Тіла обертання (циліндр, конус, куля) — це просторові фігури, що утворюються внаслідок обертання плоскої геометричної фігури навколо певної прямої (осі). Ця тема є фундаментом для розуміння стереометрії, оскільки вона поєднує властивості плоских фігур з об'ємними характеристиками.
На цій сторінці ви знайдете практикум із задачами НМТ. Розберемося, як визначати твірні, радіуси та висоти тіл, навчимося працювати з осьовими перерізами, розгорткою бічної поверхні конуса та перерізами кулі площиною, а також розв'язувати задачі на відповідність між плоскими фігурами та тілами обертання.
Завдання 1. НМТ 2026 (демо). Висота конуса та його твірна лежать на прямих, що
паралельні
не мають спільних точок
перпендикулярні
мимобіжні
належать одній площині
Показати відповідь
Д. Так як висота конуса та його твірна перетинаються, то за аксіомою стереометрії через них можна провести площину. Отже вони належать одній площині.
Завдання 2. На рисунку зображено циліндр, прямокутник ABCD – його осьовий переріз. Укажіть відрізок, який є твірною цього циліндра.
AD
BC
AC
BD
AB
Показати відповідь
Д.
AD - діаметр основи, BC - діаметр основи, АС - діагональ осьового перерізу, BD - діагональ осьового перерізу, AB - твірна.
Завдання 3. Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: "Циліндр утворений обертанням ...
AD - діаметр основи, BC - діаметр основи, АС - діагональ осьового перерізу, BD - діагональ осьового перерізу, AB - твірна.
квадрата навколо його сторони"
прямокутника навколо його діагоналі"
прямокутного трикутника навколо його гіпотенузи"
прямокутного трикутника навколо його катета"
квадрата навколо його діагоналі"
Показати відповідь
А.
Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони
Циліндр утворений обертанням квадрата навколо його сторони
Завдання 4. Радіус основи конуса дорівнює 4, його висота — h, а твірна — l. Укажіть серед наведених правильне співвідношення для h і l.
16 + h² = l²
4 + h = l
16-h² = l²
h²-l² = 16
8 + h² = l²
Показати відповідь
А.
Радіус основи, висота та твірна в конусі утворюють прямокутний трикутник з гіпотенузою - твірною. Тоді за теоремою Піфагора 16 + h² = l².
Завдання 5. Радіус основи конуса дорівнює r, твірна — l. Твірна утворює з висотою конуса кут 60° (див. рисунок). Визначте rl
Радіус основи, висота та твірна в конусі утворюють прямокутний трикутник з гіпотенузою - твірною. Тоді за теоремою Піфагора 16 + h² = l².
rl = √32
rl = 12
rl = 2√3
rl = 2
rl = √3
Показати відповідь
А.
Маємо прямокутний трикутник з кутом 60°, гіпотенузою (твірною) та протилежним катетом (радіус основи). Тоді sin60° = rl, звідки rl = √32.
Завдання 6. Точки А та В лежать на сфері радіуса 10 см. Укажіть найбільше можливе значення довжини відрізка АВ.
Маємо прямокутний трикутник з кутом 60°, гіпотенузою (твірною) та протилежним катетом (радіус основи). Тоді sin60° = rl, звідки rl = √32.
20 см
100π см
10 см
20π см
Показати відповідь
А.
Найбільше можливе значення довжини відрізка АВ буде в тому випадку, якщо АВ - діаметр сфери. Тоді АВ = d = 2R = 2 · 10 = 20 см.
Завдання 7. Пластикові кульки радіуса 6 см зберігають у висувній шухлядці, що має форму прямокутного паралелепіпеда (див. рисунок). Якою з наведених може бути висота h цієї шухлядки?
Найбільше можливе значення довжини відрізка АВ буде в тому випадку, якщо АВ - діаметр сфери. Тоді АВ = d = 2R = 2 · 10 = 20 см.
3 см
6 см
10 см
13 см
Показати відповідь
Г.
Так як висота шухляди повинна бути не менше діаметра кульки, то вона повинна бути не менше 2R = 2 · 6 = 12 см. Підходить лише 13 см.
Завдання 8. Переріз кулі площиною має площу 81π см². Знайдіть відстань від центра кулі до площини перерізу, якщо радіус кулі дорівнює 15 см.
Так як висота шухляди повинна бути не менше діаметра кульки, то вона повинна бути не менше 2R = 2 · 6 = 12 см. Підходить лише 13 см.
6 см
8 см
9 см
12 см
15 см
Показати відповідь
Г.
Перерізом кулі площиною є круг. Площу круга можна знайти за формулою S = πR². Таким чином πАВ² = 81π, звідси АВ = 9 см. Так як радіус кулі перпендикулярний до площини перерізу, то трикутник АВО прямокутний, в якому радіус кулі ОВ є гіпотенузою і дорівнює 15 см. За теоремою Піфагора ОА² = ОВ²-АВ² = 225-81 = 144, звідки ОА дорівнює 12 см.
Завдання 9. Довжина кола основи конуса дорівнює 36π, твірна нахилена до площини основи під кутом 30°. Установіть відповідність між відрізком (1–3) і його довжиною (А – Д).
1 радіус основи конуса
2 висота конуса
3 радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса
2 висота конуса
3 радіус сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса
А 6√3
Б 18
В 12√3
Г 6
Д 36
Б 18
В 12√3
Г 6
Д 36
Показати відповідь
1-Б, 2-А, 3-В.
1)Довжину кола можна знайти за формулою C = 2πR. Звідси 2πR = 36π, тому R = 18.
2) З прямокутного трикутника AOB AO = OBtg∠ABO = 18tg30° = 18 · √33 = 6√3.
3) Радіусом сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса, є твірна AB. З прямокутного трикутника AOB AB = 2AO = 12√3 (катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи).
Завдання 10. Установіть відповідність між вимірами циліндра (1-3) та правильним щодо нього твердженням (А-Д).
2) З прямокутного трикутника AOB AO = OBtg∠ABO = 18tg30° = 18 · √33 = 6√3.
3) Радіусом сектора, що є розгорткою бічної поверхні конуса, є твірна AB. З прямокутного трикутника AOB AB = 2AO = 12√3 (катет, що лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузи).
1 радіус основи дорівнює 6, висота - 4
2 радіус основи дорівнює 2, висота - 6
3 радіус основи дорівнює 4, висота - 6
2 радіус основи дорівнює 2, висота - 6
3 радіус основи дорівнює 4, висота - 6
А циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 та 6 навколо більшої сторони
Б площа основи циліндра дорівнює 12π
В твірна циліндра дорівнює 4
Г площа бічної поверхні циліндра дорівнює 24π
Д об’єм циліндра дорівнює 48π
Б площа основи циліндра дорівнює 12π
В твірна циліндра дорівнює 4
Г площа бічної поверхні циліндра дорівнює 24π
Д об’єм циліндра дорівнює 48π
Показати відповідь
1-В, 2-Г, 3-А.
1) Так як довжина твірної співпадає з довжиною висоти циліндра, то твірна циліндра дорівнює 4 см.
2) Sбічна = 2πRH = 2π · 2 · 6 = 24π.
3) Циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 (радіус) та 6 (висота) навколо більшої сторони.
Завдання 11. Установіть відповідність між фігурою (1-4) і тілом обертання (А-Д), утвореним унаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.
1) Так як довжина твірної співпадає з довжиною висоти циліндра, то твірна циліндра дорівнює 4 см.
2) Sбічна = 2πRH = 2π · 2 · 6 = 24π.
3) Циліндр утворено обертанням прямокутника зі сторонами 4 (радіус) та 6 (висота) навколо більшої сторони.
Показати відповідь
1-А, 2-Г, 3-В, 4-Б.
1) Отримуємо циліндр.
2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
3) Отримаємо зрізаний конус.
4) Отримаємо циліндр і конус зі спільною основою.
Завдання 12. Установіть відповідність між фігурою (1-4) і тілом обертання (А-Д), яке утворено внаслідок обертання цієї фігури навколо прямої, зображеної пунктиром.
1) Отримуємо циліндр.
2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
3) Отримаємо зрізаний конус.
4) Отримаємо циліндр і конус зі спільною основою.
Показати відповідь
1-Г, 2-А, 3-В, 4-Д.
1) Отримуємо конус.
2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
3) Отримаємо циліндр і два конуси, які мають з циліндром спільні основи.
4) Отримаємо зрізаний конус.
Завдання 13. Довжина кола основи конуса дорівнює 8π см. Знайдіть довжину твірної конуса, якщо його висота дорівнює 3 см.
1) Отримуємо конус.
2) Отримаємо два конуси зі спільною основою.
3) Отримаємо циліндр і два конуси, які мають з циліндром спільні основи.
4) Отримаємо зрізаний конус.
Показати відповідь
5.
Довжину кола можна знайти за формулою C = 2πR. Звідси 2πR = 8π, звідси R = 4 см. З прямокутного трикутника ОАВ за теоремою Піфагора AB² = ОА² + ОВ² = 9 + 16 = 25. Звідси твірна АВ дорівнює 5 см.
Коментарі