є членами цієї прогресії. У відповідь запишіть суму цих чисел. Показати відповідь 201 . Задано арифметичну прогресію (a n ), у якій різниця d...
5 коментарів
Read more »

Комбінаторика

1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a+b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і І об'єкт і ІІ об'єкт можна a⋅b способами. 3. Перестановки . Якщо з n об'єктів потрібно обрати всі n, то це можна зробити P n =n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n-1)⋅n способами. 4. Розміщення . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання важливий, то це можна зробити = способами. 5. Комбінації . Якщо з n об'єктів потрібно обрати m, причому порядок обрання не важливий, то це можна зробити = способами. Примітка . Скорочення факторіалів = =5⋅6⋅7=210 Завдання. НМТ 2026 (демо). У квітковому магазині є 12 білих та 25 червоних троянд. Покупець замовив у цьому магазині букет із двох білих троянд й однієї червоної. Скільки всього є варіантів такого вибору? Показати відповідь 1650 . Оскільки порядок вибору листіво...
15 коментарів
Read more »

Функції за графіками

Завдання. НМТ 2026 (демо). На якому рисунку зображено ескіз графіка квадратичної функції, що набуває лише додатних значень на всій області визначення? Показати відповідь Д . Якщо графік квадратичної функції набуває лише додатних значень на всій області визначення, то він повинен весь лежати вище осі х. Таккій умові задовольняє тільки графік Д. НМТ 2024. Графік однієї з наведених функцій проходить через точку, зображену на рисунку. Укажіть цю функцію. А Б В Г Д y = log 4 x y = x + 2 y = −x 2 Показати відповідь В . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [–3; 3]. У яких координатних чвертях розташований графік функції y = f(x – 4)? А Б В Г Д лише в І та ІІ лише в ІІ та ІІІ лише в ІІІ та ІV лише в І та ІV у всіх чвертях Показати відповідь Г . НМТ 2024. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на відрізку [1; 9]. Доберіть до початку речення (1–3) його закінчення (А − Д) ...
13 коментарів
Read more »

Трикутники та їх властивості

Види трикутників За кутами Гострокутний - всі кути гострі (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 <a 2 +b 2 ). Прямокутний - один з кутів прямий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 =a 2 +b 2 ). Тупокутний - один з кутів тупий (якщо a, b, c - сторони трикутника, причому с - найбільша, то c 2 >a 2 +b 2 ). За сторонами Різносторонній - всі сторони різні. Рівнобічний - дві сторони рівні (називаються бічними, третя - основою). Рівносторонній (правильний) - всі сторони рівні. Основні елементи трикутників Медіана - відрізок, який сполучає вершину трикутника з серединою протилежної сторони (ділить сторону навпіл). Медіани трикутника перетинаються в одній точці і точкою перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини. Висота - відрізок, який проведений з вершини трикутника перпендикулярно до протилежної сторони. Бісектриса - відрізок, який проведено з вершини до протилежної сторони і який ділить к...
5 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

Solving Linear Equations with One Variable: A Step-by-Step Guide

Struggling with math variables? This step-by-step guide breaks down linear equations into simple, manageable steps. From basic properties of equality to complex examples with fractions, you'll find everything you need to master the basics and gain confidence in your algebra skills. Dive in to see solved examples and test yourself with our interactive quiz at the end! An equation is an equality that contains a variable. You are required to find a number that, when substituted for the variable, yields a correct numerical equality (the same numbers on the left and right sides of the equality). In other words, you need to find the solution of the equation . For example, in the equation 2x - 6x + 8 = 7x - 3, we can substitute 1 for the variable x and obtain a correct numerical equality, since 2(1) - 6(1) + 8 = 2 - 6 + 8 = 4 and 7(1) - 3 = 7 - 3 = 4. Therefore, x = 1 is a solution of the equation. When solving equations, we may encounter the following cases: the equation has no s...
Дописати коментар