Перейти до основного вмісту

Тіла обертання

Тіла обертання (циліндр, конус, куля) — це просторові фігури, що утворюються внаслідок обертання плоскої геометричної фігури навколо певної прямої (осі). Ця тема є фундаментом для розуміння стереометрії, оскільки вона поєднує властивості плоских фігур з об'ємними характеристиками.

На цій сторінці ви знайдете теоретичний мінімум та практикум із задачами НМТ. Ми розберемося, як правильно визначати твірні, радіуси та висоти тіл, навчимося візуалізувати складні комбінації (наприклад, два конуси зі спільною основою) та розв'язувати задачі на переріз кулі площиною. Особливу увагу приділено властивостям розгорток та аксіомам стереометрії, що лежать в основі побудови тіл обертання.

Завдання. НМТ 2026 (демо). Висота конуса та його твірна лежать на прямих, що

паралельні
не мають спільних точок
перпендикулярні
мимобіжні
належать одній площині
Показати відповідь
Д. Так як висота конуса та його твірна перетинаються, то за аксіомою стереометрії через них можна провести площину. Отже вони належать одній площині.
  1. НМТ 2024. На рисунку зображено циліндр, прямокутник ABCD – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.
    АБВГД
    AD BC AC BD AB
    Показати відповідь
    Д.
    AD - діаметр основи, BC - діаметр основи, АС - діагональ осьового перерізу, BD - діагональ осьового перерізу, AB - твірна.
  2. НМТ 2023. Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: "Циліндр утворений обертанням ...
    АБВГД
    квадрата навколо його сторони" прямокутника навколо його діагоналі" прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи" прямокутного трикутника навколо його катета" квадрата навколо його діагоналі"
    Показати відповідь
    А.
    Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони
  3. Радіус основи конуса дорівнює 4, його висота — h, а твірна — l. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для h і l.
    АБВГД
    16+h2=l2 4+h=l 16-h2=l2 h2-l2=16 8+h2=l2
    Показати відповідь
    А.
    Радіус основи, висота та твірна в конусі утворюють прямокутний трикутник з гіпотенузою - твірною. Тоді за теоремою Піфагора 16+h2=l2.
  4. Радіус основи конуса дорівнює r, твірна — l. Твірна утворює з висотою конуса кут 60o (див. рисунок). Визначте \frac{r}{l}

    АБВГД
    \frac{r}{l}=\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{r}{l}=\frac{1}{2} \frac{r}{l}=\frac{2}{\sqrt{3}} \frac{r}{l}=2 \frac{r}{l}=\sqrt{3}
    Показати відповідь
    А.
    Маємо прямокутний трикутник з кутом 60o, гіпотенузою (твірною) та протилежним катетом (радіус основи). Тоді sin60o=\frac{r}{l}, звідки \frac{r}{l}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  5. Точки А та В лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка АВ.
    АБВГ
    20 см 100π см 10 см 20π см
    Показати відповідь
    А.
    Найбільше можливе знавчення довжини відрізка АВ буде в тому випадку, якщо АВ - діаметр сфери. Тоді АВ=d=2R=2⋅10=20 см.
  6. Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота h цієї шухлядки?

    АБВГ
    3 см 6 см 10 см 13 см
    Показати відповідь
    Г.
    Так як висота шухляди повинна бути не менше діаметра кульки, то вона повинна бути не менше 2R=2⋅6=12 см. Підходить лише 13 см.
  7. Переріз кулі площиною має площу 81π см2. Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює 15 см.
    АБВГД
    6 см 8 см 9 см 12 см 15 см
    Показати відповідь
    Г.

    Перерізом кулі площиною є круг. Площу круга можна знати за формулою S=πR2. Таким чином πАВ2=81π, звідси АВ=9 см. Так як радіус кулі перпендикулярний до площини перерізу, то трикутник АВО прямокутний, в якому радіус кулі ОВ є гіпотенузою і дорівнює 15 см. За теоремою Піфагора ОА2=ОВ2-АВ2=225-81=144, звідки ОА дорівнює 12 см.
  8. Довжина кола основи конуса дорівнює 36π, твірна нахилена до площини основи під кутом 30o . Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).
    ВідрізокДовжина
    1 радіус основи конуса
    2 висота конуса
    3 радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса    		 А 6\sqrt{3}
    Б 18
    В 12\sqrt{3}
    Г 6
    Д 36
    Показати відповідь
    1-Б, 2-А, 3-В.

    1)Довжину кола можна знайти за формулою C=2πR. Звідси 2πR=36π, тому R=18.
    2) З прямокутного трикутника AOB AO=OBtg∠ABO=18tg30o=18⋅\frac{\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}.
    3) Радіусом сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса, є твірна AB. З прямокутного трикутника AOB AB=2AO=12\sqrt{3} (катет, що лежить проти кута 30o, дорівнює половині гіпотенузи).
  9. Установіть відповідність між вимірами циліндра (1-3) та правильним щодо нього твердженням (А-Д).
    Виміри циліндра Твердження щодо циліндра
    1 радіус основи дорівнює 6, висота - 4
    2 радіус основи дорівнює 2, висота - 6
    3 радіус основи дорівнює 4, висота - 6    		 А циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 та 6 навколо більшої сторони
    Б площа основи циліндра дорівнює 12π
    В твірна циліндра дорівнює 4
    Г площа бічної поверхні циліндра дорівнює 24π
    Д об’єм циліндра дорівнює 48π
    Показати відповідь
    1-В, 2-Г, 3-А.
    1) Так як довжина твірної співпадає з довжиною висоти циліндра, то твірна циліндра дорівнює 4 см.
    2) Sбічна=2πRH=2π⋅2⋅6=24π.
    3) Циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 (радіус) та 6 (висота) навколо більшої сторони.
  10. Установіть відповідність між фігурою (1-4) і тілом обертання (А-Д), утвореним унаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

    Показати відповідь
    1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б.
    1) Отримуємо циліндр.
    2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
    3) Отримаємо зрізаний конус.
    4) Отримаємо циліндр і конус зі спільною основою.
  11. Установіть відповідність між фігурою (1-4) і тілом обертання (А-Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.

    Показати відповідь
    1-Г, 2-А, 3-В, 4-Д.
    1) Отримуємо конус.
    2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
    3) Отримаємо циліндр і два конуси, які мають з циліндром спільні основи.
    4) Отримаємо зрізаний конус.
  12. Довжина кола основи конуса дорівнює 8π см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює 3 см.
    Показати відповідь
    5.

    Довжину кола можна знайти за формулою C=2πR. Звідси 2πR=8π, звідси R=4 см. З прямокутного трикутника ОАВ за теоремою Піфагора AB2=ОА2+ОВ2=9+16=25. Звідси твірна АВ дорівнює 5 см.
⇐VІ.3.
Піраміда та її елементи		 До змісту ⇒VІ.5.
Об'єми призми (паралелепіпеда, куба)

Коментарі

Дописати коментар

Популярні публікації

Дійсні числа

Дійсні числа — це база математичної підготовки, що охоплює всі види числових множин: від натуральних до ірраціональних. На цій сторінці ми зібрали ключові ознаки подільності , правила порівняння звичайних дробів та ірраціональних виразів, а також алгоритми роботи зі степенями, що мають нульовий або від’ємний показник. Для ефективної підготовки до іспитів ми підготували великий практичний блок , що включає реальні приклади минулих років. Ви зможете розібрати методи оцінювання значень коренів, округлення чисел та роботу з логарифмами. Кожне завдання має детальне розв’язання, що допоможе учням опанувати навички швидких обчислень без помилок. Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Кількість вироблених підприємством за рік столів відноситься до кількості виготовлених стільців як 3 : 4. Якою може бути сумарна кількість вироблених за рік підприємством столів і стільців? 72 87 91 95 101 Показати відповідь В . Якщо ввести коефіцієнт пропорційності х, то кількість столів буде 3х, а кількіс...
3 коментарі
Read more »

Комбінаторика

Комбінаторика — це розділ математики, який вчить підраховувати кількість можливих варіантів вибору або розташування об’єктів без їхнього безпосереднього переліку. Розуміння базових правил додавання та множення , а також розрізнення перестановок, розміщень та комбінацій є ключем до розв’язання складних логічних задач та підготовки до вивчення теорії ймовірностей. Для успішного складання іспитів ми підготували комплексний практичний блок , що базується на завданнях НМТ та тестах минулих років. Ви зможете детально розібрати алгоритми формування розкладів, вибору комплектів товарів та створення цифрових кодів. Кожне завдання супроводжується поясненням, яке допоможе вашим учням зрозуміти, коли порядок елементів має значення, а коли — ні. 1. Правило додавання . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати або І об'єкт або ІІ об'єкт можна a + b способами. 2. Правило множення . Якщо І об'єкт можна обрати а способами, а ІІ - b способами, то обрати і...
15 коментарів
Read more »

Арифметична прогресія

Арифметична прогресія — це особливий вид числової послідовності, де кожен наступний член відрізняється від попереднього на сталу величину. У шкільному курсі математики та в тестах НМТ ця тема є фундаментальною, оскільки вона поєднує в собі чіткі алгебраїчні алгоритми та вміння моделювати реальні життєві ситуації. Вміння швидко визначати різницю прогресії та застосовувати формули суми дозволяє ефективно розв'язувати як прості тестові вправи, так і складні задачі на розрахунок вартості послуг, планування тренувань або аналіз фінансових накопичень. На цій сторінці ми розберемо реальні завдання НМТ та ЗНО . Ви знайдете детальні пояснення до задач різних рівнів складності: від знаходження першого члена за відомим n-м до визначення параметрів прогресії у прикладних контекстах. Тут зібрано весь необхідний теоретичний мінімум: базові формули n-го члена, два способи обчислення суми перших n членів та характерну властивість середнього арифметичного для сусідніх елементів ряду. Арифмети...
5 коментарів
Read more »

Лінійні, квадратичні, дробово-раціональні нерівності

Лінійні, квадратичні та дробово-раціональні нерівності — це базовий інструмент математичного аналізу, що дозволяє визначати проміжки значень змінної, які задовольняють задані умови. Вміння працювати з цими нерівностями є фундаментом для дослідження функцій, знаходження їхніх областей визначення та розв'язання складних оптимізаційних задач у точних науках. На цій сторінці представлено алгоритми розв’язання основних типів нерівностей: від найпростіших лінійних до дробових, що потребують застосування методу інтервалів. Ми детально розберемо правила перетворення нерівностей, принципи позначення точок на числовій прямій та особливості врахування ОДЗ у дробових виразах на прикладах реальних завдань НМТ. Для розв'язування лінійних нерівностей вирази з невідомою переносимо в ліву частину нерівності, все інше в праву частину нерівності, і поступово рівносильними перетвореннями залишаємо в лівій частині нерівності лише невідоме ( Пам'ятайте! При множенні обох частин нерівності ...
Дописати коментар
Read more »

Взаємне розміщення прямих і площин у просторі

Розуміння того, як взаємодіють прямі та площини у просторі — це фундамент, на якому тримається вся стереометрія. На відміну від планіметрії, тут з’являються мимобіжні прямі, які ніколи не перетинаються, але й не є паралельними, а паралельність площин потребує перевірки одразу за двома прямими, що перетинаються. Цей розділ містить повний перелік опорних конспектів та тестових завдань , що максимально наближені до формату НМТ та ЗНО. Ми детально розберемо аксіоми стереометрії, ознаки паралельності та особливості куба як моделі для розв’язання задач. Ви навчитеся безпомилково визначати взаємне розміщення елементів, що є критично важливим для успішного виконання геометричної частини іспиту. Прямі у просторі можуть : перетинатися , тоді через них можна провести площину, причому тільки одну бути паралельними , якщо вони не перетинаються і лежать в одній площині ( ознака паралельності прямих: дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою) бути мимобіжними , якщо вони н...
6 коментарів
Read more »

Рекомендований допис

10 клас. Алгебра і початки аналізу

10 клас. Алгебра і початки аналізу — це вихід на новий рівень математичного мислення. Цього року ви опануєте «математику змін»: від дослідження складних функцій та їхніх властивостей до занурення у світ тригонометрії та перших кроків у диференціальному численні. Ви навчитеся не просто обчислювати, а аналізувати процеси, прогнозувати результати та бачити логіку в найскладніших системах. Ці знання — це фундамент не лише для успішного складання НМТ, а й для розуміння сучасної економіки, фізики та ІТ-технологій. Оберіть тему, і перетворіть складні формули на свій надійний інструмент для підкорення нових інтелектуальних вершин! Тема 1. Множини та функції Множини, операції над множинами Взаємно однозначна відповідність між елементами множин. Рівнопотужні множини Числові множини. Множина дійсних чисел Числові функції. Їх властивості та графіки Властивості і графіки основних видів функцій Оборотні функції. Взаємно обернені функції Побудова графіків функцій за допомогою ...
Дописати коментар